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Istituzioni di Fisica SubnucleareA. Bettini 2006

Capitolo 3 Le simmetrie

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Le simmetrie in meccanica quantisticaLe regole che limitano la possibilità di uno stato iniziale di trasformarsi in qualche stato finale in un processo quantistico (collisione o decadimento) sono chiamate leggi di conservazione e sono espresse in termini di numeri quantici degli stati. Ci sono diversi tipi di numeri quantici

1.Additivi continui una trasformazione finita si ottiene come somma di trasformazioni infinitesime. Traslazioni nello spazio-tempo Energia e momento. Rotazioni spaziali Momento angolare

2.Additivi discreti. Carica elettrica, numero barionico, numero leptonico. La “carica” di n particelle con carica c è nc

3.Simmetrie interne. Sono continue; le trasformazioni avvengono in uno “spazio unitario” e corrispondono a diverse combinazioni all’interno di un dato gruppo di particelle che si comportano in modo analogo. Invarianza di carica delle forze nucleari isospin, SU(2); inclusione delle particelle strane SU(3)

4.Moltiplicativi discreti. Non si possono costruire a partire da trasformazioni infinitesime. I più importanti: inversione degli assi P, coniugazione particella-antiparticella C, inversione del tempo T. Lo stato torna se stesso per doppia applicazione

P2=C2=T2=1 P=±1, C= =±1, T =±1

La conservazione o meno di un determinato numero quantico in una determinata interazione deve essere stabilita sperimentalmente

IF e IEM conservano P, C e T, ID violano P, C, CP

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La paritàL’operazione P inverte le coordinate (equivalente, inverte una) r –r

Lascia invariato il tempo t t

Di conseguenza inverte le quantità di moto (vettori) p –p

E lascia invariati i momenti angolari (vettori assiali) rp rp

La parità del vuoto è per definizione +

Per una particella di momento p e spin s

Prp,

rs =ςP −

rp,

rs =±−

rp,

rs

Pr0,

rs =ςP

r0,

rs

Una singola particella può essere autostato di P solo se ferma

La parità intrinseca P della particella è definita come l’autovalore dell’operatore P nel riferimento in cui la particella è ferma. Può essere P=+1 (pari) o P=–1 (dispari)

Per i bosoni la parità intrinseca può definirsi senza ambiguità con le leggi di conservazione

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La parità

I fermioni hanno spin semintero e la conservazione del momento angolare impone la loro produzione in coppie. Si possono definire solo parità relative. Per convenzione P(p) = +1

L’equazione di Dirac e, più in generale la teoria dei campi, implicano che le parità di un fermione e della sua antiparticella siano opposte, di un bosone e del suo anti-bosone siano uguali. Quindi, in particolare, P(≠p) = –1, P(e+)=–1

Gli iperoni strani sono prodotti dalle interazioni forti in coppia con un’altra particella strana, il che impedisce di determinare le parità di entrambi. Non si può usare il decadimento pπ– che, come interazione debole, non conserva la parità. Per convenzione P()=+1

Per definizione tutti i quark hanno parità +1

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Il fotone

Consideriamo un atomo di idrogeno che si disecciti dallo stato H** allo stato H*. Le transizioni sono di dipolo elettrico (E1). Vale la regola ∆l=±1, quindi anche cambio di P

Dato che la parità si conserva, il fotone ha JP=1–

Stessa cosa, diversamente: il fotone è il corrispondente quantistico del potenziale vettore A che è un vettore

In generale una particella di spin J=1 ha, rispetto ad un asse prefissato, ad esempio la linea di volo 2J+1 = 3 componenti

Si dimostra che il fotone (e in generale le particelle di massa nulla) ne ha solo 2. Corrispondono ai due stati classici di polarizzazione circolare destra e sinistra

