خمسة عشر موضوعا- امتحانات تجريبية في الرياضيات باك...

بسم اهللا الرحمن الرحيم والصالة والسالم على أشرف المخلوقين محمد سيد المرسلين وعلى آله وصحبه أجمعين

15 هذا العمل المتواضع وهو عبارة على يستمر مسلسل الكتب المفهرسة ٬ بتقديم أما بعد ٬ مجمعة في بكالوريا علوم تجريبية ثانية الرياضيات لمستوى ال امتحان تجريبي مع الحلول في

ضغط على عنوانه في الفهرس موضوع ا كتاب واحد مفهرس لتصفح أي

إضغط على وللرجوع إلى الفهرس

: مالحظات

خارج المقرر Arctan ـ تعتبر الدالة

خارج المقرر المتغير ـ تعتبر المكاملة بتغيير

خارج المقرر ـ تعتبر المعادالت التفاضلية بطرف ثان

الفهرس الحل 01 الموضوع الحل 02 الموضوع الحل 03 الموضوع الحل 04 الموضوع الحل 05 الموضوع الحل 06 الموضوع الحل 07 الموضوع الحل 08 الموضوع الحل 09 الموضوع الحل 10 الموضوع الحل 11 الموضوع الحل 12 الموضوع الحل 13 الموضوع الحل 14 الموضوع الحل 15 الموضوع

1

252008

: : !!"

#$% :& !'#:3 (

)* :+,-.(/0

/0#.(1"

)%2:7

3,5

0,5

1

1 1

6

0,75

0,75

0,5

0,5

1 1

1

0,5

3 4"56

1. - : 22 3 2 11 : 2 1

1 1x xx xx x

.

- : 21

0

2 3 21

x x dxx

I

2. : 1

0xxe dxJ

3. : 11 ln( )

e

eK x dx

x

37/06

z !"# $%& : 3 28 3 25 24 75z z i z i z iP 1 . ' !"# * : 2 8 25 0:E zz

2 . ' 0zP +/ 6 9;/0z <=>=?/ #> *@A.

3 . '=;;? >'= a Bb C? : 2: 3Pz z z i z az b

4 . DE = D FG " H=; I" * @9& , ,O u v

J; A BB BC BD F! K?

L " :1 2A iz B4 3Bz i B3Cz i B4 3Dz i . - J; MA BB BC BD.

- :15

C A

D A

z z iz z

B :23

BC

D B

z z iz z

.

N- MM 9O ACD BBCD . '- J; A BB BC BD P@Q ' FG / LR@ S?B K!T '=?.

5 . UV @9&t KK# AD

.W; S? '=E W; PX"AC UVt .

2

10,5

0,5 1

1,5

1 0,5 1 1

0,5

1

0,75

0,75

1

803 6

f F! *@ >'= = > :

3

2

ln 1 ; 0

4 3 ; 0

f x x x

f x x x x x

B fC = M F? f I" *P DE = D FG " , ,O i j

.

1. - f W; * Z0 .

- = f W; * [;T\ 0 ) . ] @R^& :

0

ln 11lim

x

tt

(

2.# R F! Z/ = ,0 B1, # F! >=> /B 0,1 .

3. - >K : limx f x

B limx f x

.

- S;?/ : 3ln 13ln

,0 :xf x x

x x xx

.

N- F? QK&6 !@_ `X' fC .

4.F? ab& fC .

5.h = X"Zf # F!,0 .

- h ! ' 9;/1h # F! *@J <=>=?/ D>. - '= 1 xh x # J.

6. >'= @9& n nu > *@ :

0

21

49

4 3 ;n n nn

u

u u u u n

- $@ :4 19

: nun .

- n nu >=> /.

N- n nu K>K& De X; .

2BacSP&2BacSVT. 252008

!"#$%&' !"#$

( '&)252008

)*+,-./#$

0&1,

1 .- 1x . : 2 22 1 1 11 2 2 1 1 2 3 22 1

1 1 1 1x x x x x x xx

x x x x

.

- : 2 11 1 2

0 0 0

2 3 2 12 1 l 2n 11 1

ln 2x x dx x dx x x xx x

.

2 . : 1 1 11

00 0 0x x x xxe dx x e dx xe x e dxJ

1 11 1 1 100

1 21x xJ e e dx e e e ee

3 . !"ln x #$1 ,ee

. :

% #$ &'" ()$ :

11 1

1 1ln lne

ex dx x dx

x x

11 1 1

1 1 1ln ln lne e

e ex dx x dx x dx

x x xK

11 1

ln ln ln lne

ex x dx x x dx

1

2 2

1 1

1 1 1 1ln ln 0 02 2

12 2

e

e

K x x

2#$1,

&z *+ : 3 28 3 25 24 75z z i z i z iP . 1 . $, %/ &" ! : 2 8 25 0:E zz .

: 2 22 4 1 25 16 25 9 3b ac i . 01 :! E 2 3/4 3$ 5:

1 4 3b iz ia

62 4 3b iz ia

.

! ,5 $, 07/ 86 E %2 : 4 3 , 4 3S i i . 2 . 0 iyz 9"y ! /4; <= )5 0P z . 01:

- 1 -


3 20 0 0 0

3 2

2 3 2

2

3 2

3 2

3 2

0

0 8 3 25 24 75 0

8 3 25 24 75 08 24 3 25 75 0

8 24 03 25 75 0

8 3 0

3 25 75 0

0 33 25 75 0

0 3

P z z i z i z i

iy i iy i iy iy y i y y y

y yy y y

y yy y y

y yy y y

P z y

07/ %60 3z i ! >4; %<= &5 ,2 0P z .

3 . 0 3z i !6" P z . 01 P z #$ ?3 &@3=3z i .

1 : .

0 A? 86 :8a 625b .

2 : ! "#$ % &'( )$*.

2 3 2 2

3 2

2

3 3 3 3

3 3 33 8 33 25 24

3 758

325

z z i z az b z z az bz iz aiz biz z a i z b ai z bi

a i ib ai ibi ia

z z i z az bb

P PP

P

4 .B3 C,? %/P 4@6 DE D # ,? , ,O u v

F3 4@ A 6B 6C 6D #$ G(" %

%2 %,: 1 2A iz 6 4 3Bz i 6 3Cz i 6 4 3Dz i . - F3 &H=A 6B 6C 6D B3 C,? %/P :

- 2 -


- :

3 1 2 11 15 5 54 3 1 2 5 1

C A

D A

i i i iz z i iz z ii i i

2

3 4 3 4 2 2 26 3 334 3 4 3

BC

D B

i iz z i iz z i i ii i

I- :15

1 ,5 2

C A

D Ai

z zz z

. 01 : , 22

AD AC

. 9H 07/ 86ACD %/ 6 DJ(A.

6:2 ,3 2

23

BC

D B

z zz z

i

. 01 : , 22

BD BC

.9H 07/ 86BCD %/ 6 DJ(

K3B. !- 0 ACD 9H DJ(%/ 6A 4J L" 87/ 2K( 5 %! "CD 0 6 BCD 9H%/ 6 DJ(B

2K( 5 % 4J L" 87/! "CD 4J B .F3 07/ %6A 6B 6C 6D 4J # %= 6

:4J M4 K3 ,2# K3 N'! "CD G3" %6 :3 3 242 2

DCz z i iz # .

4J O ,2 2 21 2 2 3 2 2 33 1Az z i iR A # # .

5 . : AD

D EA C

C E AD CEz z z z

t

01 : 3 3 21 2 54E D A Cz z z i i i iz .

- 3 -


3$1,

f % /4 ! :

3

2

ln 1 ; 0

4 3 ; 0

f x x x

f x x x x x

$

%

6 fC &H #"f C,? %/ P DE D # ,? , ,O i j

.

1 .- : 20 0

4 3 0lim limx x

f x x x x f & &

6 3

0 0ln 1 ln1 0 (0)lim lim

x xf x x f

& &

01 : 0 0

lim lim 0x x

f x f x f & &

.07/ 86f K3 %/ ' !0 .

- : 2

0 0 0

0 4 3 4 3 00

lim lim limx x x

f x f x x x x xx x & & &

.

01f %/ #$ P3Q (0 6 0 0df .

*+ 3t x . 0100

xt

&

. 07/ 86 :

3332 2

30 0 0 0

ln 1ln 10 ln 1lim lim lim lim 0

0x x x t

xxf x f tx t

x x tx & & & &

01f #$ P3Q (? %/0 6 0 0gf .

0 6 0 0 0g df f 07/ f K3 %/ P3Q (0 6 : 0 0f .

2 . ,0x ' . : 2

3

33

3

1ln 1

13 0

1xx

xf x x

x

$ 0 :23 0x $ 631 0x (.

01f !+ #$ ,0 '.

0,x ' . : 2 14 3 4 6 4 62

x x x x x x x x x x x xx

f

2

4 6 11

6 66 1x x xx x x x x xx

f x

07/ 86 xf #$0, ' %21 x 6 :

01f !+ #$ 1, ' , #$0,1 .

3 . - : 24 3 4 3lim lim limx x x

f x x x x x x x&' &' &'

' ' '.

*+31t x . 01xt

'& '

07/ 86 : 3ln 1 lnlim lim limx t t

f x x t&' &' &'

'.

- ,0x ' . : 3 33 3 3ln ln 1ln 1 ln ln 1ln3

x xx x xxx x x x

3 3 3ln 1 ln 1x x x f xx x x

- 4 -


I- 0 D : limx

f x&'

' .

6 : 24 3 4 3lim lim limx x x

f x x x x x xx x&' &' &'

' .

01 fC &@3-. /, ' 0! !% 12-.

0 D6 : limx

f x&'

' .

*+t x . 01xt

'& '

.

07/ 86 : 33

1n 0

ln 1l3

ln 1ln3lim lim limx x tt tt t

xf x xx x x

&' &' &'

.

01 fC &@3-. /, ' !% 12-34.

4 .#" R fC :

5 . - h #$ K( '(=6 ' !,0 ' .01h ?$ ! &@3= 1h /4

0

,0 lim , lim 0,xx

h x h xJ h &'&

' ' ," ,0I ' .

- :

1

1

0, ,0:x

hx y h

' '&

- 5 -


0,x ' 6,0y ' 9" : 1 xy h S T"= %U@x V

1

3

3

3

3

3

3

31

ln 1

11

1

1

1 , ! 0

1

x

x

x

x

x

x

y h x h y xy xy e

y e

y e

y e

y e y

y h x y e

$

07/ %6 : 310, : 1xh x ex ' )

6 . ! 4@ n nu % M /4:

0

21

49

4 3 ;nn n nn f u

u

u u u u n

- & 0n 049

u 01 :04 19u* * .

n .– 0 W4X : 4 19 nu* * .

– 0 @ :14 19 nu * * .

:f #$ = 4 ,19

.

0! : 1 14 4819 81

4 41 1 19 9nn n nuu f f f u u

+

* * + * * * * + * *

0 :4881

49* .

07/ %6 : 4 19

: nun *) * .

- n . : 21 4 3 4 3 1n n n n n n n nn u u u u u u u uu

3 3 1 3 1 1n n n n n n n nu u u u u u u u

1 1 3 1n n n nn u u u uu

0 6 4 19 nu* * 07/ : 0nu % 61 1 1 0n n nu uu * + * + %

6 :2 1 2 3 3 1 3 1 23 n n nu u u* * + * * + * *

01 : 1: 0nnn u u) % . 07/ 86 n nu = .

- 6 -


2 : 5 6 27. & 0n :0

49

u 6 1 04 489 81

f fu u

. 01 : 1 0u u% .

n .– 0 W4X :1 nnu u % . – 0 @6: 2 1n nu u %.

0 Df #$ = 4 ,19

064: 19 nn u) * * .

01 : 1 1

2 1

n nn n

n n

f fu u u uu u

% + %+ %

07/ %6 : 1: nnn u u) %.

07/ 8$6 n nu = .

I- 0 n nu ! ,@6 = 1 0 6 3 G7/ :

f #$ '4 ,19

.

f ' K( =6 #$4 ,19

. 01 : 4 4 48 4,1 , 1 ,1 ,19 9 81 9

f f f , .

04 4 ,19 9

u

.

n nu GG 3 l.

07/ : l lf 64 ,19l

.

0 6 : 4 ,19l

07/ : 1l . 07/ %6 : lim 1nnu

&'.

( 38 n nu 34 !% 9/: Y4@ ArchimèdeIIplus

% : $8 ( 9 n nu 9 3910 : Y4@ Maple8

- 7 -


> f:=x->4*x*sqrt(x)-3*x^2;

> u||0:=4/9;

> for n from 0 to 7 do u||(n+1):=evalf ( f(u||n),40) end do; >

- 8 -

:= f -&-x --4 x x 3 x2

:= u0 49

:= u1 .5925925925925925925925925925925925925926

:= u2 .771214019496430399765540178705775003857

:= u3 .924770145160219732615854802614175415392

:= u4 .991620265837260128814475447447728689792

:= u5 .999894817653372624921308101428513339064

:= u6 .999999983405301865062068449925712595782

:= u7 .999999999999999586923991857909924819865

:= u8 .999999999999999999999999999999744052317

ثانوية بئر أنزران ـ صفرو ـ 2لوريا علوم فيزيائية الثانية بكا

2007 - 2008

@‡čyíà@ðjî‹vm@çbznàa@@ñbà2008@@@1 / 2@

علوم تجريبية: الشعبة ساعات3: المدة وتوفيق بنعمر: ذ

يسمح باستعمال اآللة الحاسبة غير القابلة للبرمجة

)قدي منسوب لمعلم متعام ممنظم مباشالمستوى الع 1 التمرين O,(ر , u v

0.75

0.5

0.5

0.25

0.5

0.5

02دلة . المعا حل في )أ) 1 2 2z z− + =

ABCz i= +

. أكتب الحلين على الشكل المثلثي)ب

B و 1A :توالي التي ألحاقها على ال و و نعتبر النقط)2 Az z=2 وC Bz z=.

3حدد الشكل الجبري و المثلثي ل )أ 3

c

A

zz−−

(3)IIAC

EI C2 4Ez i= − −

DE

.

. حيث، استنتج طبيعة المثلث لتكن النقطة )ب

:تحقق أن .،2 باإلزاحة O صورة لتكن النقطة)3

.(ن بالدوراصورة حدد لحق النقطة )4

@@مـسألـة

0.5

0.25

0.75

0.5 1

0.75

1.25

0.5 1

0.5

0.75 1

.: بما يلي المعرفة على عتبر الدالةن :الجزء األول f( ) 1 ln(1 xf x e−= − +

lim ( ) 1x

f x→+∞

=

lim ( )x

f x→−∞

= −∞

: ( ) 1 ln(1 xx f x x∀ ∈ = + − +( ) :D y x= +−∞

Df

)

. و أعط تأويال هندسيا للنتيجة بين أن )أ )1

. بين أن )ب

1م e(ق أن . مقارب مائل بجوار و استنتج أن المستقيقتح )أ) 2

)حدد الوضع النسبي )ب ل .C و (

/: بين أن )3 1: ( )1 xx f xe

∀ ∈ =+

ln( 1)a e=− −( )f a−

f(0) 0,3f ≈

f1f −J1f −

. و ضع جدول التغيرات

) ضع . و أعط تأويال هندسيا لهما : أحسب ن)4 )f a و

2cm0,6a . و و ، الوحدة في معلم م م مC أنشئ )5 ≈ −

.C يتم تحديده و أنشئ في نفس المعلم المنحنى معرفة على مجال تقبل دالة عكسية بين أن )6

: المعرفة بما يلي نعتبر المتتالية:لجزء الثانيا ( )n nu ∈012

u u1 و = ( )n n+ =

: 0 nn u≤ ≤ −

: ( )x f x x x≥ ⇔ ≤ −

n nu ∈

( )n nu ∈

u f.

∀ بين )1 a: بالترجع أن ∋

∀) أ )2 ∈@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@iÜbnÐíïÖ@ a بين أن) المتتالية بين أن )ب . تزايدية(

. متقاربة و حدد نهايتهااستنتج أن )3

( ,2

R O π

2 فيزيائية لوريا علوما بك2 ) مادة الرياضيات ( - 2008 / 2007 -موضوع امتحان تجريبي ) صفرو(ثانوية بئر أنزران 2 / 2

2@التمرين (ر )الفضاء منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباش ,. , ,O i j k

( ) : 2R x y z+ − − = )0ن والمستويينعتبر ) : 1P x z+ + = 0

0.5

0.75

0.5

0.25 1

) . متعامدان و المستويينبين أن) أ )1 )P( )R

( 1, 2,1n −∆( )P( )R

S∆

) موجهة للمستقيمتحقق أن) ب و ( . و حدد تمثيل بارمتري له تقاطع(

)نعتبر الفلكة )أ) 2 )المماسة للمستقيم و O التي مركزها ( هو شعاعاها بين أن ( 116

( )S( )P( )S

.

.رتية لحدد معادلة ديكا )ب ى . مركزها و شعاعهادائرة محددا وفق يقطع المستو بين أن )ج

0ة 3@التمرين )نعتبر المعادلة التفاضلي ) : " 4 ' 13E y y y− + =

0.5

0.5

0.75 1

) حل المعادلة التفاضل)1 Eية .(

g( )E0/ (0) 3g = g(0)ة . و الذي يحقق للمعادل حدد الحل )أ) 2 =

.∫: استنتج أن)ب

dx: كامل . أحسب باستعمال مكاملة باألجزاء الت)ج

مستقالن فيما بينهما) 2و ) 1السؤاالن 4@التمرين

0.75

0.5

.المحصل عليهنرمي هذا النرد مرة واحدة و نسجل الرقم . 6 إلى 1نعتبر نردا مكعبا أوجهه مرقمة من )1 AB ".الرقم المحصل عليه فردي " و " 4الرقم المحصل عليه أصغر أو يساوي " : نعتبر الحدثين

( )Bp A

): . أحسب) أ )p Aو

.مرتين بالضبطفردي مرات، أحسب احتمال الحصول على عدد 5ا النرد نرمي هذ )ب

1.25

2 (U يحتوي على كرتين خضراوين و ثالث كرات صفراءصندوق . U يحتوي على ثالث كرات خضراء و كرة واحدة بيضاءصندوق . '

'

XX

.فنحصل على أربع كرات؛ Uبالتتابع و دون إحالل كرتين منعشوائيا و نسحب Uكرتين منو عشوائيا نسحب تآنيا

.حدد قانون احتمال المتغير العشوائي .هابعدد األلوان المحصل علي المتغير العشوائي المرتبط ليكن

2 2

0

3sin(3 ) (1 )13

xe x dx eπ π= +

2

0cos(3 )xI e x

π= ∫

@

iÜbnÐíïÖ

ثانوية بئر أنزران ـ صفرو ـ

2الثانية بكالوريا علوم فيزيائية

2007 - 2008

ßíÝy@paŠb’g@ýa@çbznàÜa@ðjî‹vn@ñbà2008@

1 / 4@

علوم تجريبية: الشعبة

ساعات3: المدة

وتوفيق بنعمر: ذ

:التمرين األول

∆−4 : جذر مربع له و منه الحالن هما : المميز)أ) 1 2dإذن = i=

22 2 1

2iz i+

= = +1 ) أ) 2

2 2 12i−

= z و = i−.

1 )ب 1 [z i= − و = 2 ,4π

− ] . 2 4 [ 2 , ]z π

=

)أ) 22

3 1 2 ( 1 2 )( 2 ) 5 [1, ]5 5

z i i i i i π− − − − − − −= = = = =

3 2C

Az i− − :حسب ما سبق )ب +

3 لدينا)ب 13

C

A

zz−

=−

3 إذن || منه و 3 | |C Az z− = −CI AI=

3z π−

<

) [لدينا , ) arg( ) [23 2

C

A

IA ICz

π≡ ≡−

C

( ) 2( )2(2 2 3) 2 4

E O C I

E

z z z zz i

⇔ − = −

⇔ = − − = − −

IAI .قائم الزاوية في متساوي الساقين و إذن

( ) 2t O E IC OE= ⇔ =

3( /

/ (1 ) 1( ) 01 1 ( 1)

x x x

x x x x

e e ef xe e e e e

− − −

− − −

+= − = = =

+ + +/: ( )x f x >

+∞x

1x +

3 ( . i

2 IC لدينا ∀ ∀ إ∋ ∈. : 0xx e 0ذن <

4 (

)

.

2( , )

2

( ) (

( 2 4 )4 2

i

D O E Oo

D

R E D z z e z z

z i ii

π

π = ⇔ − = −

⇔ = − −= −D Oz z⇔ −

4(

:مـسـألـة :الجزء األول

lim إذن )أ) 1 0x

xe−

→+∞=lim ( ) 1 ln(1 0) 1

xf x

→+∞= − + =

1y =+∞

x−

a

. مقارب أفقي بجوار إذن المستقيم ذو المعادلة

lim ) ب x

xe−

→−∞= lim∞+ إذن ∞+ ln(1 )

xe

→−∞+ =

lim ( ) lim 1 ln(1 )xx x

f x e−→−∞ →−∞

= − + =

( ) 1 ln(1 ) 1 ln( ( 1) )1 ln( ) ln( 1)1 ( ) ln( 1) 1 ln( 1)

x x x

x x

x x

f x e e ee ex e x e

− −

−

= − + = − +

= − − +

= − − − + = + − +

m 0xe−∞

=

lim ( ) ( 1) lim ln( 1) ln(1) 0xf x x e−∞ −∞

− + = − + = − =

( ) ( ) ( 1) ln( 1)xf x y f x x e− = − + = − +

: 0 1 1 ln( 1) ln(1)ln( 1) 0 ln( 1) 0

( ) 0

x x x

x x

x e e ee e

f x y

∀ ∈ > ⇔ + > ⇔ + >

⇔ + > ⇔ − +⇔ − <

f( )∆

∞− إذن .

iÜbnÐíïÖ: إذنli: لدينا

. على يوجد تحتCإذن

−∞

1 −∞

( )f x

+/ ( )f x

ln( 1)( ) 1 ln(1 ) 1 ln(1 )

1 ln(1 1) 1 ln( ) 1 1 0

a ef a e ee e

− −= − + = − += − + − = − = − =

fC( ,0A a ( . يقطع محور األفاصيل في النقطة إذن ln( 1)( ) 1 ln(1 ) 1 ln(1 )

1 1 11 ln(1 ) 1 ln( )1 1

1 ln( ) 1 ln( ) ln( 1) ln( 1)1

a ef a e ee

e ee e e ee

− −− = − + = − +− +

= − + = −− −

= − = − + − = − = −−

fy x=( ,B a a− − (طة م . في النق يقطع المستقيCإذن

1

2 فيزيائية لوريا علوما بك2 ) 2008ماي ( التجريبي متحان إشارات حلول اال) صفرو(ران ثانوية بئر أنز 2 / 4

f : علىكسية إذن تقبل دالة ع متصلة و تزايدية قطعا على )6( ) ] lim ( ) , lim ( ) [ ] , 1[

x xJ f f x f x

→−∞ →+∞= = = −∞

1f −( )n nu تزايدية .

:الجزء الثاني: n من أجل )1 )1 0nمن أجل = : 0=. 0

10 0,62

u a≤ = ≤ ≈ −

0 nu a≤ ≤ −f

(0) ( ) ( )nf f u f≤ ≤( )f a− = −

: 0n u∀ ∈ ≤ ≤ −

1 ln(1 ) 11 ln( 1)

x x

x

e e ee e x e x

⇔ ≥ + ⇔ ≥ +

⇔ ≤ − ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −

1: ( ) :n n n nn f u u n u u+∀ ∈ ≥ ⇔∀ ∈ ≥ ⇔

: nn u a∀ ∈ ≤ − ⇔

n nua−

f0, ]) [0, ]f a− ⊂ −( )n nu

: (n nf u0 [0, ]u a∈ −

lim nnu

→+∞=( )f =

( ) 1 ln(1 )1 ln(1 ) 1 ln( 1)

f ee e e e

= ⇔ + − + =

⇔ = + ⇔ = + ⇔ = − = −

إذن تزايدية قطعا على، لدينا نفترض أن a− ن فإ) 4 و حسب السؤال a

− إذن . 10 nu a+≤ an و منه ≥

( ) 1 ln(1 )xf x x x e x≥ ⇔ + − + ≥a

)أ ) 2a

: نستعمل التكافؤات المتوالية)ب

حسب السؤال السابق ).1 و هذا صحيح حسب السؤال

3(( ) تزايدية و مكبورة ( ب . إذن متقاربة(,0] و متصلة على ]a− و a([ 1n(متقاربة و u +∀ و=دلة . يحقق المعاإذن

iÜbnÐíïÖ

:التمرين الثاني

: لدينا من المعادلتين)أ) 1 nمنظمية عل ( 2(1,0,1)1 م و ( (1,1, 1)n )نظمية− )R

1 2 1 0 1⋅ = + − =1 2n n⊥( ) ( )P R⊥.

