2.5 回路分析的矩阵方法

“十一五”规划教材—电路基础

2.5 回路分析的矩阵方法

2.5.1 广义支路及其特性方程的矩阵形式

广义支路及其图

kiSku

Ski

kR

ku

, k ku i

ukRk(ikiSk)uSkRkikRkiSkuSk

ikGk(ukuSk)iSkGkukGkuSkiSk 或

特性方程


其中 ib 和 ub 分别为支路电流向量和支路电压向量； uS[uS1, uS2, …, uSb]T 和 iS[iS1, iS2, …, iSb]T 分别为电压源向量和电流源向量， Rbdiag[R1, R2, …, Rb] 为支路电阻矩阵， Gbdiag[G1, G2, …, Gb] 为支路电导矩阵。

设电路具有 b 条支路、 n 个节点，将所有支路的特性方程合成写成矩阵形式，有

ubRbibRbiSuS

ibGbubGbuSiS 或

“十一五”规划教材—电路基础2.5.2 网孔分析的矩阵方法

基尔霍夫定律的降阶网孔矩阵 Mub = 0

将一般支路特性方程的矩阵形式代入上式，可得

所以得网孔方程

ib = MTim

MubMRbibMRbiSMuS0

由于

MRbMTimMRbiSMuS

令 RmMRbMT uSmMRbiSMuS

网孔方程可简写为 RmimuSm

“十一五”规划教材—电路基础例 2.5.1 试用矩阵方法列写图 (a) 所示电路的网孔矩

阵方程，并求各广义支路的电压和电流

1V

11V4A1Ω 2Ω

1Ω2Ω

2mi1mi1

4

3

2

解：可按下述步骤列写电路的网孔矩阵方程 (1) 按照广义支路的定义，作出电路的有向图，设定支路及网孔的参考方向，如图 (b) 所示

(a) (b)

(2) 根据有向图写出降阶网孔矩阵

“十一五”规划教材—电路基础1 1 0 0

0 1 1 1

M

(3) 由电路及电路的图写出支路电导矩阵 b diag[1 2 2 1] R

电压源向量为 TS [1 0 11 0] Vu

电流源向量为 TS [0 0 4 0] A i

(4) 求取网孔电阻矩阵 T 3 2

2 5m b

R = MR M

(5) 计算网孔电压源向量1

V19Sm m S S

u MR i Mi


(6) 列出网孔矩阵方程为

(7) 求解上述方程得到网孔电流向量

1

2

3 2 1

2 5 19m

m

i

i

1

2

3A

5m

m

i

i

(8) 求取支路电流向量 T T T

b 1 2 3 4[ , , , ] [3, 2, 5, 5] Ami i i i i = = M i

T T1 2 3 4[ , , , ] [4, 4, 9, 5] Vb b b b S Su u u u u = = R i R i u

所以


2.5.3 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式对于一个具有 b 条支路、 l 个基本回路的连通图，定义基本回路矩阵 B=[bik]lb ，其中行号对应基本回路，列号对应支路， B 的第 (i ， k) 个元素 bik 定义为

1 ,

1 ,

0ik

k i

b k i

k i

支路与基本回路有关联且它们的参考方向一致

支路与基本回路有关联且它们的参考方向相反

支路与基本回路无关联

有向图及其基本回路 1

234

5

6

选支路 4 、 5 和 6 构成一个树，则得连支集 {1,2,3}


此时可以写出基本回路矩阵为

l1 l2l3

24

5

6

34

5

1

5

612

34

5

6

可知基本回路为 l1 、 l2 和 l3 ，即 {1,5,6} 、 {2,4,5,

6} 和 {3,4,5} ，如下图所示。

1 0 0 0 1 1

0 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 0

B

按上述选取基本回路的情况下， B 具有下列形式 B = {1l┇ Bt} l 个基本回路

l 条连支 n1 条树支

“十一五”规划教材—电路基础对基本回路列写 KVL 方程，并写成矩阵形式，有

推广到一般情况，假设 ub 表示支路电压向量，则基尔霍夫电压定律的基本回路矩阵形式为

1

2

3

4

5

6

1 0 0 0 1 1 0

0 1 0 1 1 1 0

0 0 1 1 1 0 0

u

u

u

u

u

u

Bub = 0

如果将支路电压向量按照连支电压和树支电压进行分块，则上式可以写成

[ | ] lb l t l t t

t

1 0

uBu B u B u

u


[ | ] lb l t l t t

t

1 0

uBu B u B u

u

从而得到连支电压和树支电压之间的关系为

l t tu B u

连支电流是一组独立变量，可以用来表达全部支路电流。通过对基本割集（即单树支割集）列写 KCL方程，能够将树支电流表示成连支电流的代数和。

12

34

5

6 12

34

5

6

1c

3c

2c

选支路 4 、 5 和6 构成的一个树，其基本割集如右图

“十一五”规划教材—电路基础应用 KCL ，有

4 2 3

5 1 2 3

6 1 2

l l

l l l

l l

i i i

i i i i

i i i

用连支电流表示所有支路电流，写成矩阵形式为

1

21

32

43

5

6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 1 1

1 1 1

1 1 0

l

l

l

i

ii

ii

ii

i

i

推广到一般情况，假设 il 表示基本回路电流向量， ib 表示支路电流向量，基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为

Tb li B i


2.5.4 基本回路分析的矩阵方法得到基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式和支路方程的矩阵形式之后，就可以建立基本回路方程的矩阵形式，进而求出电路的支路电压和支路电流。

