افالطون باالی سردر آکادمی خود این جمله را حک کرده بود:

هرکس هندسه نمیداند وارد نشود

افالطون و...سرآغاز

1

مقدمه: چرا هندسه بخوانیم؟•

هندسه : افزایش قدرت تفکر

توصیه هایی در باره حل مسائل و تکالیف •هندسه:

.خودمان آنهارا حل کنیم و لذت این تجربه را از دست ندهیم.یک مسئله هندسه همیشه الینحل نیست.نگذاریم مسائل برای شب آخر جمع شود.در رسم اشکال دقت کنیم تا شکل ها دقیق و واقعی باشندهمه مسائل ، حتی مسائل ساده اهمیت دارند از مسائل D سعی کنید از حل مسائل هندسه لذت ببرید. خصوصا

دشوار....فهمیدن آری، حفظ کردن

2

توصیه ها و..مقدمه

چگونگی ارزشیابی

فعالیت

فعالیت کالسی

حسن انجام تکالیف

(10)

آزمونکها

(5)

آزمون

ماهان(2ه )

مسابقه هندس

(2ه )

آزمونهای

جامع و ...

پژوهش

سؤاالت

جیبی و

سایر...

امتیاز 10 40 50 40 30 20 10 +

الزم اسNت تNا در طNول نیمسNال اول بNرای نمNره مسNتمر • امتیاز به NصورتN زیNر بدستN آوریNد: 200خوNد،

3

ارزشیابیمقدمه

راه های کشف اطالعاتمشاهده•

* بررسی احتمال خطا در مشاهده:میلیمتری0/075روزنامه های مثال:

یک ورق روی یک ورق موجود بر زمین: بار اول

دو ورق رو ی دو ورق موجودبار دوم:

چهار برگ روی چهار برگ موجودبار سوم:

سانتی متر7/5ضخامت برگه ها به ارتفاع: بیش از بار دهم:

حدس بزنید! ؟ بار پنجاهم: متر7/5کمتر از - متر75حدود - متر750حدود - متر750بیش از - 84 معادل 1،125،899،906،842،624پاسخ: تعداد برگه ها: -

و معادل بیش از نصف فاصله زمین تا خورشیدمیلیون کیلومتر 4پخش تصاویر مشاهده و برداشت های گوناگون با خطای دید و ...•

مشاهدهکشف اطالعات

استدالل استقرایی:•بررسی حالت های مختلف در یک موضوع و نتیجه گیری

کلی بر اساس آن

استدالل استنتاجی:•نتیجه گیری و حکم کردن از کنار هم قرار دادن حقایقی که

درستی آنها را قبول داریم.

راه های کشف اطالعات

5

استداللکشف اطالعات

آشنایی با برخی اصطالحات

تعریف قضیه

)مسائل: )یافتنی یا ثابت کردنی

اصل یا اصل موضوع

مفاهیم تعریف نشده

زاویه•تعریف:•اجتماع دو نیم خط که مبدا آنها با یکدیگر مشترک است.

به مبدأ مشترک : رأس زاویه، دو نیم خط: اضالع زاویه می گویند.

انواع زاویه: حاده- قائمه- منفرجه• 90( منفرجه: بیش از3 90 ( قائمه= 2 90( حاده: کمتر از 1

:مکمل * درجه باشد.180دو زاویه که مجموع آنها

* متمم: درجه باشد.90دو زاویه که مجموع آنها

* مجاور: دو زاویه ای که یک ضلع و یک رأس مشترک داشته باشند.

* مجانب: دو زاویه ی مکمل که با یکدیگر مجاور باشند.

< A , Â , x Ây: روش های نام گذاری زاویه• 6

انواع زاویهزاویه

برابری زوایا یک رابطه ی هم ارزی است. نکته:•

:تعریف رابطه هم ارزی•رابطه ای که سه ویژگی بازتابی، تقارن، و ترایایی داشته باشد را رابطه هم

ارزی می گویند.

a=aبازتابی: •a=b ← b=aتقارن: • a=bترایایی: •

← a=c b=c

 

7

برابری زوایازاویه

:(77)کنکور درجه است مجموع مکمل های آنها چند درجه است؟ 75مجموع دو زاویه مسئله

درجه72جواب:

درجه285جواب:

:مسئلهA و B .متممند A 4/9 مکمل B است. مقدار A را (75)کنکوربدست آورید.

