02 moment curvature
TRANSCRIPT
SAKARYA ÜNİVERSİTESİSAKARYA ÜNİVERSİTESİFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDFBE İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ EABDDepartment of Civil Engineering Department of Civil Engineering
İNM 519 PERFORMANSA DAYALI DEPREM MÜHENDİSLİĞİİNM 519 PERFORMANSA DAYALI DEPREM MÜHENDİSLİĞİ
Malzeme DavranışıMalzeme DavranışıMOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİMOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİ
Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS
[email protected] Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü
Yapı Anabilim Dalı
17.02.2010 DR.MUSTAFA KUTANİS SLIDE 1
Sağlanması Gerekli Koşullar
KARARLILIK (Stabilite)DAYANIM (Strength)( g )
Yeterli dayanımdan amaç, öncelikle taşıyıcı sistem elemanları, kendilerine etkiyen yük, yada yük etkileri nedeniyle oluşan kesit tesirlerini (M N V ve M ) göçmeden (taşıma gücükesit tesirlerini (M, N, V ve Mt) göçmeden (taşıma gücü aşılmadan) taşıyabilmesidir.
SÜNEKLİK (Ductility)( y)Taşıma gücünde azalma olmadan, enerji tüketebilmeyeteneğidir. (Malzeme-kesit; Eleman; Sistem)
Ğİ İ İ İ İSINIRLI YER DEĞİŞTİRME (Drift); RİJİTLİK (Stiffness)P-Δ etkisi (→ikinci mertebe momentleri) nedeniyle yapısal olmayan hasarın (kullanılabilirlik ) artması ve stabilite
02.2010
olmayan hasarın (kullanılabilirlik ) artması ve stabilite probleminin ortaya çıkması
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 2
STABİLİTE - KARARLILIK
A B C
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 3
Dayanım (Strength)
Malzemenin mukavemeti, genellikle akma mukavemeti, σy (fy) olarak tanımlanır.
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 4
Malzemenin Rijitliği (Stiffness)
Malzemenin rijitliği elastisite modülü (E) ile ifade edilir E gerilmenin birim
02.2010
Malzemenin rijitliği elastisite modülü (E) ile ifade edilir. E, gerilmenin birim şekildeğiştirmeye oranıdır.
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 5
Elemanve Sistemin Rijitliği
∆∆
Eleman riğitliği ise elemana uygulanabilen maksimum yükün, bu yük altında yapacağı deplasmanın oranına
P: Servis yükü
∆ : Max deplasmany p ğ p
eşittir. k: eleman rijitliği
uvve
t Rijit
02.2010
Ku
Esnek
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 6
Yerdeğiştirme
K, rijitlik (stiffness)
Lineer elastik rijitlik
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 7
Daha kuvvetli, daha rijit?
daha kuvvetlikuvvetli
daha sert rijitdaha sert, rijit
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 8
Sınırlı Yer Değiştirme
Süneklik (elastik ötesi deformasyon).... Nereye kadar?Fazla sünek→ P-Δ etkileri + Stabilite problemip
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 9
Süneklik (1/2)
sσ Birim deformasyon sünekliği M
φ
Birim eğrilik sünekliği
sε1.0u
yε
εμε
= >φ
1.0u
yφ
φμφ
= >
yε uεs
yφ uφ
KesitMalzeme
F Ş kil d ği ti ü kliği
KesitMalzeme
F
1 0uμ Δ= >
Şekil değiştirme sünekliği
02.2010
yΔ uΔΔ
1.0y
μΔ = >Δ
Sistem
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 10
y u Sistem
Süneklik (2/2)
Süneklik, taşıma gücünde önemli bir azalma olmadan enerji tüketebilme yeteneğidir. Yönetmeliğimizde, yapı elemanlarının sünek davranarak yeterli enerjiyi tüketebilecekleri varsayımı ile kestirilen depremyeterli enerjiyi tüketebilecekleri varsayımı ile, kestirilen deprem kuvvetleri R katsayıları ile azaltılmaktadır. Bu nedenle Yönetmelikteki kuvvetler kullanılarak yapılan bir tasarımda süneklik mutlaka ğl l d Sü klik ğl d ğ t kdi d ö t likt ki ü kliksağlanmalıdır. Süneklik sağlanmadığı takdirde yönetmelikteki süneklik
düzeyi "normal sistemler" temel alınmalı ve R katsayısı yarı yarıya azaltılmalıdır.
