ریاضیات در ریاضیات در شرقشرق

ریاضیات ملتهای ریاضیات ملتهای هندهند

خصوصیت دستگاه شمار خصوصیت دستگاه شمار هندیهندی

11 می گرفتند. می گرفتند.1010. مبنا را عدد . مبنا را عدد 22 تکامل اصطالحات مربوط به نامگذاری . تکامل اصطالحات مربوط به نامگذاری .

1010 توانهایتوانهای

دستگاه شماردستگاه شمار

.دستگاه شمار موضعی یا .دستگاه شمار موضعی یا 11دهدهیدهدهی

.دستگاه شمار غیر موضعی.دستگاه شمار غیر موضعی22

دستگاه شمار غیر موضعیدستگاه شمار غیر موضعی

11ارقام کهاروشتا. ارقام کهاروشتا .22ارقام برهما. ارقام برهما .33دستگاه لفظی. دستگاه لفظی .44دستگاه الفبایی. دستگاه الفبایی .

ارقام کهاروشتاارقام کهاروشتا این ارق5ام در ش5رق افغانس5تان ام5روزی و ش5مال این ارق5ام در ش5رق افغانس5تان ام5روزی و ش5مال

ت5ا س5ده از میالد از س5ده چه5ارم پیش ت5ا س5ده پنج5اب از میالد از س5ده چه5ارم پیش پنج5اب این س5وم بع5د از میالد ک5اربرد داش5ته اس5ت.در این س5وم بع5د از میالد ک5اربرد داش5ته اس5ت.در دس5تگاه ع5ددها از راس5ت ب5ه چپ نوش5ته میش5ود دس5تگاه ع5ددها از راس5ت ب5ه چپ نوش5ته میش5ود ع555ددهای ب555رای5 م5نف555ردی5 عالم5ته555ای ع555ددهای و ب555رای5 م5نف555ردی5 عالم5ته555ای و

وجود دارد. وجود دارد.1،4،10،20،1001،4،10،20،100 / /:: 11 ×× : : 44 د د ::

1010ЗЗ : : 2020 / /ξξ: : 100100

ارقام کهاروشتاارقام کهاروشتا /// // / /// // /×× ×/×/ ×//×// ×///×/// ××××

11 22 33 44 55 66 77 88

د دЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗد د 1010 2020 4040 5050

ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ د د ЗЗ ЗЗ ЗЗ ЗЗ 6060 7070 8080

//ξξ // //ξξ /// ///ξξ / /ЗЗξξ// //// //ЗЗЗЗЗЗξξدد×× 100100 200200 300300 122122 274274

ارقام برهماارقام برهما ب5ه ط5ور ارق5ام در کن5ار رقمه5ای کهاروش5تا ب5ه ط5ور این ارق5ام در کن5ار رقمه5ای کهاروش5تا این

وس5یعی ب5ه ک5ار می رفت.این ارق5ام از چپ ب5ه وس5یعی ب5ه ک5ار می رفت.این ارق5ام از چپ ب5ه ب555رای و ش555وند می نوش555ته ب555رای راس555ت و ش555وند می نوش555ته راس555ت

عالمت خاصی داشتند. عالمت خاصی داشتند. 1،10،100،10001،10،100،1000 س5ال بک5ار س5ال بک5ار 10001000این ارق5ام ب5دون تغی5یر بیش از این ارق5ام ب5دون تغی5یر بیش از

رفت.رفت.

ارقام برهماارقام برهما

دستگاه لفظیدستگاه لفظی بی5ان کلم5ات مختل5ف ب5ا این دس5تگاه رقمه5ا بی5ان در کلم5ات مختل5ف ب5ا این دس5تگاه رقمه5ا در

می ش5دند. ثبت اع5داد ب5دین گون5ه ب5ه غن5ای زب5ان می ش5دند. ثبت اع5داد ب5دین گون5ه ب5ه غن5ای زب5ان جهت از آن لغ5ات ذخ5یره ب5ه و جهت سانس5کریت از آن لغ5ات ذخ5یره ب5ه و سانس5کریت

مترادفهای بسیار ،کمک فراوان کرد.مترادفهای بسیار ،کمک فراوان کرد.

12301230 ((11(-زمین)(-زمین)22(-لبها)(-لبها)33(-زمانها)(-زمانها)00: آسمان): آسمان)325108325108((-55(-تیرها)(-تیرها)22(-لبها)(-لبها)33 : زمانها) : زمانها-)

((88(-خدایان)(-خدایان)00(-آسمان)(-آسمان)11زمین)زمین)

دستگاه لفظیدستگاه لفظی00 کلمه( کلمه(1515: خالی،آسمان،سوراخ،بیحد)بیش از : خالی،آسمان،سوراخ،بیحد)بیش از 11 کلمه( کلمه(3939: شروع،ماه،زمین،بدن،برهمن)بیش از : شروع،ماه،زمین،بدن،برهمن)بیش از 22 کلمه( کلمه(3030: توام،چشمها،لبها،زوج)بیش از : توام،چشمها،لبها،زوج)بیش از 33 کلمه( کلمه(2626: مقاصد،آشتیها،زمانها،آتش)بیش از : مقاصد،آشتیها،زمانها،آتش)بیش از 44 اقیانوسها،طبقه ها،دورانهای صلح،مراحل زندگی،قسمتهای : اقیانوسها،طبقه ها،دورانهای صلح،مراحل زندگی،قسمتهای :

کلمه( کلمه(2929عالم)بیش از عالم)بیش از 55 تیرها،عناصر،اندامهای حسی،قهرمانان افسانه ای : تیرها،عناصر،اندامهای حسی،قهرمانان افسانه ای :

کلمه( کلمه(99مهابهارات)بیش از مهابهارات)بیش از 66 کلمه( کلمه(1616: طعمها،قسمتهای بدن،رنگها)بیش از : طعمها،قسمتهای بدن،رنگها)بیش از 77 کلمه( کلمه(2828: کوهها،دانشمندان)بیش از : کوهها،دانشمندان)بیش از 88 کلمه( کلمه(2626: مارها،خدایان،آرشها)بیش از : مارها،خدایان،آرشها)بیش از 99 کلمه( کلمه(1515: الهه ها)بیش از : الهه ها)بیش از 1010 کلمه( کلمه(1010: انگشتان،مظاهر خدای ویشنا)بیش از : انگشتان،مظاهر خدای ویشنا)بیش از

