1 - proracun konzolne ploce

PRORAČUN KONZOLNE PLOČE P1/1

Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE

Primer 1. Dimenzionisati konzolnu ploču, raspona L=2.0 m. Ploča je debljine dp=12 cm, a pored sopstvene težine opterećena je i povremenim opterećenjem p=2.0 kN/m2. Izvodi se od betona MB 30 i armira glatkom armaturom GA 240/360. Za usvoje-ni raspored armature sračunati karakterističnu širinu prslina u preseku u uklješ-tenju i maksimalni ugib slobodnog kraja ploče.

1.1 ANALIZA OPTEREĆENJA I STATIČKI UTICAJI

stalno opterećenje: g = dp×γb = 0.12×25.0 = 3.0 kN/m2

povremeno opterećenje: p = = 2.0 kN/m2

Mg = 3.0×2.02 / 2 = 6.0 kNm/m ; Mp = 2.0×2.02 / 2 = 4.0 kNm/m

Tg = 3.0×2.0 = 6.0 kN/m ; Tp = 2.0×2.0 = 4.0 kN/m

1.2 DIMENZIONISANJE

Mu = 1.6×6.0 + 1.8×4.0 = 16.8 kNm/m

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

GA 240/360 ⇒ σv = 240 MPa = 24.0 kN/ cm2

pretp. a1 = 2.5 cm ⇒ h = 12.0 - 2.5 = 9.5 cm ; b = 100 cm = 1.0 m

319.3

05.2100108.16

5.9k2

=

××

= ⇒ εb/εa = 1.80/10‰ ; µ = 9.610%

2405.2

1005.9100610.9A .potr,a ×

××= = 7.80 cm2/m

100

1210015.0A .min,a×

×= = 1.80 cm2/m < Aa,potr. = 7.80 cm2/m

pretp. Ø10 (aa(1) = 0.785 cm2) ⇒

80.7785.0100

Aa100e

.potr,a

)1(a

a×

=×

= = 10.1 cm

10785.0100

ea100A

.usv,a

)1(a

.stv,a×

=×

= = 7.85 cm2/m

usvojeno: Ø10/10 (7.85 cm2/m)

80.720.0A20.0A .potr,aap ×=×= = 1.56 cm2/m

100

1210010.0A .min,ap×

×= = 1.20 cm2/m < Aap,potr. = 1.56 cm2/m

pretp. Ø8 (aap(1) = 0.503 cm2) ⇒

56.1503.0100

Aa100

e.potr,ap

)1(ap

ap×

=×

= = 32.2 cm

usvojeno: Ø8/30 (1.67 cm2/m)



Napomene: Minimalni procenti armiranja glavnom, odnosno podeonom armaturom iznose: za GA 240/360: µmin = 0.15% , µp,min = 0.10% za RA 400/500: µmin = 0.10% , µp,min = 0.085% za MA 500/560: µmin = 0.075% , µp,min = 0.075% Maksimalna dopuštena rastojanja glavne, odnosno podeone armature na mestima maksimalnih uticaja iznose: ea,max = 2×dp (1.5×dp) ≤ 20 cm (glavna armatura) eap,max = 4×dp (3×dp) ≤ 30 cm (podeona armatura) Vrednosti u zagradama se odnose na slučaj kada je ploča opterećena linijskim (koncentrisanim) opterećenjem.

2. PRORAČUN KARAKTERISTIČNE ŠIRINE PRSLINA

2.1 SREDNJE RASTOJANJE PRSLINA

ef.z1,21

Ø0ps

Økk10e

a2lµ

××+

+×=

U prethodnom izrazu su upotrebljene sledeće oznake:

a0 - čist zaštitni sloj betona do armature

eØ - osovinsko rastojanje profila armature, ne veće od 15Ø ni od 30 cm

k1 - koeficijent koji obuhvata uticaj prianjanja armature (k1=0.8 za glatku arma-turu GA 240/360, k1=0.4 za rebrastu armaturu RA 400/500)

k2 - koeficijent koji obuhvata uticaj naponskog stanja - oblika dijagrama napo-na zatezanja po visini preseka pre nastanka prslina (k2=0.25 za centrično zatezanje, k2=0.125 za čisto savijanje)