BubBRbibBRbiSBuS0

将支路特性方程代入基尔霍夫电压定律的基本回路矩阵形式，有

再将基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式代入有 BRbBTilBRbiSBuS

令 RlBRbBT uSlBRbiSBuS

回路方程可简写为 RliluSl


运用回路分析矩阵法分析电路的步骤可总结为： (1) 画出与电路对应的有向图，选树并按先连支后树支的次序对支路进行编号。再作出基本回路，选回路方向与该回路中的连支方向相一致。 (2) 写出基本回路矩阵 B 、支路电阻矩阵 Rb 、电压源向量 uS 及电流源向量 iS

(3) 求回路阻抗矩阵 RlBRbBT

(4) 求回路电压源向量 uSlBRbiSBuS

(5) 求回路电流向量 ilRl–1uSl

(6) 求支路电流向量 ibBTil

(7) 求支路电压向量 ubRbibRbiS+uS

“十一五”规划教材—电路基础例 2.5.2 试用矩阵方法列写出图 (a) 所示电路的基

本回路方程。

解：可按下述步骤列写电路的基本回路方程 (1) 画出图 (a) 所示电路的有向图。选树 T ： {5,6,7} ，并按先连支后树支的次序对支路进行编号。作出基本回路，其方向与该回路中的连支方向相一致，如图 (b) 所示。

(a) (b)

6R

7R

2R

4R

3R 5R

6Su

2Su

1R 5Si

2li

4li

3li

1li1

2

3

4

56

7


(2) 写出基本回路矩阵 B 、支路电阻矩阵 Rb 、电压源向量 uS 及电流向量 iS

1 0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 1

0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 1 1 0 1

B

1 2 3 4 5 6 7diag[ , , , , , , ]R R R R R R RbR

uS [0 uS2 0 0 0 uS6 0]T

iS [0 0 0 0 –iS5 0 0]T

(3) 求回路电阻矩阵 Rl


(4) 求回路电压源向量 uSl

1 6 6 6

6 2 6 7 6 7 7

6 6 7 3 5 6 7 5 7

7 5 7 4 5 7

0

0

R R R R

R R R R R R R

R R R R R R R R R

R R R R R R

Tl bR BR B

Sl b S Su BR i Bu

最后得到以基本回路电流向量 il 为变量的基本回路方程为

66

6 22 6

5 5 6 5 56

5 5 5 5

0

0

0

SS

S SS S

S S SS

S S

uu

u uu u

R i u R iu

R i R i


1 6 6 6 1 6

6 2 6 7 6 7 7 2 6 2

6 6 7 3 5 6 7 5 7 3 6 5 5

7 5 7 4 5 7 4 5 5

0

0

l S

l S S

l S S

l S

R R R R i u

R R R R R R R i u u

R R R R R R R R R i u R i

R R R R R R i R i

例 2.5.3 试按指定的树 T ： {4,5,6} 写出图 (a) 所示电路的基本回路方程

解：图 (a) 所示电路的有向图如图 (b) 所示。图中标出了各个基本回路及其参考方向

1R

2R

3R

4R5R

6R

5Su4u

4u 6Su

13

6

25

4

1li3li

2li

(a) (b)


首先，将受控电源看作为独立电源。直接写出电路方程为

代入上式，经移项便得所求的基本回路方程

11 5 6 6 5 5 6 4

6 2 4 6 4 2 6

5 4 3 4 5 53

l S S

l S

Sl

iR R R R R u u u

R R R R R i u

R R R R R ui

然后把受控电源的控制量用基本回路电流表示

4 4 3 2( )l lu R i i

11 5 6 6 4 5 4 5 6

6 2 4 6 4 2 6

5 4 3 4 5 53

l S S

l S

Sl

iR R R R R R R u u

R R R R R i u

R R R R R ui

“十一五”规划教材—电路基础2.6 割集分析的矩阵方法

割集分析法是以割集电压为独立变量来列写电路方程的电路分析方法。在割集分析法中，一般以树支电压（也称割集电压）为独立变量，对每个基本割集列写 KCL 方程，求得树支电压。而连支电压可通过树支电压求出。节点分析法是割集分析法的特例。 2.6.1 节点分析的矩阵方法

基尔霍夫定律的降阶关联矩阵形式 Aib = 0 ub = ATun

结合支路方程式，可以整理得AibAGbATunAGbuSAiS0


AGbATun AGbuSAiS

令 GnAGbAT iSnAGbuSAiS

可简写为 GnuniSn

2.6.2 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式对一个支路数为 b 、割集数为 c 的连通图，定义一个基本割集矩阵 Q=[qik]cb ，其中行号对应割集，列号对应支路， Q 的第 (i ， k) 个元素 qik 定义为

1 ,

1 ,

0ik

k i

q k i

k i

当支路与基本割集有关联且它们的参考方向一致

当支路与基本割集有关联且它们的参考方向相反

当支路与基本割集无关联


有向图及其基本割集 1

234

5

6

选支路 4 、 5 和 6 构成一个树，可知上图的基本割集为 cl 、 c2 和 c3 ，即 {2,3,4} 、 {1,2,3,5} 和 {1,2,6} ，如下图

12

34

5

6

1c

3c

2c

基本割集矩阵为 0 1 1 1 0 0

1 1 1 0 1 0

1 1 0 0 0 1

Q

按上述选取基本割集的情况下， Q 具有下列形式： Q = [ Ql ┇ 1t ] nl 个基本回路

l 条连支 n1 条树支

“十一五”规划教材—电路基础对基本割集列写 KCL 方程，并写成矩阵形式有

推广到一般情况，假设 ib 表示支路电流向量，基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式为 Qib = 0