I due stati di polarizzazione del fotonep p

J J

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Parità di due pioni. nuovaSistema di due particelle con J=0 e parità intrinseche 1 e 2 nel sistema del cm. Si muovono una con momento p e momento angolare l e terza componente m : lo stato |p, l, m>Consideriamo gli stati di momento definito. Una particella ha momento p agli angoli , l’altra –p: lo stato |p,>= |p, –p>

p, l,m = p,,φ p,,φ

,φ∑ p, l,m = Yl

*m

,φ∑ ,φ( )

rp,−

rp

L’inversione spaziale in coordinate polari r r π – π +

Ylm ,φ( )⇒ Yl

m π −,π +φ( ) = −1( )l Ylm ,φ( )

P p, l,m =ς1ς2 Yl

*m

,φ∑ π −,φ+π( ) −

rp,

rp =ς1ς2 −1( )l Yl

*m

,φ∑ ,φ( )

rp,−

rp =ς1ς2 −1( )l p, l,m

P =ς1ς2 −1( )l

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Parità di due pioniSistema di due particelle con J=0 e parità intrinseche 1 e 2 nel sistema del cm. Si muovono una con momento p e momento angolare l e terza componente m : lo stato |p, l, m>Consideriamo gli stati di momento definito. Una particella ha momento p agli angoli , l’altra –p: lo stato |p,>= |p, –p>

p, l,m = p,,φ p,,φ

,φ∑ p, l,m = Yl

*m

,φ∑ ,φ( )

rp,−

rp

L’inversione spaziale in coordinate polari r r π – π +

Yl*m ,φ( ) =

2l +1( ) l−m( )!4π l +m( )

Plm cos( )e−imφ

eimφ ⇒ eimφ+π( ) = −1( )meimφ Plm cos( )⇒ Pl

m cos π −( )( ) = −1( )l+mPlm cos( )

Ylm ,φ( )⇒ Yl

m π −,π +φ( ) = −1( )l Ylm ,φ( )

P p, l,m =ς1ς2 Yl

*m

,φ∑ π −,φ+π( ) −

rp,

rp =ς1ς2 −1( )l Yl

*m

,φ∑ ,φ( )

rp,−

rp =ς1ς2 −1( )l p, l,m

P =ς1ς2 −1( )l

Plm cos( ) = −1( )msinm d

dcos⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m

Plm cos( ) m≤l

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Parità di due mesoni, di fermione-antifermione

Due mesoni, m1, m2 dello stesso tipo con la stessa parità intrinseca 12 = +

Se nel CM è autostatoQualsiasi siano gli spin P=(–1)l

P =ς1ς2 −1( )l

I pioni hanno JP = 0– quindi l=JDiversi π+π– o π±π˚ JP= 0+, 1–, 2+, 3–,… (parità “naturale”)Uguali π+π+, π–π– o π˚π˚, per Bose l=J= pari JP= 0+, 2+,…

Fermione-antifermione: f≠fParità intrinseca opposte 12 =–

Qualsiasi siano gli spin P=(–1)l+1

Trovare i valori di JP di particella-antiparticella di spin 1/2 in l=0, 1 (p≠p, e+e–, q≠q)

Se l=0 (onda S) P=–, se l=1 (onda P), P=+

Notazione spettroscopica: 2ˆsˆ+1LJ

1S0 JP=0–, 3S1 JP=1–

1P1 JP=1+, 3P0 JP=0+, 3P1 JP=1+, 3P2 JP=2+.