على Pى

0n n و بالتالي إذن :

) ب

1 2

0 1 1 1 1 0, ,

1 1 1 2 1 1n n n

= ∧ − − −

( 1, 2,1n ) موج− هة ل ( إذن .∆(

y x=

1y x= +

Cf

1y =

a

bittaoufik

1Cf −

- 2 -

2 فيزيائية لوريا علوما بك2 ) 2008ماي ( التجريبي متحان إشارات حلول اال) روصف(ثانوية بئر أنزران 3 / 4

)نحدد نقطة مشتركة بين ) و( ) : PR

0z =1x = −2 3y z x= + − =0

( )R( )∆1

3 2 ;0

x ty t tz t

= − −+ ∈

= +

) نعوضهما في معادل: إذن في معادنأخذ )لة :( )PةR ) . إذن( إذن ) مشتركة بين و منه ) ( 1,3,A −Pلدينا :) إذن تنتمي ل و

: ي ) و بالتالي تمثيل بارمتر ) : ∆ = 0لدينا ) ب= و منه/ إذن :

) : عن المستقيمO شعاع الفلكة هو مسافة المركز )أ) 2 )∆

|| ||( , ( ) )|| ||OA nR d On∧

= ∆ =

( )11 1166

R = =

2 2 2 116

x y z+ + =

.∧3,1,1nفنجد ∧n إذنOA OAنحدد

i@ÜbnÐíïÖ@@@@@@@@.) ب

) عن المستوىO نحدد مسافة )ج ) : P

: و .شعاع الدائرة ه

| 0 0 1| 1( , ( ) )1 0 1 2

d d O P + += = =

+ +R<

)ليك: نحدد المركز ى ن و العمودي علO المستقيم المار من(

2 2 4 2 33 3

r R d= − = =

1

D( )P

( ) : 0 ;x t

D y tz t

= = ∈ =

1= −

2 1)e π

:ري موجهة له و منه تمثيله البارمتnإذن

) فنجد نعوضه في معادلة )Ptإذن نقطة التقاطع : 2

1 . هي مركز الدائرة( 1( ,0,2 2

c − −

: الثالثالتمرين 02: ة : المميز المعادلة المميز)1 4 13r r− + =36−

6d i= −2 3r i= ±

2( ) ( cos(3 ) sin(3 ) )xy x e x xλ µ= +

2( ) ( cos(3 ) sin(3 ) )xg x e x xλ µ= +

cos0 sin 0 0+ =0λ =2( ) sin(2xg x e xµ=

/ 2 2( ) 2 sin(3 ) 3cos(3x xg x e x e xµ µ= +/ (0) 3=2( ) sin(3xg x e x=

// /( ) 4 ( ) 13 ( )g x g x g x− +

∆ = 4 2( )6 3

p A = 2 و = 16 3=( )p A B∩ 3 و = 1( )

6 2p B = =

: الحالن : جذر مربع : حلول المعادلة التفاضلية تكتب على شكل

.

)أ) 2

λ µ (0) . و منه 0g إذن =

g1µ . و بالتالي إذن = :)

/ /4 1( ) ( ) ( )13 13

g x g x g x= −

2

0 0

/ //

0 0

/0 0

/ /

2 2

sin(3 ) ( )

4 1( ) ( )13 134 1[ ( )] [ ( )]

13 134 1[ ( ) (0)] [ ( ) (0)]

13 131 30 [ 3 3] [ 1]

13 13

xe x dx g x dx

g x dx g x dx

g x g x

g g g g

e e

π π

π π

π π

π π

π π

=

= −

= −

= − − −

= − − − = +

∫ ∫

∫ ∫

os(3x/ 2( ) xe=

3sin(3x

:مكاملة باألجزاء) جvنضع xإذن : )( ) cu x و = u x و )/ ( ) = )21 :و منه. − )

2xv x e=

2

0

2 2

0 0

2 2

cos(3 )

1 3cos(3 ) sin(3 )2 2

1 1 3 3 2( ( 1)) (2 2 2 13 13

x

x x

I e x dx

e x e x dx

e e

π

ππ

π π

=

= − −

= − − + + = − +

∫

∫

: الرابعالتمرين AB >>5 - 3 - 1<< : و >> 4 - 3 - 2 - 1<< : )أ) 1

A B∩ :إذن >> 3 - 1<< : و

: و بالتالي ( )( )( ) 3B

p A Bp Ap B∩

= =

5n =

2.

.: االختبار يعاد خمس مرات باستقاللية) ب)B :1 و الحدث )

2p p B= =.

3

2 فيزيائية لوريا علوما بك2 ) 2008ماي ( التجريبي متحان إشارات حلول اال ) صفرو(ثانوية بئر أنزران 4 / 4

B2k : هو مرتين احتمال أن يتحقق =2 2 35

1 1( ) (1 )2 2

C ⋅ ⋅ − =

2 ; 3U

V J'

3 ; 1U

V B

2 24 5 12 10 120card A CΩ = × = × =

516

. .ن المسحوبة هو لون أو لونان أو ثالث ألوانعدد األلوا) 2

iÜbnÐíïÖ@

نسحب تآنيا كرتين إذن نستعمل عدد التأليفات

نسحب بتتابع و دون إحالل إذن نستعمل عدد الترتيبات

.: عدد اإلمكانيات

3 22 2 6 1( 1)

120 120 20A Cp X = = = =

'U1X = 2 )UVو ( 2V

1 1 2 2 2 2 1 11 3 2 3 3 3 3 22 60 1( 2)

120 120 2A A C A C A C Cp X + +

= = = =1 )V J'

( 2UV

'

( 2UV

'

, 1U

B V2X = 1 أ و أ و,

U

2و )UJ 2و )

UVو ( 1

1 1 2 1 1 1 11 3 3 1 3 3 22 2 54 9( 3)

120 120 20A A C A A C Cp X +

= = = ='

( 1 , 1U

B V'

, 1U

B V3X = 1 ,1

U

V J2 أو ( و )U

Jو ( 1

4

1

االمتحان التجريبي

المملكة المغربيةوزارة التربية الوطنية والتعليم العالي

و تكوين األطر و البحث العلمي األآاديمية الجهوية للتربية والتكوين

سطات- جهة الشاوية ورديغة نيابة خريبكة

ثانوية يوسف بن تاشفين التأهيلية 2007أبريل

الرياضيات: المادة آالورياسلك البا2: المستوى علوم تجريبية: الشعبة 7: المعامل


1تمرين)ممنظم ومباشر الفضاء منسوب لمعلم متعامد و ); ; ;O i j k .

C ( 1; 0; 1) نعتبر النقط ; B ( 1; 4; 0) ; A (0 ; 1; 1)

ABأحسب الجداء المتجهي ) أ) 1 AC∧ . (ABC) معادلة ديكارتية للمستوى استنتج) ب

)لتكن ) 2 )S مجموعة النقط ( ); ;M x y z من الفضاء حيث

2 2 2 132 2 6 02

x y z x y z+ + − − − + =

) بين أن ) أ )S 2شعاعها فلكة23 R = مرآزها محددا احداثياتΩ.

) مماس للفلكة (ABC)بين أن المستوى ) ب )S.

2تمرين) نعتبر )n nu المعرفة بـ ية المتتالية العدد∋

0

1

321 1 ;n n

u

u u n+

= = + − ∀ ∈

1بين أن -1 2nn u∀ ∈ ≺ ≺

)بين أن -2 )n nu ) تزايدية و استنتج أن ∋ )n nu متقاربة∋

)نعتبر -3 )n nv ) المتتالية المعرفة بـ ∋ )ln 1n nn v u∀ ∈ = −

)بين أن - أ )n nv متتالية هندسية أساسها ∋12

0 و حدها األول ln 2v = −

limحدد - ب nnv

→+∞lim و استنتج nn

u→+∞

3تمرين

2)2 تأآد أن -1 1) 3 4i i− = − −

)المعادلة في نعتبر -2 ) 3 22 4( 1 ) 16(1 ) 0E z z i z i+ + − + + + =

) حل للمعادلة −4تأآد أن / أ )E

3 حيث a و bحدد العددين / ب 2 22 4( 1 ) 16(1 ) ( 4)( )z z i z i z z az b+ + − + + + = + + +

) جدري المعادلة2z و 1zحدد / ج )2 2 4 1 0z z z i∈ − + + =

)استنتج حلول المعادلة / د )E

) أآتب حلول المعادلة -3 )Eفي شكلها المثلثي

) المعلم المتعامد الممنظم إلى في المستوى العقدي المنسوب -4 )1 2; ;O e e ،

2 و 2i و −4 التي ألحاقهاC و B و A نعتبر النقط 2i−على التوالي .B مثلث قائم الزاوية و متساوي الساقين في ABC بين أن

02,00

0,50 0,50

0,50

0,50

03,00

0,50

0,75

0,75

1,00

04,00

0,25

0,25

0,75

0,75 0,25

0,75

1,00

2

2007أبريل: االمتحان التجريبي

4تمرين البيادق و 1 منها تحمل الرقم بيادق أربعة، بيادق سوداء مرقمة7 يحتوي صندوق على

و البيدق االخر يحمل 1 بيضاء بيدقان منها تحمل الرقم بيادق و ثالث. 2 تحمل رقم االخرى

.2الرقم

نسحب بالتتابع و بدون إحالل بيدقين

الحصول على بيدقين مجموع رقميهما زوجي أحسب احتمال-1

. مجموع رقميهما زوجيأنأحسب احتمال الحصول على بيدقين سوداوين علما -2

5تمرين

A( لتكنg الدالة العددية المعرفة على ] ): بـ∞+;0] ) 1ln( 1) ln 11

g x x xx

= + − − ++

) بين أن -1 )lim 1x

g x→+∞

=

) بين أن -2 )( )2

1'1

g xx x

−=

+[ من x لكل [على g استنتج منحى تغيرات و ∞+;0] [0;+∞

[استنتج أن -3 [ ( )0; 0x g x∀ ∈ +∞

B( لتكنfبـ على الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة :

( )

( ) ( )

1ln 1 ; 0

1 ; 0x

xf x x x xx

f x x e x

+ = + + = − ≤

) و )fC المنحنى الممثل للدالة f ممنظم في معلم متعامد ( ); ;O i j 2 حيثi j cm= =

بين أن / أ-11lim ln 1

x

xxx→+∞

+ =

) ثم استنتج )limx

f x→+∞

.

) حدد / ب )limx

f x→−∞

و أول النتيجة هندسيا

. 0 متصلة في f بين أن /ج تين ثم أول النتيج0 و على اليسار في 0 على اليمين في f أدرس قابلية اشتقاق -2

.هندسيا[بين أن / أ -3 [ ( ) ( )0; 'x f x g x∀ ∈ +∞ [و أن = [ ( );0 ' xx f x xe∀ ∈ −∞ = −

.f أعط جدول تغيرات / ب

) نقطة انعطاف للمنحنى -1 ذات االفصول A بين أن النقطة -4 )fC

2y المعادلة بين أن المستقيم ذا -5 x= ) مقارب للمنحنى+ )fC بجوار +∞.

) أنشئ المنحنى -6 )fC .

ln 2 0,7≈ ln 3 1,1≈ 1 0,37e− ≈ 2 0,14e− ≈ 3 0,05e− ≈

02,00 1

1

09,00

0,50

0,75

0,50

0,75

0,75

0,75 1,25

1,25

0,50

0,50

0,50

1,00

http://arabmaths.ift.fr 1

االمتحان التجريبي

المملكة المغربيةوزارة التربية الوطنية والتعليم العالي

و تكوين األطر و البحث العلمي األآاديمية الجهوية للتربية والتكوين

سطات- جهة الشاوية ورديغة نيابة خريبكة

ثانوية يوسف بن تاشفين التأهيلية 2007أبريل

الرياضيات: المادة آالورياسلك البا2: المستوى علوم تجريبية: الشعبة 7: المعامل


1تمرينABنحسب ) أ )1 AC∧

C ( 1; 0; 1) لدينا ; B ( 1; 4; 0) ; A (0 ; 1; 1) و منه ( )1;3; 1AB ) و − )1;-1;0AC

1 11

0 11 3

41 1

1

YZ

X

−→

↓

= −= − ←

= −

−

( )1; 1; 4AB AC∧ − − −

. (ABC)معادلة ديكارتية للمستوى نستنتج) ب ( )1; 1; 4AB AC∧ − − x-y-4z+d=0-: (ABC) و منه (ABC) منظمية على المستوى −

) و حيث أن )A (0 ; 1; 1) ABC∈ 5 فانd x-y-4z+5=0-: (ABC) إذن =

2 (-

) بين أن ن ) أ )S 2شعاعها فلكة23 R = مرآزها احداثياتمع تحديدΩ.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2

13; ; 2 2 6 029; ; 1 1 32

M x y z S x y z x y z

M x y z S x y z

∈ ⇔ + + − − − + =

∈ ⇔ − + − + − =

) إذن )S 2شعاعها فلكة23 R = ومرآزها ( )1;1;3Ω

) مماس للفلكة (ABC)بين أن المستوى ن ) ب )S.

) و x-y-4z+5=0-: (ABC)لدينا )1;1;3Ω مرآز الفلكة ( )S

( )( ) 1 1 12 5 9 3 2;21 1 16 18

d ABC R− − − +

Ω = = = =+ +

) مماس للفلكة (ABC)المستوى إذن )S.

2تمرين ( )n nu المعرفة بـ ية المتتالية العدد∋

0

1

321 1 ;n n

u

u u n+

= = + − ∀ ∈

1بين أن ن -1 2nn u∀ ∈ ≺ ≺

0nمن أجل 0 لدينا =32

u 01 ومنه = 2u≺ ≺

1نفترض أن 2nu≺ 11 نبين أن n عبارة صحيحة حتى الرتبة ≻ 2nu +≺ ≺ 1لدينا 2nu≺ 0 و منه ≻ 1 1nu −≺ ≺

0 و بالتالي 1 1nu −≺ 1 و منه ≻ 1 1 2nu+ −≺ 11 أي أن ≻ 2nu +≺ ≺

1 إذن 2nn u∀ ∈ ≺ ≺


)بين أن ن -2 )n nu )ستنتج أن ن تزايدية و ∋ )n nu متقاربة∋

∋nليكن ( )1 1 1 1 1 1n n n n n nu u u u u u+ − = + − − = − − −

1بما أن 2nu≺ 0 فان ≻ 1 1nu− −≺

1 ومنه 0n nu u+ )إذن − )n nu تزايدية∋

) و حيث أن )n nu ) فان 2 مكبورة بالعدد ∋ )n nu متقاربة∋

)نعتبر -3 )n nv ) المتتالية المعرفة بـ ∋ )ln 1n nn v u∀ ∈ = −

)بين أن ن - أ )n nv متتالية هندسية أساسها ∋12


∋nليكن

( ) ( ) ( )1 11 1ln 1 ln 1 ln 12 2n n n n nv u u u v+ += − = − = − =

( )n nv متتالية هندسية أساسها ∋12

) و حدها األول )0 03ln 1 ln 1 ln 22

v u = − = − = −

limحدد ن - ب nnv

→+∞limستنتج ن و nn

u→+∞

) لدينا )n nv متتالية هندسية أساسها ∋12


)و منه ) 1ln 22

n

nv = −

( ) 1lim lim ln 2 02

n

nn nv

→+∞ →+∞

= − =

)لدينا )ln 1n nn v u∀ ∈ = 1 ومنه − nvnn e u∀ ∈ + =

limاذن lim 1 2nvnn nu e

→+∞ →+∞= + =

3تمرين

2)2 تأآد أنن -1 1) 3 4i i− = − −

2(2 1) 4 4 1 3 4i i i− = − − + = − −

)المعادلة في نعتبر -2 ) 3 22 4( 1 ) 16(1 ) 0E z z i z i+ + − + + + =

) ادلة حل للمع−4تأآد أن ن / أ )E

( ) ( ) ( )3 24 2 4 4( 1 ) 4 16(1 ) 64 32 16 16 16 16 0i i i i− + − + − + − + + = − + + − + + =

) حل للمعادلة −4اذن )E

3 حيث a و bحدد العددين ن/ ب 2 22 4( 1 ) 16(1 ) ( 4)( )z z i z i z z az b+ + − + + + = + + +

( ) ( )2 3 2( 4)( ) 4 4 4z z z az b z a z a b z b∀ ∈ + + + = + + + + +

3 وحيث 2 22 4( 1 ) 16(1 ) ( 4)( )z z z i z i z z az b∀ ∈ + + − + + + = + + +

)منه و ) ( )4 2 ; 4 16 1 ; 4 4 1a b i a b i+ = = + + = − +

) اذن )2 ; 4 1a b i= − = +

) جدري المعادلة2z و 1zحدد ن/ ج )2 2 4 1 0z z z i∈ − + + =

) الميز المختصر للمعادلة ∆' ليكن ) ( ) ( )2 2' 1 4 1 3 4 2 1i i i∆ = − − + = − − = −

) و منه )1 1 2 1 2z i i= + − ) و = )2 1 2 1 2 2z i i= − − = −


)ستنتج حلول المعادلة ن/ د )E

) لدينا )3 2 22 4( 1 ) 16(1 ) ( 4)( 2 4 1 )z z z i z i z z z i∀ ∈ + + − + + + = + − + +

( ) ( )( )

2( 4)( 2 4 1 ) 0

4 2 2 2

E z z z i

E z ou z i ou z i

⇔ + − + + =

⇔ = − = = −

) اذن حلول المعادلة )E 2 و −4 هيi 2 و 2i−

)كتب حلول المعادلة ن-3 )E في شكلها المثلثي

[ ]4 4;π− 2و = 2;2

i π = و

2 22 2 2 2 2 2;2 2 4

i i π − − = − =

) المستوى العقدي المنسوب إلى المعلم المتعامد الممنظم -4 )1 2; ;O e e ،

.B مثلث قائم الزاوية و متساوي الساقين في ABCبين أن ن 2 و 2i و −4 النقط التي ألحاقهاC و B و Aلدينا 2i−على التوالي

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) ( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

2 2 2; arg 24 2

2 4; arg 24 2

2 4; arg 2

4 2

; arg 2

; 22

i iBA BCi

iBA BCi

i iBA BC

i

BA BC i

BA BC

π

π

π

π

π π

− −≡

− −−

≡− −− −

≡− −

≡

≡

ABCاذن زاوية قائمة .

4 لدينا 2 20 2 4 20BA i BC i= − − = = − BA و منه = BC=

.B مثلث قائم الزاوية و متساوي الساقين في ABCاذن 4تمرين البيادق و 1 منها تحمل الرقم بيادق أربعة، بيادق سوداء مرقمة7 على يحتويصندوق ال

و البيدق االخر يحمل 1 بيضاء بيدقان منها تحمل الرقم بيادق و ثالث. 2 تحمل رقم االخرى

نسحب بالتتابع و بدون إحالل بيدقين . 2الرقم

سب احتمال الحصول على بيدقين مجموع رقميهما زوجينح -1

"الحصول على بيدقين مجموع رقميهما زوجي" :A نعتبر الحدث

( )2 26 4

210

6 5 4 3 710 9 15

A AP A

A+ × + ×

= = =×

. مجموع رقميهما زوجيأنحسب احتمال الحصول على بيدقين سوداوين علما ن -3 "بيدقين سوداوينعلى الحصول ": Nنعتبر الحدث

( ) ( )( )

2 23 4

210 15 3 2 4 3 15 1 37 7 10 9 7 5 7

15

A

A AP A N A

P NP A

+

∩ × + ×= = = × = × =

×

5تمرين


A( g الدالة العددية المعرفة على ] ): بـ∞+;0] ) 1ln( 1) ln 11

g x x xx

= + − − ++

) بين أنن -1 )lim 1x

g x→+∞

=

( ) 1 1 1lim lim ln( 1) ln 1 lim ln(1 ) 1 11 1x x x

g x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞

= + − − + = + − + = + +

) بين أنن -2 )( )2

1'1

g xx x

−=

+[ من x لكل [على g ستنتج منحى تغيراتن و ∞+;0] [0;+∞

[ من xليكن [0;+∞ ( ) 1ln( 1) ln 11

g x x xx

= + − − ++

و منه

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2

1 11 1 1 2 1 1'1 1 1 1 1

x x x x x x x x xg xx x x x x x x x x

+ − + + + − − − + −= − + = = =

+ + + + +

] [( )2

10; 01

xx x

−∀ ∈ +∞

+[ أي ≻ [ ( )0; ' 0x g x∀ ∈ +∞ ≺

[ تناقصية قطعا على gاذن [0;+∞

[ستنتج أن ن -3 [ ( )0; 0x g x∀ ∈ +∞

[ تناقصية قطعا على gلدينا ) و ∞+;0] )lim 1x

g x→+∞

=

[ اذن [ ( )0; 0x g x∀ ∈ +∞

B( fبـ على الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة :

( )

( ) ( )

1ln 1 ; 0

1 ; 0x

xf x x x xx

f x x e x

+ = + + = − ≤

بين أن ن / أ-11lim ln 1

x

xxx→+∞

+ =

) ستنتجثم ن )limx

f x→+∞

.

نضع 1xt

ومنه =1tx

و بالتالي =( )

0

ln 11lim ln lim 1x t

txxx t→+∞ →

++ = =

) و منه ) 1lim lim ln 1x x

xf x x xx→+∞ →+∞

+ = + + = +∞

)حدد ن/ ب )limx

f x→−∞

ول النتيجة هندسيا نؤو

( ) ( )lim lim 1 lim 0x x xx x x

f x x e e xe→−∞ →−∞ →−∞

= − = − =

)االفاصيل مقارب للمنحنى و منه محور )fC

.0 متصلة في fبين أن ن/ ج

( ) ( ) ( )0 0 0

1lim lim ln 1 lim ln 1 ln 1 1x x x

xf x x x x x x x xx+ + +→ → →

+ = + + = + − + + =

( ) ( )0 0

lim lim 1 1x

x xf x x e

− −→ →= − =

) ومنه ) ( ) ( )0 0

lim lim 0x x

f x f x f+ −→ →

= .0 متصلة في f اذن =

. هندسياتينول النتيجنؤ ثم 0 و على اليسار في 0 على اليمين في fدرس قابلية اشتقاق ن -2


( ) ( ) ( )

0 0 0

0 1 1 1lim lim lim 1 1 0x x

x

x x x

f x f x e e ex x x− − −→ → →

− − − −= = − = − =

0 في ساريعلى و تقبل نصف مماس أفقي 0 في سارقابلية اشتقاق على الي f و منه

( ) ( )

0 0 0

1ln0 1lim lim lim ln 1 1x x x

xx xf x f xx x x+ + +→ → →

+ + − = = + + = +∞

0ي فمينيعلى عمودي و تقبل نصف مماس 0 في مينشتقاق على الياالقابلية غير fو منه

[بين أن ن/ أ -3 [ ( ) ( )0; 'x f x g x∀ ∈ +∞ [و أن = [ ( );0 ' xx f x xe∀ ∈ −∞ = −

[ ليكن [0;x∈ +∞ ( ) 1ln 1xf x x xx+ = + +

( ) ( ) ( )21

1 1' ln 1 ln 1 ln 11 1

x xf x x x x g xxx xx

−+ = + + = + − − + = + +

[ ليكن [;0x∈ −∞ ( ) ( )1 xf x x e= −

( ) ( )' 1x x xf x e x e xe= − + − = −

.f جدول تغيرات يعطن / ب

+∞ 0 −∞ x + + ( )'f x

+∞

0 ( )f x

) نقطة انعطاف للمنحنى -1 ذات االفصول Aبين أن النقطة ن -4 )fC

[ ليكن [;0x∈ −∞ ( )' xf x xe= −

( ) ( )'' 1x x xf x e xe x e= − − = − +

( ) ( )'' 1 0 1xf x x e x⇔ − + = ⇔ = −

0 1- −∞ x

- 0+ ( )''f x

) نقطة انعطاف للمنحنى -1 ذات االفصول Aالنقطة اذن )fC

2y بين أن المستقيم ذا المعادلة ن -5 x= ) مقارب للمنحنى+ )fC بجوار +∞.

( ) ( ) 1lim 2 lim ln 1 1 1 0x x

xf x x xx→+∞ →+∞

+ − + = − = − =

2y ذا المعادلة المستقيم اذن x= ) مقارب للمنحنى+ )fC بجوار +∞.

)نشئ المنحنى ن -6 )fC .

الثانية باآلوريا: المستوى عـلـوم تجريبية: الشـعـبـة

الموحداالمتحان التجريبي ثالث ساعات: مدة اإلنجاز

ثانوية موسى بن نصير سيدي يوسف بن علي 2005/2006مراآــــــــش

12

ســلــمالتنقيط

0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5

) ن3( التمرين األول) المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر نعتبر النقط ξفي الفضاء )0,1,1Αو( )1,1,0Βو( )0, 1, 1− −

CΑΒ∧Α

C.

1( (a- احسب . (b- و استنتج أن النقطΑΒوCغير مستقيمية .

) معادلة ديكارتية للمستوى )2 )CΑΒ 0: هيx y z −تحقق أن + =2 2 2 2 4 4 0x y z x y

.

)لتكن الفلك )3 +هي Sة التي معادلتها ( + − − + =

(a- حدد مرآز و شعاع ( )S.

(b- بين أن المستوى ( ) ( )S وفق دائرة ( )CΑΒ يقطع الفلكة Γ

(c- حدد مرآز وشعاع ( )Γ.

