1 - promene stanja idealnih gasova

zbirka zadataka iz termodinamike strana 1

dipl.ing. @eqko Ciganovi} {fmlp@fvofu/zv

KVAZISTATI^KE (RAVNOTE@NE)

PROMENE STAWA IDEALNIH GASOVA

2/2/ Vazduh (idealan gas), 2)q2>3!cbs-!w2>1/5416!n40lh*!kvazistati~ki (ravnote`no) mewa stawe do 3)q3>7!cbs-!w3>w2!*/ Odrediti: a) temperaturu vazduha u karakteristi~nim ta~kama procesa b) razmewenu toplotu )r23* i zapreminski rad )x23* c) promenu unutra{we energije )∆v*- entalpije )∆i* i entropije )∆t* vazduha d) skicirati proces na qw!i!Ut dijagramu a)

!h

222 S

wqU

⋅= >

3985416/1213 6 ⋅⋅

>411!L-!h

333 S

wqU

⋅= >

3985416/1217 6 ⋅⋅

>:11!L!

b)

! >1 >!543!( )23w23 UUdr −⋅= ( )411:1183/ −⋅lhlK

!

! x23!>!1! lhlK

!

!c)

! >1 >!543!( )23w23 UUdv −⋅=∆ ( )411:1183/ −⋅lhlK

! !

! >2 >!711!( )23q23 UUdi −⋅=∆ ( )411:1111/ −⋅lhlK

!

!! ( )2

3q

2

3w23 w

wmod

qq

modw-qgt −==∆ >37

mo83/ ⋅1 >1/8:2!lhLlK

!

!d)

3!

2!

t!

U!3!

2!

w!

q!

! !



!2/3/ Dva kilograma kiseonika (idealan gas) po~etnog stawa 2)q>2!cbs-!U>484!L*- usled interakcije sa toplotnim ponorom stalne temperature, mewa svoje toplotno stawe kvazistati~ki (ravnote`no) politropski )o>1/9* do stawa 3)!w3>1 */ Skicirati proces u qw!i!Ut koordinatnom sistemu i odrediti:

2w6/ ⋅

a) mehani~ke veli~ine stawa kiseonika )q-!w-!U* u karakteristi~nim ta~kama b) koli~inu toplote )lK* koju radno telo preda toplotnom ponoru kao i zapreminski rad koji pri tom

izvr{i nad radni telom )lK* c) promenu entropije izolovanog termodinami~kog sistema u najpovoqnijem slu~aju !

o>1/9!o>1/9!

UUQ!3!

2!

t!

U!

3!

2!

w!

q!

a)

62

2h2

212

484371q

USw

⋅

⋅== >1/:7:9!

lhn4

-! >1/595:!1/:7:91/6w3 ⋅=lhn4

!

!o

2

3

3

2

ww

qq

= ! ⇒! 9/16

o

3

223 3212

ww

qq ⋅⋅=

⋅= >2/85 !bQ216⋅

!371

595:/12185/2Swq

U6

h

333

⋅⋅=

⋅= >435/62!L!

!b)

! ( )23w23 UU2o

odr −⋅

−κ−

⋅= > ( )48462/43529/15/29/1

76/ −⋅−−

⋅1 >−:5/66!lhlK

!

>−29:/2!lK!( 66/:53rnR 2323 −⋅=⋅= )!

! x23!>! ( )32h UU2o

2−⋅

−⋅S > ( )62/435484

29/12

37/ −⋅−

⋅1 >!−74/15!lhlK

!

! >237/19!lK!( 15/743xnX 2323 −⋅=⋅= )!!!



c)

∆Ttjtufn!>!∆Tsbeop!ufmp!,!∆Tupqmpuoj!qpops!>!///!>!−1/65!,!1/69!>!1/15! LlK

!

∆Tsbeop!ufmp!>!∆T23!>

−⋅

2

3h

2

3q q

qmoS

UU

modn >!!! ! ! !! ! !

! ! ! >

⋅−⋅

285/2

mo37/1484

62/435mo:2/1⋅3 >−1/65!

LlK

!

! ∆Tupqmpuoj!qpops!>!−!UQ

23

UR

>!−!62/4352/29:−>1/69!

LlK

!

!2/4/ Kiseonik (idealan gas) n>21!lh, mewa stawe kvazistati~ki izobarski i pri tom se zagreva od temperature U2>411!L!do!U3>:11!L. Kiseonik dobija toplotu od dva toplotna izvora stalnih temperatura. Odrediti: a) promenu entropije izolovanog termodinami~kog sistema ako su temperature toplotnih izvora

UUJ2>711!L!i UUJ3>:11 b) temperaturu toplotnog izvora 2!)UUJ2* tako da promena entropije sistema bude minimalna kao i

minimalnu promenu entropije sitema u tom slu~aju

B!

UJ3!

UJ2!

3!

2!

t!

U!

b*!

∆Ttjtufn!>!∆TSU!,!∆TUJ2!,!∆TUJ2!>!///!>!21!−!5/66!−!4/14!>!3/53! LlK

!

∆TSU!>!

−⋅

2

3h

2

3q q

qmoS

UU

modn >411:11

mo:2/1 ⋅⋅21 >21LlK

!

!

∆TUJ2!>!!−!2UJ

B2

UR

>///>!−!7113841

>−!5/66!LlK

!

∆TUJ3!>!!−!3UJ

3B

UR

>///>!−!:113841

>−!4/14!LlK

!

!



!

! >1 >384!( )2BqB2 UUdr −⋅= ( )411711:2/ −⋅lhlK

!

