GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
NhÞ thøc newton vµ øng dông
I - NhÞ thøc newton
1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton:
Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d¬ng ta cã:
(a + b)n = con an + c1
n an – 1 b + c2n c1
n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cn
nbn
2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn:
+ Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cña nhÞ thøc ë vÕ tr¸i.
+ Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n.
+ C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn lît lµ:
C0n; C1
n; C2n; … Cn-1
n; Cnn;
Víi chó ý: Ckn = Cn
n–k 0 < k < n.
3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt:
+ D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®îc
(1 + x)n = C0n + C1
n x + C2n x2 + …+ Cn-1
n xn-1 + Cnn xn
+ D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®îc (2)
(1 - x)n = C0n - C2
n x+ C2nx2 + …(-1) kCk
n xk + …+ (-1)n Cnn xn (3)
4 - Mét sè hÖ thøc gi÷a c¸c hÖ sè nhÞ thøc
+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc
C0n + C1
n x + C2n + …+ Cn
n = 2n
+ Thay x = -1 vµo (3) ta ®îc:
C0n - C1
n x + C2n - …+ (-1)n Cn
n = 0
A - ¸p dông
I. ViÕt khai triÓn vµ tÝnh cña c¸c biÓu thøc sö dông khai triÓn ®ã:
Bµi 1: Thùc hiÖn khai triÓn:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang1
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (3x – 4)5
CT: Ta cã (3x – 4)5
= 35. C05 . x5 + 4.34 C1
5 x4 + … + 45 C55
Trong khai triÓn ®ã
+ Cã 6 sè h¹ng.
+ C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng nhau
+ Ta cã c¸c hÖ sè cña 3 hÖ sè ®Çu cña c«ng thøc khai triÓn ®ã lµ c¸c hÖ sè
C05 = 1 C1
5 = 5 C25 = 10
VËy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024
Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
a: S1 = C06 + C1
6 + C26 + … + C6
6
b: S2 = C05 + 2C1
5 + 22 C25 + … +25 C5
5
c: S3 = 317. C017 – 41. 316. C1
17 + 42. 315. C217 – 43.314. C3
7 + …-417.C17
17
d: S4 = C611 + C7
11 + C811 + C9
11 + C1011 + C11
11
e:
Gi¶i:a ta cã
S1 = C06 + C1
6 + C26 + … + C6
6 = (1 + 1)6 = 26 = 64
b:Ta cã (1 + x)5 (1)
Thay x = 2 vµo (1) ta ®îc:
S2 = C05 + 2C1
5 + 22. C25 + … +25 C5
5 = 35 = 243
c:Ta cã:
S3 = 317. C017 – 41. 316. C1
17 + 42. 315. C217 – 43.314. C3
7 + …-417.C17
17
= C017.317+ C117.316(-4)1 + C2
17 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+
C1717
(-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1
d: Ta cã (1 + 1)11 = C011 + C1
11 + C211 + … + C6
11 + C211 +…+ C11
11
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang2
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton MÆt kh¸c Ck
11 = C1111-k víi k (0,1,2,…11)
Do vËy: (1 + 1)11 = 2 (C611 + C7
11 + C811 + C9
11 + C1011 + C11
11) = 2S4
→S4 = 210
e: Ta cã
Tõ ®ã: S5 = 2002 (
Bµi 3: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho:
Con + 2 C1
n + 4 C2n + … + 2n Cn
n = 243 (1)
Gi¶i: Ta cã
Con + 2 C1
n + 2 C2n + … + 2n Cn
n = (1 + 2)n = 3n
VËy (1) 3n = 243 = 35 n = 5
Bµi tËp t¬ng tù
Bµi 4: ViÕt khai triÓn (3x – 1)16 vµ chøng minh r»ng
316. Co16 – 315 C1
16 + … + C1616 = 216.
Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau:
a: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2
n + 2n-4 C4n + … + Cn
n
b: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3
n + 2n-5 C5n + … +Cn
n
c: S3 = C610 C7
10 + C810 + C9
10 + C1010
Bµi 6: TÝnh tæng
S =
II. T×m hÖ sè (t×m sè h¹ng) trong khai triÓn
Ph¬ng ph¸p: Víi c¸c yªu cÇu vÒ hÖ sè trong khai triÓn NEWTON, ta cÇn lu ý:
1 – Ta cã: (a + b)n =
Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng thø i lµ Cin, vµ sè h¹ng thø i: Ci
n an-i bi
2 – Ta cã
Do ®ã: HÖ sè xk trong khai triÓn trªn lµ Cin víi i lµ nghiÖm cña ph-
¬ng tr×nh ( n – i) + i = k
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang3
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton §Æc biÖt khi k = 0 ®ã chÝnh lµ sè h¹ng kh«ng phô thuéc x.
VÝ dô 1: Cho biÕt hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 cña kiÕn thøc nhÞ thøc.
Tõ ®ã, hÖ sè cña sè h¹ng thø 3 , cña khai triÓn nhÞ thøc lµ:
VËy thø h¹ng thø 7 ®îc cho bëi
VÝ dô 2: Trong khai triÓn nhÞ thøc h·y t×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vµo x biÕt.
Cnn + Cn-1
n + Cn-2n = 79
Gi¶i: + XÐt PT: Cnn + Cn-1
n + Cn-2n = 79 (1)
Ta cã PT (1)
(do n N)
Khi ®ã:
Sè h¹ng thø k + 1 kh«ng phô thuéc x trong khai triÓn.
T/m
VËy hÖ sè kh«ng phô thuéc x b»ng C512
VÝ dô 3: Cho biÕt ba sè h¹ng ®Çu tiªn cña KT
Cã c¸c hÖ sè h¹ng liªn tiÕp cña mét cÊp sè céng. T×m tÊt c¶ c¸c h¹ng tö h÷u tû cña khai triÓn ®ã ®· cho.
Gi¶i: Ta cã:
Ta cã ba hµng tö ®Çu tiªn cña khai triÓn cã c¸c hÖ sè lµ:
c0n; c1
n 2-1; c2n 2-2;
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang4
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Ba hÖ sè liªn tiÕp theo thø tù lËp thµnh mét cÊp sè céng
C0n + C2
n 2-2 = 2C1n 2-1
a) Víi n = 1 ta ®îc kh«ng cã h¹ng tö h÷u tû
b) n = 8 ta ®îc:
Sè h¹ng thø k + 1 lµ hÖ sè h÷u tû ( 16 – 3k)/4 N, 0 < k < 8
Víi k = 0 h¹ng tö h÷u tû: Co8 20 x4 = x4
k = 4 h¹ng tö h÷u tû: C48 2-4
VÝ dô 4: T×m hÖ sè lín nhÊt trong khai triÓn (1 + x)n
CT: Ta cã (1 + x)n =
- C¸c hÖ sè trong khai triÓn lµ:
Con; C1
n…; Cnn.
Ta cã n, k nguyªn, kh«ng ©m vµ k < n ta cã:
&
Ta cã:
Tøc lµ: Ckn t¨ng khi k t¨ng vµ
Ckn gi¶m khi k gi¶m vµ
VËy n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i
Víi n lÎ th× Ckn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = n/2
VÝ dô 5: T×m hÖ sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn (a + b)n
biÕt r»ng tæng c¸c hÖ sè b»ng 4096
CT : Tæng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n b»ng:
Con + C1
n + C2n + … + Cn
n = 2n = 4096 n = 12
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang5
16 – 3k = 4i; i
N
0 < k < 8
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Ta ®i t×m gi¸ trÞ lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ:
Co12; C1
12; …, C1212
Thùc hiÖn so s¸nh Ck12 vµ C12 k-1 b»ng c¸ch xÐt;
(1)
Tõ (1) suy ra
VËy Ck12 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ C6
n = 924
VÝ dô 6: T×m sè h¹ng cã gi¸ trÞ lín nhÊt cña khai triÓn.
