11. teknika e strategji tË zhvillimit tË mendimit kritik...

Prof. Bedri Jaka

www.bedri-jaka.com

11. TEKNIKA E STRATEGJI T ZHVILLIMIT T

MENDIMIT KRITIK N MSIMIN E MATEMATIKS

Proceset dinamike t zhvillimit n shoqri, shkenc, kultur dhe teknologji, ndikuan drejtprdrejt n aplikimin e metodave, strategjive, mjeteve dhe formave t organizimit t msimdhnies dhe t nxnies,tendenca t cilat nga brenda rrezatuan me nj ndryshim prmbajtjesor,n rolin e nxnsve,t msuesve,t prindrve dhe t faktorve t tjer n komunitet.

N vitin 1997, n Shqipri si dhe n 8 vende tjera t Evrops Qendrore e Lindore (numri i t cilave m pas arriti n 30) filloi zbatimi i projektit Zhvillimi i t menduarit kritik prmes t lexuarit dhe t shkruarit.Tek ne n Kosov, nisma e zbatimit t projektit n fjal ndodhi n vitin 2001. Tashm, teknikat,metodat dhe strategjit bashkkohse t msimdhnies dhe t nxnit, jan t pranishme, n t gjitha shkollat e arsimit formal. T menduarit kritik, dita-dits, po shndrrohet n filozofi udhheqse n arsimin ton kombtar. Gjat ktyre viteve jan zhvilluar veprimtari t shumta kshilluese e trajnuese. Jan botuar nj sr materialesh me vler, n form udhzimesh, broshura, revista dhe libra t cilt prdoren nga armata e msuesve dhe studentve. Teknikat dhe metodat bashkkohse t msimdhnies dhe t t nxnit nuk jan krejtsisht t reja. Pikmbshtetje e tyre sht metoda e puns me tekste (metod tradicionale) kuptohet vetiu, ndryshe t modeluara.

T lexuarit e shoqron nxnsin prgjat tr periudhs s shkollimit, pr t mos thn gjat tr jets! Procesi i t lexuarit, sot ka evoluar! Aktualisht, nprmjet t lexuarit (t vmendshm), nxnsi ndodhet n nj proces intelektual,prgjat t cilit, m shum do duhej t ndrtoj kuptimin e tekstit dhe m pak t bj riprodhimin e fjalve t tekstit.

Sot, msimdhnia prqendrohet n t nxnit e mbshtetur,m shum n kultivimin dhe prdorimin e shprehive te t menduarit dhe m pak n zotrimin e fakteve dhe t dhnave t shkputura. N vend t prvetsimit t njohurive, sot nga nxnsit krkohet t ndrtojn dhe t krijojn vet njohuri.

Msimdhnia bashkkohse e cila mbshtetet n strukturn trepjesshe (ERR) pr t nxnit ndrveprues dhe t menduarit kritik, sot pr sot, mbrthen n vete m shum se 30 metoda (teknika, ecuri) t aplikueshme pr msimdhnie, me synim q nesr a pasnesr, numri i tyre t jet akoma m i madh.

METODOLOGJI E MSIMDHNIES S MATEMATIKS

www.bedri-jaka.com

2

N kursin ton jan prpunuar (prkthyer dhe prshtatur) t thuash t gjitha metodat (teknikat dhe ecurit) msimore,aktuale, t cilat prvoja botrore e viteve t fundit i ka provuar si t suksesshme. Ato iu dedikohen t gjitha kategorive t nxnsve t mir dhe atyre m pak t mir.

S T R U K T U R A E O R S M E T O D A T M S I M O R E E R R

1 Prmbledhja e lidhjeve me shkencat e natyrs 2 Fletushkat e prziera 3 Ngjyrosje e lir 4 Analiza e tipareve kuptimore 5 Klastering 6 Harta e konceptit 7 Organizuesi grafik i analogjis 8 Marrdhniet pyetje - prgjigje 9 Pyetja sjell pyetjen 10 Imagjinat e drejtuar 11 Ecuria e t ri-pyeturit 12 Msimdhnia e ndrsjell 13 Ditari dy pjessh 14 Di Dua t di Msova m shum 15 Fjalt kye 16 Tabelat 17 Tabela e koncepteve 18 Diagrami i Vennit 19 Pesvargshi 20 Breinstorming 21 Diskutim pr njohurit paraprake 22 Algoritmet 23 Kubimi 24 Letra sekrete 25 Cili sht numri 26 Intervista me tre hapa 27 Tryeza e rrumbullakt 28 Kndet 29 Grupet e ekspertve (xhigsou) 30 T lexuarit n dyshe 31 INSERT 32 DRTA 33 Rrugzgjidhje pr t lexuarit n matematik *) Projekti 6 vjear nga Kanadaja KEDP (Kosovo Educator Development Project), (2001-2007) mundsoi Trajnimin e m shum se 14 mij msuesve n tr Kosovn, n zbatim t prvojave dhe teknikave bashkkohse n msimdhnie.

TEKNIKA E STRATEGJI T ZHVILLIMIT T MENDIMIT KRITIK

www.bedri-jaka.com

3

Kuptohet vetiu, do lnd msimore i ka specifikat e saja t dukshme. N kt drejtim, nuk sht e mundur q t gjitha ecurit,teknikat dhe metodat bashkkohse t mund t aplikohen njtrajtsisht n t gjith lmenjt e kurrikulit. Pra t gjitha teknikat msimore nuk kan po at rndsi pr msimin e matematiks. Disa prej tyre jan t pa aplikueshme apo pr tu aplikuar, msuesi do t duhej t jet maestro i msimdhnies. Shumica mund t prdoren,bile n seciln nga fazat (Evokim, Realizim i kuptimit, Reflektim). Pr qllime praktike, ofrojm katalogun e teknikave bashkkohse n msimin e matematiks, s bashku meshenjza, npr faza t ors msimore, ku ato mund t gjejn zbatim. (shih. tabeln f. 278 ).

Pr prdorimin e metodave bashkkohse t msimdhnies duhet ndjekur Kurset e aftsimit *). Konsultimi i literaturs vetm pr vetm nuk mjafton!

Pr tiu ardhur n ndihm msuesve t matematiks e nprmjet tyre edhe nxnsve, kemi przgjedhur dhe prshtatur 33 metoda (teknika) msimore: t kollajshme,t nivelit t ndrmjetm dhe t ndrlikuara, t cilat ndiqen nprmjet shembujve.

11.1 PRMBLEDHJA E LIDHJEVE N SHKENCAT E NATYRS (Buehl, 1992)

Si u krijua shkenca e matematiks? Prej simbolit t par n matematik, q

shnonte numrin 1, sa mijra vite kan kaluar? Prse n gjuhn matematike komunikohet pa prkthyes? Si lviz rryma elektrike npr tela? Si u zbulua telefonia pa tela? Prse Toka e detyron Hnn t rrotullohet rreth saj?...T gjitha kto dhe shum e shum t tjera, njerzit me vetdije i vzhgojn,duke e kaluar nj pjes t jets, n prpjekje pr ti kuptuar ato. Nxnsit duke lexuar prmbajtje nga shkencat e natyrs, ndeshin fjal,emrtime,nocione,relacionet panjohura deri ather pr ata, por q kan kuptime t sakta,n gjuhn e shkencs. N kto informacione shkencore, ata shpesh mbesin t hutuar, meq n librat e tyre nuk gjejn as m t vogln lidhje t mundshme midis shkencs dhe t kuptuarit e bots q ata i rrethon!

Prmbledhja e lidhjeve n shkencat e natyrs sht nj metod e aplikueshme, para leximit t nj materiali shkencor e q i mobilizon nxnsit pr ta instaluar kt lidhje.

Zbatimi i metods prfshin hapat e mposhtm : 1. Przgjidhen shembuj t ndryshm materialesh shkencore dhe nga nxnsit krkohet t zbulojnsi ndrlidhet materiali i caktuar me jetn e tyre. 2. Msuesi lexon me t shpejt nj material shkencor ku prmenden nocione pak a shum t njohur dhe disa sish t panjohur, ndrkaq nxnsit n flett e bardha t tyre, mbajn shnime vetm pr nocionet e llojit t par. 3. Nxnsit (n dyshe) identifikojn nocionet thelbore, t kapitullit duke u futur n analizn e tyre dhe m pas formulojn pyetje lidhur me materialin. 4. Me gjas, disa prgjigje mund t vjeln nga materiali, ndrkaq disa t tjera, do duhej ti ofroj msuesi.


www.bedri-jaka.com

4

Shembull: 1) Kur lindi dhe si lindi ideja themelore pr derivatin? 2) Cili ishte zbatimi epokal i derivatit t funksionit? 3) Hamendso lidhur me kuptimin gjeometrik t derivatit? 4) Pas zbulimit t derivatit, cilat probleme praktike gjetn zgjidhje? 5) far e lidh derivatin me : Shpejtsin e lvizjes s nj pike? Shpejtsin e ftohjes s trupit? Prqendrimin e tretjes? 6) N cilat disiplina shkencore-teknike gjen zbatim ideja e derivatit?

11.2. FLETUSHKAT E PRZIERA Msuesi mund t ofroj 10, 11, 12 e m shum copza letrash t veanta,

n t cilat mund t jen shkruar simbole, zgjidhje, relacione,..., t shkputura nga nj problem t zinxhirt i zgjidhur, ku n mesin e tyre dy-tre sosh jan copza letrash boshe. Gjithashtu mund t ofrohen bashksi nocionesh t prziera, nj thes simbolesh t fardoshm, algoritme t (pa)sakta, pjes fjalsh e fjali t shkputura dhe t prziera. Ato vendosen diku afr tabels shkollore dhe nga nxnsit krkohet ti rivendosin me renditje logjike. Secili nxns vendos nga nj copz letre (ku mund t jet i shnuar apo shnohet barazimi, operacioni, faktori, nocioni, shprehja algjebrike, relacioni) n pozicionin ku ata mendojn dhe vlersojn q sht logjike, duke i mbshtetur ato pozicione edhe me arsyetime gojore (prov).

N bashksin e fletushkave mund t jen hedhur qllimisht edhe ndonj fletushk tepric, t cilat nuk jan t adresuara pr detyrn n fjal. Funksioni i nj apo dy fletushkave tepric sht q t largojn vmendjen e atyre nxnsve q jan t pasigurt ose q dyshojn n renditjen logjike t fletushkave.

Pasi nxnsit e paraleles pak a shum t jen t nj mendjeje me kt renditje, msuesi ofron nj kopje t dyt t asaj far sht zgjidhja deri n at moment, pr t krahasuar nse edhe kopja e dyt prmban renditje t njjt sikurse ajo q kan br ata vet.

Shembull. 1 Sistemojeni copzat e letrave t cilat prligjin zbrthimin e shprehjes n

faktor!

14ab + 15ac 10a 21bc

5a(2a-3c) 7b(2a 3c) = = 7b(2a 3c) 5a(3c 2a) + 7b 5a = 2a 3c


www.bedri-jaka.com

5

x + 2y = 6 x = 3 2y 2x + y = 3 x = 1 /2

Zgjidhje :

= 7b (2a 3c) + 5a (3c 2a)

= 7b (2a 3c) 5a (2a 3c)

= (2a 3c) (7b 5a)

Shembull. 2 Udhheqsi i seancs ka paraprgatitur 4 zarfe (pr do grup nga nj

zarfe). N zarfe gjenden zgjidhjet e dy detyrave (sisteme te ekuacioneve lineare me dy t panjohura).Relacionet nprmjet t cilave zgjidhen detyrat jan t prera n copza. Copzat vendosen n pozicionin ku ata gjykojn q sht logjik. 2x + y = 3 2x y = 2 x = 3 2 /2 x + 2y = 3 x + 2y = 6 ---------- -------------- y = 2 5x = 10 y =1 4x -2y =4 + 2x +4y = 6 2x 2= y 3y = 3 x= 2 42 = y

11.3. NGJYROSJE E LIR

N fazn e evokimit dhe t reflektimit mund t merren detyra t cilat paraqesin si nj lloj kalimi nga matematika n art, t zm, pankarta t veanta t nj tabele e cila mund t jet e qndisur me prodhime, hers, fuqi, shumzime, pjestime, lidhur me numra natyror; numra me shenj; numra me presje; numra prpjestimor; shprehje shkronjore; faktorizime; thyesa, prqindje Vlerat numerike npr pankarta s pari do duhej ti llogaritnim e m pastaj ti ngjyrosnim dhe kjo, vlerat numerike t barabarta hijesohen me ngjyr t njjt.

Kjo teknik ka pika takuese me tipin e testit tabelor dhe atij me mbarshtim. Ky lloj arti do t duhej t jet n funksion t arsimit matematik. Shfrytzohet si mjet pr t joshur nxnsit q ata padiktueshm t futen n botn magjike t numrave dhe shprehjeve (numerike apo shkronjore). Ksaj radhe nxnsit do t duhej t jen nn trysnin e kohs, duke zn kshtu fill shkathtsia, shpejtsia dhe saktsia e llogaritjes s shprehjeve numerike apo shprehjeve shkronjore. Po qe se forma e puns individuale del joefikase (nxnsit nuk jan shum t sigurt n caktimin e ngjyrs, pr pankarta t caktuara), ajo do t mund t zvendsohet me formn e puns n ifte.

