Il corpo rigido

N particelle interagenti

a)  U → ∞ (corpo rigido)

b)  U = O (gas ideale)

c)  U armonica (corpo elastico)

N ~ NA = 6 × 1023

ETOT = K + U

U energia di interazione 3 approssimazioni per U

corpo rigido: (r1-r2) costante, per tutte

le coppie di punti

corpo elastico: legame tipo “molla”

gas ideale: interazioni

nulle

Possibili moti di un corpo rigido

moto di traslazione

moto di roto-traslazione

moto di rotazione

Moto di traslazione

moto di traslazione:

tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocità,

descrivibile da un solo vettore, la velocità del CM

equazione del moto di traslazione = equazione del moto del CM:

∑ Fexti = Rext = M aCM

equazione del moto di traslazione

Rext = dP/dt

con P = ∑ pi = ∑ mi vi = M vCM

Il corpo rigido si muove come un punto, il CM, in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne

Moto di rotazione

moto di rotazione:

ogni punto, eccetto quelli dell’asse di rotazione, descrive

una circonferenza

asse di rotazione

L e τ di un corpo rigido

massa del corpo rigido:

M = ∑ mi

(somma su tutti i punti del corpo)

momento angolare del corpo rigido:

L = ∑ li = ∑ ri x pi

somma su tutti i punti del corpo

momento risultante delle forze:

τ = ∑ τi = ∑ ri x Fi

somma su tutte le forze esterne

Relazione tra L e τ

τ = dl/dt (punto)

Se sommiamo su tutte le particelle (punti) del corpo rigido

τext = dL/dt (corpo rigido)

Con

L = ∑ li e

τext = ∑ τi

il momento angolare si conserva

se il momento delle forze esterne

applicate al corpo rigido è nullo

τext = dL/dt per le rotazioni

analogo a

Rext = dP/dt per le traslazioni

I momenti delle forze interne si annullano perché le forze interne sono tutte coppie di forze (principio di azione e reazione) agenti lungo la congiungente tra le 2 particelle considerate, quindi:

= b F = 0 F = 0

braccio b: distanza tra le rette d’azione delle due forze

coppiaτ

Le equazioni cardinali del moto di un corpo rigido

risolvendole si ricavano le funzioni P(t) e L(t)

che definiscono i moti di traslazione e di rotazione del corpo rigido

Prima equazione cardinale

Moto di traslazione

Rext = dP/dt

Seconda equazione cardinale

Moto di rotazione τext = dL/dt

Equilibrio di un corpo rigido

Equazioni del moto

Rext = dP/dt τext = dL/dt

Un corpo rigido è in equilibrio se

ogni suo punto è in quiete e rimane in quiete.

Le condizioni di equilibrio si ottengono dalle equazioni cardinali

Condizioni di equilibrio

Rext = 0 τext = 0

Equilibrio di una tavola

condizioni di equilibrio

Rext = 0 → asse verticale: FP + FQ = Ft

τext = 0 → asse passante per P: 2,4 FQ =1,8 Ft

due equazioni con due incognite: FQ, FP

tavola omogenea del peso di 48N e lunga 3,6 m i vincoli FP e FQ, e la forza peso Ft (posta nel centro di massa) sono tutti lungo l’asse verticale

soluzione

FQ = 36 N

FP = 12 N

Equilibrio di una scala

condizioni di equilibrio

Rext = 0 → asse orizzontale: FaP = FNM

Rext = 0 → asse verticale: FNP = Ft

τext = 0 → asse passante per P: H FNM= L/2 Ft

tre equazioni con tre incognite: FNM, FaP, FNP

si chiede il valore minimo (per l’equilibrio della scala) del coefficiente di attrito statico tra scala e pavimento, con FaP≤μSFNP

soluzione

FNM = L/H Ft/2

FaP = L/H Ft/2

FNP = Ft

→ μS ≥½ L/H

mentre l’attrito statico tra scala e pavimento è indispensabile per l ’ equi l ibr io ( senza la sca la scivolerebbe), quello tra scala e muro non lo è e può essere trascurato

P

Il centro di gravità

Ft: la forza peso di un corpo

Ft = ∑ mi g = M g (M= ∑ mi )

indipendente dal punto di

applicazione delle forze Fi = mi g

il punto di applicazione delle forze è importante nel calcolo dei momenti delle forze.

Calcolo il momento totale dovuto alla gravità, che è diretto lungo z:

τz = ∑ - xi mi g

(il segno per il verso della rotazione)

Centro di gravità (cg): il punto in cui applicare la risultante Mg ottenendo lo stesso momento ottenuto dalle Fi=mig:

- xcgMg = ∑ - xi mi g →

xcg = ∑ xi mi/M = xCM

il centro di gravità coincide con il centro di massa.

Equilibrio del corpo rigido

condizioni di equilibrio

Rext = 0 τext = 0

Se un corpo è vincolato in un punto (es. corpi sospesi o appoggiati su superfici) distinguiamo 3 configurazioni di equilibrio

equil. indifferente

G=

equilibrio stabile

G

equilibrio instabile

G

Una configurazione di equilibrio stabile prevede che il baricentro si trovi nella posizione più bassa possibile

Equilibrio del corpo rigido (appoggiato)

equil. indifferente equilibrio stabile equilibrio instabile

Un corpo vincolato attraverso un’ appoggio su una superficie è in equilibrio stabile fino a che la verticale tracciata a partire dal baricentro cade all’interno della base di appoggio.

Determinazione sperimentale del cg

il baricentro si trova sempre sulla verticale passante per il punto di sospensione. Se così non fosse, il momento della forza peso rispetto al punto di sostegno non sarebbe nullo: l’oggetto ruoterebbe fino a raggiungere, in una posizione diversa, una nuova configurazione di equilibrio.

Le leve

Fulcro = centro di rotazione

FA : forza attiva con momento τA rispetto al fulcro FR: forza resistente con momento τR rispetto al fulcro

•  momenti τA e τR opposti

•  equilibrio leva: |τA|=|τR|

•  se forze ⊥ asta → bA FA = bR FR

bA e bR sono i rispettivi bracci

se bA > bR → la forza da applicare è minore di quella resistente