1

Kapitel 4: Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

4.4 Das T-s-, h-s- und log(p)-h-Diagramm

2

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

• Eine Entropieänderung kann zwei Ursachen haben:

II Entropieänderung infolge von Dissipation im Inneren des Systems (Entropieerzeugung)

0dsT

dqdsds qq1

T

ddsds irr2

0dsirr Es gilt immer:

I Entropieänderung infolge eines Wärmeübergangs ins System hinein oder aus dem System heraus (Entropietransport)

3

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

• Gesamt Entropieänderung

T

d

T

dqdsdsdsds irrq21

• Bei irreversiblen ZÄ wird immer Entropie erzeugt

4

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

Wenn das thermodynamische GG erreicht ist, ist dieEntropie maximal

Entropie abgeschlossener Systeme kann nur zunehmen(durch Ausgleichsprozesse im Inneren)

Die Entropie abgeschlossener Systeme strebt einem Maximum entgegen

Der thermodynamische Gleichgewichtszustand eines Systemsist durch das Maximum seiner Entropie gekennzeichnet

Entropie ist keine Erhaltungsgröße

Bei allen realen ZÄ wird Entropie erzeugt

5

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

• ZÄ mit ds = 0 werden als isentrop bezeichnet

Irreversible ZÄ sind nur dann isentrop, wenn Wärme inentsprechender Menge entzogen wird

Wenn irreversible ZÄ isentrop sein sollen, muss gelten:

ds = dsq + dsirr = 0 → dsq = -dsirr

0ds-Tdq irr

6

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

• ZÄ mit ds = 0 werden als isentrop bezeichnet

Reversible ZÄ sind nur dann isentrop, wenn sie adiabatverlaufen

reversibel + adiabat =► isentrop

Die Umkehrung gilt nicht!

Wenn reversible ZÄ (dsirr = 0) isentrop sein sollen, muss gelten:

ds = dsq = 0

0dsTdq q

7

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

• Das Produkt aus erzeugter Entropie und Temperatur (T∙dsirr) gibt an, wieviel Arbeit mindestens für die Umkehrung des Prozesses zugeführt werden muss

• Bei allen Ausgleichsprozessen (Temperatur-, Druck- oder Konzentrations- ausgleich) wird Entropie erzeugt

• Bei alleinigem Temperatur- und/oder Druckausgleich eines reinen Stoffes kann die Entropieproduktion mit den behandelten Formeln berechnet werden

• Bei Mischungsprozessen unterschiedlicher Komponenten tritt zusätzlich die Mischungsentropie auf (wird nicht behandelt)

8

Kapitel 4: Der 2. Hauptsatz der Thermodynamik

Pro

f. D

r.-I

ng

. C

h.

Fra

nke

4.3 Entropietransport und Entropieerzeugung

4.4 Das T-s-, h-s- und log(p)-h-Diagramm

9

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Für reversible ZÄ gilt:

rev12

2

1

qTds

1

2T

s

(q12)rev

T

dqdsds rev

q

10

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Für eine irreversible ZÄ gilt:

12 12

2

1

qTds

1

2T

s

q12 + ψ12

T

d

T

dqdsdsds irrq

11

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Für eine irreversible, adiabate ZÄ gilt:

122

1

Tds

1

2T

s

ψ12

T

ddsds irr

12

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

s in kJ/(kg∙K)

Que

lle:

Cer

be/W

ilhel

ms:

Tec

hnis

che

The

rmod

ynam

ik,

Han

ser

Ver

lag,

14.

Auf

l.

T

in

K

• T-s-Diagramm für Wasser

s1 ≈ 1,3 kJ/(kg∙K)s2 ≈ 7,3 kJ/(kg∙K)

T ≈ 373 K

Isobare (reversible)Verdampfung bei 1bar

Verdampfungsenthalpie

q12 = Δhd = T∙(s2 – s1)

= 373K∙(7,3 – 1,3) kJ/(kg∙K)

K

Siedelinie1 Taulinie2Nassdampfgebiet

TripellinieSublimationsgebietΔhd ≈ 2240 kJ/kg

12

2

1

12 ssTdsTq

13

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• T-s-Diagramm für Wasser

t in

°C

s in kJ/(kg∙K)

h

in k

J/kg

Que

lle:

KIT

, In

stitu

t fü

r T

echn

isch

e T

herm

odyn

amik

(iT

T)

Isobaren5 bar

Isochore0,5 m3/kg

Isenthalpen3200 kJ/kg

Isovapore0,8

300 bar

2700 kJ/kg1000 kJ/kg

maßstäblich

14

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Im T-s-Diagramm lassen sich auch Differenzen der Enthalpie darstellen:

12

constp

2

1

hhTds

1

2

T

s

h2 – h1

aus: T·ds = dh - v·dp mit dp = 0

h1

h2

p = const

T1

T2

15

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Ebenso lassen sich auch Differenzen der inneren Energie darstellen:

12

constv

2

1

uuTds

1

2

T

s

u2 – u1

aus: T·ds = du + p·dv mit dv = 0

u1

u2

v = const

T1

T2

16

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• In einem T-s-Diagramm lassen sich je nach ZÄ Wärmen, Dissipationsenergien oder die Summe aus beiden veranschaulichen

• Isovaporen können wie im p-v-Diagramm mit der „Hebelregel“ bestimmt werden

• Im Nassdampfgebiet fallen Isothermen mit Isobaren zusammen

• Im Nassdampfgebiet sind Isobaren und Isothermen Geradenabschnitte

• Für niedrige Drücke und hohe Temperaturen verlaufen die Isenthalpen im Gasgebiet waagerecht (Ideales Gasverhalten: dh = cp∙dT)

T-s-Diagramm

• Im Flüssigkeitsgebiet verlaufen die Isobaren sehr dicht an der Siedelinie, da die Verdichtung einer Flüssigkeit praktisch isotherm (und isentrop) verläuft

17

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• T-s-Diagramm für Ideale Gase mit konstanten Stoffwerten

00v0 v

vlnR

T

Tlncss

00p0 p

plnR

T

Tlncss

für v = v0 = const.