)ن الموازيين للمستوى حدد معادلة ديكارتية لكل من المستويي )4 )CΑΒ( )S . و المماسين للفلكة

0,25 0,5 0,5 0,5

0,5

0,5 0,25 0,5

) ن3,5 ( التمرين الثاني): المعادلة ) )نعتبر )2: ; 3 3 2 2 3 0E z z i z i∈ − + − + =

1( (a- حدد الشكل الجبري للعدد العقدي ( )23 i− +

E

(b- المعاد حل( لة .(

) المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم Pفي المستوى العقدي )2 ), ,O i jℜ Β : التي ألحاقها هي CووΑ نعتبر النقط =

2a i= و ( )3b i= 3 و + 3c i= . على التوالي+

a( اآتبb و cعلى الشكل المثلثي . b( وأنشئ النقطΑΒوC

3( (a-ب العدد اآتb ac a−⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠C

على الشكل المثلثي

(b- استنتج طبيعة المثلث ΑΒb c a= −

. 4( (a- أن تحقق

(b- استنتج طبيعة الرباعي O CΒ Α. 0,5 0,5 0,5

) ن1,5 ( التمرين الثالث . 1ن تحمالن الرقم و آرتي0 يضم آرتين تحمالن الرقم Β وصندوق1ن تحمالن الرقم و آرتي0 آرات تحمل الرقم 3 يضم Αصندوق

Β ثم نسحب آرة واحدة من Αنسحب بالتتابع وبدون إحالل آرتين من ما هو عدد النتائج الممكنة )1 .0ما هو عدد النتائج التي تكون فيها الكرات الثالت تحمل الرقم )2 .2ما هو عدد النتائج التي يكون فيها مجموع أرقام الكرات الثالث يساوي )3

1

0,25

0,25 0,5

) ن2 ( مرين الرابعالت

: ملين احسب التكا )111

x −−∫ 1e dx و

2 1ln( )

edx

x xe⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

,ليكن )24 3

x π π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

a( تحقق أن : 2

2 2

1 1 tan (sin ( ) tan ( )

)xx x

+=.

b( احسب3

24

1sin ( )

dxx

π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

) سب التكامل )cos ln( )1e

J x dxπ= ∫

باستعمال المكاملة باألجزاء مرتين اح3)

الثانية باآلوريا: المستوى عـلـوم تجريبية: الشـعـبـة

االمتحان التجريبي الموحد ثالث ساعات: مدة اإلنجاز

ثانوية موسى بن نصير سيدي يوسف بن علي 2005/2006مراآــــــــش

22

ســلــمالتنقيط

0,5

0,25 0,25

0,5

0,75

0,75

1,25

0,25 0,5 0,5

0,25

0,5

1 0,5 0,5 0,5

0,5

0,75

) ن10 ( مــســـألــة

:الجزء األول

) g آما يلي المعرفة على نعتبر الدالة العددية ) 1xg x e x= − −)g xlim ( )

xg x

→ + ∞

)g x

lim و احسب )1 (

x → − ∞

2( (a- لكل احسب '(x ∈g

. (b- ضع جدول تغيرات الدالة . (c-ه استنتج أن :( )* , ( )x g x 0∀ ∈ >

[]بين أن للمعادلة )3 [ ]x , ( )g x x∈ .1,2 في المجال α حال وحيدا =

:الجزء الثاني

1 بحيثxللمتغير الحقيقي f لتكن الدالة العددية

( ) ln( 1); 0

1( ) 1 ; 0

x

x

f x e x x

f x e xx

−⎧ = + + ≥⎪⎨

= + <⎪⎩

( )

)fP . المنسوب إلى معلم متعام في المستوى f المنحنى الممثل للدالة Cوليكن ), ,O i jℜ = د ممنظم

.∞− و ∞+ عند f ونهايتيfDحدد )1

: بين أن )20

0

( ) (0)limxx

f x fx→

>

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=0 و 0

0

( ) (0)lim 0xx

f x fx→

<

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

] [( )

. ثم أعط تأويال جبريا و هندسيا للنتيجة

3( (a-بين أنه :( )0, , '( )( 1

xe g xx f xx

−

∀ ∈ +∞ =+ )

(b- احسب '( )f x لكل ] [,0x ∈ −∞ )x + ) و بين أن إشارتها هي إشارة . على هذا المجال1(c- ضع جدول التغيرات للدالة f.

4( (a- بين أن ( )lim 0x

f xx→+∞

=

(b-ائية للمنحنى ادرس الفروع الالنه( )fC.

(c-أنشئ المن ( ) fCحنى

( )Δ.

)ز المحصور بين المنحنى احسب مساحة الحي )5 )C01 x و ي و محور األفاصيل و المستقيمان اللذان معادلتهما ه =x f=

:الجزء الثالث

)لتكن المتتالية العددية nU : المعرفة بما يلي (( ) ( )

0

1

ln(2), n n

Un U g U+

=⎧⎪⎨ ∀ ∈ =⎪⎩

1 0U U 0ن 1 و تحقق أUاحسب )1 < α< < ]α هو العدد الوارد في السؤال الثالث من الجزء األول [.

) أنبين )2 ( :ه ,0 nn U∀ α∈ < <

nU

( )nU

)بين )3 أن .تناقصية (

أن . متقاربة و احسب نهايتهااستنتج )4

في التصحيح سالمة التعبير و حسن التقديم يراعى :مالحظة

حظ سعيد للجميع

موماد. إعداد ذ / مراآش سيدي يوسف بن علي/ ثانوية موسى بن نصير / 2006/ تصحيح االمتحان التجريبي الموحد

:التمرين األول1( a(- لدينا ( )1,0, 1AB ) و − )0, 2, 2AC − إذن−

( )

0 2 1 0 1 01 2 1 2 0 2

2 2 2 2

AB AC i j

i j k i j k

−∧ = − +

− − − − −

= − + − = − − +

k

(b-0 أن فإن النقط بماAB AC∧ ≠Aو Bو Cغير مستقيمية . nة أن المتجهa (1)نستنتج من )2 i j k= − منظمية على +

)المستوى )ABCإذن معادلة هذا األخير هي على شكل :0z d+ =x y− +

) وبما أن ) ( )0,1,1A ABC∈0 d فإن : و بالتالي فإن=

( ): 0ABC x y z− + =

3( (a- ة : أن تكتب الفلكمعادلة يمكن ل( )S

2 2 2( 1) ( 2) ( ) (1)x y z− + − + = هو إذن شعاع 2 ( )S1R =

,1) و مرآزها هو 2,0)Ω (b- لتكن d عن ال مسافة Ω( ) : لديناABCمستوى

2 2

1 2 0 1 333(1) ( 1) (1)

− += = =

+ − + 2dإذ d R و بالتالي >ن

) الم:فإن ) )ABCستوى )S( ) Γة وفق دائر يقطع الفلكة

(c- ** ليكن'R ؛ شعاع ( )Γ2 2 6' 3R R d= − =

)طة مرآلتكن النق** , , )H H HH x y z( ) من نجد ؛Γز

0HzH Hx y− + =12 و

H

H

H

x ky kz k

= += −

⎧⎪⎨⎪ =⎩

k؛ ∈:

43⎛ ⎞

⎜ ⎟53

13

H ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

)لبك )4 )Pن أحد المستوين الموازيين ل( )ABC( )S ل و المماسين )معادلة : هي على شكل( P0 /x y z m m− + + = ∈

) عن Ω' مسافة dلتكن d ل( R P دينا' و =1 2 0

' 1 1 33

mm أو m

− + += ⇔ = ⇔ = − = +1 3d R

)وباتالي فإن المستويين الموازيين ل )ABC و المماسين ل( S : هما(

1

2

( ): 1 3 0

( ): 1 3 0

P x y z

P x y z

⎧ − + + − =⎪⎨

− + + + =⎪⎩

)2 :ين الثانالتمري ) : ; ( 3 3 ) 2 2 3 0E z z i z i∈ − + − + = 1( (a- 2( 3 ) 2 2 3i i− + = −

(b-يز مم( )E22هو 2 3 ( 3 ) 0i iΔ = − = − + ≠( ) E،إذن ل

): حلين مختلفين هما 3 ) aو2 ib i= + :ي= S, وبالتال a b=

2( (a- 2, 6b π⎡ ⎤= ⎣ 2 و ⎦ 3, 3πc ⎡ ⎤= ⎣ ⎦

(b -شاء إن( 2 )A a i=و ( 3 )B b i= ) و+ 3 i= + 3 )C c:

3( (a- 3 1 3 1,2 2 33

b a i ic a i

π− −⎛ ⎞ ⎡ ⎤= = − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥− +⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(b- ألضالعا متساوي المثلت نستنتج أن ABC- 4( (a( 3 3 ) (2 ) 3i i i b− = + − = + =c a

(b - لدينا c a0 إذb− = ACن − OB=ABC ولدينا المثلت CA .معين OB الرباعيمتساوي األضالع ومنه فإن

:التمرين الثالث2 15 4 (5 4) 4 80A A× = × × = : عدد النتائج الممكنة هو )1

: هو0عدد النتائج التي تكون فيها الكرات الثالث تحمل الرقم )2 2 1

3 2 (3 2) 2 12A A× = × × = هو2عدد النتائج التي يكون فيها مجموع أرقام الكرات الثالث يساوي )3

2 1 1 1 1 1 1 12 2 2 3 2 3 2 2 28A A A A A A A A× + × × + × × =

:التمرين الرابع

1( **

1 0 1

1 1 0

0 1

1 0

1 (1 ) ( 1)

1 2

x x x

x x

e dx e dx e dx

x e e x ee

− −

−

− = − + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − = + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

**

( )

2

2

21 ln'( )ln( ) ln( )

ln ln( ) ln(2)

e

e

e

e

e xdx dxx x xe

x

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

2( (a- ليكن,4 3πx π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

،

2 2

2 2

1 cos ( ) sin ( )sin ( ) sin ( )

x xx x

+=

2 2

22 2

2 2

2

cos ( ) sin ( )1 tan ( )cos ( ) cos ( )

sin ( ) tan ( )cos ( )

x xxx x

x xx

++

= =

(b-

23 3

2 24 4

33

24

4

1 tan ( )sin ( ) tan ( )

tan'( ) 1 11tan ( ) tan( ) 3

dx x dxx x

x dxx x

π π

π π

ππ

ππ

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤= = − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

∫

3(

( ) ( )

( ) (

( )

) ( )

( )

( )

1 1

1

2

1cos ln( ) sin ln( )

n( ) 1

1cos ln( )

ee

e

ee

J x x x x dxx

e x dx e K

K x x x x dxx

K J إذنJ e J الي وبالت

eJ ه ومن

π π π

π π π

π π π

π

π

= +⎡ ⎤⎣ ⎦

= − + + = − + +

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

= −

= − + −

+⎛ ⎞= −⎜ ⎟

∫

∫

∫1

1

2

1 sin l

sin ln( )

1

11π +⎝ ⎠

:مسألة : الجزء األول

1( ( )lim ( ) lim 1x

x xg x e x

→−∞ →−∞= − − = +∞

1lim و ( ) lim 1x

x x

eg x xx x→+∞ →+∞

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠= +∞

2( (a- ( ) , '( ) xx g x e 1∀ ∈ = − (b –

(c- قيمة دنبا مطلقة للدالة 0 بما أنg فإنه0عند :

( )* , ( ) 0x g x∀ ∈ >

[:بحيثhدالةنعتبر ال )3 [( ) ( )1, 2 , ( )x h x g x x∀ ∈ = :، لدينا−

] [( )1,2 ,

'( ) 2 0(1) (2) 0

x

x

h x eh h

⎧⎧ ∀ ∈⎪⎪⎨⎨ = − >⎪⎩⎪

× <⎩

[ إذن [( )! 1, 2 / ( )hα α 0∃ ∈ =

]وبالتالي للمعادلة ], ( )x g x x∈ [ حل وحيد في المجال = [1,2 :الجزء الثاني

1( fD و =11lim ( ) lim 1 1x

x xf x e

x→−∞ →−∞

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

lim و ( ) lim ln( 1)xf x e x−⎡ ⎤x x→+∞ →+∞

= + + = +∞⎣ ⎦

(0)لدينا )2 1f إذن=1

220 0

0 0 0

2

00

( ) (0) 1*lim lim lim ln ( )

lim 2 ln( ) 0

xx x tx x t

tt

f x f e tx x

t t

→ → →< < >

→>

⎛ ⎞−⎛ ⎞0

t⎡ ⎤= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

و 0 0

0 0

( ) (0) ln( 1) 1lim

1 1 ln( 1) 1 1 0

x

x xx x

f x f e xx x

e xx

−

→ →> >

⎡ ⎤

00

*lim

limx

xxx e x→>

− + + −⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎤− ++ = − + =⎢ ⎥

⎣ ⎦= −

(0)'0 و أن في قابلة لإلشتقاق fأن جبريا نستنتج 0f =

)و نستنتج هندسيا أن )fC(0)y f= لته مماس معاد0 يقبل في

1y أي = 3( (a-

] [( ) ( ) '0, , '( ) ln 1

1 11 1

1 ( )1 ( 1)

x

xx x

x xx

x f x e x

ee ex x

e x e g xex x

−

− −

−−

⎡ ⎤∀ ∈ +∞ = + +⎣ ⎦⎛ ⎞

= − + = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

-(b

] [( )

( )

'1

1 1 1

2 2 3

1,0 , '( ) 1

1 1 1 1 1

x

x x x

x f x ex

e e e xx x x x

⎛ ⎞∀ ∈ −∞ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= − + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0xبماأن فإن>1

3

1 0xex

⎛ ⎞− >⎜ ⎟⎝ ⎠

'( ) fإذن إشارة x1هي إشارةx +.

-(c

4( –(a

( ) ln( 1)lim lim

1 ln( 1) 1lim 1 01

x

x x

xx

f x e xx x

xxe x x

−

→+∞ →+∞

→+∞

+ +=

⎡ + ⎤⎛ ⎞= + ⋅ + =⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦

-(b ( ) *fCيقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور األفاصيل

* ( )fC−∞1y = : معادلته هيقي بجواريقبل مقارب أف-(c

5(

( ) ( )1

01

0

1

ln( 1)

( 1) ln( 1) ( 1)

2 ln(2)

x

x

e x dx

e x x x

e

λ −

−

−

Δ = + +

⎡ ⎤= − + + + − +⎣ ⎦

= − +

∫

:الجزء الثالث 1(

*ln (2)

1 0 0( ) ln(2) 1 ( ln(2) )

2 ln(2) 1 1 ln(2)

U g U e U =ألن = − − =

= − − = −

1بماأن * 2α< ln0و> (2) 1:فإن>1 ln(2) ln(2) 1< α− < < <

1: وبالتالي فإن 00 U U α< < < n0 أن من نبين بالترجع على )2 nU< α< 0أساس الترجع* :0U α< و ذلك حسب السؤال السابق > n∈0، نفترض أن ليكن :فرضية الترجع* nU< α<و نبين أن : 10 nU< α+ <.

] إذن بالخصوص على تزايدية قطعا على نعلم أن ]0, g+α

0وبما أن nU α< ) فإن > )(0) ( )ng g U g α< و حيث إن >(0) 0g ) و = )g α α= 1 و( )g U =n nU +10 nU > فإن α+ <

): مةخات* ) ,0 nn U α∀ ∈ < <

10ن n أنبين بالترجع على )3 n nU U< α+ < < 0أساس الترجع* :1 0U U α< < 1) وذلك حسب السؤال > 10ن ∋n، نفترض أليكن: فرضية الترجع* n nU U< α+ < و >

0 :نبين أن 2 1n nU U α+ +< < <. ]زايدية قطعا على تنعلم أن ]0, gα إذن نستنتج من اإلفتراض أن

( ) ( ) ( ) ( )10 n ng g U g U g α+< < : و بالتالي فإن>

2 10 n nU U α+ +< < < )خا* (: تمة 1, 0 n nn U U α∀ +∈ < < <

) تناقصية إذن المتتالية )nU

[ ]0, αΙنعتبر المجال )4 ، لدينا = *g و تزايدية قطعا على متصلة Ι (0) وحيث 0 / ( )g g= α α=

) فإن )g Ι = Ι ( ) g إذن Ι ⊂ Ι

*0U0 α< 0U إذن > ∈Ι

*( )nUو مصغورة إذن تناقصية ( )nU متقاربة

)، تحقق ،بهذه المعطيات نستنج أن نهاية ( )nUll ∈Ι و )g l l=

) و 0و بما أن α هما الحلين الوحيدين في Ι للمعادلة )g l l= و

( )nU0l = فإن تناقصية

): خاتمة )lim 0nnU

→+∞=.

اإلمتحان التجرييب لنيل شهادة الباكا لو ر يا 1 / 3 الصفحة ساعات 3 مدة اإل جنا ز 2006دورة أ بريل

الرياضيات : ا ملادة علوم جتريبية : الشعبة

نيابة اخلميسات-املعازيز-ة املختار ا لسوسيثانوي: املؤ سسة

7 املعامل

) ن 2.5 ( : ولالتمرين األ

) نعترب املتتالية )nu : ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

+ 49

41

4

1

0

nn uu

u

) لتكن )nv املتتالية املعرفة مبا يلي: kuv nn += ) k رتبط بالعددعدد حقيقي ثابث غري م n ( . nvمث بداللة nu بداللة nv+1 أحسب) 1) حبيث تكون kحدد ) 2 )nv متتالية هندسية. ) حدد اييت) 3 )nu و ( )nv.

____________________________________________________________________ ) ن 2.5 ( :ثاينالتمرين ال

) الفضاء )E منسوب على معلم متعامد ممنظم ( )kjiO :نعترب النقط اآلتية ;;; ( )2;0;2A و ( )3;1;1 −B و ( )1;2;0 −C

ACAB أحسب) 1 ∧.

ABC حدد معادلة ديكارتية للمستوى) 2

) أعط معادلة ديكارتية للفلكة ) 3 )S اليت مركزهاA و تقطعABC حسب الدائرة اليت مركزها B 2 شعاعها و. ____________________________________________________________________

) ن 53. ( :ثالثالتمرين ال

كرة محراء و أربع كرات خضراء الميكن التمييز بني , كرتني زرقاوتني, نعترب صندوق حيتوي على ثالث كرات صفراء .الكرات باللمس

.نسحب عشوائيا كرة من الصندوق :أحسب إحتماالت األحداث التالية - 1

J : " سحب كرة صفراء"

B : " سحب كرة زرقاء"

R : " سحب كرة محراء"

V : "سحب كرة خضراء"

ن1

ن0.5 ن1

__

ن1

ن0.5 ن1

___

ن1

3 / 2

: نعترب اآلن أ ن السحب مرتبط بربح عدد من الدراهم حسب الشروط التالية - 2 . دراهم 10كرة املسحوبة محراء نربح إ ذ ا كانت ال- . إ ذ ا كانت الكرة املسحوبة خضراء نربح درمهان -

. دراهم 3 إ ذ ا كانت الكرة املسحوبة صفراء أو زرقاء نربح - .ة املتغري العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الدراهم املربوح X ليكن .X العشوائي حدد قانون إحتمال املتغري-أ

) أحسب األ مل الرياضي -ب )XE و املغايرة ( )XV.

_____________________________________________________________________ ) ن3 ( :رابع التمرين ال

) :املعادلة التالية Cنعترب يف ) 032248: 23 =−+− zzzE 40 : تأكد من أن - 1 =z حل للمعادلة ( )E . مث حدد األعداد a و b و c حبيث تكتب على شكل:

( ) ( )( ) 04: 2 =++− cbzazzE ) حل املعادلة- 2 )E . 1نرمز بz 2 وz حبيث حللي املعادلة حبيث ( ) 0Im 1 ≥z و ( ) 0Im 2 ≤z

. 2z و 1z حدد الشكل األسي ل 012 بني أن النقط– 3 ;; MMM 012 اليت لواحقها على التوايل ;; zzz تنتمي إىل دائرة ( )ζ

.R=2و شعاعها ω=2 ذ ات اللحق Ω مركزها

_____________________________________________________________________

) ن 58. ( : مسأ لة : اجلزء االول

) :املعرفة مبا يلي x حلقيقي للمتغري ا f نعترب الدالة ) 1ln12

++++

= xxxxf

. f ريف الدالةجمموعة تع fD حدد -أ ) 1

): لدينا fD ينتمي إ ىل x مبالحظة أنه لكل-ب ) ( )1

1ln12+

++++=

xxxx

xf

. 1 - على اليمني عند النقطة fأحسب اية ) التغريات -لنهايات ا( f أ د رس الدالة-ج

) ليكن) 2 )C املنحىن املمثل للدالة f م.م.يف م ( )jiO ;;.

) بني أ ن للمنحىن- أ )C نقطة آ نعطاف و حدد إحداثيتيها.

.I و عند النقطة - 2 أكتب معادليت املما سني للمنحىن عند النقطة اليت أ فصوهلا-ب

) الال ائي للمنحىن أ د رس الفرع -ج )C.

ن1

ن1.5____

ن1

ن1

ن1

___ ن0.25 ن0.5 ن1

ن0.5

ن0.5

3/3

) أنشئ -د )C . ( )( )7,02ln =

.fD على x ا يتغريعندم f ( x ) آستنتج مما سبق إشارة ) 3

:اجلزء الثاين

: املعرفة مبا يلي x للمتغري احلقيقي gنعترب الدالة ( ) ( )

( )⎩⎨⎧

=−−≠= ++

011,1ln2

gxexg xx

) :لدينا 1- خمتلف عن x بني أ نه لكل عدد حقيقي-أ ) 1 ) ( ) 1ln.1.1 +++= xxexxg

.- 1 متصلة عند النقطة g الدالة بني أن-ب

.- 1عند النقطة g أدرس آشتقاق الدالة - ج

)اجلزء االول من) 3من أجل دراسة تغريا ت ميكن آستعمال س ) ( التغريات –النهايات ( g أ د رس ا لدالة) 2

) ليكن) 3 )Γ للدالةاملنحىن املمثل g م, م , م يف ( )vu;;Ω.

) أ درس الفروع الالائية للمنحىن-أ )Γ.

) أرسم-ب )Γ ) بدون حماولة البحث عن نقطة اإل نعطاف. (

:1 :آستعمل إلعطاء عدد حلول املعادلة ) 4 21

+=∈ + xmIRx x حسب قيم m.

علي الشريف : من إجناز األستاذ

fr.yahoo@cherifalix

http://arabmaths.site.voila.fr

ن0.5 ن0.5

ن0.5 ن0.25 ن0.5 ن1

ن0.5. ن1

ن1

علوم جتريبية: الشعبة ثانوية املختار ا لسوسي املعازيز نيابة اخلميسات

تصحيح اإلمتحان التجرييب لنيل شهادة 2006الباكا لو ر يا دورة أ بريل

http://arabmaths.ift.fr

علي الشريف: من إجناز األستاذ الرياضيات: ا ملادة

[email protected]


) نعترب املتتالية )nu : ⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

+ 49

41

4

1

0

nn uu

u

) لتكن )nv املتتالية املعرفة مبا يلي: kuv nn +=

) k عدد حقيقي ثابث غري مرتبط بالعدد n (

.nvمث بداللة nu بداللة nv+1 حساب) 1

: لدينا ( ) kkv

kukuv

n

nnn

++−=

++=+= ++

49

41

49.

41

11

: و منه 49.

43.

41

1 ++=+ kvv nn

) حبيث تكون kحتديد ) 2 )nv متتالية هندسية.

0 : من أجل ذلك يكفي أن يكون49.

43

=+k

k=−3 :يعني

)إذن يف هذه احلالة تكون املتتالية )nv هندسية أساسها 41

1300 : و حدها االول =−= uv

) حساب اييت) 3 )nu و ( )nv.

) بما أن )nv هندسية أساسها41

10 و حدها االول =v.

: فإن 0

0 41.

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

n vv يعين : n

nv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

41

1 :مبا أن 410 0lim :فإن ⟩⟩ =

+∞→ nnv

kuv :و مبا أن nn kvu : فإن =+ nn −=

=+3 : يعين nn vu

3lim :و منه =+∞→ nn

u

______________________________________

: التمرين الثاني

) الفضاء )E منسوب على معلم متعامد ممنظم ( )kjiO ;;;

) :نعترب النقط )2;0;2A و ( )3;1;1 −B و ( )1;2;0 −C

ACAB حساب ) 1 ∧ :

) : لدينا )1;1;1 −−AB و ( )1;2;2 −−−AC

kjiACAB: إذن .2211

.1211

.12

11−−−−

+−−−−

−−−

−=∧

jiACAB: يعين 33 −=∧

) معادلة ديكارتية للمستوى) 2 )ABC:

ACAB لدينا املتجهة ABC منظمية على املستوى ∧

): إذن ) 033: =+− dyxABC

) :بما أن )ABCA∈ 6 : فإن−=d.

) : و بالتايل ) 0633: =−− yxABC

) معادلة ديكارتية للفلكة) 3 )S اليت مركزها A و تقطع( )ABC

)حسب الدائرة )ζ مركزها اليتB 2 و شعاعها.

) شعاع الفلكة R ليكن )Sو r شعاع الدائرة ( )ζ.

222: لدينا Rrd =+

) :حبيث ) ( ) 3111 222 =+−+−== ABd 2 و=r .

74322: و منه =+=−= rdR




ريفعلي الش: من إجناز األستاذ الرياضيات: ا ملادة

[email protected]

) : و بالتايل ) ( ) 722 222 =−++− zyx

0144222 :يعين =+−−++ zxzyx _________________________________

:التمرين الثالث

, كرتني زرقاوتني , ات صفراء نعترب صندوق حيتوي على ثالث كر .كرة محراء و أربع كرات خضراء الميكن التمييز بني الكرات باللمس

.نسحب عشوائيا كرة من الصندوق :حساب إحتماالت األحداث التالية - 1

J : " سحب كرة صفراء " ( )103

=JP

B : " سحب كرة زرقاء" ( )51

102==BP

R : " سحب كرة محراء" ( )101

=RP

V : " سحب كرة خضراء " ( )52

104==VP

نعترب اآلن أ ن السحب مرتبط بربح عدد من الدراهم حسب - 2 :الشروط التالية

. دراهم 10 إ ذ ا كانت الكرة املسحوبة محراء نربح - .انت الكرة املسحوبة خضراء نربح درمهان إ ذ ا ك- 3 إ ذ ا كانت الكرة املسحوبة صفراء أو زرقاء نربح -

.دراهم املتغري العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الدراهم X ليكن .املربوحة

.X حدد قانون إحتمال املتغري العشوائي - أ): لدينا ) 10;3;2=ΩX

) : إذن ) ( )522 === VPXP

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21

51

103

3

=+=

∩−+=∪== BJPBPJPBJPXP

( ) ( )10110 === RPXP

: X قانون إحتمال املتغري العشوائي و بالتايل

10 3 2 ( )ixX =

101

21

52

( )ixXP =

) األ مل الرياضيحساب -ب )XE :

( ) ( )

1033

101.10

21.3

52.2

.3

1

=++=

== ∑=i

ii xXPxXE

) املغايرة حساب - )XV :

( ) ( )( )222

3

1

2

103310.

