第三章多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用

2

§3－ 1 多指标问题的处理

单指标试验多指标试验

衡量试验效果的指标只有一个

衡量试验效果的指标有多个

科学试验

3

多指标试验

多个指标之间可能存在一定的矛盾，这时需要兼顾各个指标，寻找使得每个指标都

尽可能好的生产条件

4

多指标问题处理方法

综合评分法综合平衡法排队评分法在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确定的原则，对各个指标综合评分，将多个指标综

合为单指标。

将各个指标的最优条件综合平衡，找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。

综合各个指标，按效果好坏，进行排队打分。这也是将多个指标转化为单

指标。

三种方法综合应用

5

• 一、综合评分法– 在对各个指标逐个测定后，按照由具体情况确

定的原则，对各个指标综合评分，将多个指标综合为单指标。

– 此方法关键在于评分的标准要合理。– 评分标准即权值，综合评分法也称加权评分法。

得分得分 =K=K11×× 第一个指标第一个指标 +…+K+…+Knn××第第 nn 个指标值（个指标值（ KK 为为常数）常数）

得分得分 =K=K11×× 第一个指标第一个指标 +…+K+…+Knn××第第 nn 个指标值（个指标值（ KK 为为常数）常数）

6

• 例 3－ 1 白地雷核酸生产工艺的试验– 试验目的：原来生产中核酸的得率太低，成本

太高，甚至造成亏损。试验目的是提高含量，寻找好的工艺条件。

– 本例介绍由北京大学生物系与生产厂联合攻关中的第一批 L9 (3

4 ) 正交试验的情况。

因素水平白地雷核

酸含量（％）腌制时间（小时）

加热时pH 值

123

7.48.46.2

2440

4.86.09.0

加水量

1:41:31:2

因素－水平表

7

列号试验号

123456789

K1K2K3k1k2k3R

A1

B1

C3

D4

L9 (34 )

256.1108.2113.236.137.715.915.9

128.4116.3132.642.838.844.25.4

127.3131.1118.942.443.739.64.1

143.7127.5106.247.942.535.412.5

试验指标1º 2ºº

17.812.26.28.04.54.18.57.34.4

29.841.359.924.350.658.230.920.473.4

59.451.245.532.236.639.436.828.547.7

综合评分

1º 核酸泥纯度（％）2ºº 纯核酸回收率（％）

试验方案及结果分析分数＝ 2.5× 纯度＋ 0.5× 回收率

2.5×17.8+0.5×29.8=59.4

极差判断因素主次：极差判断因素主次： A>D>B>CA>D>B>C极差判断因素主次：极差判断因素主次： A>D>B>CA>D>B>C

8

50

45

40

35

A3 A2 A1 B3 B2 B1 C3 C2 C1 D3 D2 D1 因素

指标

指标（得分）－因素图

因素水平白地雷核

酸含量（％）腌制时间（小时）

加热时pH 值

123

7.48.46.2

2440

4.86.09.0

加水量

1:41:31:2

最优条件：A1B3C2D1

9

• 从图上和表上的极差都可以看出，因素的主次为：

• 所以， A取 A1， D取 D1， PH 值选取便于操作的水平 C2， B取 B3 ，故，最优条件为：A1B3C2D1

• 事实上，试验结果也证明，上述最优条件效果很好。投产后核酸质量得到显著提高，做到了不经提纯一次可以入库。

A D B C主次

10

正交设计助手极差分析

11

• 极差分析

12

指标因素图

13

• 二、综合平衡法–（ 1 ）对各个指标进行分析，与单指标的分析

方法完全一样，找出各个指标的最优生产条件。–（ 2 ）将各个指标的最优生产条件综合平衡，

找出兼顾每个指标都尽可能好的条件。

14

• 例 3－ 2 液体葡萄糖生产工艺最佳条件选取– 试验目的：生产中存在的主要问题是出率低，

质量不稳定，经过问题分析，认为影响出率、质量的关键在于调粉、糖化这两个工段，决定将其它工段的条件固定，对调粉、糖化的工艺条件进行探索。

– （ 1 ）出率：越高越好– （ 2 ）总还原糖：在 32 ％－ 40 ％之间– （ 3 ）明度：比浊度越小越好，不得大于 300mg/l– （ 4 ）色泽：比色度越小越好，不得大于 20ml 。

15

因素

水平

A粉浆浓度（ ºBe’ ）

B粉浆酸度（ PH ）

C稳压时间

（分）123

161820

1.52.02.5

05

10

D工作压力（ kg/cm² ）

2.22.73.2

因素－水平表

产量还原糖明度色泽

指标

前进前进

16

• 四个因素对四个指标的主次关系为：– 产量： D——C——A ——B– 还原糖： B——D——A——C– 明度： A——B——C——D– 色泽： B——A——C——D

– 分析顺序确定（ B>A>D>C ）主次

B 对还原糖和色泽影响均最大，应首先分析；A 对明度影响最大，对色泽影响较大，次要分析；然后是 D 、 C

if 权重： 8 4 2 1

则： A16、 B21、 C9、 D14

分析顺序： B>A>D>C 返回返回前进前进

17

• 综合考察四个指标，还原糖含量要求在 32－ 40 ％之间，从趋势及因素主次知道 B 的影响最重要，取 1.5和 2.5都不行，只有选 2.0 最合适。 B取 B2 最好。– 从色泽来看， B 最重要，而且仍然以 B2 最好；– 从明度来看， B 为次要因素，但也仍以 B2 为好；– 因此可确定 B2 是最优水平。

• 粉浆浓度 A 对产量影响很大，取 A1 最好。但对于明度来说，取 A1 时大于 300 不合适，浓度 A2 时比 A1 略低一些，但其它指标，除色泽外，都能达到要求。因此粉浆浓度定位 A2 。

返回返回前进前进

18

• 工作压力对产量影响最大，取 D3 最好。但它的色泽不好，用 2.7 产量会低一些，但其余指标都还比较好，因此确定为 D2 。

• 稳压时间对四个指标来说，对产量影响最大，对还原糖没有什么影响，对明度、色泽影响也不大，照顾产量应选 C2＝ 5 分钟。但此时色泽、明度都不好，考虑将时间延长一些，定为 5～ 7 分钟。