N vazhdim, nxnsit do tia lexojn njri-tjetrit ngjyrosjen (hijesimet) e shprehjeve numerike apo shkronjore dhe t rezultateve prkatse.


www.bedri-jaka.com

6

Shembull.

5

3 150 % 1.1 0.5 6 4.5

15 : 24 20

8+

35

7

2

3 7

8

1 : 11

5

2

52

1: 3

3

2

8

5 62.5 % 60 %

11.4. ANALIZA E TIPAREVE KUPTIMORE (SEMATIKE)

(Johnson & Pearson 1984)

Si njra ndr teknikat e msimdhnies dhe e t nxnit, konsiston n t prcaktuarit e tipareve thelbore t nj nocioni. sht njra ndr llojet e kollajshme t teknikave t msimdhnies. Trajtohet ather po qe se njohurit fillestare t nxnsve lidhur me nocionin, relacionin, algoritmin, operacionin, figurn, trupin, numrin, nuk jan t mjaftueshme. Kjo teknik iu referohet analizave krahasuese t tipareve t nj nocioni,relacioni,operacioni t ri, m pak t njohur, me tiparet e dy, tre apo m shum nocioneve, relacioneve, operacioneve m t njohura pr nxnsit.

Msuesi prpilon nj tabel dhe e paraqet para nxnsve nprmjet aparateve projektuese ose n nj tabak t madh letre. T zm,emrtimet e katr nocioneve q do t krahasohen, shkruhen n nj shtyll, n t majt t tabels dhe n rreshtin horizontal, n krye t tabels vendoset nj list me tiparet(veorit), n mbshtetje t s cilave do t krahasohen kto nocione.

Fillimisht nxnsit diskutojn pr tre nocionet e njohura duke shnuar + pr po dhe pr jo apo edhe ? pr t treguar pasigurin e tyre pr at tipar.

Shembull

Nj

pal

brin

j p

aral

ele

Dy

pal

br

inj

par

alel

e

Dia

gona

le

ndr

sjel

l

ping

ule

Dia

gona

le

t b

arab

arta

Dia

gona

le

ping

ule

t

paba

raba

rta

Dia

gona

le jo

-pin

gule

t

bar

abar

ta

Dia

gona

le

ping

ule

t

bara

bart

a

Katrori + + + + Rombi + + + Trapezi barakrahs

+ + +

Deltoidi + + Para se t filloj faza e realizimit t kuptimit, nxnsit i lexojn parashenjat e shnuara, t cilat me gjas edhe i korrigjojn.


www.bedri-jaka.com

7

11..5. KLASTRING (PRVIJIMI I T MENDUARIT) (Barron,1969)

Mbshtetet n t paraqiturit e nj skeme, pr t kuptuar ur-lidhjet e nj informacioni t caktuar, brenda prmbajtjes s nj tabloje, tamam si nj udhrrfyes i cili prgjat nj udhtimi zigzag tregon cakun q dshiron t arrij.

Fjala Klaster (n anglishte Cluster, Clustering) do t thot grumbull. Klasteri sht njra ndr teknikat e Mendimit kritik dhe ktu e ka kuptimin si harta e mendimeve pema e mendimeve apo pema e mendjes.Boshti i ksaj strategjie sht pr ti joshur,nxitur dhe motivuar nxnsit q t mendojn,t flasin dhe t shkruajn;lirshm,hapur dhe sa m shum: nocione, relacione, ide, mendime, fjal, simbole t cilat kan lidhje me nocioninfiks, t paramenduar dhe t przgjedhur. Frutat e Pems s lulzuar zbulohen duke u mbshtetur n asociacione aritmetike.

Prpilimin e harts s mendimeve duhet kuptuar si nj loj fjalsh e t menduarit jo t njtrajtshm. Shfrytzohet edhe pr qllime njohjeje dhe vlersimi t njohurive lidhur me nj tem t caktuar. Klasteri prdoret n fazn e Evokimit dhe t Reflektimit pr t joshur dhe nxitur t Menduarit kritik, para se t zbulohet dhe shtjellohet prmbajtja e re msimore, si nj shteg, pr t kapur dhe ndrtuar lidhje t reja.

Klasteri mund t skicohet nprmjet puns individuale ose puns n ifte. Formimi i tij nuk do t duhej t paraqes vshtirsi!

Si shkon puna pr ta skicuar klasterin? Fillimisht,

1. Shkruani nj nocion, t przgjedhur, n qendr t nj tabaku letre, apo n tabel. M pastaj, 2. Filloni t shkruani t gjitha nocionet e tjera q mendoni se kan lidhje me nocionin e przgjedhur; 3. Filloni t vni lidhjet dhe urat grafike t miqsis midis nocioneve q i prkasin gjinis s njjt apo t ngjashme, me pamje t nj rrjete merimange dhe 4. Gjat kohs s skicimit t klasterit duhet t shkruani sa m shum nocione derisa koha e lejuar mbaron apo mendimet shterojn.

Pr t sajuar nj Klaster ekzistojn katr rregulla, t cilat do t duhej t ndiqen: (a) Shkruani at q n momentin aktual ju vjen n mendje; (b) Nocionet e menduara mos i paragjyko; (c) Pr mnyrn e t shkruarit dhe gabimet e dala mos u shqetso dhe (d) Gjat harkut kohor t lejuar (10-15 min.) kurr mos ndalo t shkruarit

Po qe se do ta prdorim klasterin, do t duhej ta zgjedhim nocionin apo temn, pr t ciln i tr grupi i nxnsve ka para-njohuri t mjaftueshme dhe preference. Tema do t duhej t jet joshse, interesante dhe e njohur, nga e cila do t mund t lulzoj natyrshm,nj klaster i plot. Kur t gjith


www.bedri-jaka.com

8

pjesmarrsit ta ken formuar klasterin,ekziston mundsia pr ta kmbyer mes veti Pemn e mendimeve, n grupe apo n ifte.

Klastering paraqet nj oaz pr nj pushim t kndshm dhe bn q t gjith nxnsit t jen barts n procesin e t menduarit.

Shembull :

11.6. HARTA E KONCEPTIT (Schwarz & Ralphael, 1985)

Harta e konceptit, n cilsin e tekniks s msimdhnies dhe t t nxnit,

ofron ndihmesn e saj pr t kuptuar n detaje nj emrtim apo nj nocion. Harta e konceptit (prkufizimit) sht struktur grafike (e ngjashme me

Klasterin), me rast vmendja e nxnsve prqendrohet n prbrsit kryesor t nj prkufizimi:

- klasa apo kategoria; veorit apo karakteristikat; ilustrimet apo shembujt

Aplikimi i tekniks prfshin hapat vijues : 1. Nj hart e konceptit t caktuar ekspozohet n tabel apo n nj flet

transparente mbi projektor ! Dhe kjo n cilsin e modelit ! Pr ta formuluar nj prkufizim, lidhur me konceptin e ekspozuar, parashtrohen pyetje, t zm - far sht ky ? Ku bn pjes ? Si zbrthehet ? - far jan t veantat e tij ? Si konstruktohet ? - Ku na shpie mosnjohja e tij ? Ilustroje me disa shembuj !

2. Prcaktohemi pr punn n ifte. Nga materiali i shkruar przgjidhet koncepti i ri, kryesor. Nxnsit mund t shrbehen me kto burime informacioni: para-njohuri fillestare, pjesa e leximit dhe nj fjalor.

3. N astin kur nxnsit t ken prfunduar s skicuari hartat e tyre t konceptit, fillojn t shkruajn nj prkufizim lidhur me konceptin. Prkufizimi duhet t prfshij kategorin e fjals,veorit dhe shembuj.

Fig. 159


www.bedri-jaka.com

9

E veanta e ktij lloji prkufizimi sht thurur me shum fjal, duke zgjeruar gamn e prcaktimeve t thjeshta t fjalorit.

Shembull: HARTA E KONCEPTIT SHUMKNDSH I RREGULLT

Ku shtrihet ? far sht ? far veori prmban ?

Rrafsh

Prizma

Hapsir

Prerje boshtoree konit barabrinjs

Piramida

Baza

Mbshtjellsi

Trekndshikarakteristik ishumkndshit

FIGUR GJEOMETRIKE

SHUMKNDSH

I

RREGULLT

POLIGONI I RREGULLT

SHUMKNDSHBARABRINJS

SHUMKNDSHBARAKNDS

Vij e thyer e mbyllur

Brinj t barabarta

Jashtashkruhet rrethi

Brendashkruhet rrethi

Konstruktohet

Qendra e shumndshit

Simetri boshtore

Simetri qendrore

Fig. 160

Prkufizimi lidhur me konceptin: 1. Shumkndsh i rregullt quajm:

- shumkndshin barabrinjs; - shumkndshin, kndet e brendshme e t cilit jan t barabarta.

2. N do shumkndsh t rregullt mund t brendashkruhet dhe t jashtshkruhet rrethi 3. do shumkndsh i rregullt sht figur:

- me simetri boshtore - me simetri qendrore

4. Shumkndshat e rregullt konstruktohen n mbshtetje t nj ligjsorie t caktuar. 5. Poligoni i rregullt sht figur gjeometrike, m simetri boshtore dhe qendrore.

11.7. ORGANIZUESI GRAFIK I ANALOGJIS (Buehl & Hein. 1990)

sht njra ndr llojet e teknikave msimore e cila paraqitet me nj struktur pamore, nprmjet s cils analizojm lidhjet kryesore t dy nocioneve, n nj analogji (form-prfundimi, e mbshtetur n ngjashmri). Organizuesi grafik i analogjis iu ndihmon nxnsve pr t evidentuar ngjashmrit dhe dallimet, midis nj koncepti t ri (relacioni, nocioni ) dhe nj tjetri tashm t njohur.


www.bedri-jaka.com

10

LINEAR

KONCEPTI I NJOHUR

INEKUACIONI (JOBARAZIMI) EKUACIONI (BARAZIMI)

Ana e majt dhe e djatht e ekuacioneve Ana e majt dhe e djatht e inekuacioneve

Tek ekuacionet, bashksia e zgjidhjeve ka t shumtn nj element. Tek inekuacionet, bashksia e zgjidhjeve ka nj numr t pafundm elementesh.

Aplikohet vetia aditive pr ekuacione Aplikohet vetia aditive pr inekuacione.

Tek ekuacionet nuk bhet fjal pr intervalin e zgjidhjes dhe zgjidhjen n form grafike Tek inekuacionet krkohet t paraqiturit e intervalit t zgjidhjeve dhe paraqitja grafike e zgjidhjes

Aplikohet vetia multiplikative pr ekuacione Aplikohet vetia multiplikative pr inekuacione

Ekuacioni nuk e ndryshon zgjidhjen Inekuacioni nuk e ndrron kahun

Ekzistenca e ekuacioneve katrore Ekzistenca e inekuacioneve katrore

Provohet saktsia e zgjidhjes s ekuacioneve Provohet saktsia e zgjidhjes s inekuacioneve

Tek zgjidhja e ekuacionit nuk ndeshemi me simbolet , Tek zgjidhja e inekuacioneve simbolet plus infinit dhe minus infinit jan t pranishme

Inekuacionet krahasuar me ekuacione jan m t ndrlikuara pr tu zgjidhur, por kan vler m t madhe arsimore.

Aplikohet pr t paraqitur nj tem apo pr t orientuar t kuptuarit, gjat leximit t materialit apo edhe pr t zgjeruar t nxnit, pas leximit t materialit. Zbatimi i ksaj ecurie prfshin hapat e mposhtm: 1. Przgjidhet nj koncept i njohur i cili mund t shrbej si ur-lidhje me konceptin e ri. 2. Skicojm Organizuesin grafik t analogjis, n tabel apo n nj flet t bardh. M pas, zhvillohet nj debat i hapur lidhur me karakteristikat e prbashkta dhe t veanta, pr t dy konceptet. 3. N grupe bashkpunuese, evidentohen radhazi ngjashmrit dhe dallimet, t cilat m pas shnohen n shtyllat prkatse.

Shembull:

KONCEPTI I RI

Ngjashmrit Dallimet


www.bedri-jaka.com

11

11.8. MARRDHNIET PYETJE-PRGJIGJE (MP-P)

(Raphael 1982,1986)

Praktika shkollore ka regjistruar shum her ankimin nga nxnsit: Nuk mund t gjej dot prgjigje pr kt pyetje.! Tzbuluarit dhe t gjeturit e prgjigjeve prkatse-pr pyetje t parashtruara, sipas t gjitha gjasave, z pjesn m t madhe, t puns s nxnsit n shkoll.

Le t marrim pr shqyrtim katrori i binomit. Fillimisht, disa nga nxnsit nuk din sht binomi ? Pr tiu prgjigjur pyetjes s tyre, do t duhej t flasim pr monomin, binomin dhe polinomin.

Monome : 5ax ; 0.9xy ; 7

3 bcx

(Shprehja racionale q prmban veprime t shumzimit dhe fuqizimit me numr natyror, quhet monom)

Polinome: ab-ab, 4x+6xy+9y ; 3x-2x+7x-6x ; (Polinom quhet shuma algjebrike e dy apo m shum monomeve) Nga prkufizimi i fundit pason q ekzistuaka shuma algjebrike e dy

monomeve : (a-b) ; (a+b) ; (2a+3b) Kshtu zbuluam far quhet binom! Pra nxnsi,m par do t duhej ta ket t qart konceptin e binomit (a-b); (a+b) e m pastaj t zbuloj formuln pr katrorin e binomit (a+b); (a-b) ; (2x+3y) etj

Marrdhniet pyetje-prgjigje (MP-P) prcakton cilsin e msimdhnies dhe e t nxnit.

