1. เขยนความสมพนธแบบแจกแจงหรอแบบบอกเงอนไขได

2 . หาโดเมนและเรนจของความสมพนธได 3 . เขยนกราฟของความสมพนธทกำาหนดใหได 4 . หาอนเวอรของความสมพนธทกำาหนดใหได

พรอมทงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธได 5 . เขยนกราฟของอนเวอรของความสมพนธท

กำาหนดใหได

41. คอนดบ มงใหผเรยนสามารถบอกไดวา ค

อนดบ 2 คทกำาหนดใหเทากนหรอ ไม และนำาความรในเรองนไปใชได

เรองของความสมพนธจะเกยวของกบเรอง ของคลำาดบ

และผลคณคารทเชยน ดงน คลำาดบ (Ordered pairs)

คลำาดบ (a, b) คอคสมาชกทม a เปนสมาชกตวหนา หรอพกด x b เปนสมาชกตวหลง หรอพกด y (a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = c

(a, b) น (b, a) เมอ a นb

4 2. ผลคณคารทเชยล มงใหผเรยนสามารถ

1. เขยนผลคณคารทเชยลของเซต 2 เซตท กำาหนดใหได

2. บอกจำานวนสมาชกของผลคณคารทเชยล ของเซตจำากด 2 เซตทกำาหนดใหได

นยาม A x B = {(a, b) / a น A และ bน B}ตวอยาง ให A = {1, 2, 3} ; B = {0, 7}; C = { }

A x B = {(1, 0), (1, 7), (2, 0), (2, 7), (3, 0), (3, 7)}

B x A = {0, 1}, (0, 2), (0, 3), (7, 1), (7, 2), (7, 3)}

A x C = { }

ตวอยาง ให A = {1, 2, 3, 4, 5} ; B = {0, 1}; C = { 4, 5, 6 } จงหาA - C = (A - C) x B = (A นC) x (A นB) =A x B =

C x B =(A x B) น(C x B) =

}3,2,1{

)}1,3(),0,3(),1,2(),0,2(),1,1(),0,1{()}1,5(),1,4{(

),1,4(),0,4)(1,3(),0,3(),1,2(),0,2(),1,1(),0,1{()}1,5(),0,5(

)}1,6(),0,6(),1,5(),0,5(),1,4(),0,4{()}1,5(),0,5(),1,4(),0,4{(

43. ความสมพนธ มงใหผเรยนสามารถ

1. บอกความหมายของความสมพนธจาก A ไปB ได

2. บอกความหมายของความสมพนธในเซต A ได

3. เขยนความสมพนธตามเงอนไขทกำาหนดใหได

นยาม ความสมพนธ คอเซตของคลำาดบแทน

ดวย r และ r เปนความสมพนธ จาก A ไป B ก

ตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B

ตวอยาง A = {0, 1, 2, 3} ; B = {2, 5, 6, 7} ขอใดเปนความสมพนธจาก A ไป B

r1 = {(0, 3), (1, 7) ,(0, 7)} r2 = {(2, 2), (3, 5), (1, 6) , (0,

2)} r3 = {(2, 0), (5, 1), (5, 0), (6,

3)}A x B = {(0, 2),(0, 5), (0, 6), (0, 7), (1,

2),(1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 2),(2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 2),(3, 5), (3, 6), (3, 7),}

ตวอยาง ให A = {1, 2, 3, … , 10 } จงหา r แบบแจกแจง r1 = {(x, y) น A x A / x + y น 4} r2 = {(x, y) น A x A / x = 2y } r3 = {(x, y) น A x A / y = 2x - 5 } r1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1)}

r2 = {(2,1), (6,3), (8,4), (10,5)}

r3 = 35)1(2 y15)2(2 y15)3(2 y

35)4(2 y55)5(2 y

)}9,7(),7,6(),5,5(),3,4(),1,3{(

75)6(2 y

95)7(2 y115)8(2 y

44. โดเมนและเรนจของความสมพนธ มงใหผเรยนสามารถ

1. หาโดเมนของความสมพนธทกำาหนดใหได

2. หาเรนจของความสมพนธทกำาหนดใหได

โดเมนของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหนาของ

คลำาดบ Dr = {x / (x, y) น R}เรนจของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหลงของ

คลำาดบ Rr = {y / (x, y) น R}

ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1)}

Dr = {1, 2, 3} ; Rr = {1, 2, 3} r2 = {(2,1), (6,3), (8,4), (10,5)} Dr = {2, 6, 8, 10} ; Rr = {1, 3, 4,

5} r3 = {(-1,3), (0,5), (4,7), (6, 10)} Dr = {-1, 0, 4, 6} ; Rr = {3, 5,

7, 10}

ตวอยาง กำาหนดให หา Dr , Rr

r1 = {(x,y) น I x I / y = 2x} = {(0,0), (1,2), (2,4), … (-1,-2), (-2,-4),(-3,-6), ...}

Dr = {…,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Rr = {… , -6, -4, -2, 0, 2, 4, ...}

ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(x,y) น I x I / y = x + 3} = {(0,3), (1,4), (2,5), … (-1,2), (-2,1),(-3,0), ...}

Dr = {…,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...} = {x / x น I}

Rr = {…,-2, -1, 0, 1, 2, 3,...} = {x / x น I}

ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(x,y) น I x I / y = 3x - 5} = {(0,-5), (1,-2), (2,1), … (-1,-8), (-2,-11),(-3,-14), ...}

Dr = {…,-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3,...} = {x / x น I}

Rr = {…,-5, -2, -8, -11, -14,...}

ตวอยาง กำาหนดใหr1= {(x,y) น I x I /y = x+3} ; r2= {(x,y) น R x R / y = x+3}

Y Y

X X

11 }/{ rr RIxxD 22

}/{ rr RRxxD

ตวอยาง กำาหนดให r1 = {(x,y) น I x I / y = 7 + 4x} Dr = {x / x น I} ; Rr = {x / x น I} r2 = {(x,y) น R x R / y = 5 - 2x} Dr = {x / x น R} ; Rr = {x / x น R} r3 = {(x,y) / y = 9x - 5} Dr = {x / x น R} ; Rr = {x / x น R}

