1

ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธและฟงกชน เปนเนอหาพนฐานทจะไปใชในการศกษาเนอหาบทอนๆ เชน ฟงกชน

ตรโกณมต ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล และลอการทม หรอน าความรของเนอหาบทน ไปใชแกปญหา หาชวงคา

ของขอมล เพอไปใชตรวจสอบค าตอบได และเปนอยางยง แคลคลส จ าเปนจะตองใชเนอหาของความสมพนธ

และฟงกชนไปใช

ความสมพนธและฟงกชน

1. ผลคณคารทเชยน

2. ความสมพนธ

3. ฟงกชน

2

1. ผลคณคารทเชยน (Cartesian Product)

1.1 คอนดบ คอการเขยนขอมล 2 ตว มาอยในลกษณะ (a,b) โดยท a, b เปนขอมลอะไรกได

ซงเราไมสามารถสลบต าแหนงระหวาง a, b ไดเพราะถาสลบ ความหมายจะเปลยนไปในทนท

ผลคณคารทเชยน เปนการเซต 2 เซต มากระท าการ คณกน เขยนสญลกษณเครองหมายคณ เชน

A B ท าใหเกดเซตใหมอกเซต ทเกดจากเซต A, B โดยสมาชกตวหนาของคกนดบ มาจากเซต A และตวหลง

มาจากเซต B ซงตองใชสมาชกทกตวจากทง 2 เซต

ผลคณคารทเชยน เขยนแบบไดเปน A B x, y x A, y B

ตวอยาง ให A 1,2,3 ,B a,b,c,d ,C (1,0), (1,a) จงหาผลคณคารทเชยนและจ านวน

สมาชกของ

1. A B

2. B A

3. A C

4. C A

5. B B

6. C C

ขอควรร

1. A B B A กตอเมอ A B หรอ A หรอ B

2. n A B n A n B

3. A A

4. a,b c,d กตอเมอ a=c และ b=d

3

2. ความสมพนธ (Relation)

2.1 นยาม ความสมพนธจาก A ไป B คอเซตของคอนดบทมสมาชกตวหนาอยในเซต A และ

สมาชกตวหลงอยในเซต B แตไมจ าเปนจะตองใชสมาชกทกตว ดงนน ถาให r เปนความสมพนธจาก A ไป B

จะเขยนไดวา r x, y A B ... หรอ r A B

ตวอยาง จงหาความสมพนธจาก A ไป B ทงหมดเมอ A 1,2,3 ,B a,b

ตวอยาง ให A 1,2,3,4,5,6,7 ,B 2,3,4,8,9,12,14 จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบ

แจกแจงสมาชก

1. 1r x, y A B x y

2. 22r x, y A B y x

3. 3r x, y A B 3x 2y 1

4. 4r x, y A A x y

5. 5r x, y A A x y

6. 26r x, y B A y 1 x

ขอควรร

1. ความสมพนธจาก A ไป A เรยกวา “ความสมพนธภายในเซต A”

2. ถาหากไมไดก าหนดความสมพนธจากเซตไหนไปเซตไหน ใหถอวาเปนเซต R R

4

2.2 โดเมน เรนจ (Domain, Range)

นยาม โดเมน คอเซตของสมาชกตวหนาของความสมพนธ rD x x, y r

นยาม เรนจ คอเซตของสมาชกตวหลงของความสมพนธ rR y x, y r

ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปนเมอ A 5, 2,1, 2 ,B 0,3,5,6

1. 1r x, y A B x y 0

2. 22r x, y x y 2

3. 3r x, y y x

4. 24r x, y y 4 x

5

5. 5

2r x, y y

4 x

6.

6

2x 5r x, y y

3x 4

7.

7 2

1r x, y y 3

x 2x 2

8.

8 2

x 3r x, y y

x 2x 1

6

9. 9

1r x, y y x

x

10. 10r x, y x 1 y 2 1

สมาคมฯ 31 ก าหนดความสมพนธ 2

4r x, y I I y 3

x 2 1

จ านวนสมาชกของ r rD R เปนเทาใด

1. 2 2. 4

3. 6 4. เทากบจ านวนสมาชกของ I

NOTE

7

2.3 อนเวอรส, ผกผน (Inverse, 1r )

นยาม 1r เปนอนเวอรสของความสมพนธ r คอความสมพนธทมซงเกดจากการสลบทของสมาชกตว

หนา และสมาชกตวหลงในแตละคอนดบทเปนสมาชกของ r หรอเขยนไดเปน 1r y, x x, y r

ตวอยาง จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปน

1. 1r 0,2 , 1,3 , 4,2 , 1,0 , 3, 3

2. 2r x, y 3x 2y 5

3.