Shpesh nxnsit kan prirje pr t krkuar prgjigje t drejtprdrejta n tekstin e paraqitur. Po qe se kjo mnyr nuk funksionon, ata fajsojn tekstin, librin, ndjehen t tradhtuar nga msuesi dhe vet-dorzohen! Disa t tjer nuk jan kureshtar n lexim dhe ata mbshteten vetm n at q din! (pavarsisht se far sht thn n tekst !)

N pyetjet e parashtruara mund t vjelim : - prgjigje t dhna nga autori i librit dhe - prgjigje q do t duhej t zbulohen, mbshtetur n para-njohuri,mendime dhe gjykime t lexuesit (nxnsit).

Aplikimi i tekniks MP-P prfshin hapat e mposhtm : 1. Paraqitja MP-P (nprmjet nj shembulli t thjesht) do t duhej t qartsoj dallimet : MP-P: n libr dhe MP-P: n kokn e nxnsit.

Shembull: ka quajm paralelopiped dhe paralelopiped knddrejt ?

Gjat kohs derisa nxnsit bjn prpjekje pr t dhn prgjigje, pjesa e tekstit q ofron informacion pr prgjigje, do t duhej t lokalizohet! (prkufizimi pr nocionin paralelopiped dhe paralelopiped knddrejt).


www.bedri-jaka.com

12

M pas parashtrohen pyetje q krkojn njohuri baz. Pyetje nkokn time (t nxnsit) mund t jen:

- far quajm paralelopiped i drejt ? - far quajm paralelopiped knddrejt barabrinjs ? 2. Me nxnsit debatohet: Si mund t gjenden disa prgjigje n tekst, ndrsa disa t tjera krkojn informacione shtes. T zm, pr pyetjet n kokn time, mund t ofrohen kto prgjigje : Prizmi, bazat e t cilit jan siprfaqe paralelograme quhet paralelopiped. Paralelopipedi, brinjt ansore e t cilit jan pingule mbi bazat, quhet paralelopiped i drejt. Paralelopipedi i drejt, bazat e t cilit jan siprfaqe drejtkndshe quhet paralelopiped knddrejt (kuadr). Paralelopipedi knddrejt barabrinjs quhet kub.

Po qe se vihet pyetja: far quajm paralelopiped knddrejt barabrinjs, do t themi q t dyja prgjigjet ndodhen n tekst, por pyetjet e vendosura s bashku prfshijn prgjigje ndrtuese, duke shfrytzuar informacione plotsuese. Nxnsit i mbetet pr t lokalizuar seciln pjes t pyetjes (1) paralelopiped; (2) drejt; (3) knddrejt dhe (4) barabrinjs, pr t formuluar prgjigjen prkatse. 3. MP-P n kokn time, gjithashtu prmban dy degzime : MP-P: autori dhe un MP-P: sipas meje

Po qe se prgjigjet ndrtohen mbi bazn e t dhnave dhe fakteve t vjela nga libri shkollor, por edhe mbi bazn e para-njohurive t prgjithshme, ather autori dhe nxnsi kan mendim t njjt.

Lloji i dyt MP-P: n kokn time mbshtetet vetm n njohurit aktuale t nxnsit. Duke u mbshtetur n at far din, ai e hamendson prgjigjen. 4. Duhet theksuar q njohja e tipit t pyetjes (njri prej katr kategorive) sht hap parsor drejt vetvendosjes pr prgjigje. Nprmjet ushtrimeve, nxnsit aftsohen pr ti dalluar llojet e pyetjeve. N fund, nga ata, krkohet mbase t formulojn edhe shembuj!

11.9. PYETJA SJELL PYETJEN (Presslye, 1998)

Prfaqson nj metod msimore reflektimi, e cila ka pr synim

aktivizimin e nxnsve, si t ishte nj zgjua bletsh.Duke prdorur njohurit fillestare lidhur me nj apo disa tema kontribuohet n prmirsimin dhe plotsimin e t kuptuarit t tyre.

Pse? Prse? me gjas sht pyetja m domethnse n procesin e msimdhnies dhe t nxnies. Kto jan pyetje, q ndrsjell iu parashtrohen nxnsve, por edhe msuesve. T gjith e kan provuar kt pyetje ngulmuese. Nga prgjigja q marrin, fmijt bjn prpjekje pr ti dhn kuptim bots q i rrethon. Nprmjet pyetjeve tek nxnsit krijohet qndrimi


www.bedri-jaka.com

13

kureshtar ndaj t nxnit, me premis q informacioni i sqaruar dhe i msuar njher, mund t mbahet n mend! sht pr tu ardhur keq, q nxnsit me kalimin e viteve n shkoll, reflektojn m pak prirje pr t pyetur!

Zbatimi i ksaj metode prfshin kta hapa : 1. Formulohen pyetje lidhur me materialin q do t shqyrtohet. Derisa nxnsit bjn prpjekje pr t gjetur prgjigjet e mundshme, msuesi mund t shpalos ndonj dromc informacioni, e cila ka pr tiu ndihmuar. 2. Pyetjet :Pse? Prse? Si? far? Kan pr ti nxitur nxnsit pr t zbuluar s paku nj lidhje t mundshme, n relacionin shkak(arsye)-pasoj(rrjedhoj), i cili mund t shpie npr dy shtigje : a) T krkuarit e informacioneve pararendse n librin shkollor apo b) T aktivizuarit e informacioneve tashm t njohura.

Nxnsit mund t shprehin shqetsim lidhur me at, meq nuk din aq sa duhet, pr faktin q nuk iu sht treguar aq sa duhet, pr t dhn prgjigje t plot dhe t vetme. Msuesi do duhej sqaruar situatn duke u thn: Lidhur me pyetjen pse, jo gjithmon mund t ofrohen prgjigje t duhura. - Pavarsisht nga prgjigjja q mund t ket ofruar nxnsi, ai duke u futur n analizn e informacioneve, ato ka pr ti prpunuar n detaje, krahasuar me leximin rutin t materialit. 3. Pr t rishqyrtuar informacionin, nxnsit do t punojn n dyshe. Ata do t kmbejn ide origjinale, lidhur me prgjigjet e mundshme.

N vazhdim, nprmjet prpunimit t nj, dy, tre paragrafve t nj teme tjetr msimore, ata do t ushtrojn formulimin e pyetjeve me fjaln pse ?

Shembuj: Nse kndi i nj trekndshi sht 90, ather shuma e dy kndeve t

tjer sht gjithashtu me 90. Prse ? Kur konstruksioni i trekndshit sht i pamundur?

N nj trekndsh knddrejt, kateti prball kndit 30 sht sa gjysma e hipotenuzs! Prse ? Ndrkaq, kateti prball kndit 60 sht m e gjat! Gjysma e hipotenuzs me far shumzohet?

Kndi periferik sht sa gjysma e kndit qendror, t ndrtuar mbi t njjtn kord. Prse ?

Kndet periferike t ndrtuara mbi t njjtn kord jan t barabarta. Prse?

Kndi periferik i ndrtuar mbi diametr t rrethit sht i drejt!Prse? Teorema e Pitagors na mundson t llogarisim: gjatsin e diagonales

s katrorit, drejtkndshit lartsin e trekndshit barabrinjs Si llogaritet gjatsia e diagonales s romboidit ?!! Prse ? Si shpjegohet llogaritja e diagonales s rombit ? Po, deltoidit ? Prse ?


www.bedri-jaka.com

14

11.10 IMAGJINAT E DREJTUAR

T nxiturit e imagjinats (fantazis) iu ndihmon nxnsve pr t ndjekur nga afr, at far lexojn! T ndihmosh nxnsit pr t prfytyruar, do t thot, ti japsh frymmarrje materialit. Mbase, lexuesit produktiv jan t zott, pr t krijuar vet imazhe, gjat leximit. Imagjinata e drejtuar aplikohet pr ta stimuluar leximin e vmendshm, me qllim hulumtimi dhe zbulimi t ideve risi.

Para se t fillojn nga puna, nxnsit ndahen n dyshe. Kjo metod msimore realizohet nprmjet ktij katr-hapshi: 1. Sugjerohet nj imazh ( figur, vizatim, konstruktim, trup gjeometrik, relacion, numr, kapitull ), t cilin nxnsit do t duhej ta prshkruajn, ta zbrthejn,ta analizojn n prpjekje pr t zbuluar figura,relacione, ligjsori, modele, t reja t papara dhe t padgjuara deri ather! 2. Nprmjet nj vmendjeje t prqendruar (nxnsit bjn disa frymmarrje t thella dhe pr nj ast mbase duke i mbyllur edhe syt !), ata do duhej t vjelin nj numr elementesh pamore t cilt jan pjes prbrse e informacionit. 3. Paraqitet ushtrimi me informacione baz, lidhur me at q do ta prfytyrojn!Ata nxitn pr ti futur n prdorim shqisat e tyre.S bashku me imazhin, nxnsve iu citohet edhe nj fjali plotsuese, dhe m pas mbretron heshtje deri n prpunimin e imazhit. 4. N prmbyllje nxnsit shpalosin reflektimet e tyre, lidhur me at far imagjinonin, duke parashtruar edhe pyetje.

Shembull 1. Si e prfytyroni madhsin e nj numri ? Shpejtsia e lvizjes s veturave mund t jet, t zm, 50 km. n or,

60,, por edhe 150 km. n or, Aty dhe ather kur bhet fjal pr shpejtsin e lvizjes s nj trupi,

n matematik, zakonisht merret shpejtsia mesatare. Nj vit ka 365 dit, ndrkaq nj dit ka 24 or. Njeriu ka shkelur n Hn

Largsia Tok-Hn sht afrsisht 357000 km.,ndrsa largsia Tok-Diell sht afrsisht 149500000km. Imagjinoni nse nj vetur do t ecte pa u ndalur me shpejtsi 75 km. n or. Sa dit (24 orsh) do ti duheshin pr t udhtuar

a) nga Toka n Hn ? b) nga Toka n Diell?!! Shembull 2. Gazeta sportive dha kt njoftim: Ndeshja ndrkombtare

Brazil-Angli u ndoq n televizor nga 2 miliard njerz. - A i kan numruar nj pr nj t gjith njerzit q pan ndeshjen n TV. - Si sht vepruar, pr t gjetur numrin 2 miliard?

Shembull 3. Vshtroni me kujdes ilustrimin me diagrame (Fig 129) dhe ilustrimin grafik (Fig. 130)

Imagjinoje q ti e ke ndrtuar ! Shpjegoje ndrtimin e tyre !

200 dit 200 vite


www.bedri-jaka.com

15

11.11. ECURIA E T RIPYETURIT

Aplikohet n mbshtetje t nj teksti informues i cili prmban tre apo m shum paragraf, t thura me m pak fjal !

Dy nxns lexojn tekstin s bashku dhe ndalojn n fund t do paragrafi dhe pyesin njri-tjetrin ndrsjell. Pyetjet jan t lidhura me ide thelbore t paragrafit. Ato do t duhej t thuren ashtu, q t mos vjelim prgjigje t gatshme n paragraf.

Ecuria e t ri-pyeturit konsiston n at, pyetjet do t duhej t jen hulumtuese ndrsa prgjigjet t jen zbuluese (produktive). Mnyra e parashtrimit t pyetjeve bn q nxnsit ti reflektojn para-diturit dhe diturit aktuale. Pyetjet prodhojn dhe kontrollojn njohuri. Kuptohet vetiu, modelimi dhe rrjedha e disa pyetjeve mund t jen t paqarta, por edhe disa prgjigje t nxnsve mund t jen t pasakta!

N vazhdim, msuesit i vjen radha pr tu pyetur nga nxnsi, pr paragrafin, rregulln, relacionin, algoritmin, ligjsorin e njjt dhe ai duhet t prgjigjet !

Kur mbaron nxnsi i vjen radha msuesit pr t br pyetje! Kshtu, duke i krahasuar prgjigjet e nxnsve me ato t msuesit, nxnsit e tjer do ti hetojn gabimet eventuale tek pyetjet dhe prgjigjet e nxnsve, t cilat me gjas do t korrigjohen.

Pasi t jet sqaruar prmbajtja e paragrafit t par, me ecuri identike apo t ngjashme do t mund t kalohet n paragrafin e dyt dhe kshtu me radh.

Ecuria e t ri-pyeturit mund t aplikohet edhe n tr paralelen njkohsisht. T gjith nxnsit lexojn n heshtje paragrafin e par. M pas, njri pas tjetrit fillojn, ta marrin n pyetje, msuesin! N fund rolet ndrrohen, nxnsit lexojn paragrafin e dyt, ndrsa msuesi iu parashtron pyetje-nxnsve.

Shembull. Shuma e kndeve t brendshme t nj trekndshi sht 180. Kndi i brendshm dhe kndi i jashtm 1 jan knde t prbrinjshm, shuma e t cilve sht baras me dy knde t drejta. N do trekndsh prball brinjve t barabarta ndodhen knde t barabarta.