• 最后得出最优条件为：• A2 B2 C2 D2• 事实上，结果证明采用后各项指标都有明显提高。

返回返回前进前进

19

列号试验号

123456789

K1K2K3k1k2k3R

A1

B1

C3

D4

L9 (34 )

326632573120

1088.71085.7104048.7

312532583233

1050.71086

1077.735.3

3174330831611058

1102.71053.7

49

30393216331810131070

1129.3116

试验结果产量（斤）

99611351135115410241079100210991019

试验方案及结果计算表 -1

返回返回

20

1130

1110

1070

1040

1010

A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 因素

产量（斤）

指标－因素图 -1

返回返回

21

列号试验号

123456789

K1K2K3k1k2k3R

A1

B1

C3

D4

L9 (34 )

112109.813337.336.337.711.1

126.4117.291.242.139.130.411.7

112.4111.8110.637.537.336.90.6

108.811211436.337.3381.7

试验结果还原糖（％）

41.639.431

42.437.230.242.440.630


返回返回

22

42

38

34

30

A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 因素

还原糖含量（％）


返回返回

23

列号试验号

123456789

K1K2K3k1k2k3R

A1

B1

C3

D4

L9 (34 )

< 130< 525< 525

< 433.3< 175< 175258.3

< 825< 625< 900< 275

< 208.3< 30091.7

< 800< 800< 650

< 266.7< 300

< 216.783.3

< 925< 725< 700

< 308.3< 241.7< 233.3

75

试验结果明度（ mg/l ）

近 500近 400近 400< 200< 125近 200 < 125< 100< 300


返回返回

24

450

390

330

270

210

150

A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 因素

明度（ mg ）


返回返回

25

列号试验号

123456789

K1K2K3k1k2k3R

A1

B1

C3

D4

L9 (34 )

45808015

26.726.811.7

60509520

16.731.715

60806520

26.721.76.7

706075

23.320255

试验结果色泽（ ml ）

101025

< 30近 20近 30近 20< 20< 40


返回返回

26

33

27

21

15

A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 D3 因素

色泽（ ml ）


返回返回

27

• 镍铁合金电镀（应用举例）• 低盐浓度光亮镍铁合金镀液配方因素—水平表，• 实验以电沉积速度和合金光亮度为指标。

28

• 配方的添加剂参数– 氯化钠 : 20～ 25g／ l– 柠檬酸钠 : 3～ 4gl– 糖精钠 : 3g／ l– “791”光亮剂 : 4～ 6g／ l– 十二烷基苯磺酸钠 : 0.05～ 0.1g／ l– 柠檬酸 : 适量

• 电沉积工艺– 阳极面积 (Ni∶Fe): 4∶1– 阴极与阳极面积比 :Cu∶Fe∶Ni为 1∶2∶8– 温度 :50～ 55℃– 时间 :50min

29

• 根据正交设计法 : 对配方选取六因素五水平的正交试验表 , 实验以电沉积速度和合金镀层光亮度为指标。

• Ni—Fe 合金镀层的外观采用目测评分方法来检测 , 其标准定为 :

• 灰黑 (黑点 )4-发灰 (麻点 )5- 不光亮 (针孔 )6- 较光亮 7-光亮 8- 准镜面 9-镜面10

32

• 从上述正交实验的结果可得出六个因素对两个指标的主次关系为 :– (1)镀速 :EACDFB

– (2)光亮度 :AC(BDF)E– 分析顺序： A>E>C>D>F>B

if 权重： 32 16 8 4 2 1则： A48、 B3、 C24、 D6、 E33、 F4分析顺序： A>E>C>D>F>B

前进前进下页下页

33

• 电沉积的最佳工艺水平 :–镀速 :E5A5C4D2F5B4–光亮度 :A4C5(B4D2F2)E4

• 分析顺序： A>E>C>D>F>B

• 综合两个指标后 , 得出最佳工艺水平为 :– A4B4C4D2E5F4– A4B4C4D2E5F5亦可

前进前进返回返回

34

• 确定电沉积光亮镍铁合金的最佳配方及工艺条件为 :–硫酸镍 : NiSO 4·7H2O: 25g/l

–硫酸亚铁 :FeSO4·7H2O: 3-5g/l

–硼酸 : H3BO3: 9g/l

–温度： 50℃– PH 值： 3.8~4.2–电流密度： 3.5A/dm2

前进前进返回返回

35

指标－因素图 -A

镀速光亮度

返回返回

最优条件： A4因素 A 对镀速和光亮度都重要

36

指标－因素图 -B

镀速光亮度

返回返回

最优条件： B4因素 B 对镀速和光亮度都不重要

37

指标－因素图 -C

镀速光亮度

返回返回

最优条件： C4因素 C 对镀速和光亮度都重要

38

指标－因素图 -D

镀速光亮度

返回返回

最优条件： D2因素 D 对镀速和光亮度在同一点出现最优

39

指标－因素图 -E

镀速光亮度

返回返回

最优条件： E5因素 E对镀速重要，对光亮度不重要

40

指标－因素图 -F

镀速光亮度

返回返回

最优条件： F4/F5因素 F对镀速和光亮度都不太重要

41

• 三、排队打分法–根据试验结果，综合全部指标，按效果好坏，

进行排队打分– 对综合评分进行直观分析–缺点：分数平均分布，会影响指标主次关系

返回返回

42

A4B4C4D2E5F5 ，但指标主次关系不具有意义

返回返回

43

§3－ 2 水平数不同的正交表的使用

• 一、直接套用混和正交表• 例 3－ 3 为了探索某胶压板的制造工艺，因素—水平如

表因素水平

A压力（公斤）

B温度（℃ ）

C时间（分）

1234

8101112

9590

912

此试验方案可以直接套用混和正交表 L8(4×24)