اگردو زاویه با هم برابر باشند، مکلهای آنها هم با قضیه ی مکمل ها: •

هم برابرند.

اگردو زاویه با هم برابر باشند، متممهای آنها هم با قضیه ی متمم ها: •

هم برابرند.

: دو زاویه ی متقابل به رأس برابرند.قضیه ی زوایای متقابل با رأس •

دو زاویه ای که رأس مشترک داشته باشند و اضالع آنها دو به دو تعریف:

در امتداد هم باشند متقابل به رأس نامیده می شوند.

نیمسازهای دو زاویه مجانب، متممند.قضیه: •

درجه اندازه دارند.45نیمسازهای دو زاویه متمم مجاور، قضیه: •

8

قضایازاویه

در یک خط به باال(3)وضعیت برخورد خطوطصفحه:

اگر چند خط یکدیگر را در نقاط متمایز قطع کنند نا همرسند. غیرهمرس:( 1

خطی است که چند خط دیگر را در نقاط متمایز قطع کند.: مورب خط خطوطی هستند که هم دیگر را در یک نقطه قطع کنند. به این خطوط : همرس( 2

متقارب نیز می گویند.

زاویه به 8در اثر برخورد خط مورب با دو خط هر دو زاویه ای که در یک طرف خط مورب وجود دارند متقابل نامیده صورت زیر بوجود می آیند :

می شوند. اگر یک زاویه در یک طرف خط و زاویه ی دیگر در طرف دیگر آن باشد آن دو زاویه

.متبادل نامیده می شوند بین دو ̂خط ه ̂ک ایی ده می 2L و1Lزوا̂ی نام̂ی ل داخلی ا متقا̂ب ̂ی ادل با̂شند مت̂ب

شوند. در غیر این صورت خارجی نامیده می شوند.

9

قضایازاویه

1

5

8

4

7

6

23

اگر موربی دو خط دیگر را قطع کند آن دو خط اقلیدس: 5اصل •از طرفی به یکدیگر می رسند که مجموع دو زاویه متقابل داخلی

باشد.180کم تر از اگر موربی دو خط موازی : قضیه ی خطوط موازی و مورب•

را قطع کند تمامی زوایای حاده بایکدیگر و تمامی زوایای منفرجه با یکدیگر برابرند.

در خطوط موازی و مورب دو زاویه ی متقابل داخلی : 1قضیه •مکمل اند.

در خطوط موازی و مورب، نیم سازهای زوایای متقابل :2قضیه •داخلی متعامدند) بر یکدیگر عمودند(

در خطوط موازی و مورب، نیم سازهای زوایای متبادل :3قضیه •داخلی متوازی اند.

موازی بودن خطوط با یکدیگر ، یک رابطه ی هم ارزی است. نکته:•

10

قضایازاویه

زاویه در مثلث و سایر چندضلعی ها درجه است.180در هر مثلث مجموع زوایای داخلی قضیه : •

قضایایی هستند که از قضایای اصلی منتج می شوند.: تعریف فرعاگر دو زاویه از مثلثی با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشد، زاویه ی : 1فرع •

سوم از دو مثلث با یکدیگر برابرند.زوایای حاده در هر مثلث قائم الزاویه متمم اند.: 2فرع • برابر است با مجموع دو اندازه ی زوایه ی خارجیدر هر مثلث : 3فرع •

زاویه ی داخلی غیر مجاور و زاویه ی خارجی از هر زاویه ی داخلی غیر مجاور بزرگ تر است.

موربی دو خط را قطع کرده اگر عکس قضیه ی خطوط موازی و مورب:دو زاویه ی متبادل درونی غیرمجاور برابر باشند آن دو خط متوازی اند.

ضلعی محدب مجموع دو زاویه ی مقابل برابر است با مجموع 4در هر قضیه : دو زاویه ی خارجی غیر مجاور.

: اگر اضالع دو زاویه نظیر به نظیر بر یک دیگر عمود باشند آن دو قضیهزاویه با هم برابرند به شرط اینکه رأس یک زاویه درون زاویه ی دیگر نباشد

که آنگاه مکمل هم می شوند.( : مجموع زوایای داخلی در هر قضیه n( :2 ضلعی محدب برابر است با-n )

180

11

قضایازاویه

:مجموع زوایای خارجی در هر مسئله n ضلعی محدب را بدست آورید.