3

x 1r x, y y

2x 3

4. 2

4 2

2x 1r x, y y

x 3

8

5. 3 25r x, y y x 3x 3x

6. 2 26r x, y y x 1; x 3,4

7. 2 27r x, y x y 1; x 0,1

8. 238r x, y y x 2x

Ent มค. 44 ก าหนดความสมพนธ 2

1r x, y y

x 1

พจารณาขอความตอไปน

ก. rD , 1 1, ข. 1 1 xr x, y y

x

ขอใดตอไปถกตอง

1. ขอ ก. และ ข. ถก 2. ขอ ก.ถกขอเดยว

3. ขอ ข.ถกขอเดยว 4. ขอ ก. และ ข. ผด

9

2.4 กราฟของความสมพนธ

กราฟของความสมพนธ r คอเซตของจดบนแกนมมฉาก x, y ซงแตละจดแทนสมาชกใน r

ตวอยาง จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน

1. 1r 1,2 , 3,4 , 5,6

2. 2r x, y I I y x 1

3. 3r x, y y x 1

10

4. 4r x, y y x 1

5. 5r x, y y x

6. 6r x, y y x 2

7. 7r x, y y x และ x 10y 0

11

8. 28r x, y y x

9. 29r x, y x y

NOTE

12

3. ฟงกชน (Function)

3.1 นยาม f เปนฟงกชน กตอเมอ ถาม x, y f และ x,z f แลว y=z

หรอในอกความหมายกคอ x หนงตว ท าใหเกด y แคตวเดยวเทานน

ตวอยาง ความสมพนธในขอใดตอไปนเปนฟงกชน

1. 1r 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,1 , 2,1 , 3,2

2. 2r a,b , 1,3 , b,a , 2,1 , a,b , 3,1

3. 23r x, y y x

4. 24r x, y x y

5. 5r x, y xy 1

6. 6

1r x, y y x

x

7. 7 2

1r x, y y

x 4x 5

8.

2 28r x, y x y 1; x 0,1

สมาคม 52 ก าหนดฟงกชน f X, Y X 0,1 และY X X เรนจของ f คอเซตในขอใด

1. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 1,1 ,

2. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 , 0,0 , 1,1 ,

3. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ,

4. 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1

13

3.2 ฟงกชนจากเซตไปเซต 1. ฟงกชนจาก A ไป B f : A B

f เปนฟงกชนจาก A ไป B กตอเมอ f มโดเมนเปนเซต A และเรนจเปนสบเซต B

2. ฟงกชนจาก A ไปทวถง B ontof : A B

f เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f มมโดเมนเปนเซต A และเรนจเปนเซต B

3. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B 1 1f : A B

f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B และถา

x, y f และ z, y f แลว x=z

4. ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B 1 1onto

f : A B

f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไปทวถง B กตอเมอ f เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B

และ เปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B

ตวอยาง ฟงกชนตอไปนเปน f : R R หรอไม ถาใช เปนฟงกชนประเภทใดบาง

1. 31f x, y y x

2. 22f x, y y 1 x

3. 23f x, y y x

14

4. 4

x 1f x, y y

x 8

5. 5f x, y y x 1 x 1

6. 6f x, y x y x y

ทนเลาเรยนหลวง 52 ให U เปนเซตและ f : U U เปนฟงกชน และส าหรบ T U นยามให

1f T x U f x T ถา U คอเซตของจ านวนจรงทงหมด และก าหนด f โดย x

f x 12

ส าหรบทกๆจ านวนจรงx ถา 1A f 0,1 และ 1B f A แลวจงหาสมาชกของเซต 1 cf B A

ขอควรร

1. ถาหากเขยนความสมพนธอยในรป y=…(ในเทอมx) ไดแบบเดยว จะเปนฟงกชนเสมอ

2. f x เปนคาฟงกชน ไมใชฟงกชน (ฟงกชนจะเขยน f ตวเดยว)

