1clase mecanica cuerpo rigido 2014 i
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Facultad de Ingeniera
Geolgica, Minera y
Metalrgica
CURSO: MECANICA DEL CUERPO RIGIDO
Ing. Wilmer Gmez, MSc.
Abril 4, 2014
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COMPETENCIAS
Aptitud Actitud
Destrezas Control emocional
Tcnicas Respeto, puntualidad
Honestidad
Responsabilidad
Mente (lectura)
Persona
Cuerpo EspirituAristoteles, procrastinacin, resiliencia
Lo mas difcil es buscar o encontrar la simplicidad
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CREATIVIDAD
Oportunidad de aprendizaje: Perder el miedo. Tener curiosidad.
Autoestima aumenta con: Saber. Aprender.
Habito de hacer las cosas es NO PENSAR. No criticar antes de entender. Lo que funciona hoy, no resultar maana.
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PRODUCCIN DEL ACERO
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PROCESO DE PRODUCCIN Y AFINADO
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1RA. SEMANA
Equilibrio de fuerzas:
Fuerzas en el plano y el espacio;
resultante de fuerzas y pares; sistemas de
fuerzas equivalentes; reduccin general
de fuerzas; equilibrio de una partcula.
Seminario
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OBJETIVOS
Formar y ensear a los alumnos la mecnica del cuerpo rgido, de tal manera que adquieran destrezas
para su aplicabilidad en empresas industriales o como
futuros empresarios.
Bibliografa Mecnica vectorial para ingenieros, Esttica, dcima edicin,
Russel C. Hibbeler, editorial pearson-prentice hall
Mecnica vectorial para ingenieros, Esttica, sptima edicin, Beer - Johnston, editorial Mgraw Hill
Esttica, J.L. Meriam Fsica, Volumen I, Mecnica, Marcelo Alonso y Edward Finn Paginas de internet http://www.filecrop.com/libros-meriam-estatica.html
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La mecnica es la parte de la fsica que se encara
del estudio de los movimientos de los cuerpos.
CINTICA
ESTTICA
DINMICA
CINEMTICA
MECANICA
LA CINEMTICA estudia el movimiento, independientemente de las
causas que lo producen.
LA DINMICA, se ocupa de explicar las causas que los producen. La
dinmica se divide en: esttica y cintica.
La esttica estudia los cuerpos de equilibrio o reposo. La cintica estudia los cambios del movimiento ocasionados por
una o ms fuerzas que no estn en equilibrio.
MECANICA Y SUS DIVISIONES
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La Mecnica es la rama de la fsica que trata de la respuesta de los
cuerpos a la accin de las fuerzas.
El estudio de la Mecnica se divide en:
Mecnica de cuerpos rgidos:
Esttica. Cuerpos sometidos a fuerzas equilibradas. Dinmica
Cinemtica. Movimiento de cuerpos sin considerar sus causas. Cintica. Cuerpos sometidos a fuerzas no equilibradas
Mecnica de cuerpos deformables:
Rama de la Mecnica que se ocupa de las distribuciones de fuerzas
interiores y de las deformaciones en estructuras y componentes de
maquinaria cuando estn sometidos a sistemas de fuerzas.
Mecnica de fluidos:
Rama de la Mecnica que se ocupa de los lquidos y gases en
reposo o en movimiento. Fluidos compresibles y fluidos
incompresibles (Hidrulica).
INTRODUCCIN A LA MECNICA
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Magnitudes fundamentales:
Espacio: regin geomtrica donde ocurren los sucesos fsicos
de inters en la mecnica.
Tiempo: intervalo que transcurre entre dos sucesos.
Masa: o materia es toda sustancia que ocupe espacio.
Fuerza: accin de un cuerpo sobre otro por contacto directo o a
distancia. Su efecto exterior es la aceleracin del cuerpo o el
desarrollo de fuerzas resistentes en l.
Consideraciones de inters:
Un punto material tiene masa pero no tiene forma ni tamao. En consecuencia en la solucin de un problema no
intervendr el concepto de rotacin.
Un cuerpo rgido se puede representar como un conjunto de puntos materiales. La forma y tamao del cuerpo se
mantiene constante en el tiempo y condiciones de carga.
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Leyes de Newton (del movimiento): rigen el
movimiento de un punto material:
Inercia F = m . A Accin y reaccin Ley de Gravitacin de Newton
Donde G = 6,673.10-11 m3/(kg.s2)
Masa y peso.
W = G.mt.m/rt2 = m.g
g=9,807 m/s
221
r
mmGF
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Para la resolucin de problemas seguir los siguientes pasos:
1. Leer el problema atentamente.
2. Identificar el resultado requerido y principios necesarios.
3. Dibujar los diagramas de cuerpo libre y tabular la data.
4. Aplicar los principios y ecuaciones.
5. Dar respuesta adecuada y unidades apropiadas.
6. Estudiar la respuesta y determinar si es razonable.
Hiptesis o aproximaciones frecuentemente utilizadas:
Reducir el estudio del cuerpo sometido a esfuerzos a un punto material.
Tratar a la mayora de los cuerpos como si fuesen rgidos. Despreciar los pesos de miembros en comparacin con
cargas aplicadas.
Considerar una fuerza distribuida, que acte sobre un rea pequea, como una fuerza concentrada en un punto.
MTODO DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS
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Fuerza es la accin de un cuerpo sobre otro debido al contacto
fsico o efecto gravitatorio, elctrico, magntico.
La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo tiene dos efectos:
Uno exterior que tiende a cambiar su movimiento y otro interior
a deformarlo. Suposicin: si no se deforma el cuerpo es rgido
Si un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo no origina ningn
efecto exterior, el cuerpo est equilibrado. Si el sistema no est
equilibrado y tiene una resultante, el cuerpo experimenta un
cambio en su movimiento.
Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si producen el
mismo efecto en un cuerpo.
La resultante de un sistema de fuerzas, obtenida por
composicin de fuerzas, es el sistema equivalente.
El proceso de desarrollar una fuerza o sistema de fuerzas en otro
equivalente se llama descomposicin. Componente de una
fuerza es una o ms fuerzas en las que puede descomponerse.
INTRODUCCION
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LAS FUERZA Y SUS CARACTERSTICAS
1. Mdulo (Intensidad de
la fuerza, unidad: N o
kN)
2. Direccin y sentido
(orientacin del
segmento)
3. Punto de aplicacin
(punto de contacto
entre dos cuerpos)
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Recta soporte o lnea de accin: recta que
pasa por el punto de aplicacin y tiene la
direccin de la fuerza.
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MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Las magnitudes escalares son aquellas que quedan descritas por
un nmero. (Ej. masa, densidad, rea, longitud, volumen, energa,
tiempo, temperatura, etc.)
Las magnitudes vectoriales tienen mdulo, direccin y sentido y
obedecen la regla del paralelogramo. (Ej. fuerza, momento,
desplazamiento, velocidad, aceleracin, impulso, cantidad de
movimiento, etc.). Los vectores pueden clasificarse en tres tipos:
1. Libres. su recta no pasa por un punto definido en el espacio. Ej.
Vector ,
2. Deslizantes. su recta pasa por un punto definido en el espacio.
El punto de aplicacin de este vector puede ser cualquiera de
su recta soporte. Ej. Cuerda que tira de un peso arrastrado.
3. Fijos. Tiene punto de aplicacin definido.
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PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD
Este principio dice que el efecto exterior de una fuerza sobre
un cuerpo rgido es el mismo para todos los puntos de
aplicacin de la fuerza a lo largo de su recta soporte.
As podemos tratar a las fuerzas como vectores deslizantes.
En cambio, el efecto interior de una fuerza (esfuerzo y
deformacin) puede verse muy influido si vara el punto de
aplicacin de la fuerza a lo largo de su recta soporte.
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CLASIFICACIN DE FUERZAS
En funcin de la interaccin 1. Fuerzas de contacto o de superficie. (Ej. empuje o
traccin por medio mecnicos) 2. Fuerzas msicas o de accin a distancia (Ej. efecto de
la gravedad)
Atendiendo a la zona sobre la cual actan
Fuerza distribuida,
aplicada sobre una
longitud o superficie, (Ej.
peso)
Fuerza concentrada (fuerza
aplicada sobre un rea
pequea comparado con el
elemento cargado)
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TIPOS DE FUERZAS
CONTACTO
A DISTANCIA
APLICADA FRICCION NORMAL ELASTICA TENSION RESISTENCA DEL AIRE
GRAVITACIONAL ELECTRICA ELECTROMAGNETICA
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1. FUERZAS DE CONTACTO.
Se generan mediante el
contacto fsico directo entre
dos cuerpos
2. FUERZAS MASICAS
se crean por accin a
distancia. Ejm. la fuerza
gravitacional, elctrica y
magntica.
CLASES DE FUERZAS
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1. FUERZAS
CONCENTRADAS .