>3841!lK!38421rnR B2B2 ⋅=⋅=!

! >1 >384!( )B3q3B UUdr −⋅= ( )711:11:2/ −⋅lhlK

!

38421rnR 3B3B ⋅=⋅= >3841!lK! b) ! !

∆Ttjtufn>!g!)!UB!*>( ) ( )

−−

−−−⋅

3

B3q

B

2Bq

2

3h

2

3q U

UUd

U

UUd

qq

moSUU

modn !

−⋅−=

∂∆∂

33B

2q

B

tjtufn

U2

U

Udn

*U)*T) !

1*U)*T)

B

tjtufn =∂∆∂

! ! !⇔ 1U2

U

U

33B

2 =− ! ! ⇒!

3U2UBU ⋅= > 411:11 ⋅ >62:/72!L!

!Pri temperaturi toplotnog izvora UB>!62:/72!L!promena entropije sistema ima minimalnu vrednost i ona iznosi:

!

! ∆Tnjo>( ) ( )

−+

−+−⋅

3

3q2q

2

3h

2

3q U

62:/72Ud

62:/72

U62:/72d

qq

moSUU

modn !

∆Tnjo>( ) ( )

−⋅

+−⋅

+⋅⋅:11

62:/72:111/:262:/72

41162:/721/:2411:11

mo1/:221 >28/7:LlK !

! !



!2/5/!Tokom kvazistati~ke (ravnote`ne) politropske ekspanzije n>3!lh idealnog gasa, do tri puta ve}e zapremine od po~etne, temperatura gasa opadne sa U2>!711!L!na!U3>444!L i izvr{i se zapreminski rad 211!lK. Da bi se proces obavio na opisani na~in, radnom telu se dovodi 31!lK toplote. Skicirati promene stawa idealnog gasa na qw!i!Ut dijagramu i odredite specifi~ne toplotne kapacitete pri stalnom pritisku (dq*! i pri stalnoj zapremini!)dw*!datog gasa. !! prvi zakon termodinamike za proces od 1 do 2 !! R23!>!∆V23!,!X23! ⇒! R23!>!n!/!dw!/!)!U3!−!U2!*!,!X23!! !

! ( )23

2323w UUn

XRd

−⋅−

= !> ( )711444321131−⋅

−>!1/261!

lhLlK

!

!

!2o

2

3

3

2

ww

UU

−

= ! ⇒! 2

4mo444711

mo2

ww

mo

UU

moo

2

3

3

2

+=+= >2/646!

!

! X23>!n!/!x23!>! ( )23h UU2o

2S −⋅

−⋅⋅n !⇒!

( )( ) =−⋅

−⋅=

23

23h UUn

2oXS !

!

! Sh!>!( )

( ) =−⋅

−⋅−7114443

2646/22111/211!

lhLlK

! ⇒! dq!>!dw!,!Sh!>!1/361! lhLlK

!

!!

!t!

!U!

!3!

o>2/646!

!2!

!w!

!q!

!3!

o>2/646!

!2!

!



2/6/!Dvoatomni idealan gas )o>3!lnpm* ekspandira kvazistati~ki adijabatski od U2>711!L!do!U3>411!L a zatim se od wega izobarski odvodi toplota dok mu temperatura ne dostigne U4>361!L. Odrediti koliko se zapreminskog rada dobije za vreme ekspazije )lK* i kolika se toplota odvede od gasa za vreme izobarskog hla|ewa )lK*/!!! !( ) ( 23w32w2323 UU*)NdoUUdnxnX −⋅⋅=−⋅=⋅= )

)

)

)

!! >−23591!lK!( 7114119/313X23 −⋅⋅=!!! !3434 rnR ⋅= ( ) ( 34q34q UU*)NdoUUdn −⋅⋅=−⋅=

!! >!−3:21!lK!( 4113612/3:3R34 −⋅⋅=!2/7/!Termodinami~ki sistem ~ine 21!lh kiseonika (idealan gas) kao radna materija i okolina stalne temperature Up>1pD kao toplotni ponor. Kiseonik mewa svoje stawe od 2)q>2!NQb-!U>561pD* do 3)q>2!NQb-!U>38pD* na povratan na~in (povratnim promenama stawa).Skicirati promene stawa idealnog gasa u Ut koordinatnom sistemu i odrediti razmewenu toplotu izvr{eni zapreminski rad. !

Up!

U!

!t!

!2!

!3!

!B!!C!

! drugi zakon termodinamike za proces 1−2: !! ∆Ttjtufn!>!∆Tsbeop!ufmp!,!∆Tplpmjob! ⇒! ∆Tsbeop!ufmp!>!−∆Tplpmjob!!! !!

! =

−⋅

2

3h

2

3q q

qmoS

UU

modn !P

23

UR

! ! ⇒! R23!>Up/!

−⋅

2

3q U

Umodn !

2

3h q

qmoS

! R23!>!384! 834411

mo:2/121 ⋅⋅⋅ >!−!3296/37!lK!

!



! prvi zakon termodinamike za proces 1−2 !! R23!>!∆V23!,!X23!! ! ⇒! X23!>!R23!−!n!/!dw!/)U3!.U2*!!! X23!>! − >676/35!lK!( 83441176/12137/3296 −⋅⋅− )!2/8/ Sedam kilograma azota (idealan gas) mewa svoje stawe, na povratan na~in, od stawa 2)q>6!cbs-!u>2pD* do stawa 3, pri ~emu se dobija zapreminski rad X>2257!lK. Od okoline (toplotnog izvora) stalne temperature Up>32pD, azotu se dovodi R>2511!lK toplote. Odrediti temperaturu i pritisak radne materije (azot) na kraju procesa i skicirati promene stawa radnog tela na U−t dijagramu ! prvi zakon termodinamike za proces od 1 do 2

! R23!>!∆V23!,!X23! ! ⇒! !w

232323 dn

XRUU

⋅−

+= !

