第十二章 常微分方程
DESCRIPTION
第十二章 常微分方程. 返回. 一、主要内容. 基本概念. 一阶方程. 高阶方程. 可降阶方程. 类 型 1. 直接积分法 2. 可分离变量 3. 齐次方程 4. 可化为齐次 方程 5. 全微分方程 6. 线性方程. 二阶常系数线性 方程解的结构. 线性方程 解的结构 定理 1; 定理 2 定理 3; 定理 4. 特征方程法. 特征方程的根 及其对应项. 待定系数法. f(x) 的形式及其 特解形式. 欧拉方程. 7. 伯努利方程. 微分方程解题思路. 作变换. 分离变量法. 非全微分方程 非变量可分离. 全微分方程. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第十二章 常微分方程第十二章 常微分方程
返回返回
一、主要内容一、主要内容
基本概念基本概念一阶方程一阶方程
类 型1. 直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程
类 型1. 直接积分法2.可分离变量3.齐次方程4.可化为齐次方程5.全微分方程6.线性方程
7.伯努利方程7.伯努利方程
可降阶方程可降阶方程
线性方程解的结构
定理 1; 定理 2定理 3; 定理 4
线性方程解的结构
定理 1; 定理 2定理 3; 定理 4
欧拉方程欧拉方程
二阶常系数线性方程解的结构
二阶常系数线性方程解的结构
特征方程的根及其对应项
特征方程的根及其对应项
f(x) 的形式及其特解形式
f(x) 的形式及其特解形式
高阶方程高阶方程
待定系数法
特征方程法
微分方程解题思路
一阶方程一阶方程
高阶方程高阶方程
分离变量法分离变量法
全微分方程全微分方程
常数变易法常数变易法
特征方程法特征方程法
待定系数法待定系数法
非全微分方程
非变量可分离
非全微分方程
非变量可分离
幂级数解法幂级数解法
降阶降阶
作变换
作变换
积分因子
1 、基本概念微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.
通解 如果微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解,叫做微分方程的特解.
初始条件 用来确定任意常数的条件 .
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题,叫初值问题.
dxxfdyyg )()( 形如
(1) 可分离变量的微分方程
解法 dxxfdyyg )()(分离变量法
2 、一阶微分方程的解法
)(xy
fdxdy
形如(2) 齐次方程
解法xy
u作变量代换
)(111 cybxacbyax
fdxdy
形如
齐次方程.,01 时当 cc
,令
kYy
hXx
,
(其中 h 和 k 是待定的常数)
否则为非齐次方程.
(3) 可化为齐次的方程
解法化为齐次方程.
)()( xQyxPdxdy
形如
(4) 一阶线性微分方程
,0)( xQ当 上方程称为齐次的.
上方程称为非齐次的 .,0)( xQ当
齐次方程的通解为 .)(
dxxPCey
(使用分离变量法)
解法
非齐次微分方程的通解为
dxxPdxxP
eCdxexQy)()(
])([
(常数变易法)(5) 伯努利 (Bernoulli) 方程
nyxQyxPdxdy
)()( 形如 )1,0( n
方程为线性微分方程 .时,当 1,0n
方程为非线性微分方程 .时,当 1,0n
解法 需经过变量代换化为线性微分方程.
,1 nyz 令
.))1)((()()1()()1(
1
cdxenxQe
zydxxPndxxPn
n
0),(),( dyyxQdxyxP
其中 dyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(
形如
(6) 全微分方程
xQ
yP
全微分方程注意:
解法 应用曲线积分与路径无关 .
y
y
x
xdyyxQxdyxPyxu
00
),(),(),( 0
,),(),(00
0 xdyxPdyyxQx
x
y
y
.),( cyxu
用直接凑全微分的方法 .
通解为
(7) 可化为全微分方程
).(xQ
yP
非全微分方程
0),(),( dyyxQdxyxP形如
若 0),( yx 连续可微函数,且可使方程
0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成为全
微分方程.则称 ),( yx 为方程的积分因子.
公式法 :
)(1
xQ
yP
Q
若 )(xf ;)(
)(dxxf
ex则
)(1
yP
xQ
P
若 )( yg .)(
)(dyyg
ey则
观察法 :熟记常见函数的全微分表达式,通过观察直接找出积分因子.
常见的全微分表达式
2
22 yxdydyxdx
xy
dx
ydxxdy2
xy
arctgdyx
ydxxdy22
xydxyydxxdy
ln
)ln(21 22
22 yxdyx
ydyxdx
yxyx
dyx
ydxxdyln
21
22
可选用积分因子 .,,1
,1
,1
,1
2222222 等x
y
y
x
yxyxxyx
3 、可降阶的高阶微分方程的解法
解法
),(xPy 令
特点 .y不显含未知函数
),()2( yxfy
型)()1( )( xfy n
接连积分 n 次,得通解.