如果将支路电流按照连支电流和树支电流进行分块，则上式可以写成

1

2

3

4

5

6

0 1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0

i

i

i

i

i

i

[ | ] lb l t l l t

t

1 0

iQi Q Q i i

i


从而得到树支电流和连支电流之间的关系为

t l li Q i

树支电压是一组独立变量，可以用来表达全部支路电压。对基本回路列写 KVL 方程，能够将连支电压表示成树支电压的代数和。

[ | ] lb l t l l t

t

1 0

iQi Q Q i i

i

1 5 6

2 4 5 6

3 4 5

t t

t t t

t t

u u u

u u u u

u u u

“十一五”规划教材—电路基础用树支电压表示所有支路电压，并写成矩阵形式为

推广到一般情况，假设 ut 表示基本割集电压向量，ub 表示支路电压向量，基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式为

Tb tu Q u

1

24

35

46

5

6

0 1 1

1 1 1

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

t

t

t

u

uu

uu

uu

u

u

“十一五”规划教材—电路基础2.6.2 基本割集分析的矩阵方法

得到基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式和支路方程的矩阵形式之后，就可以建立基本割集方程的矩阵形式，进而求出电路的支路电压和支路电流。

QibQGbub QGbuS QiS0

将支路特性方程代入基尔霍夫电流定律的基本割集矩阵形式，有

再将基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式代入有 QGbQTut QGbuS QiS

令 GqQGbQT iSqQGbuSQiS

割集方程可简写为 GqutiSq

“十一五”规划教材—电路基础运用基本割集矩阵法分析电路的步骤可总结为：

(1) 画出与电路对应的有向图，选树并按先连支后树支的次序对支路进行编号。再作出基本割集，选基本割集方向与该割集中的树支方向相一致。 (2) 写出基本割集矩阵 Q ，支路电导矩阵 Gb ，电压源向量 uS 及电流源向量 iS

(3) 求基本割集导纳矩阵 Gq QGbQT

(4) 求基本割集电流源向量 iSq QGbuS QiS

(5) 求基本割集电压向量 ut Gq1iSq

(6) 求支路电压向量 ub QTut

(7) 求支路电流向量 ib Gbub GbuS iS

“十一五”规划教材—电路基础例 2.6.2 试列写出图 (a) 所示电路的基本割集方程

1c

3c

2c

1G

2G

3G

4G

5G

6G

7G6Su

2Su

5Si

1

2

3

4

5

6 7

(a) (b)

解：可按下列步骤进行 (1) 画出图 (a) 所示电路的有向图。选树 Tt 为 {5,6,7} 并按先接支后树支的次序进行支路编号。再找出基本割集 cl 、 c2 及 c3 并使基本割集的方向与该基本割集中的树支方向相一致，如图 (b) 所示。


(2) 写出基本割集矩阵 Q 、支路电导矩阵 Gb 、电流源向量 iS 及电压源向量 uS

0 0 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0 1 0

0 1 1 1 0 0 1

Q

1 2 3 4 5 6 7diag[ , , , , , , ]G G G G G G GbG

uS [0 uS2 0 0 0 uS6 0]T

iS [0 0 0 0 –iS5 0 0]T

(3) 求基本割集导纳矩阵 Gq


(4) 求基本割集电流源向量 iSq

3 4 5 3 3 4

3 1 2 3 6 2 3

3 4 2 3 2 3 4 7

G G G G G G

G G G G G G G

G G G G G G G G

Tq bG QG Q

Sq b S Si QG u Qi

最后得到以基本割集电压向量 ut 为变量的基本割集方程为

5 5

2 2 6 6 2 2 6 6

2 2 2 2

0

0

0

S S

S S S S

S S

i i

G u G u G u G u

G u G u


3 4 5 3 3 4 5 5

3 1 2 3 6 2 3 6 2 2 6 6

3 4 2 3 2 3 4 7 7 2 2

t S

t S S

t S

G G G G G G u i

G G G G G G G u G u G u

G G G G G G G G u G u

2.7 电路的对偶性

两个互为对偶的电路 1R 2R

4R

5R 5Su

2mi1mi

3mi 1G 2G5Si

4G

5G

6Si

3R

3G

6ˆSu

6R 6G① ② ③

(a) (b)

“十一五”规划教材—电路基础通过直接观察，可得图 (a) 所示电路的网孔方程为

1 3 6 6 3 1 6 6

6 2 4 6 4 2 6 6

3 4 3 4 5 3 5

m S

m S

m S

R R R R R i R i

R R R R R i R i

R R R R R i u

图 (b) 所示电路的节点方程

1 3 6 6 3 6 61

6 2 4 6 4 2 6 6

3 53 4 3 4 5

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

Sn

n S

n S

G G G G G G uu

G G G G G u G u

u iG G G G G

如果两个电路的元件值具有下列关系 ˆ 1, 2, ,6i iG R i

，

，

，

，

，

5 5S Si u 6 6ˆS Si u

，

“十一五”规划教材—电路基础则上两个方程的解的值相同，即

ˆ 1, 2,3ni miu i i

如果电路 N相同，各项系数以及激励的数值相同，那么电路方程的解的数值也分别相等，称这样的两个电路互为对偶电路。

的节点方程与电路 N 的网孔方程不仅形式

对偶性是电路中普遍存在的一种规律。如果电路中某一关系（定理、方程等）的表述是成立的，则将表述中的概念（变量、参数、元件、结构等）用其对偶因素转换后所得的对偶表述也一定是成立的。这就是对偶原理。


