定义 设 A 是 n 阶方阵。若存在 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = I

则称 A 是可逆矩阵，称 B 是 A 的逆矩阵。

例 讨论 n 阶零方阵 0 与 n 阶单位矩阵 I 的可逆性。

例 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵也 是初等矩阵。

例 设方阵 A 满足 ，证明 都可逆。

01032 IAA

IAA 3,

证明 由已知得

IIAA 10)3( 且 IAIA 10)3(

于是有

)2( )]3(10

1[ )]3(

10

1[

)1( )10

1)(3( )3)(

10

1(

IAIAIIAA

IAIAIIAA

且

且

由 (1) 得 可逆，且 ；

由 (2) 得 可逆，且 。 ▌

IA 3

A

AIA10

1)3( 1

)3(10

11 IAA

定理 设 A 是方阵，则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是 A 满秩。

例 设

dc

baA

则当 时， A 可逆，并且bcad

ac

bd

bcadA

11

设矩阵 A 可逆，则存在若干个初等矩阵使

IAPPPs 12 …………①

① 式两边同时右乘 ，又得1A

112

AIPPPs …………②

① 、②式表明：把 A 化为 I 的初等行变换同时把 I 化为 A–1 。由此得求逆矩阵的又一种方法：

1 AI IA 初等行变换

sPPP ,,, 21

例 求矩阵 A 的逆矩阵

1087

654

321

A

解

1001087

010654

001321

IA

1071160

014630

00132112

13

4)(

7)(

RR

RR

121100

014630

00132123 2)( RR

121100

6112030

36202132

31

6

3)(

RR

RR

121100

6112030

134

32

00121 3

2RR

121100

23

1132

010

134

32

001

2)3

1( R

所以，

121

23

11

3

2

13

4

3

2

1A

▌

推论 设 A 是 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B 使 AB=I

或 BA=I ，则 A 可逆且 。BA 1

性质 （ 1 ）若 A 可逆，则 也可逆，且 （ 2 ）若 A 可逆，则 也可逆，且 （ 3 ）若 A 与 B 是同阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且

1ATA

AA 11)(TT AA )()( 11

111)( ABAB

例 设 B 是 n 阶可逆矩阵，且 Tn

Tn bbbAaaaA 212211 ,

令TAABA 21

证明：当 时， A 可逆，且01 11

2 ABAc T

))((1 1

21111 BAAB

cBA T

证明 因

)])((1

)[(

)])((1

[

121

1121

121

11

BAABc

BAAB

BAABc

BA

TT

T

)])((1

[

)])((1

[

121

121

121

121

11

BAABc

AA

BAABAABc

BBB

TT

TT

I

BAAc

cBAA

cc

I

BAABAAc

BAABAAc

I

TT

TTTT

121

121

121

121

121

121

11

)(11

故 A 可逆，且 ))((1 1

21111 BAAB

cBA T

▌

例 设 A 与 B 是同阶方阵，且 A 、 B 、 A+B 都可逆，证明： 也可逆。11 BA

证明 因为 A 与 B 都可逆，故存在 与 使1A 1B

IAA 1 ， IBB 1

于是，

)(

11

111

1111

ABIA

ABAA

IBABA

,)(

)(11

111

BABA

ABBBA

又 均可逆，故11 BABA 、、

1111 BABABA ）（也可逆，且

111111 ][ BABABA ）（）（

ABAB 1 ）（

定理 设 A 是 n 阶方阵，则齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是 A 不可逆。

11111 ）（）（）（ AABB

▌

矩阵方程：

AX = C ， XB = D ， AXB = F

其中 A 、 B 、 C 、 D 、 F 均为已知矩阵，而 X 为未知矩阵。

当系数矩阵 A 、 B 都是可逆矩阵时，

AX = C

XB = D

AXB = F

CAX 1 1 CBX

11 FBAX

例 解矩阵方程

12

61

31

52X

例 解矩阵方程

312

011

201

210

111

X

例 已知矩阵 A 、 B 、 X 满足下述关系11 )()( TT BXABI

其中

5000

1400

0130

0012

,

1000

1100

0110

0011

BA

求 X 。

解 由 可得11 )()( TT BXABI

111 )(])[( TT BABIX

11 ])([ TT ABIB

11 }]){[( TBABI

41

000

031

00

0021

0

0001

4000

0300

0020

0001 1

▌

1])[( TAB

例 设矩阵 X 满足 ， 其中XAAX 2

321

011

324

A

(1) 证明： 可逆； (2) 求 X 。IA 2

解 （ 1 ）

∵

100

110

011

121

011

322

2 行IA

∴ 满秩IA 2

IA 2由此得 可逆。

（ 2 ）由 可得 ，故 XAAX 2 AXIA )2(

9122

692

683

)2( 1 AIAX

（另法）

（ 1 ）由 得 XAAX 2

IIXXIXA 2)(22)(

整理后可得

IIXIA )](21

)[2(

于是 可逆。IA 2

（ 2 ）由上式得

9122

692

683

1)2(2 IAIX

▌

461

351

341

2

100

010

001