44

因素水平

12345678

A1

B2

C3 4 5 四块胶板得分

指标总分

11223344

12121212

12122121

12211221

12122112

66442446

65341435

64231424

64221212

241911135141017

试验方案及计算结果表

45

K1K2K3K4k1k2k3k4RR’S

412419275.13.02.43.42.73.4

33.34

4863

3.03.9

0.92.6

7.031

6447

4.02.9

1.13.1

9.03

5754

0.28

5952

1.53

K=111P=385.03

试验方案及计算结果表（续表）

46

• 因素水平完全一样时，因素的主次关系完全由极差 R 的大小来决定。当水平数不完全一样时，直接比较时不行的，因为量因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。因此要用系数对极差进行折算。

折算系数

水平数折算系数 d2345678910

0.710.520.450.400.370.350.340.320.31

47

'

'

'

'

(3 1)

2.7 0.45 8 3.4

0.9 0.71 16 2.6

1.1 0.71 16 3.1

A

B

C

R Rd n

R

R

R

所以：

折算后用 R ´ 的大小衡量因素的主次， R´ 的计算公式为：

由上计算可知因素主次顺序为：

A——C——B主次

然后可用前面所讲的方差分析法分析即可得出结果

48

• 二、并列法• 对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平的

正交表外，还可以将原来已知正交表加以适当的改造，得到新的混和水平的正交表。

• L8(4×24) 表就是由 L8(27) 改造而来：

列号试验号 1 2 3 4 5 6 7

12345678

11112222

11221122

11222211

12121212

12122121

12211221

12212112

49

• （ 1 ）首先从 L8(27) 中随便选两列，例如 1、 2

列，讲次两列同横行组成的 8 个数对，恰好 4 种不同搭配各出现两次，我们把每种搭配用一个数字来表示：

新列试验号 1 2

12345678

11112222

11221122

11223344

规则：(1,1) 1(1,2) 2(2,1) 3(2,2) 4

50

• （ 2 ）于是 1、 2 列合起来形成一个具有 4 水平的新列，再将1、 2 列的交互作用列第 3 列从正交表中去除，因为它已不能再安排任何因素，这样就等于将 1、 2、 3 列合并成新的一个4 水平列：

列号试验号 1 2 3 4 5 6 7

12345678

11223344

12121212

12122121

12211221

12212112

L8(4×24) 正交表

51

• 显然，新的表 L8(4×24) 仍然是一张正交表，不难验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性质。

• （ 1 ）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中，各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。

• （ 2 ）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同（对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平，一列二水平，它们各横行的八种不同搭配 (1,1) 、 (1,2) 、 (2,1) 、(2,2) 、 (3,1) 、 (3,2) 、 (4,1) 、 (4,2) 各出现一次。

52

• 例 3－ 4 聚氨酯合成橡胶的试验中，要考察 A、B、C、D 对抗张强度的影响，其中因素 A取 4 水平，因素 B、C、D 均取二水平，还需要考察交互作用 A×B、A×C 。

• 显然这是一个 41×23 因素的试验设计问题。• 自由度计算如下：• fA=4-1=3

• fB = fC = fD =2-1=1

• fA×B = fA×C =(4-1)×(2-1)=3

• f 总=3+3×1+2×3=12

• 故可以选用 L16(215) 改造得到的 L16 (4

1 × 212) 混和正交表安排试验

53

表头设计如下：

表头设计 A B A×B C A×C D

列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

54

• 三、拟水平法：• 拟水平法是将水平数少的因素纳入水

平数多的正交表中的一种设计方法。• 例 3－ 5　对例 1－ 1 的转化率试验，如果除已考虑的温

度（ A ）、时间（ B ）、用碱量（ C ）外还要考虑搅拌速度（ D ）的影响，而电磁搅拌器只有快慢两挡，即因素D只有两个水平，这是一项四因素的混合水平试验，如果套用现成的正交表，则以 L18（ 21×37 ）为宜，但由于人为物力所限， 18 次试验太多了，能否用 L9(3

4) 来安排呢？这是可以的，解决的办法给搅拌速度凑足三个水平，这个凑足的水平叫拟水平。我们让搅拌速度快的（或慢的）一档多重复一次，凑成三个水平。

55

• ST、 SA、 SB、 SC 的计算与原来相同，只是 SD 的计算不同试验方案及结果计算表见3 － 19 。

2 21 2

1 1( ) ( )

6 3D D

DQ K K

21×153 22504.5

3＝21

×2976

＋

因素水平

A

温度 ( )℃B

时间 (分 )

C

用碱量 (%)

D

搅拌速度

1

2

3

80

85

90

90

120

150

5

6

7

快慢快

57

D D

T

e

D

S =Q P=22504.5

S

S

=8 2 2 2 1 1

f 2 1 1

A B C D e

T A B C D

e T A B C D

－－22500=4. 5

由于=S+S+S+S+S

所以=S-S -S -S -S

而f =f - f - f - f - f

－－－－＝这里＝－＝

58

• 　　显然，因素 D 的影响是不显著的，可将它与误差合并，因此方差分析表与表 2－ 5 完全一样。通过此例我们可看到拟水平法有如下特点：– （ 1 ）每个水平的试验次数不一样。转化率的试

验， D1 的试验有 6 次，而 D2 的试验只有 3 次。通常把预计比较好的水平试验次数多一些，预计比较差的水平试验次数少一些。

– （ 2 ）自由度小于所在正交表的自由度，因此 D占了 L9(3

4) 的第四列，但它的自由度 fD=1 小于第四列的自由度 fD=2. 就是说， D虽然占了第四列，但没有占满，没有占满的地方就是试验误差 .