N

A

设电路 N 的网孔矩阵为 M ，电路的关联矩阵为，如果 ˆM = A，则这两个电路的有向图称为对

偶图。

对于一个连通的、平面的拓扑图 G ，可以按如下步骤作出其对偶图 G

（ 1 ）对图 G 的每一网孔，画出图G的节点。

（ 2 ）对图 G 的每一条支路，画出图G的支路。

（ 3 ）根据给定有向图 G ，确定对偶图G中支路的方向。


例 2.7.1 试作出图 (a) 所示有向图 G 的对偶图G

① ② ③

④

1m

4m

3m

2m

1

765

4

3

2

1

75

3

32

1 4

1

2 2

3

445 7

6

6

5

1

2 3

4

5

1 375

6

2 4

(a) (b) (c)

1 2 3 4 5

G

G

解：按照作对偶图的规则，在图 G 的网孔 ml 、 m2 、m3 和 m4 中分别画出节点、、和，节点网孔的外面，并作为图用虚线画出连接节点及些支路与图 G 中各支路是一一对应的。这样，就得出

，如图 (c) 所示。

则画在外的参考节点，见图 (b) 。图中

1 2 3 4、、、 5 的各条支路，这

了对偶图

“十一五”规划教材—电路基础在作出对偶图之后，就可以在对偶图的基础上作出

对偶电路。这只要在对偶图的每一支路 k

支路 k 相对偶的元件即可。上画上与

例 2.7.2 试求图 (a) 所示电路 N 的对偶电路 N

1R 2R

1G

2G

1Si3R

3G3ˆSu

1Su 2Su 3Si

2Si

(a) (b)

解：根据上面所说的方法可得如图 (b) 所示对偶电路。图中， ˆ 1, 2,3

ˆ 1, 2,3

i i

Si Si

G R i

i u i


2.8 端口特性分析在有些情况下，仅需求解电路某一支路或某些支路电压、电流，这时一种解决办法就是把复杂的“大”电路拆分成“小”电路，对这些“小”电路逐一求解从而得出所需结果。

1i

3N1u1N 2u

2i

2NN

2.8.1 一端口电路的端口特性一端口电路的端口特性是由电路本身的拓扑结构和元件参数决定的，与外电路无关。


一端口电路的端口特性可以在一端口电路的端口接任意电路的情况下来求取。为此，要列出整个电路的方程，然后消去端口电压、电流变量以外的所有变量即可。例 2.8.1 试求图示一端口电路的端口特性。

1l 1uu2

i

1u

22

22 2u

①

i

(a) (b)

解：图 (a) 所示电路由电阻串、并联构成，其等效电阻为 3Ω 。如果外加电流源 i ，如图中虚线部分所示，得到电路的端口特性为 3u i 或 1

3i u


图 (b) 所示的电路含电阻和受控电源。外加电压源u ，如图中虚线部分所示。对节点①列写节点方程得

11

1 1 1

2 2 2 2 2n

uuu

u1 即为节点电压 un1 ，解得 1 4n

uu

对回路 l1 列写 KVL 方程，得 12 nu i u

消去 un1 即可得到电路的端口特性为

8

3u i 或 3

8i u


例 2.8.2 试求图示含独立电压源一端口电路的端口特性

u

i 21

1mi 2mi 4V2

解：外施电压源 u ，如图中虚线部分所示。利用网孔分析法来求电流 i ，设网孔电流为 im1 、 im2 ，于是有网孔方程

1

2

1 2 2

2 2 2 4m

m

i u

i

解得

1

11

2mi u

所以电路的端口特性 11

2i u 或 2 2u i

“十一五”规划教材—电路基础例 2.8.3 试求图示一端口电路的端口特性

34

4

①

u

1A

12V

i

2i

② 1mi

2mi3mi

解：用“外加电流源法”来求一端口的电压电流关系。外加电流源 i ，其端口电压为 u 。用网孔分析法来求电压 u ，设网孔电流为 im1 、 im2 、 im3 ，有网孔方程

1

1 2 3

2 3

1

3 (3 4) 4 2

4 (4 4) 12 2

m

m m m

m m

i

i i i i u

i i i

“十一五”规划教材—电路基础补充网孔电流 im2 所满足的方程 2mi i

由上述方程消去各网孔电流，即得到一端口电路的端口特性为 9 6u i 也可以用“外加电压源法”来求一端口的端口特性。外加电压源 u ，其流过电压源的电流为 i 。利用节点分析法来求电压 i ，设节点电压为 un1 、 un2 ，有节点方程

1 2

1 2

1 11

3 31 1 1 1 12 2

( ) 13 4 4 3 4 4

n n

n n

u u i

iu u

补充节点电压 un1 所满足的方程 1nu u由上述方程消去节点电压，即得到一端口电路的端口特性 9 6u i


2.8.2 一端口电路的等效电路如果一个一端口电路 N 和另一个一端口电路 N’ 的端口特性完全相同，也就是它们在 ui 平面上的伏安特性曲线完全重叠，则这两个一端口电路便是等效的。求一端口电路的等效电路，实质上是求该一端口电路的端口特性。例 2.8.4 求图示一端口电路的最简等效电路。