Gi¶i: Ta cã gäi tk lµ sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn.
Ta cã =
XÐt (1)
Tõ (1) suy ra:
tk – 1 < tk
tk – 1 > tk
Tøc lµ: Khi k ch¹y tõ 0 dÕn 8 th×:
tk t¨ng khi k t¨ng vµ k < 6
tk gi¶m khi k t¨ng vµ k > 6
VËy tk ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 6 vµ cã gi¸ trÞ b»ng
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang6
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
VÝ dô 7: Khai triÓn ®a thøc . Px = ( 1 + 2x)12
Thµnh d¹ng P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a20x10
Max (a1 a2 … a12)
Gi¶i: Ta cã (1 + 2x)12 =
Suy ra : ak = Ck12 2k víi k = 1,12
XÐt (1)
Tõ (1), suy ra:
ak + 1 < ak
ak + 1 > ak
VËy ak ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i k = 8 vµ cã gi¸ trÞ b»ng C812. 88 =
126720
VD 8: T×m n cña k khai triÓn biÕt h¹ng tö thø 9 cã hÖ sè lín nhÊt
Gi¶i: Ta cã
V× kh«ng thay ®æi nªn h/s trong khai triÓn thay ®æi phô
thuéc vµo (x+2)n. XÐt khai triÓn (x+2)n =
H¹ng tö thø 9 cã h.s lµ C8n 28 lín nhÊt trong c¸c hÖ sè
VD9: Cho khai triÓn
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang7
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 1 – BiÕt tæng hai hÖ sè ®Çu vµ hai lÇn hÖ sè cña sè h¹ng thø 3
trong khai triÓn b»ng . T×m hÖ sè lín nhÊt trong c¸c hÖ sè khi
khai triÓn nhÞ thøc trªn.
2 – BiÕt h¹ng tö thø 11 cã hÖ sè lín nhÊt. T×m n.
Gi¶i: Ta cã
Theo gt
(tho¶ m·n) hoÆc n = -26,75 (l)
VËy n = 7 ta cã khai triÓn :
HST9:
LËp tØ sè:
Do ®ã (ak) t¨ng khi 0 < k < 15 => (ak) max = a15
Do ®ã (ak) gi¶m khi 16 < k < 27 => (ak) max = a16
Mµ
Nªn (ak) max = a15 = C2723. 3-15.
2) KÕt qu¶: n 17, 18, 19 lµm t¬ng tù VD8
VD10: T×m c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn trong khi khai triÓn.
Gi¶i: ta cã
§Ó h¹ng tö lµ sè nguyªn th×
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang8
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
VËy c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn lµ C319 38 2; C9
19 35 23; C1519 32 25
VD11: BiÕt r»ng trong khai triÓn (x - )n = C0n x4 – C1
n xn-1 + C2n xn-2
HÖ sè cña h¹ng tö thø ba - …(1)n Cnn ( )n
Trong KT trªn lµ : C2n = 5
n2 – n – 90 = 0 n = 10 hoÆc n = -9 (lo¹i)
Khi n = 10 th× khai triÓn (x - )10 sÏ cã 11 sè h¹ng.
Do ®ã sè h¹ng chÝnh gi÷a lµ sè h¹ng thø 6 ®ã lµ:
III – TÝnh c¸c tæng Ckn vµ cm®t chøa Ck
n
Bµi 1: Víi n sè nguyªn d¬ng CMR
a) C1n + 2 C2
n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cn
n = n. 2n-1
b) 2.1 C2n + 3.2 C3
n + … + n (n – 1) Cnn = n (n – 1) 2n-2
CM: Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã;
(1 + x)n = C0n + C1
n x+ C2n x2 + … + Cn-1
n xn-1 + Cnn xn (1)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ta ®îc.