Sünekliğin sağlanabilmesi için aşağıdaki koşullara dikkat edilmelidir.Ki i k l l k k l t i l l l l dKiriş ve kolon uçları sık ve kapalı etriyelerle sarılmalıdır.Yönetmelikteki kenetlenme ve bindirme boylarına uyulmalıdır.Kiriş ve kolonlarda kapasite dizaynı yapılarak kesme kırılması
02.2010
Kiriş ve kolonlarda kapasite dizaynı yapılarak kesme kırılması önlenmelidir.Yönetmelikte öngörülen donatı sınırlarına ve detaylarına uyulmalıdır.
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 11
Önemli !
Depremlerde yapı sistemlerinin ayakta kalabilmelerinin ön koşulu yeterli enerji tüketebilmelerine bağlıdır.koşulu yeterli enerji tüketebilmelerine bağlıdır.
Enerji tüketimi → sünekliğe;
süneklik ise → sargı etkisine bağlıdır.
Bu anlamda, eleman uçlarında sargı donatısı kullanılmasıBu anlamda, eleman uçlarında sargı donatısı kullanılması yaşamsal açıdan çok önemlidir!
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 12
TDY-2007’de Depreme Karşı Yapısal Davranışta Taşıyıcı Sistem Özelliklerinin Davranışa EtkileriTaşıyıcı Sistem Özelliklerinin Davranışa Etkileri
RİJİTLİKRİJİTLİK DAYANIMDAYANIM SÜNEKLİKSÜNEKLİK
•Hafif ve orta şiddetteki depremler altında yanal ötelenmeler kalıcı
•Hafif ve orta şiddet depremlerde dayanım genelde aşılmamalıdır
•Ağır şiddet deprem altında dayanım mühendislik tecrübelerine göre önceden
(plastikleşme) ve büyük olmamalıdır
•Şiddetli deprem altında ö iji iği
•Bölgesel olarak dayanım aşılmaları, bölgesel olduğu için tolere edilebilir.
belirlenen noktalarda aşılabilir
•Ve plastik mafsal oluşabilirötelenme rijitliği küçülebilmelidir
•Yapının hakim doğal i d bü ü bil lidi
•Bu plastik mafsallar içinde yoğun elastik ötesi şekil değiştirmeler oluşur (SÜNEKLİK)
malzeme)
Beton(Gevrek
malzeme) malzeme)
Çelik(Sünek
malzeme)periyodu büyüyebilmelidir
•Sismik dalgaların ürettiği kuvvetlerin yapı üzerindeki
ki i l l d
(SÜNEKLİK)
•Ve dolayısiyle Rijitlik azalır
•Yapı periyodu büyür
)) ))
Betonarme(Sünek kompozit
02.2010
etkisi azalmalıdırYapı periyodu büyür
•Yapı üzerine aldığı sismik kuvvetleri işe çevirerekdeprem enerjisini azaltır.
malzeme)malzeme)
Dayanım
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 13
deprem enerjisini azaltır.
R/γm .FR>F
R/γm=γf.F
YAPI MEKANİĞİ GENEL
Herhangibir mekanik probleminin çözümünde izlenen yol üç aşamada özetlenebilir ; (a) Denge koşullarının sağlanması [denge denklemleri kuvvet(a) Denge koşullarının sağlanması, [denge denklemleri kuvvet
veya gerilme cinsinden yazılır](b) Uygunluk koşullarının sağlanması [şekil değiştirme
cinsinden yazılır] ve (c) Malzeme veya malzemeler için σ-ε ilişkilerinin
belirlenmesi, [kuvvet- Şekil değiştirme veya Gerilme-Şekilbelirlenmesi, [kuvvet Şekil değiştirme veya Gerilme Şekil değiştirme ilişkileri yazılır ]
İlk iki aşama malzeme özelliklerinden bağımsızdır. Betonarme problemlerini diğer malzeme problemlerindenBetonarme problemlerini diğer malzeme problemlerinden değişik kılan, son aşama olan (c) dir.Bu aşamada, betonarmeyi oluşturan çelik ve betonun
il bi i d f ö llikl i i b li l i
02.2010
gerilme-birim deformasyon özelliklerinin belirlenmesi gerekir. Bu belirleme, çelik için oldukça kolay olmasına karşın, beton için oldukça zordur.