34

4

①

u

1A

12V

i

2i

② 1mi

2mi3mi

解：已知图示一端口电路的端口特性为

9 6u i


也可以把端口特性改写为

图 (a) 所示电路也具有相同的端口特性，其电路由两个元件组成，是可能具有的最简形式，即为所求电路等效的戴维南电路。图 (b) 所示电流源与电阻并联的电路也具有同样端口特性，也具有最简形式，即为等效的诺顿电路。

63

A2u

6 i

9V u

i

3 1

2 6i u

(a) (b)

“十一五”规划教材—电路基础2.8.3 不含独立电源二端口电路的端口特性

一个四端电路，若其四个端钮能两两成对地构成端口，则此四端电路是一个二端口电路。二端口电路

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

2

二端口电路的端口上共有四个变量，即 u1 、 u2 、 i1

和 i2 。它的端口特性就是由存在于这四个变量之间的约束关系来描述的。每个端口对电路提供一个约束，因此四个变量间的约束关系有两个。这两个约束关系为

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

( , , , ) 0

( , , , ) 0

f u u i i

f u u i i


对于含电阻元件和 / 或受控电源的线性二端口电路，上述两个约束关系可具体化为下列两个线性方程

11 1 12 2 11 1 12 2

21 1 22 2 21 1 22 2

0

0

c u c u d i d i

c u c u d i d i

或1 111 12 11 12

21 22 21 222 2

0u ic c d d

c c d du i

从四个端口变量中任选两个作为独立变量，另两个作为非独立变量。共有 C4

26 种选法。对每一种选法，均能用由两个非独立变量与独立变量之间关系的显式方程来表示，于是能得出六种二端口参数。

“十一五”规划教材—电路基础一、含开路电阻参数的二端口方程

选择端口电流 i1 和 i2 为独立变量的情况，相当于二端口电路受到两个电流源 i1 和 i2 的共同激励。

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

21i 2i

此时 1

1 1 111 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 222 2 2

u i ic c d d r r

c c d d r ru i i

或 u = Ri

式中1

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

r r c c d d

r r c c d d

R


2

111

1 0i

ur

i

端口 2开路时端口 1 的驱动点电阻

1

112

2 0i

ur

i

端口 1开路时的反向转移电阻

2

221

1 0i

ur

i

端口 2开路时的正向转移电阻

1

222

2 0i

ur

i

端口 1开路时端口 2 的驱动点电阻

矩阵 R 称为二端口电路的开路电阻矩阵，它的元素称为 r 参数


r 参数等效电路

1

1' 2 '

2

1u

1i

2u

2i

11r

12 2r i22r

21 1r i

例 2.8.6 试求图示二端口电路的开路电阻参数

1

1' 2 '

2

1u

1i

2u

2i1R

2R

3R

解：先将端口 2开路，端口 1 不变。按电路的连接方式可列出


1 1 2 1

2 2 1

( )u R R i

u R i

根据 r 参数定义式可求出 11 1 2 12 2, r R R r R

再将端口 1开路，端口 2 不变。按电路的连接方式可列出

1 2 2

2 2 3 2( )

u R i

u R R i

21 2 22 2 3, r R r R R 根据 r 参数定义式可求出

“十一五”规划教材—电路基础二、含短路电导参数的二端口方程

选取端口电压 u1 和 u2 为独立变量的情况相当于二端口电路受到两个电压源 u1 和 u2 的共同激励。

此时 1

1 1 111 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 222 2 2

i u ud d c c g g

d d c c g gi u u

或 i = Gu

式中1

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

g g d d c c

g g d d c c

G

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

2


2

111

1 0u

ig

u

端口 2短路时端口 1 的驱动点电导

1

112

2 0u

ig

u

端口 1短路时的反向转移电导

2

221

1 0u

ig

u

端口 2短路时的正向转移电导

1

222

2 0u

ig

u

端口 1短路时端口 2 的驱动点电导

矩阵 G 称为二端口电路的短路电导矩阵，它的元素称为 g 参数


g 参数等效电路

11g

12 2g u

22g

21 1g u

1

1' 2 '

2

1u

1i

2u

2i

三、含混合参数的二端口方程

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

21i

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

22i

若选取一端口电流和另一端口电压为独立变量，相当于二端口电路的一端口受到电流源的激励，另一端口受到电压源的激励。

“十一五”规划教材—电路基础先讨论端口 1 受电流源激励、端口 2 受电压源激励

的二端口电路

特性方程

写成矩阵形式

可解得

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

21i

11 1 12 2 11 1 12 2

21 1 22 2 21 1 22 2

0

0

c u d i d i c u

c u d i d i c u

1 111 12 11 12

21 22 21 222 2

0u ic d d c

c d d ci u

1

1 111 12 11 12

21 22 21 222 2

u ic d d c

c d d ci u


令1

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

h h c d d c

h h c d d c

H

则 1 1 111 12

21 222 2 2

u i ih h

h hi u u

H

或 1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

u h i h u

i h i h u

2

111

1 0u

uh

i

1

112

2 0i

uh

u

2

221

1 0u

ih

i

1

222

2 0i

ih

u

其中

“十一五”规划教材—电路基础h 参数等效电路

对于端口 1 受电压源激励、端口 2 受电流源激励的二端口电路

1u

1i 2i

二端口电路2u

1

1' 2 '

22i

11h12 2h u

22h

21 1h i

1

1' 2 '