دستگاه الفباییدستگاه الفبایی

،آث5ار ریاض5ی و نج5ومی تغی5یر دس5تگاه لفظی در آث5ار ریاض5ی و نج5ومی، برای تغی5یر دس5تگاه لفظی در برای در فق5ط هن5دی5ها آم5د.5 بوج5ود الف5ب5ایی ش5م5ار در دس5تگاه فق5ط هن5دی5ها آم5د.5 بوج5ود الف5ب5ایی ش5م5ار دس5تگاه می اس5تف5اده آ5ن از نج5و5می ریاض5ی 5و ه5ای5 می رس5اله اس5تف5اده آ5ن از نج5و5می ریاض5ی 5و ه5ای5 رس5اله

کردند. کردند. .این دستگاه به چند طریق وجود داشت. این دستگاه به چند طریق وجود داشت ح5رف بی ص5دا ح5رف بی ص5دا 3434 ح5رف ص5دادار و ح5رف ص5دادار و 1616یکی از آنه5ا از یکی از آنه5ا از

ز5ی5ر قا5ع5ده5 ا5س5ت 5بن5ابر5ا5ین 5اع5داد 5طب5ق5 ز5ی5ر د5رس5ت5 ش5د5ه قا5ع5ده5 ا5س5ت 5بن5ابر5ا5ین 5اع5داد 5طب5ق5 د5رس5ت5 ش5د5ه معین میشدند:معین میشدند:

m m + )+ )n-1n-1( 34( 34 که کهnn شماره ردیف حرف صدادار و شماره ردیف حرف صدادار و mm شماره ردیف شماره ردیف

حرف بیصدا است .حرف بیصدا است .

دستگاه الفباییدستگاه الفبایی = حرف اول حرف اول اا حرف سوم بیصدا و حرف سوم بیصدا و کک ) ) 33کا = کا

صدادار(صدادار(

n=1n=1 و و m=3m=3پس : پس :

3434((1-11-1+)+)33==33

حرف حرف اواو حرف ششم بیصدا و حرف ششم بیصدا و چچ ) )142142چو=چو= پنجم صدادار(پنجم صدادار(

n=5n=5 و و m=6m=6پس : پس :

3434((5-15-1+)+)66==142142

شرایط دستگاه شمار دهدهی شرایط دستگاه شمار دهدهی موضعی موضعی

11حذف عالمت واحد ردیف. حذف عالمت واحد ردیف .22بکاربردن عالمت صفر برای ردیفهای خالی. بکاربردن عالمت صفر برای ردیفهای خالی .33 به عنوان مبنای دستگاه به عنوان مبنای دستگاه 1010. قبول عدد . قبول عدد

شمارشمار44ضرب ردیف در کمیت نوشته شده در ردیف. ضرب ردیف در کمیت نوشته شده در ردیف .

تمام این شرایط در سده های نخستین میالدی تمام این شرایط در سده های نخستین میالدی در هند وجود داشته است .در هند وجود داشته است .

حسابحساب

حساب و قسمتی از جبر ما از هند سرچشمه حساب و قسمتی از جبر ما از هند سرچشمهگرفته است.گرفته است.

عمل عمل 88در حساب برای عددهای صحیح و کسری در حساب برای عددهای صحیح و کسری اصلی وجود دارد:اصلی وجود دارد:

11 44. ضرب . ضرب 33. تفریق . تفریق 22. جمع . جمع . .تقسیمتقسیم

55 88.مکعب .مکعب 77.جذر .جذر 66.مجذور .مجذور . .کعب کعب

حسابحسابشریدهاراشریدهارا12961296**2121(=(=1000+200+90+61000+200+90+6*)*)2121==

21000+4200+1890+12621000+4200+1890+126==2721627216 بهاسکارابهاسکارا135135**1212==135135((12+812+8-)-)135135**88

135135**1212==135135((12-212-2+)+)135135**22

حسابحساب کسرها از خیلی قدیم کسرها از خیلی قدیم

در هند شناخته شده در هند شناخته شده بودند.بودند.

مجموع سه کسر به مجموع سه کسر بهصورت زیر نوشته صورت زیر نوشته

میشد:میشد:

f

e

d

c

b

a

aa

bbcc

ddee

ff

حسابحساب تفریق را به وسیله تفریق را به وسیله

نقطه یا صلیب نقطه یا صلیب کوچک می نوشتند :کوچک می نوشتند :

f

e

d

c

b

a

aa

bb..cc

ddee++

ff

حسابحساب کسر مرکب را به کسر مرکب را به

صورت روبرو نشان صورت روبرو نشان میدادندمیدادند

یایا

aa

bb

ccc

ba

aa

11

bb

ccc

ba

1

حسابحسابضرب و تقسیم نیز ضرب و تقسیم نیز

بدین صورت نوشته بدین صورت نوشته میشد :میشد :

: ضرب :ضرب

: تقسیم :تقسیمیایا

b

ad

c

aa

bb

cc

dd

aa

bb

cc

dd

حسابحساب تص5اعدهای ب5ه مرب5وط مس5ایل هن5دی دانه5ای تص5اعدهای ریاض5ی ب5ه مرب5وط مس5ایل هن5دی دانه5ای ریاض5ی

تعب5ی5ر ش5ریدها5را ح5ل 5میکر5دن5د. را هندس5ی تعب5ی5ر حس5ابی 5و ش5ریدها5را ح5ل 5میکر5دن5د. را هندس5ی حس5ابی 5و هن5دس5ی تص5اع5د ح5س5ابی را ب5ه ص5ور5ت ذوزنق5ه متس5او5ی هن5دس5ی تص5اع5د ح5س5ابی را ب5ه ص5ور5ت ذوزنق5ه متس5او5ی الس5اقینی ک5ه ارتف5ا5ع آن م5س5اوی تع5د5اد جمل5ه ه5ای تص5اعد الس5اقینی ک5ه ارتف5ا5ع آن م5س5اوی تع5د5اد جمل5ه ه5ای تص5اعد

است، داده است. است، داده است.