101

10333.

21

10332.

52

.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−= ∑=i

ii xExpXV

______________________________________ : التمرين الرابع

) :املعادلة التالية Cنعترب يف ) 032248: 23 =−+− zzzE

1 ( 40 =z حل للمعادلة ( )E :

032424484 23 =−×+×−

)حبيث c و b و a األعدادحتديد )E تكتب على شكل : ( ) ( )( ) 04: 2 =++− cbzazzE*

( )( )czbza

zczbzaczbzaz4..4..4

.....42

232

−−−

++=++−

( ) ( ) czbczabza 4.4.4. 23 −−+−+=

)إذن )E يعني * تكتب على الشكل: ( ) ( )

32.24.84.4.4.

23

23

−+−=

−−+−+

zzzczbczabza





[email protected]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=⇔

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=−=+=−=+−=

=

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−=−−=−

=

84

1

84

3281624424

4481

324244

841

cba

c

bcba

cbcab

a

) : و بالتالي ) ( )( ) 08.44: 2 =+−− zzzE

) حل املعادلة- 2 )E . 1نرمز بz 2 وz حبيث حللي املعادلة

) : حبيث ) 0Im 1 ≥z و ( ) 0Im 2 ≤z.

)املعادلة )E تكافئ :( ) ( )( ) 08.44: 2 =+−− zzzE

): تكافئ ) 08.42 =+− zz أو ( ) 04 =−z

( ) 08.42 =+− zz : ( )22484' i=−=−=∆ iz: إذن .221 iz و =+ .222 −=

:و بالتايل حلول املعادلة هي iiS 22;22;4 −+=

2z:4و 1z الشكل األسي ل1 .22

πiez 4 و =

2 .22πi

ez−

=

012 النقط – 3 ;; MMM اليت لواحقها على التوايل

012 ;; zzz تنتمي إىل دائرة ( )ζ

.R=2و شعاعها ω=2 ذ ات اللحق Ω مركزها

2240 :لدينا =−=− Ωzz 221 و ==− Ω izz

222 و =−=− Ω izz

210 : أن و هذا يكافئ MMM Ω=Ω=Ω يعين أن النقط

012 ;; MMM رة اليت مركزهاتنتمي إىل الدائ

Ω 2 ذ ات اللحق=ω 2و شعاعها=R.

: مسأ لة : اجلزء االول

:املعرفة مبا يلي x حلقيقي للمتغري ا f نعترب الدالة

( ) 1x1x2xx lnf ++

++

=

: f لدالةجمموعة تعريف ا -أ ) 1 1IRDf −−= : fD ينتمي إ ىل x لكللدينا -ب

( ) ( )1x

1x1x2x lnf x+

++++=

) : إذن ) ( )1x

1x1x2xx

lnlimflim1x1x +

++++= ++ −→−→

( )01⟩+x ( ) ( )1x

1x1x2x lnlim1x +

+++++−→

=

) :نعلم أن ) 0tln.tlim0t

=+→

=+1 :ضع بو xt

++ : لدينا −→⇔→ 10 xt

) : إذن ) ( ) +∞=+++→

=+−→ ttt1t lnlimlim

0txf

1x

) التغريات -( f الدالةةسا ر د-ج

) : لنهايات ا ) +∞=+∞→

xflimx

, ( ) +∞=−∞→

xflimx

, ( ) −∞=−−→

xflim1x

): التغريات ) ( )( )2f 1x

xx:Dx 'f+

=∈∀

:جدول التغريات





[email protected]

: نقطة اإلنعطاف

): لدينا )( )2

1x

x1)x(''f:Dx

f

+

−=∈∀

) :نستنتج أن )C يقبل ( )( )1;1 fI كنقطة آنعطاف. : تقعر املنحىن

: - 2 ة اليت أفصوهلا معادلة املماس عند النقط–ب

)2()2( f'f)2x(y −− ++= ⇔

4x2y −−=

)معادلة املماس عند النقطة - )( )1;1 fI :

( ) )1()1( f'fy 1x += − ⇔

)2ln(45x

41y ++=

: الفروع الالائية –ج

=∞+ : لدينا * +−→

)x(flim1x

و

−∞=−−→

)x(flim1x

)و هذا يعين أن )C يقبل املستقيم الذي

x=−1 :معادلته

.- 1مقارب عمودي جبوار

: لدينا

( )( )

( )

0

limlim1x

1xln.

x

1x

1xx

2x

x

xfxx

=

=+

+++

+

+±∞→±∞→

) إذ ن )C يقبل حمور االفاصيل آجتاه مقارب جبوار ∞±.

) إنشاء املنحىن–د )C :

:قبل إنشا ء ا لمنحنى يجب آتباع الخطوات التالية : مال حظة

فكرة قراءة جيدة لجدول التغيرات و تقعر المنحنى و أخذ ) 1

. عن الشكل الذي سيأخذه المنحنى

.إنشاء المقاربات إنطالقا من النتائج المحصل عليها ) 2

إنشاء النقط التي توجد بها قيم دنوية أو قصوية للمنحنى ) 3

( )C في حالة وجودها ( .و نقطة اإلنعطاف (

.طلب تحدبد معادلتها التي لمماسات تقيمات اإنشاء المس ) 4

)قراءة للوضع النسبي للمنحنى ) 5 )C مع المقاربات و

المماسات إما عن طريق جدول التغيرات أو بواسطة تحديد اإلشارة

:اإلنشاء ) 6

علوم جتريبية: الشعبة ملختار ا لسوسيثانوية ا

املعازيز نيابة اخلميسات




[email protected]

)المماس عند النقطة يخترق المنحنى : مالحظة )C ألن النقطةI

.نقطة آنعطاف

) إشارة) 3 )xf من خالل جدول التغيرات نستنتج:

:اجلزء الثاين

: المعرفة بمايلي g نعتبر الدالة

( )

⎩⎨⎧

=−≠=

−

++

0g1x;eg

)1(

)x(1xln2x

−1 مختلف عن x لنبين أن لكل عدد حقيقي -أ ) 1

: لدينا ( ) 1xln1xeg 1x)x(

+++=

−1 مختلف عن xلكل عدد حقيقي

: لدينا ( ) 1xln2xeg )x(

++=

:و هذا يكافئ

1x1x1x

1x11x

lnln

ln

ee

e

eg1xln1xln1x

)x(

+++

+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×=

++++=

=

−1 مختلف عن xلكل عدد حقيقي و منه

): لدينا ) ( ) 1ln11 +++= xxexxg ) 11ln +=+ xe x(

:−1عند gآتصال الدالة -ب

: لدينا * ( ) ( ) ( )

)1(

)x(

g0

e.1xlimglim 1xln.1x

1x1x

−==

+= ++

−→−→ ++

و ( )

)1(

)x(

g0

e.limglim1x.ln1x

1x1x1x

−==

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

−→−→

+−+−−+−

−−

: −1 عند g آشتقاق الدالة-ج

:لدينا *

( ) ( ) ( )

11x

e1xlim1xgglim

1xln.1x

1x1x

)1()x(=

++

=+− ++

−→−→ ++

−

و ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11x

e1xlim1x

1gxglim1xln.1x

1x1x−=

++−

=+−− +−+−−

−→−→ −−

.−1 غير قابلة لإلشتقاق عند g إذن الدالة

على قابلة لإلشتقاق gالدالة ) 2 1−−IR.

:و لدينا ( ) ( ) ( ) ( ) 1ln.2.':1 ++=−−∈∀ xxexfxgIRx

) نستنج أن إشارة )xg هي إشارة ( )xf.

:gنستنتج جدول تغيرات الدالة و بالتالي

: الفروع الال نهائية -أ ) 3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) +∞=+

=

+=

++

+∞→

++

+∞→+∞→

1xln.1x

x

1xln.1x

xx

e.x

1xlim

e.x

1xlim

xxglim

محور +∞بجوار يقبل gو هذ ا يعني أ ن منحنى الدالة

. راتيب فرعا شلجميا األ




علي الشريف: من إجناز األستاذ الرياضيات: ادة ا مل

[email protected] :g منحنى الدالة - ب

:1 :نعتبر المعادلة ) 4 21

+=∈ + xmIRx x

.بارامتر حقيقي m حيث

: المعادلة تكافئ 2

2

21

1 ++

+ +=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ x

x

x xm

) :تكافئ أيضا ) 1ln.2 ++= xxem

) :تكافئ ) mxg = IRx∈

:ننستنتج أ g التمثيل المبياني للدالةل من خال

)حلول المعادلة هي أ فاصيل نقط تقاطع المنحنى )Γ و المستقيم الذي

my معادلته : و منه =

.فإن المعادلة ال تقبل أي حل : m⟩0 : إذا آان _ 1

تقبل حل وحيد المعادلة فإن : m=0 :إذا آان _ 2

.- 1هو العدد

10 :إذا آان _ 3 ⟨⟨ m : ثالث حلول المعادلة تقبل فإن

.

2 حلين هما تقبلالمعادلة فإن : m=1 :إذا آان _ 4

.0 و-

. وحيد تقبل حلالمعادلة فإن : m⟨1 :إذا آان _ 5

10

SAID BOUZAWIT - lycée Abdelali Benchakroune

)نقطتان(:التمرین األول: احسب التكامل التالي - 1)ن1(

4ln

2ln 1xe

dxI) 1ضع xet.(

احسب باستعمال مكاملة باألجزاء- 2)ن1( 1

0

dxxArctgJ.

)نقط3(:التمرین الثانيوبیدقة تحمل 1وبیدقتان تحمالن الرقم0یمكن التمییز بینھا باللمس،بیدقتان تحمالن الرقم یحتوي كیس على خمس بیدقات ال

.شوائیا وفي آن واحد بیدقتین من الكیسنسحب ع.2الرقم.مجموع الرقمین المسجلین على البیدقتین المسحوبتینالمتغیر العشوائي الذي یساوي Xلیكن-1

.Xحدد قانون احتمال -أ) ن1(

تحقق أن ". سحب بیدقتین تحمالن نفس الرقم:"الحدثAلیكن-ب) ن0.5( 10

2Ap.

الحدثوAالحدثبین أن-ج) ن0.5( 2Xغیر مستقلین.. نكرر التجربة السابقة ثالث مرات متتابعة، وفي كل مرة نعید الكرتین المسحوبتین إلى الكیس- 2) ن1(

.مرتین على األقلAاحسب احتمال تحقیق

)نقط3.5(:التمرین الثالثالمعادلة Cحل في- 1) ن1( 012: 2 izzE.جذرا المعادلة z"وz'(z"و z'احسب - 2)ن0.5( E حیث 0'Im z.('"احسب- 3) ن1( zz 1واكتب'zعلى الشكل المثلثي.استنتج - 4) ن1( 'zArg و "zArg.

)نقط2.5(:التمرین الرابعالفضاء منسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر kjiO

تبر النقط نع.,,, 2,0,2 A، 1,1,2 Bو 1,0,0 C

والفلكة S 03422222: ذات المعادلة zyxzyx.

ACABاحسب- 1) ن1( واستنتج معادلة دیكالرتیة للمستوى ABC.حدد مركز وشعاع الفلكة- 2)ن0.5( S.

11


بین أن- 3) ن1( ABCمماس للفلكة Sو حدد نقطة التماس.

)نقط9(:مسألة

: بما یلي IRالمعرفة علىfنعتبر الدالة العددیة

1,1

1,1.

22

3

2

xex

xxxxf x .

منحناھا في معلم متعامد ممنظمfCولیكن jiO

,,.

І--1فيfادرس اتصال- أ- 1)ن0.25(

بین أن -ب)ن0.5(

11 x

xfLimx

.ثم أعط تأویال ھندسیا لھذه النتیجة

.ثم فسر النتیجة ھندسیا1قابلة لالشتقاق في fبین أن-ت)ن0.25(

احسب –ج )ن0.5( xfLimx

و x

xfLimx

.ھذه النتیجةثم أعط تأویال ھندسیا ل

بین أن -د)ن0.5( 0

xfLimx

.ثم أعط تأویال ھندسیا لھذه النتیجة

أن بین- أ- 2)ن0.5(

1,3

1,1.3

34

'

22

3 2

2

xexx

xx

x

xfx

.

fضع جدول تغیرات-ب)ن0.5(

بین أن- 3) ن0.5( xxf لكلxالمجال من ,1.اكتب معادلة دیكارتیة للمستقیم- أ- 4) ن 0.5( TمماسfC0في النقطة ذات األفصول .

و fCأنشئ -ب)ن1( T.) نأخذcmji 2

6.0و 4

13 2.02و

3

e.(

ІІ-المجال علىfقصور الدالة hلیكن ,1.

نعتبر 0nnUالمتتالیة المعرفة كما یلي :

0,

)0(,,1

1

00

nUhU

UU

nn

.

بین أن - 1) ن1( 0nnUتزایدیة.01نفترض أن -2 0 U

01بین أن -أ)ن0.5( nU لكلn منIN.بین أن -ب)ن0.75( 0nnUمتقاربة و احسب نھایتھا.

00نفترض أن -3 Uو لیكن 3)11(العدد الحقیقي التالي00 UU.

12


بین أن -أ)ن0.75( nn UU .INمن nلكل 1nUUبین أن -ب)ن0.75( n .INمن nلكل 0نھایة استنتج-ج)ن0.25( 0nnU.

25


:التمرین األول 1(34ln12ln txوtx

21ln1 txet x ومنھ21

2

t

dttdx

إذن:

62

1

2 31

3

1 2

tArctg

t

dtI.

2(

1

0 2

10 1

dxx

xxxArctgJ و 1021

0 21ln

2

1

12ln

4xdx

x

xJ

:الثاني التمرین -أ)1

3210ix

10

225

11

12 C

CC

10

325

11

12

22 C

CCC

10

225

12

12 C

CC

10

125

22

C

C ixXp

- ب 10

225

22

22

C

CCAp.

الحدث - ج 2 XA إذن " 1الن الرقم سحب بیدقتین تحم" ھو ، 10

12 XAp.

و لدینا 50

32. XpAp إذن الحدثان ، 2XAغیر مستقلینو)

50

3

10

1(

لدینا)2 333

223 1 ApCApApCp إذن

125

13p.

:التمرین الثالث 1( 21241

2

21'1

2

21" iiizوiz .

2(222

2

2

21"

22

z

222

2

2

21'

22

z.

3(izz cbzazجداء جذري ('"1 2 یساويa

c ( و

4

3,1

2

2

2

21'

iz.

لدینا )4

4

3

4

31'

4

3

4

31'

iSinCosziSinCosz

26


إذن

8

3

8

32

8

32' 2

CosiSinSinz)22

2

CosSinSin و2

21 2 SinCos (

یعني

8

3

8

3

8

32'

iCosSinSinz و منھ

8

7

8

3

2'

zArg

izzمن جھة أخرى ، 1"' 4

"'

zzArg

یعني 4

"'

zArgzArg إذن 8

5"

zArg.

:التمرین الرابع1( 1,0,21,1,422 ACوABkjiACAB

.

ACAB منظمیة على ABC إذن 022: dzyxABC

ABCCd 2 و بالتالي 0222: zyxABC.لدینا )2 9211: 222 zyxS3ن إذr و 2,1,1.

3( rABCd

39

2421, ABC مماس للفلكة S.

cbaH نقطة التماس ھي المسقط العمودي للنقطة ,, 2,1,1 على ABC إذن ،:

0222

22

21

1

/

cba

tc

tb

ta

IRt 10,1,0 tH.

:مسألة I-

-أ)1 01 f و 0lim1

xf= xf1

lim إذنf 1متصلة في-.

- ب

3

21

3

11 1

1lim

1

1lim

1lim

xx

x

xx

x

xfإذن ،f غیر قابلة لالشتقاق في1

fC یقبل نصف مماس عمودي موجھ نحو األعلى في النقطة 0,1A على الیمین.

- ث 2

1

2

1

22

1121lim

1

1lim

1lim

2

2

eexx

ex

x

xf xx

1قابلة لالشتقاق في fإذن،

fC 2یقبل نصف مماس معاملھ الموجھ

1

2

e في النقطة 0,1Aعلى الیسار.

- ج

3 1limlim xxxf و

3 1limlim xx

xf

fC یقبل فرعا شلجمیا في اتجاه محور األراثیب بجوار.

-د 02

.2lim1limlim 22

222

222

xxx

ex

eexxf ) ضع2

2xt

(

27


fCستقیم مقارب بجوار یقبل محور األفاصیل كم.

1x :إذا كان -أ)2

3

23

3 2

3 13

11'

131' xxxxf

x

xxxf.

یعني 3 213

34'

x

xxf.

1x :إذا كان

22222

222

12'3'xxx

exxexxfexxxf .

-ب

من xلكل)3 لد ینا1,

0111

1133 2

23

xx

xxxxxf.

-أ)4 00': fxfyT یعني xyT :

:المنحنى - ب

28


II-

لدینا )1 ,10U . نفترض أن ,1nU إذن

,

4

1

4

3,1 3hUh n

یعني ,11nU وبالتالي ، ,10 nUn

nUxمن الجزء األول ، وبوضع 3حسب السؤال نجد nnn UUhU 1 .إذن nUتزایدیة.0n :01من أجل -أ)2 0 U 01، نفترض أن nU.

إذن لدینا 0,1nU یعني

0,

4

1

4

30,1 3hUh n و بالتالي 0,11 nU.

إذن 0,10 nUn.- ب nUإذن فھي متقاربة0تزایدیة ومكبورة ب.

نضع 0,1I .h متصلة علىI و IIh و nUمتقاربة، إذن نھایتھاl تحقق llh .

أي 011 3 ll 0ومنھl.لدینا -أ)3 113

1 nnnn UUUU 0وUU n ) nU00وبما أن ( ، إذن) تزایدیة U (

نجد 113001 UUUU nnلكلn منIN.

0n :00من أجل - ب UU )نفترض أن ) . محققة ةالعالقnUU n 0

و لدینا nn UU إذن 1 nUU n أي 01 101 nUU n.nUUإذن n .INمن nلكل0

إذن 0لدینا - ج nU 0lim و منھ.lim nU.

2 אאאאא א - 1 -

א W א

3 W אא

7 W א

אאאא

2006

אאא

אאאאא

אאW

: أحسب التكامل التالي . 11 2

20 1

xI dxx

=+∫.

: باستعمال المكاملة باألجزاء ، أحسب التكامل . 2( )ln 2

0

xJ xe dx= ∫.

אאW

) : التالية المعادلة نعتبر في ) ( ) ( )2: 2 1 3 1 3 1 3 0E z i z i⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + − + + + − =.

1تحقق أن . 1 1z i= − ) حل للمعادلة− )E 2 واستنتج الحل اآلخرz للمعادلة ( )E.

. على شكليهما المثلثي 2z و 1z أآتب. 2

1نضع . 3

2

zZz

على الشكل الجبري والمثلثي واستنتج قيمتي Zأآتب . =7cos12π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

و 7sin12π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

.

אאW) إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر في الفضاء المنسوب ), , ,O i j kالنقطتين ، نعتبر ( )2, 1,0A و −

( )3,0,1B والمستويين :( ) : 1 0P x y z+ + − ) و = ) : 2 2 3 0Q x y z+ + + =.

) والعمودي على المستوىAا للمستقيم المار من النقطةأعط تمثيال بارامتري. 1 )Q.

)بين أن المستويين. 2 )P و ( )Qمتقاطعين وفق مستقيم ( )D ثم حدد تمثيال بارامتريا له .

)حدد معادلة ديكارتية للمستوى. 3 )Rالمار من النقطة Bوالعمودي على المستويين ( )P و ( )Q.

)لتكن. 4 )Sفلكة مرآزها ( )1,1,3Ω 3 وشعاعهاR =.

) أعط معادلة ديكارتية للفلكة- أ )S.

) بين أن المستوى- ب )Pيقطع الفلكة ( )S مرآزها وشعاعها وفق دائرة محددا.

ن2

1 1

3.5 ن 1 1 1.5

4.5 ن 1 1 1 0.5 1

0

2 אאאאא א - 2 -

אאאW : بما يلي على المعرفة x للمتغير الحقيقي fنعتبر الدالة العددية

( ) ( )( ) 2

ln 3 ; 2

2 ; 2

f x x x x

f x x x x x

⎧⎪⎨⎪⎩

= + − ≤

= + − >

) نعتبرو )fCالمنحنى الممثل للدالة العددية fفي المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم

( ), ,O i j.

)أحسب - أ .1 )limx f x→+∞و ( )limx f x→−∞ .

. 2 في النقطة fأدرس اتصال الدالة - ب

): بين أن -أ. 2 )2 0gf : وأن ′=( ) ( )

2

2lim

2x

f x fx+→

−= +∞

− .

.أعط تأويال هندسيا للنتيجتين السابقتين - ب⎤,2 تزايدية قطعا على آل من المجالين fبين أن. 3 ⎡⎦ ⎤2, و ∞+⎣ ⎡⎦ ⎣−∞.

)بين أن المنحنى . 4 )fC2 معادلته ∞+ يقبل مقاربا مائال بجوار 1y x= ، وأن المستقيم ذو المعادلة−

y x=اتجاه مقارب للمنحنى ( )fCبجوار −∞.

) أنشئ.5 )fC.

⎡,2لمجال على اf قصور الدالةgليكن. 6 ⎡⎣ ⎣+∞.

⎡,2 تقابل من المجالg بين أن- أ ⎡⎣ . يجب تحديده J نحو مجال∞+⎣

) حدد - ب )1g x− لكل xمن المجال J.

)نعتبر المتتالية العددية. 7 )n nu∈

: المعرفة بما يلي

( )0

1

1ln 3 ;n nn

uu u u n+

⎧⎪⎨⎪⎩

== + − ∈

:: بين أن - أ 0 2nn u∀ ∈ < ≤.

) بين أن المتتالية- ب )n nu∈

. تزايدية

) استنتج أن- جـ )n nu∈

. متقاربة ثم أحسب نهايتها

]<ð^<ác<ÐéÊçjÖ^e<

10 ن 0.5 1 1 0.5 1.5 1 1.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1

- 1 -

الحيان: األستاذ 2006/ أبريل / 27 التجريبي االمتحانتصحيح الثانية بكالوريا علوم تجريبية :التمرين األول

: لدينا . 11 1 1 1 12 2

2 2 2 20 0 0 0 0

1 1 1 111 1 1 1

x xI dx dx dx dx dxx x x x

+ − ⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[ ]101 tan 14

I Arc x π= − = −

: وبالتالي فإن 1 2

20

11 4

xI dxx

π= =

+−∫.

: نضع . 2( )( )

xu x ev x x′⎧ =

⎨=⎩

: إذن . ( )( ) 1

xu x ev x⎧ =⎨ ′ =⎩

.

] دالتين قابلتين لالشتقاق على المجالv وu لدينا ]0, ln u؛ و2 v و′ دالتين′

] متصلتين على المجال ]0, ln : حسب المكاملة باألجزاء ؛ لدينا . 2

[ ]ln 2 ln 2 ln 2

ln 2ln 2

0 00 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x xJ u x v x dx u x v x u x v x dx xe e dx′ ′ ⎡ ⎤= = − = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )ln 2ln(2) ln(2)

0ln(2) 0 2ln(2) 1 2ln(2) 1xJ e e e⎡ ⎤= − − = − − = −⎣ ⎦

: وبالتالي فإن ln 2

0

2 ln(2) 1xJ xe dx= = −∫.

:الثانيالتمرين : ؛ المعادلة نعتبر في المجموعة

( ) ( ) ( )2: 2 1 3 1 3 1 3 0E z i z i⎡ ⎤+ + − + + + − =⎣ ⎦

) :لدينا . 1 ) ( ) ( ) ( )21 2 1 3 1 1 3 1 3i i i i⎡ ⎤− − + + − − − + + + −⎣ ⎦

( ) ( )2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 0i i i i= − − − − + − + + + − =

1: إذن 1z i= − ) حل للمعادلة − )E . 2ليكنz اآلخر للمعادلة الحل( )E.

: نعلم أن ( ) ( )1 2

2 1 32 1 3

1

ibz z ia

+ −+ = − = − = − − −.

): إذن ) ( )2 12 1 3 2 1 11 33z i i iz i= − − − − = − − − −= ++ +

): لدينا . 2 ) ( )2 21 1 1 2z = − + − : ؛ إذن =

12 2 52 2, 2,

2 2 4 4z i π ππ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

): ولدينا ) ( )222 1 3 2z = − + : ؛ إذن =

21 3 22 2, 2,2 2 3 3

z i π ππ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

1: هوZالشكل ألمثلثي ل. 3

2

52,2 5 2 2 74 , ,

2 2 4 3 2 122,3

zZz

ππ π π

π

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦= = = − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

: هو Z والشكل الجبري ل

( )( )( )( )

1

2

1 1 31 1 3 1 34 41 3 1 3 1 3

i iz iZ iz i i i

− − − −− − − += = = = +

− + − + − −

: ومنه نستنتج أن

2 7 1 3cos2 12 4

2 7 1 3sin2 12 4

π

π

⎧ −⎛ ⎞ =⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨

+⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

: ؛ إذن

7cos12

7sin

2 64

212

64

π

π

⎧ ⎛ ⎞ =⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎝ ⎠

−

⎩

+⎪

.

:الثالثالتمرين )في الفضاء )E المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ( ), , ,O i j k ؛ نعتبر :

) النقطتين )2, 1,0A ) و − )3,0,1B؛

):والمستويين ) : 1 0P x y z+ + − ) و = ) : 2 2 3 0Q x y z+ + + =.

)ليكن. 1 ) والعمودي على المستوىAالمستقيم المار من النقطة ∆( )Q .