!85/1822572511

385U3 ⋅−

+= >!434/14!L!

! drugi zakon termodinamike za proces od 1 do 2

! ∆Ttj!>!∆Tsu!,!∆Tp! ! ⇒!! 1!>! −

−⋅

2

3h

2

3q q

qmoS

UU

modnP

23

UR

! !

! =

+

⋅−⋅=

2

3q

P

23

h23 U

Umod

UnR

S2

fyqqq

! =

⋅+

⋅−⋅⋅=

385434/19

mo15/23:58

25111/3:82

fyq216q 63 !1/:!cbs!

!!

!Up!

U!

!2!

!C!!B!

t!

!3!



!zadaci za ve`bawe: )2/9/!−!2/21/* 2/9/ 3 mola troatomnog idealnog gasa stawa )q>:!cbs-!U>484!L*!kvazistati~ki (ravnote`no) politropski ekspandira do stawa )w3>5/!w2-!q>2/:!cbs*/!Skicirati proces na qw!j!Ut dijagramu i odrediti: a) eksponent politrope, o b) promene unutra{nje energije )lK*- entalipje )lK* i entropije radnog tela )lK0L* c) koli~inu toplote koja se preda radnom telu )lK*-!u ovom procesu a) o>2/23 b) ∆V23>.6!lK-!!∆I23>.7/5!lK-!∆T23>31/23!K0L c) R23!>!7/75!LK 2/:/ Idealan gas (helijum) mase n>3/6!lh izobarski (ravnote`no) mewa svoje toplotno stawe pri ~emu mu se entropija smawi za 7/6!lK0L. Po~etna temperatura gasa iznosi 311pD. Temperatura toplotnog rezervoara koji u~estvuje u ovom procesu je konstantna i jednaka je ili po~etnoj ili krajwoj temperaturi radnog tela. Odrediti promenu entropije toplotnog rezervoara. ∆TUS!>9/54!lK0L! 2/21/ Termodinami~ki sistem ~ine 4!lh vazduha (idealan gas) kao radna materija i okolina stalne temperature Up>36pD kao toplotni ponor. Radna materija mewa svoje toplotno stawe od stawa 2)q>1/2!NQb-!u>61pD* do stawa 3)u>6pD* na povratan na~in (povratnim promenama stawa). Pri tome se okolini predaje 661!lK toplote. Odrediti: a) pritisak radne materije na kraju procesa b) utro{eni zapreminski rad )lK* u procesu 1−2 c) skicirati promene stawa radnog tela na Ut dijagramu a) q3>6/16!cbs!b) X23>−!563/9!LK!!!!!!!!



2/22/ Idealan gas )n>2!lh* mewa svoje toplotno stawe od 2)q>:!cbs-!w>1/2!n40lh*!do 3)q>2!cbs*/ Prvi put promena se obavwa kvazistati~ki po liniji 2B3 (vidi sliku) pri ~emu je zavisnost pritiska od zapremine linearna. Drugi put promena se obavqa kvazistati~ki linijom 2C3 po zakonu qw3>dpotu, pri ~emu se radnom telu dovodi 31!lK!toplote. Odrediti: a) dobijeni zapreminski rad )X23* du` promena 2B3!i!2C3 b) koli~inu toplote )R23* dovedenu gasu du` promena 2B3! !

w!

2!

3!

B!

C!

q!

a) 33

3

223 2

:2/1

qq

ww

⋅=

⋅= >!1/4!

lhn4

!

!

( )23

3w

2w

32B23 ww

3qq

nq)w*ewn*)X −⋅+

⋅=⋅= ∫ !

*2/14/1)3

21221:2*)X

66

B23 −⋅⋅+⋅

⋅= >211!/214!lK!

!

!

−⋅⋅−=⋅⋅−=⋅⋅=⋅= −−∫∫ 23

3w

2w

23

3w

2w

C23 w2

w2

LnwLnewwLnq)w*ewn*)X !

−⋅⋅⋅−=

1/22

1/42

21:2*)X 4C23 >71!/214!lK!

napomena:!! >:!36322 2/121:wqL ⋅⋅=⋅= /214!!

3

4

lh

nK ⋅!

!!



!b) ! prvi zakon termodinamike za proces 2C3:! !!!!!!)2*!C2323C23 *)XV*)R +∆=!

prvi zakon termodinamike za proces 2B3:!! !!!!!)3*!B2323B23 *X)V*R) +∆=!

oduzimawem prethodne dve jedna~ine )2* i )3*!!dobija se:!!!

C23B23B23 *)X*)X*)R −= ,)R >211!−!71!,!31!>!71!lK C23 * 2/23/ Jedan kilogram vazduha (idealan gas) stawa 2)q>25!cbs-!U>434!L* kvazistati~ki ekspandira do stawa 2. Tokom ekspanzije zavisnost pritiska od zapremine je linearna. U toku procesa vazduhu se dovede R23>216!lK toplote i pri tom se dobije X23>211!lK zapreminskog rada. Odrediti temperaturu i pritisak vazduha stawa 2. prvi zakon termodinamike za proces 2−3:!! !232323 XVR +∆=

! !2323w23 X*UU)dnR +−⋅=83/12211216

434dnXR

UUw

232323 ⋅

−+=

⋅−

+= >441!L!