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Test della conservazione di P

I test più sensibili della conservazione di P nelle interazioni forti sono basati sulla ricerca di decadimenti di stati nucleari o di mesoni che potrebbero avvenire tramite interazione forte se questa violasse P

Esempio 1: decadimento di uno stato pseudovettore in due scalari uguali, 1+ 0++ 0+, non può avvenire conservando P

Le velocità di decadimento e le sezioni d’urto sono proporzionali al quadrato del modulo dell’ampiezza di transizione |T|2, che è scalare sia che T sia scalare sia che sia pseudoscalare. Per avere un effetto devono contribuire entrambe

T = TS+TP

Un caso è il decadimento del livello eccitato del 20Ne (Q=13.2 MeV)

20Ne*(1+) 16O (0+)+

Si cerca una risonanza nel processo p + 19F [20Ne*(1+)] 16O (0+)+

Non trovata

Esempio 2. Un mesone pseudoscalare, come la non può decadere in 2π

TP / TS

2 ≤10–8

Γ → π +π −( ) / Γ tot ≤ 3.3×10–4 Γ → π 0π 0( ) / Γ tot ≤ 4.3×10–4

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Coniugazione “di carica”C applicato ad una particella la trasforma nell’antiparticella, lasciando lo spazio invariato, ma cambiando segno a tutti i numeri quantici interni (cariche). (Se si incontrano si annichilano, resta il vuoto, con cariche tutte nulle)

Il fotone corrisponde in EM classico al potenziale vettore A. Cambia segno se si sostituiscono le particelle che lo creano con le antiparticelle (le cariche cambiano segno)

C A =−A ⇒ C γ =−γ Il fotone ha coniugazione di carica negativa

C è moltiplicativo, quindi per nγ C(nγ) = n C(γ)=(–1)γ

Per trovare C(π˚), consideriamo il decadimento π˚ 2γ C(π˚) = +

Analogamente dall’esistenza di 2γ C() = +

Test della conservazione di C nelle interazioni EM e forti sono basati sulla non osservazione di decadimenti proibiti. Ad es. per EM

Γ π 0 → 3γ( ) / Γ tot ≤ 3×10−8

Γ → 3γ( ) / Γ tot ≤ 5 ×10−4

Crp,

rs, Q{ } =ξ r

p,rs, −Q{ }

Per i π carichi C|π+> = + |π–>

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C per coppia particella-antiparticellaStato di un mesone e sua antiparticella, senza spin, nel c.m..

Autostato del momento angolare: momento p, momento angolare l, terza componente m

Le due parità sono tra loro uguali e così le coniugazioni di carica 121ξ1ξ21C scambia le due e quindi è equivalente a P

C p, l, m =ς1ς2 −1( )l p, l,m = −1( )l p, l,m

Stato di un mesone e sua antiparticella con spin totale (≠momento angolare totale) S. Per scambio di spin (–1)s

Per esempio 11 = 0 (simmetrico) 1 (antisimmetrico) 2 (simmetrico)

Parità intrinseche uguali C p, l, m = −1( )l+s p, l,m

Stato di un fermione e sua antiparticella con spin totale s. Per scambio di spin (–1)s+1

Per esempio 1/21/2 = 0 (antisimmetrico) 1 (simmetrico)

Parità intrinseche opposte

C p, l,m =− −1( )l+s+1 p, l,m = −1( )l+s p, l,m

P C

m≠m

(–1)l (–1)l+s

f≠f (–1)l+1 (–1)l+s

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P e C per coppia fermione-antifermione

P=(–1)l+1 C=(–1)l+s

Trovare i valori di JPC di particella-antiparticella di spin 1/2 in l=0, 1 (p≠p, e+e–, q≠q)

Se l=0 (onda S) P=–, se l=1 (onda P), P=+

Notazione spettroscopica: 2ˆsˆ+1LJ

1S0 JPC=0–+

3S1 JPC=1– –

1P1 JPC=1+ –

3P0 JPC=0+ +

3P1 JPC=1+ +

3P2 JPC=2+ +

JPC= 0+–, 0– –, 1– + ,…..non possono essere fatti da quark e antiquark se i quark hanno spin 1/2

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CPT, C, P, TL’invarianza delle leggi fisiche sotto la trasformazione combinata CPT è richiesta da principi estremamente generali di teoria di campo relativistica

La conseguenza più importante è che masse e vite medie di particella e antiparticella debbono essere identiche. I test sperimentali più semplici sono basati sulla ricerca di eventuali differenze.

