§2 λ －矩阵在初等变换下的标准形　　　

§2 λ§2 λ －矩阵在－矩阵在初等变换下的初等变换下的标准形　　　标准形　　　

§3 §3 不变因子不变因子

§1 λ§1 λ －矩阵－矩阵 §4 §4 矩阵相似的条件矩阵相似的条件

§6 §6 若当若当 (Jordan)(Jordan) 标准形标准形的理论推导的理论推导

§5 §5 初等因子初等因子

第八章第八章 λ─λ─ 矩阵矩阵

§§8.68.6 若当标准形的理论推导若当标准形的理论推导

一、一、若当块的初等因子若当块的初等因子

二、若当形矩阵的初等因子二、若当形矩阵的初等因子

§8.6 §8.6 若当标准形的理论推导若当标准形的理论推导

三、若当标准形存在定理三、若当标准形存在定理


若当块

0

0

0

0

0

0 0 01 0 0

0 0 00 0 1

n n

J

的初等因子是 0 .n

一、若当块的一、若当块的初等因子初等因子


证：

0

0

0

0

0

0 0 01 0 0

0 0 00 0 1

n n

E J

0 0 .n

E J

此即的级行列式因子 . 0E J n

又有一个级子式是 0E J 1n


0

1

0

1 0 00 1 0 0

10 0 10 0 1

n

所以　的　　级行列式因子为 1. 0E J 1n

从而，的级行列式因子皆为 1.0E J 2, ,2,1n


0J 的不变因子是 :

1 1 01, .n

n nd d d

故　的初等因子是 : 0J 0 .n


若当形矩阵 1

2 ,

s

JJJ

J

其中

0 0 01 0 0

0 0 00 0 1

i i

i

i

i

i

i k k

J

则 J 的全部初等因子是： 1 2

1 2( ) , ( ) , , ( ) .skk ks

二、若当形矩阵的二、若当形矩阵的初等因子初等因子


证：　的初等因子是 ( ) , 1,2, ,iki i s iJ

iE J 与矩阵　　　等价 .

1

1

1ik

i

于是 1

2

s

E JE JE J

E J


与矩阵

D

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1s

k

k

k

s

等价 .


由定理 9 ，的全部初等因子是： J

1 21 2( ) , ( ) , , ( ) .skk k

s


子唯一确定 .

完全被它的级数与主对角线上的元素　所刻划，而0

这两个数都反应在它的初等因子上 .0( )n

可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它

的全部若当块的初等因子构成的 . 由于每个若当块

因此，若当块被它的初等因子唯一决定 . 从而 ,

若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的初等因


（定理（定理 1010 ））每一个复矩阵 A 都与一个若当形矩阵

相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外是

被矩阵 A 唯一决定的，它称为 A 的若当标准形 .

三、若当标准形存在定理三、若当标准形存在定理1 、


证：若 n 级复矩阵 A 的全部初等因子为 : （ *）

1 21 2( ) , ( ) , , ( ) .skk k

s

（其中　　可能有相同的，指数 1 2, , , s 1 2, , , sk k k

也可能相同的） .

每一个初等因子　　对应于一个若当块 ( ) iki

0 0 01 0 0

, 1,2, ,0 0 00 0 1

i

i

i

i

i

J i s


令 1

2

s

JJJ

J

则 J 的初等因子也是（ * ），

故 J 与 A 相似 .

即 J 与 A 有相同的初等因子 .


变换，在 V 中必定存在一组基，使　在这组基下

的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去

2 、定理 10 换成线性变换的语言即为

（定理（定理 1111 ））设　是复数域上 n 维线性空间 V 的线性

若当块的排序外是被　唯一确定的 .


的初等因子全是一次的 .A

3 、特殊情形

（定理（定理 1212 ））复矩阵 A 与对角矩阵相似

的不变因子没有重根 .A

（定理（定理 1313 ））复矩阵 A 与对角矩阵相似


4 、 n 阶复矩阵 A 的最小多项式就是 A 的最后一个

不变因子　　　 .( )nd

证：设 A 的若当标准形是　　1

2 ,

s

JJJ

J

1

.s

ii

n n

其中

0 0 01 0 0

,0 0 00 0 1

i i

i

i

i

i

i n n

J


　的最小多项式是iJ , 1,2, , .in

i i s

由不变因子与初等因子的关系知，1 2

1 2( ) ( ) , ( ) , , ( ) .skk kn sd

由第七章第九节中引理 3 之推广知，

( )nd 为 J 的最小多项式 .

又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，

所以， A 的最小多项式是它的最后一个不变因子　　　( ).nd


例 1 求矩阵 A 的若当标准形 .

解：

1 1 23 3 62 2 4

A

1 1 23 3 62 2 4

E A

21 1 22 0 2

2 0

21 2 10 2 20 2


21 0 00 0 20 2

1 0 00 00 0 2

A 的初等因子为 , , 2 .

故 A 的若当标准形为 0 0 00 0 0 .0 0 2

21 0 00 2 20 2

21 0 00 0 20 0


求 A 的若当标准形 .

例 2 已知 12 级矩阵 A 的不变因子为

22 2 2 2

9

1,1, ,1,( 1) ,( 1) 1 , 1 1 ( 1) 个

解：依题意， A 的初等因子为

2 2 21 , 1 , 1 , 1 ,

2 21 , ,i i


A 的若当标准形为 1 01 1

1 01 1

1 01 1

11

1

1

ii

ii


练习练习求矩阵 A 的若当标准形1 1 13 3 32 2 2

A

答案： 2

1 0 00 00 0

E A

A 的初等因子为 2,

A 的若当标准形为 0 0 00 0 0 .0 1 0

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