3. ถา f เปนฟงกชน เราสามารถเขยนสญลกษณ f x ... แทน y ... ได และสญลกษณ

f x ... จะมความหมายวาเปนฟงกชนดวย

15

3.3 ฟงกชนทควรรจก 1. ฟงกชนเชงเสน (Linear function) อยในรป y ax b

2. ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic function) อยในรป 2y ax bx c;a,b,c R;a 0

3. ฟงกชนคาสมบรณ (Absolute function) อยในรป y x a c

4. ฟงกชนคาบนได (Step function) คอฟงกชนทเปนคาคงทเปนชวงๆ

5. ฟงกชนพหนาม (Polynomial function) อยในรป

n n 1n n 1 1 0f x a x a x ... a x a

โดยท n n 1 0a ,a ,...,a เปนคาคงท และ na 0

6. ฟงกชนตรรกยะ (Rational function) อยในรป

p xf x

q x เมอ p x ,q x เปน

ฟงกชนพหนาม

7. ฟงกชนรายคาบ (Periodic function) หมายถงฟงกชนทไมใชฟงกชนทไมใชคาคงท และ

f x p f x ส าหรบทกคา x และ x p อยใน fD

ตวอยาง ฟงกชนใดตอไปนเปนฟงกชนใด (ใน 7 ขอบน)

1. 4f x 3x 5x 1

2. 34x 5

f x2x 7

3. f x 2x 1

4. f x sinx

5. 2f x x 2x 7

6. f x x 4 5

7. x 4 ; x 2

f xx ; x 2

โอลมปก 40 จงหา f 2 เมอก าหนดใหฟงกชน 2f x ax bx c มคาสงสดเทากบ 15 และ

f 1 f 3 3

16

3.4 ฟงกชนเพม ฟงกชนลด (Increase, Decrease function) นยาม f เปนฟงกชนเพมบน A กตอเมอ ส าหรบทกๆ 1 2x , x ใดๆใน A ถา 1 2x x แลว

1 2f x f x

นยาม f เปนฟงกชนลดบน A กตอเมอ ส าหรบทกๆ 1 2x , x ใดๆใน A ถา 1 2x x แลว 1 2f x f x

ตวอยาง ฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเพม ฟงกชนลด หรอไมทง 2 อยาง

1. 1f 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5

2. 2f 1,1 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , 5,6

3. 3f 1,0 , 4,7 , 2,1 , 7,9 , 5,6

4. f x x 3

17

5. 2f x x 4x; x 2

6. 3 2f x x 3x 3x 4

7. f x x 3 4

8. f x 4 x

9. 2f x 4 x

18

10. 3f x x

11. 1

f xx

12.

2x ; x 0f x

x 2 ; x 0

NOTE

19

3.5 การหาคาฟงกชน ในกรณท f เปนฟงกชน เราสามารถแทน x, y f ไดดวย y f x

ตวอยาง ให f 1,2 , 3,4 2,7 , 8,5 จงหาคาของ

1. f 3

2. f 8

3. f f 1

4. f 4

5. ถา f x 5 แลว x =

ตวอยาง ให f x 2x 1 จงหาคาของ

1. f 4

2. f m

3. 2f x 4

ตวอยาง ให f 2x 1 10x 13 จงหาคาของ

1. f 3

2. f k

3. f x

4. 3f x 4

ตวอยาง ก าหนดให 2

5 x ; x 0f x

x 2x 3 ; x 0

คาของ f 3 f 0 มคาเทาไหร

20

ตวอยาง ก าหนดให 2 4 2f 3x 1 9x 6x 2 คาของ f 4 มคาเทาไหร

PAT1 ม.ค. 52 ก าหนดให f x 3x 1 และ

2

12

x , x 0g x

x , x 0

คาของ

1f g 2 g 8 เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2

3

2.

1 2

3

3. 1 2

3

4.

