第一课时直线方程

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第一课时直线方程







1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素．3．掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系 .

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直线是解析几何中最基本的内容，对直线的考查一是在选择、填空中考查直线的倾斜角、斜率、直线的方程等基本知识，二是在解答题中与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识进行综合考查 .

请注意 !







课前自助餐课本导读 1．直线的有关概念

(1)直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°.

(2)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是直线 l上两点，则 l的方向向量的坐标为 (x

2－ x1， y2－ y1)；若 l的斜率为 k，则方向向量的坐标为 (1， k)．

2．斜率公式

(1)直线 l的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝ tanα.







(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠ x2，则l的斜率

为y2－y1

x2－x1

.

3．直线方程的几种基本形式

(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)，注意斜率k是存在的．

(2)斜截式：y＝kx＋b，其中b是直线l在y轴上的截距．

(3)两点式：y－y1

y2－y1

＝x－x1

x2－x1

(x1≠ x2且y1≠ y2)，当方程变形

为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0时，对于一切情

况都成立．







(4)截距式：xa＋

yb＝1，其中a· b≠ 0，a为l在x轴上的截

距，b是l在y轴上的截距．

(5)一般式：Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0.







1．下列四个命题中真命题的是( )

A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．

B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以用方程：(y－y1)(x2－x1)－

(x－x1)(y2－y1)＝0表示．

C．不过原点的直线都可以用xa＋yb＝1表示．

D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．

答案　 B

教材回归







2．直线xsinπ

7＋ycos

π

7＝0的倾斜角是( )

A．－π

7 B.

π

7

C.5π

7 D.

6π

7

解析由题意得：直线方程为 y＝－tanπ

7· x，

∴ k＝－tanπ

7＝tan

67π ，

∵ 0≤ α <π ，∴ α ＝67π .

答案　 D







3．若ab<0，则过点P

0，－1b与Q

1

a，0 的直线PQ的倾

斜角的取值范围是( )

A.

0，π2

B.

π

2π，

C.

π－，－π2

D.

－π2，0

解析 kPQ＝－1b－0

0－1a

＝ab<0，又倾斜角的取值范围为

[0 π， )，故直线PQ的倾斜角的取值范围为

π

2π， .

答案　 B







4．(07· 北京)若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)共线(a，b≠ 0)则1a＋

1b＝________.

5．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程

为________．

解析由题意可设直线方程为xa＋yb＝1.

则

a＋b＝6，

2a ＋

1b＝1，

解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.

答案 12

答案　 x＋ y－ 3＝ 0或 x＋ 2y －4＝ 0







授人以渔

例1 (1)设直线2x＋my＝1 α的倾斜角为，若m∈ (－∞ ，－2 3 )∪ [2，＋∞ )，则

α角的取值范围是________．

【解析】据题意知tanα ＝－2m，∵ m<－2 3或m≥ 2.

∴ 0<tanα <33或－1≤ tanα <0.

∴ α ∈ (0，π

6)∪ [

3π

4π， )．

【答案】　α∈(0， )∪[， π)．

题型一直线的斜率







(2)直线l过点M(－1,2)且与以点P(－2，－3)、

Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是

________

【解析】本题考查直线的倾斜角、斜率与正切函数的

单调性．







如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.

kMP＝5，kMQ＝－25.

当直线l从MP开始绕M逆时针方向旋转到MN时，倾斜

角在增大，斜率也在增大，这时，k≥ 5，当直线l从MN开

始逆时针旋转到MQ时，∵ 正切函数在(π

2，π )上仍为增

函数，







∴ 斜率从－∞ 开始增加，增大到kMQ＝－25，故直线l的斜率范

围是(－∞ ，－25]∪ [5，＋∞ )．

探究1 处理斜率范围和倾斜角范围时，由于涉及到正切函

数的单调性，因此常常借助正切函数图象，将角分为[0，

π

2)、(

π

2π， )两部分分别对应斜率中的非负值和负值．

【答案】　 (－∞，－ ]∪[5 ，＋∞ )







思考题1 已知两点A(－1,2)，B(m,3)，求：

(1)求直线AB的斜率；

(2)求直线AB的方程；

(3)已知实数m∈ [－33－1， 3－1]，求直线AB的倾

斜角α 的范围．

【解析】 (1)当m＝－1时，直线AB的斜率不存在，

当m≠ －1时，k＝1

m＋1.