): لدينا )2,1,2uمتجهة منظمية على المستوى ( )Q ولدينا ( ) ( )Q∆ : ؛ إذن ⊥

- 2 -

uمتجهة موجهة للمستقيم ( )لتكن . ∆( ), ,M x y zنقطة من الفضاء ( )E؛

) مستقيميتان u وAM : لدينا )M ∈ ∆ ⇔

/ .t AM t u⇔∃ ∈ =

2 21 /0 2

x ty t tz t

− =⎧⎪⇔ + = ∈⎨⎪ − =⎩

2 2

1 /2

x ty t tz t

= +⎧⎪ = − + ∈⎨⎪ =⎩

⇔

) هذه النظمة هي تمثيل بارامتري للمستقيم )∆.

)لدينا . 2 )2,1,2uمتجهة منظمية على المستوى ( )Q و ( )1,1,1v متجهة

) منظمية على المستوى )P ؛ ولدينا :

1 1 2 1 2 10

2 1 2 1 1 1u v i j k i k∧ = − + = − + ≠

)ين متجهتان غير مستقيميتان ؛ ومنه فإن المستويv و uإذن )Pو ( )Q

) متقاطعان وفق مستقيم )Dموجه بالمتجهة ( )1,0,1u v∧ = ؛ معادلتين −

: ديكارتيتين له هما 1 0

2 2 3 0x y zx y z+ + − =⎧

⎨ + + + =⎩.

1z من أجل : ؛ نجد ) مثال (=0

2 5 0x y

x y+ =⎧

⎨ + + =⎩ : إذن .

2 5 0

y xx x

= −⎧⎨ − + =⎩

: ؛ ومنه فإن 55

yx

=⎧⎨ = −⎩

؛

) وبالتالي فإن النقطة )5,5,1C ) تنتمي إلى المستقيم− )D.

)لتكن ), ,M x y zنقطة من الفضاء ( )E ؛ لدينا :

CMو u v∧ مستقيميتان ( )M D∈ ⇔

/ .t CM t u v⇔∃ ∈ = ∧

( )55 0 /1

x tM D y t

z t

+ = −⎧⎪∈ ⇔ − = ∈⎨⎪ − =⎩

55 /

1

x ty tz t

= − −⎧⎪ = ∈⎨⎪ = +⎩

⇔

) هذه النظمة هي تمثيل بارامتري للمستقيم )D ؛

)( )Dهو تقاطع المستويين ( )Pو ( )Q(

)ليكن. 3 )R مار من النقطةالمستوى الBعمودي على المستويينال و( )Pو( )Q

) إذن )Rعمودي على المستقيم ( )D؛ وبما أن ( )1,0,1u v∧ = متجهة−

) موجهة للمستقيم )D؛ فإنها متجهة منظمية على المستوى ( )R.

) لتكن ), ,M x y zنقطة من الفضاء ( )E . ينا لد :

( )( ) ( )

. 03 1 0

2 0

M R BM u vx z

x z

∈ ⇔ ∧ =⇔ − − + − =⇔ − + + =

) وبالتالي فإن معادلة ديكارتية للمستوى )R 2: هي 0x z− + + =.

)لتكن. 4 )Sالفلكة التي مرآزها ( )1,1,3Ω3 وشعاعهاR =.

) لتكن-أ ), ,M x y zنقطة من الفضاء ( )E . لدينا:

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2

1 1 3 92 2 6 2 0

M S M RM R

x y zx y z x y z

∈ ⇔ Ω =⇔ Ω =

⇔ − + − + − =⇔ + + − − − + =

): لدينا -ب )( )2 2 2

1 1 3 1 4 4 3,331 1 1

d P R+ + −

Ω = = = <+ +

: ؛ إذن

) المستوى )Pيقطع الفلكة ( )Sوفق الدائرة ( ), rωC التي :

- 3 -

: شعاعها 2

2 2 2 4 16 113 93

33333

r R d ⎛ ⎞= − = − = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

)مرآزها ), ,x y zωهو المسقط العمودي للنقطة Bعلى المستوى ( )P:

)لدينا )1,1,1ABمتجهة منظمية على المستوى ( )P ؛( )AB P⊥

) و ) ( )2, 1,0A P− Aω ؛ إذن ∋ ) هو مرآز الدائرة= ), rωC.

): وبالتالي فإن ) ( ) 33,3

S P A⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∩ C حيث :( )2, 1,0A −.

: آما يلي winplot و Mapleنعطي الشكل النهائي بواسطة البرنامين with(geometry) : with(geom3d) : plane(P,x+y+z=1,[x,y,z]) : plane(Q,2*x+y+2*z=-3,[x,y,z]) : plane(R,-x+z=-2,[x,y,z]) : line(D,[P,Q]) : _EnvXName :=x : _EnvYName :=y : _EnvZName :=z : sphere(S,(x-1)^2+(y-1)^2+(z-3)^2=9,[x,y,z]) ; intersection(D,P,Q) ; ArePerpendicular(P,R) ; ArePerpendicular(Q,R) ; draw([P,Q,R ,D,S(color=red)]);

- 4 -

:الرابعالتمرين : بما يلي R المعرفة علىxنعتبر الدالة العددية للمتغير الحقيقي

2

( ) ln(3 ) ; 2

( ) 2 ; 2

f x x x x

f x x x x x

= + − ≤⎧⎪⎨

= + − >⎪⎩

)ln: لدينا-أ. 1 )lim ( ) lim ln(3 ) lim 3 ln( ) lim 3 1x x t t

tf x x x t t tt→−∞ →−∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞= + − = − + = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

lim ( )x

f x→−∞

= −∞

3t: حيث x= x: ؛ ولدينا − t→−∞⇔ →+∞.

2: ولدينا 2 2lim ( ) lim 2 lim 1x x x

f x x x x x xx→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2 2lim ( ) lim 1 lim 1 lim 1 1x x x x

f x x x x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − = + − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

lim ( )x

f x→+∞

= +∞

2: لدينا - ب

2 2lim ( ) lim 2 2x x

f x x x x+ +→ →

= + − =

و 2 2

lim ( ) lim ln(3 ) 2 ln(1) 2x x

f x x x− −→ →

= + − = + (2) و = 2f =.

: بما أن 2 2

lim ( ) lim ( ) (2)x x

f x f x f+ −→ →

= .2 متصلة في النقطة f ؛ فإن =

: لدينا -أ. 22 2

( ) (2) ln(3 ) 2lim lim2 2x x

f x f x xx x− −→ →

− + − −=

− − .

3t نضع x= 2: إذن . − 1x t− +→ ⇔ : و منه فإن →

2 1 1

( ) (2) 1 ln( ) ln( )lim lim lim1 1 12 1

01x t t

f x f t t tx t t− + +→ → →

− − += = + − =

− − −.

(2): ولدينا 2 قابلة لالشتقاق على اليسار في النقطة f إذن 0gf ′ =.

: لدينا 2 2

2 2 2

( ) (2) 2 2 2lim lim lim 12 2 2x x x

f x f x x x x xx x x+ + +→ → →

− + − − −= = +

− − −

2

2 22 2 2

( ) (2) 2lim lim 1 lim 12 ( 2) 2 2x x x

f x f x x xx x x x x x+ + +→ → →

− −= + = + =

− − − −+∞.

.2 غير قابلة لالشتقاق على اليمين في النقطة f إذن(2) و 2سار في النقطة قابلة لالشتقاق على اليf: لدينا - ب 0gf ′ إذن . =

fC معادلته 2 يقبل نصف مماس على اليسار في النقطة التي أفصولها :

( )(2) 2 (2)

2gy f x f

x

′= − +⎧⎪⎨

≤⎪⎩) أي ) 2

2g

yx

T=⎧

⎨ ≤⎩ ) . (2) 2f (2) و= 0gf ′ =(

: لدينا 2

( ) (2)lim2x

f x fx+→

−= +∞

− رأسي ؛ موجه يقبل نصف مماس fCإذن .

. 2 اليمين في النقطة التي أفصولها نحو األعلى؛ على [ليكن . 3 [2,x ∈ : لدينا . ∞+

( )2

2

2 2 2

( 2 ) 2 2 1( ) 2 1 1 1 02 2 2 2 2x x x xf x x x x

x x x x x x

′ ′− − −′ = + − = + = + = + >− − −

[ تزايدية قطعا على المجال f إذن [2,+∞.

[ ليكن [, 2x ∈ : لدينا . ∞−

( ) (3 ) 1 2( ) ln(3 ) 1 1 03 3 3

x xf x x xx x x′− −′′ = + − = + = − = >

− − −

[ تزايدية قطعا على المجال f إذن [, 2−∞.

- 5 -

: آما يلي R على f ومنه نستنتج جدول تغيرات الدالة

: لدينا . 4

( ) 2 2lim ( ) 2 1 lim 2 2 1 lim 2 1x x x

f x x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞

− − = + − − + = − − +

( )( ) ( )

2 222 2

2 2

2 1 2 2 1lim ( ) 2 1 lim lim2 1 2 1x x x

x x x x x x xf x xx x x x x x→+∞ →+∞ →+∞

− − − − − + +− − = =

− + − − + −

( )2

1lim ( ) 2 1 lim 021 1

x xf x x

x xx

→+∞ →+∞− − = =

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

2: ؛ معادلته ∞+ يقبل مقاربا مائال ؛ بجوارfC إذن 1y x= −.

lim: لدينا ( )x

f x→−∞

= 3t بوضع و ∞− x= x ؛ نجد − t→−∞⇔ و ∞+→

( ) ln(3 ) ln(3 ) ln( ) ln( ) 1lim lim lim 1 lim1 lim1 133 1x x x t t

f x x x x t tx x x t t

t→−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞

+ − −= = + = + = + × =

− −

lim: ولدينا ( ) lim ln(3 ) lim ln( )x x t

f x x x t→−∞ →−∞ →+∞

− = − = = 3t ؛ حيث ∞+ x= −.

y ؛ اتجاهه المستقيم ذو المعادلة∞− يقبل فرعا شلجميا ؛ بجوارfC إذن x=.

) في المعلمfCإنشاء المنحنى. 5 ), ,O i j:

.fC للمنحنىالفرعين الالنهائيينننشئ .2 في النقطة ذات األفصولfCنصفي مماس للمنحنىننشئ .بعض الصور عند االقتضاء نحسب

] على المجال f قصور الدالةgليكن. 6 [2,+∞.

] متصلة وتزايدية قطعا على المجالg لدينا - أ تقابل من المجالgإذن . ∞+,2]

[ ] نحو المجال ∞+,2] [( ) [ [2, (2), lim ( ) 2,x

J g g g x→+∞

⎡ ⎡= +∞ = = +∞⎣ ⎣.

] : لدينا - ب [ [ [1

1

: 2, 2,( )?

gx y g x

−

−

+∞ → +∞=

.

] ليكن [2,x ∈ ] و ∞+ [2,y ∈ )1: بحيث ∞+ )y g x−= ينبغي تحديده ؟

: لدينا

1

2

2

( ) ( )

2

2

y g x x g y

x y y y

x y y y

−= ⇔ =

⇔ = + −

⇔ − = −

- 6 -

( )

( )

21 2

2 2 2

2

2

2

( ) 22 2

2 22 2

2( 1)

y g x x y y yx xy y y y

x xy yx x y

xyx

−= ⇒ − = −⇒ − + = −⇒ = −⇒ = −

⇒ =−

: وبالتالي فإن [ [ [ [

( )

1

2

: 2, 2,

2 1

gxxx

− +∞ → +∞

−

)نعتبر المتتالية العددية. 7 )n nu : المعرفة بما يلي ∋

( )0

1

1ln(3 ) ;n n n n

uu u u f u n+

=⎧⎨ = + − = ∈⎩

0n من أجل - أ 0: ؛ لدينا = 1u 00: إذن . = 2u< ≤. nليكن 0: نفترض أن . ∋ 2nu< ≤.

10: نبين أن 2nu +< ≤.

[ على المجال تزايدية قطعاfلدينا ]0, : ؛ إذن 2

( ) ( ) 1 10 2 (0) 2 0 ln(2) 2 0 2n n n nu f f u f u u+ +< ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < < ≤ ⇒ < ≤

:: وبالتالي فإن 0 2nn u∀ ∈ < ≤

n ليكن- ب ): لدينا . ∋ )1 ln 3n n nu u u+ − = : وبما أن . −

0 2 2 0 1 3 3n n nu u u< ≤ ⇒ − ≤ − < ⇒ ≤ − ): ؛ فإن> )1 ln 3 0n n nu u u+ − = − ≥

) ومنه فإن المتتالية العددية )n nu . تزايدية ∋) لدينا- جـ )n nu )إذن . 2 تزايدية ومكبورة بالعدد ∋ )n nu . متتالية متقاربة ∋

[ : ولدينا ]: 0, 2nn u∀ ∈ ∈.

fدالة متصلة على المجال] ]0, 2.

] ]( ) ] ] ] ]0,2 ln(2), 2 0,2f = ⊂ :] ]0, .f مستقر بالدالة2

( )n nu l متتالية متقاربة نهايتها ∋

): إذن ) ( )( ) ln 3 ln 3 0 3 1 2f l l l l l l l l= ⇔ = + − ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =.

lim: وبالتالي فإن 2nnu

→+∞=.

إنشاء اهللابالتوفيق

الموضوع

2/1الثانیة من سلك :مستوى ال

البكالوریا العلوم التجریبیة:الشعبة

مادة :الریاضیات

ساعات 3:مدة اإلنجاز

ثانویة دمنات التأهیلیة أزیالل-دمنات

امتحان البكالوریااالمتحان التجریبي الموحد

2007دورة أبریل

لمسالتنقیط

0.250.5

0.250.51

0.250.511

0.250.5

0.50.5

0.50.5

0.750.25

0.5

0.75

غیر المبرمجةیسمح باستعمال اآللة الحاسبة) ن2.5(:التمرین األول

)1,1,1(النقطة)k,j,i,O(متعامد ممنظم مباشر المنسوب إلى معلم نعتبر في الفضاء A02ي معادلتهذالP)( والمستوى zyx.

.P)( و العمودي على المستوىAالمار من النقطةD)( للمستقیم ا بارا متری حدد تمثیال-1.P)( و المستوىD)( نقطة تقاطع المستقیمB حدد إحداثیات-2.r=7و شعاعها A التي مركزها S)( نعتبر الفلكة -3

.S)( أعط معادلة دیكارتیة للفلكة-أ. محددا مركزها و شعاعهاC)( وفق دائرة S)(یقطع الفلكة P)( بین أن المستوى - ب

.S)( و المماسین للفلكة P)( حدد معادلتي المستویین الموازیین للمستوى -4) ن3.5(:التمرین الثاني

)(2)32(4)51(16)1(: حیث zP)( الحدودیة Cعتبر في ن 23 izizizzP 20 تحقق أن - أ-1 zر للحدودیة ذ جP.

)())((: بحیثbوa حدد العددین العقددیین - ب 20 bazzzzzP

)(0: المعادلةC حل في - ج zP:)(E.)(0حیث E)( الحلین اآلخرین للمعادلة2z و 1z لیكن -2 2 ze.

00ابعة من متتالیة هندسیة حدها األول هي حدود متتE)( بین أن حلول المعادلة zu ثم والحد q حدد أساسها

16u.)22( و A)2( مثل في المستوى العقدي النقط - أ-3 iB 4( و( iC.

),1( و A),1( مرجح النقط المتزنة G حدد لحق النقطة - ب B 1( و,(C.) ن3.5(:التمرین الثالث

dxex نضعINn* من أجل xn 1

0nI.

.1I باستعمال مكاملة باألجزاء احسب -1

*1 من n بین أن لكل -أ-2 INe

nII nn1

1 .

.3I و 2I احسب - ب

dxexx احسب التكامل - ج x )42(1

0

23.

)(* بین أن المتتالیة - أ-3INnnI

.0عدد تناقصیة و مصغورة بال

)(* استنتج أن - بINnnI

. متقاربة

IN* من n بین أن لكل - ج1

1n

nI ثم استنتجnn

lim.

) ن10.5(:مسألة

:لجزء األول ا)ln(1)(:المعرفة بما یلي العددیةالدالةg لتكن xxxg .

lim)(احسب -10

xgx

lim)( و xgx

.

ayoub


2/2الثانیة بكالوریا:المستوى

علوم تجریبیة:الشعبةاالمتحان التجریبي الموحد****************

ساعات3:مدة اإلنجاز

دمنات التأهیلیةثانویة2007دورة أبریل

0.50.25

0.5

0.50.5

0.25

1.5

10.25

1

1

1

0.50.50.5

')( احسب-2 xgلكل xمن *IR ثم أعط جدول تغیرات g.)(*IR0من xاستنتج أن لكل -3 xg.

:الجزء الثانيالمعرفة على x للمتغیر الحقیقي fنعتبر الدالة العددیة ,0بما یلي :

0)0(0,)(

)ln(1

fxexf

xx

x

)(و لیكن fcمنحناها في معلم متعامد ممنظم .

lim)( و احسب0 على الیمین في النقطة f ادرس اتصال الدالة -1 xfx

.

: تحقق أن-أ-2)ln(

1)( xxe

xxf

لكلx من المجال ,0.

. ثم أول النتیجة هندسیا0 على الیمین في النقطة f ادرس اشتقاق الدالة - ب

ة احسب النهای- جxxf

x

)(lim

.

1 بین أن - د)ln(

)(lim

x

xxfx

1یمكنك استعمال النتیجة (1

lim0

te t

t(

استنتج أن

xxfx

)(limلمنحنى الدالة ي ثم حدد الفرع الالنهائ f.

')(احسب -3 xf لكل x من المجال ,0 ثم ادرس إشارتها و أعط جدول تغیرات الدالة f..f)3( و f)2( و f)1( احسب -أ-4

)( أنشئ المنحنى - ب fc.

3,433نعطي (

4

و نقبل أن للمنحنى )( fc 1,1( نقطة انعطاف في النقط(A.(

األفاصیل و محورg مساحة حیز المستوى المحصور بین منحنى الدالة A)( احسب -أ-5.1 حیث x و 1xوالمستقیمین اللذین معادلتاهما على التوالي

lim)( احسب - ب

.

:الجزء الثالث)( المتتالیة العددیة نعتبر nuالمعرفة بما یلي :

INnuguu

nn ),(1

1

0

eunبین أن -1 1INn.)(بین أن -2 nu تزایدیة .)(استنتج أن -3 nu متقاربة واحسب nn

u

lim.

واهللا ولي التوفیق

یراعى في التصحیح سالمة التعبیر و حسن التقدیم:مالحظةحظ سعید للجمیع

ayoub

envoyé : le Prof. Said Dahani

سعید الدحاني:ذ إعداد األستا/ أزیالل- دمنات/ ثانویة دمنات التأهیلیة/2007/تصحیح االمتحان التجریبي الموحد

:التمرین األول

)(:D)( للمستقیم يتمثیل بارا متر-1 IRt

tzty

tx

11

1

: نحل النظمةBنقطة الاحداثیاث لتحدید -2

021

11

zyxtz

tytx

)1()1()1(02ومنه ttt.B)0,0,2(هي التقاطع وبالتالي احداثیاث نقطة1tأي

: هي S)( معادلة دیكارتیة للفلكةأ-32222 )7()1()1()1( zyx

04222222 أي zyxzyx

73 لدینا ب-333

111

2111))(,(

PAd

وفق دائرةS)( یقطع الفلكة P)( المستوى ومنهتقاطع أي P)(لمستوىعلى اAنقطة هو المسقط العمودي لل:مركزها.Bأي النقطة P)(والمستوى D)(المستقیم

'237:شعاعها 22 drr. تكتب على P)(موازي للمستوى Q)(لمستوى معادلة دیكارتیة-4

0شكل dzyx.),)((2 یكافئ S)(مماس للفلكة Q)(ى المستو QAd

7:ولدینا 3

1112))(,(

dQAd

73

1

d

211 d

211 d 211أو d211d 211 أو d

للفلكةوالمماسین P)(منه معادلتي المستویین الموازیین للمستوىو

)(S 0211:هما zyx

0211 و zyx:التمرین الثاني

)(2)32(4)51(16)1(:لدینا 23 izizizzP )2(22)32(42)51(162)1( لدینا-أ-1 23 iiiP

0)2251321(8

)1(16)51(8)32(88

iii

iii

20ومنه zر للحدودیة ذ جP.

)()2)((: ب لدینا -1 2 bazzzzP bzabzaz 2)2()2( 23

)1(8)31(2)32(22

)1(162)51(42

)32(22

ibiia

ibiab

ia

)()2)(2)31(8)1((:وبالتالي 2 izizzzP :ج لدینا -1

0))1(8)31(2)(2(0)( 2 izizzzP0)1(8)31(22 iziz 02 أو z

)(0)1(8)31(22 iziz 2 أو z:)(لنحل المعادلة

222:لدینا )1(2)1(8)31('' iiiiacb iiiz:ومنه 22)1()31(1

iiiz و 4)1()31(2 وبالتالي iiS 4,22,2

izz لدینا -2 820 و iiz 8)22( 221 2أي

120 zzz .ة هندسیة حدود متتابعة من متتالی2z و 1zو 0z إذن

00ن وبما أ zu 11 فإن zu وبالتالي izzq 1

0

1

98981616 و016 22)2(2)1(2 iiiquu

),1( و A),1( مرجح النقط المتزنة G النقطة -3 B 1( و,(C

0 یعني GCGBGA)()()(0 یكافئ GCGBGA zzzzzz

CBAG یكافئ zzzz iz یكافئ G 2

:التمرین الثالث

dxexI لدینا -1 x1

01

: نضع

xx exv

xu

exv

xxu

)(

1)('

)('

)(

ومنه 1

0

101 dxexeI xx

أي 101

01xx exeI

بالتالي e

I2

11

*1لكل-2 INn لدینا dxexI xnn

1

0

:نضع

x

n

x

n

exv

nxxu

exv

xxu

)(

)('

)('

)( 1

ومنه 1

0

110 dxexnexI xnxn

n

أي e

nII nn1

1

حسب العالقة األخیرة لدینا ب -2

eeeII

1)

21(2

12 12

أي e

I5

22

و eee

II 1)52(313 23

أي e

I 1663

dxexexdxexx: لدیناج-2 xxx )42()42( 21

0

31

0

23

1

0

21

0

3 42 dxexdxex xx

)3

1(4

)52(4)166(2

42 23

e

ee

II

:أ لدینا -3

1

01 )1( dxexxII xnnn

xnما أن الدالة و ب exxx لى المجال سالبة ع)1( 1,0

)1(0فإن 1

0 dxexx xn المتتالیة و منه*)( INnnI تناقصیة .

xn الدالة INn*ولدینا لكل exx موجبة على المجال 1,0

0ن ذ إ1

0 dxex xn 0أيnI

)(* ومنه المتتالیة INnnI 0 بالعدد مصغورة.

)(*المتتالیة بما أن ب-3 INnnI 0 تناقصیة و مصغورة بالعدد.فإنها متقاربة

على المجال ج لدینا-3 1,01xenxn ومنه xex لكل *INn

و بالتالي 1

0

1

0dxxdxex nxn

أي 1

1

n

I n

بما أن 1

10

nI n0 و

11

lim nx

0lim فإن nn

I.

:المسألة :الجزء األول

لدینا-1

)ln(1lim)(lim00

xxxgwx

ln(1lim)(lim( و xxxgxx

))ln(11(limxx

xx

x

ینا لد*IRمنxلكل-2x

xx

xg 111)('

')( ومنه إشارة xg 1هي إشارةx [0,]على المجال

:gجدول تغیرات الدالة

10x-)(' xg

2)(xg

)(*IR2 من x أن لكل أيg قیمة دنیا للدالة 2 لدینا -3 xg

)(*IR0 من xلكل و بالتالي xg.:الجزء الثاني

0lim)(lim لدینا -1)ln(

1

00

xx

x

xxexf

lim)()0(ومنه 0

fxfx

.0 على الیمین في النقطة متصلةfن الدالة ذإ

لدینا

)ln(1

lim)(limx

xx

xxexf

من المجال x لكل أ -2 ,0 لدینا :

)ln(1

)ln(1

)ln()ln(1

)ln()ln()1

1()ln(1

)(

xx

xxxx

xxx

xx

x

x

xe

eeeeexf

وبالتالي )ln(

1)( xxe

xxf

:ب لدینا -2

0lim)(

lim0

)0()(lim

)ln(1

000

xx

xxxe

xxf

xfxf

0على الیمین في النقطة قابلة لالشتقاقf الدالة ه ومنo یقبل نصف مماس أفقي في النقطة fمنحنى الدالة :تأویل هندسي

.أصل المعلم

1lim:ج لدینا -2)(

lim)ln(

xx

xxe

xxf

: لدینا د-2)ln(

lim)ln(

)(lim

)ln(

xxxe

xxxf x

x

xx

xx

e

xex

xx

x

xx

x

)ln(1lim

)ln()1(lim

)ln(

)ln(

: نضع xx

t)ln(

0: لدینا tx

11lim ومنه )ln(

)(lim0

t

ex

xxf t

tx

:استنتاج

)ln()ln(

)(lim)(lim xx

xxfxxfxx

ي المعادلة ذ في اتجاه المستقیم ا شلجمیا یقبل فرعf منحنى الدالة xy

من المجال x لكل -3 ,0 لدینا:)'()(')ln(

1x

xx

exf

)()(

)()ln(1

)()1)ln(1(

)())(ln1

)ln()1

((

))ln(1

(

2

2

22

''

)ln(1'

xfxxg

xfx

xx

xfx

xxx

xfxx

xx

xx

exx

x xx

x

)(0وبما أن xg لكلx من ,0) 1 من ج 3حسب س(')(0فإن xf لكلx من ,0.