n(1 + x)n-1 = C1n + 2C2
n x + … + (n - 1) Cn-1n. xn-2 + n Cn
n xn-1 (2)
a) thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
n. 2n-1 = C1n + 2 C2
n + … + (n – 1) Cn-1n + n Cn
n (§PCM)
b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x
Ta ®îc:
n(n –1) (1 + x)n-2 = 2.1 C2n + 3 . 2 C2
n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n
xn-3 + n (n – 1) Cnn xn-2 (3)
Thay x = 1 vµ (3) ta ®îc.
n(n –1) 2n-2 = 2.1 C2n + 3 . 2 C2
n x + … + (n – 1) (n – 2) Cn-1n +
+ n(n-1) Cnn (§PCM).
* Chó ý:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang9
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (1) NÕu ph¶i tÝnh tæng cã d¹ng:
S1 = C1n + 2C2
n + 3 C3n + … + (n-1) Cn-1
n n-2 + n Cnn n-2
+ XÐt khai triÓn (1 + x)n = (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc:
n(1 + x)n-1 = (2)
+ Thay x = vµo (2) kÕt qu¶.
+ NÕu ph¶i tÝnh tæng d¹ng.
S1 = 2. 1C2n + 3.2C3
n + … + (n-1) (n-2) Cnn-1 n-3 + n (n-1)(n –
2)Cnn-1 n-3 + n(n-1) Cn
n n-2
Ph¬ng ph¸p:
+ XÐt khai triÓn (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo x ®îc (2)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo x ®îc
n(n-1) (1+x)n-2 = (3)
Thay x = vµo (3) kÕt qu¶
Ch¼ng h¹n tÝnh tæng:
C1n + 22 C2
n 1 + 3 C3n22 + … + (n-1) Cn
n-1 cn-2 + n Cnn 2n-1
= n(1+ 2) n-2 = n3n-2.
VD2: CM c¸c ®¼ng thøc sau:
C1n3n-1 + 2 C2
n. 3n-2 + … + (n-1) Cnn-1 3 + n Cn
n = n 4n-1 (1)
Híng dÉn:
C1: §Ó ý: k. Ckn 3n-l = k Ck
n. 3-k+1. 3n-1 = k 3n-1 Ckn
Tõ ®ã (1) C1n 3n-1 + 2 C2
n 3n-1 + … + (n – 1) Cnn-1 n – 2
+ 3n-1 n Cnn n-1 = n. 4n-2
C1n + 2 C2
n + … + ( n – 1) Cnn-1 ( )n-2 + n Cn
n k-1
= n ( )n-1 = n (1 + )n-1
Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm
C¸ch 2:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang10
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton §Ó ý : n. 4n-1 = n (3+ 1)n-1
XÐt khai triÓn (1)
+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc.
(2)
+ Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
n(3 + 1)n-1 = C1n 3n-1 + 2 C2
n 3n-2 + … + n Cnn 3n-1
®iÒu ph¶i chøng minh
* Chó ý: TÝnh tæng cã d¹ng.
S3 = C1n n - 1 + Cn
2 n-2 +… + (n-1) Cnn-2 + n Cn
n
C¸ch 1: + XÐt khai triÓn ( + x)n (1)
+ LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x
Ta ®îc n( + x)n-1 (2)
Trong (2) thay x = 1 vµo ta ®îc kÕt qu¶
VD3: CMR
2n-1 C1n + 2n-1 C2
n + 3.2n-3 C3n + 4. 2n-4 C4
n + … + n Cnn = n. 3n-1
(lµm t¬ng tù VD2 víi =
VD4: 1. Chøng minh c¸c hÖ thøc sau:
Con + 2 C1
n + 3 C2n + … + (n + 1) Cn
n = (n + 2) 2n-1
2) TÝnh tæng : S = 2 . 1 C1n + 3. 2 C2
n + … + n (n – 1) Cnn-1 + (n +
1) n Cnn.
Gi¶i:
a) C¸ch 1:
XÐt khai triÓn: (1 + x)n = Con + C1
n + C2n x2 … + Cn
n-1 xn-1 + Cnn cn
f(x) = x (1 + x)n = Con x + C1
nx2 + C2n x3 + … + Cn
n-1- xn +Cnn xn+1
(1)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc.