型
解法
代入原方程 , 得 )).(,( xPxfP
,Py
),(xPy 令
特点 .x不显含自变量
),()3( yyfy 型
解法
代入原方程 , 得 ).,( Pyfdydp
P
,dydp
Py
4、线性微分方程解的结构( 1 ) 二阶齐次方程解的结构 :
)1(0)()( yxQyxPy形如
定理 1 如果函数 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程(1)的两个
解,那末 2211 yCyCy 也是(1)的解.( 21 ,CC 是常
数)
定理 2如果 )(1 xy 与 )(2 xy 是方程(1)的两个线性无
关的特解, 那么 2211 yCyCy 就是方程(1)的通
解.
( 2 )二阶非齐次线性方程的解的结构 :
)2()()()( xfyxQyxPy 形如
定理 3 设 *y 是 )2( 的一个特解, Y是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 *yYy 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 )( xf 是几个函
数之和, 如 )()()()( 21 xfxfyxQyxPy
而 *
1y 与*
2y 分别是方程,
)()()( 1 xfyxQyxPy
)()()( 2 xfyxQyxPy
的特解, 那么 *
2
*
1 yy 就是原方程的特解.
5、二阶常系数齐次线性方程解法
)(1)1(
1)( xfyPyPyPy nn
nn 形如
n 阶常系数线性微分方程
0 qyypy 二阶常系数齐次线性方程
)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为 特征方程法 .
02 qprr
0 qyypy
特征根的情况 通解的表达式
实根21 rr
实根21 rr
复根 ir 2,1
xrxr eCeCy 21
21 xrexCCy 2)( 21
)sincos( 21 xCxCey x
特征方程为
01)1(
1)(
yPyPyPy nnnn
特征方程为 011
1
nnnn PrPrPr
特征方程的根 通解中的对应项
rk重根若是rxk
k exCxCC )( 1110
j
k
复根重共轭若是
xkk
kk
exxDxDD
xxCxCC
]sin)(
cos)[(1
110
1110
推广: 阶常系数齐次线性方程解法n
6、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程
型)()()1( xPexf m
x
解法 待定系数法 .
,)(xQexy m
xk 设
是重根是单根不是根
2
,1
0
k
型]sin)(cos)([)()2( xxPxxPexf nl
x
],sin)(cos)([ )2()1( xxRxxRexy mm
xk 设
次多项式,是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( nlm ,max
.1
;0
是特征方程的单根时不是特征方程的根时
j
jk
7 、欧拉方程
欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换
可化为常系数微分方程 .xtex t ln 或
)(1
)1(1
1
)( xfypyxpyxpyx nn
nnnn
的方程 ( 其中 nppp 21 ,
形如
叫欧拉方程 .为常数 ) ,
当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 , 常用幂级数解法 .
8 、幂级数解法
二、典型例题二、典型例题
40,0sin)1(cos.1
xyydyeydx x例
,1
1
cos
sindx
edy
y
yx
解:
,1cos
cosdx
e
e
y
ydx
x
Cey x ln)1ln(cosln
)1(cos xeCy
4
2
40
C
xy 代入,得将
14
2cos xey故所求特解为:
求通解。例 ,.2 22
dx
dyxy
dx
dyxy
,2
dx
dy
x
y
dx
dy
x
y
解:
012
dx
dy
x
y
x
y
xy
xy
dx
dy
1
2
,x
yu令 ,
dx
duxu
dx
dy则 代入,得:
,1
2
u
u
dx
duxu
uu
u
dx
dux
1
2
1u
u
,1
2
u
u
dx
duxu u
u
u
dx
dux
1
2
1u
u
,)1(
x
dx
u
duu
Cxuu lnlnln
Cuxu lnlnln Cxuu lnln
将变量还原,得:
Cyx
ylnln
所以,原方程的解为:
)ln(ln 11 CCCx
yy
。xy
Cey
求通解。例 ],1)[ln('.3 xyyxy
,,,,
),(),(),(
22
22
x
yyxyxxyu
x
yfyxfyxfxyf
做相应的变量替换:等形式的项时,通常要
方程中出现解:
,xyu令 ,'' xyyu 则 代入原方程,得:
,0]1[ln' uyu uyu ln'即:
,lnux
u
dx
du ,
ln x
dx
uu
du ,lnlnlnln Cxu
,ln Cxu ,)ln( Cxxy 即:
求通解。例 ,0)ln(ln.4 yxydxy
得:方程两端同除以 ,ln ydyy解:
当作自变量,将y,1
ln
1
yx
yydy
dx整理,得:
,0ln
ln
yy
yx
dy
dx
dyyyex ln
1
,1 ln
1
Cdye
y
dyyy
ye lnln ,ln1
Cydy
y
yln
1 Cyyd lnln
2
ln
ln
y
y
C
的通解。例 33)1(2
1
1
1'.5 yxyx
y
得::的贝努利方程,作代换这是 ,3 2 yzn解:
,)1(2
1)2(
1
1)2( 3
xzxdx
dz
,)1(1
2 3
xzxdx
dz即:
Cdxexez
dxx
dxx 1
231
2
)1(
24 )1()1(2
1 xCx
242 )1()1(
2
11 xCx
y故原方程的通解为:
的通解。例 33)1(2
1
1
1'.5 yxyx
y
解法二:用常数变易法求解
对应的齐次方程: 01
1'
yx
y
故原方程的通解为:
,1
x
Cy的通解为:
,1
)(
x
xuy设 ,
)1(
)()1)((' 2
'
x
xuxxuy则
得:代入原方程并化简,可 )1)((2
1)(' 3 xxuxu
1)(
)(23 xxu
xdu即:
Cxxu 22 )1(2
1)(两边同时积分得:
24
2
2 )1()1(2
1
1
)(1
xCxx
xu
y
的通解。例 0)cos()cos()sin(.7 2 dyxyxdxxyxyxy
解 )cos(),(),cos()sin(),( 2 xyxyxQxyxyxyyxP
xy QxyxxyxP )]sin([)cos(2 2
故原方程的通解为:
,方程为全微分方程
yx
dxyxQdxyxPyxu00 0 ),(),(),(
)0,0(), 00 yx取(
yx
dxxyxdx0
2
0)cos(0
0)sin(y
xyx
Cxyx )sin(
)sin(xyx
).(
)()]([)(,2
1)0(.8
xf
dyxfydxxfexxffL
路径无关,求
与可导,同时使且已知例
解 )(),(,)]([),( xfyxQyxfeyxP x
故原方程的通解为:
x
Q
y
P
由已知条件,有
)()( ' xfxfe x 即:
xexf2
1)(
xexfxf )()('
Cdxeeexf dxxdx )(
Cdxeee xxx xx eCe2
1
02
1)0( Cf 代入,可得:将
.(*))()(
.92
32
22
1 CCyCx
微分方程:求以下列函数为通解的例
解 微分方程。为通解的方程为一三阶显然以(*)
得:对方程两边同时求导,
')(2)(2 21 yCyCx 0
再求导,得:0')()( 21 yCyCx即:
0''')(1 22 yyCy
再求导,得: 0'''2''')(''' 2 yyyCyyy
0'''3''')( 2 yyyCy即:
( 1 )
( 2 )由( 1 )得:
''
1'2
2 y
yCy
代入( 2 ),得:0'''3)1'(''' 22 yyyy 即为所求。
的通解。求例 xyxy ln'''.10 解 原方程化为:则令 ,''',' pypy
xpxp ln'
x
x
x
pp
ln' 即:
Cdxe
x
xep
dxx
dxx
11 ln1ln 1
x
Cx
1ln' 1 x
Cxy即:
21 lnln CxxCxxxy
21 2ln)( CxxCx
的特解。的满足求例 20
',10
1'''.11 2
x
yx
yyyy
解 原方程化为:则令 ,'','dy
dppypy ,12 p
dy
dpyp
y
dydp
p
p
12即:1
2 ln2)1ln(C
yp 解得:
代入,得:将 20
',10
x
yx
y
,1 22 yp 于是
11 C
(舍负)21 yp ,1 2ypdx
dy
,1 2
dxy
dy
2
21ln Cxyy 两边同时积分,得:
代入,得:将 10
xy )12ln(2 C
)12ln()1ln( 2 xyy故所求特解为:
的通解。求例 yyyyy ln'''.12 22 解 ,的方程,且这是不显含 0yx
原方程可化为: yy
yyyln
2'''2
yy
yln
''
即: ,lnln '' yy
,则令 zy ln ,'' zz
次方程,特征方程为:这是二阶常系数线性齐
,, 112 xx eCeCz 21则其通解为:
xx eCeCy 21ln即:
).(,2)()(,0)0(),()('),()('
)(),(),()()(.13
xFexgxffxfxgxgxf
xgxfxgxfxFx 求且
)内满足以下条件:,在(其中函数设例
解
,
两边同时求导,得:对 )()()( xgxfxF
)(')()()(')(' xgxfxgxfxF )()( 22 xfxg
)()(2)()( 2 xgxfxfxg )(2)2( 2 xFe x
2)2()(2)(' xexFxF 即:
CdxeeexF dxxdx 222 4)(: Cdxee xx 42 4 xx Cee 22
代入上式,得:将 ,0)0()0()0( gfF 1C
xx eexF 22)(
故:
三、巩固练习三、巩固练习
一、 选择题: 1、 一阶线性非齐次微分方程 )()( xQyxPy 的通解是( ).
(A)
])([)()(
CdxexQeydxxPdxxP
;
(B)
dxexQeydxxPdxxP )()(
)( ;
(C)
])([)()(
CdxexQeydxxPdxxP
;
(D) dxxP
cey)(
. 2、方程 yyxyx 22 是( ). (A)齐次方程; (B)一阶线性方程;
(C)伯努利方程; (D)可分离变量方程 .
3、 2)1(,022
yx
dx
y
dy的特解是( ).
(A) 222 yx ; (B) 933 yx ;
(C) 133 yx ; (D) 133
33
yx
.
4、方程 xy sin 的通解是( ).
(A) 322
12
1cos CxCxCxy ;
(B) 322
12
1sin CxCxCxy ;
(C) 1cos Cxy ; (D) xy 2sin2 .
5、方程 0 yy 的通解是( ). (A) 1cossin Cxxy ; (B) 321 cossin CxCxCy ; (C) 1cossin Cxxy ; (D) 1sin Cxy . 6、若 1y 和 2y 是二阶齐次线性方程 0)()( yxQyxPy 的两个特解,则 2211 yCyCy (其中 21 ,CC 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解; (B)是该方程的解;
(C)是该方程的特解; (D)不一定是该方程的解.
7、求方程 0)( 2 yyy 的通解时,可令( ). (A) PyPy 则, ;
(B)dy
dPPyPy 则, ;
(C)dx
dPPyPy 则, ;
(D)dy
dPPyPy 则, .
8、已知方程 02 yyxyx 的一个特解为 xy ,于 是方程的通解为( ).
(A) 221 xCxCy ; (B)
xCxCy
121 ;
(C) xeCxCy 21 ; (D) xeCxCy 21 .
9、已 知方 程 0)()( yxQyxPy 的 一 个 特
1y解为 , 则另一个与它线性无关的特解为( ).
(A)
dxey
yydxxP )(
21
12
1;
(B) dxey
yydxxP )(
21
12
1;
(C)
dxey
yydxxP )(
112
1;
(D) dxey
yydxxP )(
112
1.
10、方程 xeyyy x 2cos23 的一个特解形式是 ( ). (A) xeAy x 2cos1 ; (B) xxeBxxeAy xx 2sin2cos 11 ; (C) xeBxeAy xx 2sin2cos 11 ;
(D) xexBxexAy xx 2sin2cos 21
21 .
二、 求下列一阶微分方程的通解: 1、 )1(lnln xaxyxyx ;
2、 033 yxxydx
dy;
3、 022
yx
xdyydxydyxdx .
三 、 求 下 列 高 阶 微 分 方 程 的 通 解 :1、 012 yyy ;2、 )4(2 xexyyy .
四 、 求 下 列 微 分 方 程 满 足 所 给 初 始 条 件 的 特 解 :1、 0)(2 223 dyxyxdxy , 11 yx 时, ;
2、 xyyy cos2 ,2
3,00 yyx 时, .
五、已知某曲线经过点)1,1( ,它的切线在纵轴上的截 距等于切点的横坐标,求它的方程 .
六 、 设 可 导 函 数 )( x 满 足
1sin)(2cos)(0
xtdttxxx , 求 )( x .
七 、 我 舰 向 正 东 海里1 处 的 敌 舰 发 射 制 导 鱼 雷 , 鱼 雷 在
航 行 中 始 终 对 准 敌 舰 . 设 敌 舰 以 0v常数 沿 正 北 方 向直 线 行 驶 , 已 知 鱼 雷 速 度 是 敌 舰 速 度 的 两 倍 , 求 鱼 雷的 航 行 曲 线 方 程 , 并 问 敌 舰 航 行 多 远 时 , 将 被 鱼 雷 击中 ?
巩固练习题答案一、1、A; 2、A; 3、B; 4、A; 5、B; 6、B; 7、B; 8、B; 9、A; 10、C.
二、1、xc
axyln
;
2、 121
2 2
xeCy x ;
3、 Cxy
yx arctan222 .
三、1、 )cosh(1
211
CxCC
y ;
2、 xxexxeCeCCy xxx 222321 )
94
61
( .
四 、 1 、 0)ln21( 2 yyx ;
2 、 xxey x sin21
.
五 、 xxxy ln .六 、 xxx sincos)( .
七 、 )10(32
)1(31
)1( 2
3
2
1
xxxy .
谢谢使用,再见!谢谢使用,再见!Thank you! Byebye!Thank you! Byebye!