.fجدول تغیرات الدالة

0x+)(' xf

0)(xf

f)3( و f)2( و f)1(أ حساب -4

34

)3ln()3ln(34

23

)2ln()2ln(23

0)1ln(21

3)3(

222)2(

1)1(

3

4

23

eef

eef

eef

.fمنحنى الدالة ب -4

Logicielالرسم تم باستعمال Maple 9.5

متصلة و موجبة على المجالgبما أن الدالةأ -5 ,1 1 حیث

uadxxgA:فإن)1أنظرالجزء( .)()(1

ua

uaxxxx

uaxxxxx

uaxxxxx

uadxxdxx

uadxxx

).25)ln(2

21(

.)]ln(221

[

.])ln(21

[

).])ln([]21

([

).)ln()1((

.))ln(1(

2

12

12

112

1 1

1

uaA ب -5 ).25)ln(2

21(lim)(lim 2

uv).2

5)ln(221(lim

22

:الجزء الثالثeunلترجع أن لنبین با-1 1INn

10لدینا 0nمن أجل u أي eu 01eunنفترض أن IN من n لیكن 1ین أن ونبeun 11]1,]جال دالة تزایدیة على المgلدینا )1 من الجزء2أنظر س(

)1()()( ومنه egugg n ا یعني ذ وهeun 12eun وبالتالي 11

eunوحسب مبدأ الترجع 1INn.)(لنبین أن المتتالیة -2 nuتزایدیة

nnnn: لدینا IN من n لكن uuguu )(1

)ln(1)ln(1

n

nnn

uuuu

eunا أن وبم فإن )ln()ln( eun 1 أي)ln( nuln(1(0 و بالتالي nu

)( ومنه المتتالیة nu تزایدیة قطعا .)( بما أن المتتالیة -3 nu تزایدیة و مكبورة بالعدد eفهي متقاربة .

[0,] متصلة على المجال وgلدینا 1,]و تزایدیة على[ ]1,[ متصلة على المجال gمنه و e 1,[[0,] ألن[ e

]1,[ و تزایدیة على المجال e 1,[]1,] ألن[ e])1,([]2,[]1,[:وبالتالي eeeg .)(وبما أن nu متقاربة فإن نهایتها l تحقق المعادلة llg )(

lllllgولدینا )ln(1)(

ell

l

1)ln(

0)ln(1

eunnومنه

lim

األكاديمية الجهوية للتربية والتكوين بجهة الدار البيضاء الكبرى

الثانوية التأهيلية الحسين بن علي

2007االمتحان التجريبي الموحد أبريل لمستوى السنة الثانية من سلك الباكلوريا

في مــــادة الرياضيات

علوم تجريبية: الشعـــبة ساعات3: مدة اإلنجـاز 7: المعامـــل

3 : الحدوديةCفي نعتبر :1مرينت 2( ) (5 7 ) (26 6) 24(1 )P z z i z i z i= − + + − + −

4) احسب -أ ) 1 )P i ثم احسب ( )21 3i+. 1ن

) حيثC منb وa حدد -ب ) 2; ( ) ( 4 )( )z C P z z i z az b∀ ∈ = − + ): استنتج حلول المعادلة ثم ,+ ) 0P z ن1.5 .=B, : نعتبر النقط المنسوب إلى معلم منعامد ممنظم مباشر في المستوى العقدي) 2 A وC 2: ألحاقها على التوالي, 4B AZ Z i= 3 و = 3CZ i= +.

B :على الشكل المثلثي العدد اكتب C

A C

z zz z

−−

ن1 .

)الفضاء في :2تمرين )ξ معلم متعامد ممنظم مباشر إلى المنسوب( ); , ,O i j k ,1,0): نعتبر النقط, 1)A − , ( 1,1,0)B ,0,1) و − 1)C −

ABاحسب _ أ) 1 ACΛ ثم اعط معادلة ديكارتية للمستوى ( )ABC. 1ن

) للمستقيم ا بارمتري اعط تمثيال- ب ) و العمودي على المستوى D(2,1,3) المار من النقطة ∆( )ABC, 0.5ن

)نقطة تقاطع H حدد - ج )و∆( )ABC. 0.5ن

) اآتب معادلة دیكارتية للفلكة -أ) 2 )Sالتي أحد أقطارها :[ ]DH. 0.75ن

) حدد تقاطع الفلكة - ب )S والمستوى ( )ABC. 0.5ن

) اآتب معادلة دیكارتية للمستوى الموازي ل - ج )ABC قطعا والمماس للفلكة ( )S. 0.75ن

: احسب التكامل) 1 :3تمرين3

1

1 lne

e

I x dxx

= ن1 .∫

: تكاملباستعمال المكاملة باألجزاء احسب ال) 2 1

0

tanJ x Arc xdx= ن1 .∫

: احسب التكامل) 3 ln8

ln3 4( 1) 2 1

t

t t

eK dte e

=+ + +

1tx: مستعمال التغيير التالي∫ e= ن1 .+

: بما یليIRمعرفة على عددیة دالة f :مسألة2

( ) ln( ) 2 ; 0( ) (2 3) 4 1 ; 0x x

f x x x x xf x x e e x

= − >

= − + − ≤) و )fCمنحناها في معلم متعامد ممنظم( ); ,O i j ,

0 متصلة في f بين أن الدالة - أ)1 0x lim احسب - ب )ن0.5 (= ( )x

f x→+∞

limو , ( )x

f x→−∞

)ن0.5 (

): بما یلي IR المعرفة على hنعتبر الدالة) 2 ) ( 1) 1xh x x e= − + )أن وبين hادرس تغيرات الدالة ) ( ) 0x IR h x∀ ∈ ن1 ≤

ق من أن تحق - أ)3 2

2( ) 3( 1) 4( 1)( 0) 2x x

xf x e ex ex x x

− −∀ < = − ن0.25 .+

ن1 . عن اليمين 0 في fثم ادرس قابلية اشتقاق , على اليسار0 قابلة لإلشتقاق في fاستنتج أن - ب )بين أن -أ ) 4 )'( ) ln( ) 1 ; 0f x x x= − ) و < )'( ) 4 ( ) ; 0xf x h x e x= ن1 ≥

نf. 0.5اعط جدول تغيرات الدالة - ب) ادرس الفرع الالنهائي للمنحنى -أ )5 )fC ن0.25 .∞+ بجوار

) حدد تقاطع -ب )fC 0[ مع محور األفاصيل في المجال, )ثم انشيء ∞+] )fC. 1.5ن ] على المجال fقصور الدالةgليكن )6 , [I e= +∞

ن0.5 . یتم تحدیدهJ نحو مجالI تقابل من المجال gبين أن - أ ن0.5 . في نفس المعلمgانشيء منحنى الدالة - ب

)نعتبر المتتالية العددیة ) 7 )nu0: حيث 0u ) و = ) 11 ( )n nn IN u g u−+∀ ∈ =

)3 بين أن -أ ) nn IN e u e∀ ∈ − ≤ ) بين أن المتتالية -ب )ن0.75 ( ≥ )nuن0.5 . تزایدیة قطعا

) استنتج أن المتتالية -ج )nuبة وحدد نهایتها متقار. fr.madariss.www 0.75ن

Sajid mohammed [email protected] www.madariss.fr

)علوم تجریبية ( 2007امتحان تجریبي نيابة عين السبع الحي المحمدي ثانية الحسين بن علي

1تمرين

1- - أ

( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 2(4 ) 4 5 7 4 26 6 4 24 164 80 112 104 24 24 24

0

P i i i i i i ii i i i

= − + + − + −

= − + + − − + −=

و بالتاليى يوجد زوج zP)( جذر للحدودية i4إذن

( ) 2;a b ): حيث ∋ )( )2( ) 4p z z i z az b= − + +

( )21 3 1 6 98 6

i ii

+ = + −

= − +

-ب

( )( )2( ) 4p z z i z az b= − + ) تكافئ + ) ( )3 2( ) 4 4 4p z z a i z b ai z ib= + − + − : إذن −

4 5 74 26 6

4 24 24

a i ib ai iib i

− = − − − = −− = −

أي 5 3

6 6a ib i= − −

= +

: خالصة

♦( ) ( ) ( )( )2( ) 4 5 3 6 6p z z i z i z i= − + − − + +

♦( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

( ) 0 4 0 5 3 6 6 0

4 5 3 6 6 0

P z z i ou z i z i

z i ou z i z i E

= ⇔ − = + − − + + =

⇔ = + − − + + =

) المعادلة لنحل في )E .لدينا :

( ) ( )

( )

2

2

5 3 4 6 616 30 24 24

8 6

1 3

i ii ii

i

∆ = − − − +

= + − −= − +

= +

) و منه فإن حلول المعادلة ∆ أحد الجذور المربعة للعدد +i31 إذن )E هي :

5 3 1 3 5 3 1 3 2 2

3 3 2

i i i iz ou z

i ou z

+ + + + − −= =

= + = إذن 4 ;3 3 ;2S i i= +

2-


( )

( )( )

4 23 3 2

4 21 34 2 1 3

104 12 2 6

101

2;4

A B

C B

z z iz z i

ii

i i

i i

iπ

− −=

− + −

−=

+− −

=

+ − +=

= +

=

1 :2تمرين

1- -أ

): لدينا )2;1;1AB ) و − )1;1;0AC أذن −1 1 0 1 1 2

; ;0 1 1 2 1 1

AB AC − −

∧ − − ) أي )1;1;1AB AC∧

)معادلة ديكارتية للمستوى )ABC 0: هي على الشكلx y z k+ + + ) و بما أن = )A ABC∈ 1 فإن 0 1 0k+ − + k=0 أي =

): و منه فإن ) : 0ABC x y z+ + = -ب

)المستقيم ) موجه بالمتجهة ∆( )1;1;1AB AC∧ (2,1,3) و يمر منD إذن ( ) ( )2

: 13

x ty t tz t

= +∆ = + ∈ = +

-ج) حيث tلنحدد قيمة البارامتر ) ( ) ( )2 1 3 0t t t+ + + + + ) ومنه فإن t=−2 أي = )0; 1;1H −

2- -أ

)لتكن )zyxM .إذن . نقطة من الفلكة ;; 0MDMH ) أي = )( ) ( )( ) ( )( )2 1 1 3 1 0x x y y z z− − + − − − + − − =

): ومنه فإن ) 2 2 2: 2 4 2 0S x y z x z+ + − − + = -ب

) مركز و شعاع الفلكة R و Ωليكن )S لدينا . على التوالي :( )( ),2DHd ABC RΩ = ) إذن الفلكة = )S مماسة للمستوى

( )ABC في النقطة H. -ج

) و الموازي ل Dهذا المستوى هو المستوى المار من )ABC 0 إذن معادلته هي آذلك تكتب على شكلx y z k+ + + و بما أن =

2 تنتمي إليه فإن D(2,1,3)النقطة 1 3 0k+ + + 6 إذن معادلة المستوى هي k=−6 أي = 0x y z+ + − = :3تمرين

1-


( ) ( )

( ) ( )

3

1

1 3 31 1

14 41 1

1 ln

1 1ln ln

1 1ln ln4 4

1 14 412

e

e

e

e

e

e

I x dxx

x dx x dxx x

x x

=

= − +

= − +

= +

=

∫

∫ ∫

2-

[ ]

2

2

211220 0

1

20

1

0

1( ) tan '( )1

( ) '( ) 2

tan1

114 1

tan4

14 4

12

u x Arc x u xx

v x x v x xxJ x Arc x dxx

dxx

x Arc x

π

π

π π

π

= =+

= =

= − + = − − +

= − −

= − −

= −

∫

∫

3-


( )

( )

2

ln8

ln3

3

22

3

2

3

2

3

2

1 1 2ln8 3ln 3 2

4( 1) 2 12

4 2

2 11 22 2 11 ln 2 121 ln 7 ln 521 7ln2 5

t t t

t

t t

x e x e xdx e dtt xt x

eK dte exdxx xdxxdxx

x

= + ⇒ = + ⇒ == ⇒ == ⇒ =

=+ + +

=+

=+

=+

= +

= −

=

∫

∫

∫

∫

: مسألة1- -أ

(0) 0f = : بما أن

0 0lim ( ) lim ln( ) 2 0 (0)x x

f x x x x f+ +→ →

= − = ألن =0

lim ln( ) 0x

x x+→

متصلة في الصفرf نهایة مرجعية ، فإن =

-بlim ( ) lim ln( ) 2

lim (ln( ) 2)x x

x

f x x x x

x x→+∞ →+∞

→+∞

= −

= −

= +∞

( ) ( )

2

2 2

lim ( ) lim (2 3) 4 1

lim 2 3 4 1

1

x x

x x

x x x

x

f x x e e

x e e e→−∞ →−∞

→−∞

= − + −

= − + −

= −

2-

): لدینا من x لكل )'( ) 1x x xh x e x e xe= + − )'إشارة . = )h x هي إشارةx


)إذن ) ( ) 0x IR h x∀ ∈ ≥

3- -أ

( )

( ) ( )

2

2 2

2 2

22

( ) (2 3) 4 10 :

2 3 3 4 1

2 3 1 4 1

3( 1) 4( 1) 2

x x

x x x

x x x

x xx

f x x e exx x

xe e ex

xe e ex

e eex x

− + −∀ =

− + + −=

− − + −=

− −= − +

≺

-ب :بما أن

22

0 0

22

0

( ) 3( 1) 4( 1)lim lim 2

1 1lim 2 6 42

2 6 40

x xx

x x

x xx

x

f x e eex x x

e eex x

− −

−

→ →

→

− −= − +

− −= − +

= − +=

')0(0 قابلة لالشتقاق على یسار الصفر و fفإن =gf : لدینا

0 0

0

( ) ln( ) 2lim lim

lim ln( ) 2x x

x

f x x x xx x

x

+ +

+

→ →

→

−=

= −

= −∞

.لصفر و منحناها یقبل نصف مما موازي لمحور األراتيب على یمين الصفر موجه نحو األراتيب السالبة غير قابلة لالشتقاق على یمين اfإذن 4- - أ


( )0 : '( ) ln( ) 1 2 ln( ) 1x f x x

x∀ = + −

= −

♦'( )f x تنعدم في x e= ♦'( ) 0f x x e⇒ ♦'( ) 0 0f x x e⇒≺ ≺ ≺

( )( )( )( )

2 2

2

0 : '( ) 2 2 (2 3) 4

4 1 4

1 1 4

( ) 4

x x x

x x

x x

x

x f x e e x e

e x e

e x e

h x e

∀ ≤ = + − +

= − +

= − + ×

= ×

')(إشارة xf على المجال ] ) هي إشارة ∞−0;[ )h x -ب

5- -أ

)بما ان )lim lim ln( ) 2x x

f x xx→+∞ →+∞

= − = +∞ یقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور األرتيب بجوار f فإن منحنى الدالة ∞+

-ب

( )0 : ( ) 0 ln( ) 2x f x x∀ = ⇒ 2x أي = e=

6-


] متصلة و تزايدية قطعا على المجال gبما أن , [I e= ) نحو I فإنها تقابل من ∞+ ) [ [( );J g I g e= = ] أي ∞+ [;J e= − +∞ -ب

7- -أ

1g و gالحظ أن ) و هذا یعني أن 3e و المنصف األول یلتقيان في النقطة التي أفصولها − ) ( )3 1 3 3g e g e e−= =

3لدینا 0e u e− ≤ 0n حيث لكل من 0n نفترض أنه توجد رتبة ≥ n≤ : 3

ne u e− ≤ 3لتبث أن . ≥1ne u e+− ≤ ≤

3بما أن ne u e− ≤ 1g و ≥ ] تزایدیة قطعا على − [;e− ) فإن ∞+ ) ( ) ( )1 1 1 3

ng e g u g e− − −− ≤ 3 أي ≥1ne e u e+− ≤ ≤ ≤

)3: إذن ) nn IN e u e∀ ∈ − ≤ ≤ -ب

e,3الحظ أنه على المجال e − 1 منحنى الدالةg 3: فوق المنصف األول أي − 1, : ( ) 0x e e g x x− ∀ ∈ − − ≥

1:إذن 1: ( ) 0n n n nn u u g u u−+∀ ∈ − = − )أي ≤ )nu تزایدیة .

-ج)بما أن )nu 3 تزایدیة و مكبورة بالعددe فإن ( )nu 1 متقاربة و نهایتها هي حل المعادلة( )l g l−=

1

3

( ) ( ) ln( ) 2 1 ln( ) 3

l g l g l lll

l e

−= ⇒ =⇒ − =⇒ =

⇒ =

اإلمتحان التجريبي للسنة الثانية باآالوريا علوم تجريبية

ثانوية الفتح نيابة الخميسات

2006دورة أبريل عبد اهللا بن لختير: ذ

مادة الرياضيات ساعات3: مدة اإلنجاز

BENELKHATIR: Prof

[email protected] [email protected] 1

يسمح باستعمال اآللة الحاسبة غير القابلة للبرمجة ) و نصف نقط07 ( :مسألة

): المعرفة بما يلي x للمتغير الحقيقيfنعتبر الدالة العددية :الجزء األول -- ) 1 lnf x xx

= + .

)و ليكن )fC منحناها في معلم متعامد وممنظم ( ), ,O i j.

): ، ثم أحسب النهايتين fDحدد -)1 )0

limx

f x+→

)و )0

limx

f x−→

) ن 0,75 ( . و اعط تأويلهما الهندسي

)حدد النهايتين -)2 )limx

f x→+∞

) و )limx

f x→−∞

) الفرعين الالنهائيين ل، ثم أدرس )fCن 1 ( . ∞− و ∞+ بجوار(

): و أن fD قابلة لإلشتقاق علىfبين أن الدالة - أ-)3 )'2

1:fxx D f xx−

∀ ∈ ) ن 0,25 ( .=

) ن fD. ) 0,25أنشيء جدول تغيراتها على وf إستنتج رتابة الدالة-ب

)بين أن -ج )fCها يقطع محور األفاصيل في نقطة وحيدة أفصولα 32 ينتمي إلى المجال,2

⎤ ⎡− −⎥ ⎢⎦ ⎣ ) ن 0,5 ( .

) بين أن -)4 )"3

2:fxx D f x

x−

∀ ∈ )، ثم أدرس تقعر= )fC و حدد إحداثيتي نقطة إنعطافه Ω. ) 0,5 ن (

)أرسم المماس -)5 )T عند نقطة اإلنعطاف Ωو المنحنى ( )fC في المعلم ( ), ,O i j. ) 0,75 ن (

[ المعرفة على المجالFبين أن الدالة العددية -)6 ): ب ∞+,0] ) ( )1 lnF x x x x= − + fللدالة دالة أصلية +

[على المجال ) ن 0,25 ( .∞+,0]

) المنحنى و المحصور بين محور األفاصيلD للحيزإستنتج المساحة الهندسية -)7 )fCمستقيمين اللذين و ال

1xما معادلته xو = e=. ) 0,25 ن (

:الجزء الثاني -- : بما يلي الدالة العددية المعرفة علىg لتكن

( )( )

1*;

0 0

xg x x e x

g

⎧⎪ = ∈⎨⎪ =⎩

.

)بين أن - أ-)1 ) ( )* : f xx g x e∀ ∈ ) ثم إستنتج النهايتين ،= )0

limx

g x+→

) و )0

limx

g x−→

و اعط

) ن 0,75 ( .تأويلهما الهندسي

)حدد طبيعة الفرعين الالنهائيين ل -ب )gC ن 1 ( .∞− و ∞+ بجوار (

0 يسار على gأدرس قابلية إشتقاق الدالة - أ-)2 0x ) ن 0,25( . و اعط التأويل الهندسي للنتيجة المحصل عليها =

)بأحس -ب )'g xبداللة * على ( )'f xثم إستنتج تغيرات الدالة ، gإنطالقا من تغيرات الدالة f. ) 0,5 ن (

)أنشيء المنحنى -)3 )gC ن 0,5 ( .في معلم متعامد و ممنظم (





BENELKHATIR: Prof


)نقطتين و نصف ( : األولتمرينال )نعتبر المتتاليتين العدديتين ) 0n n

u≥

) و ) 0n nv

≥ : بحيث

0

31 ;n n

u e

u u n+

=⎧⎪⎨

= ∀ ∈⎪⎩) و )lnn nv u=لكل nمن .

)بين أن -)1 ) 0n nv

≥ ) ن 0,75( . أساسها و حدها األول متتالية هندسية و اعط

lim ، ثم إستنتج منn لكلn بداللة nv الحد العامعبر عن -)2 nnv

→+∞ ) ن 0,5( .

0 ، نضع * منnلكل -)3 1 1....n nS v v v −= + + 0 و + 1 1....n nP u u u −= × × ×.

lim ، ثم إستنتج * منn لكلn بداللة nSعبر عن - أ nnS

→+∞ ) ن 0,5( .

lim ، ثم إستنتج nS بداللةnPعبر عن - ب nnP

→+∞ ) ن 0,75 ( .

) نقط05: ( الثانيتمرينال .يحتوي صندوق على أربع آرات حمراء و آرتين سوداوين ال يمكن التمييز بينها باللمس

: لتالية نسحب عشوائيا بالتتابع و بدون إحالل آرتين من الصندوق ، أحسب إحتمال آل حدث من األحداث ا -)1

0A " 1و " لم تسحب أية آرة سوداءA " سحبت آرة واحدة سوداء بالضبط"

) ن 0,75 ( "الكرتين المسحوبتين سوداوين " 2Aو

. بالتتابع و بدون إحالل انيا لكرتينحبا ثبعد السحب األول بقيت في الصندوق أربع آرات ، نجري س -)2 : و نعتبر األحداث التالية

0B " لم تسحب أية آرة سوداء عند السحب الثاني"

1B " سحبت بالضبط آرة واحدة سوداء عند السحب الثاني "

"الكرتين المسحوبتين عند السحب الثاني سوداوين " 2Bو

): أحسب اإلحتماالت التالية -أ )0 0Ap B و( )

1 0Ap B و ( )2 0Ap B ثم إستنتج ، ( )0p B. ) 1 ن(

): أحسب بنفس الطريقة اإلحتمالين -ب )1p B و ( )2p B. ) 1 ن (

إذا علمت أنه عند السحب الثاني حصلنا على آرة سوداء بالضبط ، فما هو إحتمال الحصول على آرة واحدة -ج ) ن 0,5 ( سوداء بالضبط عند السحب األول ؟

:نعتبر الحدث -)3R " ثانيالسحب ال والسحب األولاء إجر الكرتين السوداوين تم بالضبطتسحبلكي"

): بين أن ) 13

p R ) ن 0,75( .=

الذيXنسحب هذه المرة عشوائيا و في آن واحد ثالث آرات من الصندوق ، و نعتبر المتغير العشوائي -)4 . بعدد الكرات الحمراء المكونة لها يربط آل سحبة ممكنة

) ، ثم أحسب األمل الرياضي Xحدد قانون إحتمال المتغير العشوائي )E X. ) 1 ن (





BENELKHATIR: Prof


)نقطة و نصف : ( ثالثالتمرين ال )في الفضاء )Εمنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ( ), , ,O i j kنعتبر النقطة ( )2,1,1Ωو المستوى ( )Ρ

2: الذي معادلته 3 10x y z+ − = .

)أآتب معادلة ديكارتية للفلكة -)1 )S التي مرآزها Ω3 و شعاعهاr ) ن 0,5( .=

)أحسب -)2 )( ),d Ω Ρ ثم إستنتج أن ، ( ) ( )S ∩ Ρدائرة ( )Cيتم تحديد مرآزها H و شعاعها R . )1 ن (

)ثالث نقط و نصف : ( رابع التمرينال ): الحدودية نعتبر في المجموعة ) ( ) ( )3 22 3 4 1 3 8P z z i z i z i= − + + + −.

)بين أن المعادلة -)1 ) 0P z ) ن 0,25( .ه ينبغي تحديد0z تقبل حال تخيليا صرفا =

): تحقق من أن -)2 ) ( )( )20: 2 3 4z P z z z z z∀ ∈ = − − +.

2 : حلي المعادلة 2z و 1zالعددين ثم أوجد في المجموعة 2 3 4 0z z− + =

) حيث )2Im 0z ) ن 0,5 . ( ≻

1 و 2z و 1z و0z: أآتب على الشكل المثلثي األعداد العقدية التالية -)3 0z z− 2 و 0z z−. )1,25(

) المستوى العقدي-)4 )Ρ ممنظم و منسوب إلى معلم متعامد( ), ,O u v .

)أنشيءالنقط )0A z و ( )1B z و ( )2C z ثم بين أن الرباعي ،OABC ن 1,5( . معين (

ة الفتحثانوي نيابة الخميسات

تصحيح اإلمتحان التجريبي 2006لدورة أبريل

02 ع ت 2 + 01 ع ت 2BENELKHATIR: Prof

1

:مسألة :الجزء األول

( ) 1 lnf x xx

= +

:لدينا -)10x 0 وfx D x∈ ⇔ ≠

0x⇔ ≠ *: إذن

fD =. :∞− و∞+ عندf نهايتي-

): لدينا )00

0

1limlim

lim lnx

x

x

x f xx

−

−

−

→

→

→

⎧ = −∞⎪ ⇒ = −∞⎨⎪ = −∞⎩

)و ) ( )0 0

1lim lim 1 lnx x

f x x xx+ +→ →

= +

: وبما أن 0

lim 1 ln 1x

x x+→+ و =

0

1limx x+→

= +∞

): فإن )0

limx

f x+→

= +∞.

)نستنتج أن )fC0ه يقبل مقاربا رأسيا معادلتx =

)أي )Oy.

1lim: لدينا -)2 0x x→±∞

=،

): إذن )lim lim lnx x

f x x→±∞ →±∞

= = +∞.