(1 + x)n + xn (1 + x)n-1 = C0nx + C1
nx2 + C2nx3 +…+n Cn
n-1 xn-1 +
+ n(n+1) Cnn xn (2)
Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang11
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 2C1
n + 3 . 2 C2n + … + n(n-1) Cn
n-1 + (n + 1) n Cnn = (2 + n) 2n-1
®pcm.
b) LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) ta ®îc.
n(1+x)n-1 + n (1+ x)n-1 + n. x (n –1) (1 + x)n-2
= 2 C1n + 3.2 C2
n x + … + n (n-1) Cnn-1 cn-2 (n+1) n Cn
n xn-1 (3)
Thay x = 1 vµo (3) ta ®îc.
S = 2 C1n + 3. 2 C2
n + … + n (n-1) Cnn-1 + (n+ 1) n Cn
n
= 2n . 2n-1 + n (n-1) 2n-2 = n. 2 n-2. (n + 1)
Chó ý: TÝnh tæng:
(1)S4 = Con + 2 C1
n + 3 C2n2 + … + n Cn
n-1 n-1 + (n+1) Cnn n.
Ph¬ng ph¸p:
-XÐt khai triÓn:
(1 + x)n (1)
+ Nh©n 2 vÕ cña (1) víi x ta ®îc.
x (1 + x)n (2)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (2) theo biÕn x ta ®îc
(1 + x)n + nx (1 + x)n-1 (3)
Thay x = vµo (3) kÕt qu¶ tæng S4.
(2)S5 = 2. 1 C1n + 3. 2 C2
n + … + n (n – 1) Cnn-1 n-2 + (n + 1) n
Cnn n-1
Ph¬ng ph¸p: LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (3) sau ®ã thay x = => kÕt qu¶.
VD5: TÝnh tæng.
S1 = 2 C1n + 3. 22 C2
n + 4.3 C2n 22 +…+ n (n-1) Cn
n-1 2n-2 +
+ (n+1) n Cnn 2n-1
S2 = 12 C1n + 22 C2
n + 33 C3n 42 C4
n +…+ p2 Cpn + …+ n2 Cn
n
HD : §Ó ý p2Cpn = p.p Cp
n = p [(p+1) –1] Cpn
= p(p+1) Cpn – p Cp
n.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang12
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton S2 = [2 C1
n + 3. 2 C2n + … + p (p+1) Cp
n + … + (n + 1) n Cnn]
- [ C1n + c2
n + … + pCpn + … + n Cn
n ]
Gi¶i: XÐt f(x) = (1 + x)n = Con + C1
nx + C2n x2 + C3
n x3 + … + Cnn xn
Vµ g(x) = x (1 + x)n = Conx + C1
x x2 + C2n x3 + C3
n x4 + … + Cnn xn+1
Ta cã f(x) = n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2
nx + 3 C3n x2 + … + n Cn
n xn-1.
f(1) = n. 2n-1 = C1n + 2 C2
n + 3 C3n + … + n Cn
n (1)
g’(x) = (1+ x)n + nx (1 + x)n-1 = Con + 2 C1
nx + x C2n x2 + 4 C3
n x3
+ … + (p + 1) Cpn xp + … + (n-1) Cn
n xn.
g’’(x) = 2n (1 + x)n-1 + n (n – 1) x (1 + x) n-2
= 2 C1n + 3 . 2 C2
n + 4 . 3 C3n x2 + … + (p + 1) p Cp
n xp-1
+ … + (n + 1) n Cnn xn-2
g’’ (1) = 2n. 2n-1 + n (n-1) 2n-2.
= 2 C1n+ 3. 2 C2
n + 4. 3 C3n + … + (= + 1) p Cp
n + … + (n + 1) n Cn
n.