!

! ( )

−⋅⋅

+⋅=−⋅

+⋅=⋅= ∫ 2

2

3

3h

3223

32

2w

3w

23 qU

qU

S3qq

nww3qq

new*w)qnX !

! 1qqUSq*qUSqUSqnX

3)qUSn 223h323h22h2233

32h =

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅ !

!! >1! ! !dqcqb 3

33 +⋅+⋅

!! b> 4343982 ⋅⋅ >:3812!

! c>

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅ 666

4

21254413982125434398212521

⋅

2112 >3 !

⋅⋅

23 222188/ ⋅

! d>−2 >−2 !66 21252125441398 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 282197/ ⋅!!! ! ! !12197/2q2188/3q:3812 28

3223

3 =⋅−⋅⋅+⋅ ⇒!

!( )

:38123

2197/2:381252188/32188/3q

2832222

3 ⋅⋅⋅⋅+⋅±⋅−

= >!6/76!cbs!



2/24/ Dvoatomni idealan gas!u koli~ini o>31!npm!sabija se ravnote`no od po~etne zapremine W2>1/:!

n4 do krajwe zapremine W3>1/3!n4. Promena stawa gasa odvija se po jedna~ini: ( )3W

4968W

51821Wq += ,

pri ~emu je pritisak izra`en u Qb a zapremina u n4. Odrediti: a) pritisak i temperaturu gasa na po~etku i kraju procesa b) izvr{eni nad radnim telom kao i razmewenu toplotu tokom ovog procesa a)

( )322

2W

4968W

51821q += >

3:/1

4968:/1

51821+ >!5:46:!Qb!

!( )333

3W

4968W

51821q += >

33/1

49683/1

51821+ >!3:8386!Qb!

! ( ) 2h22 UNSoWq ⋅⋅=⋅ ! ⇒! ( ) 942613/1:/15:46:

NSoWq

Uh

222 ⋅

⋅=

⋅⋅

= >378/24!L!

! ( ) 3h33 UNSoWq ⋅⋅=⋅ ! ⇒! ( ) 942613/13/13:8386

NSoWq

Uh

333 ⋅

⋅=

⋅⋅

= >468/63!L!

b)

! ∫=3W

2W

23 eW*W)qX > ∫

+

3W

2W

3eW

W

4968W

51821>

3W

2W

W4968

Wmo51281

−⋅

>!

!

+−⋅

232

3

W4968

W4968

WW

mo51281 >

+−⋅

:/14968

3/14968

:/13/1

mo51281 >!−86529/3!K!

prvi zakon termodinamike za proces 2−3: !!!!!!232323 XVR +∆=!! !( ) ( ) 2323w23 XUUdNoR +−⋅⋅⋅=!! R23>! 1 >−49/36!lK!( ) 53/8624/37863/4689/3113/ −−⋅⋅!



!2/25/ Dvoatomnan idealna gas )o>3!lnpm* kvazistati~ki mewa stawe od 2)U>411!L-!q>2!cbs*!do!3)U>:11!L* po zakonu prave linije u Ut koordinatnom sistemu. Pri tome se radnom telu saop{tava 711!lK!rada. Odrediti pritisak radne materije stawa 2 i skicirati proces na Ut djagramu. prvi zakon termodinamike za proces 2−3: !!!!!!232323 XVR +∆=!! !( ) ( ) 2323w23 XUUdNoR +−⋅⋅⋅=!! R23>! 313 ⋅ >!35471!lK!( ) 711411:119/ −−⋅

! 2332

23 T3UU

R ∆⋅+

= ! ⇒!:11411

354713UU

R3T

32

2323 +

⋅=

+⋅

=∆ >!51/7!LlK

!

! ( ) ( )

⋅−⋅⋅⋅=∆

2

3h

2

3q23 q

qmoNS

UU

modNoT ! ⇒!

!( )

( )

∆−⋅⋅

⋅=h

23

2

3q

23 NSoT

UU

modNfyqqq >

−⋅⋅⋅

426/937/51

411:11

mo2/3:fyq2162 !

! q3!>5/18!/216!Qb!>!5/18!!cbs! !!

t!

U!3!

2!

!! !!



2/26/ Idealan gas sabija se kvazistati~ki od temperature U2>384!L do temperature U3>984!L po zakonu:

DUU

moLT2+⋅= (!L>−215!lK0L>dpotu!!i!D>dpotu). Odrediti nepovratnost ove promene stawa ,!)∆Ttj-!

lK0L*-!ako se toplota predaje izotermnom toplotnom ponoru temperature UUQ>U2 i grafi~ki je predstaviti na Ut dijagramu

! ∆Ttjtufn!>!∆TSU!,!∆TUQ!>!///!>!−231/:!,!339/7!>218/8! LlK

!

! ∆TSU!>T3!−!T2>///>!−231/:! KkJ

!!

! DUU

moLT2

33 +⋅= ! )3*! ! D

UU

moLT2

22 +⋅= ! )2*! ! !

!! Oduzimawem pretnodne dve jedna~ine dobija se:!!

!384984

mo215UU

moLTT2

323 ⋅−=⋅=− >−231/:!

LlK

!

! ∆TUQ> 384384984

215U

UUL///

U

eT*T)U

UR

uq

23

uq

3T

T

uq

23 −⋅−=

−⋅==−=−

∫>339/7

LlK !

napomena:!

*UU)L*2f)LU*ff)LU

fLUeTfU///eT*T)U

232U3Umo

2LD2T

LD3T

2

3T

2T

LDT

2LDT

2

3T

2T

3T

2T

−⋅=−⋅⋅=−⋅⋅

=⋅⋅=⋅==

−−

−−

∫∫ !