Negli anelli di accumulazione di p e≠p questi circolano per parecchie ore percorrendo l’anello qualche miliardo di volte. Dall’uguaglianza delle traiettorie nei due casi si ricava il limite, diretto

mp −mp

mp

≤10−8 (90%c.l.)

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Parità del π–

Se si porta un fascio di π– di energia molto bassa in un criostato contenente deuterio liquido, se l’energia è abbastanza bassa i π si fermano

Vengono catturati in un’orbita atomica di alti valori di n e l in un tempo brevissimo (4 ps); altrettanto velocemente (1 ps) arrivano a n dell’ordine di 7

I π– che si trovano in un’onda S hanno funzione d’onda si sovrappone molto col nucleo e ne vengono assorbiti subito. Se non sono inizialmente in un’onda S ci arrivano rapidamente.

Infatti l’atomo “mesico” è molto più piccolo degli atomi normali (mπ>>me) e penetra dentro le molecole dove il campo E è intenso. L’effetto Stark mescola i livelli, ripopolando le onde S

la teoria (Day, Sucher, Snow, ‘60) prevede che cattura avvenga quasi sempre da stati con l=0

È stato verificato sperimentalmente misurando i raggi X emessi nelle transizioni descritte

Spin del deuterio sd=1, spin del π sπ=0, l =0 momento angolare totale J=1

Il processo è la cattura del π– dal deuterio π– d 2n avviene solo se P(π–) = –

I due neutroni debbono stare in uno stato complessivamente anti-simmetrico: 1S0,3P0,1,2,1D2,…

Il solo stato con J=1 è 3P1 che ha parità P =(–1)l+J+1 =(–1)1+1+1= –

P(π–)P(d)=– p e n nel d sono in onda S P(d)= P(p) P(n)P(π–)P(n) P(p)=– P(p) = P(n)P(π–)= – la cattura avviene (Panofsky et al. 1951), P(π–) è negativa

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Decadimento del pione (1/3)Γ π → eν e( )

Γ π → μν μ( )= 1.2 ×10–4 Ma lo spazio delle fasi favorisce molto il decadimento in

elettrone. Perché il rapporto è così piccolo?

Γ π → eν( )

Γ π → μν( )=

pe*

pµ*

Mπ ,eν

2

Mπ ,µν

2

Conservazione dell’energia nel CM

pl*2 +ml

2 + pl* =mπ ⇒ pl

* =mπ

2 –ml2

2mπ

⇒pe*

pµ* =

mπ2 −me

2

mπ2 −mµ

2 =1402 −0.52

1402 −1062=2.3

Il grafico rappresenta il processo a livello dei quark. Teniamo conto del vertice a sinistra includendo nell’elemento di matrice la “costante di decadimento del π”, fπ (da determinare sperimentalmente)

Elemento di matrice?

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Decadimento del pione (2/3)

l ν l scalare OK

l γ5ν l pseudoscalare OK

l γμν l vettore OK

l γμγ5ν l vettoreassiale OK

12 2

l γγβ −γβγ( )ν l tensore NO

L’elemento di matrice deve essere scalare, pseudoscalare o una combinazione dei due dato che la parità non è conservata. Lo stato iniziale è pseudosclare

L’eelemento di matrice può contenere a priori qualsiasi degli invarianti bilineari

Abbiamo degli scalari (le masse) OK S e PS

Abbiamo un quadrivettore energia-momento totale OK V e A

Non possiamo usate T

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Decadimento del pione (3/3)Se la corrente debole è di tipo V p =pν