สรป ถาความสมพนธ อยในรป y = ax + b

และ A น I x I แลว Dr = Rr = I =

{x / x น I} A น R x R แลว Dr = Rr = R =

{x / x น R}

ความสมพนธอยในเครองหมาย root หาโดเมน จำานวนทอยใน root ตองมคา

มากกวา หรอ เทากบ 0 แลวแกสมการหาคา x เรนจ คอคาของ y ตองมคามากกวา หรอ

เทากบ 0 เสมอ

baxy

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ }3/),{( xyyxr

}3/{ xxDr}0/{ yyRr

คดแบบนครบ

3x03x ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ }25/),{( xyyxr

}/{ 52 xxDr}0/{ yyRr

คดแบบนครบ

025 x

52

x ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธxy 34

}34/{ xxDr

}0/{ yyRr

คดแบบนครบ

034 x43 x

34

x ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

คดแบบนครบ

42 xy

042 x

0)2)(2( xx

}22/{ xxxDr หรอ}0/{ yyRr

- 2 2-

2 x หรอ -2x

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

คดแบบนครบ

52 xy

052 x

0)5)(5( xx

}55/{ xxxDr หรอ}0/{ yyRr

- 5 5-

5 x หรอ 5-x

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

94 2 xy

094 2 x

0)32)(32( xx

}23

23/{ xxxDr หรอ

}0/{ yyRr

- 23 2

3-

23 x หรอ 2

3x

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

24 xy 04 2 x

0)2)(2( xx}22/{ xxDr

}20/{ yyRr

- 2 2-22 x

042 x042 x ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

225 xy 025 2 x

0)5)(5( xx}55/{ xxDr

}50/{ yyRr

- 5 5-55 x

0252 x0252 x ตอบ

สรป 1. ความสมพนธในรป

baxy

}0/{ baxxDr }0/{ yyRr

a 2x yธในรปความสมพน 2.}/{ axaxxDr หรอ

}0/{ yyRr

สรป 3. ความสมพนธในรป

2xay

}/{ axaxDr

}0/{ ayyRr

ความสมพนธอยรปเศษสวนหาโดเมน เศษสวนทกจำานวนสวนตองไม

เทากบ 0 แลวแกอสมการเรนจ คอคาของ y ; y ไมมโอกาส

เปน 0

cbxay

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

523

x

y 052 x

25

x

}25/{ xxDr

}0/{ yyRr

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

731

x

y073 x

37

x

}37/{ xxDr

}0/{ yyRr

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

xy

724

072 x

27 x

}72/{ xxDr

}0/{ yyRr

72

x

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

63

xxy

xxy 3)6( xyxy 36

}6/{ xxDr

}3/{ yyRr

yxxy 63 yyx 6)3(

36

yyx

03y3y

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

432

xxy

xxy )43(xyxy 243

}34/{ xxDr

}32/{ yyRr

yxxy 423 yyx 4)23(

234

yyx

023 y

32

y

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

xxy52

xxy )52(xxyy 52

}52/{ xxDr

}51/{ yyRr

yxxy 25 yxxy 25 yyx 2)15(

152

yyx

015 y 51

y

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

xxy

23

145

xxy

}2/{ xxDr}3/{ yyRr

}41/{ xxDr

}45/{ yyRr

ตอบ ตอบ

สรป ความสมพนธอยรปเศษสวน 1. ความสมพนธในรป cbx

ay

}0/{ cbxxDr }0/{ yyRr

cbxaxy

ธในรปความสมพน 2.

}0/{ cbxxDr }/{bayyRr

สรป การหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• การหาโดเมน จดรป y = f(x) แลวพจารณาดวา x เปนอะไรไดบาง

• การหาเรนจ จดรป x = f(y) แลวพจารณาดวา y เปนอะไรไดบาง

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ5)3( 2 xy

5)3( 2 yx

}/{ RxxDr

}5/{ yyRr

5)3( yx

35 yx

05y

5)3( 2 xy

5y

ตอบ

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

• คดแบบนครบ

}1/{ xxDr

}1/{ yyRr

11

xxy

1)1( xxy

1 xyxy1 yxxy1)1( yyx

11

yyx

ตอบ

45. อนเวอรสของความสมพนธ มงใหผเรยนสามารถ

1. หาอนเวอรสของความสมพนธทกำาหนดใหได

2. บอกโดเมนและเรนจของอนเวอรสความสมพนธทกำาหนดใหได

3. เขยนการฟของอนเวอรของความสมพนธนนเมอกำาหนดความสมพนธใหได

นยาม อนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธทเกดจากการสลบทของ

สมาชก ตวหนาและสมาชกตวหลงของความ

สมพนธ r เขยนแทนดวย r-1 เชน r = {(1,3), (2,5), (0, -1)} r-1 = {(3,1), (5,2), (-1,0)}

กำาหนดให r = {(0,5), (4,x), (1,y),(-2,4)} จงหา r-1

และ Dr , Rr

r-1 = {(5,0), (x,4), (y,1), (4,-2)}

สงเกต rrRyxD },,5,4{1

rrDR }4,1,0,2{1

ให r = {(x,y) / y = 2x+7} จงหา r-1

• คดแบบนครบ

}72/),{(1 xyxyr

}27/),{(1

yxxyr

}27/),{(1

xyyxr

72 xy

72 yx

27

yx

ให จงหา r-1

• คดแบบนครบ

}14/),{(1 xyxyr

}041/),{(

21

yyxxyr และ

14 xy

142 xy

14 2 yx

}14/),{( xyyxr

}041/),{(

21

xxyyxr และ 4

12 yx

ให r = {(x,y) / y = x 2 3+ }

จงหา r-1

• คดแบบนครบ

}3/),{( 21 xyxyr

}33/),{(1 yyxxyr และ

32 xy

32 yx

3 yx

}33/),{(1 xxyyxr และ

ให จงหา r-1

• คดแบบนครบ

}35

7/),{(1

xyxyr

}537/),{(1

yyxxyr

357

x

y

7)35( xy

yx 735

}35

7/),{(

x

yyxr

}537/),{(1

xxyyxr

375 y

x

yyx

537

นยาม ถา r เปนความ สมพนธจาก A ไป B

แลว r จะเปนฟงกชน เมอ• สมาชกใน A ถกใชหมดทก

ตว และ• สมาชกตวหนาของ r ตอง

ไมซำากน (ถาสมาชกตวหนา ชำากน สมาชกตวหลงตอง

เหมอนกน)