1 2

3

PAT1 ม.ค. 54 ก าหนดให I เปนเซตของจ านวนเตม และให 4 2 2

5 2

x 2x a x 75f x

x b x 270

เมอa,b I

ถา A a,b I I f 3 0 และ 2 2B a,b I I a 2ab b 3

แลวจ านวนสมาชกของเซต A B เทากบเทาใด

21

3.6 ฟงกชนประกอบ (Composite function) นยาม ให f และ g เปนฟงกชน และ f gR D ฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวย

gof คอฟงกชนทมโดเมน คอ gof f gD x D f x D และก าหนดคาโดย gof x g f x

ทกๆ gofx D

ตวอยาง ก าหนด f 1,3 , 2,5 , 3,7 และ g 2,3 , 3, 1 , 4, 1 , 5,1

จงหาคาของ

1. gof 1

2. gof 2

3. fog 2

4. gof

5. fog

ตวอยาง ก าหนดให 2f x 3x 1 และ 3g x x x จงหา

1. gof x

2. fog x

3. fogD

4. fogR

5. gofD

6. gofR

ตวอยาง ก าหนดให 2f x x x และ g 0,2 , 3,4 , 5,6 จงหา fog

22

สมาคม 47 ให f และ g เปนฟงกชน ซ ง f 3x 2 2x 3 และ

2

3

x ; x 0g x

x 1 ; x 0

ดงนน fog fogD R เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1. 4, 2 2. 3, 1 3. 2,0 4. 1,1

สมาคม 50 ถา f และ g เปนฟงกชน ซง 3f x x x และ 1 2gof x x แลว g x

เทากบขอใดตอไปน

1. 6 4 2x 2x x 2. 6 2x x

3. 5 3x 2x x 4. 5 3x x

23

3.7 พชคณตฟงกชน พชคณตฟงกชน คอการน าฟงกชนมาท าการบวก ลบ คณ หรอหารกน โดยผลลพธทไดจะยงเปน

ฟงกชนอย

f g f g

f g f g

f g f g

f g f g

f g x f x g x D D D

f g x f x g x D D D

f g x f x g x D D D

f f xx D D D และ x g x 0

g g x

ตวอยาง ให f 0,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 และ g 0,1 , 1,2 , 2,0 จงหา

1. f g

2. f g

3. f g

4. f

g

ตวอยาง ให 2x x 6

f xx

และ

1g x

x 2

ฟงกชนตอไปนและโดเมนของแตละขอ

1. f g x

f gD

2. f g x

f gD

3. f g x

f gD

4. f

xg

f

g

D

24

สมาคม 48 ก าหนดให f เปนฟงกชนทก าหนดโดย x 1

f xx 1

ทก x R 1, 1 แลว

11

1 1f f x

f f

มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 1

x 1 4.

1

x 1

สมาคม 53 ถา f 1,3 , 2,4 , 3,1 , 5,2

g 1,2 , 2,3 , 4,1 , 5,4

และ h 2,4 , 3,1 , 4,2 , 5,1

แลว fog h เทากบขอใดตอปน

1. 2,5 , 4,5 2. 2,5 , 4,4

3. 2,3 , 4,5 4. 2,11 , 3,2 , 4,3 , 5,7

25

เอกสารอางอง

รศ.ดร. ณรงค ปนนม, กนกวล อษณกรกล, สมจตต ตณจนดา, รณชย มาเจรญทรพย, เรณ สทธวาร และ

จนดา อยเปนสข. คมอ-เตรยมสอบ ตรงตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544

คณตศาสตร รวม ม.4-5-6, หจก.ส านกพมพ ภมบณฑต, กรงเทพมหานคร, ม.ป.ป.

Tooru Yasuda. 100 โจทยคณต พชต Admission. แปลจาก Nyushi Suugaku Densetsuno Ryoumon

100 โดย ดร.อรรณพ เรองวเศษ. พมพครงท 3. กรงเทพมหานคร: บรษท พมพดการพมพ จ ากด.

2551.

“Entrance Problem Book I for successful students”, กรงเทพมหานคร, Tutor Publisher, 2549.

ธระ ตรณานสษฐ, “เฉลยขอสอบคณตศาสตรทนเลาเรยนหลวงป 37-48”, Science Center, ม.ป.ป.

ฝายวชาการ พบซ, รวมโจทย ขอสอบเขามหาวทยาลย O-NET & A-NET, บรษท ส านกพมพ พบซ จ ากด,

กรงเทพมหานคร, ม.ป.ป.

“รวมขอสอบสมาคม Maths”, กรงเทพมหานคร, Tutor Publisher, 2552.

http://pratabong.com/P_web/math/math_m.6.htm

http://www.ocsc.go.th/ocsc/th/index.php?option=com_content&view=article&id=3187&catid

=59&Itemid=133

http://www.studyjapan.go.jp/en/toj/toj0308e.html