2

1u

1i

2u

2i

11 1 12 2 11 1 12 2

21 1 22 2 21 1 22 2

0

0

c u d i d i c u

c u d i d i c u

特性方程

“十一五”规划教材—电路基础写成矩阵形式

可解得

1 111 12 11 12

21 22 21 222 2

0i ud c c d

d c c du i

令

则

或

1

1 111 12 11 12

21 22 21 222 2

i ud c c d

d c c du i

1

11 12 11 12 11 12

21 22 21 2221 22

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

h h d c c d

d c c dh h

H

1 11 11 12

2 2 221 22

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

u ui h h

u i ih h

H

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

i h u h i

u h u h i


2

111

1 0

ˆ

i

ih

u

1

112

2 0

ˆ

u

ih

i

2

221

1 0

ˆ

i

uh

u

1

222

2 0

ˆ

u

uh

i

其中

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ

i h u h i

u h u h i

四、含传输参数的二端口方程

选 u2 和 i2 为独立变量时 1

1 211 11 12 12

21 21 22 221 2

u uc d c d

c d c di i


令1

11 12 11 11 12 12

21 22 21 21 22 22

a a c d c d

a a c d c d

A

则 1 2 211 12

21 221 2 2

u u ua a

a ai i i

A

或 1 11 2 12 2

1 21 2 22 2

( )

( )

u a u a i

i a u a i

2

111

2 210

1ˆ

i

ua

u h

2

112

2 210

1

u

ua

i g

2

121

2 210

1

i

ia

u r

2

122

2 210

1

u

ia

i h

其中


当选取 u1 和 i1 为独立变量时 1

2 112 12 11 11

22 22 21 212 1

u uc d c d

c d c di i

令

则

或

1

11 12 12 12 11 11

21 22 22 22 21 21

ˆ ˆˆˆ ˆ

a a c d c d

a a c d c d

A

2 1 111 12

21 222 1 1

ˆ ˆˆˆ ˆ

u u ua a

a ai i i

A

2 11 1 12 1

2 21 1 22 1

ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ ( )

u a u a i

i a u a i


1

211

1 120

1ˆ

i

ua

u h

1

212

1 120

1ˆ

u

ua

i g

1

221

1 120

1ˆ

i

ia

u r

1

222

1 120

1ˆ

ˆu

ia

i h

其中

2.8.4二端口电路各参数间的关系

2 11 1 12 1

2 21 1 22 1

ˆ ˆ ( )

ˆ ˆ ( )

u a u a i

i a u a i

同一个二端口电路的六种参数之间是可以相互换算

“十一五”规划教材—电路基础例 2.8.7 试求图示二端口电路的六种参数矩阵

1u 2u

1i 2i

1R 2R

解：根据题图可写出 1 1 1 2 2 2 1 2u i R i R u i i ，

表示成矩阵形式1 21 2

1 2

1

0 1

u uR R

i i

可知 1 21

0 1

R R

A


再根据参数互换表可分别求出

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

1 1

1

1 1 1 0

0 1 1ˆˆ1 0 1

R R R R R R

R R R R

R R

R R

，

，

G H

H A

又 a21=0 ， R 矩阵不存在

可见并非任何一个二端口电路都具有六种矩阵

“十一五”规划教材—电路基础一个二端口电路是否具有六种矩阵，可根据下列六

个 22 矩阵是否奇异来断定，即

(1) 当 11 12

21 22

det 0c c

c c

时，二端口电路无 R 矩阵

(2) 当 11 12

21 22

det 0d d

d d

时，二端口电路无 G 矩阵

(3) 当 11 12

21 22

det 0c d

c d

时，二端口电路无 H 矩阵

(4) 当 11 12

21 22

det 0d c

d c

时，二端口电路无矩阵 H


(5) 当 11 11

21 21

det 0c d

c d

时，二端口电路无 A 矩阵

(6) 当 12 12

22 22

det 0c d

c d

时，二端口电路无矩阵 A

例 2.8.8 已知压控电流源是一个二端口电路，试问该二端口电路是否具有全部六种矩阵

1u 2u

1i 2i

1mg u

解：根据题图有

1 0i

1 2 0mg u i

“十一五”规划教材—电路基础由上面二式可求得

11 12

21 22

0 0

0m

c c

gc c

11 12

21 22

1 0

0 1

d d

d d

11 12

21 22

0 0

1m

c d

gc d

11 12

21 22

1 0

0 0

d c

d c

11 11

21 21

0 1

0m

c d

gc d

12 12

22 22

0 0

0 1

c d

c d

上述六个矩阵中只有下列两个矩阵行列式 11 12

21 22

det 0,d d

d d

11 11

21 21

det 0c d

c d

可知此受控电源只有 Y 矩阵和 A 矩阵，无其他矩阵


2.8.5 二端口电路的互连二端口电路间的连接方式有：串联、并联、串并联、并串联和级联等

一、串联连接

两个二端口电路的串联连接

1i 2i

1 ''u

1 'u 2 'u

1 'i

2 ''i

2 'i

1u 2u

1N

2N

1 ''i

2 ''u

若假设二端口电路 N1 、N2 的开路电阻矩阵分别为 R1 、 R2 ， N1 、 N2

连接后仍满足端口定义

“十一五”规划教材—电路基础由 N1 、 N2 的端口特性

1 11

2 2

' '

' '

u i

u i

R

根据题图的串联连接，有

1 12

2 2

'' ''

'' ''

u i

u i

R

1 1 1

2 2 2

' ''

' ''

i i i

i i i

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

' '' ' ''

' '' ' ''

u u u u u

u u u u u

可得 1 1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2 2

' ''( )