Aquellas que se consideran
aplicada en un punto
2. FUERZAS DISTRIBUIDAS
Aquellas que se consideran
aplicadas en una lnea, un rea
o un volumen
CLASES DE FUERZAS
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Un sistema de fuerzas constituido por dos o ms fuerzas:
1. Monodimensional. (colineal, con recta soporte comn)
2. Bidimensional. (coplanario, caso particular: fuerzas paralelas)
3. Tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente cuando
las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto
comn.
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DIAGRAMAS DE SLIDO LIBRE
Es el cuerpo de inters separado de los dems cuerpos que
interactan sobre l y en el cual figuran las fuerzas aplicadas
exteriormente a dicho cuerpo.
Etapas en el trazado de un diagrama de slido libre:
1. Decidir qu cuerpo o parte de un cuerpo o grupo de
cuerpos hay que aislar y analizar. Preparar un esquema del
contorno exterior del cuerpo seleccionado.
2. Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocidas,
aplicadas por otros cuerpos al cuerpo aislado, mediante
vectores en sus posiciones correctas.
3. Si se desconoce el sentido de alguna de las fuerzas, se
puede suponer y una vez finalizados los clculos, se
concluye su sentido.
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RESULTANTE DE DOS FUERZAS
CONCURRENTES
Dos fuerzas concurrentes F1 y F2 que actan sobre un cuerpo
se pueden sustituir por una fuerza Resultante R, que producir
sobre el cuerpo el mismo efecto que las dos originales. La suma
se realiza de dos formas:
Grficamente: Suma vectorial aplicando la regla del
paralelogramo o regla del tringulo
Matemticamente: Ecuacin vectorial: F1 + F2 = R = F2 + F1
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Los mtodos grficos exigen un dibujo preciso a escala si se
quieren obtener resultados ptimos.
En la prctica se obtienen resultados numricos utilizando
mtodos trigonomtricos basados en los teoremas del seno
y del coseno junto con el esquema del sistema de fuerzas.
En el tringulo de la figura siguiente el teorema del seno se
expresa as:
sen
c
sen
b
sen
a
y el teorema del coseno se expresa as:
cos2222 abbac
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RESULTANTE DE TRES O MS FUERZAS
CONCURRENTES
El mtodo de la regla del paralelogramo o del tringulo se puede
extender a los casos de tres o ms fuerzas concurrentes.
En definitiva, se construyen polgonos de fuerzas dando igual
el orden en que sumemos las fuerzas. Ejemplo:
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DESCOMPOSICIN DE UNA
FUERZA EN COMPONENTES
As como podemos sumar dos o ms fuerzas
para obtener una resultante, una fuerza se
puede sustituir por un sistema de dos o ms
fuerzas (componentes de la original).
El proceso de descomposicin no da un
conjunto nico de componentes vectoriales.
En la resolucin de muchos problemas
prcticos no es corriente utilizar componentes
oblicuas de una fuerza pero si es habitual el
empleo de componentes ortogonales
(rectangulares).
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COMPONENTES RECTANGULARES DE
UNA FUERZA
En el caso bidimensional el proceso de
obtencin de componentes rectangulares es
muy sencillo ya que se origina un tringulo
rectngulo, y solo hay que aplicar Pitgoras.
En forma vectorial podemos escribir:
F = Fx + Fy = Fx i +Fy j
Donde:
cos.FFx senFFy .
22
yx FFF x
y
F
Farctan
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En casos tridimensionales, una fuerza F en el espacio se puede
descomponer en tres componentes rectangulares mutuamente
ortogonales.
F = Fx + Fy + Fz = Fx i +Fy j + Fz k =
F = F cosx i +F cosy j +F cosz k
222
zyx FFFF
x2cos + y
2cos+ z2cos = 1
Los cosenos directores deben cumplir la
relacin:
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Si un ngulo es mayor
que 90, su coseno es
negativo, lo que indica
que el sentido de la
componente es opuesto
al sentido positivo del eje
de coordenadas
correspondiente.
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RESULTANTES POR COMPONENTES
RECTANGULARES
Rx = Fx = F1x + F2x + F3x + + Fnx = (F1x + F2x + F3x + + Fnx) i = Rx i
Ry = Fy = F1y + F2y + F3y + + Fny = (F1y + F2y + F3y + + Fny) j = Ry j
En el caso de un sistema cualquiera de fuerzas coplanarias
concurrentes y tras determinar las componentes rectangulares
de todas las fuerzas, tenemos:
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Y segn la regla del paralelogramo:
R = Rx + Ry = Rx i + Ry j
El mdulo de R se calcula aplicando Pitgoras:
22
yx RRR
Adems, el ngulo que forma la recta soporte de R con el eje x es:
x
y
xR
Rarctan
R
Rxx arccos
R
Ryarcsenx
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En el caso general de tres o ms fuerzas concurrentes en el
espacio y tras obtener sus componentes rectangulares, se tiene:
Fx = F1x + F2x + F3x + + Fnx = (F1x + F2x + F3x + + Fnx) i = Rx i
Fy = F1y + F2y + F3y + + Fny = (F1y + F2y + F3y + + Fny) j = Ry j
Fz = F1z + F2z + F3z + + Fnz = (F1z + F2z + F3z + + Fnz) k = Rz k
Rx =
Ry =
Rz =
R = Rx + Ry + Rz = Rx i + Ry j + Rz k
El mdulo de R se calcula as: 222
zyx RRRR
R
Rxx arccos R
Ryy arccos
R
Rzz arccos
Los ngulos que forma R con los
semiejes de coordenadas positivos son:
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PROB - SOL
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PROB - SOL
-
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PROBLEMAS
Cul es la resultante en
cada caso?
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PROBLEMAS
Calcular la fuerza vectorial
en el eje xy Mostrar la fuerza en forma vectorial
Calcular la fuerza A, si el
sistema esta en equilibrio
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Dos cables se amarran juntos en C y se cargan
como se muestra en la figura. Determine la
tensin en : a) en cable AC y b) el cable BC.
PROB - SOL
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DCL BTAT
600
BA 87,36
16
12
A
Atag
6,43
21
20
B
Btag
B
AAB
AABB
AABB
TT
TT
Fx
senTsenT
Fy
cos
cos
0coscos
0
0600
0
(1)
(2)
SOLUCION
lbT
lbT
B
A
18,487)6.43cos(
)87,36cos(441
44136,1
600
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Los tirantes de cable AB y AD sostienen al poste AC. Se
sabe que la tensin es de 500 N en AB y 160 N en AD,
ahora determine grficamente la magnitud y la direccin
de la resultante de las fuerzas ejercidas por los tirantes en
A usando a) la ley del paralelogramo y b) la regla del
tringulo.
PROB - SOL
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Calculamos: = 51.3, = 59
Calculamos: R = 575 N, = 67
SOLUCION
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Determine la magnitud y la direccin de la fuerza P requerida
para mantener el sistema de fuerzas concurrentes en
equilibrio.
60
120
45
F1 = 2 kN
F3 = 0.5 kN
F2 = 2 kN
P
z
y
x
PROBLEMA
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Un recipiente esta sostenido por tres cables que se atan al
techo como se muestra. Determnese el peso W del
recipiente sabiendo que la tensin en el cable AD es 4.3 kN
PROB - SOL
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A(0,0,0) B(-450,600,0) C(0,600,-320) D(500,600,360)
)360,600,500(
)320,600,0(
)0,600,450(
AD
AC
AB
860
680
750
AD
AC
AB
kji
kj
ji
AD
AC
AB
42.07.058.0
47.088.0
8.06.0
0f
0)()42.07.058.0()47.088.0()8.06.0(
0
0
WjTkjiTkjTji
WTTT
WTTT
ADACAB
WADADACACABAB
ADACAB
SOLUCION
kNW
kNT
kNT
AC
AB
71.9
84.3
16.4
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2DA. SEMANA
Equilibrio en el plano y en el espacio.
Equilibrio en el espacio; diagrama de
cuerpo libre; tipos de reacciones y
ligaduras y reacciones estticas; grados
de hiperestaticidad: general, exterior e
interior; equilibrio en el plano.
1ra prctica calificada
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Las condiciones necesarias para que un cuerpo se
encuentre en equilibrio, en forma sencilla debe cumplir
lo siguiente:
Fx = 0; Fy = 0; Fz = 0
Mx = 0; My = 0; Mz = 0
Donde el termino F representa las fuerzas aplicadas
sobre el cuerpo en las direcciones x, y, z, de un
sistema coordenado ortogonal. Anlogamente, el
termino M esta referido a los momentos que se ejercen
en el cuerpo, en las direcciones x, y, z.