LÊy (2) – (1) S2 = 2n. 2n-1 + n ( n- 1)n-2 – n. 2n-1
= n. 2n – 2 (3n – 1).
VD6: Víi n nguyªn d¬ng h·y chøng minh.
(1)4n Con – 4n-1 C1
n + 4 n-2 C2n + … + (-1)n Cn
n.
= Con + 2 C1
n + … + n 2n-1 Cnn + … + 2n Cn
n.
(2) C1n + 4 C2
n + … + n.2n-1 Cnn = n. 4n-1 Co
n – (n-1) 4n-2 C1n
+ (n-2) 4n-3 C2n + … + (-1)n-1 Cn
n-1.
Gi¶i (1) víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã.
(4 – x)n = Con + 4n – C1
n 4n-1 x + 4n-2 C2n x2 + … + (-1)n Cn
n xn (1)
Thay x = 1 vµ (1)
3n = Con 4n- C1
n 4n-1 + C2n 4n-2 + … + (-1)n Cn
n (*)
Víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:
(1 + x)n = Con + C1
n x + … + Cnn xn (2)
Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc;
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang13
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton 3n = Co
n C1n 2 + 22 C2
n + … + 2n Cnn (**)
Tõ (*) vµ (**) ®pcm.
(2)víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:
(1 + x)n = Con + C1
nx + C2n x2+ … + Cn
n-1 xn-1 + Cnn xn (1)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®îc:
n (1 + x)n-1 = C1n + 2 C2
n x + … + (n-1) Cnn-1 xn-2 + n Cn
n xn-1 (2)
Thay x = 2 vµo (2) ta ®îc.
n. 3n-1 = C1n + 4 C2
n + … + ( n- 1) Cnn-1 xn-2 + n Cn
n xn-1 (3)
Víi mäi x vµ n nguyªn d¬ng ta cã
(x – 1)n = Con xn - C1
nxn-1 + … + (-1)n Cnn (4)
LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (4) theo biÕn x
(x – 1)n-1 = n Con xn-1 - (n-1)C0
n xn-2 + … + (-1)n-1 Cnn-1 (5)
Thay x = 4 vµo (5) ta ®îc.
n. 3n-1 = n. 4n-1 Con – (n-1) 4n-2 C1
n + (n-2) 4n-3 (C2n + … +
(-1)n-1 Cnn-1 (6)
Tõ (3) vµ (6) => ®iÒu ph¶i chøng minh.
Chó ý; Nh vËy ®Ó tÝnh tæng cã d¹ng hoÆc
Ta lÊy ®¹o hµm mét hoÆc hai lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n.
Bµi tËp luyÖn tËp: TÝnh c¸c tæng sau:
1) S1 = 2006. 32005. C02006 + 2005. 32004. C1
2006 + C22006 + … +
HDG: + XÐt khai triÓn (x + 1)2006 = x2006 C02006 + x2005 C1
2006 + …+ (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1)
2006. (x + 1)2005 = 2006.x2005 C02006 + 2005 x2004 C1
2006 + … + (2)
+ Thay x = 3 vµo (2) => S1 = 2006.42005.
2) S2 = 52005. C12006 + 2.52004 .4.C2
2006 + 3.52003. 42 C32006 +…
+2006.42005
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang14
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton HDG: + XÐt khai triÓn : (5 + x)2006 = (1)
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ cña (1) ta ®îc (2)
+ Thay x = 4 => S2 = 2006.92005.
3) S3 = 99.398 C099 – 98 . 397 C1
99 + 97 . 396 C299 - … + C98
99
HDG: + XÐt KT (x + 1)99 =
+ LÊy ®¹o hµm 2 vÕ (1) theo x ®îc (2) = (x + 1)98 =
+ Thay x = -3 vµo (2) ®îc S3 = 99.298
4) S4 = C02006 + 2C1
2006 + 3C22006 + 4C3
2006 + …+ 2007
HDG: + T¸ch S4 = I + J; I = C02006 + C1
2006 + …+
Vµ J = C12006 +2C2
2006 + 3C32006 + …+ 2006
C2: Nh©n 2 vÕ khai triÓn (1 + x)2006 víi x lÊy ®/h 1 vÕ theo x sau
®ã thay x = 1 => kÕt qu¶.