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 14
ş ç ç
Gerilme-Şekil değiştirme
Betonun σ-ε bağıntılarının etkileyen faktörler:
1 Beton dayanımı1. Beton dayanımı2. Yükün türü ve uygulama hızı3. Kesit geometrisi4. Sargı etkisi5. Yük geçmişi
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 15
Betonarmenin Davranışı
Betonun çekme dayanımı çok düşük olduğundan, bu dayanımın ihmal edilmesi önemli bir hata getirmez. Betonarme elemanlarda oluşan çekme gerilmeleri, bu bölgelere yerleştirilen çelik çubuklarla karşılanır.
Betonarme elemanların basınç bölgesindeki gerilme dağılımının, eksenel basınç altında denenen numunelerden ğ , çelde edilen σ-ε eğrisine benzediğini varsaymak, doğru bir yaklaşım olur. Yapılan çok sayıda deney, bu varsayımın doğruluğunu kanıtlamıştırdoğruluğunu kanıtlamıştır.
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 16
MomentMoment--Eğrilik ilişkisiEğrilik ilişkisi
Eğilme ve Eğilme ve ekseneleksenel yükyük veya yalnız eğilmeyalnız eğilme altındaki bir kesitin davranışı, en sağlıklı bir biçimde, gerçek malzeme davranışını temel alarak hesaplanmış veya deneysel verilerden elde edilmiş, "Moment-Eğrilik" eğrilerinden izlenebilirizlenebilir. M- Φ eğrisi “davranışı” çok açık bir biçimde gösterir.Da an m e kesitin dönme kapasitesini beli leDayanımı ve kesitin dönme kapasitesini belirler.İki kez entegre edilirse gerçekçi deformasyon elde edilir.
Moment-eğrilik ilişkisi çıkarılırken malzeme modellerinin olabildiğince gerçekçi olması büyük önem taşır
02.2010
olabildiğince gerçekçi olması büyük önem taşır.
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 17
Malzeme Modelleri
Moment-eğrilik ilişkisi çıkarılırken malzeme modellerinin olabildiğınce gerçekçi olması büyük önem taşır.
1. Çelik modeli
a. Elasto-plastik
b. Elasto-plastik ve pekleşme
2. Beton modelleri
a. Sargısız (kabuk)
b. Sargılı (çekirdek)g (ç )
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 18
BETON MODELLERİ
Betonun σσ--εε ilişkisini birçok değişken etkilediğinden, tek ve kesin bir σσ--εε eğrisi önermek zordur
SARGILI BETON MODELLERİONLARCA MODEL VAR EN YAYGIN KULLANILANLAR:
1-SAATÇIOĞLU VE RAZVİ
2-GELİŞTİRİLMİŞ KENT VE PARK
3- SHEIKH VE ÜZÜMERİ
4- MANDER
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 19
Beton Modelleri
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 20
TDY 2007 Beton Modeli (Mander)
εc = Beton basınç birim şekildeğiştirmesi εcu = Sargılı betondaki maksimum basınç birim şekildeğiştirmesi
fc = Sargılı betonda beton basınç gerilmesi f S l b t dfcc = Sargılı beton dayanımı fco = Sargısız betonun basınç dayanımı
Pa
ress
, MP
02.2010
Strain
Str
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 21
Strain
Effect of Confinement and Detailing of Confining ReinforcementConfining Reinforcement
/D 0 24Dc
sh/Dc = 0.24
004
ρs = 1.7%D’c
x
-εc
= 0
.0
sh/Dc = 0.24
ρs = 1.7%
1x1
sh/Dc = 0.48ρs = 0.85%
A @ sA
0 0.02 0.04
-εc
00 0.02 0.04 0.06
-εc
0
Ab @ shAcc
Volumetric ratio:εcεc
bs '
h c
4 Aρ =
s D
Seismic Design p. 22 of Set 3
TDY 2007 Çelik Modeli