EQUILIBRIO EN EL PLANO Y ESPACIO
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48
LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIN EN EL ESPACIO
Por cada grado de libertad restringido aparecer una reaccin. tipos de ligaduras ms comunes son:
Empotramiento: Restringe todos los grados de libertad
Tres desplazamientos (u, v, w )
Tres giros (Fx, Fy, Fz)
Punto en el espacio
( 6 grados de libertad)
6 Reacciones 3 Fuerzas
3 Momentos
Articulacin: Restringe los tres desplazamientos 3 Reacciones 3 Fuerzas
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49
Por cada grado de libertad restringido aparecer una reaccin. tipos de ligaduras ms comunes son:
Dos desplazamientos (u, v )
Un giro (Fz)
Punto en el Plano
( 3 grados de libertad)
LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIN EN EL PLANO
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Articulacin intermedia. No se trata de una ligadura con el entorno sino de un elemento de unin entre dos partes del slido elstico. Permite el giro entre las dos partes del slido.
Reacciones proporcionales a los desplazamientos
Ligaduras Reales. En la realidad, la mayor parte de las ligaduras no restringen totalmente los desplazamientos y/o giros en un punto. Este tipo de ligaduras se estudian asimilndolas a muelles
lineales (impiden parcialmente los desplazamientos) o muelles a torsin (impiden parcialmente los
giros).
Cada articulacin nos proporciona una ecuacin de equilibrio adicional, ya que el momento en ese punto
es nulo al estar permitido el giro.
LIGADURAS Y FUERZAS DE REACCIN
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Las reacciones son fuerzas externas que se calculan aplicando equilibrio esttico. Sea R el nmero de reacciones (igual al nmero de grados de libertad impedidos) y sea E el nmero de ecuaciones de
equilibrio disponibles. En un sistema de barras sin contornos cerrados:
Si R = E Sistema ISOSTTICO
Si R < E Sistema HIPOESTTICO Mecanismo
El nmero de ecuaciones es suficiente
para el clculo de las reacciones
SISTEMA HIPOESTATICO E ISOSTATICO
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Si R > E Sistema HIPERESTTICO El nmero de ecuaciones no es suficiente.
GH = R-E GRADO DE
HIPERESTATICIDAD
Hay que aadir tantas ecuaciones de
compatibilidad de deformaciones como GH
tenga el sistema
SISTEMA HIPERESTATICO: GRADO DE HIPERESTATICIDAD
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Cojinete de bolas
El cojinete de bolas ideal (liso) tiene por misin
transmitir una fuerza R en una direccin
perpendicular al eje del cojinete.
Si el cojinete tiene la direccin del eje y, la accin
del cojinete se representa en el DSL por las
componente Rx y Rz.
Gozne (Bisagra)
Normalmente destinado a transmitir una fuerza R en una
direccin perpendicular al eje del pasador del gozne. Su
diseo puede tambin permitir transmitir una componente
de la fuerza a lo largo del eje del pasador. Ciertos goznes
pueden transmitir pequeos momentos respecto a ejes
perpendiculares a ejes del pasador.
Las parejas de goznes alineadas adecuadamente slo
transmiten fuerzas en las condiciones de utilizacin
normales.
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Cojinete de empuje
Transmiten componentes de fuerza tanto
perpendiculares como paralelas al eje del cojinete.
Ciertos cojinetes de empuje transmiten pequeos
momentos respecto a ejes perpendiculares al eje
del rbol. Las parejas de cojinetes alineados
adecuadamente, transmiten fuerzas en condiciones
normales de funcionamiento.
Cojinete de friccin (Chumacera)
Transmite una fuerza R en una direccin
perpendicular a su eje. Ciertas chumaceras
transmiten pequeos momentos respecto a
ejes perpendiculares al eje del rbol. Las
parejas de chumaceras alineadas
adecuadamente slo transmiten fuerzas
perpendiculares al eje del rbol.
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Articulacin lisa de pasador
Transmite una fuerza R en una
direccin perpendicular al eje del
pasador, pero tambin transmite
una componente de fuerza segn
dicho eje. Tambin transmite
pequeos momentos respecto a
ejes perpendiculares al eje del
pasador. Apoyo fijo (Empotramiento)
Puede resistir tanto una fuerza R
como un par C. Se desconocen los
mdulos y direcciones de fuerza y
par por lo que en el DSL se
representan las tres componentes
rectangulares de cada uno.
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DSL
Dibujar el diagrama de slido libre de la viga
de la figura.
PROB - SOL
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DSL
Dibujar el diagrama de slido libre de la viga de la
figura. Despreciar el peso de la viga.
PROB - SOL
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DSLs
Un cilindro se apoya sobre una superficie lisa
formada por un plano inclinado y una armadura
de dos barras. Dibujar el diagrama de slido
libre para el cilindro, para la armadura de dos
barras y para el pasador en C.
PROB - SOL
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- 59 -
DSLs
Dibujar el diagrama de slido
libre para la polea, para el poste
AB y la viga CD.
PROB - SOL
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DSL
Dibujar el diagrama de slido libre de la barra curva
soportada por una rtula en A, un cable flexible en B
y una articulacin de pasador en C. Desprciese el
peso de la barra.
PROB - SOL
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Cuerpos (miembros) de 2 fuerzas
Ejemplo: barra de conexin de peso despreciable
(figura). Las fuerzas que sobre la barra ejercen los
pasadores lisos situados en A y B se pueden
descomponer en componentes segn el eje de la barra
y perpendicular a l. Aplicado ecuaciones de equilibrio:
Las fuerzas Ay y By forman un par que debe ser nulo si
la barra est en equilibrio, por tanto:
As pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio
exige que las fuerzas sean de igual mdulo y recta
soporte, pero opuestas. La forma del miembro no
influye en este sencillo requisito. Los pesos de los
miembros deben ser despreciables.
yyyyy
xxxxx
BABAF
BABAF
00
000 yy BA
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Cuerpos (miembros) de 3 fuerzas
El equilibrio de un cuerpo bajo la accin de tres fuerzas
constituye tambin una situacin especial.
Si un cuerpo est en equilibrio bajo la accin de tres fuerzas las
rectas soportes de stas deben ser concurrentes (pasar por
un punto comn).
Si no fuera as, la fuerza no concurrente ejercera un momento
respecto al punto de concurso de las otras dos fuerzas.
Caso particular: Un cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El
punto de concurso es el infinito.
DSL de AB
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Reacciones hiperestticas y
ligaduras parciales Tenemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Este puede
sustituirse por uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario
A y un par.
Para que el cuerpo est en equilibrio, los apoyos deben poder
ejercer sobre el cuerpo un sistema fuerza-par igual y opuesto
(ligaduras). Ejemplo: Consideremos los apoyos de la figura (a)
El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la
traslacin del cuerpo pero no puede ejercer un momento que
impida la rotacin entorno a A. La barra B origina una fuerza en y
generando as un momento respecto a A que impida la rotacin
del cuerpo. Cuando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes
para determinar las fuerzas incgnitas en los apoyos el cuerpo
est determinado estticamente con ligaduras adecuadas
(isostticas).
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Tres reacciones vinculares para un cuerpo sometido a un sistema de
fuerzas coplanario no siempre garantizan que el cuerpo est determinado
estticamente con ligaduras isostticas.
Ejemplo 1: El pasador en A puede ejercer fuerzas en x y en y que eviten la
traslacin del cuerpo, pero como la recta soporte de Bx pasa por A, no
ejerce el momento necesario para evitar la rotacin en torno a A.
El cuerpo est ligado parcialmente (insuficientemente) y las ecuaciones de
equilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones
incgnitas. Lo mismo ocurre en el siguiente ejemplo:
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Ejemplo 2: Sus tres conexiones pueden evitar la rotacin en torno a un punto
cualquiera y la traslacin del cuerpo en la direccin y pero no la traslacin del
cuerpo en la direccin x.
Un cuerpo con un nmero adecuado de reacciones est insuficientemente
ligado cuando las ligaduras estn dispuestas de tal manera que las fuerzas
en los apoyos sean concurrentes o paralelas.
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Los cuerpos ligados parcialmente pueden estar en equilibrio bajo la
accin de sistemas de fuerzas especficos.
Ejemplo: Las reacciones RA y RB de la viga se pueden determinar
usando
Sin embargo, la viga est insuficientemente ligada ya que se movera en
la direccin x si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una pequea
componente segn x.
0
0
A
y
M
F
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Los cuerpos ligados con apoyos de ms estn indeterminados
estticamente ya que sern necesarias relaciones referentes a
propiedades fsicas del cuerpo (sistemas hiperestticos). Los apoyos que
no son necesarios para mantener el equilibrio del cuerpo se llaman
superabundantes. Ejemplos:
Si en vez de una conexin rgida en B colocamos un pasador, se obtiene una
reaccin adicional Bx que no es necesaria para evitar el movimiento del
cuerpo. As, las 3 ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan
suficiente informacin para determinar las 4 incgnitas.