+ pl

M =..... fπφπ lpγν l =..... fπφπ l pν

+ pl( )γν l =.... fπφπ l γ pν

ν l +.... fπφπ l γ plν l

γ pνα − mν( )ν l = 0 ⇒ γ α pν

αν l = 0

l γ pl +ml( ) =0 ⇒ l γ pl

=−lml

per l’equazione di Dirac

Conclusione: L’elemento di matrice è proporzionale alla massa del leptone carico

M ∝ fπml

€

me2

mμ2

≈1

200

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟2

= 0.5 ×10–4 spiega l’ordine di grandezza del rapporto

Se la corrente debole è di tipo A

M =..... fπφπ lpγγ5ν l =..... fπφπ l pν

+ pl( )γγ5ν l =.... fπφπ l γ pν

γ5ν l +.... fπφπ l γγ5plν l

La conclusione vale sia per V sia per A, sia quindi per qualsiasi combinazione

Se corrente S o P non c’è proporzionalità a m2, quindi non vanno bene

Altri esperimenti V–A

Γ π → eν e( )

Γ π → μν μ( )=

1− me2 / mπ

2

1− mμ2 / mπ

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

me2

mμ2

1− me2 / mπ

2

1− mμ2 / mπ

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≅ 1.3×10–4Calcolando con V–A

SF Elemento di matrice

fπ= 130 MeV

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Numero barionico

B =N barioni( ) − N antibarioni( )

Nd =N d( )−N d( );Nu =N u( )−N u( )

S=Ns =N s( )−N s( );C =Nc =N c( )−N c( )

B=Nb =N b( )−N b( );T =Nt =N t( )−N t( )

Conservato da tutte le interazioni note

Numero barionico (totale)

Tre quark in un barione quark hanno B=1/3

I sapori dei quark sono conservati dalle IF, IEM, ma non dalle ID

τB p → e+π 0( ) ≥ 5.4 ×1033 a

τ B p → K +ν( ) ≥ 2.2 ×1033 a

Migliori limiti sperimentali da SuperK

Per confronto: età Universo = 1010 a

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p e+ π˚

Esposizione= 91.6 kt a 30 x1033 protoni x anno

Se il numero barionico non è conservato da qualche interazione, il protone può decadere: modi più probabili p e+ π˚ e p K+ ≠ν

Masse sensibili necessarie > kt. Due tipi di rivelatoritraccianti: non hanno raggiunto la massa necessariaCerenkov: limiti dominati da SuperKamiokande, Cerenkov a H2O con massa di fiducia = 22 kt

Nnucleoni =M ×103×NA =2.2×107 ×103×6×1023 =

=13.2×1033

10/18 sono protoni

N protoni,osserv. =1018

×13.2×1033 =7.4 ×1033

τ / B p → e+π 0( ) ≥ 5.4 ×1033 a

Efficienza 44%, circa il 50% delle volte il pione interagisce con il nucleo

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p K+ ≠νIl K+ ha velocità sotto soglia Cerenkov in acqua

Il protone decadrebbe a riposo, cioè CM

p2 +mK2 + p=mp ⇒ p=

mp2 −mK

2

2mp

=9382 −4942

2×494=339MeV

E =494MeV

1– 1/1.33( )2=749MeVEnergia di soglia del K

Ma il K decade Kµ νμdecade e il µ è sopra soglia τ / B p → K +ν( ) ≥ 2.2 ×1033 a

“Fondo” = 1.3 eventi, efficienza ≈ 50%.

La tecnica permette di esplorare un altro ordine di grandezza

Ma serve un Cerenkov (o comunque un rivelatore) di 1 Mt

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I numeri leptoniciNumero leptonico (tot.) L = N(e– + νe + μ– + νμ + τ– + ντ )–N(e+ + ≠νe + μ + + ≠νμ + τ + + ≠ντ )Numero elettronico L e = N(e– + νe )–N(e+ + ≠νe )

Numero muonico L μ = N(μ– + νμ )–N(μ + + ≠νμ )Nuemero tauonico L τ = N(τ– + ντ )–N(τ + + ≠ντ )