(2)当m＝－1时，AB的方程为x＝－1；

当m≠ －1时，AB的方程为y－2＝1

m＋1(x＋1)







(3)①当m＝－1 α时，＝π2

②当m≠ －1时，∵ k＝1

m＋1∈ (－∞ ，－ 3]∪ [

33，＋∞ )，

∴ α ∈ [π6，π2)∪ (

π2，2π3]

综合①②知直线AB α的倾斜角为[π6，23π ]．







题型二求直线方程

例 2 求适合下列条件的直线的方程：

(1)在 y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；

(2)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(3)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x的倾斜角的 2倍．

【解析】 (1) α设直线的倾斜角为，则 sinα ＝35，







∴ cosα ±＝45，直线的斜率k＝tanα ±＝

34.

又直线在y轴上的截距是－5，

由斜截式得直线方程为y ±＝34x－5.

(2)设直线l在x、y轴上的截距均为a，若a＝0，

即l过点(0,0)和(3,2)，

∴ l的方程为y＝23x，

即2x－3y＝0.

若a≠ 0，则设l的方程为xa＋ya＝1，







∵ l过点P(3,2)，∴3a＋2a＝1，

∴ a＝5，∴ l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

(3)由已知：设直线y＝3x α的倾斜角为，则所求直线

的倾斜角为2α .

∵ tanα ＝3，∴ tan2α ＝2tanα

1－tan2α＝－

34，

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，

即 3x＋ 4y＋ 15＝ 0.







探究 2 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形

式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能

表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，

故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用

点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．







思考题2 已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积

为3，分别求满足下列条件的直线l的方程；

(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为16.

【解析】 (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它

在x轴，y轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，

由已知，得(3k＋4)(4k＋3) ±＝ 6，







解得k1＝－2

3或k2＝－

8

3.

直线l的方程为2x＋3y－6＝0

或8x＋3y＋12＝0.

(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝1

6x＋b，

它在x轴上的截距是－6b.

由已知，得|－6b· b|＝6，∴ b ±＝ 1 .

∴ 直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.







题型三直线方程的应用

例 3 经过点 P(2,1)的直线 L分别与两坐标轴的正半轴交于 A， B两点；

(1)求当△ AOB的面积最小时直线 L的方程；

(2)求当 |OA|＋ |OB|最小时直线 L的方程；

(3)求当 |PA|·|PB|最小时直线 L的方程；

(4)求当 |OA|·|OB|最小时直线 L的方程．

【解析】由条件知，斜率 k必存在．

设直线方程为 y－ 1＝ k(x－ 2)，显然 k<0，







当x＝0时，y＝1－2k；y＝0时，x＝2－1k，

(1) △ AOB的面积为S＝12(1－2k)(2－

1k)＝2＋

(－1k)＋(－4k)

2≥ 2＋（－

1k

·）（－4k）≥ 2＋2＝4，

当且仅当(－1k)＝(－4k)即k＝－

12时等号成立，

此时直线方程为y－1＝－12(x－2)，

所以当△ AOB的面积最小时直线L的方程为x＋2y－4＝0.








12时等号成立，

此时直线方程为y－1＝－12(x－2)，

所以当△ AOB的面积最小时直线L的方程为x＋2y－4＝0.

(2)|OA|＋|OB|＝(1－2k)＋(2－1k)＝3＋(－

1k)＋(－2k)≥

3＋2 （－1k

·）（－2k）＝3＋2 2.


22时等号成立，此时直线

方程为y－1＝－22(x－2)，







所以当|OA|＋|OB|最小时直线L的方程为x＋ 2y－2－ 2＝0.

(3)|PA|· |PB|＝（2－1k－2） 2＋1 · 22＋（1－2k－1）2＝2

（1＋1k2）（1＋k2）＝2 2＋

1k2＋k2≥ 2 2＋2

1k2· k2＝4，

当且仅当1k2＝k2即k＝－1时等号成立．

此时直线方程为y－1＝－(x－2)．

所以当|PA|· |PB|最小时直线L的方程为x＋y－3＝0.







(4)同(1)，所以当|OA|· |OB|最小时直线L的方程为

x＋2y－4＝0.

探究3 利用直线的方程求最值是一类常见题型．

思考题3 已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤ x≤ 3时，

求yx的最值．

【解析】如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝

8，且2≤ x≤ 3，







所以点P(x，y)在线段AB上移动，

并且A，B两点的坐标分别是A(2,4)，B(3,2)．

因为yx的几何意义是直线OP的斜率，

且kOA＝2，kOB＝23，

所以yx的最大值为2，最小值为

23.







课时作业（课时作业（ 4040 ））

第一课时 直线方程

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