Ø - prečnik upotrebljene armature

µz1,ef. - efektivni procenat armiranja zategnutom armaturom, određen izrazom:

ef.bz,

a1ef.z1, A

A=µ

Aa1 - površina zategnute armature u poprečnom preseku

Abz,ef. - efektivna površina zategnuog betona, određena za slučaj pravougaonog oblika zategnute zone preseka kao:

ef.bz,ef.bz, hbA ×=

pri čemu je visina sadejstvujuće zone zategnutog betona hbz,ef. određena kao minimalna od sledeće dve vrednosti:

≈−×+

=)b(2/dxd

(a)Ø5.7a.minh I

)i(

ef.bz,

a(i) - položaj najudaljenijeg od zategnute ivice reda zategnute armature u preseku

xI - visina pritisnute zone preseka pre nastanka prslina (stanje I)



S obzirom na uobičajene dimenzije preseka i prečnike upotrebljene armature, uslov (a) je najčešće merodavan kod proračuna grednih nosača, a uslov (b) kod ploča.

a0 = aI - Ø/2 = 2.5 - 1.0/2 = 2.0 cm

Ø = 10 mm = 1 cm ; k1 = 0.8 (GA 240/360)

eØ = 10 cm ; k2 = 0.125 (čisto savijanje)

==≈−=×+

=cm62/122/dxd

cm100.15.75.2.minh Ief.bz, = 6 cm

0.6100

7.85AA

ef.bz,

a1ef.z1, ×

==µ = 0.01309 = 1.309%

2ps 10309.11.0125.08.0

100.100.22l −×

××+

+×= = 13.64 cm

2.2 ODREĐIVANJE NAPONA U ZATEGNUTOJ ARMATURI Da bi sračunali napon u zategnutoj armaturi, potrebno je odrediti položaj neutralne linije u preseku. Za slučaj pravougaonog preseka opterećenog na čisto savijanje, položaj neutral-ne linije se određuje rešavanjem kvadratne jednačine oblika:

( ) ( ) 0n2sn2s 221212 =α×µ+µ×−×µ+µ×+

koja zapravo predstavlja uslov ravnoteže ΣN=0. U ovom izrazu koriste se sledeće oznake:

67.65.31

210EEn

b

a === ; 0ha2

2 ==α

%827.05.9100

85.7hb

A 1a1 =

×=

×=µ ; 0

hbA 2a

2 =×

=µ

010827.067.62s10827.067.62s 222 =×××−××××+ −−

0110.0s110.0s2 =−×+ ⇒ s = 0.281

Koeficijent kraka unutrašnjih sila određuje se iz izraza:

906.03281.01

3s1b =−=−=ζ ⇒ zb = ζb×h = 0.906×9.5 = 8.61 cm

Napomena: U praktičnim proračunima je dovoljno tačno koristiti približnu vrednost zb ≈ 0.9×h, čime se elimi-niše potreba tačnog određivanja položaja neutralne linije. U slučaju pravougaonog preseka opterećenog na čisto savijanje to nije naročito značajno (rešavanje kvadratne jednačine), ali u slučaju složenog savijanja, kada je potrebno rešiti jednačinu trećeg stepena, ili u slučaju T pre-seka, može znatno skratiti proračun uz zadovoljavajuću tačnost.

Ukoliko se zadatkom eksplicitno traži određivanje napona u betonu i armaturi, MORA se sprovesti tačan proračun položaja neutralne linije, odnosno odgovarajućih vrednosti napona.

85.761.8

100.10Az

M 2

1ab1a ×

×=

×=σ = 14.79 kN/cm2 = 147.9 MPa

3a

1a1a 10210

9.147E ×

=σ

=ε = 0.704‰



2.3 ODREĐIVANJE KARAKTERISTIČNE ŠIRINE PRSLINA Karakteristična širina prslina (fraktil 5%) se određuje iz izraza:

ps1aapk l7.1a ×ε×ζ×=

2r

21

2

II1a

r,1a21a M

M11

×β×β−=

σσ

×β×β−=ζ

β1 - koeficijent kojim se uzima u obzir prianjanje armature (β1=0.5 za glatku ar-maturu GA 240/360, odnosno β1=1.0 za rebrastu armaturu RA 400/500)

β2 - koeficijent kojim se uzima u obzir dugotrajnost opterećenja (β2=1.0 za krat-kotrajno opterećenje, odnosno β2=0.5 za dugotrajno ili višestruko ponov-ljeno opterećenje)

Mr - moment savijanja pri kome nastaje prslina, određen izrazom:

1bbzs1ibzsr WfWfM ×≈×=

Wi1 - otporni moment idealizovanog preseka (beton+armatura) za zategnutu ivicu preseka

Wb1 - otporni moment bruto betonskog preseka za zategnutu ivicu preseka

S obzirom na veličinu koeficijenta ζa (vrlo bliska vrednosti 1.0), radi jednostavnosti se savetuje da se proračun momenta Mr sprovodi po približnom izrazu (sa karakte-ristikama bruto betonskog preseka).

fbzs - čvrstoća betona pri zatezanju savijanjem, određena izrazom:

m,bzbz4m,bz4bzbzs f7.0fd4.06.0f7.0

d4.06.0ff ×=≥

+××=

+×=

Napominje se da se visina poprečnog preseka d u izraz za određivanje fbzs unosi u METRIMA. Takođe se naglašava da se, u skladu sa članom 51. BAB, kod pro-računa širine prslina usvaja da je fbz = 0.7×fbz,m

fbzm - srednja čvrstoća betona pri aksijalnom zatezanju - videti tabelu u okviru člana 51. Pravilnika BAB 87, odnosno određena izrazom:

3 2bkbzm f25.0f ×= ; fbzm i fbk u [MPa]

Zamenom konkretnih numeričkih vrednosti u prethodnim izrazima, sledi:

MB 30 ⇒ fbz,m = 2.4 MPa ⇒ fbz = 0.7×fbz,m = 0.7×2.4 = 1.68 MPa

+×=4bzs 12.0

4.06.068.1f = 2.15 MPa = 0.215 kN/cm2

6

12100W2

1b×

= = 2400 cm3/m

Mr = 0.215×2400 = 516 kNcm/m = 5.16 kNm/m < M

2

a2

1

0.1016.50.15.01

)0t(0.1)360/240GA(5.0

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.867

apk = 1.7 × 0.867 × 0.704×10-3 × 13.64 = 14.2×10-3 cm = 0.14 mm < au = 0.2 mm



Kako se pretpostavlja da se element nalazi u uslovima umereno agresivne sredine ("napo-lju"), dopuštena vrednost karakteristične širine prslina je apk,dop. = 0.2 mm. Dakle, sa as-pekta graničnog stanja prslina, element je korektno dimenzionisan.

3. ODREĐIVANJE DEFORMACIJA SLOBODNOG KRAJA PLOČE Potrebne geometrijske karakteristike neisprskalog betonskog preseka i položaj težišta ukupne armature u preseku dati su sledećim izrazima:

AbI = b×d = 100×12 = 1200 cm2/m

yb1 = yb2 = d/2 = 12 / 2 = 6.0 cm

12

1210012

dbJ33

Ib

×=

×= = 14400 cm4/m

Aa1 = 7.85 cm2/m (Ø10/10) ; Aa2 = 0 ⇒ Aa = Aa1 + Aa2 = 7.85 cm2/m

Položaj težišta ukupne armature u odnosu na gornju ivicu preseka, kao i položajni moment inercije armature u odnosu na težište ukupne armature, određeni su kao:

ya2 = h = 9.5 cm ; Ja = 0

3.1 ELASTIČNO REŠENJE Ugib slobodnog kraja konzole opterećene jednako raspodeljenim opterećenjem q=g+p po čitavom rasponu, uvodeći u proračun moment inercije BRUTO BETONSKOG PRESEKA, određen je izrazom:

( )86

4

bb

4

b 1014400105.3180.20.20.3

JE8lqv −××××

×+=

×××

= = 2.20×10-3 m = 2.2 mm

3.2 PRORAČUN UGIBA U TRENUTKU NANOŠENJA OPTEREĆENJA

3.2.1 POČETNI UGIB, UKUPNO OPTEREĆENJE

Posebno se mora sračunati ugib za stanje I (bez prslina) i za stanje II (sa prslinama).