Ja pyetjet e lidhura me ide thelbore t paragrafve t msiprm 1) Zbulojeni barazimin midis kndit t jashtm dhe atyre t brendshm! (Meqense + 1 = 180 dhe + ( + ) = 180 pason 1 = + . Vazhdo interpretimin!) 2) Zbulojeni madhsin e kndeve t brendshme t trekndshit barabrinjs! 3) Zbulojeni madhsin e kndeve t brendshme t trekndshit knddrejt barakrahs!


www.bedri-jaka.com

16

4) A mund t llogariten kndet e rombit po qe se dim: a) njrin knd t brendshm t tij ? Si ? b) njrin knd t jashtm t tij ? Si ? 5) Si t llogaritet shuma e kndeve t brendshme tek gjashtkndshi ? a) Sa sht madhsia e nj kndi t brendshm t gjashtkndshit t rregullt ?

11.12. MSIMDHNIA E NDRSJELL

Qmoti dihet: Shtegu m i frytshm pr t nxn sht, t msosh duke dhn msim. N kt kuptim sht indikativ aforizmi i Sami Frashrit: Kush mson t tjert, mson m shum se ata q msohen (kush shkruan, prfiton m shum se ata q lexojn). Kshtu e mira e s mirs sht aftsimi i t gjith nxnsve pr ta provuar rolin e msuesit.

Fillimisht, msuesi do t jet drejtues i diskutimit dhe i sqarimeve pr 10-minuta t paragrafit, detyrs problemore,plotsimit t tabels, interpretimit t konstruksionit, prkthimit n gjuhen e simboleve matematikePara nxnsve, msuesi shpalos artin e t pyeturit. Ai do t prpiqet t sqaroj ndonj prmbajtje t errt, duke shprehur thelbsoren e saj.

Do t ishte me shum dobi, kultivimi i t vrejturit t kujdesshm tek nxnsit; msuesi si e drejtoi diskutimin ? Si i parashtroi ai pyetjet ?

N vazhdim, stafetn pr msimdhnie do ta marr nxnsi. Mandati i tij, n rolin e msuesit, gjen terren dhe shprehje po qe se ai di:

- T prkthej prmbajtjen q sapo sht thn, d.m.th. me fjalt e tija ta thot dhe ta shpreh rregulln,pohimin,relacionin,plotsimin

- T formuloj s paku nj pyetje lidhur me tekstin e ri, ndrsa pjestart e grupit (4-7 nxns) t bjn prpjekje pr t dhn prgjigje t knaqshme;

- T sqaroj dhe t mbroj ecuri, relacione, zgjidhje, formulime, plotsime t cilat nga disa nxns nuk mund t kapen pr t parn her;

- T normoj paragrafin apo nj pjes t tij q do t lexohet dhe do t interpretohet, apo detyrn problemore q do t zgjidhet n vazhdim nga nj nxns pasues.

- N momentin kur nxnsi aftsohet tua shpjegoj, prkthej, interpretoj, zgjidh, msimin e ri , ligjsorin, , detyrn shokve, msueses, , prindrve, dhe ta aplikoj pa gabime, vlersohet se at nxnsit msues e kan prvetsuar. -N radh t par, duke par pr s afrmi, rezultatet e puns s vet, nxnsit testojn vetveten.

N punn e nxnsit nuk prjashtohet asistimi,miniatural i drejtprdrejt i msuesit, n ndonj qasje (t zm, ja si do ta :

plotsoja un tabeln; zgjidhja un problemin provoja un saktsin e zgjidhjes


www.bedri-jaka.com

17

zbrtheja un shprehjen shkronjore konstruktoja un figurn formuloja un pohimin shkruaja me simbole matematike, fjalin ), pr ti mposhtur

vshtirsit aktuale, pr t fituar pavarsin n pun. Puna praktike e nxit, e stimulon, e kndell dhe e pasuron prirjen intelektuale t nxnsve.

Shembull 1 Plotsojeni Tabula rasa-n vijuese:

Fillimisht, msuesi do t duhej ta prpunoj ecurin e plotsimit t katrorve bosh, t

tabels. Parashtrojm disa pyetje: a) Cilat prodhime jan

dhn q n start? b) Cilat prodhime do t

duhej ti dim? c) Po qe se sht dhn prodhimi 30 (rreshti i tret), a mund ti dim q n

start faktort e tij? d) Nprmjet njrit faktor a mund t zbulohet prodhimi dhe faktori tjetr,

dhe kjo q n start? Sqarojm: Plotsimi i ksaj Tabula rase si t ishte nj fjalkryq, shpie

n llogaritjen e prodhimeve t forms ab = x dhe barazimeve t forms a x = b dhe x a = b. Kshtu dim, 10 = 25, 2x = 12, d.m.th. x = 6; 24 = 8; x6 = 30 d.m.th.: x = 5 (n rreshtin e tret). Provohet me 54 = 20; 55 = 25; 35 = 15 (e gatshme) 36 = 18 dhe 34 = 12

Shembull 2 Prkthime t thjeshta Fillimisht, msuesi shpalos fjalorin n gjuhn e simboleve dhe

ligjsorive matematike dhe n faqe t caktuara fillon leximin me prkthim t drejtprdrejt: - shuma e pess me tre .. prkthehet 5 + 3 - katrori i pess ~ 5 - trefishi i nnts ~ 3 9 - teta sht baras me dyshin n kub ~ 8 = 2 - ndryshesa e gjashts me dy sht katr ~ 6-2 = 4 -pesfishi i gjashts sht m i vogl se katrori i gjashts 5 6 < 6

Sqarojm : - Shuma, ndryshesa, prodhimi dhe hersi jan rezultate prkatse t operacioneve aritmetike: mbledhje, zbritje, shumzim dhe pjestim. - Katrori, kubi i nj numri shnohet, prkatsisht x, x, . - Dyfishi, trefishi, , i nj numri shnohet prkatsisht 2x, 3x,


www.bedri-jaka.com

18

- M par lexojm rezultatin e operacionit aritmetik e m pas lexohen t njohurat dhe t panjohurat; (x-7 lexo: ndryshesa e nj numri me 7).

N vazhdim, nxnsit me radh duke marr rolin e msuesit do t prpiqen t prkthejnfjali,thnie,pjes t shkputura fjalsh dhe detyra, t zm : - ndryshesa e nj numri me 10 sht 2 ; - ndryshesa e 10 m nj numr sht 2 ; - hersi i 20 me nj numr sht 8 ; - prodhimi i 8 me nj numr sht 35 ; - trefishi i nj numri sht sa shuma e atij numri me 5 ; - trefishi i nj numri i zbritur me gjysmn e atij numri sht 7 ; - ndryshesa e nj numri me 6 sht sa ndryshesa e 6 me at numr ; - katrori i nj numri sht sa dyfishi i atij numri ; - prodhimi i 5 me nj numr sht sa ndryshesa e atij numri me 6

Mendo nj fjali si m sipr dhe krkoji shokut t banks ta prkthej me simbole matematike !

N prmbyllje, msuesi e m pas nxnsit e dalluar t jen n gjendje t prkthejn, t zgjidhin dhe t provojn kto detyra:

Dyfishi i nj numri sht 3 m i madh se ai numr, Gjysma e nj numri sht 7 m i vogl se vet numri, Katrori i nj numri sht 6 m pak se ai numr, 5-fish-i i nj numri sht 8 m i madh se 3-fish-i i tij, Hersi i nj numri dhe i numrit 15 i madh se numri 4, Hersi i numrit 175 dhe i nj numri sht m i vogl se numri 7.

Nprmjet msimdhnies s ndrsjell, te t gjith nxnsit zgjohen asociacione, q megjithat, nxnia matematike sht e mundshme!

11.13. DITARI DYPJESSH

Prfaqson nj teknik msimore prmes s cils ballafaqohen

njohurit e deriathershme dhe prvojat msimore t vet nxnsit, me paqartsitmjegullnajn dhe t panjohurat e nj prmbajtjeje apo detyre problemore tekstuale. sht nj teknik vepruese, prmes s cils pranohet,prpunohet dhe prcjellt informacioni.

Informacionin e pranuar, nxnsi do ta prdor si dshmi apo prov materiale, pr t shkruar prgjigjen (zgjidhjen) apo vrejtjet. E aplikueshme n klas, por nse detyrat e leximit jan paksa m t gjata, ather aplikimi i saj jasht klase sht shum her m shum i vlershm!

Krahasuar me Msimdhnien tradicionale, n vazhdim evidentojm prparsit q ka Ditari dypjessh :

T lexuarit sht aktiv dhe i vmendshm; Shpie tek lidhshmria e t lexuarit me t shkruarit dhe T lexuarit dhe t menduarit merr qasje kritike.


www.bedri-jaka.com

19

Ditari dypjessh sajohet duke hequr nj vij vertikale n mes t faqes s fletores.

N ann e majt t pjess s ndar shkruhen: - Pjes t tekstit (thnie, pohime, rregulla, algoritme, prkufizime, ligjsori), t cilat mund t ken zgjuar kureshtje, asociacione,bezdisje - Prmbajtje t tekstit t cilat duken t mjegulluara, t pakapshme. - Munges fjalsh, numrorsh me t cilat ndoshta edhe nuk pajtohesh!

N ann e djatht t faqes shkruhen: - Mendime dhe komente t nxnsit lidhur me tekstin e ofruar. - Cilat t dhna nuk jan shtruar drejt dhe bien ndesh me nxnsin. - Vrejtjet, propozimet dhe krkesat e tjera eventuale.

Shembull 1*. DITARI DYPJESSH

Prkufizim: Bashksia e pikave S themi se sht konvekse (e myst), nse do segment, skajet e t cilit i prkasin bashksis S sht nn-bashksi e bashksis S, respektivisht, bashksia e pikave sht konvekse, nse do segment q bashkon cilado dy pika t asaj bashksie i prket asaj bashksie.

Prkufizimi duhet t thuret me sa m pak fjal, t jet i qart, n mnyr q t mos msohet prmendsh! Nprmjet fjalsrespektivisht jan lidhur dy versione t prkufizimit t njjt. Prkufizimibashksia konvekse do t duhej shprehur nprmjet gjuhs s simboleve matematike t zm: Bashksin e pikave S e quajm konvekse, po qe se pr do dy pika AS, BS, ABS P.S. Xhaxhallar, autor dhe recensent, iu lutem T bni kujdes herve tjera !

Shembull 2*. Plotpjestueshmria me 9 - Nse shuma e shifrave t nj numri natyror sht numr i plotpjestueshm me 9, ai numr sht i plotpjestueshm me numrin 9. - Nse shuma e shifrave t nj numri natyror nuk sht numr i plotpjestueshm me numrin 9, ai numr nuk sht i plotpjestueshm me 9.

Mendime dhe komente - N kt ligjsori sht futur virusi i cili prsrit 8 her nocionin numr dhe 4 her t tjera shifrn 9! - Ligjsoria Plotpjestueshmria me 9 prmban pjesn pohuese dhe pjesn mohuese. - Kam mendimin q pjesa e dyt, e tra duhet fshir dhe kjo t zvendsohet dhe e kundrta. Ne nxnsit s bashku me msuesin do duhej ta prkthenim kuptimin dhe e kundrta. - Un si nxns kt rrmuj fjalsh do ta prktheja kshtu:

(Numri natyror 9) (Shuma e shifrave t tij 9)

_______________ 1*Hyseni N. Matematik pr klasn e V t shkolls fillore, Prishtin, 1978, f. 56 2*GjergjiR., Zejnullahu R.: Matematika pr klasn e VI t shkolls s mesme t ult, Prishtin, 2005, f. 80


www.bedri-jaka.com

20

11.14. DI DUA T DI MSOVA M SHUM (Carr & Ogle,1987)

Aplikohet n fazn e Realizimit t kuptimit,me kohzgjatje 20-25min.

Zbatimi i saj sht i gjer,n t gjitha lndt e msimit dhe n t gjitha klasat. Fillimisht,msuesi skicon nj tabel t prbr nga tri shtylla DI DUA T DI dhe MSOJ.

DI

DUA T DI

MSOJ

Renditen njohuri q nxnsit i din.

Renditen pyetje lidhur me njohuri pr t cilat nxnsit duan t din m shum.

Renditen njohuri t cilat nxnsit i vlersojn si informacione t reja, t msuara n klas.

N shtylln DI msuesi shnon t gjitha prgjigjet me vler, t dhna

nga nxnsit,prkatsisht n shtylln DI radhiten nocione, relacione, algoritme, prkufizime, t cilat nxnsit tashm i din (t zm, t testuar nprmjet klasterit, n Fazn e Evokimit).

M pas, msuesi krkon nga nxnsit,t parashtrojn pyetje se far ata dshirojn t din m shum lidhur me temn.

N shtyllnDUA T DI radhiten pyetjet t cilat nxnsit din ti formulojn dhe pr t cilat shfaqin interesim. Po qe se nxnsit jan t pasigurt apo nuk din t formulojn pyetje,msuesi apo nxnsi i dalluar do duhej ti kshilloj, udhzoj apo ti ndihmoj ata.

N vazhdim nxnsit udhzohen q ti hapin librat(apo materialin e shkruar) dhe t lexojn me vmendje t prqendruar, n krkim pr t gjetur dhe zbuluar prgjigjet n pyetjet e parashtruara nga ata vet.