Postupak grafi~kiog predstavqawa promene entropije sistema zasnovan je na jednakosti povr{ina ispod: 1. linije kojom predstavqamo promenu stawa radnog tela 2. linije kojom predstavqamo promene stawa toplotnog ponora !! Obe ove povr{ine predstavqaju razmewenu toplotu izme|u radno tela i toplotnog ponora.



!

∆TTJ!

∆TUQ!

∆TSU!

U!

t!

3!

2!UUQ!

zadaci za ve`bawe: )2/27/!−!2/28/*! 2/27/ Vazduh (idealan gas) kvazistati~ki mewa toplotno stawe od stawa 2)U>411!L*!do stawa!3)U>711!L*!i pri tome je w2>3/!w3. Prvi put se promena vr{i po zakonu prave linije u Ut!kordinatnom sistemu, a drugi put se od stawa 1 do stawa 2 dolazi kvazisati~kom politropskom promenom stawa. Odrediti koliko se

toplote )lK0lh*!dovede vazduhu u oba slu~aja . lhlK

7/23:*r)-lhlK

2/246*r) qpmjuspqb23qsbwb23 ==

2/28/ Neki gas koji se pona{a saglasno jedna~ini stawa: 3

h

w

bcw

US*w)q −

−

⋅= ,

)b>82/87!On50lh3-!c> n521138/9 −⋅ 40lh!j!Sh>79/9!K0)lhL**-!lwb{jtubuj•lj!izotermski ekspandira pri temperaturi od 1pD od w2>1/16!n40lh do w3>1/3!n40lh. Odrediti: a) po~etni i krajwi pritisak gasa kao i dobijeni zapreminski rad tokom ekspanzije b) po~etni i krajwi pritisak gasa kao i dobijeni zapreminski rad tokom ekspanzije kada bi navedeni

gas posmatrali kao idealan gas iste gasne konstante )Sh* !a) q2>4/64!cbs-!q3>1/:3!cbs-!x23>36/2:!lK0lh!b) q2>4/87!cbs-!q3>1/:5!cbs-!x23>37/15!lK0lh !



NEKVAZISTATI^KE (NERAVNOTE@NE) PROMENE STAWA IDEALNIH GASOVA

2/29/ Vazduh (idealan gas) stawa 2)q2>23!cbs-!U2>366pD* ekspandira nekvazistati~ki adijabatski sa stepenom dobrote η >1/9 do stawa 3)qfy

e 3>2!cbs*/!Odrediti: a) temperaturu vazduha nakon ekspanzije b) prira{taj entropije radnog tela usled mehani~ke neravnote`e c) zakon nekvazistati~ke promene stawa u obliku qwn>jefn !

t!

U!

2!

3!

q2!

q3!

B!

3l!

a)

!1.4

1.4κκ 2.2.

2

3L23L 23

2639

qq

UU

⋅=

⋅= >36:/7!L!

!

!l32

32fye UU

UU−−

=η -!!!!! >424/4!L!( ) ( 6397/36:9/1639UUUU 2L3fyE23 −⋅+=−⋅η+= )

b)

! Qb212/:4639424/4

2123UU

qq 62/52.2/5

62.

2

B2B ⋅=

⋅⋅=

⋅=

κκ

!:4/22

mo398Bq3qmohStt 3Bnfi ⋅−=−=∆=∆ >299/82!

lhLK

!BU3Umoqd

!!



!c)

!!6

2

2h2

2123

639398q

USw

⋅

⋅=

⋅= >!1/2374!

lhn4

! !

!6

3

3h3

212

4/424398q

USw

⋅

⋅=

⋅= >!1/9::3!

lhn4

!

! !! ! ! ! ⇒! !jefnqwn = n

33n22 wqwq ⋅=⋅

!

2374/19::3/1

mo

223

mo

ww

mo

qq

mon

2

3

3

2

== >2/37! ⇒! !jefnqw 37/2 =

!2/2:/ Kompresor proizvo|a~a B radi izme|u pritisaka qnjo!>2!cbs!i qnby>!:!cbs. Kompresor proizvo|a~a C radi izme|u pritisaka qnjo!>2/6!cbs i!!qnby>!21!cbs. U oba slu~aja radni fluid je vazduh (idealan gas) po~etne temperature!U2>41pD. Temperature vazduha na izlazu iz oba kompresora su jednake. Odrediti koji je kompresor kvalitetniji sa termodinami~kog aspekta, predpostavqaju}i da su kompresije adijabatske Sa termodinami~kog aspekta kvalitetniji je ona kompresija kod koje je 1. na~in: ve}i stepen dobrote adijabatske kompresije 2. na~in: mawa promena entropije sistema 1. na~in:!

!3U2U

2qL3q22U

3U2U2qL3q

2U2U

3U2ULB3U2UB

e

l2

B

l2

B

−

−⋅

=−

⋅−

=−

−=η

−κ

−κ

! )2*!

!3U2U

2qL3q22U

3U2U2qL3q

2U2U

3U2ULC3U2UC

e

l2

C

l2

C

−

−⋅

=−

⋅−

=−

−=η

−κ

−κ

! ! )3*!

!



! Deqewem prethodne jedna~ina (1) i (2) dobija se: !

! =

κ−κ

−

κ−κ

−

=η

η2

C2qL3q2

2

B2qL3q2

Ce

Be 32/2

5/225/2

6/221

2

5/225/2

2:

2=

−

−

−

−

!

