GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton

NhÞ thøc newton vµ øng dông

I - NhÞ thøc newton

1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton:

Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d¬ng ta cã:

(a + b)n = con an + c1

n an – 1 b + c2n c1

n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cn

nbn

2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn:

+ Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cña nhÞ thøc ë vÕ tr¸i.

+ Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n.

+ C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn lît lµ:

C0n; C1

n; C2n; … Cn-1

n; Cnn;

Víi chó ý: Ckn = Cn

n–k 0 < k < n.

3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt:

+ D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®îc

(1 + x)n = C0n + C1

n x + C2n x2 + …+ Cn-1

n xn-1 + Cnn xn

+ D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®îc (2)

(1 - x)n = C0n - C2

n x+ C2nx2 + …(-1) kCk

n xk + …+ (-1)n Cnn xn (3)

4 - Mét sè hÖ thøc gi÷a c¸c hÖ sè nhÞ thøc

+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc

C0n + C1

n x + C2n + …+ Cn

n = 2n

+ Thay x = -1 vµo (3) ta ®îc:

C0n - C1

n x + C2n - …+ (-1)n Cn

n = 0

A - ¸p dông

I. ViÕt khai triÓn vµ tÝnh cña c¸c biÓu thøc sö dông khai triÓn ®ã:

Bµi 1: Thùc hiÖn khai triÓn:

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang1

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (3x – 4)5

CT: Ta cã (3x – 4)5

= 35. C05 . x5 + 4.34 C1

5 x4 + … + 45 C55

Trong khai triÓn ®ã

+ Cã 6 sè h¹ng.

+ C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng nhau

+ Ta cã c¸c hÖ sè cña 3 hÖ sè ®Çu cña c«ng thøc khai triÓn ®ã lµ c¸c hÖ sè

C05 = 1 C1

5 = 5 C25 = 10

VËy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024

Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:

a: S1 = C06 + C1

6 + C26 + … + C6

6

b: S2 = C05 + 2C1

5 + 22 C25 + … +25 C5

5

c: S3 = 317. C017 – 41. 316. C1

17 + 42. 315. C217 – 43.314. C3

7 + …-417.C17

17

d: S4 = C611 + C7

11 + C811 + C9

11 + C1011 + C11

11

e:

Gi¶i:a ta cã

S1 = C06 + C1

6 + C26 + … + C6

6 = (1 + 1)6 = 26 = 64

b:Ta cã (1 + x)5 (1)

Thay x = 2 vµo (1) ta ®îc:

S2 = C05 + 2C1

5 + 22. C25 + … +25 C5

5 = 35 = 243

c:Ta cã:

S3 = 317. C017 – 41. 316. C1

17 + 42. 315. C217 – 43.314. C3

7 + …-417.C17

17

= C017.317+ C117.316(-4)1 + C2

17 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+

C1717

(-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1

d: Ta cã (1 + 1)11 = C011 + C1

11 + C211 + … + C6

11 + C211 +…+ C11

11

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang2

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton MÆt kh¸c Ck

11 = C1111-k víi k (0,1,2,…11)

Do vËy: (1 + 1)11 = 2 (C611 + C7

11 + C811 + C9

11 + C1011 + C11

11) = 2S4

→S4 = 210

e: Ta cã

Tõ ®ã: S5 = 2002 (

Bµi 3: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho:

Con + 2 C1

n + 4 C2n + … + 2n Cn

n = 243 (1)

Gi¶i: Ta cã

Con + 2 C1

n + 2 C2n + … + 2n Cn

n = (1 + 2)n = 3n

VËy (1) 3n = 243 = 35 n = 5

Bµi tËp t¬ng tù

Bµi 4: ViÕt khai triÓn (3x – 1)16 vµ chøng minh r»ng

316. Co16 – 315 C1

16 + … + C1616 = 216.

Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:

a: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2

n + 2n-4 C4n + … + Cn

n

b: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3

n + 2n-5 C5n + … +Cn

n

c: S3 = C610 C7

10 + C810 + C9

10 + C1010

Bµi 6: TÝnh tæng

S =

II. T×m hÖ sè (t×m sè h¹ng) trong khai triÓn

Ph¬ng ph¸p: Víi c¸c yªu cÇu vÒ hÖ sè trong khai triÓn NEWTON, ta cÇn lu ý:

1 – Ta cã: (a + b)n =

Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng thø i lµ Cin, vµ sè h¹ng thø i: Ci

n an-i bi

2 – Ta cã

Do ®ã: HÖ sè xk trong khai triÓn trªn lµ Cin víi i lµ nghiÖm cña ph-

¬ng tr×nh ( n – i) + i = k

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang3

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton §Æc biÖt khi k = 0 ®ã chÝnh lµ sè h¹ng kh«ng phô thuéc x.