' ''

u i i i i

u u u i i

= R R R R R

其中 1 2 R R R

“十一五”规划教材—电路基础两个二端口电路相互连接在一起后，若各自的端口

电流约束条件不被破坏，则由两个子二端口电路串联而成的总二端口电路，其开路电阻矩阵 R 等于两个子二端口电路的开路电阻矩阵 R1 、 R2 之和。

两个二端口电路之间的连接是否会破坏各自的端口电流约束条件，可通过有效性测试来判定。对串联连接来说，测试电路如下

I I1N1N

2N2N

1V 2V

V1i

V1u V2u


若在这两次测量中电压表的读数均为零，即 uV10

和 uV20 ，则可断定串联连接没有破坏两个子二端口电路各自的端口电流约束条件。

I I1N1N

2N2N

1V 2V

V1i

V1u V2u

二、并联连接

1 ''u

1 'u 2 'u

1 'i

2 ''i

2 'i

1N

2N

1 ''i

2 ''u

2u

2i

1u

1i

两个二端口电路的并联连接

“十一五”规划教材—电路基础若假设二端口电路 N1 、 N2短路电导矩阵分别为 G1 、

G2 ， N1 、 N2 连接后仍满足端口定义，由 N1 、 N2

的端口特性1 11

2 2

' '

' '

i u

i u

G

根据题图的并联连接，有

1 12

2 2

'' ''

'' ''

i u

i u

G

1 1 1

2 2 2

' ''

' ''

u u u

u u u

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

' '' ' ''

' '' ' ''

i i i i i

i i i i i

可得 1 1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2 2

' ''( )

' ''

i u u u u

i u u u u

G G G G G

其中 1 2 G G G

“十一五”规划教材—电路基础两个二端口电路相互连接在一起后，若各自的端口

电流约束条件不被破坏，则由两个子二端口电路并联而成的总二端口电路，其短路电导矩阵 G 等于两个子二端口电路的短路电导矩阵 G1 、 G2 之和。

两个二端口电路之间的连接是否会破坏各自的端口电流约束条件，可通过有效性测试来判定。对并联连接来说，测试电路如下

1V 2VU

1N

2N

U

2N

1N


若在这两次测量中电压表的读数均为零，即 V10

和 V20 ，则可断定并联连接没有破坏两个子二端口电路各自的端口电流约束条件。三、串并联和并串联连接

两个二端口电路的串–并联连接

1V 2VU

1N

2N

U

2N

1N

1i

1 ''u

1 'u

1 'i

1u

1N

2N

1 ''i

2 'u

2 ''i

2 'i

2 ''u

2u

2i

“十一五”规划教材—电路基础假设二端口电路 N1 、 N2 第一种混合参数矩阵分别

为 H1 、 H2 ， N1 、 N2 连接后仍满足端口定义，则

1 1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2 2

' ''( )

' ''

u i i i i

i i i u u

H H H H H

其中 1 2 H H H

两个二端口电路的并串联连接 2i

2 'u

2 ''i

2 'i

2u

1N

2N2 ''u1 ''u

1 'u

1 'i

1 ''i1u

1i


其中

两个二端口电路的级联连接

假设二端口电路 N1 、 N2 第二种混合参数矩阵分别为和， N1 、 N2 连接后仍满足端口定义，则

1H 2H

1 1 1 1 11 2 1 2

2 2 2 2 2

' ''ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )' '

i u u u u

u u u i i

H H H H H

1 2ˆ ˆ ˆ H H H

四、级联连接

1 'u 2 'u

1 'i 2 'i

1N1 ''u

2 ''i

2N

1 ''i

2 ''u1u

1i

2u

2i

“十一五”规划教材—电路基础根据级联电路所示电压、电流参考方向可得

1 2 1 2 21 1 1 2

1 2 1 2 2

' ''

' ''

u u u u u

i i i i i

A A A A A

其中 1 2A A A级联不会破坏端口条件，所以不需要做有效性测试。例 2.8.9 已知 R11 ， R23 ， R32 。试求图(a) 所示 T 形二端口电路的 R 矩阵和 A 矩阵

1R 2R

3R

1N1N

2N

2N 3N1R 2R

3R1R 2R

3R

(a) (b) (c)


解： T 形电路可以看成是两个简单二端口电路的串联（见图 (b) ），也可以看成是三个简单二端口电路的级联（见图 (c) ）。不难断定这两种接法都是有效的。把它看成是二端口电路的串联是为了便于求R 矩阵，把它看成是二端口电路的级联是为了便于求 A 矩阵

对图 (b) ，不难求得 1

12

0 1 0

0 0 3

R

R

R

3 32

3 3

2 2

2 2

R R

R R

R

此 T 形电路的 R 矩阵 1 3 3

1 23 2 3

3 2

2 5

R R R

R R R

R R R


对图 (c) ，不难求得 11

1 1 1

0 1 0 1

R

A

2

3

1 0 1 01 11 1

2R

A

此 T 形电路的 A 矩阵

1 2 3

1 11 5

2 21 1

22 2

A A A A

23

1 1 3

0 1 0 1

R

A

“十一五”规划教材—电路基础如果利用端口检查方法得出两个二端口电路的连接失

效，则必须采取措施变失效连接为有效连接。一般可采用光电隔离、变压器隔离等方法来实现有效连接。

1:1

1N

2N

1

1'

2

2'

1:1

1N

2N

1

1'

2

2'

1N

2N

1

1'

1N

2N

1

1'

1:1

2

2'

1:1

2

2'