:ضلعی محدب حراکثر چند زاویه 12یک مسئله محدب)داخلی( میتواند داشته باشد؟

:در شکل زیر مقدار مسئلهA+B+C+D+E.را بدست آورید

:مسئلهBO و CO نیمسازند، با توجه به شکل، مقدار x را بدست آورید.

:مسئلهCD و BD نیمسازهای زاویه های ACB و EBA .هستند x را بدست آورید.

AE

D

B C

C

A

O

Bx

80

C

AD

B

x 80

E

12

مسائلزاویه

همنهشتیمفهوم همنهشتی:•

D بر یک دیگر منطبق شوند ،همنهشت دو شکل که این قابلیت را داشته باشند که کامالنامیده می شود.

اگر دو شکل همنهشت باشند تناظر یک بر یک بین اجزای دو شکل برقرار نکته:•است.

:همنهشتی در مثلث ها•

اگر دو ضلع و زاویه ی بین از یک مثلث با دو ضلع و زاویه ی بین از مثلث : حالت اول•تناظر )ض ز ض(دیگر برابر باشد آن دو مثلث با هم همنهشت هستند.

اگر دو زاویه و ضلع بین از یک مثلث با دو زاویه و ضلع بین از مثلث دیگر : حالت دوم• تناظر )ز ض ز(با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم همنهشت هستند.

سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر با هم برابر باشند آن دو اگر:حالت سوم•تناظر )ض ض ض(مثلث با هم همنهشت هستند.

در دو مثلث قائم الزاویه اگر وتر و یک زاویه ی حاده ازیک مثلث فرع از اصل دوم: •با وتر و یک زاویه ی حاده از مثلث دیگر برابر باشند آن دو مثلث هم همنهشت هستند.

13

مفاهیمهمنهشتی

:مثلث متساوی الساقین•تعریف:مثلثی که دو ضلع از اضالع آن با یکدیگر برابر باشند. آن دو ضلع برابر را ساق های مثلث و •

ضلع سوم را قاعده ی مثلث می گویند. محل برخورد ساق ها رأس مثلث است.

در هر مثلث متساوی الساقین : قضیه ی اساسی مثلث متساوی الساقین•زوایای مجاور ساق ها با یکدیگر برابرند.

در هر مثلث متساوی الساقین ارتفاع وارد بر قاعده میانه ی وارد بر :1قضیه •قاعده، نیم ساز زاویه ی رأس و عمود منصف قاعده همگی بر هم منطبق اند.

اگر در یک مثلث دو زاویه با هم برابر باشند آن مثلث متساوی :2قضیه •الساقین است.

درهر مثلث متساوی الساقین ارتفاع های وارد بر ساق ها با یکدیگر :3قضیه •برابرند.

درهر مثلث متساوی الساقین میانه های وارد بر ساقها با یکدیگر :4قضیه •برابرند.

در هر مثلث متساوی الساقین نیم سازهای زوایای مجاور به ساق ها :5قضیه •با هم برابرند.

مجموع فواصل هر نقطه واقع بر قاعده ی یک مثلث متساوی :6قضیه •الساقین از دو ساق برابر است با ارتفاع وارد بر یک ساق.

14

متساوی الساقین

قضایا

ه : 7قضNیه • ̂ب ک^ه خطی متساویالس^اقین، مثلث ه^ر در آن ارجی ̂خ ه زاو̂ی ذرد، می̂گ مثلث رأس از ده، قا̂ع وازات ̂م

رأس را نصف میکند.در ̂هر مثلث ا̂گر نیم̂ساز ̂یک زاو̂یه ̂خارجی ̂با ̂یک : 8قضNیه •

ضلع مثلث موازی باشد، آن مثلث متساوی الساقین است.

نیمسNازهای داخلی زاویNه هNای ABCدر مثلث مسNئله: •A و B دیگر درNا یکNب T ه ازNد. خطی کNورد میکننNبرخ T

و D بNه تNرتیب در BC و AC رسNم شNود بNا ABمNوازی بNا E طNد پارهخNابت کنیNد. ثNورد میکنNبرخ DE وع دوNا مجمNب

برابر است.BE و ADپارهخط قاعNNده مسNNئله: • بNNا مNNوازی مثلث BCخطی از

AC و AB رسNم شدهاسNت و بNا ABCمتساویالسNاقین برخNورد کNرده اسNت. ثNابت کنیNد E و DبNه تNرتیب در میگذرد.A از رأس EDعمودمنصف