VÝ dô 1: Cho biÕt hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 cña kiÕn thøc nhÞ thøc.

Tõ ®ã, hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 , cña khai triÓn nhÞ thøc lµ:

VËy thø h¹ng thø 7 ®îc cho bëi

VÝ dô 2: Trong khai triÓn nhÞ thøc h·y t×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo x biÕt.

Cnn + Cn-1

n + Cn-2n = 79

Gi¶i: + XÐt PT: Cnn + Cn-1

n + Cn-2n = 79 (1)

Ta cã PT (1)

(do n N)

Khi ®ã:

Sè h¹ng thø k + 1 kh«ng phô thuéc x trong khai triÓn.

T/m

VËy hÖ sè kh«ng phô thuéc x b»ng C512

VÝ dô 3: Cho biÕt ba sè h¹ng ®Çu tiªn cña KT

Cã c¸c hÖ sè h¹ng liªn tiÕp cña mét cÊp sè céng. T×m tÊt c¶ c¸c h¹ng tö h÷u tû cña khai triÓn ®ã ®· cho.

Gi¶i: Ta cã:

Ta cã ba hµng tö ®Çu tiªn cña khai triÓn cã c¸c hÖ sè lµ:

c0n; c1

n 2-1; c2n 2-2;

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang4

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Ba hÖ sè liªn tiÕp theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng

C0n + C2

n 2-2 = 2C1n 2-1

a) Víi n = 1 ta ®îc kh«ng cã h¹ng tö h÷u tû

b) n = 8 ta ®îc:

Sè h¹ng thø k + 1 lµ hÖ sè h÷u tû ( 16 – 3k)/4 N, 0 < k < 8

Víi k = 0 h¹ng tö h÷u tû: Co8 20 x4 = x4

k = 4 h¹ng tö h÷u tû: C48 2-4

VÝ dô 4: T×m hÖ sè lín nhÊt trong khai triÓn (1 + x)n

CT: Ta cã (1 + x)n =

- C¸c hÖ sè trong khai triÓn lµ:

Con; C1

n…; Cnn.

Ta cã n, k nguyªn, kh«ng ©m vµ k < n ta cã:

&

Ta cã:

Tøc lµ: Ckn t¨ng khi k t¨ng vµ

Ckn gi¶m khi k gi¶m vµ

VËy n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i

Víi n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = n/2

VÝ dô 5: T×m hÖ sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn (a + b)n

biÕt r»ng tæng c¸c hÖ sè b»ng 4096

CT : Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n b»ng:

Con + C1

n + C2n + … + Cn

n = 2n = 4096 n = 12

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang5

16 – 3k = 4i; i

N

0 < k < 8

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Ta ®i t×m gi¸ trÞ lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ:

Co12; C1

12; …, C1212

Thùc hiÖn so s¸nh Ck12 vµ C12 k-1 b»ng c¸ch xÐt;

(1)

Tõ (1) suy ra

VËy Ck12 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ C6

n = 924

VÝ dô 6: T×m sè h¹ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn.

Gi¶i: Ta cã gäi tk lµ sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn.

Ta cã =

XÐt (1)

Tõ (1) suy ra:

tk – 1 < tk

tk – 1 > tk

Tøc lµ: Khi k ch¹y tõ 0 dÕn 8 th×:

tk t¨ng khi k t¨ng vµ k < 6

tk gi¶m khi k t¨ng vµ k > 6

VËy tk ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ cã gi¸ trÞ b»ng

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang6

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton

VÝ dô 7: Khai triÓn ®a thøc . Px = ( 1 + 2x)12

Thµnh d¹ng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a20x10

Max (a1 a2 … a12)

Gi¶i: Ta cã (1 + 2x)12 =

Suy ra : ak = Ck12 2k víi k = 1,12

XÐt (1)

Tõ (1), suy ra:

ak + 1 < ak

ak + 1 > ak

VËy ak ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 8 vµ cã gi¸ trÞ b»ng C812. 88 =

126720

VD 8: T×m n cña k khai triÓn biÕt h¹ng tö thø 9 cã hÖ sè lín nhÊt

Gi¶i: Ta cã

V× kh«ng thay ®æi nªn h/s trong khai triÓn thay ®æi phô

thuéc vµo (x+2)n. XÐt khai triÓn (x+2)n =

H¹ng tö thø 9 cã h.s lµ C8n 28 lín nhÊt trong c¸c hÖ sè

VD9: Cho khai triÓn

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang7

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 1 – BiÕt tæng hai hÖ sè ®Çu vµ hai lÇn hÖ sè cña sè h¹ng thø 3

trong khai triÓn b»ng . T×m hÖ sè lín nhÊt trong c¸c hÖ sè khi

khai triÓn nhÞ thøc trªn.