! ! Po{to je koli~nik stepena dobrote ve}i od 1 to zna~i da je stepen dobrote kompresora proizvo|a~a B ve}i od stepena dobrote kompresora proizvo|a~a C, pa je kompresor proizvo|a~a B kvalitetniji sa termodinami~kog aspekta. ! Uo~iti da je zadatak mogao biti re{en i bez zadate temperature U2. 2. na~in:

! ( ) pB2

B3h

B2

B3qBtj t

qq

moSUU

modt ∆−⋅−⋅=∆ !! )4*!

! !

! ( ) pC2

C3h

C2

C3qCtj t

qq

moSUU

modt ∆−⋅−⋅=∆ ! ! )5*!

!! Oduzimawem jedna~ina!)4*!j!)5*!epcjkb!tf;!!

! ( ) ( )

−⋅−=∆−∆

C2

C3

B2

B3hCtjBtj q

qmo

qq

moStt >

−⋅

6/221

mo2:

mo398− >−97/24!lhLK

!

!! ! ⇒! kompresor proizvo|a~a A je kvalitetniji ( ) ( )CtjBtj tt ∆<∆ sa termodinami~kog aspekta.

t!

U!

2!

3!

q2!

q3!

B!

3l!



!2/31/!Pet kilograma kiseonika (idealan gas) ekspandira nekvazistati~ki politropski po zakonu qw2/2>jefn, od stawa 2)q2>8!cbs-!w2>1/23!n40lh* do stawa 3)U3>−2pD*/ Specifi~na toplota ove promene stawa iznosi d23>−761!K0lhL. Skicirati proces na Ut dijagramu i odrediti: a) prira{taj entropije radnog tela usled mehani~ke i usled toplotne neravnote`e b) promenu entropije izolovanog termodinami~kog sistema ako je temperatura toplotnog izvora 484!L

o! n!

t!

U!

2!

3!

q2!

q3!

B!

3l!

a)

! L434371

1/236218

hS2w2q

2U =⋅⋅

=⋅

= ! !

! [blpo!qspnfof!qwn!>jefn-!!usbotgpsnj|fnp!v!pcmjl;! !jefnn2qnU =−⋅

! ! ! ⇒!=−⋅ n22q

n2U

n23q

n3U

−⋅n2

n

3U2U

2q3q−

⋅= ! !

! 2/222/2

383434

2183q6 −

⋅⋅= >2/17!cbs!

! dolw!>!dlw! ⇒!2o

odd w23 −

κ−= ! ! ⇒!

w23

w23

dddd

o−

κ⋅−= !

!831761

5/2831761o

−−⋅−−

= >2/32!

!



!

232/232/2

6

434383

2182o

o

2UBU

2qBq−

⋅⋅=

−

⋅= >3 !Qb!6217/ ⋅

! ∆Tnfi/ofs/>!∆TB3>!

−⋅

B

3h

B

3q q

qmoS

UU

modn >

⋅−⋅

7/317/2

mo398/16 >2/3:!LlK

! !

! ∆Tupq/ofs/>!∆T2B>!

−⋅

2

Bh

2

Bq q

qmoS

UU

modn >

⋅−⋅⋅

7/317/2

mo398/1434383

mo26 >1/54!LlK ! !

!

! ∆Tsbeop!ufmp!>!∆Tnfi/ofs/!,!∆Tupq/ofs/!>2/3:,1/54>2/83! LlK !

!b)

! ∆Ttjtufn!>!∆Tsbeop!ufmp!,!∆Tupqmpuoj!qpops!>!///!>!2/83!−!1/55!>2/39! LlK

!

! ∆Tupqmpuoj!j{wps!>!− LlK

55/1484

22/277UR

UJ

23 −=−= !

!! >///>!3BB223 RRR +=! !

! ( )2BwB2 UU2o

odnR −⋅

−κ−

⋅⋅= > ( 434383232/25/232/2

83/1 −⋅−−

⋅⋅ )6 >277/22!lK!

!2/32/!Termodinami~ki sistem sa~iwava n>6!lh azota (idealan gas) i okolina temperature Up>38pD. Azot nekvazistati~ki politropski mewa toplotno stawe od stawa 2)q>21!cbs-!U>566pD* do stawa 3)U>98pD*/!Specifi~ni toplotni kapacitet promene stawa 1−2 iznosi d23>481!K0lhL a nepovratnost procesa 1−2 iznosi ∆Ttj>2/56!lK0L. Skicirati proces na Ut dijagramu i odrediti stepen dobrote ove promene stawa.

!o!!n!!

q3!!

!q2!

t!!

!U!!

!3!!

!3l!!

!B!!

!2!!



! dolw!>!dlw! ⇒!2o

odd w23 −

κ−= ! ! ⇒!

w23

w23

dddd

o−

κ⋅−= !

!851481

5/2851481o

−⋅−

= >2/9!!

!! !>///>!3BB223 RRR +=

! ( )2BwB2 UU2o

odnR −⋅

−κ−

⋅⋅= > ( 83947129/25/29/2

85/1 −⋅−−

⋅⋅ )6 >!−!791/9!lK!

!

! ∆TTJ!>!∆TSU!,!∆Tp! ⇒!1

23

2

3h

2

3qTJ U

Rqq

moSUU

modnT −

−⋅=∆ !

! =

−

⋅+

∆−⋅=

2

3q

P

23TJ

h23 U

Umod

UnR

nT

S2

fyqqq !

! =

⋅−

⋅−−⋅⋅=

839471

mo15/241169/791

656/2

3:8/12

fyq2121q 63 2/59!!cbs!

!