59

• 还需作两点说明：• （ 1 ）因素 D 由于和其他因素的水平数不同，用极差 R

来比较因素的主次是不恰当的。但用方差分析法仍能得到可靠的结果。

• （ 2 ）虽然拟水平法扩大了正交表的使用范围，但值得注意的是，正交表经拟水平改造后不再是一张正交表了，它失去了各因素的各水平之间的均衡搭配的性质，这是和并列法所不同的。

60

• 四、混和水平有交互作用的正交设计• 例 3－ 5 有一试验需要考虑

A、 B、 C、 D 四个因素，其中 A 为四水平因素， B、 C、 D都为二水平因素，还需要考虑它们的交互作用 A×B 、 A×C 、 B×C

• 试验安排：• f 总=(4－ 1)＋ 3(2－ 1 ) ＋ 2 ( 4－ 1 ) ( 2－ 1 ) ＋ ( 2－ 1 ) ( 2－

1 ) ＝ 13

• 故选用 L16(215) 正交表。

61

• （ 1 ）将 L16(215) 中的第 1、 2、 3 列改造为四水平的，

得到 L16(41 × 212) 表；

• （ 2 ）将 A占 1、 2、 3 列，如果 B放第 4 列，则由交互作用表知： 1,45； 2,46； 3,47 。于是A×B 要占 5、 6、 7 三列；

• （ 3 ）将 C 排在第 8 列，可以查得： 1,89；2,810； 3,811 。于是 A×C 要占 9、 10、 11 三列；

• （ 4） B 在第 4 列， C 在第 8 列， 4,812， B×C放12 列

• （ 4） D 可以安排在剩余的任何一列，假如放在第 15列。

62

表头设计 A B A×B C A×C B×C D

列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

表头设计如下

该表头设计也可以有其它方式，比如

表头设计 D A A B×C A B A×C A×B A×C A×B C A×B A×C

列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

64

§3－ 3 活动水平与组合因素法

• 一、活动水平法• 在多因素试验中，有时两因素和多因素直接存在着相互依存的关系。即一个因素的水平的选取将由另一因素的水平来决定，或者一因素水平的选取将随着另一因素水平的选取情况而变化，此时可采用活动水平法

65

• 例例 33－－ 77　镀银工艺试验试验目的：寻找好的镀银槽液配　镀银工艺试验试验目的：寻找好的镀银槽液配方和相应的工艺条件。因素和水平，因素有五个方和相应的工艺条件。因素和水平，因素有五个

• 槽液配方：硝酸银用量，氰化钾（槽液配方：硝酸银用量，氰化钾（ KCNKCN ）用量，硫代硫酸）用量，硫代硫酸铵用量铵用量

• 工艺条件：温度，电流密度工艺条件：温度，电流密度• 硝酸银的用量想比较两个水平：硝酸银的用量想比较两个水平： 150150克／升和克／升和 100100克／升。克／升。

但是氰化钾的用量也取两个固定水平就不合适了。硝酸银多但是氰化钾的用量也取两个固定水平就不合适了。硝酸银多了，氰化钾也必须多，硝酸银少了氰化钾也要少。如果固定了，氰化钾也必须多，硝酸银少了氰化钾也要少。如果固定氰化钾的两个水平是氰化钾的两个水平是 250250克／升和克／升和 160160克／升，于是就会克／升，于是就会出现下面四种水平搭配：出现下面四种水平搭配：

66

有实际经验的技术人员很快可断定（有实际经验的技术人员很快可断定（ 22 ）、（）、（ 33 ）号的配是不合适）号的配是不合适的。的。

编号 AgNO3(克 /升） KCN(克 /升）

⑴⑵⑶⑷

150

150

100

100

250

160

250

160

67

氰化钾的用量总的来说是随硝酸银的用量改变的，但是当硝酸银的用量固定后，氰化钾的用量也还氰化钾的用量总的来说是随硝酸银的用量改变的，但是当硝酸银的用量固定后，氰化钾的用量也还有一个多、少问题。例如，硝酸银固定为有一个多、少问题。例如，硝酸银固定为 100100克／升，此时氰化钾用克／升，此时氰化钾用 167167克／升好呢？还是用克／升好呢？还是用 183183克克／升好呢（氰化钾少用一些好呢，还是多用一些好）？另外当硝酸银用／升好呢（氰化钾少用一些好呢，还是多用一些好）？另外当硝酸银用 150150克克 //升，氰化钾的用量也还升，氰化钾的用量也还有一个多、少问题。有一个多、少问题。

× 250 /

183150 274 /

100

167：100氰化钾：硝酸银

183：100

如果这个比值不变，硝酸银用量是150克/升时，则氰化钾的用量应该是

167150 ＝克升

100

＝克升×

68

氰化钾的用量这个因素的两个水平取为：少、多，氰化钾的用量这个因素的两个水平取为：少、多，而它的少、多的量是随硝酸银的用量改变的，可表示而它的少、多的量是随硝酸银的用量改变的，可表示如下：如下：

69

　　　　表表中的虚线部分详细地说明了中的虚线部分详细地说明了 KCNKCN 用量这个因素的少与多用量这个因素的少与多的具体内容。这样选水平的方法就称为活动水平法，的具体内容。这样选水平的方法就称为活动水平法， KCNKCN 用用量这个因素就称为活动水平的因素。量这个因素就称为活动水平的因素。

在本例中，电流密度也是一个活动水平的因素，它随温度在本例中，电流密度也是一个活动水平的因素，它随温度的高低而变化。的高低而变化。

72

1 1 1 1 2

3

A B C D E

6A

AgNO : 150 /

KCN: 250 /

C

6A

4 2 2 3

所以初步确定了五个因素的水平为：

从提高镀银速度来看，可试验将电流密度提高为，其余因素水平不变。试验后发现效果很好，这样就定了好的配方和工艺是：

克升克升

(NH) SO: 不用温度： 50

电流密度：

73

• 二、组合因素法• 在试验工作中，力求通过尽可能少的试验次

数并获得得与其相当的效果。在用正交试验设计安排试验时，减少试验次数的有效方法就是把两个或两个以上的因素组合起来当作一因素看待。组合成的这个因素叫组合因素，采用组合因素法时，安排试验和试验结果分析的方法和一般正交试验相同。

75

§3－ 4 分割试验法

• 分割试验法又称为裂区法• 分割试验的基本思想：• 在比较复杂的试验中，要经过好几道工序才能得出

结果，这些工序重复起来难易不等。为了对这类试验进行设计，我们可以既按照工序的先后，又按照工序重复的难易成度，把因素区分为一级因素、二级因素、三级因素等。安排试验时，尽可能使重复困难的工序少做试验，而让重复容易的工序多做些试验。