3A3A

3A

2A

1A

3B

2B1B

1nB

nB

1nA

nA

1nC

nC

3C

2C

1C

جبرجبر موفقیته5ای ج5بر زمین5ه در هن5دی موفقیته5ای دانش5مندان ج5بر زمین5ه در هن5دی دانش5مندان

22زی5ادی بدس5ت آوردند.قاع5ده ح5ل معادل5ه درج5ه زی5ادی بدس5ت آوردند.قاع5ده ح5ل معادل5ه درج5ه وارد را گن5گ و منفی دادن5د،ع5ددهای تعمیم وارد را را گن5گ و منفی دادن5د،ع5ددهای تعمیم را عم5ل کردن5د . ب5رای مق5ادیر مجه5ول ، جمل5ه ث5ابت عم5ل کردن5د . ب5رای مق5ادیر مجه5ول ، جمل5ه ث5ابت

معادله و توان ، عالمتهایی قرار دادند.معادله و توان ، عالمتهایی قرار دادند.

جبرجبر :از هجای اول کلمه یاوات- از هجای اول کلمه یاوات-یایاعالمت مجهول: عالمت مجهول

تاوات ) به معنی اندازه (تاوات ) به معنی اندازه ( :از هجای اول از هجای اول روروعالمت جمله ثابت معادله: عالمت جمله ثابت معادله

کلمه روپا ) به معنی کامل (کلمه روپا ) به معنی کامل ( ، )عالمتهای توان : وارگا)مربع( ، گهانا)مکعب( ، عالمتهای توان : وارگا)مربع( ، گهانا)مکعب

گهاتا)برای جمع توانها(گهاتا)برای جمع توانها(

جبرجبر197x-1644y-z=6302197x-1644y-z=6302

معادله باال ، چنین نوشته معادله باال ، چنین نوشته میشد:میشد:

==197x-1644y-z+0197x-1644y-z+0یعنی یعنی

0x+0y+0z+63020x+0y+0z+6302

0 0 یا 197کا 1644نی 1رو 0

یا 0کا 0نی 0رو 6302

جبرجبر براهماگوپت5ا ب5رای نخس5تین ب5ار ع5ددهای مثبت و منفی براهماگوپت5ا ب5رای نخس5تین ب5ار ع5ددهای مثبت و منفی

اع5داد و دارایی عن5وان ب5ه مثبت اع5داد ب5رد. بک5ار اع5داد را و دارایی عن5وان ب5ه مثبت اع5داد ب5رد. بک5ار را منفی را به عنوان قرض تلقی کرد.منفی را به عنوان قرض تلقی کرد.

ب5ه اول آریابهات5ای آث5ار در ب5ار اولین ب5رای ب5ه همچ5نین اول آریابهات5ای آث5ار در ب5ار اولین ب5رای همچ5نین معادالت خطی برخورد میکنیم.معادالت خطی برخورد میکنیم.

در نوش5ته ه5ای مه5اویرا ب5ه مس5ایلی ب5ر می خ5وریم ک5ه ب5ه در نوش5ته ه5ای مه5اویرا ب5ه مس5ایلی ب5ر می خ5وریم ک5ه ب5هدس5تگاه دو معادل5ه دو مجه5ولی منج5ر می ش5ود. روش5ی دس5تگاه دو معادل5ه دو مجه5ولی منج5ر می ش5ود. روش5ی ، رود می ک5ار ب5ه دس5تگاه این ح5ل ب5رای ام5روز ، ک5ه رود می ک5ار ب5ه دس5تگاه این ح5ل ب5رای ام5روز ک5ه

تفاوتی با روش مهاویرا ندارد.تفاوتی با روش مهاویرا ندارد.

جبرجبرمعادله های به صورتمعادله های به صورت

جزو معادله های درجه اول به حساب می آمد.جزو معادله های درجه اول به حساب می آمد. به ح5ل معادل5ه کام5ل درج5ه دوم ب5رای نخس5تین به ح5ل معادل5ه کام5ل درج5ه دوم ب5رای نخس5تین

می ب5ر اول آریابهات5ای ه5ای نوش5ته در می ب5ار ب5ر اول آریابهات5ای ه5ای نوش5ته در ب5ار خوریم.خوریم.

232 , BxAxBxAx

جبرجبر

:جواب این معادله را آریابهاتا چنین میدهد:جواب این معادله را آریابهاتا چنین میدهد

qppxtx 2

qppxtx 2

t

ppqpt

x22

2

هندسههندسه می را هندس5ه ب5ه مرب5وط اطالع5ات می نخس5تین را هندس5ه ب5ه مرب5وط اطالع5ات نخس5تین

ت5وان از رس5اله ق5انون طنابه5ا بدس5ت آورد ک5ه در ت5وان از رس5اله ق5انون طنابه5ا بدس5ت آورد ک5ه در حقیقت ی5ک رس5اله دس5تی ب5رای معم5اران در ک5ار حقیقت ی5ک رس5اله دس5تی ب5رای معم5اران در ک5ار از بس5یاری اس5ت. معاب5د و محرابه5ا از س5اختمان بس5یاری اس5ت. معاب5د و محرابه5ا س5اختمان قض55یه مبن55ای ب55ر هندس55ی س55اختمانهای قض55یه این مبن55ای ب55ر هندس55ی س55اختمانهای این

فیثاغورث انجام می گرفت.فیثاغورث انجام می گرفت.

هندسههندسه اثبات قضیه مربوط به مساحت مثلثاثبات قضیه مربوط به مساحت مثلث

هندسههندسهاثبات قضیه مربوط به مساحت دایرهاثبات قضیه مربوط به مساحت دایره

مثلثاتمثلثات در هن5د پای5ه ه5ای مثلث5ات ب5ه عن5وان آم5وزش در هن5د پای5ه ه5ای مثلث5ات ب5ه عن5وان آم5وزش

تواب55ع از ش55د. گذاش55ته مثلث55اتی تواب55ع مق55ادیر از ش55د. گذاش55ته مثلث55اتی مق55ادیر س55ی5نوس-5 ک5س55ینوس، س55ینوس، س55ی5نوس-5 م5ثلث55اتی ک5س55ینوس، س55ینوس، م5ثلث55اتی

معکوس برای آنها معلوم بود.معکوس برای آنها معلوم بود. دای5ره اول رب5ع در تنه5ا را مثلث5اتی دای5ره مق5ادیر اول رب5ع در تنه5ا را مثلث5اتی مق5ادیر

مورد مطالعه قرار می دادند. مورد مطالعه قرار می دادند.