3.2.1.1 Stanje I (bez prslina) - ukupno opterećenje

AiI = Ab

I + n×Aa = 1200 + 6.67×7.85 = 1252.4 cm2/m

( ) ( )4.1252

85.767.60.65.90.6A

Anyyyy Ii

aI2b2aI

2bI2i

××−+=

××−+= = 6.15 cm

Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I određen je izrazom:

( ) ( )I2b

I2i

I2b2a

Iba

Ib

Ii yyyyAJnJJ −×−×+×+=

JiI = 14400 + 0 + 1200×(9.5 - 6.0)×(6.15 - 6.0) = 15015 cm4/m

1501514400

JJk I

i

IbI

a == = 0.959

Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) opterećenje, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:

v0I = ka

I×vb = 0.959×2.2 = 2.11 mm



3.2.1.2 Stanje II (sa prslinama) - ukupno opterećenje

Položaj neutralne linije je određen prilikom određivanja napona u zategnutoj armaturi (proračun prslina).

xII = s×h = 0.281×9.5 = 2.67 cm

AbII = b×xII = 100×2.67 = 267 cm2/m

267.2

2xy

IIIIb == = 1.34 cm

( )12

67.210012

xbJ33II

IIb

×=

×= = 159.27 cm4/m

yiII = xII = 2.67 cm

( ) ( )II2b

II2i

II2b2a

IIba

IIb

IIi yyyyAJnJJ −×−×+×+=

JiII = 159.27 + 0 + 267×(9.5 - 1.34)×(2.67 - 1.34) = 3077 cm4/m

3077

14400JJk II

i

IbII

a == = 4.68

Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) opterećenje, za isprskali presek (stanje II) iznosi:

v0II = ka

II×vb = 4.68×2.2 = 10.32 mm

3.2.1.3 Početni ugib u trenutku t=0 (ukupno opterećenje)

Ukupno, početni ugib u trenutku t=0 se dobija iz izraza:

v0 = (1 – ζ) × v0I + ζ × v0

II

pri čemu je koeficijent sadejstva zategnutog betona između prslina ζ određen izrazom:

MM1 r

21 ×β×β−=ζ

S obzirom da je sračunat moment inercije idealizovanog preseka za stanje bez prslina JiI,

moment pojave prslina Mr biće određen iz izraza:

Mr = fbzs×Wi1I ;

15.61215015

ydJ

yJW I

2i

Ii

I1i

IiI

1i −=

−== = 2565 cm3/m

Čvrstoća betona pri zatezanju savijanjem fbzs je određena izrazom:

m,bzbz4m,bz4bzbzs ffd4.06.0f

d4.06.0ff =≥

+×=

+×=

Posebno se naglašava da je čvrstoća betona pri aksijalnom zatezanju, za razliku od vrednosti koja se koristi pri proračunu prslina, fbz = fbz,m (član 51. Pravilnika BAB 87).

+×=4bzs 12.0

4.06.040.2f = 3.07 MPa = 0.307 kN/cm2

Mr = 0.307×2565 = 788 kNcm/m = 7.88 kNm/m < M = Mg + Mp = 10 kNm/m

1088.70.15.01

)0t(0.1)360/240GA(5.0

pg,02

1 ××−=ζ⇒

==β=β

+ = 0.606



vg+p,0 = (1 - 0.606) × 2.11 + 0.606 × 10.32 = 7.09 mm Traženi ugib slobodnog kraja konzole usled ukupnog, stalnog i povremenog opterećenja, u trenutku nanošenja opterećenja (t=0), je vg+p,0 = 7.09 mm.

3.2.2 POČETNI UGIB, STALNO OPTEREĆENJE

Kako položaj neutralne linije u preseku napregnutom na čisto savijanje ne zavisi od veliči-ne momenta savijanja, lako je zaključiti:

3.2.2.1 Stanje I (bez prslina) - stalno opterećenje

11.20.20.3

0.3vpg

gv I0,pg

I0,g ×

+=×

+= + = 1.27 mm

3.2.2.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno opterećenje

Kako je Mr = 7.88 kNm/m > Mg = 6 kNm/m, presek je bez prsline.

3.2.2.3 Početni ugib u trenutku t=0 (stalno opterećenje)

vg,0 = v Ig,0 = 1.27 mm

3.3 PRORAČUN UGIBA U TOKU VREMENA Geometrijske karakteristike idealizovanog poprečnog preseka (beton+armatura) se sračunavaju na isti način kao za stanje t=0, s tim da se u odgovarajuće izraze umesto modula deformacije betona Eb unosi korigovani efektivni modul Eb*.