5) S5 = 3 C02006 + 4C1
2006 + 5C22006 + …+ 2009
HDG: + XÐt KT: (1 + x)2006 = (1)
+ Nh©n 2 vÕ (1) víi x3: x3 (1 + x)2006 = (2)
+ LÊy ®/h 1 vÕ cña (2) theo x ®îc (3)
+ Chän k = 1 => kÕt qu¶ S5 = 22005. 2012
6) S6 =4.53 C02007 + 5.54 C1
2007 + 6.55 C22007 +…+ 2011.52010
XÐt KT : x4 (1 + x)2007 lµm t¬ng tù VD5.
* NhËn xÐt: víi mäi x vµ n lµ sè nguyªn d¬ng ta cã:
(1)
LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (1). Ta ®îc.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang15
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
(2)
+ Thay t = 1 vµ (2) ta ®îc
Hay
Thay t = -1 vµo (2 ) ta ®îc
Hay :
Thay t = 2 vµo (2) ta ®îc:
Hay
+ XÐt khai triÓn:
x = 1/3 vµo (1) ta ®îc
Ta cã
Tõ khai triÓn (1) ta cã:
(2)
MÆt kh¸c:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang16
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton (3)
Tõ (2) vµ (3) ta cã ®¼ng thøc:
Chó ý: §Ó tÝnh tæng d¹ng
Ta lÊy tÝch ph©n 1 hoÆc 2 lÇn cña nhÞ thøc Niu t¬n.
VÝ dô 7: CM
Gi¶i:
XÐt: víi n N
Ta x¸c ®Þnh tÝch ph©n In b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng
phÇn, víi ®Æt:
Khi ®ã:
LÊy tÝch ph©n theo x hai vÕ cña (2), ta ®îc.
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang17
hoÆc
(2)
(3)
Ta cã
Suy ra
(1)
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Tõ (1) vµ (3) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh.
VD 8: CM:
Ta tÝnh tÝch ph©n
Ta ®îc (1)
MÆt kh¸c ta cã ( 1 + x)n = C + C .x + C .x +…+ C . x
LÊy TP ta cã
=
VD 9: CM
Ta tÝnh (1)
Ta cã:
VËy Tõ (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh
VD 10: 1. - TÝnh tÝch ph©n
2 – CM
1- Ta cã:
(1)
2 – Theo khai triÓn nhÞ thøc Niu t¬n ta cã
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang18
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton
= (2)
So s¸nh (1) vµ (2) => ®iÒu ph¶i chøng minh.
Bµi tËp:
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
Bµi 2: Chøng minh r»ng:
Bµi 3: Chøng minh:
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
(-1)n C0n + (-1)n-1 2C1
n + … + (-1)n-k 2k Ckn + 2n Cn
n = 1
Bµi 5: Chøng minh r»ng:
C02n + C1
2n + C42n + … + = 22n-1
Bµi 6: chøng minh r»ng:
Bµi 7: Chøng minh r»ng:
Bµi 8: Chøng minh r»ng víi c¸c sè k, nN vµ 5 < k < n ta cã
Bµi 9: TÝnh tÝch ph©n
Chøng minh r»ng:
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang19
GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thức Newton Bµi 10: Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n 2
a – TÝnh tÝch ph©n
b – Chøng minh r»ng
Bµi 11: TÝnh tÝch ph©n:
Rót gän tæng
Bµi 12: Cho f(x) = x (x + 1)2001
a – TÝnh f (x)
b – TÝnh tæng
Bµi 13: TÝnh tæng
Bµi 14: Chøng minh r»ng víi c¸c sè m, p, n nguyªn, d¬ng sao cho.
P< n vµ p < m ta cã
TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang20