守恆量的適 用範圍超越運動方程式。
DESCRIPTION
能量. 運動方程式不容易解,守恆量可以提供有用的有限資訊。. 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。. 彈簧. 守恆量. 守恆量. 運動. 位置. 自由拋體. 守恆量. 運動 K. 位置 U. 物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動 . U i. K i. U f. K f. Energy Diagram. 由起始條件可以得到守恆的總能量 E. 運動過程中任意位置 y 的動能可以求出,. 速度與位置的關係可以立刻得到。. Turning point: 位能線與總能線交會處,動能為零,粒子轉向。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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能量
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守恆量的適用範圍超越運動方程式。
運動方程式不容易解,守恆量可以提供有用的有限資訊。
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彈簧
txx m cos
txv m sin
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守恆量 txx m cos
txmkv m sin
constant21
21 22 mvkx 守恆量
運動 位置
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020
2 2 yygvv
020
2
21
21 gyvgyv 守恆量
運動 K 位置 U
物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動
Ui Uf KfKi
自由拋體
020
2
21
21 mgymvmgymv
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Energy Diagram
由起始條件可以得到守恆的總能量 E
運動過程中任意位置 y 的動能可以求出,速度與位置的關係可以立刻得到。)(yUEK
mgyU 2
21 mvK
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Turning point: 位能線與總能線交會處,動能為零,粒子轉向。
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221 xkU
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簡諧運動兩端都有 turning point ,因此運動就被拘限在一個範圍內。
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其它的力是不是也有這樣的 U ?
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兩個粒子間的力是否能束縛它們形成束縛態 bound state ,以位能來思考是最簡單的方法!
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2
21 mv
考慮一個無限小的過程:
WFsamstvsmvvm
vvmvvvvmmv
21
21
21 2
研究 的變化
s
vv
v
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W
功造成動能的變化
s
vv
v
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有外力: WFsmv
2
21
功等於動能變化,功與動能原理
2 2 2
0 00 0
1 1 1lim lim2 2 2
N N
i f j j f iN Nj j f is s
W W mv mv mv K K
將無限多無限小的過程組合起來,即成為一個有限的過程:
xF
jxjx 1jx
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W
功造成動能的變化
s
vv
v
00
limN
i f jN js
W W
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( ) ( ') 'f f
i i
x x
x x
F x dx F x dx 定積分是曲線下的面積00
( ) lim ( )f
i
x N
j jN jx x
F x dx F x x
N
jjj
xN
xxFW00
)(lim
x
如果外力只與位置有關)(xFF
考慮一維運動)( jxF
jx jx 1jx
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功是力函數曲線下的面積
f
i
x
x
N
jjj
xN
dxxFxxFW )()(lim00
功即是力對位置的積分
x)( jxF
jx jx 1jx
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( ') ' ( ') 'a b
b a
F x dx F x dx
( ') ' ( ') ' ( ') 'b c b
a a c
F x dx F x dx F x dx
a bc
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( ) ( ') 'i
x
x
G x F x dx
不定積分
)()(: xGxF
函數運算
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微積分基本定理微分與積分是反運算
( ) ( ') 'i
x
x
G x F x dx '( ) ( )G x F x
x x+Δx
0 0
0 0
( ') ( ')( ) ( )'( ) lim lim
( ')( )lim lim ( )
i i
x x x
x x
x x
x x
x
x x
F x dx F x dxG x x G xG x
x x
F x dxF x x F x
x x
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微積分基本定理的應用
( ) ( ') 'i
x
x
G x F x dx
'( ) ( )H x F x 函數 H 稱為函數 F 的反微分
也是一反微分 )()(' xFxG
0'' GH cxHxG )()(
常數 c 可以由函數 H 求出:cxHdxxFxG i
x
xi
i
i
)(0)()( )( ixHc
x
xi
x
xi
i
xHxHxHdxxFxG )'()()(')'()( 此式對任一個反微分 H 都對!
任兩個反微分的差是一個常數!
所以如果你能猜到一個 F 的反微分,你離 F 的積分只差一個常數。
反微分有無限多個!
cxHxG )()(
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x
xi
x
xi
i
xHxHxHdxxFxG )'()()(')'()(
1 1 11 1 1' '1 1 1
ii
xxn n n n
ixx
x x x xn n n
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x
f
i
x
xfi dxxFW ')'(F
一維運動的位能
HxHxHdxxFW if
x
x
f
i
)()(')'(
)()( iiff xHKxHK
是守恆量)(xHK
HWK
H 只與位置有關
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)()(')'( ifxx
x
x
xUxUWdxxFfi
f
i
x
xi xf
)()( iiff xUKxUK
UK 是守恆量
)()( xUxH
位能 Potential Energy
運動 位置
位能差是力所作功乘 -1
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appF
Wapp
UiUf KfKi
)()(')'(app if
x
x
xUxUUdxxFWWf
i
F
將粒子與施力者視為一個系統,所施的力變為系統的內力在運動過程,再施一反向外加力 抵消該內力appF
F
使運動前後動能不變appF 所作的功 並未變成動能,
運動前後粒子位置改變,故定義一與位置有關的能量:位能 Potential Energy
ix fx
appW
因此一定有一新的能量形式
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( ) ( )app f iW mgy U y U y
)()(app ififg yymgyyFW
mgy 有如動能一樣,定為位能
appW U K
W
Ui Uf
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W
Ui Uf KfKi
appW U K
推廣後的功與動位能原理系統的外力所作功等於動能變化加位能變化。
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如無外力:
0appW
0U K
Ui Uf KfKi
appW U K
機械能守恆 UKE Mech
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如無外力:0appW
0U K
Ui Uf KfKi
位能轉化為動能
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W
Ui Uf
所以具有 Potential
物體在較高位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動
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( ) ( ) ( )f
i
x
f i F i fx
U U x U x W F x dx
位能 Potential Energy
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( ) ( ) ( )f
i
x
f i F i fx
U U x U x W F x dx
方便起見,我們可以自由選擇位能為零的位置 c 0)( cU
x
cxcF dxxFWcUxUxU ')'()()()( ,
此定義只定了位能差,事實上在位能函數上加入一個常數並不影響物理結果!
位能是位置的函數
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2
0
1( ) ( ') '2
x
U x kx dx kx
0)0( xU取
彈力位能 Elastic Potential Energy
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守恆量
txx m cos
txmkv m sin
constant21
21 22 mvkx
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( )f
i
x
F i fx
U W F x dx
dxdUF
由位能求力
力是位能函數的微分
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02 )(
21 ExUmv
mxUEv ))((2 0
自由態:機械能大於無限遠處的位能
動能就是兩線的間隔
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束縛態:機械能小於無限遠處的位能
兩端都有 turning point ,所以只能拘限在這兩點之間運動。Turning points 的位置由能量大小決定。
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平衡點 Equilibrium Point
0)(0
0 xdx
dUxF
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在平衡點附近不遠處震盪的束縛態,他所感覺的位能近似於一拋物線,因此近似於一個以平衡點為中心的簡諧運動!
![Page 42: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/42.jpg)
00
2
2
xxxx dxUd
dxdFk
在平衡點附近不遠處,力的曲線近似於平衡點處的切線
![Page 43: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/43.jpg)
束縛態
r
兩個粒子會不會形成束縛態?
關鍵在形成吸引位能的機制
束縛能
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原子力束縛態
+++
+++
---
---
感應形成電荷分布不均
電偶極
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原子力 12 6
( ) 4U rr r
12 6
13 7( ) 4 12 6dUF rdr r r
束縛能只有約 0.001eV ,而室溫時熱擾動能量 kT~0.02eV ,束縛態會被破壞。
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離子束縛態
+ -
-
Na Cl
r
需能5.1eV
釋能3.8eV
若束縛可釋得 1.3eV 以上能量,則束縛態能量較低
形成離子雖然耗能,但兩個相反電荷的離子,靠近時會降低能量
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離子束縛態
束縛能 3.6eV 已大於室溫的熱擾動能量,故為穩定的束縛態。
![Page 48: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/48.jpg)
共價鍵束縛態 -
H+
R
H+
-
H+ H+
-
-
電子共享使能量降低,因此形成束縛態。
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共價鍵束縛態 -
H+ H+
-
解兩個原子核外的電子能量本徵態的波函數
21,, RRr
分子能態的能階與距離 R的關係?
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氫原子能階
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S 能態
S能態機率分布
r
S能態波函數
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P
P 能態機率分布
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s pz
py px
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分子軌道能態 r
H+ H+
1. 分子軌道與個別原子軌道或其組合近似, 當距離 r 很遠時 1 2( ) ( ), ( )x x x )()(or 2211 xcxc
H+
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分子軌道能態 r
H+ H+
?電子能態波函數的機率分布在兩原子核互換下不變 :因此波函數在互換下必須不變(對稱),或是乘上 (-1) 反對稱:
互換
( ) ( )x x ( ) ( )x x
22
因此能態波函數不能近似單純的而是近似於兩者的組合:
1 2( ) ( ), ( )x x x
)()(or 2211 xcxc
在互換下: 21
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氫分子由兩個氫原子組成,分子的電子軌道近似地可以由個別原子的電子軌道合成。
1 2( ) ( )x x
1 2( ) ( )x x 對稱 S
反對稱 A
共價鍵:分享電子所形成的吸引鍵
H2 = H-H, H:H
此兩本徵態的本徴值不同:
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對稱 S
反對稱 A
分子軌道Molecule Orbitsσbond
S態電子有較大機率存在於兩原子核之間,距兩代正電原子核較近,能量因此較小!
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對稱 S Bonding
反對稱 Anti-Bonding
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分子軌道Molecule Orbitsσbond and πbond
S Bonding
S Bonding
A Anti-Bonding
A Anti-Bonding
πbond
σbond
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SP3
CH4
Hybridization
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SP2
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f
i
r
r
W F ds
3D空間的功
沿某一路徑
![Page 63: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/63.jpg)
2
21 mv
有外力:
WFsamstvsmvvm
vvmvvvvmmv
21
21
21 2
功是力向量與位移向量的內積!
研究 的變化
s
vv
v
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W
功造成動能的變化
s
2 21 12 2
f
i
r
f ir
W F ds mv mv
3D空間的功與動能
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正向力不作功
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f
i
r
r
U W F ds
3D空間的位能
沿某一路徑
b
a
sdrFW1
1 )(沿路徑
b
a
sdrFW2
2 )(沿路徑
只與前後點有關)()( aUbUU
21 WW 位能存在的條件
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21 WW
sdFWW
021
0sdF 保守力條件
若是位能定義要唯一 對任意兩路徑
保守力才能定義位能!
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x
xi
xf
一維的,由位置決定的力是保守力!
i
i
x
x
dxxFdxxFW 0)()(
![Page 70: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/70.jpg)
電位能 Electric Potential Energy
靜電力是不是保守力?
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sdFU E
rrQqFE ˆ
2
B
A
r
r
drrQq
204
1
垂直於 r 的運動不作功
AB rrQq 11
4 0
先考慮一固定電荷 Q旁一可運動的小電荷q
與 A 、 B 的方向無關
A’
dr
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0114 0
AAE rr
QqsdF
靜電力為保守力,可以定義電位能萬有引力也是保守力
![Page 73: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/73.jpg)
sdFU E
AB rrQq 11
4 0
電位能
rQqU
041
ArU ,0)(選
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摩擦力是否是保守力?
fdfdfdW f 2回到原位0 mghmghWg
摩擦力不是保守力
動摩擦力大小是常數,但方向與速度有關
![Page 75: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/75.jpg)
0 SfdsfsdF kk
摩擦力不是保守力
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W
Ui Uf KfKi
appW U K
推廣後的功與動能原理
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mechapp EUKdfW k
將摩擦力視為外力 Fapp
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自然界有一個傾向趨向最低位能處!位能可以自然轉為動能,摩擦會慢慢消耗機械能。
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但!實驗發現 intk f if d mc T T E
有摩擦,似乎機械能就不守恒!
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intkf s E K U int 0E K U
intk f if d mc T T E
d
)(int TE 內能
如果將溫度考慮進來,摩擦作的功,也能如位能,寫成一個物理量在前後狀態的改變!
![Page 82: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/82.jpg)
UiUf KfKi Eint i
Eint f
機械能如果被擴展到包括內能,能量還是會守恆!
int 0E K U
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![Page 84: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/84.jpg)
W IR I 2
0W IR I E c t
電磁波帶走的能量
電磁能
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20
2
1
m cEvc
2 20 0
12
E m c m v
質能守恆
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?
神秘的微中子 Neutrino ν
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COSMIC GALL- John Updike Neutrinos, they are very small.
They have no charge and have no massAnd do not interact at all.The earth is just a silly ballTo them, through which they simply pass,Like dustmaids through a drafty hallOr photons through a sheet of glass.They snub the most exquisite gas,Ignore the most substantial wall,Cold-shoulder steel and sounding brass,Insult the stallion in his stall,And scorning barriers of class,Infiltrate you and me! Like tallAnd painless guillotines, they fallDown through our heads into the grass.At night, they enter at NepalAnd pierce the lover and his lassFrom underneath the bed - you callIt wonderful; I call it crass.
![Page 88: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/88.jpg)
β衰變
![Page 89: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/89.jpg)
W. Pauli
N. Bohr
![Page 90: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/90.jpg)
Pauli's letter of the 4th of December 1930Dear Radioactive Ladies and Gentlemen, …….. because of …….. the continuous beta spectrum, I have hit upon a desperate remedy to save …… the law of conservation of energy. Namely, the possibility that there could exist in the nuclei electrically neutral particles, that I wish to call neutrons, which have spin 1/2 and obey the exclusion principle ………….. The continuous beta spectrum would then become understandable by the assumption that in beta decay a neutron is emitted in addition to the electron such that the sum of the energies of the neutron and the electron is constant...
I agree that my remedy could seem incredible because one should have seen those neutrons very earlier if they really exist. But only the one who dare can win and the difficult situation, due to the continuous structure of the beta spectrum, is lighted by a remark of my honoured predecessor, Mr Debye, who told me recently in Bruxelles: "Oh, It's well better not to think to this at all, like new taxes". From now on, every solution to the issue must be discussed. Thus, dear radioactive people, look and judge. Unfortunately, I cannot appear in Tubingen personally since I am indispensable here in Zurich because of a ball on the night of 6/7 December. With my best regards to you, and also to Mr Back.Your humble servantW. Pauli
![Page 91: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/91.jpg)
![Page 92: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/92.jpg)
Cowan and Reines 1955
![Page 93: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/93.jpg)
Cowan and Reines 1955
![Page 94: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/94.jpg)
enp
![Page 95: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/95.jpg)
Homestake
eArCl 3737
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Kamilkande 日本神岡
![Page 97: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/97.jpg)
![Page 98: 守恆量的適 用範圍超越運動方程式。](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012400/56816799550346895ddcd478/html5/thumbnails/98.jpg)
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