= 0

Aus:

v

00 c

s-sexpTT(s)

Ebenso aus: für p = p0 = const.

p

00 c

s-sexpTT(s)

für Isochoren

für Isobaren

= 0

18

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Wegen cv < cp verlaufen die Isochoren im Punkt (s0; T0) steiler als die Isobaren im selben Punkt

• Steigung in einem Punkt (s0; T0):

für Isochoren:

für Isobaren:

v

0

constv;s c

T

s

T

0

p

0

constp;s c

T

s

T

0

T

ss0

T0

T0

cv

cp

R

19

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Verschiebung der Isochoren:

0v

vvlnR

T

Tlncss

0

v

0

0v01

1

Aus: für T = T0 und v1 > v0

= 0

T0

s0

v0 v1 > v0

s1

20

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• Verschiebung der Isobaren:

0p

pplnR

T

Tlncss

0

p

0

0v01

1

Aus: für T = T0 und p1 > p0

= 0

T0

s1

p0p1 > p0

s0

21

4.4 Das T-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

Zusammenfassungfür Ideale Gase mit konstanten Stoffwerten:

• Isobaren und Isochoren sind e-Funktionen

• Die Isochoren verlaufen steiler als die Isobaren

• Isobaren höheren Drucks gehen aus Isobaren niedrigeren Drucks durch Verschiebung parallel zur s-Achse nach links hervor

• Isochoren größeren Volumens gehen aus Isochoren kleineren Volumens durch Verschiebung parallel zur s-Achse nach rechts hervor

22

4.4 Das h-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

Que

lle:

Bae

hr/K

abel

ac:

The

rmod

ynam

ik,

Spr

inge

r V

erla

g ,

13.

Auf

l.

KSie

delin

ie

Taulinie

Nassdampfgebiet

Flüssigkeits-gebiet

Gas-gebiet

Δh d

= h

´´-

h´ =

T∙(

s´´-

s´)

h´´

h´

s´ s´´

h-s-Diagramm

23

4.4 Das h-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• h-s-Diagramm für Wasser

Isobaren1 bar500 bar

Isotherme100°C

Isochore3,0 m3/kg

200°C

24

4.4 Das h-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

h-s-Diagramm

• Im Nassdampfgebiet fallen Isothermen mit Isobaren zusammen

• Im Nassdampfgebiet sind Isobaren und Isothermen Geradenabschnitte

• Für niedrige Drücke und hohe Temperaturen verlaufen die Isothermen im Gasgebiet waagerecht (Ideales Gasverhalten: dh = cp∙dT)

• Isovaporen können wie im p-v-Diagramm mit der „Hebelregel“ bestimmt werden

• Im Flüssigkeitsgebiet verlaufen die Isobaren sehr dicht an der Siedelinie, da die Verdichtung einer Flüssigkeit praktisch isotherm (und isentrop) verläuft

26

4.4 Das h-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• h-s-Diagramm für Wasser(dampf) (Ausschnitt) für die Ermittlung der aus dem Dampf adiabat gewinnbaren technischen Arbeit wt

h

in

kJ/k

g

s in kJ/(kg∙K)

Quelle: Cerbe/Wilhelms: Technische Thermodynamik, Hanser Verlag, 14. Aufl.

Beispiel: Expansion in Dampfturbinevon 50 bar, 400°C

isentrop = ideal

polytrop = real

auf 0,1 bar

: Δh = 1095 kJ/kg

Δh

= 8

21 k

J/kg

: wt = 821 kJ/kg

Turbinenwirkungsgrad ηsT = 0,75

27

4.4 Das log(p)-h-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• log(p)-h-Diagramm

Que

lle:

Bae

hr/K

abel

ac:

The

rmod

ynam

ik,

Spr

inge

r V

erla

g ,

13.

Auf

l.

28

4.4 Das log(p)-h-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

• log(p)-h-Diagramm des Kältemittels R1234yf

h in kJ/kg

p in

M

Pa

Isoterme0°C

Isochoren0,00085 m3/kg0,1 m3/kg

Isentropen1,20 kJ/(kg∙K)1,70 kJ/(kg∙K)

Isovapore0,8

29

4.4 Das h-s-DiagrammP

rof.

Dr.

-In

g.

Ch

. F

ran

ke

log(p)-h-Diagramm

• Im Nassdampfgebiet fallen Isothermen mit Isobaren zusammen

• Im Nassdampfgebiet sind Isobaren und Isothermen Geradenabschnitte

• Für niedrige Drücke und hohe Temperaturen verlaufen die Isothermen im Gasgebiet senkrecht (Ideales Gasverhalten: dh = cp∙dT)

• Isovaporen können wie im p-v-Diagramm mit der „Hebelregel“ bestimmt werden

• Durch die logarithmische Auftragung ist v.a. der Druckbereich von ca. 1bar bis ca. 20 bar (Bereich für Dampfkälteanlagen) gut abzulesen

• Neben den Isothermen, Isovaporen und Isochoren sind auch die Isentropen eingezeichnet