15

متساوی الساقین

قضایا و مسائل

اسNت. C حNاده و دو برابNر زاویNه B زاویNه ABCدر مثلث مسNئله: • E تNا نقطNه B را از طNرفAB اNز مثلث را رسNم میکNنNیم و AHارتفNاع

N هNی کNورNطN هNب Nدهیم Nد میNاNدNامتBEN NاNبN NرNبراب BHN رNاگ N.دNاشNب M هNنقط N وردNبرخAC NدادNو امتN HE ایNهخطهNپارN هNد کNیNنNبت کNاNد، ثNاشNب AM و

MC و N MHN.رابرندNهم بN با

AXY از مثلث YX میانNه متنNاظر AFدر شNکل، ثNابت کنیNد مسNئله: •است.( ( AB=AY , AX=ACF

X

Y

E CB

A

16

متساوی الساقین

مسائل

:مسئلهABC متساویاالضالع و MN=BM. AM=CNکنید ثابت

A

CB N

M

D

:در مسئله و AB=ACشکل EB=CD

ثابت کنید EM=MD

:در مسئله و AB=ACشکل EA=AD

X ?=

A

M

E

CB

D

N

DCB

A

E

30

x

17

متساوی الساقین

مسائل

میخNNNواهیم مسNNNئله: •ایسNتگاهی بسNازیم کNه از دو روسNتا NبNه یNک فNاصNله باشNد. چگوNنNه محNل Nآن را

پیدا کنیم.

بررهجابرآباد

هر نقطه واقع بر نیم ساز هر زاویه قضیه: )به از دوضلع آن زاویه به یک فاصله است.

عبارت دیگر نیمساز یک زاویه مکان هندسی ...(

هر نقطه واقع بر عمود منصف یک قضیه: پاره خط از دو سر آن پاره خط به یک

)به عبارت دیگر عمودمنصف یک پاره خط مکان فاصله است. هندسی ...(

خطی است که پاره تعریف عمود منصف: خطی را نصف می کند ودر محل تالقی بر

آن عمود است.

خواص نقاط متعلق به عمود منصف و نیمساز

18

متساوی الساقین

قضایا و مسائل

سه روستای قلیآباد، جابرآباد و شورآباد در یک منطقه و به مسئله: صورت غیرهمخط واقعند. می خواهیم یک سیلو احداث کنیم تا با

این سه روستا به یک فاصله باشد. چگونه این نقطه را بیابیم.

برخی قضایای همرسی در مثلث:•

اضNالع • هNای مثلث عمNود منصNف هNر در آن مثلث همرسند.

آن • زوایNای سNازهای نیم مثلث هNر در مثلث همرسند.

مثلث • آن هNNای ارتفNNاع مثلث هNNر در همرسند.

19

قضایا و مسائلهمرسی

چگونNه در نمازخانNه مدرسNه نقطNه ای پیNدا کNنیم کNه فاصNله مسNئله: N دوN اNت دیNوNار در ورNودیN و NهمNچNنیNن Nو رNاNهنمNاNیNی NمتNر سNواNیNدN NاNت NنNآ

نقطه محراب Nو کنجN نزدیک بNه تخNته سیاه به یک NاندNازه باشد.

مطلوبسNت مکNان هندسNی نقNاطی در فضNا کNه مسNئله: همگی از دو سر یک پارهخط به یک فاصله باشند.

خم مسطح

بطور کلی، خم بر دو گونه است:مسNطح: • دوبعNدی خم سNطح یNک روی بNر کNه اسNت خمی

)صفحهN ،)Nقابل جاNیگیری و ترسیم است. کج: • قNرار خم هیچ صNفحه ای کNه روی اسNت خمی فضNایی

نگیرد.

هNا گفتNوعه ای از نقطه هNه مجمNطح بNهودی، خم مسNور شNبطمی NشNود، بNه شNرطN آنNکNهN بتNوNاNنیمN بNدون بNلنNد کNردNن قNلم از روی

کاغذN آن رNا رNسم کنیNم.خم ساده•بNه خم مسNطحی اطالق می شNود کNه خNودش را • خم سNاده،

قطNع نNکNردهN NباشNدN ،NمNگNر NدNر حNالNتNی کNه نNقNطه هNای NانتهNاNیی بNه همN می Nرسند.