DSL DSL
-
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DSL
Una armadura conectada mediante pasadores est
cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.
El cuerpo W tiene una masa de 100 kg. Determinar las
componentes de las reacciones en los apoyos A y B.
PROB - SOL
-
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DSL
Una viga est cargada y apoyada en la forma que
se indica en la figura. Determinar las
componentes de las reacciones en los apoyos A
y B.
PROBLEMA
-
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DSL
Una viga est cargada y apoyada en la forma que se indica en
la figura. Determinar las componentes de las reacciones en
los apoyos A y B.
PROBLEMA
-
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DSL
Un entramado conectado mediante pasadores est cargado
y apoyado segn se indica en la figura. Determinar las
reacciones en los apoyos A y B.
PROBLEMA
-
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DSLs
Un entramado de dos barras conectado por pasadores
est cargado y apoyado segn se indica en la figura.
Determinar las reacciones en los apoyos A y B.
PROBLEMA
-
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DSL
Una barra que pesa 1250 N est soportada por un poste y
un cable segn se indica en la figura. Se suponen lisas
todas las superficies. Determinar la tensin del cable y las
fuerzas que se ejercen sobre la barra en las superficies
de contacto.
PROBLEMA
-
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DSLs
PROBLEMA
Un cilindro de masa 50 kg se apoya sobre un
plano inclinado y un entramado de dos barras
articulado por pasador. Suponiendo lisas
todas las superficies, determinar:
a) Las fuerzas que sobre el cilindro ejercen
las superficies de contacto.
b) Las reacciones en los apoyos A y C del
entramado de dos barras.
-
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La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas se
determina descomponiendo cada fuerza del sistema en una
fuerza igual y paralela que pase por un punto dado (O origen de
coordenadas) y un par.
El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :
Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con mdulo, direccin y sentido igual a los de las fuerzas del
sistema original.
Un sistema de pares no coplanarios.
Equilibrio en tres dimensiones
-
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DSL
Una placa que pesa 2,5 kN est soportada por un rbol AB y
un cable C. En A hay un cojinete de bolas y en B un cojinete
de empuje. Los cojinetes estn alineados adecuadamente
de forma que solo trasmiten fuerzas. Determinar las
reacciones en los cojinetes A y B y la tensin en el cable C
cuando se apliquen a la placa las tres fuerzas indicadas.
PROBLEMA
-
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DSL
Un poste y un soporte sostienen una
polea. Un cable que pasa sobre la
polea transmite una carga de 2500 N
en la forma indicada. Determinar la
reaccin en el apoyo A del poste.
PROBLEMA
-
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DSL
Las masas de las cajas que descansan sobre la
plataforma son 300 kg, 100 kg y 200 kg respectivamente.
La masa de la plataforma es de 500 kg. Determinar las
tensiones de los tres cables A, B y C que la soportan.
PROBLEMA
-
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DSL
El tablero de la figura tiene una masa de 25 kg y lo
mantienen en posicin horizontal dos goznes y una barra.
Los goznes estn alineados adecuadamente de forma que
solo ejercen reacciones de fuerza sobre el tablero.
Supngase que el gozne en B resiste toda fuerza dirigida
segn el eje de los pasadores de los goznes. Determinar
las reacciones en los apoyos A, B y D.
PROBLEMA
-
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Una torre de transmisin se sostiene por tres alambres los cules estn
anclados mediante pernos en B, C y D. a) Si la tensin en el alambre AD es de
315 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el
perno en D. b) Si la tensin en el alambre AB es de 525 lb, determine las
componentes de la fuerza ejercida por el alambre sobre el perno en B. c) Si la
tensin en el alambre AC es de 425 lb, determine las componentes de la fuerza
ejercida por el alambre sobre el perno en C. Ver figura.
PROB - SOL
-
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza. _________________
d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:
dx = 74 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft
______________________
d = (74 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2
d = 126 ft
Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = 74 ft/126 ft = 0.5873; x = cos-1 0.5873 = 54. Fx = F cos x. Fx = 315 lb x 0.5873 = Fx = 185 lb. Cos y = 100 ft/126 ft = 0.7936; y = cos-1 0.7936 = 37.4. Fy = F cos y. Fy = 315 lb x 0.7936 = 245 lb. Cos z = - 20 ft/126 ft = - 0.1587. z = cos-1 - 0.1587 = . Fz = F cos z. Fz = 315 lb x 0.1587 = -50 lb.
SOLUCION a)
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza. _________________
d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:
dx = - 25 ft, dy = 100 ft, dz = -20 ft
______________________
d = (-25 ft)2 + (100 ft)2 + (-20 ft)2
d = 105 ft
Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d; Cos x = -25 ft/105 ft = - 0.2380. x = cos-1 - 0.2380 = 103.7; Fx = F cos x. Fx = 525 lb x - 0.2380 = Fx = - 125 lb.
Cos y = 100 ft/105 ft = 0.9523; y = cos-1 0.9523 = 17.7. Fy = F cos y. Fy = 525 lb x 0.9523 = 500 lb. Cos z = - 20 ft/105 ft = - 0.1904; z = cos-1 - 0.1904 = . Fz = F cos z. Fz = 525 lb x 0.1904 = -100 lb.
SOLUCION b)
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza. _________________
d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:
dx = - 18 ft, dy = 100 ft, dz = 60 ft
______________________
d = (-18 ft)2 + (100 ft)2 + (60 ft)2
d = 118 ft
Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = -18 ft/118 ft = - 0.1525; x = cos-1 - 0.1525 = 98.7. Fx = F cos x. Fx = 425 lb x - 0.1525 = Fx = - 64.8 lb. Cos y = 100 ft/118 ft = 0.8474; y = cos-1 0.8474 = 17.7. Fy = F cos y. Fy = 425 lb x 0.8474 = 360 lb; Cos z = 60 ft/118 ft = 0.5084 z = cos-1 - 0.5084 = Fz = F cos z. Fz = 425 lb x 0.5084 = 216 lb.
SOLUCION c)
-
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3RA. SEMANA
Fuerzas distribuidas.
Fuerzas distribuidas a lo largo de una
lnea y de una superficie.
Seminario
-
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Se emplean tres cables para amarrar al globo mostrado en la
figura de abajo. Se sabe que la tensin en el cable AC es de
444 N, suponiendo que el globo est en equilibrio, determine el
valor de las tensiones de los cables AB y AD.
PROB - SOL
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Para hallar las componentes de la cuerda AC, primero hallamos la distancia total de acuerdo a las distancias dadas en la figura:
_________________
d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:
dx = - 4.2 m, dy = 5.6 m, dz = 2.4 m
______________________
d = (-4.2 m)2 + (5.6 m)2 + (2.4 m)2
d = 7.4 m
Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = - 4.2 m /7.4 m = - 0.5675; x = cos-1 - 0.5675 = 124.6. Fx = F cos x. Fx = 444 N x - 0.5675 = Fx = - 252 N. Cos y = 5.6 m /7.4 m = 0.7567; y = cos-1 0.7567 = 40.8. Fy = F cos y. Fy = 444 N x 0.7567 = 225.7 N. Cos z = 2.4 m /7.4 m = 0.3243; z = cos-1 0.3243 = 71. Fz = F cos z. Fz = 444 N x 0.3243 = 144 N.
SOLUCION
-
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Ahora sacamos la distancia total, para el cable AB, como puede verse en la figura, el perno B, est exactamente situado sobre el eje X, por lo cual solamente tiene componente en Y y en Z, los cuales son:
__________
d = (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AC son:
dy = 5.6 m, dz = - 4.2 m
______________________
d = (5.6 m)2 + (-4.2 )2
d = 7 m. Ahora se sacan los ngulos y y z para la cuerda AB: Cos y = dy/d, cos z = dz/d ; Cos y = 5.6 m /7 m = 0.8 y = cos-1 0.8 = 36.8; FyAB = AB cos x. FyAB = AB (0.8) = Cos z= -4.2 m /7 m = -0.6 ; z = cos-1 - 0.6 = 126.8. FzAB = AB (-0.6)
SOLUCION
-
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Ahora sacamos la distancia total, para el cable AD, como puede verse en la figura, el perno D, est exactamente situado sobre el eje Z, por lo cual solamente tiene componente en X y en Y, los cuales son:
__________
d = (dx2) + (dy2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AD son:
dx = 3.3 m, dy = 5.6 m
______________________
d = (3.3 m)2 + (5.6 m )2
d = 6.5 m. Ahora se sacan los ngulos x y y para la cuerda AD: Cos x = dx/d, cos y = dy/d; Cos x = 3.3 m /6.5 m = 0.5076 x = cos-1 0.5076= 59.4; FxAD = AD cos x. FxAD = AD (0.5076) = Cos y= 5.6 m /6.5 m = 0.8615 ; y = cos-1 0.8615 = 30.5. FyAD = AD (0.8615); sumatoria de fuerzas: Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0. Fx = - 252 N + AD (0.5076) = 0; Fx = AD (0.5076) = 252 N. Ahora despejamos AD: AD = 252/0.5076 N = 496.4 N.
