第三章力偶系

第三章力偶系

山西农业大学工学院

工程力学教程电子教案 2力偶系

§3-1 力矩的概念和计算

§3-2 力偶的概念

§3-3 平面力偶系的合成与平衡

第 3 章力偶系


力对物体作用时可以产生移动和转动两种外效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。

主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念； (2) 力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。


§3-1 力矩的概念和计算1. 力对点之矩

(1) 用扳手拧螺母；

(2) 开门，关门。

由上图知，力使物体绕 O 点转动的效应，不仅与力的大小有关，而且与 O 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 F·d 来度量力的转动效应。

F


力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。

dFFMO )(

该乘积根据转动效应的转向取适当的正负号称为力对点 O 之矩，简称力矩，以符号 M O (

) 表示 , 即F

F

O 点称为力矩的中心，简称矩心； O 点到力作用线的垂直距离 d ，称为力臂。

F

形的面积。为顶点构成的三角为底边，矩心以力— OFOAB

OABFMO

2)(


力矩的单位： N·m ， kN·m

应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以视为代数值。

力矩的性质：

(1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变（这也符合力的可传性）；


(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；

(3) 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。

21 FF


2. 合力矩定理证明：由图得

表达式： )()( R FMFM OO

cossin

cossin

)cossin

cos(sin

)sin(

)(

rF

rF

rF

rF

dFFMO

yrxr

FFFF yx

sin,cos

sin,cos而

(a))()()( xOyOxyO FMFMFyFxFM

则


比较 (b) 、 (c) 两式有

(a)xyO FyFxFM )(

(b) xyO FyFxFM )(

(c) xyxyO FyFxFyFxFM RRR )(

)()( R FMFM OO

若作用在 A 点上的是一个汇交力系 , 则利用式 (a) 可将每个力对 O 点之矩相加，有

),...,,( 21 nFFF

由式 (a) ，该汇交力系的合力，它对矩心 O 的矩为

FF

R


§3-2 力偶的概念1. 力偶和力偶矩

(1) 力偶的概念把大小相等、方向相反、作用线平行而不重合的两个力叫做力偶。并记作。可用图 (a) 表示，例如：双手操纵方向盘，如图 (b) 。

),( FF

图 (a) 图 (b)


(2) 力偶矩

力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。

dF

xdFxF

FMFM OO

)(

)()(

例如：

dFMdFFFM 或),(

力偶矩的符号与力矩符号的规定相同。


(3) 力偶的性质 (a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零； (b) 力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，

即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；(c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态。


(4) 力偶的三要素(a) 力偶矩的大小；(b) 力偶的转向；(c) 力偶作用面在空间的方位。

2. 平面力偶等效定理定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。

例如：双手操作方向盘。),(),( 11 FFMFFM


),(~),(

),(~),,,(~),(

RR

RR11

FFFF

FFFFFFFF

ABCABD

ABCFFM

ABDFFM

RR

2),(

,2),(

),(),(

),(),(

),(),(

R1R1

R1R1RR

RR

FFMFFM

FFMFFM

FFMFFM

证明：设有一力偶，如图所示。运用加减平衡力系公理并注意到：

),( FF


两个重要推论：

推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对刚体的转动效应。


推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对刚体的转动效应。

注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。其中 F1d1=F2d2


§3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶

的总称。1. 合成

(1) 两个力偶的情况

= =

dFM

dFM

222

111 ,

222

111 ,

dFM

dFM

2211R

2211R ,

FFF

FFF


M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2

(2) 任意个力偶的情况

M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi

这样得到新的力偶，则),( RR FF

平面力偶系合成结果仍是一个力偶 ,

合力偶矩为各分力偶矩的代数和。


2. 平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零，即

∑M=0

利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。


两力偶作用在板上，尺寸如图。已知 F1=F2=1.5 kN , F3=F4=1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。解：由式

M = M1 + M2

则

负号表明转向为顺时针。

例题 3- 1

M = – F1 · 0.18 m–F3 · 0.08m

= – 350 N· m


长为 l=4 m 的简支梁的两端 A 、 B 处作用有两个力偶，大小各为M1 =16 N· m ，

M2 = 4 N· m ，转向如图。试求 A 、 B 支座的约束力。

例题 3- 2

解：作 AB 梁的受力图。 AB 梁上作用有两个力偶组成的平面力偶系，在 A 、 B 处的约束力也必须组成一个同平面的力偶才能与之平衡。

),( BA FF


由平衡方程 ∑ M =0

得 – M1+ M2+FB l cos60º= 0

解得 FB= 6 N

故 FA = FB = 6 N

例题 3- 2

– 16 + 4 + FB4cos60 = 0

FA 、 FB 为正值，说明图中所设、的指向正确。

AF

BF


如图所示的铰接四连杆机构 OABD ，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r ， DB=2r ， =30° ，不计各杆自重，试求 M1 和 M2 之间的关系。

例题 3- 3


分别取杆 OA 和DB 为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座 O 和 D 的约束力和

只能分别平行于

和，且与其方向相反。

DF

ABF

BAFOF

解：因为杆 AB 为二力杆，故其约束力和只能沿 A ， B 的连线方向。

ABF

BAF

例题 3- 3


0 cos2

0 cos

2

1

rFM

OB

rFM

OA

BA

AB

：对

：对

BAAB FF 因为

12 2MM 所以求得

分别画出受力图。 OA=r ， OB=2r写出杆 OA 和DB 的

平衡方程： ∑M = 0


思考题 3- 1

一力偶作用在 Oxy 平面内，另一力偶作用在 Oyz 平面内，它们的力偶矩大小相等 ( 如图 ) 。试问此两力偶是否等效，为什么？

),( 11 FF

),( 22 FF


思考题 3- 2

如图所示，在物体上作用有两力偶和其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？

),( 11 FF

),( 22 FF


力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？

思考题 3- 3

思考题 3- 4

图示圆盘由 O 点处的轴承支持，在力偶 M 和力的作用下处于平衡。能不能说力偶被力所平衡？为什么？

F

F


思考题 3- 5

两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为 F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是 F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？


图中所示两轮在图示主动力作用下能否处于平衡？为什么？若不能平衡，可否再在轮上加一个力使之平衡？如何加？

思考题 3- 6

第 三章 力偶系

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