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2.2.2 偏微分方程的数学分类
内容提要
1. 两个自变量的二阶偏微分方程
2．多个自变量的二阶偏微分方程特征分类法
3．偏微分方程组的特征分类方法
(1) 两个自变量的一阶方程组
(2) 多个自变量的一阶方程组
i. 包含时间、空间自变量的一阶方程组
ii. 只有空间自变量的一阶方程组
(3) 含有部分二阶以上导数的偏微分方程组
4. 偏微分方程分类的Fourier分析方法 (Symbol)
2．多个自变量的二阶偏微分方程特征分类法
• 方程：
• 主部系数矩阵 A
• 寻找A的特征值：
2
1 1
0N N
jk
j k j k
ua H
x x
方程主部
0A I
分类方法
(i) A 的特征值λ中的任意一个为零，则方程为抛物型；
(ii) A 的特征值λ全部非零并且同号，则方程为椭圆型；
(iii) A 的特征值λ全部非零, 并且除了一个之外其余同号，则方程为双曲型。
3．偏微分方程组的特征分类方法
(1) 两个自变量的一阶方程组
• 两个函数的最简单情况：
• 矢量形式：
11 12 11 12 1
u v u va a b b e
x x y y
21 22 21 22 2
u v u va a b b e
x x y y
x y
U UA B E
11 12 11 12 1
21 22 21 22 2
, , ,
a a b b eu
v a a b b e
U A B E
特征方程
即：
求出特征值：
0dy dxA B
0dy
dx A B
/dy dx
分类方法
(1) 特征值λ为两个互异的实根，则方程组为双曲型
(2) 特征值λ为一个实根，则方程组为抛物型
(3) 特征值λ为两个共轭复根,则方程组为椭圆型
n个函数两个自变量一阶方程组
(1) 特征值为n个互异实根，则方程组为双曲型
(2) 特征值有m个互异实根，无复根，且则方程组为抛物型
(3) 特征值无实根,则方程组为椭圆型
(4) 特征值一部分为实根，一部分为复根，则方程组为混合型
1 1m n
(2) 多个自变量的一阶方程组
a. 包含时、空自变量的一阶方程组
b. 只有空间自变量的一阶方程组
a. 包含时间、空间自变量的一阶方程组
• 方法：在(t,x), (t,y) 和 (t,z) 平面上分别考虑
例如
• 特征方程：
0t x y z
U U U UA B C R
0t x
U UA
0dx
dtA I
b.只有空间自变量的一阶方程组
• 特征方程：
• 考察法向方向数：
固定 ，若 全复根，则方程组相对 y
方向是椭圆型
0x y z
U U UA B C R
0x y zA B C
1x z y
(3) 含有部分二阶以上导数的偏微分方程组
实际问题基本上都含有二阶以上导数
一般做法：引入中间变量函数，化为包含有更多函数的一阶偏微分方程组，然后进行分类。特别注意：一阶方程组的系数矩阵不能等同以致使方程组奇异。
例2.4 二维稳态不可压Navier-Stokes方程
• 引入中间变量
0x yu v
10x y x xx yyuu vu p ( u u )
Re
10x y y xx yyuv vv p ( v v )
Re
连续方程
动量方程
, , x y yR v S v T u
6个函数 u v p R S T、 、 、 、 、
10x y x xx yyuu vu p ( u u )
Re
0x yu v
10x y y xx yyuv vv p ( v v )
Re
, , x y yR v S v T u
矩阵形式
特征方程
x y
U UA B H
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
, 0 0 0 0 0 1
10 0 1 0 0
10 0 0 0 0
u
v
p
R
S Re
TRe
U A
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
, 0 0 0 0 1 0
10 0 0 0 0
10 0 1 0 0
Re
Re
B
0x yA B
即：
取 ， 为虚数：方程组相对 y 方向为椭圆型
取 ， 为虚数：方程组相对 x 方向为椭圆型
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
y
x y
y x
y xx y
xx
A B
0
0 0 0
y
yxy
Re Re
Re Re
2 2 2( ) 0y x y
1x y
1y x
4. 偏微分方程分类的 Fourier
分析方法
又称为偏微分方程的符号(Symbol)
可适用于单个方程、方程组；可适用于高阶导数情况；并且不需要引入中间变量
Fourier变换
• 主要应用了Fourier变换的微分关系
时空域 频率域
Fourier变换
a. 单个方程的情况
Fourier级数表达的解：
极限情况下用Fourier积分表达：
2 2 2
2 20
u u ua b c
x x y y
2
1( , ) exp[i( ) ]exp[i( ) ]
4x j y kjk
j k
u x y u x y
2
-
1( , ) ( , )exp(i )exp(i )
4x y x y x yu x y u x y d d
Fourier 转换
• 系数：
• Fourier 转换：
• 微分特性：
-
( , ) ( , )exp(-i )exp( i )x y x yu u x y x y dxdy
u Fu
微分关系
函数每对 x 或 y
做一次偏导数Fourier转换乘因子
或
Fourier变换
时空域 频率域
利用微分关系改写方程
函数每对 x 或 y
做一次偏导数Fourier转换乘因子
或
Fourier变换
时空域 频率域
2 2 0x x y ya b c 2 2 2
2 20
u u ua b c
x x y y
微分方程 代数方程
频域方程特性
原方程的特征方程：
2( ) ( ) 0x y x ya b c
2 2 0x x y ya b c
2( ) ( ) 0dy dy
a b cdx dx
Fourier分析方法应用于方程组情况
2 2
0
1 0
0
x y
x y x y x
i i
i( u v ( ) iRe
2 2
x y
0
1 i(
x y y
u
v
pu v ( ) i
Re
0x yu v 1
0x y x xx yyuu vu p ( u u )Re
10x y y xx yyuv vv p ( v v )
Re
方程组存在非平凡解的条件是
系数矩阵行列式为零
主部决定方程性质：
比较特征分类法：
2 2 2 2 0x y x y x yi( u v ) ( ) / Re
2 2 2 2( )( ) 0x y x y
2 2 2( ) 0y x y
方程主部的贡献次要贡献
Fourier 分析法与特征分析法
• Fourier 分析法与特征分析法殊途同归，可以得到一样的结论
• Fourier 分析法相对简单，适用面广
• Fourier 分析法在分析比较复杂的问题时更有优势
2.2.3 解的适定和定解条件
意 义
• 物理过程 = 控制方程 + 定解条件
• 定解条件关系到具体方程是否有解，其解是否可靠
• 定解条件：边界条件、初始条件
• 偏微分方程的适定性：指定解条件能使方程 解存在、解唯一、解稳定（即解连续地依赖它的初始或边界条件）
例2.5 给定边界条件下的二维 Laplace 方程
0 - 0
( ,0) 0
1( ,0) sin( ) 0
xx yy
y
u u x y
u x
u x nx nn
求解过程
分离变量：
利用定解条件：
此解在 y=0 附近有可能不连续：
( , ) ( ) ( )u x y f x g y
2
1sin( )sh( )u nx ny
n
n u
( ,0) 0u x
y 接近 0 处
原因分析
• 此方程分类？
椭圆型方程要求提封闭边界上所有点的条件，尤其是无穷远处的边界条件！
椭圆型！！！
方程对定解条件的要求
• 平衡问题（椭圆型方程）：必须提封闭边界上每一点的边界条件，要特别小心“无穷远边界”上的条件
• 行进问题（抛物型、双曲型方程）：必须提初始条件（二阶偏微分方程需要有函数值、一阶导数值条件）； 空间无界定义域问题，有的可以不
提无界边界上的条件，但有界定义域问题，一般需要规定一定的边界条件。
初始条件
• 时间或类时间导数为一阶：只要给出函数在全域的初始值；
• 时间或类时间导数为二阶：函数在全域的初始值，以及函数在全域对时间或类时间变量的一阶导数值
3类边界条件
1. Dirichlet 条件
2. Neumann 条件
3. Robin 条件
第一类边界条件（Dirichlet）
• 直接规定边界上的函数值（可以随时间或类时间变化）
( , , , ) ( ) w wT x y z t T t
第二类边界条件 （Neumann）
• 直接规定在边界上的函数导数值
• 热物理问题一般规定：热流值 在流入边界内部方向时为正
( , , , )( )ww
T x y z tq t
n
第三类边界条件 (Robin)
• 规定边界上的函数值与它的法向导数之间的某个关系
• 冷却问题
( , , , )( )f ww
T x y z th T T t
n
从物理意义方面区分
1. 运动学条件
2. 动力学条件
3. 热力学条件
1 运动学条件 (Kinetic)
• 滑移边界条件：无粘流体沿固壁切向速度不变
• 黏附条件：粘性流体在固壁上满足静止壁上流体速度为零
2 动力学条件(Dynamic)
• 对流换热问题：有的边界需要规定压力或它的导数条件
3 热力学条件 (ThermoDynamic)
• 规定温度、热流率或它们两者间的关系，都是从热力学和能量守恒关系所提的边界条件
• 来流边界条件：进口边界
• 出流边界条件：出口边界
• 壁面边界条件：滑移、粘附
• 自由面： 真空 或 大气层
• 对称面：只要研究一半
• 移动界面：相变交界处，钢水凝结、冰融化
• 间断面：激波，可能移动
• 角点：