fs = Donatı çeliğindeki gerilme s ç ğ gfsy = Donatı çeliğinin akma dayanımı fsu = Donatı çeliğinin kopma dayanımı
εsy = Donatı çeliğinin akma anındaki birim şekildeğiştirmesi εsh = Donatı çeliğininin pekleşme anındaki birim şekildeğiştirmesi ε = Donatı çeliğinin kopma anındaki birim şekildeğiştirmesi
02.2010
εsu = Donatı çeliğinin kopma anındaki birim şekildeğiştirmesi
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 23
Material Behavior – Steel Reinforcement
ss f y
O t f k h d i
Ultimate tensile point
f su
Te
ns
ile s
tre
s Onset of work hardening
Yield or Lüders plateau
Reinfocing bar in tensionE s
0.00 0.05 0.10 0.15
Tensile strain
ε y ε sh ε su
str
es
s
f y
Closely restrained bar Mirroed tensile
stress-strain response
Co
mp
res
siv
e s
Loosely restrained bar
Seismic Design p. 24 of Set 30.00 0.05 0.10 0.15
Compressive strain
Reinfocing bar in compression
Moment-Eğrilik (M- Φ) İlişkisi
Eğrilik birim dönme açısı (birim boya gelen dönme miktarı) ‘dır. Eğrilik, Şekil’de gösterildiği gibi, iki kesit arasındaki dönme açısı farkından veya doğrudan kesitteki birim deformasyondan yararlanarak hesaplanabilir:
a) Beton ve çelik için gerçekçi (σ-ε) ilişkileri kullanılmalıdır.
b) Birim deformasyon dağılımının doğrusal olduğu varsayılır.
1. εci için bir değer al
2. Tarafsız ekseni kuvvet dengesi sağlanıncaya kadar değiştir
3. Kuvvetlerin dengesi sağlandığında ağırlık merkezine göre i h l “ ”
02.2010
momenti hesapla, “M”
4. “K” yı hesapla,
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 25
Birim Deformasyon
dΦ
ρ
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 26
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 27
Eleman Şekil Değiştirme Geçmişi
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 28
Strain-limit States for Concrete (4)
Ci.) Concrete tensile strain
(+) (-)εct
( ) (-)
εct = εcr
Consequence: onset of crackingAction: None, cracks will be nearly invisible upon unloadingb upo u oad g
Seismic Design p. 29 of Set 3
Strain-limit States for Concrete
Cii.) Onset of Concrete Cover Spalling
(+)
(-) εc
εc = -0.004
Consequence: incipient spalling of the concrete coverconcrete coverAction: None
Seismic Design p. 30 of Set 3
Strain-limit States for Concrete
Ciii.) Deep Concrete Cover Spalling
(+)
(-)Long. bar
εc = -0.004 εc
Consequence: extensive spalling of the concrete cover exposes the reinforcement
Action: Essentially cosmetic damage but repair work shall take place to protect the reinforcement from corrosion & fire
Seismic Design p. 31 of Set 3
Strain-limit States for Concrete
Civ) Crushing of Confined Concrete Core
Long bar(+)
(-)
Long. bar
Consequences: after long bar buckling or
εc
Consequences: after long. bar buckling or hoop fracture. Beginning of rapid loss of flexural capacity. End of displacement capacity.
Action: extensive repairs (jacketing) or even element demolition considered
Seismic Design p. 32 of Set 3
Strain-limit States for Concrete
Ci ) C hi f C fi d C t C ( t )Civ) Crushing of Confined Concrete Core (cont.)