Fy = 225.7 N + AB (0.8) = 0; Fy = AB (0.8) = - 225.7 N. despejando AB, tenemos: AB = 225.7/ 0.8 N = 282.12 N.
SOLUCION
-
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Una placa rectangular est sostenida por los 3 cables
mostrados en la figura. Sabiendo que la tensin en el cable AB
es de 408 N, determine las componentes de la fuerza ejercida
sobre la placa en B.
PROB - SOL
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza AB. _________________
d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:
dx = -13 cm, dy = 48 cm, dz = -32 cm
__________________________
d = (-13 cm)2 + (48 cm)2 + (- 32 cm)2
d = 59.1 cm
Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d Cos x = -13 cm/59.1 cm = - 0.2199; x = cos-1 - 0.2199 = 102.7. Fx = F cos x. Fx = 408 N x - 0.2199 = Fx = - 89.7 N. Cos y = 48 cm /59.1 cm = 0.8121; y = cos-1 0.8121= 35.7. Fy = F cos y. Fy = 408 N x 0.8121 = 331.3 N. Cos z = - 32 cm/59.1 cm = - 0.5414; z = cos-1 - 0.5414 = 122.7 Fz = F cos z. Fz = 408 N x 0.5414 = - 220.8 N.
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Una placa rectangular est sostenida por los 3
cables mostrados en la figura anterior .
Sabiendo que la tensin en el cable AD es de
429 N, determine las componentes de la fuerza
ejercida sobre la placa en D.
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Primeramente sacamos la distancia total, para posteriormente obtener los ngulos x, y y z y despus obtener las componentes de la fuerza AD. _________________
d = (dx2) + (dy2) + (dz2) De acuerdo a la figura, las distancias para la cuerda AB son:
dx = 36 cm, dy = 48 cm, dz = -25 cm
__________________________
d = (36 cm)2 + (48 cm)2 + (- 25 cm)2
d = 65 cm
Cos x = dx/d, cos y = dy/d, cos z = dz/d; Cos x = 36 cm/65 cm = 0.5538. x = cos-1 0.5538 = 56.3; Fx = F cos x. Fx = 429 N x 0.5538= Fx = 237.5 N.
Cos y = 48 cm /65 cm = 0.7384; y = cos-1 0.7384= 42.4. Fy = F cos y. Fy = 429 N x 0.7384 = 316.7 N; Cos z = - 25 cm/65 cm = - 0.3846.
z = cos-1 - 0.3846= 112.6; Fz = F cos z. Fz = 408 N x 0.3846 = - 165 N.
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a) La expresin vectorial F=(300 N) i + (150 N) j + (100
N) k, define el sentido y la direccin de una fuerza en
el espacio, hallar el ngulo que definen dicha fuerza
con respecto al eje Y si su magnitud es de 600 N.
Cos y = Fy/F; Cos y = 150 N/600 N = 0.25
y = cos-1 0.25 = 75.52.
b) La expresin vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100
N) k define el sentido y la direccin de una fuerza en el
espacio, hallar el ngulo que definen dicha fuerza con
respecto al eje X si su magnitud es de 600 N.
Cos x = Fx/F; Cos x = 300 N/600 N = 0.5
x = cos-1 0.5 = 60.
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c) La expresin vectorial F=(300 N) i + (150 N) j+ (100 N) k define el sentido y la direccin de una fuerza en el espacio. Hallar el ngulo que definen dicha fuerza con respecto al eje Z. ____________________
F= Fx2 + Fy2 + Fz2
________________________
F = (300 N)2 + (150 N)2 + (100)2 ____________
F= 122500 N2 = 350 N Cos z = Fz/F; Cos z = 100 N/350N = 0.2857 z = cos-1 0.2857= 73.40. d) Una fuerza F= (100 N) i + (200 N) j +(300) k define la tensin de una cuerda que
sostiene un poste de madera. Calcular el ngulo que forma la fuerza con el eje Y.
F= Fx2 + Fy2 + Fz2
________________________
F = (100 N)2 + (200 N)2 + (300)2
____________
F= 140000 N2 = 374.16 N; Cos z = Fz/F; Cos z = 300 N/374.16 N = 0.8017; z = cos-1 0.8017= 56.69.
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e) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j (60 m) k define la direccin de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar la expresin vectorial de la fuerza.
____________
d= dx2 + dy2 + dz2
________________________
d = (40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2
____________
d= 5600 m2 = 74.83 m.
F = dx F + dy F + dz F
d d d
F = 40 m 1000 N +20 m 1000 N -
74.83 m 74.83 m
60 m 1000 N
74.83 m
F = (534.54 N) i + (267.27 N) j - (801.81 N) k.
-
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f) El vector distancia d= (40 m) i +(20 m) j (60 m) k define la direccin de la fuerza F cuyo valor es de 1000 N. Hallar el ngulo que forma con respecto al eje Y.
____________
d= dx2 + dy2 + dz2
________________________
d = (40 m )2 + (20 m)2 + (- 60 m)2
____________
d= 5600 m2 = 74.83 m.
Fy = 20 m (1000 N ) = 267.27 N
74.83 m
Cos y = Fy/F
Cos y = 267.27 N = 0.2672
1000 N
y = cos-1 0.2672 = 74.5.
-
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Momentos y sus caractersticas
El momento de una fuerza respecto a un
punto o respecto a un eje es una medida de
la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor
del punto o del eje.
Ejemplo:
El momento de F respecto de O es una
medida de la fuerza a hacer girar el cuerpo
alrededor del eje AA.
La recta AA es perpendicular al plano que
contiene a la fuerza F y al punto O.
Punto O: Centro del momento.
d: Brazo del momento.
Recta AA: Eje del momento.
-
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El momento tiene mdulo, direccin y sentido y se
suma de acuerdo con la regla de adicin del
paralelogramo.
Magnitud vectorial
Mdulo: Producto del mdulo de la F por la
distancia d medida desde la recta soporte de la
fuerza al eje AA.
Sentido del momento:
Se indica mediante una flecha curva en torno al
punto.
Por definicin:
Rotacin anti horaria: momento positivo Rotacin horaria: momento negativo
dFMM OO .Unidades: N .
m
-
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- 99 -
PROBLEMA
-
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El momento M de la resultante R de un
sistema de fuerzas respecto a cualquier
eje o punto es igual a la suma vectorial de
los momentos de las distintas fuerzas del
sistema respecto a dicho eje o punto.
Los mdulos de los momentos respecto al
punto O de la resultante R y de las
fuerzas A y B son:
Principio de los momentos, Teorema de Varignon
)cos(
)cos(
)cos(
hBBbM
hAAaM
hRRdM
B
A
R
En la figura se ve que:
Por lo que: coscoscos BAR
BAR MMM
-
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PROBLEMA
Para cada caso,
calcular el momento
respecto al punto O
-
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PROBLEMA
Calcular las reacciones en A y B
-
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Representacin vectorial de un Momento
Vectorialmente, El momento de una fuerza F respecto a
un punto O, ser:
Donde r es el vector de posicin de O a A de la recta
soporte de F. As: MO = r x F = (r F sen ) e
: es el ngulo que forman los dos vectores (r y F)
e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a
los vectores r y F.
(r . sen a) : distancia d del centro del momento O a la recta
soporte de F
MO = r x F
-
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En la figura apreciamos que la distancia d
es independiente de la posicin de A
sobre la recta soporte:
332211 senrsenrsenr
Podemos escribir la ecuacin vectorial del momento como:
MO = r x F = (r F sen a) e = F d e = MO e
La direccin y sentido del vector unitario
e estn determinados por la regla de la
mano derecha (los dedos de la mano
derecha se curvan de manera de llevar
el sentido positivo de r sobre el sentido
positivo de F y el pulgar seala el
sentido de MO
-
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Momento de una fuerza respecto a un punto
r = rA/B = rA - rB = (xA xB) i + (yA yB) j + (zA zB) k
El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar
el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la
fuerza F (A) se puede expresar as:
MO = r x F
La ecuacin vectorial de
clculo del momento de
una fuerza respecto a un
punto:
Es aplicable tanto al caso
bidimensional como al
tridimensional.