مثلثاتمثلثات روابط بین توابع روابط بین توابع

مثلثاتی:مثلثاتی:

bababa

aa

aa

aa

sincoscossinsin

2sin2cos1

90cossin

1cossin

2

22

مثلثاتمثلثات نیالکانتا دانشمند هندی قرن شانزدهم ، رشته نیالکانتا دانشمند هندی قرن شانزدهم ، رشته

بینهایتی را بدون اثبات میدهد :بینهایتی را بدون اثبات میدهد :

...cos5

sin

cos3

sin

cos

sin5

5

3

3

rrr

i

cossin با فرض

...53

53

tgtg

tg : به ازاء خواهیم داشت

1r

1r

مثلثاتمثلثات بسط سینوس و بسط سینوس و

کسینوسکسینوس

...!4!2

cos

...!5!3

sin

3

42

4

53

2

r

s

r

ssr

r

s

r

ssr

ریاضیات ملتهای ریاضیات ملتهای چینچین

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین مطالع5ه ی یکی از رس5اله ه5ای ق5دیمی چی5نی ب5ه مطالع5ه ی یکی از رس5اله ه5ای ق5دیمی چی5نی ب5ه

ن5ام”رس5اله ی ریاض5ی س5ون تس5ه زی “مرب5وط ن5ام”رس5اله ی ریاض5ی س5ون تس5ه زی “مرب5وط به سده ی سوم میالدیبه سده ی سوم میالدی

کس55رهای آم55دن بوج55ود رس55می س55ال کس55رهای آم55دن بوج55ود رس55می س55ال 15851585اعشاری :اعشاری :

کس55رهای اروپ55ایی دانش55مندان و کاش55انی کس55رهای اروپ55ایی دانش55مندان و کاش55انی شص5تگانی ش5ماری ع5دد قی5اس ب5ه شص5تگانی اعش5اری ش5ماری ع5دد قی5اس ب5ه اعش5اری س5اختند ، در ح5الی ک5ه در چین ب5ه ط5ور مس5تقل س5اختند ، در ح5الی ک5ه در چین ب5ه ط5ور مس5تقل و ب5دون اس5تفاده از کس5رهای شص5تگانی بوج5ود و ب5دون اس5تفاده از کس5رهای شص5تگانی بوج5ود

آمد آمد

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین : روابط تقریبی برای ریشه های گنگ : روابط تقریبی برای ریشه های گنگ

a+1/(2b+1)<1,a^2+b<a+1/2ba+1/(2b+1)<1,a^2+b<a+1/2b

،واحدهایی برای طول چی:تسون، فن، لی،هااو،میااو،هو،واحدهایی برای طول چی:تسون، فن، لی،هااو،میااو،هو اگ5ر ع5ددی در ح5د این واح5د قاب5ل بی5ان نب5ود،باقیمان5ده را ب5ا )اگ5ر ع5ددی در ح5د این واح5د قاب5ل بی5ان نب5ود،باقیمان5ده را ب5ا(

: ،مثال می 5داد ن5ش5ان :کس5ر 5متع5ا5رفی ،مثال می 5داد ن5ش5ان تس5ون99کس5ر 5متع5ا5رفی تس5ون لی لی 77فن 5فن 775 هو(هو(10/910/9هو هو 88میااومیااو55هااو هااو 88

: 0.97785890.9778589واحد اصلی :چی =<کسر برابر است با :واحد اصلی :چی =<کسر برابر است با: 9.7785899.778589واحداصلی:تسون=<کسر برابر است با :واحداصلی:تسون=<کسر برابر است با

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین

:ش5ه ن5و ش5ه ن5و 99 دوی و دوی و 77مس5ئله ی مرب5وط ب5ه مبادل5ه غالت:مس5ئله ی مرب5وط ب5ه مبادل5ه غالت ا5رزن5 داریم آنه5ا را ب5ا چق5در5 گن5د5م می 5ت5وانیم ع5وض ا5رزن5 داریم آنه5ا را ب5ا چق5در5 گن5د5م می 5ت5وانیم ع5وض

کنیم؟کنیم؟

2121شه نو( (*شه نو( (*99دوی دوی 77/)/)5050 ) )

دوی دوی1010هو=هو=11

شه نو شه نو1010دوی=دوی=11

ب5وده ک5ه ب5ه تق5ریب مس5اوی ب5وده ک5ه ب5ه تق5ریب مس5اوی دوی دوی )واح5د اص5لی در چین )واح5د اص5لی در چین لیتر است.( لیتر است.(10.3510.35

واحد گنجایش می باشد. واحد گنجایش می باشد.0.10.1شه نومعادل است با شه نومعادل است با

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین ضریب تبدیل واحد حجم به واحد ضریب تبدیل واحد حجم به واحد

فن.فن.22تسون تسون 66چی چی 11گنجایش:گنجایش:تZاس عبZارت عZدد اسZتاین عبZارت عZدد از 11:حجم :حجم ازاز این از دوی دوی

ب5ه ش5کل مس5تطیل مکعب ظ5رف ک5ه ب5ه م5ایعی ش5کل مس5تطیل مکعب ظ5رف ک5ه م5ایعی چی را پ5ر چی را پ5ر 62/162/1 چی مرب5ع و ارتف5اع چی مرب5ع و ارتف5اع 11قاع5ده ی قاع5ده ی کرده باشدکرده باشد

11=چی چی1010چژان=چژان 11=تسون تسون1010چی=چی

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین تیرکی ب5ا ان5دازه ی ن5امعلوم وج5ود دارد.س5ایه ی تیرکی ب5ا ان5دازه ی ن5امعلوم وج5ود دارد.س5ایه ی

ایم، گرفت5ه ان5دازه را ایم،آن گرفت5ه ان5دازه را بدس5ت 55چ5ژان چ5ژان 11آن بدس5ت چی چی آم5ده اس5ت.جدا از این دی5رک س5تونی ق5رار دارد آم5ده اس5ت.جدا از این دی5رک س5تونی ق5رار دارد

تس5ون است.س5ایه ی این تس5ون است.س5ایه ی این 55 چی چی 11ک5ه ط5ول آن ک5ه ط5ول آن تسون است. طول تیرک چقدر است؟تسون است. طول تیرک چقدر است؟55ستون ستون