)و )2

ln1lim limx x

xf xx x x→±∞ →±∞

= +

2: و بما أن

ln1lim lim 0x x

xx x→±∞ →±∞

= =

): فإن )lim 0x

f xx→±∞

=

)أنو هذا يعني )fCفرعين∞− و∞+ يقبل بجوار

)شلجميين إتجاههما )Ox.

مجموع دالتين قابلتين لإلشتقاقfبما أن الدالة - أ-)3 .*على

: و لدينا * إذن فهي قابلة لإلشتقاق على

( ) ( )'

'* ' 1: lnx f x xx

⎛ ⎞∀ ∈ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

1 1

1x xxx

−= +

−=

): لدينا -ب ) ( )* ': 1x sg f x sg x⎡ ⎤∀ ∈ = −⎣ ⎦

] تزايدية قطعا على المجالfإذن الدالة [1,+∞

[و تناقصية قطعا على المجالين [ و 0,1[ [,0−∞. :و جدول تغيراتها يكون على الشكل التالي

−∞ 0 1 +∞ x

- 0 + - ( )'f x +∞ +∞

1

+∞

−∞

f

: نستنتج أن fمن خالل جدول تغيرات الدالة -ج( )* : 1x f x+∀ ∈ ≥

)إذن المعادلة ) ( ): 0E f x ال تقبل حال في المجال=

] [* 0,+ = +∞.

[ تناقصية قطعا على المجالfو الدالة [* ,0− = −∞

)و )*f − =.

)إذن المعادلة ) ( ): 0E f x منα تقبل حال وحيدا=

[المجال [, 0−∞.

): و بما أن ) 1 ln 42 0 : (4 )2

f e− +− =

2

272 ln3 278 0; 42 3 8

f e

⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≺ ≺ ≺

32:م الوسيطية لدينا فحسب مبرهنة القي2

α− −≺ ≺

)وبالتالي )fCيقطع ( )Oxفي نقطة وحيدة أفصولها α.

بلة لإلشتقاق علىا دالة جذرية فإنها قf'بما أن -)4 : مجموعة تعريفها و لدينا *

( ) ( ) ( )'* " ':x f x f x∀ ∈ =

( )( )

( )

' 2

22 2

4 3

1 21

2 2

x x xxx x

x x xx x

− − ×−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

− + −= =

) :إذن ) ( )* ": 2x sg f x sg x x⎡ ⎤∀ ∈ = −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦




2

)وجدول إشارة )"f x يكون على الشكل التالي :

−∞ 0 2 +∞ x

+ 0 -

-

( )"f x

)إذن )fCمقعر على المجالين ] [ و ∞−0,] [ و محذب على المجال ∞+,2] [0, و يقبل نقطة إنعطاف2

,12واحدة هي ln 22

⎛ ⎞Ω +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

)إنشاء المنحنى -)6 )fC:

: الثانيالجزء

): لدينا - أ-)1 )1

ln* : x xx g x e e∀ ∈ = ×

( )1 ln x f xxe e+

= = ): إذن ) ( )* : f xx g x e∀ ∈ =.

: ومنه فإن ( ) ( )

0 0lim limx x

f x g x+ +→ →

= +∞⇒ = +∞

)إذن )Oyمقارب أفقي ل ( )gC.

) و ) ( ) ( )0 0

lim lim 0 0x x

f x g x g+ +→ →

= −∞⇒ = =

0 متصلة على يسار gإذن الدالة 0x =.

)لدينا -ب ) ( )lim limx x

f x g x→±∞ →±∞

= +∞⇒ = +∞

): و بما أن ) 10lim lim 1x

x x

g xe e

x→+∞ →+∞= = =

)و )1

1lim lim 11x

x x

eg x x

x→+∞ →+∞

−− = =

)فإن )gCمقاربا مائال معادلته∞+ يقبل بجوار : 1y x= +.

): لدينا أيضا ) 10lim lim 1x

x x

g xe e

x→−∞ →−∞= − = − = −




3

)و )1

1lim lim 11x

x x

eg x x

x→−∞ →−∞

−+ = − = −.

)إذن )gCمقاربا مائال معادلته ∞− يقبل بجوار :

( )1y x= − +.

:لدينا - أ-)2( )

0

11 lim

0 0lim lim 0x xxx x

g xe e

x−→

− −→ →= − = − ، إذن=

g0 قابلة لإلشتقاق على يسار 0x ) و = )' 0 0gg =

)و هذا يعني أن )gC 0 يقبل نصف مماس على يسار

)يوازي )Ox.

):بما أن -ب ) ( )* : f xx g x e∀ ∈ f ، و الدالة=

، * قابلة لإلشتقاق علىg، فإن*قابلة لإلشتقاق على :و لدينا ( ) ( ) ( )* ' ': f xx g x f x e∀ ∈ =

: و بالتالي ( ) ( )* ' ':x sg g x sg f x⎡ ⎤ ⎡ ⎤∀ ∈ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

: يكون على الشكل التالي gو جدول تغيرات الدالة

−∞ 0 1 +∞ x - 0 + - ( )'g x +∞ +∞

e

+∞

0

g

)إنشاء المنحنى -)3 )gC:

:01تمرين :لدينا -)1

( ) ( )31 1: ln lnn n nn v u u+ +∀ ∈ = =

( )1 1ln3 3n nu v= =

1: إذن 1:3n nn v v+∀ ∈ =

)و بالتالي فإن )nv 1 متتالية هندسية إساسها3

q =

): األول و حدها )0 0ln ln 1v u e= = =.

0: لدينا -)21:3

nn

nn v v q ⎛ ⎞∀ ∈ = × = ⎜ ⎟⎝ ⎠

1lim: إذن lim 03

n

nn nv

→+∞ →+∞

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

10: ألن 13

≤ ≺.




4

* :لدينا - أ-)30

113: 113

n

nn S v

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠∀ ∈ = ×−

3: إذن 112 3

n

nS⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

.

1lim: و بما أن 03

n

n→+∞

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3lim: فإن 2nn

S→+∞

=.

)لدينا -ب )11

*

0 0

: ln lnnn

n k kk k

n S u u−−

= =

⎛ ⎞∀ ∈ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∏

): إذن )* : lnn nn S P∀ ∈ =

*: هذه يعني أن : nSnn P e∀ ∈ =.

: وبالتالي 3

lim2lim nn

S

nnP e e→+∞

→+∞= =.

:02تمرين سوداوين2 آرات حمراء و 4الصندوق يحتوي على -)1

ال يمكن التمييز بين( بما أننا في حالة تساوي اإلحتمال :، فإن ) الكرات

( ) ( )( )

20 4

0 26

card A Ap Acard A

= =Ω

): إذن )04 3 26 5 5

P A ×= =

×.

)و ) ( )( )

1 11 4 2

1 26

2card A A Ap Acard A

× ×= =

Ω

): إذن )12 4 1 8

6 5 15P A × ×

= =×

.

)و )22

2 26

2 1 16 5 15

Ap AA

×= = =

×.

)الحظ أن المثلوث )0 1 2, ,A A A تجزيء للفضاء Ω

): و أن ) ( ) ( )0 1 2 1p A p A p A+ + =.

:نحسب اإلحتماالت الشرطية -ب + - أ-)2( )

0 0Ap B و ( )1 0Ap B و ( )

2 0Ap B.

فإن الصندوق يحتوي على آرتين0Aإذا تحقق الحدث - :حمراوين و آرتين سوداوين ، إذن

( )0

22

0 24

2 112 6A

Ap BA

= = =

:لدينا في هذه الحالة أيضا

( )0

1 12 2

1 24

2 8 212 3A

A Ap BA

× ×= = =

)و )0

22

2 24

2 112 6A

Ap BA

= = =.

آرات 3 فإن الصندوق يحتوي على 1Aا تحقق الحدثإذ - :حمراء و آرة واحدة سوداء ، إذن

( )1

23

0 24

3 2 112 2A

Ap BA

×= = =

:و في هذه الحالة يكون لدينا

( )1

1 13 1

1 24

2 2 3 1 112 2A

A Ap BA

× × × ×= = =

)و )1 2 2

4

0 0Ap BA

= ال يمكن سحب آرتين ( =

)يحتوي على آرة واحدة سوداء سوداوين ألن الصندوق آرات 4 فإن الصندوق يحتوي على 2Aإذا تحقق الحدث -

:حمراء فقط ، إذن ( )

2 0 1Ap B ) و = ) ( )2 21 2 0A Ap B p B= =.

) اآلن نستنتج )0p Bو ( )1p Bو ( )2p B. :نطبق صيغة اإلحتماالت الكلية ، فنحصل على

( )02 1 8 1 1 15 6 15 2 15

p B = × + × + ×

): إذن )01 4 1 6 2

15 15 5p B + +

= = =.

)و )12 2 8 1 1 05 3 15 2 15

p B = × + × + ×

): إذن )14 4 815 15

p B += =.

)و )22 1 8 10 05 6 15 15

p B = × + × + ×

): إذن )21

15p B =.

:والحظ أنه في هذه الحالة لدينا ( ) ( ) ( )0 1 2 1p B p B p B+ + =.

): نحسب اإلحتمال الشرطي -ج )1 1Bp A.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

1

1

1 11 11

1 1

AB

p A p Bp A Bp A

p B p B×∩

= =

): إذن )1 1

8 1115 2

8 215

Bp A×

= =.

: لدينا -)3 0 2 1 1,R A B A B= → ، بمعنى أن→ . مكون من سبيلين Rالحدث




5

): إذن ) 2 1 8 1 15 6 15 2 3

p R = × + × =.

آرات في آن واحد فكل3ا من الصندوق إذا سحبن -)4 ، 6 عناصر من بين 3سحبة ممكنة عبارة عن تأليفة ل

): إذن ) 36 20card CΩ = =

هو المتغير العشوائي الذي يربط آل سحبة Xو إذا آان :ممكنة بعدد الكرات الحمراء المكونة لها ، فإن

( ) 1, 2,3X Ω : ، و لدينا =

( )1 24 2 1120 5

C Cp X ×= = =

)و )2 14 2 3220 5

C Cp X ×= = =

)و )34 13

20 5Cp X = = أنشىء جدوال تحدد فيه ( =

)Xقانون إحتمال المتغير العشوائي

) : إذن ) 1 3 11 2 3 25 5 5

E X = × + × + × =.

:03تمرين )لفلكةكارتية ل ديمعادلة -)1 )S التي مرآزها( )2,1,1Ω

3rو شعاعها : هي =( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1 3x y z− + − + − =

2: أي 2 2 4 2 2 3 0x y z x y z+ + − − − − =. :لدينا -)2

( )( )( )22 2

2 2 1 3 1 10,

1 2 3d P

+ × − × −Ω =

+ + −

): أي )( ) 9 9,14 14

d P−

Ω = =.

3: و بما أن 114): فإن ≻ )( ),d P rΩ ≺

)إذن ) ( )S P∩دائرة ( )Cشعاعها R يحقق : 2 2R r d= ): حيث − )( ),d d P= Ω

81: لدينا 45 59 314 14 14

R = − = =.

)مرآز الدائرة )Cهي النقطة Hنقطة تقاطع المستقيم

( )D المار من Ωو العمودي على المستوى ( )P.

): لدينا )2

: 1 2 /1 3

x tD y t t

z t

= +⎧⎪ = + ∈⎨⎪ = −⎩

) و ) ( ) ( )2 2 1 2 3 1 3 10 0t t t+ + + − − − =

14يكافيء 9 0t − 9 أي =14

t =.

)نعوض في تمثيل )Dفنجد إحداثيات النقطة H: 37 16 13, ,14 7 14

H ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

:04ينتمر zنضع -)1 iα= حيث α : ، إذن ∋

( ) ( ) ( )( )3 22 3P i i i iα α α= − + +

( )( )4 1 3 8i i iα+ : ، أي −

( ) ( ) ( )3 22 3 2 2 4 8P i iα α α α α α= − − + − +

): ومنه )( )3 2

2 00

2 4 8 0P i

α αα

α α α

⎧ − =⎪= ⇔ ⎨− − + =⎪⎩

): إذن ) 0 2P iα α= ⇔ =.

)لمعادلةو بالتالي فا ) 0P z تقبل حال تخيليا صرفا هو =

0 2z i=. : المعادلة من الدرجة الثانية نحل في المجموعة -)2

2 2 3 4 0z z− + =

): المميز المختصر هو )2' 23 4 1 i∆ = − − = − =

:ة هما إذن حلي المعادل

1 3z i= 2 و + 3z i= − ) ( )2Im 0z ≺(

:لدينا -)3

0 2,2

z π⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1و 3 12 2,

2 2 6z i π⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + =⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

1و 0 2 1 2,6

z z z z π⎡ ⎤− = = = −⎢ ⎥⎣ ⎦

2و 01 33 3 2 3 ²2 3

z z i i⎛ ⎞

− = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2: إذن 0 2 3,3

z z π⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦.

: لدينا -)4

( ) ( )1 0 2 0z z z aff AB aff OC− = − ⇔ =

OC: إذن AB=هذا يعني أن الرباعي OABC .متوازي أضالع




6

): و بما أن ) [ ], arg 2C A

B

z zOB ACz

π⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2و 0

1

3,3 6

C A

B

z z z zz z

π π− − ⎡ ⎤= = − −⎢ ⎥⎣ ⎦

): فإن ) [ ], 22

OB AC π π= −.

متعامدانOABCإذن قطرا متوازي األضالع .و بالتالي فهو معين

[email protected]

و ما نيل المطالب بالتمني

و لكن تأخذ الدنيا غالبا

[email protected]

ساعات3: مدة اإلنحاز 2006أبريل : األآاديمية الجهوية للتربية والتكوين اإلمتحان التجريبي الموحد الرياضيات: جهة الدارالبيضاء الكبرى المادة

7: الثانية من سلك البكالوريا المعامل : المستوى العلوم التحريبية : الثانوية التأهيلية الحسين بن علي الشعبة

يسمح باستعمال اآللة الحاسبة غير القابلة للبرمجة

)ثالث نقط : ( التمرين األول

;O) نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر i; j;k) النقط : A(1;1;0) , B( 1;0;0)− , C(0;0;1) , (2; 2;1)Ω −

AB :أ ــ حدد إحداثيات المتجهة )1 AC∧ x: ب ــ تحقق أن 2y z 1 0− − + . (ABC)ى هي معادلة ديكارتية للمستو= .(ABC) و العمودي على المستوى Ω المار من (D)يال بارامتريا للمستقيم ج ــ إعط تمث

.(ABC) و المماسة للمستوىΩ التي مرآزها (S)أ ــ حدد معادلة ديكارتية للفلكة )2 .(ABC) و المستوى (S) نقطة تماس الفلكةH ب ــ حدد إحداثيات

)ثالث نقط ونصف( : التمرين الثاني

n لتكن n(u ) 0u: المتتالية العددية المعرفة بمايلي∋ 0=

( )33

n 1 n1u 1 u8+ = +

n0: بين بالترجع أن )1 u 1≤ ≤ ; n∀ ∈

n(uأدرس رتابة )2 ): ظ أن حال. ( ثم استنتج أنها متقاربة ( )33

n n8u 2 u=(

3: نضع )3n nv u 1= − ; n∀ ∈

n(v أ ــ بين أن متتالية هندسية أساسها (12

.

nn و احسب n بداللة nu ثم nv ب ــ أآتب lim u→+∞

.

3: نضع )4 3 33n 0 1 2 n 1S u u u u −= + + + . n بداللة nS أحسب+

)أربع نقط : ( التمرين الثالث

2z: المعادلة نعتير في المجموعة (1 3i 3)z 8 0− + − = : (E) 3)2:أ ــ أحسب )1 i 3)+

.(E) المعادلة ب ــ حل في fr.arissmad.www . على الشكل المثلثي (E)ج ــ أآتب حلي المعادلة

B وA النقطتين (O;u;v)نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر )2Azلحقاهما على التوالي 2 2i 3= Bzو + 1 i 3= − +

B: أ ــ تحقق أن A

B

z z 3iz−

.OAB و استنتج طبيعة المثلث =

. مستطيال OBAC بحيث يكون الرباعي C لحق النقطة Czب ــ حدد العدد العقدي

)تسع نقط و نصف : ( مسـألـة x: بمايلي المعرفة على fنعتبر الدالة العددية 0⟨ ; 2x xf (x) ln(e e 1)= − +

x 0≥ ; f (x) x ln(x 1)= +

;O) في معلم متعامد ممنظم fالممثل للدالة ا لمنحنى (C) و ليكن i; j) حيث i 2cm=

0x متصلة في fتحقق أن )1 0=

x: تحقق أن أ ــ )2 0⟨ ; 2x x x

x2x x

f (x) ln(e e 1) e 1ex xe e

− + −= ⋅ ⋅

−

x 0⟩ ; f (x) ln(x 1)

x x+

=

0x قابلة لإلشتقاق في f ب ــ استنتج أن f وأن=0 (0) 1′ =.

: أحسب )3xlim f (x)→−∞

و xlim f (x)→+∞

و x

f (x)limx→+∞

.(C) ثم حدد الفروع الالنهائية للمنحنى

x: ين أن أ ــ ب )4 0⟨ ; x x

2x xe (2e 1)f (x)e e 1

−′ =− +

x 0⟩ ;

xln(x 1)x 1f (x)

2 x ln(x 1)

+ ++′ =

+

] تزايدية قطعا على آل من المجالين f ب ــ استنتج أن ]ln ] و −0;2 و تناقصية قطعا∞+;0][ على ]; ln 2−∞ −. ) −1 يقبل نقطة انعطاف أفصولها أصغر من (C)نقبل أن . ( (C)أنشئ المنحنى )5

: أ ــ أحسب التكامل )621

0

x dx1 x+∫

] حول محور األفاصيل دورة آاملة على المجال (C) ب ــ استنتج حجم المجسم المولد بدوران ]0;1. )استعمل المكاملة باألجزاء (

] على المجال f قصور الدالة hليكن )7 ]I ln 2;0= − . يجب تحديده J نحو مجالI تقابل منh أ ــ بين أن 1h ب ــ حدد (x)− لكل xمن J . . fr.arissmad.www



) -أ) 1 2; 1;0)AB − ) و − 1; 1;1)AC − إذن −1 1 1 0 1 2

; ;1 0 1 2 1 1

AB AC − − − −

∧ − − − − أي

( )1; 2; 1AB AC∧ − −

ABبما أن - ب AC∧ متجهة منظمية على المستوى ( )ABC ، فإن ( ) : 2 0ABC x y z e− − + و بما أن . =

( )C ABC∈ 1 فإن 0e− + 1e أي = 2 و منه فإن = 1 0x y z− − + ) معادلة دیكارتية للمستوى = )ABC.

AB بما أن -ج AC∧ المستوى منظمية على( )ABC فإن AB AC∧ متجهة موجهة للمستقيم ( )D إذن تمثيل

)بارامتري للمستقيم )D هو :( ) ( )2

: 2 21

x tD y t t

z t

= + = − − ∈ = −

) شعاع الفلكة -أ)2 )S هو :

( )( )( )( ) ( )2 22

,

2 2 2 1 1

1 2 1

2 66

R d ABC= Ω

− × − +=

+ − + −

=

): إذن ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 6: 2 2 16

S x y z

− + + + − =

) أي ) 2 2 2 25: 4 4 2 03

S x y z x y z+ + − + − + =

التمرين الثاني

)نضع ) 1 ) : 0 1nP n u≤ ≤

00 لدینا 1u≤ ) أي ≥ )0P عبارة صحيحة

)نفرض أن )P n عبارة صحيحة لكل عدد صحيح طبيعي أصغر من أو یساوي n :لدینا حسب الفرضية السابقة

( )( )

3

3

33

33

1

0 1 0 1

1 1 2

1 1 8

1 1 1 18 81 18

n n

n

n

n

n

u u

u

u

u

u +

≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

⇔ ≤ + ≤

⇔ ≤ + ≤

⇔ ≤ + ≤

⇔ ≤ ≤

10أي 1nu +≤ 0 ، من nإذن لكل . ≥ 1nu≤ ≤ : لدینا من nلكل ) 2


( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

33

1

33

3 33 3

2 23 3 3 3 3 3

2 23 3 3 3 3

1 18

1 8

8

1 2

8

1 2 1 2 1 2

8

1 1 2 1 2

8

n n n n

n n

n n

n n n n n n

n n n n n

u u u u

u u

u u

u u u u u u

u u u u u

+ − = + −

+ −=

+ −=

+ − + + + +=

− + + + +=

1nإشارة nu u+ 31 هي إشارة − nu− . 0و بما أن 1nu≤ 3 فإن ≥ 1nu 1 من n وبالتالي لكل ≥ 0n nu u+ − ≥

)أي )n nu

∈ . متتالية تزایدیة

): خالصة )n nu

∈ . متتالية تزایدیة و مكبورة فهي إذن متقاربة

: من n لكل -أ)3

( )

( )

( )

31 1

333

3

3

1

1 1 18

1 1 121 12 212

n n

n

n

n

n

v u

u

u

u

v

+ += −

= + −

= + −

= −

=

) إذن )n nv

∈1 متتالية هندسية أساسها

2.

: من n لكل - ب

012

112

12

n

n

n

n

v v = ×

= − ×

= −

;3من العالقة 1n nn N v u∀ ∈ = ) نستنتج أن − )3

3 11 12

n

n nu v = + = − +

.

31lim lim 1 12

n

nn nu

→+∞ →+∞

= − + = 1lim ألن 0

2

n

n→+∞

=


4 (

( ) ( ) ( ) ( )( )

3 33 30 1 2 1

0 1 2 1

0 1 2 1

0

.......

1 1 1 ...... 1

.....

112112

12 12

n

n

n

n

n

S u u u u

v v v v

n v v v v

n v

n

−

−

−

= + + + +

= + + + + + + + +

= + + + + +

− = +

−

= − −

التمرين الثالث

) -أ) 1 )23 3 9 6 3 3 6 6 3i i i+ = + − = +

- ب

( )21 3 3 32

1 6 3 27 32

6 6 3

i

i

i

∆ = + +

= + − +

= +

3إذن 3i+ هو أحد الجذور المربعة للعدد العقدي ∆ .( ) ( )

1

1 3 3 3 32 2 3

2

i iz i

+ + += = +

( ) ( )1

1 3 3 3 31 3

2

i iz i

+ − += = − +

1 -ج 4z = ، [ ]1arg( ) 23

z π π≡ 1 إذن 4,3

z π =

2 2z = ، [ ]22arg( ) 23

z π π≡ 1 إذن22,3

z π =

-أ) 2

( ) ( )

( )( )

1 3 2 2 3

1 3

3 31 3

3 3 1 3

43 3 3 3 3

43

B A

B

i iz zz i

ii

i i

i i

i

− + − +−=

− +

+=

−

+ +=

+ + −=

=


Bبما أن A

B

z zz) عدد تخيلي صرف − )*3 ] فأن ∋+ ]arg 2

2B A

B

z zz

π π −

≡

و نعلم أن

[ ]arg , 2B A

B

z z BO BAz

π∧ −

≡

B مثلث قائم الزاویة في الرأس OAB أي

متوازي األضالع أي OBACكفي أن یكون مستطيل یOBAC ، إذن آي یكون B مثلث قائم الزاویة في OAB -بOC BA= و بما أن ( )3; 3BA فإن ( )3; 3C 3 إذن 3Cz i= +

مسألة

(0)لدینا ) 1 0 ln(0 1) 0f = × + =.

و بما أن 2

0 0lim ( ) lim ln( 1)

ln(1 1 1)0

(0)

x x

x xf x e e

f

− −→ →= − +

= − +==

0 متصلة في fفإن الدالة الجواب في متناول الجميع -أ)2

- ب

•

( ) ( )

( )

'

0

2

20

0 lim

ln 1 1lim

1

gx

x x xx

x xx

f xf

xe e eee e x

−

−

→

→

=

− + −= × ×

−=

)( ألن ) ( ) ( )2'

20 0

ln 1 ln 10 lim lim 1

x x

g x xx h

e e hf

e e h− −→ →

− + += = =

−( و )

0

1lim 1x

x

ex−→

−=(

•

( ) ( )'

0

0

0 lim

ln(1 )lim

1

d x

x

f xf

xx

x

+

+

→

→

=

+=

=

)بما أن ) ( )' '0 0 1g df f= ) و 0 قابلة لإلشتقاق في f فإن الدالة = )' 0 1f =.

3(( )2lim ( ) lim ln 1 0x x

x xf x e e

→−∞ →−∞= − + = ، lim ( ) lim ln( 1)

x xf x x x

→+∞ →+∞= + = +∞


( )

( )

( ) ln( 1)lim lim

1ln( 1)lim1

0

x x

x

f x xx x

xxx x

→+∞ →+∞

→+∞

+=

++= ×

+

=

)ln( ألن 1) ln( )lim lim 01x h

x hx h→+∞ →+∞

+= =

+1lim( و ) lim 1

x x

x xx x→+∞ →+∞

+= =(

limبما أن : خالصة ( ) 0

xf x

→−∞0y فإن المستقيم = .∞− بجوار f مقارب أفقي لمنحنى الدالة =

) بما أن )lim 0x

f xx→+∞

. یقبل فرعا شلجميا في اتجاه محر األفاصيل f فإن منحنى الدالة =

-أ)40x لكل - : لدینا ≻

( )

( )

2

2

2

2

2

2'( )1

21

2 11

x x

x x

x x

x x

x x

x x

e ef xe e

e ee ee ee e

−=

− +

−=

− +−

=− +

2 و xeالحظ أن الصيغ 1x xe e− [ موجبة قطعا على + )' إذن إشارة ∞−0;] )f x على المجال ] هي إشارة ∞−0;]

2العدد 1xe −) 2 1xe ln تنعدم عند − 2x = −(

: لدینا 0xلكل -

ln( 1)1'( )

2 ln( 1)

xxxf x

x x

+ ++=

+0x ، 1 الحظ أن لكل 1x )ln أي + 1) 0x و بالتالي +

ln( 1) 01xxx

+ ++

)' أي ) 0f x لكل x من ] [0;+∞.