( )0.004 2 in rectangular columnsε ε ρ ρ= = − +c cu sx sy
ρsx = geometrical reinforcement ratio of confining reinforcement in X-direction= Asty / (sh h’x) h’x = avg. distance between confining reinf. legs Xsty ( h x) x g g g
ρsy = geometrical reinforcement ratio of confining reinforcement in Y-direction= Astx / (sh hy) h’y = avg. distance between confining reinf. legs y
ρ = volumetric confinement ratio
( )0.004 in circular columnsε ε ρ= = − +c cu s
ρs = volumetric confinement ratio= ρsx + ρsy
( )0.00 c cu a co u sε ε ρc cu s
ρs = volumetric reinforcement ratio= 4Ab / (sh hx)
Seismic Design p. 33 of Set 3
b ( h x)
Defintions
hy Astx
Asty
stx
yx
hx
Seismic Design p. 34 of Set 3
Strain-limit States for the Longitudinal Reinforcement (4)Reinforcement (4)
Si.) First yieldεs
(+)
(-)ε = εεs εy
Consequences: outermost bar in tension yields. Residual cracks will remain small (hairline cracks).( )
Action: no action in a non-aggressive environment. Consider epoxying crack in marine or other aggressive environments
Seismic Design p. 35 of Set 3
marine or other aggressive environments.
Strain-limits for Longitudinal Reinforcement
Sii.) Tensile Strain in Outermost Long. Bar = 1%
ε
) g
(+)
( )
εs
(-)εs = 1%
Consequences: Residual cracks likely to remain large (greater than 0 8 mm wide)large (greater than 0.8 mm wide)
Action: Consider epoxying cracks.
Seismic Design p. 36 of Set 3
Strain-limits for Longitudinal Reinforcement
Siii.) Onset of Long. Bar Bucklingεc 10 hs
−(-)
(+)
φ−φ10
100b
s c
dε ε−
− ≥(+)
εs
sh = hoop spacingdb = long. bar diameter
Consequences: no visible consequences
Action: no action in a non-aggressive
b
Action: no action in a non-aggressive environment. Consider epoxying cracks in marine or other aggressive environments.
Seismic Design p. 37 of Set 3
Strain-limits for Longitudinal Reinforcement
Siv.) Longitudinal Bar Fracture
εcφ−φ
Siv.) Longitudinal Bar Fracture
(-)
(+)
φφ4
143
0.004100 2
h
b sus c c
s
dand
εε ε ε−
− = ≤ ≤ −
εs
100 2s c c
sh = hoop spacing
Consequences: decrease of flexural capacity. End of displacement capacity.
db = long. bar diameter
Action: consider extensive repairs or even demolition
Seismic Design p. 38 of Set 3
Strain-limit States for the Longitudinal ReinforcementReinforcement
Siv) Longitudinal Bar Fracture (cont.)
Microcrackc oc ac
Seismic Design p. 39 of Set 3
Seismic Design p. 40 of Set 3
Structural Damage Limit-states
DS1DS1: no actionDS1DS1: no action
DS2DS2: repairs needed some o no downtime
DS3DS3: life safety, extensive repairs might be needed
DS1
ci
DS2
ciii
DS3
civ
Ci.) Concrete tensile strainCii.) Onset of Concrete Cover Spalling Ciii.) Deep Concrete Cover Spalling Civ) Crushing of Confined Concrete Core
cicii
si
ciii
siii
civ
siv Si.) First yield sisii
siii sivSii.) Tensile Strain in Outermost Long. Bar = 1%Siii.) Onset of Long. Bar Buckling Siv.) Longitudinal Bar Fracture
Seismic Design p. 41 of Set 3
Idealization of the M-Φ relationship
Probable/Nominal moment (εc= -0.004) Mo
Flexural overstrength
t, M Ec It First yield
Mo
men
Mcr
1
First yield
Curvature, φ 0
0 Ultimate curvature
φuφ’y φy
Seismic Design p. 42 of Set 3
Reference yield curvature
D Li it t t Id li dDamage Limit-states on an Idealized M- Φ relationship
cii ciii siv
t, M si
siisiii
Mo
men
ci
civ not attained
Curvature, φ 0
0 Ultimate curvature
φu
Seismic Design p. 43 of Set 3
C, ρ=0.0274, S420-a
B, ρ=0.0077, S420-b
A, ρ=0.0077, S420-a
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 44
EKSENEL YÜK
Moment Curvature
300
350
N=0 kN
N 100kN
200
250
kN
-m
N=100kN
N=500kN
N=1000kN
150
200
Mo
me
nt
k
50
100M
02.2010 0
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
C t d/
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 45
Curvature rad/m
Eksenel Yük Düzeyi
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 46
PLASTİK MAFSAL KAVRAMI
Eğilme elemanlarında ve eksenel yük düzeyi düşük kolonlarda, yeterli sargı etkisi varsa, çekme donatısı aktıktan sonra moment hemen hemen sabit kalırken, eğrilikte büyük artmalar gözlenir.
ih l dili (k ik i i) k i i biMoment artışı ihmal edilirse (kesik çizgi) kesitin sabit moment altında döndüğü söylenebilir. Buna plastik mafsal denirdenir.