76

• 例 3－ 8 人造丝制造工艺大致由原液工序、纺丝工序、加工工序三部分组成。

• 为了提高人造丝的强度进行工业试验。• 提出 A（ 2 水平）、 B（ 2 水平）、 C（ 2 水平）

作为原液工序因素，提出 D（ 2 水平）、 E（ 2 水平）作为加工工序因素，假定因素间无交互作用，因此可用 L8(2

7) 正交表安排试验。

• 为节约试验材料，可进行分割试验。把 A、 B、 C作为一级因素， D、 E 作为二级因素。也就是说，当A、 B、 C 的某一特定组合所构成的原液工序的一批产品送往加工工序。这样 L8(2

7) 的试验就不要用 8 批人造丝原液了。

77

A,B,CA,B,C放放 11，， 22，， 44 列列

78

A,B,CA,B,C放放 11，， 22，， 33 列列

79

由上可见，只要生产A1B1CI,A1B2C2,A2B1C2,A2B2C1

四批原液，再把各批源液分成两份就行了，这样就达到了分割试验的目的。例 3－ 10　有 A、 B、 C、 D 四个因素，每个都有

两个水平， A、 B 是一级因素，它们没有交互作用，试验如何安排？

80

• 仔细观察正交表 L8(27) 可以发现：第 1、 2 列的水

平号从上往下是成对的出现。这样，我们把因素 A、 B 分别配置在 1、 2、 3 列上。剩下的配 D、 E ，如 6、 7 列。

列号试验号 1 2 3 4 5 6 7

12345678

11112222

11221122

11222211

12121212

12122121

12211221

12212112

试验时，只要生产 A1B1、 A1B2、 A2B1、 A2B2 四批原液，再把各原液分成两分即可，这样达到了分割试验的目的。

81

列号

试验号 A B

12345678

11112222

11221122

11222211

12121212

12122121

12211221

12212112

一级因素随机化

二级因素随机化

1

3

4

2

12212112

实际试验号码

12658734

正交分割试验

1 2 31 2 3 4 5 6 7CC DD

82

作 F检验时，一级因素用一级误差来检验，二级因素用二级误差来检验。如果 Se1 /Se2 不显著时，也可以将两项合并，作为共同的误差估计。

83

• 例 3－ 10 设有 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F六个因素，其中 A×B、 A×D、 B×D存在交互作用。

• A ：一级因素• B、 C ：二级因素• D、 E、 F ：三级因素• f 总＝ 6×(2-1)+3(2-1)(2-1)=9

• 故需要选用 L16 (215 ) 来安排试验。

84

L16 (215 ) 的分组情况

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4

不同级的因素不能放在同一组，表头设计如下

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 4

表头设计列号

组别

A B A×B C D A ×D E B ×D F

第 2 组没有安排试验，是为了给一级误差有一个估计

85

12345678910111213141516

因素列号

试验号 A B C D E F

1111111122222222

1122112211221122

1122112222112211

1212121212121212

1212212112122121

1221122121122112

一级因素随机化

二级因素随机化

三级因素随机化

实际试验号

3

4

1

2

1

1

1

1

2

2

2

2

2121122112122121

109

12117865

151613144321

正交表分割试验安排

86

方差来源平方和自由度

Ae1BC

A×Be2DEF

A × DB × D

e3

总和

SA=S1

Se1=S2 + S3

SB=S4

SC=S6

SA×B=S5

Se2=S7

SD=S8

SE=S10

SF=S13

SA×D=S9

SB×D=S12

Se3=S11 + S14 + S15

15

1T i

i

S S

正交分割试验方差分析表

121111111113

87

正交分割试验步骤：• （ 1 ）把因素分为一级、二级……等。• （ 2 ）选择适当正交表，把一级因素安排在第一组（或一、二组），二级

因素安排在后面一组，依次类推，不同级的因素不可在同组。• （ 3 ）有些交互作用不可忽略，设计时要注意不要让它和因素混杂。分割法交互作用规律：• （ 1 ）如果两个因素在不同组，则交互作用一定在两因素中的较高的一组• （ 2 ）属于同一组的二因素的交互作用，其全部和一部分落在比它低的组

中。方差分析时先算出各列的平方和。

88

§3-5 部分追加法试验设计

• 在完成一组正交试验设计的试验和分析之后 ,若对某一显著因素的新水平感兴趣 , 则希望对新水平进行试验。但再做一组正交试验比较麻烦 , 而部分追加法试验设计可避免这种麻烦。这种方法在设计试验时还可把多下来的水平按此法进行处理。

• 表 3-33给出了这种试验设计结果。因素B、 C、 D 为两水平 ,A 为五水平。 A的 1～ 4 四个水平采用本章第二节的方法安排在内 (1)～ (3) 列组成的四水平新列内 ,A5 则将 4 水平再重复两次 ,即第 9、 10 两次试验 , 这样就完成了部分追加法试验设计。

89

表 3－ 33 部分追加法试验设计表

90

• 2. 部分追加法试验结果计算• 由于把 10 次试验设想成 16 次试验 , 因此计算时应按以下

方法进行。• (1) 平方和计算• SA’=1/4(A1

2+A22+A3

2)+1/2(A42+A5

2)-G2/16

• SB’=1/16(B1-B2)2

• SC’=1/16(C1-C2)2

• SD’=1/16(D1-D2)2

• ST′=2(x12+x2

2+x32+x4

2+x52+x6

2)+x72+x82+x9

2+x102-G2/16

• Se′=ST-(SA+SB+SC+SD)

91

• 2 ）修正系数 k 的计算• •

• 而误差平方和修正系数按下式计算 :

• 式中 N—— 选用的正交表试验次数 ; P —— 正交表中安排的水平数 ;

• P′——追加实验安排的水平数。• M——实际完成的试验次数 ;

1 31 1 'N M

k P Pf N

1 31 2N M f

k Ne f N k

e

93

§3－ 6 　配比试验和寿命试验

• 一、配比试验– 如果对试验的总量不加限制，这就是所谓的配方试验。– 如果限定总量必须是指定的数量，那么，这时的配方问题等价于配比问题。两者相互完全决定：即配方决定一组配比；反过来，配比决定出配方（一组配方等价于一组配比加上总用量）。