Prgjigjet shkruhen n shtyllnMSOJ.N kt shtyll, prve prgjigjeve, msuesi shnon edhe t dhna dhe fakte t tjera, t cilat nxnsit i kan msuar, por pr t cilat ata nuk kishin parashtruar pyetje m par. N fund diskutohet :

- Ku sht vendndodhja e prgjigjeve pr disa pyetje ? - Prse disa pyetje tani nuk kan marr prgjigje ?


www.bedri-jaka.com

21

Shembull : FUQIA DI DUA T DI MSOJ T gjej shumn: - e dy mbledhsve t barabart psh. 8+8=2 8 - e tre mbledhsve T barabart, psh : 8 + 8 + 8 = 3 8 T gjej prodhimin: e dy faktorve t barabart, psh: 8 8 = 64 - e tre faktorve t barabart psh: 8 8 8 = 512 etj. T gjej katrorin e

numrave psh.: 8 = 64 ; 12 = 144 T gjej rrnjn

katrore t numrave

64 = 8;

144 = 12

A ekziston form m e shkurtr pr t paraqitur prodhimin e faktorve t barabart ?

Po qe se ekziston,si quhet forma e shprehjes m t shkurtr ?

Cilt jan elementet prbrs t shprehjes m t shkurtr ?

Kjo form e t shprehurit pr cilat klas t numrave gjen aplikim?

Prse msohet kjo form e t shprehurit? Ku na shpie mosnjohja e saj ?

Shumzimi dhe pjestimi jan veprime (operacione) t kundrta

Pr Rrnjzimin si veprim algjebrik a do t duhej t ekzistoj veprim i kundrt ? Nse po,ather si quhet ai veprim algjebrik ?

Prodhimi i n faktorve t barabart me a shnohet aaa..a=an =b

Forma e shprehjes m t shkurtr quhet Fuqi (Potenc)

an - Fuqia a - Baza e Fuqis n - Eksponenti i Fuqis, simboli i s cils shnohet me madhsi m t vogl n ndryshe quhet Treguesi i Fuqis b-vlera e fuqis. Fuqizimi zbatohet pr

fardo numr real Fuqizimi sht

operacion algjebrik shum racional. Aplikohet shum n shkenc dhe teknik.

Veprimi algjebrik, i kundrt me Rrnjzimin sht Fuqizimi.

169 =13 169=13

169 = 213 Vlern e fuqis, po qe

se, baza e saj sht numr racional negativ, ndrsa

treguesi sht n N ift treguesi sht n N cub T shprehurit e njsive

dekade n fuqi. Pr fuqit me eksponent

negativ do t msoj m von!


www.bedri-jaka.com

22

LEKSIONI : FUQIA (POTENCA) Shuma 7+7 shkruhet ndryshe 27 q tregon dy mbledhs t barabart me 7. Prodhimi 77 shkruhet ndryshe 7 q tregon dy faktor t barabart me 7. 7 lexohet : 7 n katror ose 7 n t dytn ose 7 me eksponent 2 Prodhimi 77777 shkruhet ndryshe 75 Lexohet 7 n t pestn ose 7 me eksponent 5. N veanti :7 lexohet 7 me eksponent 3 ose 7 n kub Shprehjet si 7, 7,10 , x quhen Fuqi Veprimi pr t llogaritur vlern e fuqis quhet Fuqizim. 1)Cili sht Eksponenti a) 5 5 5 = 5 b) 1.21.21.21.21.21.2 = 1.2 2)Cila sht Baza a) = 88 b) 4 = 3333 3)Shkruaj prodhimin si Fuqi

a) 22222 = b) 2

1

2

1

2

1 = c) (x-1) (x-1) =

4)Shpjego pse 2 nuk sht 6! 75 FUQIA 5)Gjej a) 4 b) 2 c) 10 c) 0 d) 1 e) (2,1) 7 BAZA

6)Gjej a) (3

2) b) (

2

1)4 5 EKSPONENTI

7)Plotso 100=1010=10 1000=101010=10 100000=10 1000000000=10 8) 10 quhet ______________________________________________

11.15. FJALT KYE

Paraqesin nj strategji msimore e cila aplikohet pr t mbajtur n vetdije informacionet njher t pranuara.

Q n nism, para se t lexohet leksioni, msuesi shkruan n tabel, tri,katr apo m shum nocione rndsishme(kye), t cilat nxnsit do ti ndeshin gjat leximit t nj teksti, apo i zbulojn diku n mes t rreshtave, kur informacionianalizohet, prkthehet,interpretohet dhe zbatohet.

Fjalt kye gjejn teren dhe shprehje pr t krijuar asociacione t fuqishme, kuptimplote, t cilat mund t mbahen n mend! T sajuarit e nj klasteri me fjalt kye mund t jet dobiprurs!

Shembull: Fjalt kye : kulmet, brinjt, brinjt fqinje kongruente, kndet, diagonalet

ndrsjell pingule, trekndshat kongruent, bosht simetrie, pik-prerje e simetraleve (prmesoreve) t kndeve, t brendashkruarit e rrethit.


www.bedri-jaka.com

23

KLASTERI I FJALVE KYE :

trekndshatkongruent

Brinjtkndet

kulmetBrinjt fqinjekongruente

boshtsimetrie

diagonaletndrsjelltazi

pingule

pikprerjee simetralevet kndeve

t brendashkruarite rrethit

Fig. 161

11.16. TABELAT

Tabela T paraqet nj strategji grafike e cila konsiston n t mbajturit shnim t prgjigjeve binare, t cilat mund t jen po jo apo e sakt jo e sakt, gjat nj diskutimi,duke rrumbullakuar prgjigjen e vrtet.

Zakonisht, diskutimet paraplqehen ather kur drejtohen nga nxnsit vet. Pasi t merren pyetjet, nxnsit nprmjet puns n ifte skicojn nj

tabel T dhe n t majt t saj do t duhej t shnohen arsyetime t mbshtetura n ligjsori, prse jemi prcaktuar pr prgjigjen po,ndrsa n t djatht, prse jemi prcaktuar pr prgjigjen jo.Arsyetimi analitik i sakt paraqet ajkn e ksaj strategjie. Prgjigjet vetm me po apo vetm me jo nuk knaqin ! N fund t ktij harku kohor 10 minutash, pr 5 minuta t tjera, ata n dyshe mund t krahasojn tabeln T t tyre me at t nj dysheje tjetr.

N prmbyllje, mund t shpalos tabeln T t tij pr tiu mundsuar nxnsve-vetvlersimin.

LEKSIONI: DELTOIDI DHE KONSTRUKSIONI I TIJ

Deltoidi sht nj rast i veant i trapezoidit. Deltoid quajm trapezoidin i cili ka dy nga dy pal brinj fqinje

kongruente. N do deltoid mund t brendashkruhet nj rreth. Meqense deltoidi formohet nga dy trekndsha barakrahs t cilt e

kan nj brinj t prbashkt, rrjedh q deltoidi sht plotsisht i caktuar kur dihen tri elemente themelore, me kusht q ato nuk mund t jen njkohsisht knde.


www.bedri-jaka.com

24

Shembull: Lidhur me (pa)saktsin e algoritmeve vijuese, t merret qndrim pr

prgjigjen e dhn : FAKTET

PO

1) h=

22

2

ab -lartsi e trekndshit barakrahs

JO

PO

2) h =

2

3a

-lartsi e trekndshit barabrinjs

JO

PO

3) S = 3

4

2a

-syprin e siprfaqes s trekndshit barabrinjs JO

PO

4) S = H

ba

2

+

-syprin e siprfaqes s trapezit

JO

PO

5) S = 3a

2

3a+ h

-syprin e siprfaqes s piramids s rregullt 6 faqsore JO

PO

6) V =

2

32 Ha

-vllimi i piramids s rregullt 6-faqsore JO

PO

7) V = 2 r -vllimi i cilindrit barabrinjs

JO

11.17. TABELA E KONCEPTEVE sht nj tjetr strategji skematike e cila e bn m t kollajshme

prvetsimin e njohurive msimore. Prdoret n fazn e Evokimit dhe t Reflektimit. Trajtohet ather, po qe se njohurit fillestare t nxnsve, lidhur me konceptet (nocionet) e caktuara, nuk jan t mjaftueshme.

Fillimisht, msuesi prpilon nj tabel, n nj tabak t madh letre, t ndar n shtylla dhe n rreshta.

N shtylla shkruhen gjinia e nocioneve: thyesat, polinomet, (mos)barazimet, sistemet e ekuacioneve, klasa e numrave, operacionet aritmetike, grafikt e funksioneve, trupat, figurat dhe trajtat gjeometrike etj.


www.bedri-jaka.com

25

Ndrsa n rreshta shkruhen veorit e prbashkta dhe t veanta t nocioneve, do t thot, ndryshimet specifike t tyre, (lexo: gjykimi pr nocionin paraqitet me ndihmn e gjinis s nocionit dhe ndryshimit specifik): numri i brinjve, numri i faqeve, numri i diagonaleve, simetria, numri i rrafsheve t simetris, konstruksionet, Plotpjestueshmria, faktorizimi, zgjidhjet, rrugzgjidhjet etj.

Nxnsit nprmjet puns individuale apo n ifte e plotsojn tabeln e koncepteve dhe n fund fare prpilohet nj Tabel e prbashkt pa gabime. Shembull:

Priz

ma

e rr

egul

lt 3-

faq

sore

ba

rabr

inj

se

Priz

ma

e rr

egul

lt 4-

faq

sore

ba

rabr

inj

se

Pira

mid

a e

rreg

ullt

3-fa

qso

re

bara

brin

jse

Pira

mid

a e

rreg

ullt

4-fa

qso

re

bara

brin

jse

Cil

indr

i bar

abri

njs

Kon

i bar

abri

njs

Sfer

a

Numri i brinjve

6 0

Numri i kulmeve

8 5 1

Numri i faqeve

5 3 1

Numri i rrafsheve t simetris

n

11.18. DIAGRAMI I VENN-it

sht nocion matematik. Bn pjes si njra ndr mnyrat e t paraqiturit t bashksive, nprmjet rrathve apo vijave t mbyllura t vizatuara n rrafsh, t cilat kan nj,dy apo m shum veori t prbashkta dhe t veanta. Strategjia vlersohet pr faktin q, nocionet e sistemuara, m kollaj mbahen n vetdije.

Bashksit e shqyrtuara, me qllim analize mund t jen: numerike, funksionale, t simboleve, t figurave, t trupave gjeometrik, t nocioneve, t relacioneve, t operacioneve, konstruksioneve, rrugzgjidhjeve

Zbatimi i ksaj strategjie grafike msimore sht i gjer,n t gjitha lndt msimore, n t gjitha klasat dhe n tr strukturn ERR.


www.bedri-jaka.com

26

Shembull: Shqyrto nocionet e gjinis s njjt lidhur me konin,cilindrin dhe

sfern.

CILINDRI

*dy baza

*prftuese*baza*lartsia*drejtuese*barabrinjs*drejt*pjerrt*prerje boshtore

*nj baz*kulmi*konusi

*mbshtjellsi*boshti*vllimi*

*pa kulm

*meridiane*paralele*pole*qendra*rrezja*diametri *lartsi

*ksule*ksula

KONI

SFERA

Fig. 162

11.19. PESVARGSHI

N disa momente, e mira e s mirs sht t flassh apo t shkruash gjat, ndonjher edhe duke i prsritur fjalt, sepse me fjal dhe nprmjet fjalve gjendet shptimi!Ndonjher do t ishte me shum dobi t flassh apo t shkruash shkurtimisht, por pa e dmtuar cilsin e informacionit. Nxnia e cila shpalos informacionin e caktuar me pak fjal, sht aftsi intelektuale e cila krkon kultivim.

Fjala Pesvargsh, n kuptimin didaktik e ka burimin n fjalt franceze sink(cinq),sinken(cinquain) q do t thot pes, pesvargsh, vjersh me pes rreshta.

Pesvargshi, n cilsin e tekniks s msimit, stimulon shkathtsi intelektuale dhe konvergjon n Mendimin kritik. Konsiston n prmbledhjen e informacionit nprmjet shprehjeve t shkurtra por domethnse, t cilat prshkruajn apo reflektojn dituri lidhur me temn. Kohzgjatja pr ta shkruar pesvargshin numron 5 deri 7 min.


www.bedri-jaka.com

27

Nj ecuri e puns s frytshme sht q grupi i nxnsve t ndahet n ifte, ku secili do t shkruaj nga nj pesvargsh. Nprmjet ndihms s ndrsjell, ata do t prvetsojn njohuri dhe shkathtsi nga njri-tjetri. Kta pesvargsha t iftzuar, m pas, mund t shkmbehen n grup.