Klasik mafsal farkı:Klasik mafsal farkı:Klasik mafsal: M =0Klasik mafsal: Mi=0
Klasik mafsal: Mi=Mpi
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 47
Plastik Mafsal KavramıPlastic Hinge ConceptPlastic Hinge Concept
Plastically deformed reinforced concrete frame beam-column joint component forming a beam sidesway mechanism
Seismic DesignFlexural plastic hinges
Plastic Hinge Concept
Seismic Design p. 49 of Set 2
Plastic Hinge Concept
M / M
Measured curvature distributionNormalized bending moment
My / Mn1
M / M
0 0.76 1.041
Seismic Design p. 50 of Set 2
M / Mn
Pl i Hi CPlastic Hinge Concept
2 5
2
2.5
D
D = 914 mm
1.5
um
n b
ase
/ D
1
ce f
rom
co
lu Actual curvature distribution
Idealized distribution
0.5Dis
tan
c
l ( E i l t l ti
0
0 0.025 0.05 0.075 0.1
φ D
φ y φ y + φ p
l p ( Equivalent plastic
hinge length)
Seismic Design p. 51 of Set 2
φ x D
PLASTİK MAFSAL
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 52
Plastik Mafsal Türleri (1)
Kolon ve Kirişlerin Elastikötesi Davranış ModeliKolon ve Kirişlerin Elastikötesi Davranış ModeliFiber Model:Fiber Model: Eleman kesidi çok küçük alanlara (fiber) ç ç ( )
bölünür. Her bir fiberin, tek eksenli gerilmelere maruz kaldığı ve elemanın histeretik gerilme-birim şekildeğiştirme ö llikl i i ğ k b l diliözelliklerini yansıttığı kabul edilir.
Hassas çözümler elde edilebilir; ancak hesaplama zamanı nuzun.
Kesit Modeli:Kesit Modeli: Elastikötesi davranış, herbir fiber için ayrı ayrı değil kesitin bütünü için düşünülürdeğil, kesitin bütünü için düşünülür.
02.2010 Referans: Chen, Paul Fu-Song, Powell, Graham H. “Generalized Plastic Hinge
Concepts for 3D Beam-Column Elements”, Report No. UCB/EERC-82/20,
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 53
November 1982, Berkeley, California.
Plastik Mafsal Türleri (2)
Kesit modelinin, yapı elemanı elastik ötesi davranışının modellenmesinde, iki farklı kullanım yaklaşımı vardır:
“Yayılı Plastik” (distributed plasticity)“Yayılı Plastik” (distributed plasticity)Akmanın eleman boyunca gerçekleştiği varsayılır Belirli kesitlerdeAkmanın eleman boyunca gerçekleştiği varsayılır. Belirli kesitlerde
moment-eğrilik hesaplanarak birim şekildeğiştirmeler hesaplanır.
02.2010
Plastic zones
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 54
Plastik Mafsal Türleri (3)
Yoğunlaştırılmış (lumped) plastik mafsal (Plastic Hinge)Yoğunlaştırılmış (lumped) plastik mafsal (Plastic Hinge)Akmanın oluştuğu varsayılır. Lineer olmayan eğilme ve uzama Lineer olmayan eğilme ve uzama
kild ği ti l i ikild ği ti l i i l tik k it d il 0 l ğ d ki t k bişekildeğiştirmelerininşekildeğiştirmelerinin plastik kesit adı verilen 0m uzunluğundaki tek bir noktada toplandığı, bu kesitler dışındaki bölgelerde ve kesme kuvveti etkisi altında sistemin lineerlineer--elastik davrandığıelastik davrandığı varsayımı yapılmıştır.