• （一）电缆料配方– 该厂选用了 A、 B、 C 三种增塑剂，根据国内、外的生产经验已

知，当 PVC树脂为 100份时，增塑剂应取 46份。那么A、 B、 C 应各取几份搭配在一起才好呢？他们用单因素轮换法作试验，确定了 A为 18份， B为 10份， C为 18份。此时，电缆料的各项性能都达到了英国标准。这时该厂学习了正交试验法，他们决定要用正交试验法来降低生产成本。

94

由于三种增塑剂的价格不等， C 的价格最高， A 的价格次之， B 的价格最低，因此正交试验的目的是试图减少C 的用量比较，加大 B 的用量比较，寻找既要满足性能指标，又要降低成本的配方。排出因素水平表 3－ 36 所示。

因素 A B C

水平 1

水平 2

水平 3

21份18份15份

10份5份15份

18份12份15份

95

（二）实验方案（ 1 ）配比试验方案

96

　　在电缆料的配方中，增塑剂的总份数应为 46份。但是，在上面的配比试验方案中，有些试验条件的三种增塑剂的总份数 A＋ B＋ C 不为 46份，不能直接作试验。比如，第 3 号试验条件的增塑剂总份数为 15＋ 10＋ 12

＝ 37＜ 46份，须作调整，使增塑剂的总份数为 46份。做调整如下：

A=15*46/37=18.7 （份） B=10*46/37=12.4 （份） C=12*46/37=14.9 （份）

98

从计算结果看出： A、 B、 C 均以中等用量较好，其中 C的 15份比原配方的 18份有所减少，节约了成本。最后，又围绕“算一算”好条件安排了第二批试验，找到了增塑剂的较好配方，在成本上比第一批的最好条件又有所下降，经济效益十分显著。

二、寿命试验

99

§3－ 7 　误差与重复

• 一、误差与重复• 在大多数实验中，当观察到的条件保持不变时，试

验结果仍具有一定程度的误差。如果已经知道结果很准确，即误差很小，那么，可以不做相同条件的重复试验。否则，当做完正交试验后，应该对其中少数的好条件做些重复试验。后面这句话有两点含义：一是通过重复能看出误差的大小；二是好结果值得核实，而不必重复差的条件。经过重复，如果误差很小，这意味着干扰不大，容易看出条件的好或差 .

100

现在因为误差大，经过一批正交试验，有时候还看不出用量的真正偏现在因为误差大，经过一批正交试验，有时候还看不出用量的真正偏向，有时候想在不改变因素与水平的范围内，由稀到密地增加试验条件。向，有时候想在不改变因素与水平的范围内，由稀到密地增加试验条件。

遇到这种情形，可以按照几张不同的小表合成一张大表的办法继续试遇到这种情形，可以按照几张不同的小表合成一张大表的办法继续试验。验。

例如，附录中例如，附录中 LL88(2(277))的前三列被虚线分成两个的前三列被虚线分成两个 LL44(2(2

33))上面四行正好是第上面四行正好是第一表的那个一表的那个 LL44(2(2

33))做完它后，可接着做下面四行的另一个做完它后，可接着做下面四行的另一个 LL44(2(233))因素与列、因素与列、

水平号码与用量之间的对应关系一律不变。又如做完一水平号码与用量之间的对应关系一律不变。又如做完一个个 LL88(2(277))后，可接后，可接

着做表着做表 LL1616(2(21515))下面下面 88行的另一个行的另一个 LL88(2(2

77)) 。。 LL2727(3(31313))的前四列被虚线分成三的前四列被虚线分成三

个个 LL99(3(344))做完第一个做完第一个 LL99(3(3

44))后，可接着做中间后，可接着做中间 99行的第二个行的第二个 LL99(3(344))甚至还可甚至还可

再做下面再做下面 99行的第三个行的第三个 LL99(3(344) ) 。其他的大表套小表，依此类推。其他的大表套小表，依此类推。。

101

几批不同的正交试验，联合在一起，还是正交试验。用这种办法，既重复了水平，又考察了新条件。对联合的大表进行统一的计算，由于加密了条件，因而增加了计算展望的可靠性。

二、扣除区组因素的系统效应

在第一章第三节的二硝基苯肼 L8(27) 试验中，假设试验的结果在两台性

能可能不一致的仪器上试验。为了排除仪器差别的干扰，安排方案时，可把化验仪器G 这个区组因素安放到）表中没有因素的第 7 列上。两个水平分别是：水平 1——仪器甲，水平 2——仪器乙，如表 3－ 40 所示。

按照表 3－ 40 的安排，每台仪器所化验的试验号如下：仪器甲——第 2、 3、 6、 7 号试验仪器亿——第 1、 4、 5、 8 号试验

102

这样化验，由于正交表的整齐可比性，因而在比较其他每种因素各个水平的效果时，就能避免仪器的系统误差所带来的干扰。

可是，在每号试验的结果中，却包含有这区组因素所用水平的系统误差。为了能直接比较每号试验中其他各种因素的配合条件，需要算出它们的真正结果。为此目的，应当扣除区组因素所用水平的系统误差。下面提出系统误差的计算方法。

第 i 个水平的系统误差＝第 i 个水平的平均结果—全体试验号的总平均结果＝第 i 个水平的试验结果（或平均结果）之和 /第 i 个水平的使用次数－全体试验号结果的总和 / 全体实验号的总数。

104

221 2042 125

8221 204

2.1258

6

在上例中，第7列的区组因素分两个水平，应用上面的公式，可得221 ＋

仪器甲 (水平1)的系统误差＝－＝ .4

204 ＋仪器乙 (水平2)的系统误差＝－＝－

4在各号实验中，前面种因素的配合条件的折算结果＝产率－所用仪器的系统误差。在第2，3，6，7号的产率中减去2. 125;在第1，4，5，8号的产率中加上2. 125，得到8号试验前面6种因素的折算结果如下表：

试验号 1 2 3 4 5 6 7 8

折算产率 58.1 62.9 51.9 45.1 65.1 57.9 39.9 44.1

105

说明：（ 1 ）如果区组因素不止一种，但不超过空列的数目。那么，每种区组因素可以顺次安排在一个空列上。这样安排，能够算出每种因素每个水平的系统误差。除去水平所在试验号不同以外，计算系统误差的步骤是一样的。