=ϕ=χ

∞

∞

6.28.0

⇒ χ∞×ϕ∞ = 0.8×2.6 = 2.08

08.215.31

1EE b*

b +=

ϕχ+=

∞∞

= 10.23 GPa ⇒ 23.10

210EEn *

b

a* == = 20.53

3.3.1 TRAJNI UGIB, STALNO OPTEREĆENJE

3.3.1.1 Stanje I (bez prslina) - stalno opterećenje

Ai*I = Ab

I + n*×Aa = 1200 + 20.53×7.85 = 1361.3 cm2/m

( ) ( )3.1361

85.753.200.65.90.6A

Anyyyy I*i

a*I

2b2aI2b

I*2i

××−+=

××−+= = 6.41 cm

Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I određen je izrazom:

( ) ( )I2b

I*2i

I2b2a

Iba

*Ib

I*i yyyyAJnJJ −×−×+×+=

Ji*I = 14400 + 0 + 1200×(9.5 - 6.0)×(6.41 - 6.0) = 16141 cm4/m

( ) ( )[ ]I*2i2a

I2i2aaaI*

i

*I yyyyAJ

Jn1k −×−×+×−=ϕ

( ) ( )[ ]41.65.915.65.985.7016141

53.201k I −×−×+×−=ϕ = 0.897

( ) ( ) Ig,0

Ig,b

IIa

Ig, vk1vk1kv ×ϕ×+=×ϕ×+×= ∞ϕ∞ϕ∞



Ugib u vremenu t→∞ usled stalnog opterećenja, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:

v Ig,∞ = (1+0.897×2.6)×1.27 = 4.23 mm

3.3.1.2 Stanje II (sa prslinama) - stalno opterećenje

Kako je Mr = 7.88 kNm/m > Mg = 6 kNm/m, presek je bez prsline.

3.3.1.3 Trajni ugib u trenutku t→∞ (stalno opterećenje)

vg,∞ = v Ig,∞ = 4.23 mm

3.3.2 TRAJNI UGIB, UKUPNO OPTEREĆENJE

Konačna vrednost ugiba usled dejstva dugotrajnog (stalnog) i kratkotrajnog (povremenog) opterećenja dobija se kao trenutna vrednost ugiba od ukupnog opterećenja, uvećana za prirast ugiba kao posledice dugotrajnog dejstva stalnog opterećenja:

( )0,g,g0,pg,pg vvvv −+= ∞+∞+

vg+p.∞ = vmax = 7.09 + (4.23 - 1.27) = 10.04 mm

cm33.1150200

150Lvcm0.1vv .dop.max,pg ===<==∞+

Kako je maksimalni ugib slobodnog kraja konzole manji od dopuštene vrednosti (član 117. Pravilnika BAB 87), sa aspekta graničnog stanja deformacija (upotrebljivosti), element je korektno dimenzionisan.

Sračunavanje geometrijskih karakteristika poprečnog preseka za je svakako najobimniji deo posla kod proračuna deformacija savijanih AB elemenata. U primeru je prikazan najjednostavniji slučaj (pravougaoni presek, Aa2 = 0), dok je uvođenjem u proračun i pritisnute armature, obim posla još veći. Stoga su u II tomu Priručnika za primenu PBAB 87 publikovani, dijagrami (Prilozi 3.4, 3.5) pomoću kojih se potrebni koeficijenti za proračun ugiba lako mogu odrediti. Sledi:

≈=≈=

⇒

=××

=×

×

≈==

=

)8.4.3dijagram(68.460.4k)4.4.3dijagram(959.096.0k

055.05.910085.767.6

hbAn

2.0208.012

5.2da

0AA

IIa

Ia

1a

1

1a

2a

Mr ≈ fbzs × Wb1 = 0.307×2400×10-2 = 7.33 kNm/m < M = Mg + Mp = 10 kNm/m

631.01033.70.15.01

)0t(0.1)360/240GA(5.0

pg,02

1 =××−=ζ⇒

==β=β

+

mm18.714.10631.012.2)631.01(vmm14.102.26.4vmm12.22.296.0v

0,pgII0,pg

I0,pg =×+×−=⇒

=×==×=

++

+

mm27.112.20.20.3

0.3vvMM I0,g0,grg =×

+==⇒<

)16.4.3dijagram(897.0895.0k208.26.28.0 I ≈=⇒≈=×=ϕ×χ ϕ∞∞

mm22.41.272.6)0.895(1v I,g =××+=∞

mm22.4vvMM I,g,grg ==⇒< ∞∞

150

Lmm3.13vmm13.101.27)-.224(18.7v u,pg ==<=+=∞+

1 - proracun konzolne ploce

Documents