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین

چی5چژان 4: جوابX=ab1/a1

X=(1.5*0.15)/0.05=0.225/0.05=22.5/5=4

.5x

a 1a1b

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چینچژانچژان11چی.چی.11چی=چی=11

چیچی55چی.چی.11تسون=تسون=55

چژانچژان11تسون.تسون.55تسون=تسون=55

چیچی55تسون.تسون.55دهم تسون=دهم تسون=2525تسون=تسون=22فن فن 55

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین1500000015000000 400000400000 دهق5ان وج5ود دارد ک5ه از انه5ا دهق5ان وج5ود دارد ک5ه از انه5ا

س5رباز ان5تخ5اب ش5ده 5اس5ت.5می خ5و5اهیم ب5دانیم از ه5ر س5رباز ان5تخ5اب ش5ده 5اس5ت.5می خ5و5اهیم ب5دانیم از ه5ر چ5ند دهقا5ن یک سرباز5 انت5خاب ش5ده ا5ست؟5چ5ند دهقا5ن یک سرباز5 انت5خاب ش5ده ا5ست؟5

:فن فن55دهقان ودهقان و3737جواب:جواب تسون(تسون(10/110/1فن=فن=11))

ب5ا” ب5ا”)این ج5واب مع5ادل اس5ت و ع5دد ص5حیح و 3737)این ج5واب مع5ادل اس5ت دهم. دهم. 55ع5دد ص5حیح دهم دهقان نمی5تواند وجود5 داش5ته باش5د.( دهم دهقان نمی5تواند وجود5 داش5ته باش5د.( 55ولی ولی

یکی دیگر از واحدهای غیر قا بل تقسیم “بو”می یکی دیگر از واحدهای غیر قا بل تقسیم “بو”میباشد که باشد که

11=چیچی66بو=بو

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین

:دو مسئله دیگر از رساله ی سون تسه زی:دو مسئله دیگر از رساله ی سون تسه زی ب5و ب5و 639639کف ات5اقی ب5ه ش5کل منح5نی اس5ت ک5ه ط5ول آن کف ات5اقی ب5ه ش5کل منح5نی اس5ت ک5ه ط5ول آن

بو است.سطح کف اتاق چقدر است؟ بو است.سطح کف اتاق چقدر است؟380380و قطر آن و قطر آن

( =( =c/2c/2(*)(*)d/2d/2 ) )مساحت قطاعمساحت قطاع قطر دایره ی قطاع است. قطر دایره ی قطاع است.dd طول قوس و طول قوس و ccدرآن درآن

c/2=319.5c/2=319.5

:بو بو 319319نصف طول قوس به روش سون تسه زی: نصف طول قوس به روش سون تسه زی فنفن55

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین:مسئله ی شانزدهم این رساله:مسئله ی شانزدهم این رساله

ب5و داریم. اگ5ر ب5ا آن م5ربعی ب5و داریم. اگ5ر ب5ا آن م5ربعی 57945794طن5ابی ب5ه ط5ولطن5ابی ب5ه ط5ولبسازیم ،طول ضلع مربع چقدر است؟بسازیم ،طول ضلع مربع چقدر است؟

چی.چی.33 بو بو 14481448::جوابجواب

بو بو 1448.51448.5کسر اعشاری = کسر اعشاری =

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چینبزرگ کردن یک عدد یا بزرگ کردن یک عدد یا :: شان شی چژهشان شی چژه

1010ضرب آن در ضرب آن در :) حرکت از ردیف مورد حرکت از ردیف مورد توی )عقب کشیدن (:توی )عقب کشیدن

نظر به چپ.نظر به چپ.

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین 1800018000پی کت5ان وج5ود دارد ک5ه پی کت5ان وج5ود دارد ک5ه 1:211:21مس5ئله ی مس5ئله ی

تس5یان می ارزد.قیمت ی5ک چ5ژان، ی5ک چی،ی5ک تس5یان می ارزد.قیمت ی5ک چ5ژان، ی5ک چی،ی5ک تسون از کتان به طور جداگانه چقدر است؟تسون از کتان به طور جداگانه چقدر است؟

-تسیان تسیان45004500جواب: چژان-جواب: چژان

تسیان تسیان450450چی-چی-

تسیان تسیان4545تسون-تسون-

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین : مقیاس واحد طول تسه زوچون –چژی : مقیاس واحد طول تسه زوچون –چژی

( ( 1616^)-^)-101088=سیون. سیون. 11چی=چی22=چژان . چژان . 11سیون=سیون88=ژن ژن 11چی=چی

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین

:برای تعیین حجم با شروع از سو:برای تعیین حجم با شروع از سو

شااو شااو 1010گه=گه=11سوسو66گوی=گوی=11

گه گه 1010شه نو=شه نو=11گویگوی1010تسو=تسو=11

شه نو شه نو 1010دوی=دوی=11تسوتسو1010چااو=چااو=11

دوی دوی 1010هو=هو=11چااوچااو1010شااو=شااو=11

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین

11=شوشو1010له ی=له ی11=له یله ی1010چژو=چژو11=چژوچژو2424النو=النو

11=النوالنو1616تسه زین=تسه زین11=تسه تسه 3030تسه زیون=تسه زیون

زینزین11=تسه زیونتسه زیون44 دوانیو= دوانیو

برای وزن کردن با شروع :از شو

تاریخ کسرهای اعشاری در چینتاریخ کسرهای اعشاری در چین

11=چژان چژان 1010ینیو=ینیو

هوهو1010سی=سی=1111=چی چی 5050دوانیو=دوانیو

سیسی1010هااو=هااو=11

11=چی چی 4040پی=پی

هااوهااو1010لی=لی=11

11=الیالی1010فن=فن11=چی چی 66بو=بو

فنفن1010تسون=تسون=11

11=بو بو 240240مو=مو

تسونتسون1010چی=چی=1111=بو بو 300300لی=لی

چیچی1010چژان=چژان=11

برای اندازه گیری طول از هو شروع می کنم.

رياضيات ملتهاي قديم رياضيات ملتهاي قديم بين النهرينبين النهرين

اهميت بررسي تاريخ رياضي اهميت بررسي تاريخ رياضي

بين النهرين:بين النهرين: اص5ل موض5عي ب5ودن اع5داد،تقس5يم محي5ط اص5ل موض5عي ب5ودن اع5داد،تقس5يم محي5ط

دقيق5ه و دقيق5ه و 6060 درج5ه،درج5ه ب5ه درج5ه،درج5ه ب5ه 360360داي5ره ب5ه داي5ره ب5ه ب5ه ب5ه دقيق5ه ب5ار در 6060دقيق5ه نخس5تين ب5راي ثاني5ه در ب5ار نخس5تين ب5راي ثاني5ه

بابلبابل از 15001500نزدي5ک نزدي5ک فيث5اغورث از قب5ل از س5ال فيث5اغورث از قب5ل س5ال

قضيه فيثاغورث اطالع داشتندقضيه فيثاغورث اطالع داشتند

خصوصيات دستگاه شمار:خصوصيات دستگاه شمار: بابليه5ا هم از دس5تگاه ده5دهي و هم ازدس5تگاه بابليه5ا هم از دس5تگاه ده5دهي و هم ازدس5تگاه

شصت 5شصتي اس5تفاد5ه مي 5کردندشصت 5شصتي اس5تفاد5ه مي 5کردندعالمت براي واحدعالمت براي واحد س5ه س5ه 33 دو ب5ار و ب5راي دو ب5ار و ب5راي 22براي نش5ان دادن ع5دد براي نش5ان دادن ع5دد

از از ب5ار 5و ي5ا س5ه 44ب5ار 5و دو در ا5ين عالمت ب5ع5د ب5ه ي5ا س5ه دو در ا5ين عالمت ب5ع5د ب5ه طبقهطبقه

ب5ا اين عالمت ب5ا اين عالمت5050و ت5ا و ت5ا 1010عالمت ب5راي عالمت ب5راي

22::

33::

44::

99وو88وو66وو55 ترتيب ترتيب و به همينو به همين

77::

خصوصيات دستگاه شمار: خصوصيات دستگاه شمار: اع5داد ب5ودن موض5عي اص5ل رع5ايت اع5داد براي ب5ودن موض5عي اص5ل رع5ايت براي

مي يک5ان چپ س5مت را دهگ5ان مي هميش5ه يک5ان چپ س5مت را دهگ5ان هميش5ه نوشتندنوشتند

عالمت عالوه برنش5ان دادن واح5د ب5راي عالمت عالوه برنش5ان دادن واح5د ب5رايkk6060--و و kk6060++هر عدد به صورت هر عدد به صورت

ميگ5يرد ق5رار چپ س5مت ميگ5يرد وق5تي ق5رار چپ س5مت وق5تي بلک5ه نب5وده واح5د بلک5ه نماين5ده نب5وده واح5د ،6060نماين5ده ، 22^̂6060 ، ،

را نشان مي داد را نشان مي داد6060̂^33

مثال:مثال:7070::

7272 : :

معني نوشته ها از روي قرينه مشخص مي معني نوشته ها از روي قرينه مشخص مي شدشد

بعدها عالمت به وجود آمد که طبقات بعدها عالمت به وجود آمد که طبقات را از هم جدا می کرد ،در حقیقت وظیفه ی را از هم جدا می کرد ،در حقیقت وظیفه ی

صفر امروزی را انجام می داد صفر امروزی را انجام می داد

اگرعالمت قبل از عالمت اگرعالمت قبل از عالمت ■ به به 600600شصت قرار می گرفتشصت قرار می گرفت

حساب می امدحساب می امد

682682::در نوشته های ریاضی میخی در نوشته های ریاضی میخی ■

محاسبات بینابینی وجود ندارد انها محاسبات بینابینی وجود ندارد انها محاسبات را به وسیله ی دستگاه محاسبات را به وسیله ی دستگاه

هایی از نوع تخته محاسبه و یا چرتکه هایی از نوع تخته محاسبه و یا چرتکه انجام می داده اندانجام می داده اند

در بین النهرین برای عملیات مربوط در بین النهرین برای عملیات مربوط ■به حساب به طور وسیعی از جدول به حساب به طور وسیعی از جدول

های اختصاصی استفاده می شد های اختصاصی استفاده می شد جدول های جمع و تفریق می جدول های جمع و تفریق می ■

توانستند مشترکا تنظیم شوندتوانستند مشترکا تنظیم شوند lallalعالمت تفریق بود و با عالمت تفریق بود و با ■

تلفظ می شد و تلفظ می شد و

ترتیب ان: مفروق منه - ترتیب ان: مفروق منه - مفروقمفروق

4040 - - 33= = 3737

6060 - - 33= = 5757

خوانده شود( خوانده شود( 11--33)نباید به صورت )نباید به صورت

ه5ای ■ ج5دول ک5ه ک5رد گم5ان ه5ای نبای5د ج5دول ک5ه ک5رد گم5ان نبای5د ض5رب در باب5ل ق5دیم خالص5ه و س5اده ض5رب در باب5ل ق5دیم خالص5ه و س5اده ه5ا ج5دول این حقیقت در ه5ا بودن5د ج5دول این حقیقت در بودن5د ج5دول مث5ل و بودن5د ابت5دایی ج5دول خیلی مث5ل و بودن5د ابت5دایی خیلی

های امروزی دو طرفه نبودندهای امروزی دو طرفه نبودندعالمت ض5رب ب5ود و عالمت ض5رب ب5ود و ■

araara تلفظ می شد تلفظ می شد خصوص5یت ج5دول ه5ای تقس5یم این خصوص5یت ج5دول ه5ای تقس5یم این ■

ب5ود ک5ه مقس5وم را نمی نوش5تند و ان ب5ود ک5ه مقس5وم را نمی نوش5تند و ان را در ذهن خود مجسم می کردند را در ذهن خود مجسم می کردند

ت5وان ■ ب5ه ی درب5اره ه5ایی ت5وان جدول ب5ه ی درب5اره ه5ایی جدول م5ا ب5ه ن5یز گ5رفتن ج5ذر و م5ا رس5اندن ب5ه ن5یز گ5رفتن ج5ذر و رس5اندن

رسیده استرسیده استاز ■ مربعه55ای از جدول مربعه55ای ت55ا 11جدول ت55ا 6060

ن5یزتنظیم ش5ده اس5ت می توانس5تنداز ن5یزتنظیم ش5ده اس5ت می توانس5تنداز همین ج5دول ه5ا ب5رای ج5ذر گ5رفتن هم همین ج5دول ه5ا ب5رای ج5ذر گ5رفتن هم اس5تفاده کنن5د ام5ا ب5رای ج5ذر گ5رفتن اس5تفاده کنن5د ام5ا ب5رای ج5ذر گ5رفتن وج5ود اختصاص5ی ی ه5ا ج5دول وج5ود ن5یز اختصاص5ی ی ه5ا ج5دول ن5یز

داشتداشتجدول ه5ایی ب5رای اع5داد ب5دون ج5ذر جدول ه5ایی ب5رای اع5داد ب5دون ج5ذر ■

صحیح با مقدار جذر تقریبیصحیح با مقدار جذر تقریبیصورت ■ به صورت جدولهایی به n^2+n^3n^2+n^3جدولهایی

مقادیر مقادیر برای 6060تا تا 11از از nnبرای

دستگاه اندازه گیری مردم دستگاه اندازه گیری مردم بین النهرین:بین النهرین:

مقیاس وزن:مقیاس وزن:■

این مقی5اس ب5رای وزن هم ب5ه ک5ار می این مقی5اس ب5رای وزن هم ب5ه ک5ار می رفت )ارزش ان متناسب با وزن بود(رفت )ارزش ان متناسب با وزن بود(

کوچک5ترین واح5د وزن ش5ه)بابلیه5ا ش5ه کوچک5ترین واح5د وزن ش5ه)بابلیه5ا ش5ه اوم(اوم(

میلیگرم میلیگرم46.7546.75 شه = شه =

ggشه =شه کل = شه =شه کل = 180180 8.48.4

g g 500500 مینا=مینا=11شه کل=شه کل=6060

kg kg 30.330.3 تاالنتا= تاالنتا= 11مینا=مینا=6060

در دوره های بعدی شه به معنی در دوره های بعدی شه به معنی نیز بود نیز بود1/1801/180کسر کسر

مقیاس حجم:مقیاس حجم:■

لیتر لیتر0.840.84واحد حجم سیال =واحد حجم سیال =

گور گور 11سیال=سیال=300300 مقیاس طول: مقیاس طول:■

ان5دازه گ5یری ط5ول کم و بیش در ان5دازه گ5یری ط5ول کم و بیش در ش5هردیگر ب5ه نس5بت ش5هر ش5هردیگر ه5ر ب5ه نس5بت ش5هر ه5ر

متفاوت بودمتفاوت بود

گ55یری ان55دازه واح55د گ55یری کوچک55ترین ان55دازه واح55د کوچک55ترین میلی 2.752.75≈≈ارشارش1/1801/180ش555ه=ش555ه= میلی

مترمتر

ارش=■ ه55ر الگ55اش ش55هر ارش=در ه55ر الگ55اش ش55هر 495495در میلی متر میلی متر

میلی متر میلی متر 518518در بابل و نیپور =در بابل و نیپور =■

50cm50cm =180 =180 =ش5ه= ش5هارش)آمان(ارش)آمان(

= =600600 cm cm 1212 گارگار11ارش=ارش=

260m260m= = گار=اوش)گوش(گار=اوش)گوش(6060

mm 800 800km km 10=10=3030 اوش=میلیااوش=میلیا

و اندازه هایی متناسب با ارش:و اندازه هایی متناسب با ارش:

11 پ5ا= پ5ا=22 انگش5ت= انگش5ت=3030 ارشارش

اندازه گیری سطح:اندازه گیری سطح:■

واحد سطح برسارواحد سطح برسار

برسار=توان دوم یک گار برسار=توان دوم یک گار

شه=شه کل=سارشه=شه کل=سار180180

ب5ه ■ گ5یری س5طح ان5دازه م5ورد ب5ه در گ5یری س5طح ان5دازه م5ورد در خص5وص این مطلب ج5الب اس5ت ک5ه خص5وص این مطلب ج5الب اس5ت ک5ه ش5ده تش5کیل مختل5ف اص5ول ش5ده ب5ا تش5کیل مختل5ف اص5ول ب5ا شص55ت هم و اعش55اری شص55ت ان55د،هم هم و اعش55اری ان55د،هم در رس5د می نظ5ر ب5ه و در شص5تی رس5د می نظ5ر ب5ه و شص5تی نتیج5ه ی پیش5رفت و اختالط دس5تگاه نتیج5ه ی پیش5رفت و اختالط دس5تگاه ام5ده وج5ود ب5ه گ5یری ان5دازه ام5ده ه5ای وج5ود ب5ه گ5یری ان5دازه ه5ای

باشندباشندت5ر ■ ه5ا مس5ائل مش5کل ج5دول ت5ر در ه5ا مس5ائل مش5کل ج5دول در

جمالت مجم55وع محاس55به جمالت مث55ل مجم55وع محاس55به مث55ل تصاعد حسابی و یا هندسی تصاعد حسابی و یا هندسی

مربع55ات مجم55وع ی محاس55به مربع55ات و مجم55وع ی محاس55به و وج5ود هم مت5والی ص5حیح وج5ود ع5ددهای هم مت5والی ص5حیح ع5ددهای ع55ددهای مربع55ات .مجموع ع55ددهای دارد مربع55ات .مجموع دارد خ5اص ه5ای ح5الت در را خ5اص مت5والی ه5ای ح5الت در را مت5والی بدس5ت می آوردن5دولی این محاس5به بدس5ت می آوردن5دولی این محاس5به ط5وری تنظیم می ش5د ک5ه از رابط5ه ط5وری تنظیم می ش5د ک5ه از رابط5ه

ی زیر استفاده می کردندی زیر استفاده می کردند

ii ∑∑i^2=i^2=⅓⅓(1+2n)(1+2n) ∑∑

و ب5ه س5ختی میت5وان قب5ول ک5رد این و ب5ه س5ختی میت5وان قب5ول ک5رد این طری5ق از تنه5ا را محاس5به طری5ق طری5ق از تنه5ا را محاس5به طری5ق

تجربه بدست آورده اندتجربه بدست آورده اند

مس5ئله ای ک5ه ب5ه محاس5به ی جمل5ه مس5ئله ای ک5ه ب5ه محاس5به ی جمل5ه ■مرب55وط هندس55ی تص55اعد ی55ک مرب55وط ه55ای هندس55ی تص55اعد ی55ک ه55ای

است:است:

ت55ا 11از از ت55ا روی 1010 ب55ده،از ق55رار روی ب55ده،از ق55رار 22 میش5ود کن میش5ود بگ5ذر،جم5ع کن از 512512بگ5ذر،جم5ع ،ی5ک از ،ی5ک

کن 512512 کم کن کم مان5د،511511 می مان5د، می را 512512 را 10231023 اضافه کن میشود اضافه کن میشود511511به به

دارد متن این ک5ه اختص5اری هم5ه دارد با متن این ک5ه اختص5اری هم5ه با از مجم5وع ک5ه ص5حبت از مجم5وع میت5وان فهمی5د ک5ه ص5حبت میت5وان فهمی5د

جمالت یک تصاعد هندسی استجمالت یک تصاعد هندسی است

1+2+21+2+2^̂33...+...+++22^̂99==1+2+41+2+4+…++…+512512

طبق متن این مجموع برابر است با:طبق متن این مجموع برابر است با:

512512(+(+512-1512-1 ) )

ظاهرا مولف از رابطه ی زیر ظاهرا مولف از رابطه ی زیر استفاده کرده استاستفاده کرده است

Sn=2^n+(2^n -1)Sn=2^n+(2^n -1)

ش55ده ■ کش55ف ه55ای نوش55ته ش55ده در کش55ف ه55ای نوش55ته در مس5ائلی از دس5تگاه ه5ای معادل5ه ه5ای مس5ائلی از دس5تگاه ه5ای معادل5ه ه5ای در مجه5ول ،جس5تجوی اول در درج5ه مجه5ول ،جس5تجوی اول درج5ه معادل5ه ه5ای درج5ه دوم،درج5ه س5وم و معادل5ه ه5ای درج5ه دوم،درج5ه س5وم و معادل5ه ه5ای دو مج5ذوری وج5ود دارد معادل5ه ه5ای دو مج5ذوری وج5ود دارد ام5ا هم5ه ب5ا مفروض5ات ع5ددی هس5تندو ام5ا هم5ه ب5ا مفروض5ات ع5ددی هس5تندو ب5رای ح5ل از رابط5ه ه5ای مش5خص و ب5رای ح5ل از رابط5ه ه5ای مش5خص و معل5ومی اس5تفاده نش5ده ولی از ن5وع معل5ومی اس5تفاده نش5ده ولی از ن5وع ک5ه فهمی5د ت5وان می بحث و ک5ه عم5ل فهمی5د ت5وان می بحث و عم5ل چ5نین رابط5ه ه5ایی ب5رای م5ولفین آنه5ا چ5نین رابط5ه ه5ایی ب5رای م5ولفین آنه5ا

روشن بوده استروشن بوده است

ی5ک ط5ول، هفتم مس5ئله:ی5ک ی5ک یک ط5ول، هفتم مس5ئله:ی5ک یک هفتم ع5رض ،ی5ک هفتم مس5احت را هفتم ع5رض ،ی5ک هفتم مس5احت را

آی5د می بدس5ت کن آی5د جم5ع می بدس5ت کن ، ، 22**6060جم5ع بدس5ت کن جم5ع را وع5رض بدس5ت ط5ول کن جم5ع را وع5رض ط5ول

آی5د آی5دمی وع5رض 5050++6060**55می ط5ول وع5رض ط5ول چیست؟چیست؟

3030++6060**33طول=طول=

2020++6060**22عرض=عرض=

واض5ح اس5ت ک5ه ح5ل این مس5ئله ب5ه واض5ح اس5ت ک5ه ح5ل این مس5ئله ب5ه دس5تگاه دو معادل5ه دو مجه5ولی زی5ر دس5تگاه دو معادل5ه دو مجه5ولی زی5ر

منجر می شود:منجر می شود:

x/7 + y/7 +xy/7 =120x/7 + y/7 +xy/7 =120

X+y=350X+y=350

مت5نی پی5دا ش5ده ک5ه ش5امل مس5ائلی مت5نی پی5دا ش5ده ک5ه ش5امل مس5ائلی درج5ه مع5ادلهی ی5ک ب5ه درج5ه مرب5وط مع5ادلهی ی5ک ب5ه 33مرب5وط

استاست

12x^3 +x^2 =1+ 45/6012x^3 +x^2 =1+ 45/60

معادله به صورت زیر در می آید: معادله به صورت زیر در می آید:

12x^3+12x^2=4.512x^3+12x^2=4.5

مجم55وع ج55دول از ب55االخره مجم55وع و ج55دول از ب55االخره و n^2+n^3n^2+n^3استفاده می شود استفاده می شود

س5ال قب5ل از س5ال قب5ل از 10001000در باب5ل ق5دیم در باب5ل ق5دیم ■قض5یه از تنه5ا ن5ه فیث5اغورث قض5یه تول5د از تنه5ا ن5ه فیث5اغورث تول5د فیث5اغورث اطالع داش5تند بلک5ه قاع5ده فیث5اغورث اطالع داش5تند بلک5ه قاع5ده ی س5اختن هم5ه ی مثلث ه5ای ق5ائم ی س5اختن هم5ه ی مثلث ه5ای ق5ائم الزاوی5ه ایی ک5ه ضلعهایش5ان ع5ددهای الزاوی5ه ایی ک5ه ضلعهایش5ان ع5ددهای

صحیح باشد می دانستندصحیح باشد می دانستندبین ■ م5ردم ک5ه نمی5دانیم هن5وز بین ما م5ردم ک5ه نمی5دانیم هن5وز ما

اطالع5ات راهه5ایی چ5ه از اطالع5ات النه5رین راهه5ایی چ5ه از النه5رین نس5بتا وس5یع ریاض5ی خ5ود را بدس5ت نس5بتا وس5یع ریاض5ی خ5ود را بدس5ت این ش5دن روش5ن ب5رای ان5د. این اوره ش5دن روش5ن ب5رای ان5د. اوره

موضوع باید صبر کرد موضوع باید صبر کرد

با تشکر از توجه با تشکر از توجه شماشما