（ 2 ）假如区组因素的数目多于空列的数目（至少有一个空列），这时可采用本章第三节（三）组合因素的办法，把几种不同的区组因素合并成一种复合的区组因素，放到一个空列上，共同使用这一列。

例如在上例中，假设有化验仪器和操作人员两种区组因素，仪器分甲、乙两台，操作人员是王、郑二人。但只有第 7 列一个空列。复合的区组因素可以安排如下：

水平 1——仪器甲、王先生；水平 2——仪器乙、郑先生。同时放在第 7 列上。这样做只能算出组合水平的联合系统误差，算不

出仪器和操作人。

106

§3－ 8 正交表的构造

• 1. 基本术语 • 不同类型的正交表的构造方法差异很大 ,甚至有些类型正交表的存在和构造至今还是一个未解决的数学问题。

• Lｔ u(tq)型表是一类特殊的正交表 , 其中 :• t—— 表示水平数。它限定为某数 ( 即除 1 和它自己以外 , 不能被任何其他数整除的大于 1 的正整数。如 2、3、 5、 7、 11、 13、…等 )或系数幂 (如22、 32、 23、…等 ) 。

• u—— 表示基本数列 , 可为任意正整数。• q—— 表示总列数。• t、 u 为基本参数 ,当 t、 u给定后 , 则试验次数为

tu次 , 列数为• q=(tu-1)/(t-1)

107

• 一般常用的正交表 ,如L4(23)、 L16(215)、 L9(34)L16(45) 、

• L25(56)等属于此类型 , 其基本参数为(t=2、 u=2)、 (t=2、 u=4)、 (t=3、 u=2)、(t=2、 u=4)、 (t=5、 u=2) 。

• 2. 正交表的同等变换• 正交表的行间置换、列间置换和同一列水平记号的置换 ,叫做正交表的三种初等变换。经过初等变换所能得到的一切表称为等价的 (或同构的 ) 。

• 可以根据不同试验要求 ,把一个表变成与此等价的其他特殊型式的表。

108

二水平正交表的构造

• 1. 二水平运算法则• 构造此类正交表要用到有限域的理论 ( 所谓有限域 , 大致说就是

对有限个元素组成的集合定义了加法、乘法和除法的运算 ) 。• 我们用 0和 1 表示二水平记号 , 这个有限域只有两个元素 , 它们

的加法和乘法定义为 :• ＜ a 加法法则 :• 0+0=0• 0+1=1• 1+1=0• ＜ b 乘法法则 :• 0×0=0• 0×1=0• 1×1=1

109

• 用这种规则定义加法和乘法 , 是有限域理论所要求的。构造正交表时 , 将用到上面加法和乘法法则。以后凡是讲到加法和乘法都指这种有限域中的加法和乘法而言。

• 2. 正交表与交互作用列表的构造• (1) L4(23) 的构造• L4(23) 表是二水平中最小的一个表。• 它的两个基本参数是 t=2、 u=2, 列数 q=(4-1)/(2-1)=3 。• 第一列是将 4 个试验分成两半 , 前一半是“ 0” 水平 , 后一半是

“ 1” 水平 , 称为二分列。• 第二列是将第一列的两个“ 0” 水平试验和两个“ 1” 水平试验分别再分成一个“ 0” 水平和 1 个“ 1” 水平 , 称为四分列。

• 二分列和四分列称为 L4(23) 的基本列• 第三列是将第一列与第二列的相应水平 , 按“加法规则”相加所

得如表 1 所示。

110

表 -1 L4(23) 表的构造 1 2 3

1 0 0 0+0=1

2 0 1 0+1=1

3 1 0 1+0=1

4 1 1 1+1=0

列号 a b ab

列号试验号

构造交互作用列表时 ,一般引进“列名”和“列名运算规则”来进行。用 a 、 b 分别一记 L4(23) 的两个基本列 ,称 a 为第 1 列的列号 ,b 为第二列的列名。第 3 列是由第 1 列和第 2 列相加得到的 ,它的列名可用第一列列名与第二列列名相乘得到的

111

• 列名的运算规则是一种指数运算 , 指数的相加或相乘按加法表或乘法表给出的规则进行。二列交互作用列为其列名相乘。

• 如第 1,2 两列的交互作用列为 a·b=ab, 即第三列 ;第 1、 3 列的交互作用列为 a·ab=a1+1·b=a0·b=b列 , 即第二列。

• 由此可见 ,当给出一组完备列的列名后 , 二列的交互作用列可由列名运算得到。

• (2) L8(27) 的构造• L8(27) 的参数为 t=2、 u=3, 它有三个基本列 , 分别置于第 1、

2、 4列 ,如表 2 所示。• 第 1 列是 : 二分列 , 列名为 a, 这列 8 个试验被分成两半。• 第 2 列的列名为 b, 是一个四分列。• 第四列的列名为 C,是 8 分列。• 其他 4 列通过列间运算才能得到。

112

表－ 4 L8(27) 表的构造

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 0+0=0 0 0+0=0 0+0=0 0+0=0

2 0 0 0+0=0 1 0+1=1 0+1=1 0+1=1

3 0 1 0+1=1 0 0+0=0 1+0=1 1+0=1

4 0 1 0+1=1 1 0+1=1 1+1=0 1+1=0

5 1 0 1+0=1 0 1+0=1 0+0=0 1+0=1

6 1 0 1+0=1 1 1+1=0 0+1=1 1+1=0

7 1 1 1+1=0 0 1+0=1 1+0=1 0+0=0

8 1 1 1+1=0 1 1+1=0 1+1=0 0+1=1

列号试验号

将列名列成表 , 它就是 L8(27) 的一组完备列名表如下 :

列号 1 2 3 4 5 6 7

列名 a b ab c ac bc abc

113

可以验证 ,L8(27) 中任意二列的交互作用列是七列中的某一列 , 并可通过列名运算得到。如 1、 7 两列的交互作用 a·abc=a2bc=bc列 , 即第 6 列。

