第二部分 微分方程与差分方程方法

第三章 微分方程方法

动态模型一般具有两个特点：一、方程与时间相关，即自变量中含有时间；二、方程中出现导数或微分。在处理实际问题时，有时很难找出变量之间的直接函数关系，却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式(有时人们特别关心这些变量的增加幅度和变化快慢)，这种关系式中通常含有导数或微分，故称微分方程模型。

建立微分方程模型时，会经常出现一些术“ ” “ ” “语，如 速率 、 增长率 、 单位时间内的变

”化量 等，应与导数联系起来，再结合问题所涉及的基本规律就很容易得到微分方程。一般微分方程建模的基本步骤可以概括为：

1．根据实际要求确定要研究的量，如自变量、未知函数、必要参数等，有时需要确定坐标系。

2．找出这些量所满足的基本规律(几何的、物理的、经济的规律等)。一时看不出规

“ ”律可用 微元分析法 进行分析，选取研究对象后，研究对象在一定时间内量的变化一般遵循广义物质守恒律，即

净变化率＝输入率－输出率 物质不会自动产生，也不会自动消失。通过对时间取极限可以得到微分方程。 3．列出方程和定解条件(初始条件和边界条

件)。

4．解方程。可以找到精确解的微分方程只是极少数，多数情况下需要进行数值分析或找到数值解，对于自治的常微分方程(组)，可以运用稳定性分析方法，转换到相平面去分析解的性态。 5．解的讨论。所得的方程的解是否有意义？是否

反映了原问题的实质？模型是否可以深化和改进？这些问题可以通过解的讨论加以回答。

第一节 人口增长模型人口的增长是人们普遍关注的问题。使用了

不同的人口模型计算所得到的同一时间人口的预报在数字上有较大的差别。那么人口是如何预报的呢？先看一种简单的计算方法。

人口的增长也是因为有人口的基数和一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某一年的人口为 0x，年增长率为 0r，可以认为今后k年内的人口数为

krxx )1( 00 (3.1) 这里实际暗含着年增长率不变的假设。

一、指数增长模型 (Malthus 模型 )

设 t时刻的人口为 )(tx ，经过一段短的时间 t

后，在 tt 时刻，人口数量变化为 )( ttx 。由基本假设，在这段短的时间 t内，人口数量的增加量应与当时的人口 )(tx 成比例，不妨设比例系数为 0r，即 t内人口的增量可写为

ttxrtxttx )()()( 0

等式两边同除以 t，当 0t 时 )(

)()(lim 0

0txr

t

txttxt

等号的左边即是导数 tx dd ，已知初始时刻人口数量为 0x，则

0

0

)0(

)(d

d

xx

txrt

x

(3.2)

就是描述人口随时间变化的带初始条件的微分方程。

建模过程中你可能注意到，人口是离散的变量，而求导或微分只能对连续的量使用。那么这种情况下可不可以用求导或微分这种数学工具呢？当研究对象是一个很大的群体，如考察一个国家或一个地区的人口数量，个体的微小变化对总体的影响很小可以忽略时，可视该群体为连续量，并认为其导数存在，这样就可以使用微积分这一数学工具。

这种为了使用数学工具的需要而对离散量进行连续化处理的方法，在建模中经常使用，如

“ ”将道路中运动的车辆群视为连续的 流体 ，动物种群和生产产品当达到一定数量都可以看作是连续的变量。有时建模中也会作相反的处理，比如求微分方程近似解时，把连续量进行离散化，通过数值格式迭代求出数值解。因此在一定条件下，连续和离散是相对的，可以转换的，当然这种连续化或离散化的处理必须是合理和适当的。

人口的马尔萨斯模型用分离变量法很容易求解，得

trxtx 0e)( 0 (3.3) 从(3.3)可以立即看出人口随时间呈指数增长，因此模型(3.2)称为指数增长模型。不妨将它应用到我国人口的预测上

45.13e6.11 100148.0 x 亿 与前面的结果 13.44亿非常相近。

对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析，当 t 时， )(tx ，表明人口将无限增长。马尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一种误解。

二、阻滞增长模型 (Logistic 模型、 Verhulst 模型 )

Malthus 模型在 1840 年由人口统计学家Verhulst修正。他提出的假设包括：

1、由于自然资源(自然资源条件和环境条件)的约束，人口存在一个最大容量 mx 。

2、增长率不是常数，随人口增加而减少。它具有以下性质：当人口数量 )(tx 很小且远小于mx 时，人口以固定增长率 0r增加；当 )(tx 接近 mx 时，增长率为零。 0r和 mx 可由统计数据确定。满足上述性质的增长率可以写作

)1()( 0mx

xrxr (3.4)

这样 Malthus模型公式(3.2)变为

0

0

)0(

)1(d

d

xx

x

xxr

t

x

m (3.5)

称为阻滞增长模型或 Logistic 模型。由分离变量法，解得

trm

m

x

xx

tx0e)1(1

)(

0

(3.6)

人口增长率随人口数量变化曲线以及人口数量随时间变化曲线如下

图 3-1 人口增长率和人口数量曲线

x t2mx mxuiiuiuit

x

d

d xmx0x

阻滞增长模型与美国人口统计数据从1800年到 1960年都吻合较好，1960年后，误差变大。这时因为到 1960 年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量。人口容量不易准确得到是阻滞增长模型的不足之处，实际上人口容量也是随人们对自然资源的开发水平不断提高而改变的。更复杂的人口模型需考虑随时间和人口变化的人口增长率、同样随时间改变的人口容量以及与育龄妇女和人口年龄分布有关的人口基数，此外还需考虑天灾、战争等随机性因素对人口的影响。

第二节 新产品的推销与广告一、新产品推销模型第二次世界大战后，日本的家电业迅速崛

起，下面首先考察日本家用电器业界建立的电饭煲销售模型。记时刻 t时已售出的电饭煲总数为 )(tx 。由于使用方便，已在使用的电饭煲实际上在起着宣传品的作用，吸引着尚未购买的顾客。可粗略地假设每一个电饭煲在单位时间内平均吸引 k个顾客，那么在 tt 时刻电饭煲销售的增量为

ttkxtxttx )()()(

两边除以 t，令 0t ，有 )(

)()(lim

0tkx

t

txttxt

即 )(tx 满足微分方程

)(d

dtkx

t

x (3. 7)

其解为 ktCtx e)(

若已知 0t 时， 0)0( xx ，则满足初值条件的解为 ktxtx e)( 0 (3. 8)

下面对电饭煲推广销售模型的解作一些分析：

1、若取 0t 时为新产品诞生的时刻，则 0)0( x ，于是(3.8)式推出 0)( tx 。这一结果显然与事实不符，这是因为模型只考虑了实物广告的作用，忽略了厂方可以通过其他方式宣传新产品从而打开销路。

2、 2、若通过努力已有 0x数量的产品投入使用，则调查情况表明实际销售量在开始阶段的增长情况与(3.8)式十分相符。

3、 在(3.8)式中，若令 t ，则得出 )(tx ，这与事实不符。实际上 )(tx 是有上界的，因为一般而言每户只需购买 1～2 只电饭煲就够了。因此需要修改模型。 设需求量有一个上界，记作K，它的意义是

产品的市场容量。与人口的阻滞增长模型类似，构造一个新的与产品销量有关的增长率。实际上统计学家发现，若 t时刻电饭煲销量为

)(tx ，则尚未使用的人数大致为 )(txK ，可以认为 )]()[(

d

dtxKtx

t

x

记比例系数为 k，则 )(tx 满足 )]()[(

d

dtxKtkx

t

x (3.9)

分离变量并积分之，可解得

0)0(

e1)(

xx

C

Ktx

Kkt (3.10)

其中C是由初始条件确定的积分常数。

二、广告模型

信息社会使广告成为调整商品销售的强有力手段，广告与销售之间有什么内在联系？如何评价不同时期的广告效果？下面研究一个广告模型。

首先认为广告对产品的销售速度有直接的促进作用，以销售速度为研究对象，设 )(ts 为 t

时刻的产品销售速度，并作以下假设：

（1）不考虑广告作用时，销售速度具有自然衰减的性质，即产品销售速度随着时间而减少，满足这一性质的销售速度有

)(d

dts

t

s

为比例系数或称衰减因子。 （2）产品的销售速度会因广告而增加，

但增加是有一定限度的，当产品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于极限值，这时无论采取那种形式作广告(不包括其它的促销手段)，都不能使销售速度增加。

设M为销售饱和水平，即市场对产品的最大容纳能力，它对应着销售速度的上限。当销售速度达到饱和水平之后，广告已不起作用，销售速度随时间增加而自然衰减，同样

为衰减因子， 0 ，且为常数。 （3）产品的销售速度与广告的投入水平

有关，设 )(tA 为 t时刻单位时间的广告投入水平(以费用表示)，p为投入的响应系数，即投入 )(tA

对销售速度的影响力， p为常数。 根据上述假设，有

)())(

1)((d

dts

M

tstpA

t

s (3. 11)

等式右端的第一项反映广告投入对销售速度的影响， )

)(1(

M

ts 相当于一个开关函数，显然当 0)( tA

或 Ms 时，都有

)(d

dts

t

s (3. 12)

第二项表明销售速度自然衰减的特性。 为确定 )(tA 的形式，假设选择如下广告策略

t

tAtA

0

0)( (3. 13)

即在时间内平均投入常数 A的资金来作广告，在此条件下求解(3. 11)式。

在 ),0( 时间段内，设已知用于广告的总投入为a，则单位时间投入 aA ，代入(3.11)，整理有

a

psa

M

p

t

s )(

d

d

令 c

pab

a

M

p

,

则有 cbs

t

s

d

d (3.14)

其通解为 b

cCts bt e)( 1

1C为积分常数。

若初始时刻销售速度 0)0( ss ，则 ts

b

cts btbt 0e)e1()( 0 (3.15)

当 t 时，根据(3.13)式， 0A ， 则(3.11)式退化为

)(d

dts

t

s

其解为 tsts t)(e)()( (3.16)

综合(3.15)、(3.16)，式(3.13)条件下产品销售速度广告模型的解可写为：

ts

tsb

c

ts

t

btbt

)(

0

e)(

0e)e1(

)( (3.17)

第三节 经济增长模型

一、道格拉斯（ Douglas ）生产函数用 )(tQ ， )(tK ， )(tL 分别表示某一地区或部门在

时刻 t的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作

))(),(()( tLtKFtQ (3.18) 其中 F为待定函数。对于固定的时刻 t，上述关系可写作

),( LKFQ (3.19) 为寻找F的函数形式，引入记号

LQz ， LKy (3.20)

z是每个劳动力的产值，y是每个劳动力的投资。如下的假设是合理的： z随着 y的增加而增长，但增长速度递减。进而简化地把这个假设表示为

)(ycgz ， yyg )( ， 10 (3.21) 显然函数 )(yg 满足上面的假设，常数 0c 可看成技术的作用。由(3.20)，(3.21)即可得到(3.19)式中F的具体形式为

1LcKQ ， 10 (3.22) 由(3.22)式容易知道Q有如下性质

0,

L

Q

K

Q ， 0,2

2

2

2

L

Q

K

Q (3.23)

二、资金与劳动力的最佳分配假定资金来自贷款，利率为 r，每个劳动力需

付工资，于是当资金K、劳动力 L产生产值Q时，得到的效益为

LrKQS (3.26) 问题化为求资金与劳动力的分配比例 LK （即每个劳动力占有的资金），使效益 S最大。

这个模型用微分法即可解得

r

Q

Q

L

K (3.27)

再利用(3.24)式，有

rL

K

1

(3.28)

这就是资金与劳动力的最佳分配。从(3.28)式可以看出，当 , 变大、 r变小时，分配比例 LK 变大，这是符合常识的。

第四节 常微分方程的平衡点及其稳定性一、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程

)()( xftx (3.41)

右端不显含自变量 t，则代数方程

0)( xf (3.42)

的实根 0xx 称为方程(3.41)的平衡点(奇点)，它也是方程

(3.41)的解(奇解)。

如果从所有可能的初始条件出发，方程(3.41)的解 )(tx 都满

足

0)(lim xtxt

(3.43)

则称平衡点 0x 是稳定的；否则，称 0x 是不稳定的。

判断平衡点 0x是否稳定通常有两种方法。利用稳定性的定义(3.43)式，称间接法。另一种称直接法，不求方程(3.41)的解 )(tx ，而是将 )(xf

在平衡点 0x处作 Taylor展开，取一次项，方程(3.41)近似为

))(()( 00 xxxftx (3.44) 上式称为(3.41)的近似线性方程，显然 0x也是(3.44)的平衡点。这样将方程(3.41)的平衡点稳定性问题转化为近似线性方程(3.44)的平衡点稳定性问题。

对于方程(3.44)，关于 0x点的稳定性有如下结论：若 0)( 0 xf ，则 0x对于方程(3.44)和(3.41)都是稳定的；若 0)( 0 xf ，则 0x对于方程(3.44)和(3.41)都是不稳定的。

0x 对于方程(3.44)的稳定性很容易由定义(3.43)证明，因为(3.44)的一般解是

0)( 0e)( xCtx txf (3.45)

其中C是由初始条件决定的常数，因 0)( 0 xf ，当t ，必有 0)( xtx 。

二、二阶 ( 平面 ) 方程的平衡点及稳定性

1.平衡点的稳定性

把如下形式的两个一阶方程构成的方程组

),()(

),()(

212

211

xxgtx

xxftx

(3. 46)

称为自治的微分动力系统。 平面 21oxx 称为方程组(3. 46)的相平面。方程组

(3. 46)的解 )(11 txx 、 )(22 txx 在相平面上的曲线称为相轨线。

2 、常系数线性齐次方程组的平衡点稳定性

为了用直接法讨论方程组(3. 46)的平衡点稳定性，先考察常系数线性齐次方程组

22112

22111

)(

)(

xbxbtx

xaxatx

(3. 49)

系数矩阵记作

21

21

bb

aaA

并假定 A的行列式 0det A

于是原点 )0,0(0C 是方程组(3. 49)的唯一平衡点，它的稳定性由系数矩阵的特征方程

0)det( IA (3. 50) 的根 (特征根)决定。

第五节 传染病模型一、模型 I (SI 模型 )

模型的已知条件通过假设给出： 1．人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)，SI模型

由此而来。以下简称健康者和病人，t 时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作 )(ts 和 )(ti 。 2．每个病人每天有效接触的平均人数是常数， 称日接触率。当病人

与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 根据假设，每个病人每天可使 )(ts 个健康者变为病人，因为病人数为 )(tNi ，

所以每天共有 )()( titNs 个健康者被感染，于是 Nsi 就是病人数的增加率，即有 Nsi

t

iN

d

d (3.56)

又因为 1)()( tits (3.57)

再记初始时刻 )0( t 病人的比例为 0i，则

0)0(

d

d

ii

sit

i

(3.58) 方程(3.58)是 Logistic模型，它的解为

tei

ti

)1

1(1

1)(

0

(3.59)

二、模型 II (SIS 模型 )

有些传染病如感冒、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫力，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称 SIS模型。SIS模型的假设条件 1、2与 SI模型相同，增加的条件为 3．病人每天被治愈的占病人总数的比例为

，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。 考虑假设 3，SI模型的(3.56)式应修正为

NiNsit

iN

d

d (3.61)

(3.57)式不变，于是(3.58)式应改为

0)0(

)1(d

d

ii

iiit

i (3.62)

三、模型 III (SIR 模型 )

有的传染病如肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，病愈的人既非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，有的烈性传染病还有死亡者，他们已经退出传染系统。这种情况下的模型假设条件为

1．人群分为健康者、病人和病愈免疫或死亡的移出者(Removed)三类，称 SI R 模型。三类人在总人数 N中占的比例分别记作 )(ts 、 )(ti 和

)(tr 。

2、病人的日接触率为 ，日治愈率为 ，传染期接触数为 。 由条件 1显然有

1)()()( trtits (3.67) 根据条件 2方程(3.61)仍成立。对于移出者应有

iNt

rN

d

d (3.68)

再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是)0(0 s 和 )0(0 i ，不妨设移出者的初始值 00 r ，则由

(3.61)、(3.67)、(3.68)式，SIR 模型的方程可以写作

0)0(,)0(,)0(d

dd

dd

d

00 rssii

it

r

ist

s

iist

i

(3.69)

方程(3.69)无法求出 )(ts 和 )(ti 的解析解，我们转到相平面 is ~ 上来讨论解的性质。相轨线的定义域 Dis ),( 应为

}1,0,0),({ isisisD

第四章 差分方程方法第一节 差分方程的平衡点及其稳定性设有未知序列 nx ，称

0),,,;( 1 knnn xxxnF (4. 1) 为 k 阶 差 分 方 程 。 若 有 )(nxxn ， 满 足

0))(,),1(),(;( knxnxnxnF

则称 )(nxxn 是差分方程(4. 1)的解，包含 k个任意常数的解称为(4. 1)的通解， 110 ,,, kxxx 为已知时，称其为(4. 1)的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(4. 1)的特解。

形如 )()()( 11 nfxnaxnax nkknkn (4.2)

的差分方程，称为 k阶线性差分方程。 )(nai 为已知系数，且 0)( nak 。 若差分方程(4.2)中的 0)( nf ，则称差分方程

(4.2)为 k阶齐次线性差分方程，否则称为 k阶非齐次线性差分方程。

第二节 市场经济中的蛛网模型记第 n时段商品数量为 nx，价格为 ny， ,2,1n 。

这里我们把时间离散化为时段，1 个时段相当于商品的 1个生产周期，如蔬菜、水果可以是一年，肉类则是 1个饲养周期。 在 n时段商品的价格 ny 取决于数量 nx ，设)( nn xfy 。它反映消费者对这种商品的需求关系，

称需求函数。 在 1n 时段商品的数量 1nx 由上一时段价格 ny

决定，用 )(1 nn ygx 表示，它反映生产者的供应关系，称为供应函数。 设两条曲线 f和 g相交于 ),( 000 yxP 点，在 0P点附

近取函数 f和 g的线性近似，即

需求函数 )( f ： )( 00 xxyy nn ， 0 (4. 8) 供应函数 )(g： )( 001 yyxx nn ， 0 (4. 9)

由式(4. 8)，(4. 9)消去 ny 得一阶线性差分方程

01 )1( xxx nn ， .,2,1 n (4. 10) 因此 0x是其平衡点，即 0P是平衡点，对 n递推不难得到

011 ])(1[)( xxx nnn ， .,2,1 n

由此可得，平衡点 0P稳定的条件是： 1 ；不稳定的条件是： 1 。

第三节 差分形式的阻滞增长模型

阻滞增长模型

)1(K

xrx

dt

dx (4. 13)

的差分形式是 )1(1 Kyryyy nnnn

将其化为 )11()1(1 Krryyry nnn

令 1rb ， Krryx nn )1( ，将上式简化为 nnn xbxx 11 (4. 14)

方程(4. 14)的解可根据给定的初值 0x，利用计算机算出：

根据 r，K的含义，有 1b ， 10 nx ，再由(4. 14)应有 4b 。下面主要讨论当 41 b 时，序列 nx 的收敛性，它比简单地讨论方程(4. 13)或(4. 14)的稳定性复杂，且会看到一个十分有趣的现象。 记 )1()( xbxxf ，解代数方程 )(xfx 得方程(4. 14)

的平衡点 0* x ， b11 .

由于 )21()(' xbxf ，注意到 1b 及平衡点稳定的

条件 1)( *' xf 得，0不是稳定的平衡点， bx 11* 的状

况也可以通过方程(4. 14)的图解法清楚地表示出来。由于 bxf 2)( *' ，因此当 21 b 时， nx基本上是单调递增地收敛于 *x；当 32 b 时， nx基本上是衰减震荡地收敛于 *x。

当 3b 时，虽然方程(4. 14)仍可形式地求解，但 *x不稳定。 事情到此并未完结，由(4. 14)式迭代一次

可得 )1(1)1()1( 112 nnnnnnn xbxxbbxxbxx

即 )1(1)1(2

2 nnnnn xbxxxbx (4. 15) 方程(4. 15)虽是二阶非线性差分方程，但缺少

1nx ，相当于一阶差分方程。解代数方程 )1(1)1(2

nn xbxxxbx

得到方程(4. 15)的 4个平衡点，除了方程(4. 14)的 2个平衡点 0， b11 外，还有两个

b

bbbx

2

321 2*

2,1

可以验证（根据一阶差分方程的判别方法），在条件 3b 下，平衡点 0， b11 不是稳定的，而 *

2,1x 是稳定的条件为 449.361 b 。这就是说，当449.33 b 时，虽然序列 nx 不收敛，但它的两个子

序列 nx2 和 12 nx 都是收敛的。它的生物学意义是，当固有增长率 449.22 r 时，从一个繁殖周期（即一代）的角度看，其数量增长是不稳定的，但从两个繁殖周期（即两代）的角度看，其数量增长是稳定的，这就是所谓的 2倍周期收敛。