20

تعاریفخم مسطح

خم بسته•

کNه می شNود اطالق خمی بNه بسNته، خم نقطه هNای انتهNایی و ابتNدایی آن بNه هم

رسیده، و بر همدیگر منطبق باشند.

21

تعاریفخم مسطح

خم ساده� بسته•

و ابتNدا نقطه هNای کNه اسNت سNاده خمی انتهایی آن بر هم منطبق باشند.

بNه اجتمNاع بخش درونی یNک خم و ناحیNه: میگوینNد. ناحیNه یNک خم آن )ناحیNNه خNود

محدب/غیرمحدب(

چندضلعی: اجتمNاع از کNه اسNت بسNته سNاده خم یک

حداقل سه پارهخط تشکیل شده است.

درون خم

روی خم

بیرون خم

22

تعاریفخم مسطح

قضیه خم جردن•، صNفحه را بNه سNه زیNر هر خم سNاده� بسNته

و بNیرون درون، هم از جNدا مجموعNه� روی خم تقسیم می کند.

متوازی االضالع

االضNالع: • کNه متNوازی اسNت چهارضNلعی اضالع آن دو به دو با هم موازی باشند.

درهNر متNوازی االضNالع هNر قطNر، قضNیه:•مثلث دو بNNه را االضNNالع متNNوازی آن

همنهشت تقسیم می کند.االضNالع: • متNوازی اساسNی ی در قضNیه

هNر متNوازی االضNالع زوایNای رو بNه رو بNه دیگNر یNک بNه بNه رو اضNالع رو یکNدیگر و

نظیر به نظیر با هم برابرند.االضNالع قطرهNا قضNیه:• متNوازی هNر در

یک دیگر را نصف می کنند.زوایNای قضNیه:• االضNالع متNوازی هNر در

مجاور مکملند.

23

متوازی االضالع

قضایا

راه های کشف یک متوازی االضالع:

ضNلعی ضNلع هNای رو بNه 4اگNر در یNک قضNیه:• ضNلعی متNوازی 4رو بNا هم برابNر باشNند آن

االضالع است. ضNلعی قطرهNا یکNدیگر 4اگNر در یNک قضNیه: •

ضNلعی متNوازی االضNالع 4را نصNف کننNد آن است.

ضNلعی زوایNای رو بNه 4اگNر در یNک قضNیه: •آن باشNند برابNر هم بNا دو بNه دو 4رو،

ضلعی متوازی االضالع است. ضNلعی زوایNای مجNاور 4اگNر در یNک قضNیه: •

ضNلعی متNوازی االضNالع 4مکمNل باشNند آن .است

ضNلعی دو ضNلع رو بNه 4اگNر در یNک قضNیه: •رو مNوازی و مسNاوی باشNند آن چهNار ضNلعی

.متوازی االضالع است

24

متوازی االضالع

قضایا

مستطیلتمNام 4تعریNف مسNتطیل: • کNه ای ضNلعی

زوایای آن قائمه باشند.

در هNر مسNتطیل قطرهNا بNا هم : 1قضNیه •برابرند.

االضNالع : 2قضNیه • متNوازی یNک در اگNر متNوازی آن باشNند برابNر هم بNا قطرهNا

االضالع مستطیل است.

25

متوازی االضالع

مستطیل

لوزیچهارضNلعی ای کNه تمNام اضNالع تعریNف لNوزی: •

آن با هم برابرند.قضNیه : در هNر لNوزی قطرهNا بNر هم عمودند.•اگNر در یNک متNوازی االضNالع قطرهNا بNر قضNیه: •

لNوزی االضNالع متNوNازی باشNند Nآن NودNمNع هم است.

درهر لوزی قطرها نیم سازند.قضیه: •نیم قضNیه: • قطرهNا چهارضNلعی یNک در اگNر

ساز بNاشند آNن چهارضلعی Nیک لوNزی Nاست.

26

متوازی االضالع

لوزی

میان خط مثلثتعریف: •پارهخطی کNه وسNطهای دو ضNلع از مثلNثی را بNه هم •

وصلN میکندN میانخطN مثلث نNامیده مNیشود.پNاره خطی کNه وسNط هNای قضNیه میNان خNط مثلث: •

دوN ضNلNع از مثNلNثی را بNهN هم وصNلN می کنNد بNا ضNلع سوNم موازیN اسNت وN مساNوی نNصف آن اNست.