Si shkon puna pr t shkruar pesvargshin ? (Formimi i pesvargshit pr her t par, si lloj letrar, me gjas, nuk sht pun e kollajshme! ) Ofrohet nocioni i nj teme pr pesvargsh. 1. Rreshti i par paraqet nj nocion t tems,(emr); 2. Rreshti i dyt paraqet prshkrimin me dy fjal t tems,(dy mbiemra); 3. Rreshti i tret prmban tri fjal, t cilat shprehin veprim, demonstrim apo zbatim lidhur me temn,(tre folje); 4. Rreshti i katrt prmban nj fjali me katr fjal q shpreh opinionin lidhur me temn dhe 5. Rreshti i fundit paraqet nj fjal sinonime apo simbol matematik q riprcakton thelbin e tems

Shembull 1. THYESA

E RREGULLT E PARREGULLT ILUSTROHET THJESHTOHET ZGJEROHET

RRJEDHOJ E PROCESIT PRAKTIK E T MATURIT

b

a

Shembull 2. PABARAZIMI

ZGJIDHJA M E VOGL ZGJIDHJA M E MADHE ZGJIDHET PROVOHET PRANOHET

PABARAZIMI PRMBAN SHUM ZGJIDHJE INEKUACIONI

11.20. BREINSTORMINGU (STUHI MENDIMESH)

Breinstorming n cilsin e tekniks s msimdhnies dhe e t nxnit paraqet aktin e lindjes dhe t shprehjes s lirshme t shum prgjigjeve, zgjidhjeve, ideve, opinioneve, lidhur me nj problematik (shtje) t nj teme, fillimisht pa mbajtur qndrim kritik ndaj tyre.

sht njra ndr teknikat msimore t thjeshta dhe t efektshme, por krkon aftsi krijuese pr tu prdorur.

Msuesi shkruan n tabel temn. Nga nxnsit krkohet t prsiasin dhe t shkruajn n fletore tr at far din pr temn, pa druajtje nse ato prgjigje, zgjidhje,ide jan t gabuara apo t sakta. Nuk bn q pjesa m e madhe e kohs t humbset pr t analizuar nj prgjigje, pr t qen ajo e


www.bedri-jaka.com

28

drejt apo e plot. N kt drejtim, po qe se msuesi udhhiqet nga saktsia, ather me kt rast, nxnsve u sht marr liria e t shprehurit lirshm.

Rrita e Breinstormingut shpie nga forma e puns individuale-n ifte dhe prfundon n grupe. Nxnsit udhzohen t diskutojn n grupe dhe prgjigjet (zgjidhjet) e unifikuara n nivel grupi,paraqiten nprmjet udhheqsit t tij. Numri i nxnsve pjesmarrs n nj vrshim t shpejt idesh(Breinstorming) varet nga kohzgjatja e paracaktuar. Duke parashtruar shum pyetje dhe duke krkuar shum m shum prgjigje, synohet aktivizim total i nxnsve. Pr ta zbatuar Breinstormingun do t duhej prfillur disa rregulla : 1. T gjitha prgjigjet (zgjidhjet) e paraqitura duhet evidentuar; 2. Nuk kan vend vrejtjet dhe kritikat lidhur me asnj lloj prgjigjeje apo zgjidhjeje; 3. Bashkpunimi midis antarve t grupit sht domosdoshmri. N analizn e fundit, prgjigjja (zgjidhja) sht e prbashkt dhe ajo nuk i prket nxnsve t veant; 4. Udhheqsi i grupit do t duhej t krkoj prgjigje (zgjidhje apo opinione) nga nxnsit e heshtur duke u dhn atyre prkrahje dhe mbshtetje. 5. Pr momentin numri i prgjigjeve (zgjidhjeve) krahasuar me vrtetsin e prgjigjeve dhe saktsin e zgjidhjeve sht i rndsis m t madhe,edhe pse nga kto t dytat nuk duhet hequr dor !

Breinstormingu mund t aplikohet n fazn e Evokimit dhe t Reflektimit, me kohzgjatje deri 10 min. Nprmjet pyetsorit vijues mund t vjelim nj Breinstorming cilsor.

Shembull: 1) Nj familje ka tre fmij. Dy prej tyre jan binjak. Mosha e Arjets sht sa

3

2 e moshs s Dafins, mosha e Besmirit sa 30

20 e moshs s Dafins. Cilave

pyetje mund tu prgjigjesh : Sa vje sht Arjeta? Cilt jan binjakt ? Cili fmij sht m i madhi ?

2) a) Te thyesa 3

2 shto 1 numruesit dhe 1 emruesit !

Thyesa e re sht m e madhe apo m e vogl se 3

2 ?

Te thyesa 3

2 shto t njjtin numr numruesit dhe emruesit!

Thyesa e re sht m e madhe apo m e vogl se 3

2 ?


www.bedri-jaka.com

29

b) Vazhdo vet krkimet !

Thyesa 3

2 e ka numruesin m t vogl se emruesi

Zgjidh nj thyes tjetr t till ! Vepro me t si m sipr ! c) Vazhdo vet krkimet !

Merr thyesn 2

3

Vepro si m sipr ! Merr nj thyes q ta ket numruesin m t madh se emruesi ! Vepro si m sipr ! d) Vazhdo vet krkimet !

Merr thyesn 3

3

Vepro si m sipr ! Merr nj thyes q ta ket numruesin t barabart me emruesin ! Vepro si m sipr ! e) Shkruaj far ke br dhe far vren ?

11.21. DISKUTIM PR NJOHURI PARAPRAKE

far dini pr kndin? T maturit dhe t pasqyruarit e kndit n nj siprfaqe toksore? Si prdoret gjilpra magnetike (busulla)? sht azimuti? Konstruktimi i kndeve dhe llojet e tyre!

Para se t lexojm nj artikull lidhur me kndin, duhet kryer inventarizimin e njohurive paraprake. Teknikat e diskutimit t gjer (Breinstorming) sigurojn nj struktur dobiprurse, pr t aktivizuar paranjohurit e nxnsve. Mund t aplikohen disa lloje t ecurive, si jan : 1. LINK 2. RENDIT-GRUPO-EMRTO 3. SHKRONJAT E NJPASNJSHME T ALFABETIT

LINK (Vughan & Estes 1986), akronim i fjalve n anglisht rendit, krko, shno dhe mso, sht njri ndr variantet e Breinstormingut, i cili ka kt shpalosje :

1. Przgjidhet nocioni kryesor i cili ndrlidhet me materialin (ende t palexuar), i cili mund t prodhoj shumllojshmri t prgjigjeve (zgjidhjeve, asociacioneve). Para se t fillojn t shkruajn n flett e tyre t bardha, mbretron heshtje deri 3-minuta, pr konsolidim mendimesh.

Me qllim pjesmarrjeje, t t gjith nxnsve, fillimisht, aktivizohen nxnsitm pak t ditur, duke u kufizuar nj nxns-nj prgjigje. Pas lidhjeve t para, t ofruara, vazhdohet me asociacione tjera. Gjat ksaj faze radhiten dhe shkallzohen kontributet e nxnsve, pa br komente !


www.bedri-jaka.com

30

2. Nxnsit duhet nxitur pr t pyetur, lidhur me nocionet (madhsit, llojet, klasifikimin) e renditura n tabel. Ata mund t parashtrojn pyetje pr t qartsuar apo prpunuar disa nocione. T gjitha pyetjet drejtohen, pr t ndjekur nxnsit dhe jo msuesin ! Msuesi duke modeluar kt proces, bn przgjedhjen e nocioneve (prgjigjeve) mbase edhe parashtrimin e pyetjes t zm : far ju bn t mendoni q ?

3. Gjat shqyrtimit, hulumtimit dhe krkimit t koncepteve t reja apo prgjigjeve, nxnsit do bjn kmbimin e njohurive. Kur nxnsit ti ken kryer shqyrtimet dhe komentet e tyre, lidhur me nocionin kryesor, bhet fshirja e tabels. Nxnsit udhzohen t kthejn nga faqja tjetr, flett e tyre! Ajo far ata do t shkruajn, mbshtetet n prvojn e tyre, por sht rrjedhoj edhe e diskutimeve t bra n klas. Me gjas,ata mund t shkruajn edhe nj prkufizim lidhur me nocionin! Shembull: LIDHJET ME KNDIN VIZATIM T NDRYSHM KRAHASIMI T BARABART KONSTRUKTIM KONKAV (LUGOR) KONVEKS(MYSOR) GJYSMDREJTZA NGUSHT TRIGONOMETRI KULMI GJEODEZI GJER KRYQZOR KRIHT PRBRIJSHM I PLOT I DREJT I SHTRIR ZERO KND 0,60,90,120,150,180,210,240,270,300,360,720,540,45,135,.

1 = 180

14.3 = 0.017 RADIAN 1 = 0.01745 RADIAN

, 6

, 3

, 2

,3

2 , 6

5 , 6

7 ,3

4 , 2

3 ,3

5 , 2 , 4 , 3, 4

, 4

3 , ...

FQINJE PRBALLSHM ME KRIH PARALELE ME KRIH PINGUL I ORIENTUAR POZITIVISHT I ORIENTUAR NEGATIVISHT MBLEDHJE E KNDEVE ZBRITJE E KNDEVE

360 =2 radian; radian=180; 1radian 5717 44,8; 1radian = 14.3

180o= 57 ,3;

Prkufizimi: Figura gjeometrike e prbr nga dy gjysmdrejtza, me t njjtn pik fillimi quhet knd. Tani nxnsit jan gati t lexojn pjesn ! Pas leximit, ata do t duhej t shnojn, far din tani, q nga fillimi !


www.bedri-jaka.com

31

SHKRONJAT E NJPASNJSHME T ALFABETIT

(Ricci & Wahlagan, 1998)

Aplikohet si teknik msimore, po qe se nxnsit kan para-njohuri t gjera, fillestare. Alfabeti i gjuhs shqipe, prbhet prej 36 shkronjave, prej nga pason q tabela e thurur prmban 36 kutiza, npr t cilat do t shnohen: fjal, emrtime, nocione, fakte, ecuri, simbole, veprime, ide, relacione, t cilat ndodhn n shoqrim me nocionin e przgjedhur.

Aplikimi i ksaj ecurie msimore prfshin kto faza: 1. do nxns apo grup bashkpunues, pranon nj kopje t pashkruar t

tabels s alfabetit shqip (66 = 36). 2. Nga tre nxnsit e par krkohet t ofrojn nga nj emrtim

(nocion,term, fjal) q ka ur-lidhje me nocionin e przgjedhur, shkronja e par e t cilit sht njra ndr 36 shkronjat e alfabetit.

M pas, nga nxnsit (ve e ve, n ifte apo grupe bashkpunuese) krkohet q t plotsojn sa m shum kutiza (Brenda nj harku kohor t paracaktuar).N nj kutiz mund t shkruhen nj,dy,tre e m shum emrtime !

3. N fund, nga nxnsit apo grupe nxnsish krkohet, t kmbejn tabelat. Nxnsit do t shfaqin interesim, nse ndonjri nga grupet e nxnsve ka arritur t gjej lidhje prshkronjat, leksiku i fjalve t t cilave sht m i pakt. Shembull: KATRKNDSHI A Arkimedi

B Brinja

C Certifikat

ek bankar

D Diagonale

DH Dhjet-kndesh

E Ekrani TV EUKLIDI

(Nota e dobt)

F Figur

G Grup

GJ Gjeometri

H Hapsinor

I Iks Ikon

J Jo- paralele

K Katrori Kulm

L Lartsia

LL Llogaritet

M Matja

N Ndrtohet

NJ Njehsohet

O Orientuar

P Prkufizimi Perimetri Paralelogram

Q Qelqi

R Rombi

RR Rrafsh

S Segmenti Simetria

SH Shumkndsh

T Teorema

TH Themeli

U Urn

V Vizatohet

X Xehe

XH Xhita

Y Ylli (n flamur)

Z Zi Ortodokse.

ZH Zhvillim


www.bedri-jaka.com

32

11. 22. ALGORITMET

Nocioni algoritm, q n shkoll nuk sht prdorur n kuptimin burimor, rrjedh nga matematikani arab i shek. IX al Horezmi, me t cilin nnkuptohej aritmetika.

Algoritmi paraqet trsin e udhzimeve t prgjithshme dhe t prpikta, mbshtetur n t dhna fillestare, pr t kryer pun t caktuar, nprmjet nj sistemi veprimesh fikse, i cili mundson zgjidhjen e prpikt, t trsishme, t detyrs s nj nnklase t caktuar.

Sot mund t bhet fjal edhe pr algoritmin e t msuarit i cili buroi nn ndikimin e Kibernetiks dhe Teoris s informacionit, n veanti nga aplikimi i ktyre shkencave n Psikologji dhe Pedagogji. Algoritmi bn pjes n mesin e teknikave tradicionale, m aplikative, t nxnies matematike, i cili e ruan aktualitetin pr t gjitha koht. Ai paraqet do operator apo formul pr numrim ,matje, diferencim, krahasim, radhitje, operim, zgjidhje, konstruktim, llogaritje Zbatimi logjik i skems s algoritmit shpie n krijimin e modelit matematik.