2.8.6 具有端接的二端口电路

为了便于讨论，限定所接的一端口端电路是线性非时变的，而且接在输入端口上的一端口电路设定为戴维南（或诺顿）电路，输出端口所接的一端口电路设定为一个电阻

一端口

电路

二端口

电路一端口

电路2u1u

iR

LR

SR

Su

oR

1u

1i 2i

二端口电路2u

“十一五”规划教材—电路基础采用 r 参数，二端口电路的电压电流关系可表示为

1 11 1 12 2u r i r i

2 21 1 22 2u r i r i

外接一端口电路的电压电流关系 1 1S Su u R i

2 L 2u R i

联立上述四个方程，可求解得到端口电压 u1 、 u2

和电流 i1 、 i2 。此外

驱动点（输入）电阻 12 21 11 L11

22 L 22 L

ri

r r r RR r

r R r R

开路电压 21

11OC S

S

ru u

r R

“十一五”规划教材—电路基础输出电阻 2212 21

2211 11

S ro

S S

r Rr rR r

r R r R

二端口电路端口电压比 2 21 L

1 11 Lu

r

u r RA

u r R

电路转移电压比（电压增益） 2 2 1

1

iu u

S S S i

Ru u uH A

u u u R R

二端口电路端口电流比 2 21

1 22 Li

i rA

i r R

电路转移电流比（电流增益） 2 2 1

1

//S i ii i i

S S i S i

R R Gi i iH A A

i i i R G G


2.8.7 含独立电源二端口电路的端口特性当二端口电路中含有独立电源时，其端口特性可用以下六种方程形式加以表达

1 2

1 1 1

2 2 2 0, 0i i

u i u

u i u

R

1 2

1 1 1

2 2 2 0, 0u u

i u i

i u i

G

1 2

1 1 1

2 2 2 0, 0i u

u i u

i u i

H

1 2

1 1 1

2 2 2 0, 0

ˆ

u i

i u i

u i u

H

11 2

1 2 1

uu u

i i i

A

22 1

2 1 2

ˆ uu u

i i i

A

诸式中的参数矩阵都是不含独立电源，即内部独立电源全部置零情况下二端口电路的参数矩阵。

“十一五”规划教材—电路基础上述各方程右端的一列常数项，是内部独立电源在

端口上的贡献。常数项可按下图所示电路求解出

含独立电源的双口网络


1 21 0, 0u ui

1 22 0, 0u u

i

1 22 0, 0i i

u 1 2

1 0, 0i iu


含独立电源的双口网络1 2

2 0, 0i ui

1 2

1 0, 0i uu

1 22 0, 0u i

u 1 2

1 0, 0u ii

1 2

1 21 2

1 0, 0 1

22 0, 00, 0

i i

i ii i

u u

uu

1 2

1 21 2

1 0, 0 1

22 0, 00, 0

u u

u uu u

i i

ii

1 2

1 21 2

1 0, 0 1

22 0, 00, 0

i u

i ui u

u u

ii

1 2

1 21 2

1 0, 0 1

22 0, 00, 0

u i

u iu i

i i

uu


11 2

1 2 1

uu u

i i i

A

22 1

2 1 2

ˆ uu u

i i i

A

1 1[ , ]Tu i 2 2[ , ]Tu i

独立电源在端口上的贡献，但对同一个二端口电路来说，不可能出现一个端口同时既开路又短路的状态，所以它们只能通过上面四种（开路、短路）状态的任意一种电压和电流表达出来。

和上两个方程中的，尽管也是内部

1 2

1 2 1 2

12 2 0, 01

1 1 22 20, 0 0, 0

u u

u u u u

a iu

i i a i

1 2

1 21 2

12 1 0, 02

2 2 22 10, 0 0, 02

ˆ

ˆ

u u

u u u u

a iu

i i a i

如

“十一五”规划教材—电路基础例 2.8.11 试用 r 参数表示图 (a) 电路的端口特性

1u 2u1i 2i

3mi1R 3R

Su

1 21 0, 0i i

u 1 2

2 0, 0i iu

2R

1R 3R

2R

(a) (b)

解：将图 (a) 所示二端口电路的内部电压源置零，得图 (b) ，对中间网孔列写网孔方程得

1 1 3 2 1 2 3 3( ) 0mR i R i R R R i

求得网孔电流 1 1 3 23

1 2 3m

R i R ii

R R R

“十一五”规划教材—电路基础由 KVL 得

将网孔电流 im3 代入上式

1 2 1 3 1 31 1 2

1 2 3 1 2 3

1 3 1 3 2 32 1 2

1 2 3 1 2 3

R R R R R Ru i i

R R R R R R

R R R R R Ru i i

R R R R R R

于是有 R 矩阵 1 2 1 3 1 3

1 2 3 1 2 3

1 3 1 3 2 3

1 2 3 1 2 3

R R R R R R

R R R R R R

R R R R R R

R R R R R R

R

1 1 1 3

2 3 2 3

( )

( )m

m

u R i i

u R i i

“十一五”规划教材—电路基础为了求出所需要的方程，还应求出

含源双口两个端口都开路时，可求出

1 2

1 2

1

1 0, 0 1 2 3

32 0, 0

1 2 3

Si i

i iS

Ruu R R R

Ruu

R R R

最后得出用 r 参数表示的端口特性

1 2 1 3 1 3 1

1 2 31 2 3 1 2 31 1

32 1 3 1 3 2 3 2

1 2 31 2 3 1 2 3

S

S

R R R R R R Ru

R R RR R R R R Ru i

Ru R R R R R R iu

R R RR R R R R R

1 2 1 2

T1 20, 0 0, 0

[ , ]i i i i

u u

2.5 回路分析的矩阵方法

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