2 – BiÕt h¹ng tö thø 11 cã hÖ sè lín nhÊt. T×m n.

Gi¶i: Ta cã

Theo gt

(tho¶ m·n) hoÆc n = -26,75 (l)

VËy n = 7 ta cã khai triÓn :

HST9:

LËp tØ sè:

Do ®ã (ak) t¨ng khi 0 < k < 15 => (ak) max = a15

Do ®ã (ak) gi¶m khi 16 < k < 27 => (ak) max = a16

Mµ

Nªn (ak) max = a15 = C2723. 3-15.

2) KÕt qu¶: n 17, 18, 19 lµm t¬ng tù VD8

VD10: T×m c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn trong khi khai triÓn.

Gi¶i: ta cã

§Ó h¹ng tö lµ sè nguyªn th×

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang8

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton

VËy c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn lµ C319 38 2; C9

19 35 23; C1519 32 25

VD11: BiÕt r»ng trong khai triÓn (x - )n = C0n x4 – C1

n xn-1 + C2n xn-2

HÖ sè cña h¹ng tö thø ba - …(1)n Cnn ( )n

Trong KT trªn lµ : C2n = 5

n2 – n – 90 = 0 n = 10 hoÆc n = -9 (lo¹i)

Khi n = 10 th× khai triÓn (x - )10 sÏ cã 11 sè h¹ng.

Do ®ã sè h¹ng chÝnh gi÷a lµ sè h¹ng thø 6 ®ã lµ:

III – TÝnh c¸c tæng Ckn vµ cm®t chøa Ck

n

Bµi 1: Víi n sè nguyªn d¬ng CMR

a) C1n + 2 C2

n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cn

n = n. 2n-1

b) 2.1 C2n + 3.2 C3

n + … + n (n – 1) Cnn = n (n – 1) 2n-2

CM: Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã;

(1 + x)n = C0n + C1

n x+ C2n x2 + … + Cn-1

n xn-1 + Cnn xn (1)

LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ta ®îc.

n(1 + x)n-1 = C1n + 2C2

n x + … + (n - 1) Cn-1n. xn-2 + n Cn

n xn-1 (2)

a) thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.

n. 2n-1 = C1n + 2 C2

n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cn

n (§PCM)

b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x

Ta ®îc:

n(n –1) (1 + x)n-2 = 2.1 C2n + 3 . 2 C2

n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n

xn-3 + n (n – 1) Cnn xn-2 (3)

Thay x = 1 vµ (3) ta ®îc.

n(n –1) 2n-2 = 2.1 C2n + 3 . 2 C2

n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n +

+ n(n-1) Cnn (§PCM).

* Chó ý:

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang9

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (1) NÕu ph¶i tÝnh tæng cã d¹ng:

S1 = C1n + 2C2

n + 3 C3n + … + (n-1) Cn-1

n n-2 + n Cnn n-2

+ XÐt khai triÓn (1 + x)n = (1)

+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc:

n(1 + x)n-1 = (2)

+ Thay x = vµo (2) kÕt qu¶.

+ NÕu ph¶i tÝnh tæng d¹ng.

S1 = 2. 1C2n + 3.2C3

n + … + (n-1) (n-2) Cnn-1 n-3 + n (n-1)(n –

2)Cnn-1 n-3 + n(n-1) Cn

n n-2

Ph¬ng ph¸p:

+ XÐt khai triÓn (1)

+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc (2)

+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x ®îc

n(n-1) (1+x)n-2 = (3)

Thay x = vµo (3) kÕt qu¶

Ch¼ng h¹n tÝnh tæng:

C1n + 22 C2

n 1 + 3 C3n22 + … + (n-1) Cn

n-1 cn-2 + n Cnn 2n-1

= n(1+ 2) n-2 = n3n-2.