Tutte le interazioni note, forte, elettromagnetica e debole conservano i numeri di “sapore” leptonico e, a maggior ragione, il numero leptonico totale. I test più sensibili dei numeri leptonici di sapore sono basati sulla ricerca di decadimenti proibiti dalle leggi di conservazione Γ µ± → e±γ( )

Γ tot

< 5 ×10−11

Γ µ± → e±e+e–( )

Γ tot

< 1×10−12

Il MS assume la conservazione del numero leptonico totale e di quelli di sapore, ma

•Oscillazioni dei neutrini mu prodotti dai raggi cosmici nell’atmosferea

•Cambio di sapore dei neutrini elettronici nel sole

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Invarianza di carica, Spin isotopico o IsospinAnni ‘30 studi principio di invarianza della carica delle forze nucleari = due stati con lo stesso

JP che differiscano per un n sostituito da un p hanno la stessa energia

Nel 1930 Heisemberg propose il concetto di isospin: p e n sono due stati di una particella il nucleone, che ha I=1/2 e due stati con Iz=+1/2 e Iz=–1/2 e (doppietto di isospin), in analogia ai due stati di una particella di spin 1/2

nucleone=pn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

I z =+1/ 2I z =−1/ 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

Le masse di tutti i membri dello stesso multipletto devono essere uguali mp=mn La piccola differenza è una “rottura della simmetria” dovuta all’interazione EM

La rottura EM della simmetria di isospin è sempre dell’ordine di pochi MeV

Gruppo di simmetria: R(3) = SU(2). Multipletto = una rappresentazione del gruppo, contiene tante particelle quanta è la sua dimensione, ciascuna con un valore della carica, e di Iz

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Multipletti di SU(2)

Singoletto; 1 oppure I=0

Doppietto; 2 oppure I=1/2

Tripleletto; 3 oppure I=1

Quartetto; 4 oppure I=3/2

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Classificazione di livelli nucleariQuattro tripletti di livelli nucleari, con JP uguali e con masse (energie) quasi uguali

Il valore di Iz è definito a partire dalla carica Q (in unità di carica del protone) e dal numero barionico B dalla relazione

Q =I z +

B2

Iz è funzione della carica, quindi l’indipendenza dalla carica delle forze nucleari (e la conservazione di B) implica che Iz si conservi

L’interazione forte conserva I e Iz (analogia con momento angolare), è invariante rispetto a rotazioni nello spazio isotopico. Sotto SU(2)

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Classificazione degli adroni (con u e d)

L’ipercarica (del sapore)

Y=B+S

Q =I z +

B2

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L’isospin e i processi dinamiciπ– p π˚ n

I 1 1/2 1 1/2

I3 –1 1/2 0 –1/2

Interazione forte conserva I e I3

d d 4He π˚

I 0 0 0 1

Sperimentalmente la reazione non si osserva. Se avvenisse, sarebbe di IF con violazione di I <10–2 rispetto ad atteso se I non fosse conservato

0 γI 1 0

I3 0 0

Interazione elettromagnetica: il fotone è legato alla carica e quindi l’interazione può violare conservazione di I, al massimo di ∆I=1Ma conserva I3

Il γ non è un adrone, non ha isospin0 p π–

I 0 1/2 1

I3 0 1/2 –1

Q 0 +1 –1

B 1 1 0

Interazione debole (anche se non appaiono leptoni)

non conservati né I né I3

si conserva carica e numero barionico

NB. C trasforma Q–Q e B–B, quindi dato che Q= B +Iz/2, anche Iz –Iz

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Somma di isospinDue stati di isospin, ad esempio due nucleoni, si combinano a formare stati di isospin totale con le stesse regole della composizione dei momenti angolari

Nel caso dell’esempio 2 2=3 1 cioè il prodotto di due doppietti è la somma di un singoletto e di un tripletto