02.2010 Plastic hingeElastic Elastic
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 55
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 56
Φy Φu Φ
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)
Bileşik eğilme altındaki bir kesitin M-Φ ilişkisi kesitteki eksenel yük düzeyine göre değişir. Şekil de bileşik eğilme altındaki bir kesitin yüksek ve çok düşük düzeyde eksenel yükler altındaki moment-eğrilik ili kil i ö il i iilişkileri gösterilmiştir.Şekildeki A eğrisi,eksenel yükün büyük, ğB eğrisi ise, eksenel yükün çok düşük düzeyde (sıfıra yakın)
olduğu durumlar için geçerlidir.H t l ğ ibi ü klik ük t k it i dHatırlanacağı gibi süneklik, yük taşıma kapasitesinde düşme olmadan, kesitin büyük deformasyon yapabilme özelliğidir
02.2010
özelliğidir
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 57
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)
Bu durumda A eğrisi gevrek, B eğrisi ise sünek bir davranışı simgelemektedir. Deprem mühendisliğinde kesit sünekliği, genellikle "süneklik katsayısı“ ile ifade edilir. Süneklik katsayısı, kırılma anındaki eğriliğin, akma
d ki ğ iliğ l k l öanındaki eğriliğe oranı olarak tanımlanır. Buna göre, B eğrisi ile elde edilen "süneklik katsayısı“:
y
u
ΦΦ
=μ
02.2010
y
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 58
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)
M-Φ eğrisi altında kalan alan da, kesitin enerji yutma kapasitesini gösterir. Bu durumda, sünek davranışı simgeleyen B eğrisi ile tüketilen enerjinin gevrek davranışı simgeleyen A eğrisinden çok daha büyükenerjinin, gevrek davranışı simgeleyen A eğrisinden çok daha büyük olduğu açıktır. Bu nedenle, deprem gibi enerji yutma kapasitesinin çok önemli olduğu yerlerde, eksenel yükü düşük tutmak yararlıdır.Şekil den görüldüğü gibi, eksenel yükün sıfır veya çok düşük düzeyde olduğu durumlarda (B eğrisi), çekme donatısının akmasına karşılık olan My momentine erişilinceye kadar, eğilme rijitliğinde (eğrinin eğimi) y ş y , ğ j ğ ( ğ ğ )fazla bir değişme olmamaktadır.
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 59
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)
Akma momentine ulaşıldıktan sonra ise, eğilme rijitliği sıfıra yaklaşarak, hemen hemen sabit kalan bir moment altında eğrilik hızla artmaktadır. Bu durumda, B eğrisi şekilde kesik çizgiyle gösterilen C eğrisi ile değiştirildiğinde, M Φ ilişkisi için az hata içeren basit bir eğri elde edilmişM-Φ ilişkisi için az hata içeren basit bir eğri elde edilmiş olur. C eğrisinde akmaya ulaşıldıktan sonra momentin sabit kaldığı kabul edildiğinden, elasto-plastik bir malzemekaldığı kabul edildiğinden, elasto plastik bir malzeme davranışı elde edilmiş olmaktadır.