!o2o

l3

2

l3

2

qq

UU

−

= !!!!!!!!!⇒!!!!!!!!!

o2o

2

l32l3 q

qUU

−

⋅= > =

⋅

−9/229/2

2159/2

839 422/5!!L!

!

! q3l!>!q3! ⇒!5/422839

471839UUUU

l32

32FYE −

−=

−−

=η >1/99!



!2/33/! Kiseonik (idealan gas) sabija se nekvazistati~ki politropski od stawa 2)q>2!cbs-!U>384!L* do stawa 3)q>7!cbs-!U>554!L*/ U toku procesa sabijawa od kiseonika se odvodi 431!lK0lh toplote. Skicirati proces na Ut dijagramu i odrediti stepene dobrote ove promene stawa. !

! !>!−431!3BB223 rrr +=lhlK

!

( 2BwB2 UU2o

odr −⋅

−κ−

⋅= ) ⇒ !

w2B

B2

w2B

B2

dUU

r

dUU

r

o−

−

κ⋅−−

= !

!76/1

384554431

5/276/1384554

431

o−

−−

⋅−−

−

= >2/2! !

o2o

l3

2

l3

2

qq

UU

−

= ⇒

o2o

2

l32l3 q

qUU

−

⋅= >

2/222/2

27

−

⋅384 >432/4!L!

!

554384

4/432384UUUU

32

l32lqE −

−=

−−

=η >1/39!

!

!o!!n!!

q3!!

!q2!

t!!

!U!!

!3!!

!3l!!

!B!!

!2!!



2/34/ Tokom nekvazistati~kog sabijawa n>4!lh butana (idealan gas) od stawa 2)q2>2!cbs-!U2>31pD* do stawa 3)q3>41!cbs-!T3>T2*- spoqa{wa mehani~ka sila izvr{i rad od 961!lK. Tokom procesa radna materija predaje toplotu toplotnom ponoru stalne temperature Uq>1pD. Skicirati proces u na Ut dijagramu i odrediti: a) promenu entropije termodinami~kog sistema tokom posmatrane promene stawa b) stepen dobrote nekvazistati~ke kompresije

!o!!

n>κ!

q3!!

!q2!

t!

!3!!

!3l!

!B!!

!2!!

!U!!

zakon nkv. promene stawa 1−2: κ−κ

=

2

3

2

3

2

qq

UU

⇒ κ−

⋅=

2

2q3q

2U3U

κ

!

! 39/22

241

3:43U

−

⋅=

1.28

>!727/7!L!

!! prvi zakon termodinamike za proces!2−3;! ! R23>∆V23,X23!!! > 4 >−475/7!LK!( ) 2323w23 XUUdnR +−⋅⋅= ( ) 9613:47/7276/1 −−⋅⋅

!!! drugi zakon termodinamike za proces!2−3;! ! ∆TTJ!>!∆TSU!,!∆TUQ!!

! ∆TSU!>!1! LlK

!

!384

7/475UR

TUQ

23UQ

−−=−=∆ >2/45!!

LlK

!

∆TTJ!>!2/45!,!1!>!2/45! LlK

!



b) !>!−475/7!lK!3BB223 RRR +=

( )2BwB2 UU2o

odnR −⋅

−κ−

⋅⋅= ⇒ !( )

( ) w2B

B2

w2B

B2

dUUn

R

dUUn

R

o−

−⋅

κ⋅−−⋅

= !

!( )

( ) 6/13:47/72747/475

39/26/13:47/72747/475

o−

−⋅−

⋅−−⋅

−

= >2/27! !

o2o

l3

2

l3

2

qq

UU

−

= ⇒

o2o

2

l32l3 q

qUU

−

⋅= >

27/2227/2

241

−

⋅3:4 >579/5!L!

!

7/7273:45/5793:4

UUUU

32

l32lqE −

−=

−−

=η >1/65!

!2/35/ [est kilograma troatomnog idealnog gasa mewa toplotno stawe nekvazistati~ki po zakonu qwn>jefn!)n>κ* (tj. nekvazistati~ki izentropski) od stawa!2)q2>41!cbs-!U2>727/7!L* do stawa 3)q3>2!cbs*/ Tokom ove promene stawa specifi~na zapremina gasa se pove}a za 1/49!n40lh i pri tome se dobije 811!lK mehani~kog rada. Skicirati promenu stawa idealnog gasa na Ut dijagramu i odrediti: a) koli~inu razmewene toplote tokom ove promene stawa b) stepen dobrote ove nekvazistati~ke promene c) porast entropije radnog tela usled mehani~ke neravnote`e )lK0L*

!o!!n>κ!

q3!!

!q2!

t!

!3!!

!3l!

!B!!

!2!!!U!!



b*!

! zakon nkv. promene stawa 1−2: κ−κ

=

2

3

2

3

2

qq

UU

⇒ κ−

⋅=

2

2q3q

2U3U

κ

!

! 39/22

412

7/7273U

−

⋅=

1.28

>!3:4!L!

! jedna~ina stawa idealnog gasa za po~etak procesa:!! !!!!!!)2*!2UhS2w2q ⋅=⋅

! jedna~ina stawa idealnog gasa za kraj procesa:! !!!!)3*!3UhS3w3q ⋅=⋅

uslov zadatka: ! ! ! !lhn

1/49ww4

23 =− !)4*!

! Re{avawem prethodnog sistema tri jedna~ine sa 3 nepoznate dobija se:

!lhLK

69/249S-lhn

517/1w-lhn

1396/1w h

4

3

4

2 === !!

lnpmlh

7169/249

9426SS

Nh

V === !