I , I z; I1, I2 = I1, I z1; I 2 , I z2 I1, I z1; I 2 , I z2 I , I z; I1, I 2In generale, sottintendendo le somme sugli indici ripetuti della completezza

coff. di Klebsh Gordan

Esempio. Il sistema πp può avere I=1/2 o 3/2. Tutte le ampiezze dei processi πp πp (elastici e scambio carica, sono combinazioni lineari di due ampiezze (complesse) A1/2 e A3/2 . Corrispondono a 3 numri reali, perché la fase complessiva non è osservabile

π +p → π + p

π − p → π 0n

π − p → π − p

π −n → π −n

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π +p = I , I z =3

2,3

2

Diffusioni πp

π −p =1

3

3

2,−

1

2−

2

3

1

2,−

1

2

π 0n =2

3

3

2,−

1

2+

1

3

1

2,−

1

2

π −n =3

2,−

3

2

π +p → π + p( ) = K A3/2

2

π −n → π −n( ) = K A3/2

2

π −p → π 0n( ) = K2

3A3/2 −

2

3A1/2

2

π −p → π − p( ) = K1

3A3/2 +

2

3A1/2

2

La previsione è verificata sperimentalmente e fornisce |A3/2|

Le altre due sezioni d’urto dipendono da questa e da due altri parametri |A1/2| e arg(A3/2*A1/2), cioè la fase relativa delle due ampiezze di isospin

π +p → π + p( ) = σ π −n → π −n( )

A basse energie le sezioni d’urto presentano un grande risonanza (di Fermi), la ∆, che ha I=3/2 come si deduce dal fatto che l’ampiezza |A3/2| domina le sezioni d’urto. Si osserva infatti che

π +p → π + p( ) :σ π − p → π − p( ) :σ π − p → π 0n( ) = 9 :1 : 2

Gli esperimenti danno a √s = 1.236 GeV 195:22:45 mb

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La parità GIl π˚ è autostato della coniugazione di carica C π˚ =+ π˚

G ≡exp −iπ I y( )C

π + =1

2π x + i π y( )

π 0 = π z

π − =1

2π x − i π y( )

`

π − =1

2π x − i π y( )

π 0 = π z

π + =1

2π x + i π y( )

1

2−π x −i π y( ) =−π +

−π z =−π 0

12−π x + i π y( ) =−π −

π+ e π– si scambiano C π + =+ π – ; C π − =+ π +

Tutti autostati di C seguita da una rotazione di 180˚ attorno a Iy

e−iIyC̀

G nπ = −1( )n nπ

G π =−πG è conservata dalle IF, non dalle IE e ID

è limitata a sistemi con B=S=0

Se I=1, come per pioni, stato con Iz=0, ha G=–C

Se I=0 ovviamente G=C

04/11/23 C.3 A. Bettini 30

Simmetria della funzione d’onda

Esempio d =pn l =0⇒ φ spazio( ) =simm S=1⇒ ξ spin( ) =simm

ne segue che (isospin) deve essere antisimmetrica Id=0, il deuterio infatti è singoletto

Tripletto S=1 Simmetrico

1

2⊗12=0⊕1 Due spin (isospin) 1/2 si combinano a fare spin (isospin) totale 0 oppure 1

0,0 =1212,12

12,−12

−1212,−12

12,12

1, 0 =1212,12

12,−12

+1212,−12

12,12

Singoletto S=0 Antisimmetrico

1⊗1=0⊕1⊕2 Due spin (isospin) 1 si combinano a fare spin (isospin) totale 0, 1 oppure 2

2,0 =161,+1 1,−1 +

231,0 1,0 +

161,−1 1,+1 S=2 Simmetrico

1, 0 =121,+1 1,−1 +0 1,0 1,0 −

121,−1 1,+1 S=1 Antisimmetrico

0,0 =131,+1 1,−1 −

131,0 1,0 +

131,−1 1,+1 S=0 Simmetrico