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课题：角平分线 ( 第 2 课时 )北师大版八年级第一章第四节佛山市更合中学 何艳芳

课题：角平分线 ( 第 2 课时 )北师大版八年级第一章第四节佛山市更合中学 何艳芳

问题：在 S 区有一个贸易市场 P ，它建在公路与铁路所成角的

平分线上，要从 P 建两条路，一条到公路上，一条到铁路上。问题 1 ：怎样修建路最短？问题 2 ：这两条路长度有什么关系？画出来看一看。然后再动手测量一下。

A

B

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[ 活动一 ] 折一折问题： （动手操作）　　让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的

纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕．

1 、第一次的折痕和角有什么关系？为什么？ 2 、第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？3 、你能得出什么猜想？4 、这一猜想，你能用数学知识来证明吗 ?

第一次折痕是角的平分线

第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等

已知 :求证：证明：

性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。几何语言：

OC 是∠ AOB 的平分线， PE OA⊥ 于 E ， PF OB⊥ 于 F 。PE=PF

∵P 是∠ AOB 的平分线 OC 上一点， PE OA⊥ 于 E ， PF OB⊥ 于F ∴ PE ＝ PF 。

∵ OC 是∠ AOB 的平分线，∴ 　∠ 1= 2∠∵ PE OA⊥ 于 E ， PF OB⊥ 于 F ，∴ 　∠ OEP= OFP=90º∠ ． 在△ OEP 与△ OFP 中， ∠1= 2∠ ∠OEP= OFP∠ OP=OP∴　△ OEP OFP(AAS)≌△ ．∴ PE ＝ PF.

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练习一　　　　　判断：（ 1 ）如图 1 ： OP 是∠ AOB 的平分线，则 PE=PF（ ）（ 2 ）如图 2 ： PE⊥OA 于 E ， PF⊥OB 于 F ，则 PE=PF （ ）（ 3 ）在∠ AOB 的平分线上任取一点 P ，点 P 到 OA的距离等于 　　　　　　　　 3cm, 则点 P到 OB 距离等于 3cm （ ）

回答引例中的问题：引例中这两条路长度有什么关系？理由是什么？（用抢答的形式请同学们举手回答）

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[ 活动二 ] 想一想

1 、如图 1 ，要在 S 区 建一集贸市场 P ，使它到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建于何处？

（在图上标出它的位置，比例尺为 1 ： 20000 ）2 、如图 2 ，若点 P 到角两边的距离相等，则点 P 在

∠ AOB 的平分线上吗 ?

OP=2.5CM

O

P

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判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。几何语言：

如图， PE OA⊥ 于 E ， PF OB⊥ 于 F ，且 PE=PF 。点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上

已知 :求证：证明： ∵ PE⊥OA 于 E ， PF⊥OB

于 F ， ∴　∠ OEP=∠OFP=90º ． 在Rt△OEP 与 Rt△OFP 中，

OP=OPPE ＝ PF∴ Rt△OEP≌△RtOFP(HL) ．∴ 　 ∠ 1= ∠2∴ 点 P 在∠ AOB 的平分线 OC

上

∵PE OA⊥ 于 E ， PF OB⊥ 于 F ，且 PE=PF 。∴ 点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上

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1 、如图 1 ，若 PE=PF ，则 OP 是∠ AOB 的平分线。( )2 、如图 2 ，若 PE⊥OA 于 E ， PF⊥OB 于 F ，则 OP是∠ AOB 的平分线。 ( )3 、已知 P 到 OA 的距离等于 3cm, 且 P 到 OB 距离等于 3cm ，则 P 在∠ AOB 的平分线上（ ）

练习二

判断：

[ 活动三 ] 做一做 问题：若要在 S 区建一个集贸市场 P ，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等，请问集贸市场应建于何处？

P

问题 :1 ：点 P 在∠ A 的平分线上吗？2 ：三角形的三条角平分线有什么关系呢？

例 1 ： 如图，△ ABC 的角平分线BM 、 CN 相交于点 P ，求证：点P 到三边 AB 、 BC 、 CA 的距离相等。

D

FE

定理 3 ：三角形的三条角平分线是相交于一点的， 并且这一点到三边的距离都相等。

变式 1 ：如图 ,P 点是△ ABC 的两个外角平分线 BM 、CN 的交点。求证：点 P 在∠ BAC 的平分线上。

D

E

F

变式 2 ：如图 ,△ABC 的一个外角的平分线BM 与∠ BAC 的平分线 AN 相交于点 P 。求证：点 P 在△ ABC 另一个外角的平分线上。

D

EF

D

FE

D

E

F

D

EF

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[ 活动四 ] 练一练

１、拓展：若要建一个集贸市场，使它到两条公路和一条铁路的距离都相等，请问集贸市场应建于何处？

A

B

C

D

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5:4:32 、课外探究：有一块三角形的空地，其三边长分别为

，现要把它分成面积比为的三部分，分别种植不同的花，请设计一个方案，并简要说明理由。

cmcmcm 50,40,30

1 、本节课你学了哪些定理呢？

2 、本节课你学了哪些数学解题方法呢？

[ 活动五 ] 说一说

作业分成两层：

第一题必做题：1 、教材：第 32 页，知识技能第 1 、 2 、 3 、

题　　　　　　　　　　　

第二题选做题 :2 、课外探究

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