!717

Nn

o == >1/2!lnpm

prvi zakon termodinamike za proces 1−2: 232323 XVR +∆= ! ! >−352/79!lK!( ) ( ) 8117/7273:42/3:2/1XUU*)NdoR 2323w23 +−⋅⋅=+−⋅⋅=! !b) ! !>!−352/79!lK!3BB223 RRR +=

( )2BwB2 UU2o

odnR −⋅

−κ−

⋅⋅= ⇒ !( )

( )

( )( )N

NdUUn

RN

NdUUn

R

ow

2B

B2

w

2B

B2

−−⋅

κ⋅−−⋅

= !

!( )

( ) 712/3:

7/7273:4779/352

39/2712/3:

7/7273:4779/352

o−

−⋅−

⋅−−⋅

−

= >2/49! !



o2o

l3

2

l3

2

qq

UU

−

= ⇒

o2o

2

l32l3 q

qUU

−

⋅= >

49/2249/2

412

7/

−

⋅727 >352/8!L!

!8/3527/727

3:47/727UUUU

l32

32fyE −

−=

−−

=η !>1/97! ! ! ! ! !

!c)

−⋅=∆⋅=∆

B

3h

B

3q3B/ofs/nfi q

qmoS

UU

modntnT > ( )32

mo69/249 ⋅−⋅7 >1/69!LlK

! !

! !

! Zakon kvazistati~ke promene stawa!2−B;!o2o

B

2

B

2

qq

UU

−

= !

!249/2

49/2

62oo

2

B2B 7/727

3:42141

UU

qq−−

⋅⋅=

⋅= >!3!cbs!

!2/36/ Tri kilograma vazduha (idealan gas) stawa!2)q2>3!cbs-!U2>261pD*!mewa svoje toplotno stawe nekvazistati~ki (neravnote`no) izotermski do stawa 3)q3>9!cbs*. Promena entropije radne materije usled mehani~ke neravnote`e iznosi ∆tnfi>349!K0lhL. Odrediti: a) dovedeni rad i odvedenu toplotu tokom ove promene stawa )X23-!R23* b) stepen dobrote izotermske kompresije )ηelq* !

U!q2!

q3!qB!

B!3>3l!

2!

t!!!!!!



a)

!B

3h

B

3q3Bnfi q

qmoS

UU

modtt −=∆=∆ ! ⇒!

∆⋅=

h

nfi3B S

tfyqqq !

!

⋅⋅=398349

fyq219q 6B !> !Qb!6214/29 ⋅

!

! ! ! ! ! ! ! !

!

lK17/4/49///RRR B32B23 −==+=

4/293

mo⋅3985344>qq

moSUn>RB

2h22B ⋅⋅⋅⋅⋅ >−917/4!lK!

prvi zakon termodinamike za proces 1−2: 232323 XVR +∆=!! X23>!R23!>−917/4!lK!! b)

74/14/917:/615

///XX

23

L23lqE =

−−

===η !

!93

mo5343984qq

moUSnX3L

2h23L ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= >−615/:!lK!

!2/37/ Vazduh (idealan gas) stawa!2)q2>:!cbs-!U2>261pD*!mewa svoje toplotno stawe nekvazistati~ki (neravnote`no) izotermski do stawa 3)q3>2!cbs*. Promena entropije radne materije usled mehani~ke neravnote`e )∆tnfi* i promena entropije radne materije usled toplotne neravnote`e )∆tupq* su jednake. Odrediti stepen dobrote ove nekvazistati~ke izotermske ekspanzije )ηefy*/!

U!q2!

q3!

qB!

B! 3>3l!2!

t!



!! ∆tupq!>!∆tnfi! ! ⇒! ∆t2B!>!∆tB3! !!

!2

Bh

2

Bq q

qmoS

UU

mod − >B

3h

B

3q q

qmoS

UU

mo −d ! ⇒! 32B qqq ⋅= !

! !

! 66B 21221:q ⋅⋅⋅= >4 !Qb!621⋅

!

!2:

mo5343982qq

moUSnX3L

2h23L ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= >377/86!lK!

!

! ! ! ! ! ! ! !

!

lK17/4/49///RRR B32B23 −==+=

4:

mo3985342>qq

moSUn>RB

2h22B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ >244/48!lK!

prvi zakon termodinamike za proces 1−2: 232323 XVR +∆=!! X23>!R23!>244/48!lK!!

!l23

23fye X

X=η >

86/37748/244

>1/6!

!!zadaci za ve`bawe: )2/38/−2/39/* !2/38/!Vazduh (idealan gas) po~etnog stawa 2)q>6!cbs-!w>1/337!n40lh* ekspandira nekvazistati~ki politropski do stawa 3)q>2!cbs-!U>3:4!L*/!Tokom ove promene stawa od radne materije ka okolini se odvede 27!lK0lh toplote. Odrediti stepen dobrote ove promene stawa kao i promenu entropije vazduha

samo usled mehani~ke neravnote`e. ! !η >1/73-!!∆tfye nfi>1/37! lhL

lK

!2/39/!Vazduh (idealan gas) stawa 2)q2>1/3!NQb-!u2* mewa svoje toplotno stawe nekvazistati~ki (neravnote`no) izotermski do stawa 3)q3?q2*/ Promena entropije radne materije usled mehani~ke neravnote`e iznosi 349!K0lhL/ Stepen dobrote ove nekvazistati~ke promene stawa iznosi ηe>1/95. Odrediti pritisak vazduha na kraju procesa )q3*/! ! ! cbs6/266q3 =

1 - promene stanja idealnih gasova

Documents