اگNر وسNط هNای اضNالع یNک چهارضNلعی را بNه :قضNیه•طNور مNتNوالی بNهN همN وصNل NکNنیم یNک متNوازی االضNالع

.پدNید Nمی آیNداگNر خطی یNک ضNلع مثلNثی را نصNف کنNد و بNه قضNیه: •

مNوNازاتN ضNلع NدیگNر از آنN مثلث NباشNد ضNلع سNوم را N.کندN میN نیز نصف

27

مثلثمیان خط

:یهNک قضNبت یNه نسNدیگر را بNر مثلث یکNای هNمیانههبهN دو NقطعN میکننNد و با هNم همرNسند.

سه قضیه مهم دیگر: :یهNک مثلث، یکی از قضNای یNه هNر یکی از میانNاگ

مNثلث آن باشNNNد، مثلث آNن نیمسNNNازهای متساویالساقین است.

راهنمایی: آن میانه را به اندازه خودش امتداد میدهیم...

:یهNNالع قضNNمتوازیاالض یNNک داخلی نیمسNNازهای تشکیل یک مسNتطیل مNیدهنNد.

:یهNکیل قضNتش یNک مسNتطیل داخلی نیمسNازهای یک مربع میدهند.

28

...قضایای مهم

ذوزنقهبNا هم تعریNف: • آن تنهNا دوضNلع کNه چهارضNلعیای

مNوازی بNاشNد. آن Nدو ضNلع مNواNزی رNا قاعNده هNای ذوزنقNهN می NنNامیم و Nآن دو NضNلع غNیر مNوازی سNاق

های NذوزنNقه مNی نامیNم.پNاره خطی کNه وسNط قضNیه میNان خNط ذوزنقNه: •

هNاNی NدNو سNاق یNک ذNوNزنقNه NراN بNه هNمN وصNل مNی کنNد، قاعNده دو میNانNگین مسNاوی Nو قاعNده دو NوازیNم

میNانگین = نصف Nحاصل Nجمع دوN قاعده()اسNت.

را قضNیه: • آن قطرهNای ذوزنقNه هNر خNط میNان نصف می کند.

وسNط هاي دو قاعNده و دو قطNر هNر ذوزنقNه قضNیه: •عند. NالضالNمتوازي اN يك Nهار رأسNچ

29

قضایاذوزنقه

ذوزنقه متساوی الساقین :فNر تعریNا هم برابNاق آن بNه دو سNه ای کNذوزنق

مNی الNسNاقین متNسNاوNی ی رNا NذوزNنقNه باشNنNد نامیم.

:یهNای قضNاقین زوایNاوی السNه متسNر ذوزنقNدر ه.NبرندNبراN ا همNها ب Nور به ساقNمجا

:یهNا قضNاقین بNاوی السNه متسNای ذوزنقNقطرههم برابرند.

:یهNه قضNب مجNاور زوایNای ذوزنقNه یNک در اگNر NاویNمتس NهNنقNوزNذ آNن بNاشNند NرNبNبراN اNه سNاNق

الساقین است. :یهNر قضNا هم برابNا بNه قطرهNک ذوزنقNر در یNاگ

باشند آNن ذوزNنقه متساوی NالساقNین است. )راهنمایی: موازی و مساوی یکی از قطرها خطی رسم میکنیم تا...(

30

قضایاذوزنقه

چند قضیه مهم در مورد مثلث قائم الزاویه:

:یهNه قضNول میانNه طNائم الزاویNر مثلث قNدر هوارد بر وتر نصف وتر است.

:یهNک قضNی بNر وارد میانNه مثلث، یNک در اگNر قNائم مثلث آن باشNد ضNلع آن نصNف ضNلع

الزاویه است. مثلث ی یNک : 90-60-30قضNیه انNدازه اگNر

الزاویNه قNائم درمثلث حNاده درجNه 30زاویNه وتNر نصNف زاویNه این بNه مقابNل ضNلع باشNد

است. :یهNه قضNائم الزاویNلع مثلث قNک ضNول یNر طNاگ

ای نصNف طNول وتNر باشNد انNدازه ی زاویNه رو درجه است.30به رو آن

:یهNک قضNی کNه الزاوایNه قNائم مثلث یNک در ، 15زاویNه وتNر بNر وارد ارتفNاع دارد درجNه

یکچهارم وتر است.

31

مثلث قائم الزاویه

قضایا