021

654

)}6,0(),5,2(),4,1{(1 r

ความสมพนธทเปนฟงกชน

021

6

4 )}6,0(),4,2(),4,1{(2 r

021

654 )}5,0(),5,2(),5,1{(3 r

ความสมพนธทไมเปนฟงกชน

021

6

4 )}6,2(),4,1{(4 r

0

1

654 )}6,0(),5,0(),4,1{(2 r

จงพจารณาความสมพนธใดเปนฟงกชน r1 = {(1,x), (2,y), (3,z)} r2 = {(1,x), (2,x), (3,x)} r3 = {(1,x), (2,y), (2,z)} r4 = {(x,y) / y = 2x + 9} r5 = {(x,y) / y = x 2} r6 = {(x,y) / x = y 2}

สญลกษณแทนฟงกชน นยมใช f , g, h แทนฟงกชน f = {(1,a), (2,b), (3,c)} g = {(x,y) / y = x 2+ 5} ถา (x,y) น f จะใช y = f(x)

หมายความวา y เปนคาของฟงกชน f ท x นนคอ f = {(x,y) / y = f(x)} และ

(x,y) = (x, f(x))

กำาหนด y = 4x + 5 อาจเขยน f(x) = 4x + 5

ตวอยาง ถา 3y = x2 - 4 จงหา- ( 2 ), (1 ), (), (0 ), (+1- -2 3 2f( ) = ( )2 - -4 3 4=( x ) - 84 12 48

1f( ) =

14)1(3 2

)0(f 44)0(3 2

)(af 43 2 a

)1( xf 4)1(3 2 x4363 2 xx

4)12(3 2 xx

163 2 xx

นยาม A และ B เปนเซตใด ๆ f เปนฟงกชน จาก A ไป B

จะได เซต A เปนโดเมนของฟงกชน

โดยทสมาชกของ A ถกใชหมดทกตว และ เรนจของฟงกชนคอสบเซตของ B

ตวอยาง ให A = {1, 2, 3} ; B = {0, -1, 4, 5}321

5410

A Bf BAf :)}4,3(),1,2(),0,1{( f

ADf }3,2,1{}4,1,0{ fR BRf

ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนทกำาหนดให

f1(x) = 3 - 2x }/{; RxxDf }/{; RyyRf

2)( 22 xxf }/{; RxxDf }2/{; yyRf

9)( 23 xxf }33/{ xxxDf หรอ ; }0/{ yyRf ;

24 5)( xxf }55/{ xxDf ; }50/{ yyRf ;

5)(5 xxf }/{ RxxDf ; }0/{ yyRf ;

ถา f เปนฟงกชน อนเวอรสของ f เขยนแทนดวย f -1

อนเวอรสของฟงกชนไมจำาเปนตองเปนฟงกชน

)}0,3(),5,2(),0,1{(1 f )}3,0(),2,5(),1,0{(11 f

}34/),{(2 xyyxf }34/),{(12 xyxyf

}43/),{(1

2

yxxyf

}43/),{(1

2

xyyxf

}5/),{( 23 xyyxf }5/),{( 21

3 xyxyf

}5/),{(13 yxxyf

}5/),{(13 xyyxf

}2/),{(4 xyyxf }2/),{(14 xyxyf

}2/),{( 214 yxxyf

}2/),{( 214 xyyxf

การดำาเนนการบนฟงกชน เปนการสรางฟงกชนใหม โดยนำาฟงกชนเดมมา บวก ลบ คณ และหารกน โดยท Df นDg น น โดเมนของฟงกชนทไดใหมเทากบ Df นDg )(f+g)(x) = f(x) + g(x) สำาหรบทก x น

