建筑力学电子教案

第三章 力矩与平面力偶系

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力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。

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§3-1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算

1. 力对点之矩

（ 1 ）用扳手拧螺母；

（ 2 ）开门，关门。

由上图知，力 F 使物体绕 O 点转动的效应，不仅与力的大小，而且与 O 点到力的作用线的垂直距离 d 有关，故用乘积 F·d 来度量力的转动效应，简称力矩，以符号 M O

(F) 表示。 。

O

F

Al

d

图 3-1

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即

O 点为力矩的中心，称为矩心； d 为 O 点到力 F 作用线的垂直距离，称为力臂。

力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动时为正，反之为负。

dFM O )(F

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力矩的单位： 国际制 N·m ， kN·m

工程制 公斤力米（ kgf·m ）

应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。

力矩的性质：

（ 1 ）力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；

OF

d图 3-2 （ a)

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（ 2 ）力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的 作用线必通过该点；

（ 3 ）互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。 (4) 作用于物体上的力可以对物体上或物体外的任意点取矩。

O

F1

F2

图 3-2 (c)

F

图 3-2 (b)

o

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2. 合力矩定理

平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和，即：

由图得

而

Ox

y

d

x

y

F

Fx

Fy

A

r

图 3-3

)()( R FF OO MM

cossin

cossin

)cossin

cos(sin

)sin()(

rF

rF

rF

rFdFM O F

yrxr

FFFF yx

sin,cos

sin,cos

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则

若作用在 A 点上的是一个汇交力系（ F1 、 F2 … 、 Fn ）

则可将每个力对 O 点之矩相加，有

(a)

(b)

由式（ a ），该汇交力系的合力 FR=∑F ，它对矩心的矩

(c)

比较（ b ）、（ c ）两式有

xyO FyFxM )(F

xyO FyFxM )(F

xyxyO FyFxFyFxM RRR )(F

)()( R FF OO MM

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§3-2 力偶的概念力偶的概念

1. 力偶和力偶矩(1) 力偶的概念

由大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的力系叫做力偶，记作（ F ， F′ ）。

例如：方向盘等

F

F′

d力偶臂

力偶作用面图 3-4

F1

F

F′

AB

F1′

C

D

图 3-5

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力偶中两力所在的平面——力偶作用面。

两力作用线间的垂直距离——力偶臂，计为 d 。

力偶无合力，即对物体不产生移动效应。力偶本身不能平衡，故对物体产生转动效应。

力偶无合力，本身也不能平衡，因此是一个基本的力学量。

力与力偶是静力学的两个基本要素。

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(3) 力偶矩

力偶对物体的转动效应，用力偶矩度量，以 M(F ， F

‘) 或 M 表示： M=±Fd

力偶矩是一个代数量，其绝对值等于一边力的大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的转向：逆时针转为正，顺时针转为负。 M 单位： N · m ； kN · m

力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。F

F

d

图 3-7

Ox

注意： M 与矩心位置无关。例如：

dF

xdFxF

FMFM OO

)(

)()(

dFMdFFFM 或),(

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(4) 力偶的三要素（ a ）力偶矩的大小；（ b ）力偶的转向；（ c ）力偶作用面在空间的方位。

2. 平面力偶等效定理

力偶不能与力等效，只能与另一个力偶等效。 力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。

定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。

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设有一力偶 (F, F′), 如图所示 . 运用加减平衡力系的公理并注意到：

),(~),(

),(~),,,(~),(

11 PPFF

PPQQFFFF

ABCABD

ABC

ABD

SS

SPPM

SFFM

2),(

,2),(

),(),(

),(),(

),(),(

11

11

PPMFFM

PPMPPM

PPMFFM

证明

图 3-9

P

P1 P1′

P′

F

F′

Q′

Q

A′

B′

AB

b

a

CD

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两个重要推论：

推论 1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应

A B

M

(a)

A B

M

C

(b)

图 3-10

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A B

d

F 1

F1

(a)

A B

D F2

F2

(b)

推论 2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改 变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动 效应。

F1d=F2D例如：

注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。图 3-11

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§3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。1. 合成(1) 两个力偶的情况

=

F1′

F1d1

d2

F2′

F2

F11′

F22′

F22

F11

dd

FR′FR

222

111 ,

dFM

dFM

dFM

dFM

222

111 ,

=

2211R

2211R ,

FFF

FFF

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这样得到新的力偶 (FR , FR′), 则M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2

(2) 任意个力偶的情况

M=M1 + M2 + … + Mn , 或 M=∑Mi

M1

M2

Mn

图 3-13

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平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各已知力偶矩的代数和。

2. 平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

∑Mi=0

利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。

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两力偶作用在板上，尺寸如图，已知 F1 = F2=1.5 kN , F3

=F4 = 1 kN, 求作用在板上的合力偶矩。180mmF 1

F2

F3

F 4

80mm

解：由式M = M1 + M2

则M =-F1 · 0.18 –F3 · 0.08 = -350 N· m

负号表明转向为顺时针。图 3-14

例 题 例 题 33- - 11

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长为 4 m 的简支梁的两端 A 、 B 处作用有二个力偶，大小各为 M1 =16 N· m ， M2 = 4 N· m ，转向如图。试求 A 、 B

支座的约束力。

解：作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。 AB 梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、 B 处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（ FA ， FB ）才能与之平衡。

例 题 例 题 33- - 22

FBFA

M1

M2

AB

(b)

d

604m

A BM1

M2

(a) 图 3-15

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由平衡方程 ∑M =0

得 -M1+ M2+FB l cos60º= 0

解得

故

FB=6 N

FA 、 FB 为正值，说明图中所示 FA 、 FB 的指向正确。

FA = FB = 6 N

FBFA

M1

M2

AB

(b)

d

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如图所示的铰接四连杆机构 OABD ，在杆 OA 和

BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA=r ， DB=2r ， =30° ，不计各杆自重，试求 M1 和 M2 间的关系。

B

O D

M1

M2

A

例 题 例 题 33- - 33

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解：因为杆 AB 为二力杆，故其反力 FAB 和 FBA 只能沿 A ， B 的连线方向。 分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座

O 和 D 的约束力 FO 和 FD 只能分别平

行于 FAB 和 FBA ，且与其方向相反。

B

O D

M1

M2

A

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0 cos2

0 cos

2

1

rFM

rFM

BA

AB

BAAB FF

12 2MM

因为

所以求得

写出杆 OA 和 DB 的平衡方程： ∑ M = 0

OM1

FO

FABA

B

D

M2

FD

FBA

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思考题 3-1

一力偶 (F1,F1′) 作用在 Oxy 平面内 , 另一力偶 (F2 ， F2

′) 作用在 Oyz 平面内 , 它们的力偶矩大小相等 ( 如图 ) 。试问此两力偶是否等效，为什么？

x

y

z

F2

F2′

F1 F1′

图 3-16

O

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如图所示，在物体上作用有两力偶 和 其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？

)( 1,1 FF ),( 2,2 FF

图 3-17

F1

F2

F1′

F2′

F1

F2

F1′

F2′

思考题 3-2

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图 3-18 所示圆盘由 O 点处的轴承支持，在力偶 M 和力 F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力 F 所平衡？为什么？

力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？

F

MO

图 3-18

思考题 3-3

思考题 3-4