VD2: CM c¸c ®¼ng thøc sau:

C1n3n-1 + 2 C2

n. 3n-2 + … + (n-1) Cnn-1 3 + n Cn

n = n 4n-1 (1)

Híng dÉn:

C1: §Ó ý: k. Ckn 3n-l = k Ck

n. 3-k+1. 3n-1 = k 3n-1 Ckn

Tõ ®ã (1) C1n 3n-1 + 2 C2

n 3n-1 + … + (n – 1) Cnn-1 n – 2

+ 3n-1 n Cnn n-1 = n. 4n-2

C1n + 2 C2

n + … + ( n – 1) Cnn-1 ( )n-2 + n Cn

n k-1

= n ( )n-1 = n (1 + )n-1

Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm

C¸ch 2:

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang10

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton §Ó ý : n. 4n-1 = n (3+ 1)n-1

XÐt khai triÓn (1)

+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc.

(2)

+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.

n(3 + 1)n-1 = C1n 3n-1 + 2 C2

n 3n-2 + … + n Cnn 3n-1

®iÒu ph¶i chøng minh

* Chó ý: TÝnh tæng cã d¹ng.

S3 = C1n n - 1 + Cn

2 n-2 +… + (n-1) Cnn-2 + n Cn

n

C¸ch 1: + XÐt khai triÓn ( + x)n (1)

+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x

Ta ®îc n( + x)n-1 (2)

Trong (2) thay x = 1 vµo ta ®îc kÕt qu¶

VD3: CMR

2n-1 C1n + 2n-1 C2

n + 3.2n-3 C3n + 4. 2n-4 C4

n + … + n Cnn = n. 3n-1

(lµm t¬ng tù VD2 víi =

VD4: 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc sau:

Con + 2 C1

n + 3 C2n + … + (n + 1) Cn

n = (n + 2) 2n-1

2) TÝnh tæng : S = 2 . 1 C1n + 3. 2 C2

n + … + n (n – 1) Cnn-1 + (n +

1) n Cnn.

Gi¶i:

a) C¸ch 1:

XÐt khai triÓn: (1 + x)n = Con + C1

n + C2n x2 … + Cn

n-1 xn-1 + Cnn cn

f(x) = x (1 + x)n = Con x + C1

nx2 + C2n x3 + … + Cn

n-1- xn +Cnn xn+1

(1)

LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc.

(1 + x)n + xn (1 + x)n-1 = C0nx + C1

nx2 + C2nx3 +…+n Cn

n-1 xn-1 +

+ n(n+1) Cnn xn (2)

Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang11

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 2C1

n + 3 . 2 C2n + … + n(n-1) Cn

n-1 + (n + 1) n Cnn = (2 + n) 2n-1

®pcm.

b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc.

n(1+x)n-1 + n (1+ x)n-1 + n. x (n –1) (1 + x)n-2

= 2 C1n + 3.2 C2

n x + … + n (n-1) Cnn-1 cn-2 (n+1) n Cn

n xn-1 (3)

Thay x = 1 vµo (3) ta ®îc.

S = 2 C1n + 3. 2 C2

n + … + n (n-1) Cnn-1 + (n+ 1) n Cn

n

= 2n . 2n-1 + n (n-1) 2n-2 = n. 2 n-2. (n + 1)

Chó ý: TÝnh tæng:

(1)S4 = Con + 2 C1

n + 3 C2n2 + … + n Cn

n-1 n-1 + (n+1) Cnn n.

Ph¬ng ph¸p:

-XÐt khai triÓn:

(1 + x)n (1)

+ Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x ta ®îc.

x (1 + x)n (2)

LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo biÕn x ta ®îc

(1 + x)n + nx (1 + x)n-1 (3)

Thay x = vµo (3) kÕt qu¶ tæng S4.

(2)S5 = 2. 1 C1n + 3. 2 C2

n + … + n (n – 1) Cnn-1 n-2 + (n + 1) n

Cnn n-1

Ph¬ng ph¸p: LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (3) sau ®ã thay x = => kÕt qu¶.

VD5: TÝnh tæng.

S1 = 2 C1n + 3. 22 C2

n + 4.3 C2n 22 +…+ n (n-1) Cn

n-1 2n-2 +

+ (n+1) n Cnn 2n-1

S2 = 12 C1n + 22 C2

n + 33 C3n 42 C4

n +…+ p2 Cpn + …+ n2 Cn

n

HD : §Ó ý p2Cpn = p.p Cp

n = p [(p+1) –1] Cpn

= p(p+1) Cpn – p Cp

n.