-
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Consideremos 1 el momento MO respecto del origen de
coordenadas de una fuerza F contenida en el plano xy:
F = Fx i + Fy j; r = rx i + ry j
MO = r x F =
i j k
rx ry 0
Fx Fy 0
= (rxFy ryFx) k = Mz k
* MO es perpendicular al plano xy (segn eje z)
* MO positivo (sentido antihorario)
* MO negativo (sentido horario)
Caso bidimensional
-
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El momento MO respecto del origen de coordenadas de una fuerza
F con orientacin espacial se determinar as:
F = Fx i + Fy j + Fz k; r = rx i + ry j+ rz k
MO = r x F = =
i j k
rx ry rz Fx Fy Fz
M= Mx i + My j + Mz k = MO e
= (ry Fz rz Fy) i + (rz Fx rx Fz) j + (rx Fy ry Fx) k =
222
zyxO MMMM Donde:
e = i + j + k xcos ycos zcos
Caso tridimensional
-
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O
xxM
Mcos
O
y
yM
Mcos
O
zzM
Mcos
Los cosenos directores asociados al vector unitario e son:
Los momentos obedecen todas las leyes del Algebra vectorial y
puede considerarse que son vectores deslizantes cuyas
rectas soporte coinciden con los ejes de momentos.
-
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El Teorema de Varignon no est limitado a dos fuerzas concurrentes sino
que se puede extender a cualquier sistema de fuerzas.
pero
por tanto
Entonces
Ecuacin que indica que el momento de la resultante de un nmero
cualquiera de fuerzas es igual a la suma de los momentos de las fuerzas
individuales.
RrM O
nFFFR ...21
nnO FrFrFrFFFrM ...... 2121
nRO MMMMM ...21
-
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Momento de una fuerza respecto a un eje
El momento de una fuerza respecto de un punto no tiene significado fsico en
mecnica por que los cuerpos giran en torno a ejes y no alrededor de puntos.
El momento MOB de una fuerza respecto a un eje n se puede obtener:
1 Calculando el momento MO respecto a un punto O del eje.
2 Descomponiendo MO en una componente M paralela al eje n y otra M perpendicular a este:
MOB = M = (MO . en) en = [(r x F) . en] en = MOB en
Donde:
enx, eny y enz son las
componentes
cartesianas (cosenos
directores) del vector
unitario en.
MOB = (r x F). en= enx eny enz rx ry rz Fx Fy Fz
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Pares
Dos fuerzas de igual mdulo, paralelas, no colineales y de
sentidos opuestos forman un par. As, la suma de las dos fuerzas
es nula en cualquier direccin, por lo que un par tender
solamente a hacer girar el cuerpo al que est aplicado.
El momento de un par es la suma de
los momentos de las dos fuerzas que
constituyen el par.
dFM A 2 dFM B 1
FFF 21 FdMM BA
El mdulo del momento de un par
respecto a un punto de su plano es
igual al mdulo de una de las fuerzas
por la distancia que las separa.
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La suma de los momentos de las dos fuerzas respecto a un punto
cualquiera O es:
y como: 2211 FrFrMO 12 FF
11211211 /)()( FrFrrFrFrM BAO
edFesenFrFrMBA
BAO 111 ...//
r A/B vector posicin y e vector
unitario (regla mano derecha).
Por la ecuacin anterior, el
momento de un par no depende de
la situacin de O por lo que el
momento de un par es un vector
libre.
Pares
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Las caractersticas de un par, que rigen su
efecto exterior sobre los cuerpos rgidos, son:
El mdulo del momento del par El sentido del par (sentido de rotacin) La direccin o pendiente del plano del par (definida por la normal al plano n)
Se pueden efectuar diversas
transformaciones del par sin que varen sus
efectos exteriores sobre un cuerpo:
Un par puede trasladarse a una posicin paralela en su plano o a cualquier plano
paralelo.
Un par puede hacerse girar en su plano. El mdulo de las dos fuerzas del par y las distancia que las separa se pueden variar
mientras se mantenga constante el producto
F.d
Pares
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Un nmero cualquiera de pares coplanarios pueden sumarse algebraicamente
para dar un par resultante.
Un sistema de pares en el espacio (como el de la figura) pueden combinarse para
dar un par resultante nico. Como el momento de un par es un vector libre
colocamos cada par en el origen de un sistema de coordenadas,
descomponemos cada par segn sus componentes rectangulares y sumamos las
componentes correspondientes.
eCkCjCiCCCCC zyxzyx
222 zyx CCCC kjie zyx coscoscos
C
C
C
C
C
C
z
z
y
y
x
x
arccos
arccos
arccos
Pares
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Descomposicin de una fuerza en una fuerza y un par
En muchos problemas conviene descomponer una fuerza en una
fuerza paralela y un par (figura).
Recprocamente, una fuerza y un par coplanario con ella se
pueden combinar dando una fuerza nica en el plano en
cuestin. As, el nico efecto exterior de combinar un par con
una fuerza es desplazar a una posicin paralela la recta soporte
de la fuerza.
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Sistemas de fuerzas coplanarias
Su resultante puede determinarse mediante las
componentes rectangulares de las fuerzas en cualquier
pareja conveniente de direcciones perpendiculares.
eRjRiRRRR yxyx
R
F
R
F
jie
FFR
FR
FR
y
y
x
x
yx
yx
yy
xx
cos
cos
coscos
22
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La situacin de la recta soporte de la resultante respecto a un punto
arbitrario O se puede utilizar aplicando el principio de los momentos:
OnnR MdFdFdFdFRd ...332211
Luego: R
Md
O
R
Sentido de dR : (horario o antihorario) segn OM
La situacin de la recta soporte de la resultante respecto a O se
puede especificar tambin determinando la interseccin de la
recta soporte de la fuerza con uno de los ejes de coordenadas.
y
O
RR
Mx
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas
coplanarias puede ser o una fuerza R o un par C.
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Sistemas de fuerzas no coplanarias
Si todas las fuerzas de un sistema tridimensional son paralelas, la
fuerza resultante tiene por mdulo su suma algebraica y la recta
soporte de la resultante se determina mediante el principio de los
momentos:
nnO
n
FrFrFrRrM
kFkRFFFR
...
...
2211
21
La interseccin con el plano xy de
la recta soporte de la fuerza
resultante se localiza as:
R
My
R
Mx
MyFyFyFRy
MxFxFxFRx
x
R
y
R
xnnR
ynnR
;
...
...
2211
2211
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Sistemas de fuerzas cualesquiera
La resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera
(figura 1) se puede determinar descomponiendo cada fuerza del
sistema en una fuerza igual y paralela que pase por un punto dado
(O origen de coordenadas) y un par. (figura 2)
El sistema dado se sustituye por dos sistemas (figura 3) :
Un sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en O con mdulo, direccin y sentido igual a los de las fuerzas del sistema
original.
Un sistema de pares no coplanarios.
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Cada una de las fuerzas y cada uno de los pares de los
dos sistemas se pueden descomponer en componentes
segn los ejes de coordenadas (figuras 1 y 2)
La resultante del sistema de fuerzas concurrentes
es un fuerza R que pasa por el origen y la
resultante del sistema de pares no coplanarios es
un par C.
Casos particulares:
R = 0 C = 0 R = 0 y C = 0 (Sistema en equilibrio)
Por tanto, la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera
puede ser o una fuerza R o un par C o una fuerza ms un par.
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Casos especiales:
Par C perpendicular a la fuerza resultante R
El sistema ser equivalente a una fuerza nica R cuya recta
soporte se halle a una distancia d = C/R del punto O en una
direccin y sentido que haga que el momento de R respecto a O
sea igual al momento de C.
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Par C oblicuo a la fuerza resultante R
El par C se ha descompuesto en dos componentes, una paralela y
otra perpendicular a la fuerza resultante R.
La fuerza resultante R y la componente del par perpendicular a ella
CI, se pueden combinar.
dems, se puede trasladar la componente paralela CII del par
hasta hacerla coincidir con la recta soporte de la fuerza resultante
R. La combinacin del par CII con la fuerza resultante R recibe el
nombre de torsor.
Casos especiales:
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La accin del torsor puede describirse como un empuje (o
traccin) ms una torsin en torno a un eje paralelo al empuje
(o traccin).
Cuando la fuerza y el momento son vectores de igual sentido, el torsor es positivo (hoja anterior).
Cuando la fuerza y el momento son vectores de sentidos opuestos el torsor es negativo (figura siguiente).
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PROBLEMA
Para cada caso, calcular el
momento respecto al punto O
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PROBLEMAS
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PROBLEMAS
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PROB - SOL
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PROBLEMAS
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4TA. SEMANA
Centro de gravedad.
Centro de masa, gravedad y centroides;
teoremas de Pappus y Guldinus.
Centros de gravedad de arcos, reas y
volmenes.
2da prctica calificada
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INTRODUCCIN
En muchos casos, las cargas no estn concentradas
en un punto sino que estn distribuidas a lo largo de
una lnea o sobre una superficie. Son cargas cuya
distribucin puede ser uniforme o no. La fuerza
distribuida est caracterizada por su intensidad y por
su direccin y sentido.
Cuando las zonas a las que se aplican las cargas
son considerables frente al tamao del cuerpo, ya no
es vlida la hiptesis de fuerza concentrada.