N kursin e matematiks elementare, n mbshtetje t induksionit (apo induksionit matematik) determinohet pjesa m e madhe e algoritmeve: - Perimetri i katrorit :P = 4a - Syprina e siprfaqes drejtkndshe :S = ab

- Syprina e siprfaqes s trapezit: S = 2

ca +h

- Syprina e siprfaqes s trekndshit barabrinjs :S = 34

2a

- Syprina e qarkut: S = r - Syprina e siprfaqes s kubit :S = 6a - Vllimi i cilindrit barabrinjs : V = 2 r - Syprina e siprfaqes s konit barabrinjs : S = 3 r

- Vllimi i rruzullit : V = 3

4

- Unioni i bashksive : AUB = { x/x A x B} - Prerja e bashksive : AB = {x/x A x B} - Diferenca e katrorve :A - B = (A+B) (A-B) - Katrori i binomit : (A+B) = A + 2AB + B (A-B) = A - 2AB + B - Diferenca e kubeve : A - B =(A-B) (A + AB + B) - Kubi i binomit : (A+B) = A + 3AB + 3AB + B (A-B) = A 3AB + 3AB - B - Antari i prgjithshm i progresionit aritmetik an = a1 + (n-1)d

- Shuma e progresionit aritmetik :Sn = 2

n [2a1 + (n-1)d] ose Sn =

2

n [a1 + an]

- Antari i prgjithshm i progresionit gjeometrik: an = a1qn-1

- Ekuacioni i rrethit (x-p) + (y-q) = r e t tjera.


www.bedri-jaka.com

33

11 .23 .KUBIMI

Kubimi sht nj teknik msimore e cila ndihmon shqyrtimin e nj teme nga kndvshtrime t ndryshme. T menduarit i cili buron gjat procesit t kubimit i prngjan t menduarit sipas Taksonomis s Blumit(me shpalosje t llojeve t ndryshme t t menduarit: nga niveli m i ult i t menduarit-n nivelin m t lart t tij).

Kubimi si nj teknik msimore e ndrlikuar (edhe n qoft se prdoret shpesh !) karakterizohet pr shumllojshmri t ideve hulumtuese-zbuluese. Ai konsiston n prdorimin e nj kubi(me gjatsi tehu 15-20 cm.), me lvizje t shpejta,pr t menduarit, ku n do faqe t tij shkruhet njra nga kto 6 krkesa:

PRSHKRUAJE ; KRAHASOJE ; SHOQROJE ; ANALIZOJE ; ZBATOJE dhe ARSYETOJE (PR APO KUNDR TIJ ) Nprmjet kubimit, msuesi i udhheq nxnsit pr t paraqitur npr

faqet e kubit nj shkrim t lir, 2-4 min. lidhur me nj Tem t przgjedhur me kujdes, pr t ciln ata kan njohuri. Kubimi zbatohet n t gjitha lndt msimore dhe n tr strukturn ERR.

Fillimisht, nxnsit udhzohen t prsiasin pr Temn dhe ta prshkruajn at.-Vreje objektin apo prfytyroje nocionin matematik dhe prshkruani veorit e prgjithshme dhe t veanta t tij, pr t cilat jeni n dijeni: formn, radhitjen, zgjidhjen, ndrlikimin, pozitn, masn, madhsin, konstruktimin, sasin, numrin mats, shenjn(simbolin), prdorimin, aktualitetin

Aplikacionet pr gjasht faqet e kubit jan : PRSHKRUAJE: Vrejeni objektin apo prfytyroje nocionin dhe

prshkruani far shikoni apo far mendoni: formn, prmasat, perimetrin, konstruksionin, siprfaqen, vllimin, peshn,dendsin, rrugzgjidhjen; nocionin e prfytyruar kur dhe ku e keni vrejtur pr her t par, far ishte bindja e juaj atbot lidhur me at, prse i friksohesh ktij nocioni ? Rrfe ndonjhistori! KRAHASOJE : Objektin(nocionin) matematik q po e vreni apo prfytyroni, t krahasohet me nj objekt(nocion) t ndryshm, t ngjashm apo identik. Emrtoni vetit identike, t ngjashme apo t ndryshme t tyre. Me nocionin e ngjashm t krahasohet forma, prmbajtja, struktura, t operuarit, rrugzgjidhjet, aplikimet SHOQROJE : Me kt objekt(nocion) matematik far shoqrimesh ka komuniteti ? Po shoqrimet e tua n shkoll,n loj,n familje,n jet,n ardhmri? far ju bn t mendoni ?! Persona apo grupe t caktuara njerzish a mund ta braktisin kt objekt(nocion) ? Cilt persona i prcjell sikurse hija e vet? ANALIZOJE : T tregohet si sht ndrtuar(konstruktuar,zbuluar apo shpikur) objekti,nocioni apo simboli. Si mund t shprbhet ? N cilat kushte


www.bedri-jaka.com

34

nuk ekziston (anulohet).Cilat jan pjest prbrse t tij ?Si konstruktohet apo transformohet ? Si llogaritet,ilustrohet apo demonstrohet ? Prllogaritja e saj a mund t jet e automatizuar !? Cili sht simboli i nocionit ? ZBATOJE : Ku,kur,si dhe pr far mund t prdoret(aplikohet)? mund t bni me t ? Pr cilt persona prdorimi i tij sht i panevojshm, ndrsa pr cilt persona prdorimi i tij sht jeta vet?!far sht m mir, t punosh me t apo pa at?! ARSYETOJE : Prdorni cilindo arsyetim q doni, logjik, jologjik ose ndonj t ndrmjetm pr t marr nj qndrim: Prse sht dobiprurs ? Ku na shpie mosnjohja e tij? Pse sht i panevojshm ? Fillimisht shkruhen prgjigjet(komentet) pr tri krkesat e para(t cilat mund t debatohen n dyshe dhe n grup) e m pas vazhdohet edhe me tri krkesat e fundit.

Duke e vazhduar shkrimin, nxnsit kmbejn pyetjet, prgjigjet dhe komentet pr do faqe t kubit. Nuk ka rregulla t prcaktuara se n mnyr nxnsit i kmbejn mendimet dhe opinionet e tyre. Nxnsit shpalosin mendime,vlersime dhe komente nga m t ndryshme. Bile edhe msuesi i matematiks, nprmjet kubimit mund t mendoj,gjykoj dhe vlersojpaksa m ndryshe!

Shembull 1. PARAJA PRSHKRUAJE: Paraja fabrikohet. Ajo mund t jet e punuar nga letra

speciale (kartmonedha) dhe nga legura metalike (monedh). Prmasat dhe ngjyrat e kartmonedhave varen nga vlera blerse e tyre. Pesha e nj kartmonedhe sht e paprfillshme. Ajo mund t griset, t digjet, t fitohet, t harxhohet, t dhurohet, t huazohet, t kursehet

KRAHASOJE: Kartmonedha sht e ngjashme me fotografi dhe kartela t ndryshme. Prmasat e kartmonedhave jan m t mdha, n krahasim me ato t kartelave. Kartmonedha ka pamje n t dy ant e saj, ndrsa fotografia, vetm n njrn an t saj. Letra e fotografis sht m e trash n krahasim me at t kartmonedhs. Kartmonedhat kombtare dhe kartmonedhat ndrkombtare jan shum t ngjashme, por jo edhe identike.

SHOQROJE: do personi pr t jetuar i duhet Paraja. Varsisht nga puna q kryen, ai fiton shuma t caktuara parash. Kshtu, do person gjat tr jets sht i shoqruar me paran, jeton me dhe pr paran.

ANALIZOJE: do kartmonedh e ka vlern e saj. T zm, 500 , d.m.th. n 500 vende t kemi nga 1 , apo, n 50 vende t kemi nga 10 , apo, n 5 vende t kemi nga 100 . do kartmonedh e vlers s madhe, mund t kmbehet me kartmonedha t vlerave m t vogla. Ose, do kartmonedh e fardo vlere, mund t kmbehet me monedha (para prej metali) T kursyerit e paras her-her sht m i rndsishm, n krahasim me t fituarit e paras! Fjala e urt popullore shqiptare: M mir nj kursim, se nj fitim.

ZBATOJE: Paraja filloi t prdoret q n lashtsi. Ajo mund t fitohet, t shpenzohet dhe t kursehet. Mallrat me vler blihen me para, por edhe shrbimet


www.bedri-jaka.com

35

me vler, paguhen me para. Shuma e paras mund t rritet apo mund t zvoglohet, mund t bashkohet apo mund t pjestohet. N qoft se kartmonedha sht e vlers m t madhe, n krahasim me vlern e mallit, i cili sht bler, ather blersi, prve mallit, do ta marr edhe kusurin.

ARSYETOJE: do person i rritur, i vetdijshm, i cili jeton larg xhu-ngls, pa prjashtim e do dhe e lakmon paran. Edhe shrbtori e do paran, madje shrbtori i mir, bhet edhe m i mir, kur paguhet m shum. Edhe un e dua paran, por nuk e kam si qllim t jets, sepse ather, jeta pr mua do ta humbas kuptimin. Shembull 2. PRQINDJA PRSHKRUAJE : Prqindja simbolikisht paraqitet me shenjn % .Shnohet me prmasat e nj shifre..Pr her t par e kam vrejtur n nj shenj komunikacioni, ku pjerrtsia e rrugs sht 7 %.Pran 7 po t mos shnohej simboli %, ather asgj nuk do t kuptonim !N shtypin e prditshm, ndodh q simboli i prqindjes % t shnohet me shkronja prqind.T kuptuarit e prqindjes dhe aplikimi i saj sht i kollajshm pr t gjith ata q interesohen pr t ! KRAHASOJE : Prqindja vn ur miqsie dhe bashkjetese me thyesa,thyesa dhjetore dhe numra dhjetor (numrat me presje). T zm,:

Thyesa dhjetore (100

15 ) mund t shkruhet si numr dhjetor (0.15) por thyesa

dhjetore (100

15 ) mund t shkruhet edhe ndryshe, si prqindje(15%).Thyesa e

thjesht (25

17 ) mund t shkruhet si prqindje(68%). Ajo (25

17 ) m par

shndrrohet si numr dhjetor (100

68 = 0.68) dhe m pas shkruhet si prqindje

(68%). SHOQROJE: Aty ku figuron numri, aty me siguri ka edhe prqindje! Me prqindje fillon s shpalosuri nataliteti, kripset e tr fush-veprimtaria njerzore : shkollimi, shndetsia, ekonomia, financa, buxheti, import-eksporti, transporti, komunikacioni, bujqsia,, jeta kulturore, shkencore, sportive, sistemi bankar, sistemet e sigurimeve, mediumet e shkruara dhe elektronike referendumet, pr t prfunduar n mortalitet. Enti i Statistiks do t duhej t shpalos tra prqindjet e lartprmendura dhe t tjera. ANALIZOJE : Prqindjet jan vetm nj trajt e veant e shnimit t thyess. Prqindja e nj madhsie tregon numrin e pjesve t qindta t asaj

madhsie( t zm 35% ~ 100

35 ).Prqindja 100% e nj madhsie sht e

barasvlershme me thyesn e plot t asaj madhsie, 100

100 = a

a = 1. Ndrsa


www.bedri-jaka.com

36

promil e nj madhsie quhen t mijtat pjes t asaj madhsie(t zm 0.009 ~

1000

9 ).

ZBATOJE : Llogaritja me prqindje sht shfaqur n Romn e vjetr, lidhur me tregtin dhe dhnien e t hollave hua. Ather me prqindje sht nnkuptuar shprblimi q do t duhej paguar pr prdorimin e t hollave q merreshin hua. Vetm n shek. XIX, prqindja filloi t aplikohet n lmenj t ndryshm t jets dhe t puns s njeriut. ARSYETOJE: Fjala prqindje sht sajuar prej fjalve latine procentum (n prkthim do t thot prqind). Shenjn % t part filluan ta prdorin italiant, ku fjaln cento e shkruanin m shkurt cto. Prqindjet duke qen version shum m praktik i t shnuarit t thyesave, ato u futn n do pore t puns dhe t jets. Fjala promil rrjedh nga latinishtja pro mile q do t

thot prej njmij (t zm, 0.005 ~ 1000

5 ~ 5 lexo 5 PROMILA).

I. TEKNIKAT BASHKPUNUESE N MATEMATIK Sot nxnsit tan akoma vjelin sasi t mdha t informacionit faktik!

Kjo tashm nuk shkon! Shkollat tona do t duhej t shndrrohen n qendra t nxitjes intelektuale pr t menduarit kritik dhe t t nxnit, ku informacionet faktike kishin pr t shrbyer m shum si nxits pr t menduarit, por jo si fundi i t menduarit. Msuesi q punon me zell, koh pas kohe do t duhej ta pyes veten : far bra un pr nxnsit e mi,q tek ata : - T kultivohet t nxnit n bashkpunim dhe - T krijohen mjediset pr Mendim kritik, aktualiteti i t cilit n msimin e matematiks, sa vjen dhe rritet. Nj mjet i fuqishm pr t krijuar nj mjedis shkollor ku nxitet,stimulohet dhe zhvillohet Mendimi kritik sht t aplikuarit e teknikave dhe metodave t t nxnit n bashkpunim. T ndryshuarit e njohjes, kuptimeve, perceptimeve, prvojs, aftsive dhe shkathtsive t nxnsve, duke vepruar dhe msuar s bashku, n ifte apo n grupe, me qasje gatishmrie dhe mirkuptimi t ndrsjell, pr t evidentuar dhe zgjidhur nj problem t prbashkt, quhet t nxnit n bashkpunim.1)

iftet apo grupet e nxnsve mund t punojn dhe t msojn me efikasitet, po qe se i kultivojn dhe i vn n prdorim aftsit bashkpunuese, t cilat jan po aq t rndsishme sa edhe vet aftsit intelektuale! Aftsit bashkpunuese prfshijn : - vendimmarrjen pr t bashkpunuar ;

__________ 1) Jaka, B. Metodika e msimit elementar t matematiks, Prishtin, 2003, f. 136


www.bedri-jaka.com

37

- orientimin e bashkpunimit ; - rritjen e besueshmris ; - komunikimin e tolerancn dhe - menaxhimin e konflikteve me urtsi. Filozofia e cila mbshtet t nxnit n bashkpunim sht e ndrlidhur me : - vendimmarrjen e nxnsve ; - przgjedhjen e problemit ; - formimin e mendimit ; - bashkpunimin pa hile dhe - ambientimi pr t nxn nga shum burime. Karakteristikat e prgjithshme t paraleles ku prfillet dhe aplikohet t nxnit n bashkpunim jan : - ndrvarsia pozitive ; - prgjegjsia vetjake; - t vrejturit dhe ndrhyrjet e msuesit ; - grupimi dhe rigrupimi me prbrje jo t njjt dhe - puna e frytshme e grupit. far sht puna dhe roli i nxnsve dhe i msuesit n orn e T nxnit n bashkpunim ? Nxnsit pr ti kryer detyrat e grupit, t cilat u jan besuar, mendojn,gjykojn dhe vlersojn q ata pr njri-tjetrin jan t nevojshm. Nxnsit shtjellojn,diskutojn dhe u msojn shokve t klass krejt far ata din, kur pr punn e tyre, secili do t prfitoj pika shprblimi.Nxnsit duke prkrahur dhe ndihmuar prpjekjet e shokve t tyre pr t msuar,kan pr t reflektuar tek ata asociacione nxitjeje t t nxnit, por duke mos harruar q kush i mson t tjert,mson m shum se ata q msohen. Msuesi, nprmjet t vrejturit sistematik pr ta mbshtetur ndrvarsin pozitive, mund t ndrhyj duke siguruar kshtu q edhe antart tjer t grupit t msojn. Msuesi s bashku me familjen jan bashkprgjegjs pr kultivimin e aftsive bashkpunuese t nxnsve. Teknikat e msimdhnies t shpalosura nprmjet t nxnit n bashkpunim do t ndiqen nprmjet msimeve model. Kto t fundit jan teknika t msimit praktik q mund t zbatohen drejtprdrejt n klas, n njrn nga fazat ERR ose i prfshijn t tria fazat.

11.24. LETRA SEKRETE N fazn e Reflektimit mund t aplikohet teknika e Letrs sekrete.N cilsin e quizit(gars, provimit) t mendjemprehtsis, nxnsit e nj paraleleje ndahen n grupe me nga 5 antar. do grupi ia ndajm nga nj komplet me tiketa(mbledhje,zbritje..numrorsh,thyesash,shkronjash) Rezultatet e fituara(t prpikta) identifikohen me germa, t cilat vendosen dhe shkruhen aty ku e kan vendin!


www.bedri-jaka.com

38

Shembull : Pr Letrn sekrete t mposhtme, nga sirtari juaj, t nxjerrt elsi i letrkmbimit t fsheht!

1. (6

5 0.7) 2. (

2

1 +

3

1) 3. (1

2

1 :

3

2);

4.(800:1200) 5. (3 :

2

3)

6. (5

12: 24); 7. (3 -2

4

1); 8. (

4

3 + 0.5) 9. (1

6

1) 10. (0.75+

4

1)

elsi i letrkmbimit t fsheht:

10

1

6

5

4

5

2 3

2

4

9

4

3

15

2

1

i

e gj r a s u th t

Prpiqu t zbulosh far sht shkruar n kt letr! Zgjidhja : (THESARI U GJET)

11.25. CILI SHT NUMRI ?

Kjo strategji paraqet si nj loj aktorsh t nj ifti nxnsish. Fillimisht, njri antar i iftit (n heshtje) e mendon nj numr(natyral,dhjetor,thyesor ) apo figur,trajt,trup gjeometrik Partneri i tij nprmjet pyetjeve t vazhdueshme bn prpjekje pr ta zbuluarnumrin sekret t paramenduar.

Shembull : KAM MENDUAR NJ NUMR

Prpjekja e par : sht numr dyshifror .(PO) Prpjekja e dyt : sht numr ift ..(PO) Prpjekja e tret : sht m i madh se 50 (PO) Prpjekja e katrt : sht midis 60 dhe 80 .(PO) 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 Prpjekja e pest : Plotpjestohet me 3(PO) 66 72 78 Prpjekja e gjasht : Numr me shifra t barabarta .(JO) Prpjekja e shtat : Shuma e shifrave m e madhe se 10 (JO) Ather numri i menduar sht 72.

72 78


www.bedri-jaka.com

39

11.26. INTERVISTA ME TRE HAPA sht nj teknik bashkpunuese, nprmjet s cils, partnert intervistojn njri-tjetrin, lidhur me nj njsi msimore. Po qe se grupi prmban tre veta,intervista me tre hapa ka kt kahe : Partneri A interviston Partnerin B, ndrsa Partneri C shnon aspektet kryesore t prgjigjes. Pas do interviste, rolet ndrrohen, duke u dhn mundsi t gjith antarve q t intervistohen Po qe se grupi prmban 4 veta, intervista me tre hapa ka kt kah t njkohshm: Hapi i par : PARTNERI A interviston PARTNERIN B PARTNERI C interviston PARTNERIN D Hapi i dyt : PARTNERI B interviston PARTNERIN A PARTNERI D interviston PARTNERIN C Hapi i tret : PARTNERI A interviston PARTNERIN D PARTNERI C interviston PARTNERIN B Hapi i par : PARTNERI D interviston PARTNERIN A PARTNERI B interviston PARTNERIN C Hapi i dyt : PARTNERI A interviston PARTNERIN C PARTNERI B interviston PARTNERIN D Hapi i tret : PARTNERI C interviston PARTNERIN A PARTNERI D interviston PARTNERIN B Grupi me nga 4 veta i ofron mundsi do personi q t shkmbej dhe ti vlersoj prgjigjet e partnerve. Intervista me tre hapa mund t zbatohet - Si nj hyrje n msim : Cilat jan pyetjet q ju doni t bni lidhur me temn ? far doni t dini ju lidhur me temn ? Cilat burime ofrojn t dhna edhe m interesante lidhur me temn ? - Pr t prmbledhur t nxnit e nj teme(njsie msimore) : Cila sht ideja m me vler pr ju sot dhe prse ? Cili episod i ors s msimit ishte m interesant dhe prse ? Pr ti zbatuar ato q msuat sot, far do t bni ? - Pr t rishikuar dhe rivlersuar detyrat e shtpis : far sht preferenca juaj lidhur me detyrat e shtpis ? Cila pjes e detyrs suaj ishte m interesante dhe prse ? far ishte ndihmesa e familjes suaj n zgjidhjen e detyrs suaj ?

Shembull : Prsritje Plotpjestueshmria e numrave me 3 I. A-B: Mendo tre numra t njpasnjshm nj shifror Formo me ata numra , numrin m t madh! II. B-A: Mendo tre numra t njpasnjshm nj shifror. Formo me ata numra numrin m t vogl!


www.bedri-jaka.com

40

I. C-D: T shkruhet numri m i vogl katr shifror q plotpjestohet me 3 II. D-C: T shkruhet numri m i madh katr shifror q plotpjestohet me 3 III. A-D: Vrtetoni q numri tre shifror i shkruar me shifra t njjt sht shumfish i numrit 3 I. D-A : N vend t shenjs(*) shkruani shifrat t cilat numrin 84 * 44 e bjn t plotpjestueshm me 3 III. C-B:Mendoni dy numra katr shifror, shumfisha t numrit 3 I. B-C :Mendoni dy numra pes shifror, shumfisha t numrit 3 II. A-C:Gjeni mbetjen q do t dal me pjestimin e numrit 13588 me 3! A mund t zgjidhet detyra pa e kryer pjestimin ? III. C-A:Gjeni mbetjen q do t dal me pjestimin e numrit 24157 me 3! A mund t zgjidhet detyra pa e kryer pjestimin ? II. B-D:Pa e kryer mbledhjen, tregoni se shuma 720+144 plotpjestohet me 3! III. D-B:Pa e kryer shumzimin, tregoni se prodhimi 501 45 plotpjestohet me 3!

Vrejtje : Partnert ndrsjell kmbejn pyetje me shkall ndrlikimi t prafrt.

11.27. TRYEZA E RRUMBULLAKT

Kjo teknik bashkpunuese aplikohet n grupe t vogla nxnsish (3 4 veta) nprmjet nj letre dhe nj lapsi, t cilt pasohen nga njri partner tek tjetri prqark grupit. Konsiston n at q nj partner shkruan nj ide, togfjalsh lidhur me nj rregull (ligjsori), shprehje algjebrike, simbol, numror, relacion, dhe m pas letrn s bashku me lapsin e kalon tek partneri n t majt. Ky partner shton fjaln, numrin, simbolin, relacionin, shprehjen algjebrike prkatse dhe letrn e kalon tek tjetri e kshtu m radh. Nj variant e ksaj ecurie veohet me faktin q do partneri i duhet nj ngjyr e veant lapsi q e dallon nga t tjert pr ta dokumentuar ndihmesn personale.Kontributet personale i vlerson msuesi. Shembuj : (Pun grupi me 3 ose 6 veta) 1) do knd i jashtm i nj trekndshi sht i barabart me shumn e dy kndeve t brendshme jo fqinj me t. 2) Zbrtheni kubin e binomit (a-b) = (a-b)(a-b)(a-b) = =(a-ab-ab+b)(a-b)= =(a-2ab+b)(a-b) = = a-2ab+ab

-ab+2ab-b= ----------------------------- =a-3ab+3ab-b


www.bedri-jaka.com

41

11.27.1. GUSHKUQI RRETHOR

sht nj form gojore e tryezs rrethore. do antar grupi ofron ndihmes gojore, sistematike, pr t zbuluar fjaln, numrorin, simbolin, relacionin

Shembull: Gjej cili sht numri i menduar! - A ka tre shifra t njjta ? ..JO! - A ka dy shifra t njjta ? ..JO! - sht numr ift ? ...PO! - sht m i madh se 200 ? ...JO! - A e gjete numrin e menduar ? (Po nuk e gjete vazhdo pyetjet!)

11. 27.2. SKUADRAT LOJRAT TURNET

Loja sht pjes e jets s fmijve. Nxnia matematike pr t mos mbetur nj krcnim pr nxnsit (I-V) do t duhej t jete kripsuar me elemente loje. Meqense konkurrenca prodhon vlera, pr t zotruar t nxnit, antart e grupit bashkpunojn me njri-tjetrin. M pas,t nxnit e tyre e zbatojn n nj loj konkurruese. Fillimisht formohen grupet heterogjene pr t nxn apo prsritur t nxnit. M pas antart shkojn drejt ekipeve lvizse HOMOGJENE(grupe me njohuri dhe shkathtsi elementare prafrsisht t njjta).

GRUPI BASHKPUNUES

SKUADR TURNEU

I LART I MESM I ULT

SKUADR TURNEU SKUADR TURNEU

i lart i mesm i ult i lart i mesm i ult

skuadr bashkpunuese skuadr bashkpunuese Fig. 163

Shembull: Msimdhnia me objektiva sht garant e t nxnit t suksesshm.

Le t prcaktohemi pr objektivat vijues: -T dalluarit e numrit nga shifra -T dalluarit e vlers numerike dhe pozicionale t numrit

202 333 110 576 375 144 801 330 570 222 108 444


www.bedri-jaka.com

42

-Aplikimi i operacioneve aritmetike me numra -Aplikimi i tabels s shumzimit-si vettima. - T futurit n prdorim t: Operacioneve mendore(krahasim, analiz, identifikim, diferencim) Aftsive t veanta intelektuale(vmendje, t vrejturit, imagjinat, intuit) Formave logjike t prfundimeve(analogji, induksion).

EKIPI HOMOGJEN I ULT 1) Vshtro barazimin 76 54 = 7 6 5 4 A nuk t duket nj rastsi zbavitse ?........................................ (6 pik) 2) Sa numra katrshifror ekzistojn, shuma e shifrave te t cilt sht baras me 2?.................................................................................... (6 pik)

EKIPI HOMOGJEN I MESM 1) N nj pish ndodhen 9 zogj. Nj gjahtar vret me ifte, 3 prej tyre. Sa zogj mbesin n pish ? (ASNJ, T TJER FLUTUROJN , SE TREMBEN!) ............... (8 pik) 2) Cili sht ai numr pes shifror, shifra e par e t cilit sht 5, vlera e t cilit nuk ndrron, po qe se shifrat e tij ndrrohen mes veti ? (8 pik)

EKIPI HOMOGJEN I LART 1) Vrojto shumzimet 28 157 = 4396 12 483 = 5796 far vren ? .... (10 pik) 2) Vrojto barazimin 175 = 175 + 175 + 175 + 175 + 175 Vepro n mnyr t ngjashme me numrin 384 .... (10 pik) Bashkpunimi n vete prmban elemente konkurrenc dhe gare. Nxnsit nuk duhet pasur frik nga konkurrenca! At nuk duhet trajtuar si t ishte nj rit i ndaluar. Ndodh q nxns t caktuar e kundrshtojn pjesmarrjen e tyre n veprimtari konkurruese, me bindje q konkurrenca e prish shtratin e bashkpunimit. N qoft se del ky kundrshtim, ather e mira e s mirs sht q pjesmarrsit t diskuto

11. teknika e strategji tË zhvillimit tË mendimit kritik...

Documents