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang12

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton S2 = [2 C1

n + 3. 2 C2n + … + p (p+1) Cp

n + … + (n + 1) n Cnn]

- [ C1n + c2

n + … + pCpn + … + n Cn

n ]

Gi¶i: XÐt f(x) = (1 + x)n = Con + C1

nx + C2n x2 + C3

n x3 + … + Cnn xn

Vµ g(x) = x (1 + x)n = Conx + C1

x x2 + C2n x3 + C3

n x4 + … + Cnn xn+1

Ta cã f(x) = n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2

nx + 3 C3n x2 + … + n Cn

n xn-1.

f(1) = n. 2n-1 = C1n + 2 C2

n + 3 C3n + … + n Cn

n (1)

g’(x) = (1+ x)n + nx (1 + x)n-1 = Con + 2 C1

nx + x C2n x2 + 4 C3

n x3

+ … + (p + 1) Cpn xp + … + (n-1) Cn

n xn.

g’’(x) = 2n (1 + x)n-1 + n (n – 1) x (1 + x) n-2

= 2 C1n + 3 . 2 C2

n + 4 . 3 C3n x2 + … + (p + 1) p Cp

n xp-1

+ … + (n + 1) n Cnn xn-2

g’’ (1) = 2n. 2n-1 + n (n-1) 2n-2.

= 2 C1n+ 3. 2 C2

n + 4. 3 C3n + … + (= + 1) p Cp

n + … + (n + 1) n Cn

n.

LÊy (2) – (1) S2 = 2n. 2n-1 + n ( n- 1)n-2 – n. 2n-1

= n. 2n – 2 (3n – 1).

VD6: Víi n nguyªn d¬ng h·y chøng minh.

(1)4n Con – 4n-1 C1

n + 4 n-2 C2n + … + (-1)n Cn

n.

= Con + 2 C1

n + … + n 2n-1 Cnn + … + 2n Cn

n.

(2) C1n + 4 C2

n + … + n.2n-1 Cnn = n. 4n-1 Co

n – (n-1) 4n-2 C1n

+ (n-2) 4n-3 C2n + … + (-1)n-1 Cn

n-1.

Gi¶i (1) víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã.

(4 – x)n = Con + 4n – C1

n 4n-1 x + 4n-2 C2n x2 + … + (-1)n Cn

n xn (1)

Thay x = 1 vµ (1)

3n = Con 4n- C1

n 4n-1 + C2n 4n-2 + … + (-1)n Cn

n (*)

Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:

(1 + x)n = Con + C1

n x + … + Cnn xn (2)

Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc;

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang13

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 3n = Co

n C1n 2 + 22 C2

n + … + 2n Cnn (**)

Tõ (*) vµ (**) ®pcm.

(2)víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:

(1 + x)n = Con + C1

nx + C2n x2+ … + Cn

n-1 xn-1 + Cnn xn (1)

LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®îc:

n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2

n x + … + (n-1) Cnn-1 xn-2 + n Cn

n xn-1 (2)

Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc.

n. 3n-1 = C1n + 4 C2

n + … + ( n- 1) Cnn-1 xn-2 + n Cn

n xn-1 (3)

Víi mäi x vµ n nguyªn d¬ng ta cã

(x – 1)n = Con xn - C1

nxn-1 + … + (-1)n Cnn (4)

LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (4) theo biÕn x

(x – 1)n-1 = n Con xn-1 - (n-1)C0

n xn-2 + … + (-1)n-1 Cnn-1 (5)

Thay x = 4 vµo (5) ta ®îc.

n. 3n-1 = n. 4n-1 Con – (n-1) 4n-2 C1

n + (n-2) 4n-3 (C2n + … +

(-1)n-1 Cnn-1 (6)

Tõ (3) vµ (6) => ®iÒu ph¶i chøng minh.

Chó ý; Nh vËy ®Ó tÝnh tæng cã d¹ng hoÆc

Ta lÊy ®¹o hµm mét hoÆc hai lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n.

Bµi tËp luyÖn tËp: TÝnh c¸c tæng sau:

1) S1 = 2006. 32005. C02006 + 2005. 32004. C1

2006 + C22006 + … +

HDG: + XÐt khai triÓn (x + 1)2006 = x2006 C02006 + x2005 C1

2006 + …+ (1)

+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1)

2006. (x + 1)2005 = 2006.x2005 C02006 + 2005 x2004 C1

2006 + … + (2)

+ Thay x = 3 vµo (2) => S1 = 2006.42005.