Df นDg

(f-g)(x) = f(x) - g(x) สำาหรบทก x น Df นDg

(f.g)(x) = f(x) . g(x) สำาหรบทก x น Df นDg 0g(x) และ สำาหรบทก

gf DDx

xgxfx

gf

)()()(

กำาหนดให f = {(1,3), (2,5), (3, 7), (4, 0)} g= {(0,-2), (1,7), (2,-4), (4, -

5), (5, 0)} จงหา f+g , f - g , f.g ,

gf

{1,2,4}DD; gf {1,2,3,4}Df }{0,1,2,4,5D; g5)}(4,(2,1),{(1,10),gf

(4,5)}(2,9),4),{(1,gf (4,0)}20),(2,{(1,21),f.g

(4,0)}),45(2,),7

3{(1,gf

กำาหนดให f(x) = 2x + 3 ; g(x) = x 2 - 5 จงหา

(f+g)(x) = (2x + 3) + (x 2 - 5) = x 2 + 2x - 2

(f-g)(x) = (2x + 3) - (x 2 - 5) = - x 2 + 2x + 8

(f.g)(x) = (2x + 3) . (x 2 - 5) =

5 x, 5x32x(x)g

f2

5)3)((2x3)x(2x 2 1510x3x2x 23

กำาหนดให f(x) = 3x2 - 2x + 4 ; g(x) = 3x - 7 จงหา

(f+g)(x) = 3x2 - 2x + 4 + 3x - 7 = 3x2 + x - 3(f-g)(x) = (3x2 - 2x + 4) - (3x -

7) = 3x2 - 5x + 11 (f.g)(x) = (3x2 - 2x + 4) (3x - 7)

37

73423)(

2

x

xxxx

gf ,

กำาหนดให f(x) = (4x+1)2 ; g(x) =

(f+g)(x) =

27

72)14()(2

x

xxx

gf ,

72 x

72)14( 2 xx

72)14())(( 2 xxxgf

72.)14())(.( 2 xxxgf

ฟงกชนคอมโพสท คอฟงกชนใหมทเกด จากฟงกชน 2 ฟงกชนมาผสมกนภาย

ใตเงอนไขวา “ ถา (a, b) นf และ (b, c) นg แลว (a, c) จะอยในฟงกชน

ใหม เรยกฟงกชนใหมนวา ฟงกชน คอมโพสทของ f และ g ”

ใชสญลกษณ gof แทน ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g ”

fog แทน ฟงกชนคอมโพสทของ g และ f ”

fof แทน ฟงกชนคอมโพสทของ f และ f ” โดยท

gof(x) = g(f(x)) เมอ Rf น Dg นน

fog(x) = f(g(x)) เมอ Rg น Df นน

กำาหนดให A = {1, 2, 3} ; B = {4, 5, 6} 789; C= { , , } ซง f = {(1 ,4 ), (2 ,5 ), (3 ,6)}

={ (4 ,7 ), (5 ,8 ), (6 ,9 )} จงหา gof และ fog

C B A

g f321

654

987

(3,9)} (2,8), {(1,7), gof(9,3)} (8,2), {(7,1), fog

กำาหนดให 13 26f = {( , ), ( , ), 37 48( , ), ( , )}

={ (0,1), (3,9), (4,2), (6,10), 711( , )} จงหา gof

จาก gof(x) = g(f(x)) และ Rf น Dg นน

gof(1) = g(f(1)) = g(3) = 9 (3,11)} (2,10), {(1,9), gof

)9,1(

g(f(2)) gof(2) g(6) 10 )10,2(

g(f(3)) gof(3) g(7) 11 )11,3(

กำาหนดให f(x) = 3 x + 7 ;8888 8 8 2 +4

จงหา gof(x) , fog(x) จาก gof(x) = g(f(x)) =

7)g(3x 47)(3x 244942x9x2

f(g(x))fog(x) 4)f(x2 74)3(x2 7123x2 213x2

5342x9x2

ให f(x) = 4x2 - 5 ; g(x) =

fof(x) = f(f(x)) = f(4x2 - 5 ) = 4(4x2 -

5 - ) 5 = 16x2 - 20

- 5 = 16x2 -

25

gof(x) =g(f(x))

= g(4x2 - 5 )

=

1-3x

1-5)-3(4x2

1-15-12x2

16-12x2

ให f(x) = 2x 2 + x + 6 ; g(x) =

จงหา fog(3) , gog(1) fog(x) =

f(g(x)) gog(x) =

g(g(x))

3x 2

g(2)

322

)( 2 3xf )( 2 33ffog(3)

)( 12f612)122( 2 61212)2 (

1230

)( 2 3x g)( 2 31 ggog(1)

7

ให f(x) = ; g(x) =

จงหา fog(4) , fof(1)

fog(x) = f(g(x))

fof(x) =f(f(x))

1x

)2f(

)x3x4f(

(0)ffog(4)1

)1xf(

)11f(fof(1)

x3x4

12