因此 , 可根据列名运算构造交互作用表 ( 如表 3 所示 )供直接查用。表 -3 L8(27) 交互作用表

1 2 3 4 5 6 7 列号 (1) 3 2 5 4 7 6 1

(2) 1 6 7 4 5 2

(3) 1 6 5 4 3

(4) 1 2 3 4

(5) 3 2 5

(6) 1 6

(7) 7

114

（ 2 ） L ２u(2q)型正交表与交互作用列表的构造

根据上面的方法 , 可以类似地构造任意基本列数为 u 的二水平正交表 L

２u(2q) 和交互作用列表。

<a 基本列的构造在 L ２

u(2q) 的正交表中 ,有 u 个基本列 , 分别置于第 1列 ,第 2列 ,第 4

列 ,…,第 2u-1 列上 ,基本列的列名分别用字母 a、 b、 c… 来表示。＜ b 交互作用列表的构造通过上述＜ a＞、＜ b＞两个步骤 , 就可得到正交表的 q=(2u-1)/(2-

1)=2u-1 个列 ,这 q 列即组成 L ２u(2q) 的完备列。

任意两列的交互作用列则是 q 列中的某一列 , 这一列可用这两列的列名相乘得到据此即可构造出交互作用列表。

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下面再以 L16(215) 加以说明 :

它的基本列数 u=4, 即有 4 个基本列 , 分别置于 1、 2、 4、 8

列 ,其列名分别为 a、 b、 c、 d 。 a 为二分列； b 为四分列； c 为八分列； d 为十六分列。第 2 至第 4 列之间的列 ( 即第 3列 ) 为第 2 列加第 1列 , 列名 ab, 而第 4 列与第 8 列间的列 ( 即第 5 至第 7列 ) 是第 4 列依次与第1、 2、 3 列相加而得。第 9至 15列 (共 7列 ) 为第 8 列与前 7 列依次相加而得。

L16(215) 中的 15 列的列名表如下：

列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

列名 a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd 这是一组完备列名表 , 任何两列的交互列均在这 15 列中 , 可用列名运算找出交互列 , 如第 3 列与第 13 列的交互列为 ab·acd

=a1+1 bcd=bcd即 14 列。

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二水平正交表的构造原理 , 可推广到三水平的情况 , 所不同的只是交互作用列和列名运算有些差别。

1. 三水平运算规则用 0、 1、 2 表示三个水平 ,其加法和乘法规则规定如下 :

2. 正交表与交互作用列表的构造三水平表的最小一个表是 L9(34), 它的两个基本参数是 t=3,u=2, 从而得到其列数为 q=(9-1)/(3-

1)=4.

第 1 列是三分列，记列名为 a 。第 2 列是称为九分列、列名记为 b 。第 3 列是由第 1 列与第 2 列按加法规则相加而得 ,其列名称为第 1 列的列名与第 2 列的列名相乘 ,即 ab 。

第四列是将第一列的每个水平按乘法规则乘以“ 2”, 然后与第 2 列相加得到的 ,其列名为 a2b 。

三水平正交表的构造

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L9(34) 的四列 a、 b、 ab、 a2b 就是一组标准化完备列名。可以验证 ,

这四列的任两列的交互作用列就是另外两列。例如 ,第 3列 ab 与第 4列 a2b

的交互作用列为 aba2b=a1+2·b1+1=b2≡(b2)2=b2×2=b (第 2列 )

(ab)2·a2b=a2+2·b2+1=ab0=a (第 1列 )

反之 ,若列名最后一个字母的指数不是 1, 则均称为非标准化列名 ,如ab2 。但是非标准化列名可以通过一定的列名运算就成与它等价的标准化列名。

在三水平的情况下 ,只要将非标准化列名平方一下 , 即可达到目的。例如 :

ab2=(ab2)2=a2·b2×2=a2b

此外 , 如果一组列名不仅是一组标准化列名 , 而且又是一组完备列名 ,

则称它为一组标准经完备列名。

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通过对 L9(34) 表构造的讨论 , 可将 L3ｕ (3q)型表和它的交互作

用列表的构造法则归纳如下 :

(1) L3ｕ (3q)型正交表的构造

给出基本参数 u后 , L3ｕ (3q)型表的总列数 ,

q=(3u-1)/(3-1)=(3u-1)/2

其中 u 列为基本列 , 分别置第 1、 2、 5…, (3u-1)/2+1列 (共 u列 ) 。本列的列号分别用字母 a、 b、 c、 d…命名。第 1 列为三分列 ,第 2 列为九分列 ,第 5 列为二十七分列。第 (3u-

1)/2 +1 列为 3u 分列。在每个基本列后 ( 除第一个基本列外 )依次安排该基本列与该列前所

有的交互作用 (共两列 ), 交互作用列的列名用乘法规则得到 , 这样所得到的 q=(3u-1)/2 个列名 , 就是一组标准化完备列名。

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(2) 交互作用列表的构造

L3ｕ (3q) 正交表的交互作用列表构造 ,按照列名运算法则可得到。

下面看一下 L27(313) 。它是 u=3 的表。它的构造法和 L9(34) 相同 , 它有三个基本列 ,置于第 1、 2、 5列 , 列名分别记为 a、 b、 c 。

第 1列 a 这三分列 ;第 2 列是九分列 ;第 5列 c 是二十七分列。其余各列可按下列规则得出 : 前一列加后列以及前一列每水平乘 2 加后列 , 列名用乘积表示。

L27(313) 的列名表如下：

读者可根据列名具体写出 L27(313) 的各列。这 13 个列名是一组标准化完备列名 , 对于任何非标准化列名将其平方即为其等价的标准化列名 , 这样一来可以直接从列名运算找到它们的交互列。

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例如第 7、 8 列的交互列为 :

a2c·bc=a2bc2=(a2bc2)2=a2×2b2c2×2=ab2c (第 13列 )

(a2c)2bc=a2×2bc2+1=ab (第 3列 )

即第 7、 8 列的交互作用列为第 3、 13 列

第三章 多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用

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第三章多指标问题及正交表在试验设计中的灵活运用