2) S2 = 52005. C12006 + 2.52004 .4.C2

2006 + 3.52003. 42 C32006 +…

+2006.42005

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang14

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton HDG: + XÐt khai triÓn : (5 + x)2006 = (1)

+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc (2)

+ Thay x = 4 => S2 = 2006.92005.

3) S3 = 99.398 C099 – 98 . 397 C1

99 + 97 . 396 C299 - … + C98

99

HDG: + XÐt KT (x + 1)99 =

+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ (1) theo x ®îc (2) = (x + 1)98 =

+ Thay x = -3 vµo (2) ®îc S3 = 99.298

4) S4 = C02006 + 2C1

2006 + 3C22006 + 4C3

2006 + …+ 2007

HDG: + T¸ch S4 = I + J; I = C02006 + C1

2006 + …+

Vµ J = C12006 +2C2

2006 + 3C32006 + …+ 2006

C2: Nh©n 2 vÕ khai triÓn (1 + x)2006 víi x lÊy ®/h 1 vÕ theo x sau

®ã thay x = 1 => kÕt qu¶.

5) S5 = 3 C02006 + 4C1

2006 + 5C22006 + …+ 2009

HDG: + XÐt KT: (1 + x)2006 = (1)

+ Nh©n 2 vÕ (1) víi x3: x3 (1 + x)2006 = (2)

+ LÊy ®/h 1 vÕ cña (2) theo x ®îc (3)

+ Chän k = 1 => kÕt qu¶ S5 = 22005. 2012

6) S6 =4.53 C02007 + 5.54 C1

2007 + 6.55 C22007 +…+ 2011.52010

XÐt KT : x4 (1 + x)2007 lµm t¬ng tù VD5.

* NhËn xÐt: víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:

(1)

LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (1). Ta ®îc.

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang15

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton

(2)

+ Thay t = 1 vµ (2) ta ®îc

Hay

Thay t = -1 vµo (2 ) ta ®îc

Hay :

Thay t = 2 vµo (2) ta ®îc:

Hay

+ XÐt khai triÓn:

x = 1/3 vµo (1) ta ®îc

Ta cã

Tõ khai triÓn (1) ta cã:

(2)

MÆt kh¸c:

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang16

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (3)

Tõ (2) vµ (3) ta cã ®¼ng thøc:

Chó ý: §Ó tÝnh tæng d¹ng

Ta lÊy tÝch ph©n 1 hoÆc 2 lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n.

VÝ dô 7: CM

Gi¶i:

XÐt: víi n N

Ta x¸c ®Þnh tÝch ph©n In b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng

phÇn, víi ®Æt:

Khi ®ã:

LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (2), ta ®îc.

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang17

hoÆc

(2)

(3)

Ta cã

Suy ra

(1)

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Tõ (1) vµ (3) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.

VD 8: CM:

Ta tÝnh tÝch ph©n

Ta ®îc (1)

MÆt kh¸c ta cã ( 1 + x)n = C + C .x + C .x +…+ C . x

LÊy TP ta cã

=

VD 9: CM

Ta tÝnh (1)

Ta cã:

VËy Tõ (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh

VD 10: 1. - TÝnh tÝch ph©n

2 – CM

1- Ta cã:

(1)

2 – Theo khai triÓn nhÞ thøc Niu t¬n ta cã

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang18

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton

= (2)

So s¸nh (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh.

Bµi tËp:

Bµi 1: Chøng minh r»ng:

Bµi 2: Chøng minh r»ng:

Bµi 3: Chøng minh:

Bµi 4: Chøng minh r»ng:

(-1)n C0n + (-1)n-1 2C1

n + … + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cn

n = 1

Bµi 5: Chøng minh r»ng:

C02n + C1

2n + C42n + … + = 22n-1

Bµi 6: chøng minh r»ng:

Bµi 7: Chøng minh r»ng:

Bµi 8: Chøng minh r»ng víi c¸c sè k, nN vµ 5 < k < n ta cã

Bµi 9: TÝnh tÝch ph©n

Chøng minh r»ng:

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang19

GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Bµi 10: Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n 2

a – TÝnh tÝch ph©n

b – Chøng minh r»ng

Bµi 11: TÝnh tÝch ph©n:

Rót gän tæng

Bµi 12: Cho f(x) = x (x + 1)2001

a – TÝnh f (x)

b – TÝnh tæng

Bµi 13: TÝnh tæng

Bµi 14: Chøng minh r»ng víi c¸c sè m, p, n nguyªn, d¬ng sao cho.

P< n vµ p < m ta cã

TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang20