1. 2. 一次元波動方程式...1 偏微分方程式（3） 波動方程式 変数分離法 1....
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1
偏微分方程式（３） 波動方程式 変数分離法
1. 変数分離法
2. 一次元波動方程式
3. 梁の縦振動
4. 梁のねじり振動
5. 梁の曲げ振動
6. 二次元波動方程式
2
変数分離法
Laplace方程式
)()(),( yYxXyxu
)()(
)()(
yYxXu
yYxXu
xx
x
0)()()()( yYxXyYxX
の時0)1 2
)()(
)()(
yYxXu
yYxXu
yy
y
0 yyxx uu
の時0)2 2
の時0)3
)(
)(
)(
)(
yY
yY
xX
xX
)(
)(
)(
)(
yY
yY
xX
xX
)sincos)( (),(
sincos)(
2121
21
21
ydydececyxu
ydydyY
ececX(x)
xx
xx
))( sincos(),(
)(
sincos
2121
21
21
yy
yy
ededxcxcyxu
ededyY
κx cκxcX(x)
))( (),(
)(
2121
21
21
dydcxcyxu
dydyY
cxcX(x)
3
例１
2x
y0 yyxx uu
境界条件
0),0( yu 0),2( yu
xxxu 5sin3sin)0,(
0)0,( xuy
0yu
)sincos)( (),(
0)1
2121
2
ydydececyxu xx
の時
))( sincos(),(
0)2
2121
2
yy ededxcxcyxu
の時
))( (),(
0)3
2121 dydcxcyxu
の時
)sincos)( (),(
0)1
2121
2
ydydececyxu xx
の時
0),0( yu
0or 0
)sincos)( (),0(
2121
2121
ddcc
ydydccyu
0),2( yu
0
)sincos)( (),2(
2
2
2
1
21
2
2
2
1
ecec
ydydececyu
0
0
2
2
2
1
21
ecec
cc021 cc
解とはなり得ない
5
))( sincos(),( )2 2121
yy ededxcxcyxu
0
0)(),0(
1
211
c
ededcyu yy
)( sin),( 212
yy ededxcyxu
2
)210( 2sin
0)( 2sin),( 212
n
,.....,,nn
ededcyxu yy
)( 2
sin
)( 2
sin),(
22
22
212
yn
yn
yn
yn
DeCexn
ededxn
cyxu
0),0( yu
0),2( yu
)( 2
sin)2
( 22y
ny
n
y DeCexnn
u
0)0,( xuy
DC
DCxnn
xuy
0)( )2
)(sin2
()0,(
)( 2
sin),( 22y
ny
n
eexn
Cyxu
xxxu 5sin3sin)0,(
2/3,2/1
5sin3sin
5sin2sin2)0,(
102
)210( 2
sin
21
21
CC
xx
CxCxu
,n
,.....,,nn
を採用
)( 5sin2
3
)( sin2
1),(
55 yy
yy
eex
eexyxu
6
例２ 02 yxxx uxuux
)()(),( yYxXyxu
)()(
)()(
yYxXu
yYxXu
xx
x
0)()()()()()(2 yYxXyYxXxyYxXx
)()( yYxXuy
)(
)(
)(
)(
)(
)(
0)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
yY
yY
xX
xXx
xX
xXx
yY
yY
xX
xXx
xX
xXx
0)()()(
0)()(
2
xXxXxxXx
yYyY
t
X
xx
t
t
XxX
1)(
0)(111
2
2
22
2
xX
t
X
xx
t
X
xt
X
xx
x tex
EulerCauchy
xXxXxxXx
t ln
0)()()(2
方程式
2
2
22
2
2
2
11
11
)1
()(
t
X
xt
X
x
x
t
t
X
xt
X
x
t
X
xxxX
0)(2
2
xX
t
X
0)(111
2
2
22
2
xX
t
X
xx
t
X
xt
X
xx
0)(2
2
xX
t
X
7
の時0)1 2 の時0)2 2
の時0)3
κtκt ececX(t) 21 sincos 43 tctcX(t)
dyY
cxcX(x)
3
65
)(
ln
yedyY2
1)(
xκxκ ececX(x) ln
2
ln
1
)(2
2 edyY yκ
)(lnsin)(lncos 43 xcxcX(x)
0)(2
2
2
xX
t
X
0)()( 2 yYyY
0)(2
2
2
xX
t
X
0)()( 2 yYyY
8
演習
次の偏微分方程式の内、変数分離法で解けるものはどれか。その解をもとめよ。
02
bu
yx
ua 0
2
2
2
22
y
uy
x
ux
02
2
2
y
uc
yx
ub
x
ua 0
2
2
2
2
2
2
z
uc
y
ub
x
ua
02
2
2
2
y
uc
yx
ub
x
ua 0
2
2
2
2
y
ud
x
uc
y
ub
x
ua
9
5. 波動方程式の解法
変数分離法
)()(),( tTxXtxu
)()(
)()(
tTxXu
tTxXu
xx
x
)()()()( 2 tTxXatTxX
)()(
)()(
tTxXu
tTxXu
tt
t
2
22
2
2
x
ua
t
u
)(
)(
)(
)( 2
xX
xXa
tT
tT
)(
)(
)(
)(2axX
xX
tT
tT
の時0)1 2
の時0)2 2
の時0)3
tt
xa
xa
ededtT
ececX(x)
21
21
)(
tctdtT
xa
κcx
a
κcX(x)
sincos)(
sincos
21
21
21
21
)( dtdtT
cxcX(x)
10
梁の縦振動 x ),( txu縦方向 に振動している梁の一般断面の変位
)(xN dxx
xNxN
)()(
x
ue
ひずみ
x
uxEAxN
xEexA
xN
Hook
)()(
)()(
)(
の法則
dxxA )(
質量
)()(
)()(2
2
xNdxx
xNxN
t
udxxA
自由端：
0x
u 0
N
0u
固定端：
境界条件
初期条件
)()0,(
)()0,(
0,
xgt
uxu
xfxu
x
])([)(2
2
dxx
uxEA
xt
udxxA
])([)(
])([)(
2
2
2
2
2
x
uxA
xa
t
uxA
x
uxA
x
E
t
uxA
2
22
2
2
x
ua
t
u
等断面dx
11
ねじれ振動
平面を保持
重心の周りに回転
断面の形はほぼ円
),,,()(
),,,()()(
2
2
2
2
txfx
T
txJ
xtxfxTxxTt
I
運動方程式
xxAm )(
),,,( txf
)( xxT
)(xT
xxJE
xkT ss
)(
0),,,( E
2
22
2
2
s2
xa
t
txfa
12
梁のねじれ振動
)()(),(
2
22
2
2
tTtXtx
xa
t
xa
Dxa
CXa
X
tBtATTT
sincosX
sincos
2
2
2
境界条件
a)両端固定の場合
0),(),0( tlt
0 0,0
0)sincos(),0(
CBA
tBtACt
1n 3n2n 4n
1
)sincos)(sin(),(n
nn tl
anBt
l
anAx
l
ntx
Xa
XTT
X
Xa
T
TTXaTX
2
22
)sincos)(sincos(
)()(),(
tBtAxa
Dxa
C
tTxXtx
0sin
0)sincos(sin),(
a
l
tBtAa
lDtl
n
2l
)/(
2
)/(
2
):(
lna
nl
ann
a
l
n
nn
波長
整数
Fourier級数 復習
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.25 0.5 0.75 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.25 0.5 0.75 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.25 0.5 0.75 1
)/2sin(5.11 lxy
)/4sin(3.22 lxy
)/6sin(8.03 lxy
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 0.25 0.5 0.75 1
)/6sin(8.0
)/4sin(3.2
)/2sin(5.1
321
lx
lx
lx
yyyy
合成
分解
個 波長
個 波長
個 波長
.80 :3
2.3 :2
5.1 :
l
l
l
1
21 sin......2
sinsin )(n
nl
xnA
l
xA
l
xAxf
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.25 0.5 0.75 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 0.25 0.5 0.75 1
l
n
l
n
lll
n
dxl
xnxf
lA
dxl
xn
l
xnAdx
l
xn
l
xAdx
l
xn
l
xAdx
l
xnxf
l
xnA
l
xA
l
xAxf
0
002
01
0
21
sin)(2
...sinsin......sin2
sinsinsinsin)(
......sin......2
sinsin )(
直交性
)( 0
)( 2/sinsin
0 nm
nmldx
l
xn
l
xml
)sincos(2
......2
sinsin......2
coscos2
)(
1
0
21210
l
xnB
l
xnA
A
l
xB
l
xB
l
xA
l
xA
Axf
n
n
n
l
n
l
n
l
dxl
xnxf
lBdx
l
xnxf
lAdxxf
lA
0000 sin)(
2 cos)(
2 )(
2
l
xmsin
l
xnsin
15
)()0,( )()0,(0,
xgt
xxfxx
l
n
n
n
dxl
xnxf
lAFourier
l
xnAxfx
0
1
sin)(2
sin )()0,(
級数
l
n
l
n
n
n
dxl
xnxg
anB
dxl
xnxg
ll
anB
l
xn
l
anBxgx
0
0
1
sin)(2
sin)(2
sin)()()0,(
初期条件
1
)sincos)(sin(),(n
nn tl
anBt
l
anAx
l
ntx
Ex)
0)( )(
0)0,( )0,(
0
0
xgxf
xx
)12(
4 0
]1)1[(2
][cos2
sin2
0122
00
0
0
0
mAA
nl
xn
n
l
ldx
l
xn
lA
mm
nll
n
1
0 ))12(
cos())12(
sin()12(
4),(
m
tl
amx
l
m
mtx
b) 両端自由の場合
n
2l
)/(
2
)/(
2
):( 0sin
lna
nl
ann
a
l
a
l
n
nn
波長
整数
0
xkT s
)sincos)(cossin)[( tBtAxa
Dxa
Cax
1
)sincos)(cos(),(n
nn tl
anBt
l
anAx
l
ntx
)sincos)(sincos(),( tBtAxa
Dxa
Ctx
0)sincos)(sin()(
0
0)sincos()(
,
,0
tBtAla
Cax
D
tBtADax
tl
t
境界条件
初期条件
)()0,( )()0,(0,
xgt
xxfxx
l
n
n
n
dxl
xnxf
lA
Fourier
l
xnAxfx
0
1
cos)(2
cos )()0,(
級数
l
n
l
n
n
n
dxl
xnxg
anB
dxl
xnxg
ll
anB
l
xn
l
anBxgx
0
0
1
cos)(2
cos)(2
cos)()()0,(
初期条件 初期条件
17
c) 一端固定、他端固定の場合
0
xkT s
0 0,0
0)sincos(),0(
CBA
tBtACt
0)sincos)(cos()(,
tBtAl
aD
ax tl
12
4
212
22
):( 2
)12(
2
)12(
0cos
n
l
l)ππn(
π
/aλ
π
nl
ann
a
l
a
l
n
nn
波長
整数
1
)2
)12(sin
2
)12(cos)(
2
)12(sin(),(
n
nn tl
anBt
l
anA
l
xntx
4n3n1n2n
境界条件
初期条件
)()0,(
)()0,(
0,
xgt
x
xfx
x
l
n
n
n
dxl
xnxf
lA
Fourier
l
xnAxfx
0
1
)2
)12(sin()(
2
)2
)12(sin( )()0,(
級数
l
n
l
n
n
n
dxl
xnxg
anB
dxl
xnxg
ll
anB
l
xn
l
anBxgx
0
0
1
)2
)12(sin()(
2
)2
)12(sin()(
2
)2
)12(sin()()()0,(
18
梁の曲げ振動
xqdx
xdS
)(
xSdx
xdM
)(
xqdx
xMd
2
2 )(
2
2
)()(dx
ydxEIxM
振動の中心：外力 による静的たわみの位置 ),,,( tyyxf
),,,()(
)(
2
2
2
2
22
tyyxft
yxA
x
x
yxEI
dxxA )(質量
xqdx
ydxEI
dx
d ])([
2
2
2
2
2
2
2
2
22
)(
)(
t
yxA
x
x
yxEI
一様断面
)( 0 2
2
22
4
4
EI
A
t
y
x
y
19
二次元波動方程式
薄膜振動
),,,,(),(
1)(
),( 2
2
2
2
2
2
tzzyxfyxy
z
x
z
yx
T
t
z
Ta
y
z
x
za
t
z
tzzyxf
2
2
2
2
22
2
2
)(
0),,,,(
T
T
1
2
yxyxm ),(
yxf
yxfy
T
x
T
t
zyxyx
tantan
),(2
2
fyxy
z
x
z
yx
T
t
z
y
z
x
z
),(
1)(
),(
tan tan
2
2
2
2
2
2