Otras fuerzas llamadas msicas, debidas a efectos
gravitatorios, elctricos o magnticos, se distribuyen
por toda la masa del cuerpo (se miden en N/m3).
La fuerza distribuida sobre una superficie ejercida
normalmente a sta se denomina presin y se mide
en N/m2.
La fuerza distribuida sobre una lnea ejercida
normalmente a sta se mide en N/m.
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En el anlisis de muchos problemas de ingeniera aparecen expresiones que
representan momentos de masas, fuerzas, volmenes, superficies o lneas
respecto a ejes o planos. Ejemplo: Momento de una superficie A (contenida en el
plano xy) respecto al eje y.
A
iiy
n
i
iiy dAxModAxM1
La superficie puede considerarse por un gran nmero
de elementos de superficie muy pequeos de rea
dA, siendo el momento del elemento respecto al eje:
Y el momento total de la superficie A respecto del eje
y ser:
iii dAxdM
El momento de una masa, fuerza, volumen, superficie o lnea respecto a un eje o a
un plano puede definirse de manera anloga recibiendo el nombre de primer
momento de la magnitud que se considere. Este puede ser nulo y su signo positivo
o negativo ya que las coordenadas pueden ser positivas o negativas.
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CENTRO DE MASA (CDM)
Punto de un sistema de puntos materiales o de un cuerpo fsico en donde
podra concentrarse toda la masa de manera que el momento de la masa
concentrada respecto a un eje o plano cualquiera fuese igual al momento
respecto a dicho eje o plano de la masa distribuida.
Centro de masa y centro de gravedad
Si consideramos un sistema de n puntos
materiales, las distancias a los planos de
coordenadas del CDM G del sistema de puntos
materiales son:
n
i
ii
n
i
iixy
n
i
ii
n
i
iizx
n
i
ii
n
i
iiyz
zmm
zseaozmzmM
ymm
yseaoymymM
xmm
xseaoxmxmM
11
11
11
1
1
1
Donde:
n
i
imm1
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Las ecuaciones anteriores se resumen en una ecuacin vectorial nica as:
kjikji
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii zmymxmzmymxm111
de donde
n
i
iiii zyxmzyxm1
)()( kjikji
que se reduce a
n
i
ii
n
i
iiO mm
seaomm11
1rrrrM
ya que el vector de posicin del punto i-simo respecto al origen es
kjir iiii zyx
y el vector de posicin del CDM respecto al origen es
kjir zyx
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Si los puntos formasen un cuerpo continuo, las sumas se sustituyen por
integrales extendidas a toda la masa del cuerpo.
dmzm
zseaodmzzmM
dmym
yseaodmyymM
dmxm
xseaodmxxmM
xy
zx
yz
1
1
1Donde:
dmm
Vectorialmente:
Vm
Vm
dVm
dmm
dVdmm
rrr
rrr
11
donde r es el vector de posicin del elemento dm del cuerpo respecto al
origen, es la densidad del elemento y dV es su volumen
-
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CENTRO DE GRAVEDAD (CDG)
El peso de un cuerpo es la resultante de las fuerzas msicas distribuidas que la Tierra
ejerce sobre los puntos materiales que constituyen el cuerpo.
El punto G del cuerpo en el que acta el peso es el CDG del cuerpo.
El mdulo de la fuerza que la Tierra ejerce sobre un punto material dado del cuerpo
depende de la masa de dicho punto y de la distancia a que se encuentre del centro
de la Tierra. En la prctica se supone que todos los puntos del cuerpo experimentan
la misma aceleracin gravitatoria g. Adems, debido al tamao de la Tierra, las
rectas soporte de las fuerzas que se ejercen sobre los distintos puntos materiales
concurren en el centro de la Tierra y se pueden suponer paralelas. Estas dos
hiptesis dan un centro de gravedad que coincide con el CDM ya que:
Si se multiplican por g los dos miembros de las ecuaciones descritas para el clculo
del CDM tendremos:
dWzW
zseaodWzzWM
dWyW
yseaodWyyWM
dWxW
xseaodWxxWM
xy
zx
yz
1
1
1 Donde:
dWW
gmW
-
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Cuando el cuerpo tenga una forma concreta, su CDG podr determinarse
considerando que el cuerpo est constituido por infinitos elementos cada
uno de los cuales tenga un peso dW dado as: dVdW
donde es el peso especfico del material (peso por unidad de volumen) y dV es el volumen del elemento. El peso total del cuerpo ser:
V
dVW
Si se elige un sistema de coordenadas xyz tal que la recta soporte del peso
W sea paralela al eje z, el momento respecto al eje y del peso dW de un
elemento ser )( dVxdWxdM y
Por definicin de CDG: )( VVy dVxdVxWxM
as pues, la coordenada x de un punto de la recta soporte del peso W ser:
V
V
dV
dVxx
)(
y anlogamente:
V
V
V
V
dV
dVzz
dV
dVyy
)(y
)(
-
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PROBLEMA
Para cada caso, calcular el centro
de masa respecto al eje z y punto
O, asuma valores
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Centroides de volmenes, superficies y lneas
CENTROIDES DE VOLUMENES
Cuando sea constante el peso especfico de un cuerpo tendremos que:
Estas coordenadas (centroide) solo dependen de la configuracin geomtrica del cuerpo y son independientes de sus propiedades fsicas.
El centroide de un volumen coincide en posicin con el CDG G del cuerpo si este es homogneo. Cuando el peso especfico vara de unos puntos a
otros, el CDG G del cuerpo y el centroide no tienen por que coincidir.
VVV
dVzV
zdVyV
ydVxV
x111
Ejemplo: En el caso de la figura, como el
peso especfico de la parte inferior del
cono es mayor que el de la parte superior,
el CDG, que depende del peso de las dos
partes, se hallar por debajo del centroide
C que solo depende del volumen de
dichas partes.
-
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CENTROIDES DE SUPERFICIES
El CDG G de una placa delgada, homognea, de espesor t uniforme y
superficie de rea A, se puede determinar considerando un elemento
infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un elemento
infinitesimal de superficie dA de la placa en la forma siguiente: dV = t dA.
As pues, en el caso de una placa delgada tendramos:
AAA
dAzA
zdAyA
ydAxA
x111
CENTROIDES DE LINEAS
El CDG G de un alambre curvo, homogneo, de pequea seccin recta de
rea A y de longitud L, se puede determinar considerando un elemento
infinitesimal de volumen dV que se puede expresar en funcin de un
elemento infinitesimal de longitud en la forma: dV = A dL.
As pues, para una varilla o alambre finos tendramos:
LLL
dLzL
zdLyL
ydLxL
x111
-
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Centroides de cuerpos compuestos
Si puede dividirse una lnea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos
centroides tengas posiciones conocidas, se podr determinar sin integracin el
momento de la lnea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los
primeros momentos (producto de la longitud, rea o volumen por la distancia del
centroide al eje o plano) de las partes en que se haya dividido la lnea, superficie o
volumen.
Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por la superficies A1, A2, , An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son tendremos: nxxx ...,,, 21
n
i
iix
n
i
iix
n
i
ii
yn
i
iiy
nnny
yAAA
MyyAyAM
xAAA
MxxAxAM
xAxAxAxAAAM
11
11
221121
1seao
teanlogamen
1seao
...)...(Si se considera un agujero
como parte integrante de un
cuerpo compuesto, su rea
se considerar magnitud
negativa.
Se pueden desarrollar
ecuaciones anlogas para L,
V, m y W.
-
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- 144 -
Centroides en algunas lneas y superficies
-
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- 145 -
Centroides en lneas y superficies
-
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Centroides de algunos volmenes
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Centroides de algunos volmenes
-
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Metalrgica
Calcular el centro de masa del
alambre de seccin transversal
constante con respecto a cada
eje
PROBLEMA
-
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PROBLEMA
Calcular el centro de masa de la superficie
sombreada, respecto al eje x e y
-
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Teoremas de Pappus y Guldin
Teorema 1: El rea de la superficie de
revolucin generada al girar una curva
plana de longitud L alrededor de un
eje coplanario con ella y que no la
corte es igual al producto de la
longitud de la curva por la longitud del
camino que recorre su centroide.
Teorema 2: El volumen V del slido
de revolucin generado al hacer
girar una superficie plana de rea A
alrededor de un eje coplanario que
no la corte es igual al producto del
rea de dicha superficie por la
longitud del camino que recorre el
centroide de la superficie.
-
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Problema: calcular el centro de gravedad
-
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5TA. SEMANA
Momentos de inercia plano y de masas.
Momentos de inercia, productos de
inercia, momento polar de inercias; radios
de giro. Teorema de ejes paralelos
teorema de Steiner. Teorema de ejes
rotados. Ejes y momentos principales de
inercia.
Seminario
-
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Introduccin
En el anlisis de esfuerzos y deformaciones de vigas y rboles (ejes que
trabajan a torsin) se encuentran frecuentemente expresiones de la forma
A
dAx2
Donde dA es un elemento de superficie, y x la distancia de este elemento a un
cierto eje contenido en el plano de la superficie o perpendicular a l.
Son siempre positivos y sus dimensiones sern L4 (unidades: mm4 o cm4).
En el anlisis del movimiento de rotacin de un cuerpo rgido, aparecen
expresiones de la forma
segundo momento de la superficie
m
dmr 2
Donde dm representa un elemento de masa y r la distancia de este elemento a
un eje. Son siempre positivos y sus dimensiones sern ML2 (unidades: kg.m2).
Momento de inercia (de masa)
-
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Segundo momento de una superficie plana
El segundo momento de una superficie respecto a un eje (indicado con
subndices) se representar por el smbolo I cuando el eje est en el plano de
la superficie y por J cuando el eje sea perpendicular a ella.
Los segundos momentos rectangulares de
la superficie A respecto a los ejes x e y del
plano de la superficie son:
dAxIedAyIA
y
A
x 22
Anlogamente, el segundo momento polar
de la superficie A respecto al eje z, que es
perpendicular al plano de la superficie en el
origen O del sistema de coordenadas xy, es
yxAAAA
z IIdAydAxdAyxdArJ 22222
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Teorema de Steiner para segundos momentos de superficie
Cuando se haya determinado el segundo momento de una superficie respecto
a un eje dado, se podr obtener el correspondiente a un eje paralelo a ste
aplicando el Teorema de Steiner. Demostracin:
Si uno de los ejes pasa por el Centroide de la
superficie, el segundo momento de superficie
respecto a un eje x paralelo a l es
AAAA
x dAydAyydAydAyyI2
22
2
el segundo trmino es nulo ya que se trata del
momento primero de superficie respecto al eje x
que pasa por el centroide de la superficie:
AyII xCx2
donde IxC es el segundo momento de la superficie
respecto al eje x que pasa por el centroide; y es la
separacin de los ejes x y x.
-
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Por tanto, el Teorema de Steiner dice que:
El segundo momento de una superficie respecto a un eje cualquiera
contenido en el plano de la superficie es igual al segundo momento de
la superficie respecto a un eje paralelo que pase por el Centroide de la
superficie ms el producto del rea de sta por el cuadrado de la
separacin de los ejes.
Este teorema solo es vlido para pasar de un eje a uno paralelo centroidal,
o al revs, para pasar de un eje centroidal a otro paralelo a l.
anlogamente, se puede demostrar que
AdJAyxJJ zCzCz 222
donde JzC es el segundo momento polar de la superficie respecto al eje z
que pasa por el centroide y d es la distancia que separa los ejes z y z.
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Radio de giro de una superficie
El segundo momento de una superficie (al tener las dimensiones de la cuarta
potencia de una longitud) se podr expresar como producto del rea A de la
superficie por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. As pues,
A
Jk
A
Ik
A
Ik
kAdArJkAdAxIkAdAyI
zz
y
yx
x
A
zz
A
yy
A
xx
222222
Y como 222
yxzyxz kkkIIJ
Al igual que cuando vimos el Teorema de Steiner para momentos segundos de
superficie, existir una relacin correspondiente entre los radios de giro de la
superficie respecto a dos ejes paralelos, uno de los cuales pase por el
centroide de la superficie.
222222222222 dkyxkkxkkykk zCzCzyCyxCx
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Segundos momentos de superficies compuestas
Frecuentemente, en la prctica, la superficie A es irregular pero se puede
descomponer en superficies sencillas A1, A2, A3, , An para las cuales las integrales ya estn calculadas y tabuladas.
As, el segundo momento de la superficie compuesta, respecto a un eje es
igual a la suma de los momentos segundos respecto a dicho eje de las
distintas partes.
Los momentos segundos de una superficie respecto a cualquier sistema de
ejes de coordenadas x, y, z se han definido en la forma:
dArJdAxIdAyIA
z
A
y
A
x 222
n
n
xxx
AAAA
x IIIdAydAydAydAyI ...... 2121
2222
Cuando se quite una superficie (agujero) de una superficie mayor, su
segundo momento deber restarse del segundo momento de dicha
superficie mayor para obtener el segundo momento resultante.
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Segundos momentos de superficies planas
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Segundos momentos de superficies planas
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Propiedades de algunas formas de perfiles (Steel Construction)
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Problema, calcular el segundo momento
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Problema, calcular el segundo momento
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Segundos momentos mixtos de superficies
El segundo momento mixto (producto de inercia de
superficie) dIxy del elemento de superficie dA respecto a
los ejes x e y es:
dAyxdI xy
As el segundo momento mixto (producto de
inercia de superficie) de la superficie total A
respecto a los ejes x e y ser:
A
xy dAyxI
Como el producto xy puede ser positivo o negativo, el
segundo momento mixto podr ser positivo, negativo o
nulo.
De hecho, el segundo momento mixto de una superficie
respecto a dos ejes ortogonales cualesquiera ser nulo
cuando uno de dichos ejes sea eje de simetra.
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El Teorema de Steiner para momentos
segundos mixtos se deducen a partir de
la figura en donde los ejes x e y pasan
por el centroide C de la superficie y son
paralelos, respectivamente a los ejes x e y. As,
AAAA
AA
yx
dAyxdAxydAyxdAyx
dAyyxxdAyxI
Las integrales segunda y tercera son nulas por ser centroidales los
ejes x e y.
En consecuencia, el segundo momento mixto respecto a un par de
ejes paralelos a dos ejes centroidales ortogonales es
AyxII xyCyx
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Segundos momentos mixtos de superficies planas
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Segundos momentos mixtos de superficies planas
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El segundo momento de la superficie A de la figura
respecto al eje x que pasa por O variar con el ngulo . Los ejes x e y utilizados para obtener el segundo
momento polar Jz respecto a un eje z que pase por
O eran dos ejes ortogonales cualesquiera del
plano de la superficie que pasaran por O; por
tanto,
yxyxz IIIIJ
Donde xe yson dos ejes ortogonales cualesquiera que pasen por O. Como la suma de Ix e Iy es constante, Ix ser mximo y el correspondiente Iy mnimo
para un valor particular de . El sistema de ejes para el cual los momentos segundos son mximo y mnimo
se denominan ejes principales de la superficie en el punto O y se les designa
por eje u y eje v (estos ejes son importantes en Resistencia de materiales al
estudiar vigas y columnas). As los momentos segundos principales as
obtenidos respecto a estos ejes se designan por Iu e Iv.
Segundos momentos principales
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6TA. SEMANA
Momentos de inercia plano y de masas.
Crculo de Mohr. Momento de inercia de
masas.
3ra practica calificada
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CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
y s e nxu c o s
x s e nyv c o s
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De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:
Anlogamente, obtenemos:
Finalmente, deducimos:
y s e nxu c o s
CIRCULO DE MOHR- SEGUNDO MOMENTO
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dAxsenydAvu22 )co s(
dAxsenxydAsendAyu2222 co s2co s
22 c o s2c o s s e ns e nP yx yxu
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vuyxz IIIIJ
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Facultad de Ingeniera
Geolgica, Minera y
Metalrgica
De la figura, relacionamos los ejes para un elemento dA:
22cos22
senPxyyxyx
u
22cos22
senPxyyxyx
v
2cos22
xy
yx
uv PsenP
2222 )2
()2
( xyyx
uv
yx
u PP
2
yx
med
))
2(( 22 xy
yxPR
Rm ed m ax
Rm ed m in
))2
((2
22
minmax, xy
yxyxP
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))2
((2
22
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Mtodo para graficar el crculo de Mohr
A continuacin describiremos un procedimiento para graficar el crculo de
Mohr para un elemento diferencial.
Su tomarn la siguiente convenciones:
Los segundos momentos se representarn en la abscisa y los productos de inercia en la ordenada.
Los segundos momentos (positivos) se ubicarn en la parte derecha de la abscisa.
Los productos de inercia se tomarn como positivos si en su plano de accin hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del
reloj y se ubicarn en la parte superior de las ordenadas.
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Los pasos a seguir son:
1. Graficar los puntos (Ix, Pxy) y (Iy,
Pyx), que indican los esfuerzos que
actan sobre los planos x e y
respectivamente.
2. Trazar una lnea que una los puntos
(Ix, Pxy) y (Iy, Pyx) y definir la
direccin x, como se muestra.
Observe que la lnea trazada corta
el eje de las abscisas en el valor
Imed.
3. Con centro en el punto (Imed, 0),
trazar una circunferencia que pase
por los puntos (Ix, Pxy) y (Iy, Pyx).
Nota: Si Pxy hace girar al elemento en
sentido antihorario es positivo y
negativo en sentido contrario.
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