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 60
Moment-Eğrilik ilişkisi (devam)
Özetlersek, M-Φ ilişkisi, çekme donatısının akmasına karşı olan eğrilik Φy ye kadar doğrusal kalmakta, bu noktadan ğ y y ğsonra artan eğrilik altında moment sabit kalmaktadır. Φu eğriliğe gelindiğinde, en dış basınç lifindeki beton ezilme birim kısalmasına ulaştığından beton ezilmekte ve moment taşıma kapasitesi tükenmektedir
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 61
Eğrilik niye artıyor…u
m fs
uy
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=κ
sabit
orantılıDoğru
EI
M
Eğilme ğMomenti M(t)ug(t)
fs
uy up
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=κ
azaldı
sabit
EI
M
02.2010
Eğrilik κ (1/m) Idealize Eğrilik
Lp
Plastik
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 62
Eğrilik κ (1/m) Idealize Eğrilikκ (1/m)Mafsal
TDY -Plastik mafsal
Doğrusal elastik olmayan analizde, plastik mafsal hipotezi esas alınacaktır. Buna göre, çubuk eleman olarak idealleştirilen kiriş, kolon ve perde türü taşıyıcı sistem elemanlarındaki iç kuvvetlerin plastikve perde türü taşıyıcı sistem elemanlarındaki iç kuvvetlerin plastik kapasitelerine eriştiği sonlu uzunluktaki bölgeler boyunca, plastik şekildeğiştirmelerin düzgün yayılı biçimde oluştuğu varsayılacaktır. Plastik mafsal boyu olarak adlandırılan plastik şekildeğiştirmePlastik mafsal boyu olarak adlandırılan plastik şekildeğiştirmebölgesi’nin uzunluğu ( Lp ), çalışan doğrultudaki kesit boyutu ( h ) ’nınyarısına eşit alınacaktırNoktasal bir eleman olan plastik mafsalın teorik olarak yukarıdaNoktasal bir eleman olan plastik mafsalın, teorik olarak yukarıda tanımlanan plastik şekildeğiştirme bölgesinin tam ortasına yerleştirilmesi gerekir. Kolon ve kirişlerde plastik mafsallar kolon-kiriş birleşim bölgesininKolon ve kirişlerde plastik mafsallar, kolon-kiriş birleşim bölgesinin hemen dışına, diğer deyişle kolon veya kirişlerin net açıklıklarının uçlarına konulabilir. Ancak, düşey yüklerin etkisinden ötürü kirişlerde açıklık ortalarında da plastik mafsalların oluşabileceği gözönüne
02.2010
açıklık ortalarında da plastik mafsalların oluşabileceği gözönünealınmalıdır.
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 63
Bilgisayar Yazılımları
Response 2000Response 2000M_K.xls_
Xtract (iai.key)
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 64
MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (1)
∆ : dx segmenti toplam uzama miktarı∆ : dx segmenti toplam uzama miktarı
İç kuvvetler ve yerdeğiştirmiş (şekildeğiştirmiş) kiriş arasındaki ilişkileri belirlemek amacıyla yularıdaki şekilde verilen basit kiriş ele alınmıştır.
Hook kan n na göre birim şekildeğiştirme: ε=∆/d
02.2010
Hook kanununa göre birim şekildeğiştirme: ε=∆/dx Gerilme birim şekildeğiştirme arasındaki ilişki: ε=σ/E Eğilme momenti tarafından meydana gelen gerilme: σ=M·y/I
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 65
MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (2)
Kirişin segmentinin uzunluğu: dxDeformasyondan sonra tarafsız eksenin boyu dx
( )' ydx θρ
olarak kalır. Diğer kesitlerde
( )( )' yydxdx
ydx
θΔθ⋅−=θ⋅ρ−θ⋅−ρ=−=Δ
θ⋅−ρ=
x
cc
yy
dx ρ−=
ρθθ
−=Δ
=ε
mm
m
y
şd) birimmax :( c
ρor c
εε
=ρ
=ε
02.2010
mx c
yε−=ε
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 66
MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (3)
• Lineer elastik malzemeler için
mxx Ey
E ε−=ε=σ
m
mxx
yc
σ−=c
Eğilme momenti tarafından meydana gelen gerilme
• Denge denklemlerindenI
dAc
yydAyM mx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ σ−−=σ−= ∫∫
∫∫ −=== dAc
ydAF mxx σσ0
cMc
IdAy
cM m2m
⋅
σ=
σ= ∫
02.2010
∫
∫∫
−= dAy
c
mσ0 My
içiny
I
cMm
σσσ
⋅=σ
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 67
∫ dAyc
0I
y için
c
y xmx −=σσ−=σ
MOMENT EĞRİLİK İLİŞKİSİELASTİK KİRİŞ TEORİSİ (4)
ρ=ε
cm
I
cMm
⋅−=σ mm E ε⋅=σ
McM11 ⋅σε
ρI
2
mm
EI
M
I
cM
cE
1
cEc
1=
⋅⋅
⋅=
⋅σ
=ε
=ρ
2
2
dx
yd1
= 2/32dy
1 ⎥⎤
⎢⎡
⎟⎞
⎜⎛+
=ρ
02.2010 dx
1⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
+
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 68
02.2010
17.0
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ SLIDE 69