-ب


5 (

-أ) 6

] من المجال x لكل : لدینا 1;0[

( )( ) ( )2 1 1 1 111 1 1

x xx xx x x

+ − += = − +

+ + +

: إذن

( )21 1

0 0

12

0

111 1

ln( 1)21 ln(2)2

x dx x dxx x

x x x

= − ++ +

= − + +

= − +

∫ ∫


: الحجم المطلوب هو -ب

( )1 12

0 0( ) ln 1V f x dx x x dxπ π= = +∫ ∫

: نضع

'

2'

1( ) ln( 1) ( )1

( ) ( )2

u x x u xx

xv x v x x

= + =+

= =

:إذن

12 21

00

1ln( 1)2 2 1

1 1 1ln(2) ln(2)2 2 2

4

x xV x dxx

π

π

π

= + − + = − − +

=

∫

7(

] متصلة و تزایدیة قطعا على المجال h الدالة - أ ]ln 2;0I = نحو المجال I إذن فهي تقابل من −

( ) 3ln ;04

J h I = = : I نحو Jقبلدالة عكسية من وت

1

1

: ( )h J I

x h x y

−

−

→

=

:لدینا I من y و لكل J من xلكل

( )

( ) ( ) ( )

1

2

2

2

( ) ( )

ln 1

1

1 0

1 4 3 1 4 3 02 2

1 4 3 2

y y

x y y

y y x

x xy y

xy

h x y x h y

x e e

e e e

e e e

e ee e

ee

− = ⇔ =

⇔ = − +

⇔ = − +

⇔ − + − =

+ − − −⇔ − − =

+ −⇔ =

1: إذن 4 3ln2

xey + −

=

www.madariss.fr

1

)علوم تجريبية (امتحان تجريبي نيابة فاس الجديد دار دبييغ

)ن 7.5( األول التمرين

: بما يلي المعرفة على fنعتبر الدالة العددية

( )

( ) ( )

3

2

( ) 1 1 , 03

( ) ln , 0x

xf x x x

f x e x x−

= + − + ≥ = + ≺

) ن0.5( متصلة في الصفر fبين أن ) 1limاحسب ) 2 ( )

xf x

→+∞lim و ( )

xf x

→−∞ ) ن 1 (

[: أثبت أن -أ) 3 [( ) ( )2;0 : ( ) ln 1 xx f x x x e∀ ∈ −∞ = − + ) ن0.5 (+

) استنتج أن - ب )fC منحنى الدالة f يقبل المستقيم ( y الذي معادلته ∆( x= ) ن0.25 (∞− آمقارب مائل بجوار −

) حدد موقع -ج )fC بالنسبة لمقاربه ( 0x عندما يكون ∆( ) ن 0.5 . (≻

) حدد الفرع الالنهائي للمنحنى -د )fC ن0.5 (∞+ بجوار ( ) ن1.5. ( في الصفر على اليمين و على اليسار ثم اعط تأويال هندسيا للنتيجة fادرس قابلية اشتقاق ) 4

3: تذآير ( 3 2 3

111

aaa a

−− =

+ + و

0

ln(1 )lim 1h

hh+

=(

) ن 0.75: (بين أن . f الدالة المشتقة األولى للدالة f'لتكن ) 5

( )( )

( )

23

2

1 10 : '( ) 13 1

2 10 : '( )1

x

x

x f xx

xex f xx e

∀ = − + − ∀ =

+≺

) ن 0.5 (fالدالة ضع جدول تغيرات ) 6

)أنشئ )7 )fC في معلم متعامد ممنظم ( ), ,O i j) 1 ن (

3 حدد دالة أصلية للدالة -أ) 8 1x x+ على المجال [ ) ن 0.5(الصفر التي تنعدم في ∞+,0]

) احسب التكامل -ب )7 30

1 1I x dx= + ) ثم استنتج مساحة الحيز المحصور بين المنحنى ∫− )fC و المستقيمات ذات

0xالمعادالت 7x و = و =3xy )سؤال إضافي ( =

) ن 3( الثاني التمرين

)في الفضاء )ξ منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر ( ), , ,O i j k نعتبر النقط ، ( )5; 1;2A ) و − )1; 3; 2B − و −

( )2; 1;2C − −.

ABاحسب )1 AC∧ ثم استنتج مساحة المثلث ABC) 0.75 ن (

sinاحسب )2 AB AC∧ ∧

) ن 0.5 (

www.madariss.fr

2

) عن المستقيم Bاحسب مسافة النقطة )3 )AC) 0.75 ن ( )حدد تقاطع المستوى )4 )ABC و الفلكة التي أحد أقطارها [ ]AB ) 1 ن (

) ن 3.5( ثالثال التمرين

. آرات من الكيس 3نسحب عشوائيا و تآنيا . آرات حمراء 3 آرات سوداء و 4 آرات بيضاء و 3يحتوي آيس على

.نفترض أن جميع الكرات ال يمكن التمييز بينها باللمس ) ن 0.5 ( cardΩ و احسب Ωمكانيات حدد آون اإل) 1 ) ن 0.75: ( احسب احتمال الحدثين -أ)2

A " آرات من نفس اللون 3الحصول على "B" الحصول على األقل على آرة حمراء" ) ن 0.5. ( مستقالن ؟ علل جوابك B و A هل الحدثان -ب . المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الكرات الحمراء المسحوبة Xليكن ) 3

) ن X) . 1.25حدد قانون احتمال . مرات 5 نعيد التجربة السابقة )4

) ن 0.5. ( اللون مرتين بالضبط نفس احسب احتمال الحصول على آرات من ) ن 3( الرابع لتمرينا

): المعادلة نعتبر في المجموعة ) ( )( )2: 1 1 3 3 0E z i z i− + − + + =

)بين أن المعادلة -أ )1 )E 0 تقبل حال تخيليا صرفاz ن 0.5 (. يجب تحديده (

)ثاني للمعادلة استنتج الحل ال- ب )E) .0.5 ن (

1Az: ألحاقها على التوالي هي C وB و Aلتكن النقط ) 2 i= Bz و + i= 1 و 3cz i= − ) ن 0.75. ( على الشكل المثلثي Cz و Bz و Az اآتب - أ

AB, حدد قياسا للزاوية - ب AC∧

) ن 0.5 (

1: يحيث z ذات اللحق Mحدد مجموعة النقط ) 3 3 1z i z i− + = − ) ن 0.75 (−

) ن 3 ( الخامس مرينالت

)نعتبر المتتالية )n nu

∈ : المعرفة بما يلي

( ) 1

0

: 2 12

n nn u uu

+∀ ∈ = −

=

): بين أن ) 1 ) : 1nn u∀ ) ن 0.5 ( ∋

)نضع ) 2 ) : 1n nn v u∀ ∈ = −

) بين ان - أ )n nv

∈ ) ن 0v) 1دسية و حدد أساسها و حدها األول متتالية هن

) نضع - ب ) ( ): lnn nn w v∀ ∈ =

) بين أن )n nw

∈ ) ن 0.5. ( متتالية حسابية

lim احسب - ج nn

n

wnv→+∞

) ن 1 (


)علوم تجريبية (امتحان تجريبي نيابة فاس الجديد دار دبييغ

التمرين األول 1- f(0)=0 2و

0 00 0

lim ( ) lim ln( ) 0x

x xx x

f x e x−

→ →= + =

≺ ≺

أي 00

lim ( ) (0)xx

f x f→

=≺

0 متصلة في f إذن

2- 3

33 2

lim ( ) lim 1 131 1 1 1lim

3

x x

x

xf x x

xx x x

→+∞ →+∞

→+∞

= + − +

= + − +

= +∞

2lim ( ) lim ln( )x

x xf x e x−

→−∞ →−∞= +

= +∞

شكل محدد

3-

- أ] [

( )( )( ) ( )

( )

2

2

2

2

,0 : ( ) ln( )

ln 1

ln ln 1

ln 1

x

x x

x x

x

x f x e x

e x e

e x e

x x e

−

−

−

∀ ∈ −∞ = +

= +

= + +

= − + +

-ب

)بما أن )2

2 2lim ln 1 lim ln 1 4 02

xx

x x

xx e e

→−∞ →−∞

+ = + = y فإن المستقيم x= f مقارب مائل لمنحنى الدالة −

∞−بجوا ر -ج

0xلكل ): لدينا ≻ )2( ) ( ) ln 1 0xf x x x e− − = 21ألن ( + 1xx e+ ( أي( )f x x− إذن fC فوق yالمقارب المائل x= −.

-د

•33 2

( ) 1 1 1 1 1lim lim3 3x x

f xx x x x→+∞ →+∞

= + − + =

•3lim ( ) lim 1 13x x

xf x x→+∞ →+∞

− = − + = −∞

ه المستقيم ل فرعا شلجميا في اتجاإذن منحنى الدالة يقب3xy بجوار =

4-

: بما أن


( )

( )

( )

( )

3

0 00 0

3

00

2 33

00

2 33

00

20 330

1 1( ) (0) 3lim lim0

1 13lim

1 13 1 1 1

lim

3 1 1 1lim

1 1lim3 1 1 1

0

x xx x

xx

xx

xx

xx

x xf x fx x

x x

xx x

x xx

x x

x xx

x x

→ →

→

→

→

→

+ − +−=

−

− + −=

+ −−

+ + + +=

−+ + + +

=

= −+ + + +

=

' و 0 قابلة لالشتقاق على يمين fفإن (0) 0df يقبل نصف مماس موازي لمحور األفاصيل على يمين f منحنى الدالة . = .الصفر

: بما أن

( ) ( )

( )

2

0 00 0

2

00

2

200

( ) (0) ln( )lim lim0

ln ln 1lim

ln 1lim 1

1

x

x xx x

x x

xx

xx

xxx

f x f e xx x

e x ex

x exe

x e

−

→ →

−

→

→

− +=

−

+ +=

+= − + ×

= −

≺ ≺

≺

≺

' و 0 قابلة لالشتقاق على يسار fفإن (0) 1gf = يقبل نصف مماس على يسار الصفر معامله الموجه هو fمنحنى الدالة . −1− 5-

( ) ( )

( )

( )

1 1* 3

23

23

1 1: '( ) 13 31 1 13

1 1 13 1

x f x x

x

x

−+

−

∀ ∈ = − +

= − + = − +

، 0xالحظ أنه لكل ( )23

1 11 x+

أي ≻

( )*2

2

2

2: '( )

. 2 . . .

1 2 . 01 .

x

x

x x x

x x x

x

x

e xx f xe xe e x ee e x e

x ex e

−

− −

−

−

− +∀ ∈ =

+− +

=+

− +=

+≺


'( ) 0f x. 6-

7-

8-

3 دالة أصلية للدالة -أ 1x x+ هي الدالة ( ) ( ) 33 1 14

k x x x k∈ + + +

3دالة أصلية للدالة 1x x+الدالة و تنعدم في الصفر هي ( ) 33 31 14 4

x x x+ + −

-ب


( )( )

7 30

73

0

1 1

3 31 14 4

174

I x dx

x x x

= + −

= + + − −

=

∫

( )

7

0

7 30

7 3

0

( )3

1 1

1 1

174

xS f x dx

x dx

x dx

= −

= − +

= + −

=

∫

∫∫

) ن 3( الثاني التمرين 1-

( 4; 2; 4)AB − − )و − 7;0;0)AC إذن −2 0 4 0 4 7

; ;4 0 4 7 2 0

AB AC − − − −

∧ − − − − أي

( )0;28; 14AB AC∧ − هي ABC المثلث مساحة

2 2 2

121 0 28 ( 14)21 784 19627 5

S AB AC= ∧

= + + −

= +

=

2-

sin

14 56 75

3

AB ACAB AC

AB AC

∧ ∧ ∧ =

=×

=

3-


( )( ),

14 57

2 5

AB ACd B AC

AC

∧=

=

=

4-

]بما ] ( )AB ABC⊂ فإن Ω منتصف القطعة [ ]ABينتمي إلى المستوى أ ي مرآز الفلكة ( )ABC إذن

( )( ), 02ABd ABCΩ = و شعاعها Ω و عليه فإن الفلكة تقطع المستوى وفق دائرة آبرى مرآزها ≻

2AB

) ن 3.5( ثالثال التمرين

1- آرات 10 آرات من بين 3يفات ل آون االمكانيات يتكون من تأل

310

10!3! 7!8 9 10

6120

card CΩ =

=×× ×

=

=

2- -أ

: Aاحتمال الحدث

3 3 33 4 3

( )

1201 4 1

120120

cardAP AcardC C C

=Ω

+ +=

+ +=

=

:Bحتمال الحدث ا37( ) 1

12085

120

CP B = −

=

-ب

A B∩" : آرات حمراء 3الحصول على "( )33 1

120 120CP A B∩ = =

)الحدثان غير مستقلين ألن ) ( ) ( )P A B P A P B≠ ×∩ 3-


37

1 23 7

2 13 7

33

( ) 0;1;2;3

35( 0)120 120

3 21 63( 1)120 120 120

3 7 21( 2)120 120 120

1( 0)120 120

X

CP x

C CP x

C CP x

CP x

Ω =

= = =

× ×= = = =

× ×= = = =

= = =

4-

( ) ( )2 325

2 325

( ) 1 ( )

1 1920 20

P C P A P A

C

= × −

= ×

) ن 3( الرابع التمرين1- ) المعادلة -أ )Eتقبل حال تخيليا صرفا iα يعني :

( ) ( )( )( )2 1 1 3 3 0i i i iα α− + − + + ) تعني = )( ) ( )2 1 3 3 1 0iα α α− + − + + − تعني =

1 0α− ) و = )( )2 1 3 3 0α α− + − + 1α أي = =

)إذن )E 0 تقبل حال تخيليا صرف و هوz i=.

) الحل الثاني للمعادلة 1z ليكن -ب )E:

)لدينا )0 1 1 1 3z z i+ = + ) أي − )1 1 1 3 1 3z i i i= + − − = −

2- -أ

1 2,4Az i π = + =

1,2Bz i π = =

1 3 2,3Cz i π = − = −

-ب

[ ]

( )( )[ ]

[ ]

, arg 2

arg 3 1 2

22

C A

B A

z zAB ACz z

i

π

π

π π

∧ −≡ −

≡ +

≡

3-


1 3 1 C Az i z i z z z z− + = − − ⇔ − = MC أي − MA= إذن مجموعة النقط M هو واسط القطعة [ ]AC

3

) ن 3 ( الخامس التمرين

)نعتبر المتتالية )n nu

∈ : المعرفة بما يلي

( ) 1

0

: 2 12

n nn u uu

+∀ ∈ = −

=

1- :البرهان بالترجع

0لدينا 1u حسب معطيات التمرين 0: حيث من 0nنفترض أنه توجد رتبة : 1nn n u∀ ≤

لدينا 0 0

0

0 1

: 1 : 2 2 : 2 1 1 : 1

n n

n

n

n n u n n un n un n u +

∀ ≤ ⇔∀ ≤⇔∀ ≤ −⇔∀ ≤

:وعلية فإن 1nn u∀ ∈ 2- -أ

( ) 1 1: 1 2 2 2( 1)

2

n n

n

n

n

n v uuuv

+ +∀ ∈ = −

= −= −=

)إذن )n nv

∈0 و 2 متتالية هندسية أساسها 0 1 1v u= − =

,الحد العام 2nnn v∀ ∈ = -ب

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1

1

: ln ln

1 ln1

2 1 1 ln1

2 1 ln

1

ln 2

n n n n

n

n

n

n

n

n

n w w v v

uu

uu

uu

+ +

+

∀ ∈ − = −

−= −

− −= −

−= − =

)إذن )n nw

∈ln متتالية حسابية أساسها ) و 2 )0 0ln 0w v= =

,: الحد العام ln 2 ln 2nnn w n∀ ∈ = = -ج


2

2

2ln 22

2

lim lim ln 22

ln 242lim

ln 2

4limln 2

0

nnn n

n

n n

hh

w nnv

n

e

he

→+∞ →+∞

→+∞

→+∞

=

= ×

= ×

=

1

אא252008

א :א א: אא

א :א א:3

א

:

אאא

א

א

:

7

ن 3,5

0,5

1

1 1

قطن 6

0,75

0,75

0,5

0,5

1 1

1

0,5

אאW

: بين أن -أ .1 22 3 2 11 : 2 1

1 1x xx x

x x+ +∀ ∈ − − = + ++ +

.

: استنتج قيمة التكامل - ب 21

0

2 3 21

x x dxx

I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ ++

= ∫

: باستعمال المكاملة باألجزاء ، أحسب التكامل التالي .21

0xxe dxJ −= ∫

1 : أحسب التكامل .31 ln( )

e

eK x dx

x= ∫

אאW

): ، نضع من المجموعة zلكل ) ( ) ( )3 28 3 25 24 75z z i z i z iP = − + + + −

): حل في المجموعة ، المعادلة التالية . 1 ) 2 8 25 0:E zz − + =

)بين أن المعادلة . 2 ) 0zP .صرفا يجب تحديده 0zتقبل حال تخيليا =

) : بحيث bو aالعددين الحقيقيينحدد . 3 ) ( )( )2: 3Pz z z i z az b∀ ∈ = − + +

)نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم . 4 ), ,O u v النقط ،A وB وC وD التي ألحاقها على

1: التوالي هي 2A iz = − 4و + 3Bz i= 3Czو + i= 4و 3Dz i= − . .Dو Cو Bو Aمثل النقط -أ

1: بين أن - ب 5

C A

D A

z z iz z

− =−

2: و أن 3

BC

D B

z z iz z

− = −−

.

. BCDو ACDاستنتج طبيعة المثلثين -جـ )تنتمي إلى دائرة Dو Cو Bو Aبين أن النقط -د )Γ محددا شعاعها ولحق مرآزها.

. tباإلزاحة Cصورة النقطة Eحدد لحق النقطة. ADالتي متجهتها tنعتبر اإلزاحة. 5

2

ن 10,5

0,5 1

1,5

1 0,5 1 1

0,5

1

0,75

0,75

1

אאW

: بما يلي الدالة العددية المعرفة على fلتكن

( ) ( )( )

3

2

ln 1 ; 0

4 3 ; 0

f x x x

f x x x x x

⎧⎪⎨⎪⎩

= − <

= − ≥

)وليكن )fC المنحنى الممثل للدالةf في المستوىP المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم( ), ,O i j.

. 0صلة في النقطة تم fبين أن -أ .1

: نذآر بأن . ( 0قابلة لإلشتقاق في النقطة fبين أن الدالة - ب( )

0

ln 11lim

x

tt→

+= (

⎤0,بين أن الدالة تناقصية على آل من المجالين .2 ⎡⎦ ⎡,1و ∞−⎣ ⎡⎣ ⎡0,1، وتزايدية على المجال ∞+⎣ ⎤⎣ ⎦ .

): أحسب النهايتين التاليتين -أ .3 )limx f x→−∞

)و )limx f x→+∞

.

: تحقق من أن - ب( ) ( ) ( )3ln 13ln

,0 :xf x x

x x xx

−

⎤ ⎡⎦ ⎣−−

−∞ +∀ ∈ = .

)أدرس الفرعين الالنهائيين للمنحنى -جـ )fC .

)أنشئ المنحنى .4 )fC .

⎤0,على المجال fقصور الدالة hليكن .5 ⎡⎦ ⎣−∞.

1hتقبل دالة عكسية hبين أن -أ .يتم تحديده Jمعرفة على مجال −)حدد - ب )1 xh .Jمن المجال xلكل −

)نعتبر المتتالية العددية .6 )n nu∈

:المعرفة بما يلي

0

21

49

4 3 ;n n nn

u

u u u u n+

⎧⎪⎨⎪⎩

=

= − ∈

4: بين بالترجع أن -أ 19

: nun ≤ ≤∀ ∈.

)بين أن المتتالية - ب )n nu∈

.تزايدية

)استنتج أن المتتالية -جـ )n nu∈

. متقاربة ، ثم أحسب نهايتها

אWא 2‐Bac‐SP & 2‐Bac‐SVT. אא252008

אאאא

אא252008

אאא אWא

Wאא

ليكن -أ. 1 1x ∈ − : لدینا . −( )( ) 2 22 1 1 11 2 2 1 1 2 3 22 1

1 1 1 1x x x x x x xx

x x x x+ + + + + + + + ++ + = = =

+ + + + .

) : لدینا -ب )2 11 1 2

0 0 0

2 3 2 12 1 l 2n 11 1

ln 2x x dx x dx x x xx x

⎡ ⎤⎣ ⎦

+ + = + + = + + + =+ +

+∫ ∫.

): باستعمال المكاملة باألجزاء ، نجد . 2 ) ( )1 1 11

00 0 0x x x xxe dx x e dx xe x e dxJ − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦

′ ′= − = − −= ∫ ∫ ∫

( )1 11 1 1 100

1 21x xJ e e dx e e e ee

− − − −⎡ ⎤⎣ ⎦= − − − = − − = − − = −−∫

lnلنحدد إشارة . 3 x على المجال1 ,ee

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

: لدینا .

: باستعمال عالقة شال ، نحصل على ما یلي

( ) ( )11 1

1 1ln lne

ex dx x dx

x x= − +∫ ∫ ( ) ( )

11 1 1

1 1 1ln ln lne e

e ex dx x dx x dx

x x xK = += ∫ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( )( ) ( )11 1

ln ln ln lne

ex x dx x x dx′ ′− += ∫ ∫

( ) ( )1

2 2

1 1

1 1 1 1ln ln 0 02 2

12 2

e

e

K x x⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + = − − + − ==

אאW

) : نضع ، من zلكل ) ( ) ( )3 28 3 25 24 75z z i z i z iP = − + + + −. ): المعادلة التالية لنحل في المجموعة . 1 ) 2 8 25 0:E zz − + = .

): لدینا ) ( )2 22 4 1 25 16 25 9 3b ac i′ ′∆ = − = − − × = − = − )للمعادلة: إذن . = )E حلين عقدیين مترافقين هما:

1 4 3b iz ia

′ ′− + −∆= = 2و + 4 3b iz ia

′ ′− − −∆= = − .

)ومنه فإن مجموعة حلول المعادلة )E هي : 4 3 , 4 3S i i= − + . 0ليكن . 2 iyz yبحيث = )، حال تخيليا صرفا للمعادلة ∋ ) 0P z :إذن . =

- 1 -


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )

( )

3 20 0 0 0

3 2

2 3 2

2

3 2

3 2

3 2

0

0 8 3 25 24 75 0

8 3 25 24 75 08 24 3 25 75 0

8 24 03 25 75 0

8 3 0

3 25 75 0

0 33 25 75 0

0 3

P z z i z i z i

iy i iy i iy iy y i y y y

y yy y y

y y

y y y

y أو yy y y

P z y

⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩

= ⇔ − + + + − =

⇔ − + + + − =

⇔ − + − + + − =

− =⇔

− + + − =

− =⇔

− + + − =

= =⇔

− + + − =

= ⇔ =

0وبالتالي فإن 3z i= هو حل تخيلي صرف للمعادلة( ) 0P z = .

0لدینا . 3 3z i= جدر للحدودیة( )P z . إذن( )P z 3تقبل القسمة علىz i− .

.القسمة األقليدية : 1طريقة

8a: ومنه نستنتج أن = 25bو − = .

.آانت معامالت الحدود من نفس الدرجة متساوية تكون حدوديتان مختصرتان متساويتين إذا وفقط إذا : 2طريقة

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 3 2 2

3 2

2

3 3 3 3

3 3 33 8 33 25 24

3 758

325

z z i z az b z z az bz iz aiz bi

z z a i z b ai z bia i ib ai i

bi ia

z z i z az bb

P PP

P

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎨⎩

= − + + ⇔ = + + − − −

= + − + − −− = − −− = +

− = −

= −= − + +

=

⇔

⇔

⇔

)المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر Pفي المستوى العقدي. 4 ), ,O u vنعتبر النقط ،A وB وC وD التي ألحاقها على

1 :التوالي هي 2A iz = − 4 و + 3Bz i= 3Cz و + i= 4 و 3Dz i= − . : Pفي المستوى العقدي Dو Cو Bو Aتمثيل النقط -أ

- 2 -


: لدینا -ب ( )

( )( )( )

3 1 2 11 15 5 54 3 1 2 5 1

C A

D A

i i i iz z i iz z ii i i

− − + −− += = = =− −− − − + −

( )

( ) 2

3 4 3 4 2 2 26 3 334 3 4 3

BC

D B

i iz z i iz z i i ii i

− +− −= = = = = −− −− − +

1: لدینا -جـ 5

1 ,5 2

C A

D Ai

z zz z

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− =−

) : إذن . ), 22

AD AC π π⎡ ⎤⎣ .Aقائم الزاویة في ACDومنه فإن المثلث . ≡⎦

:ولدینا 2 ,3 2

23

BC

D B

z zz z

i π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− = −−

− ): إذن . = ), 22

BD BC π π⎡ ⎤⎣ ⎦≡ قائم الزاویة في BCDومنه فإن المثلث. −

.Bالنقطة )، فإنه محاط بالدائرة Aالزاویة فيقائم مثلث ACDبما أن -د )Γ التي أحد أقطارها[ ]CD وبما أن ،BCD قائم الزاویة فيمثلثB ،

]فإنه محاط بالدائرة التي أحد أقطارها ]CD أي بالدائرة ،( )Γ .وبالتالي فإن النقطA وB وC وD تنتمي إلى الدائرة( )Γ و ،

)مرآز الدائرة: لدینا )Γ هو النقطةΩ منتصف القطعة[ ]CD 3: والتي لحقها 3 242 2

DCz z i iz Ω+ + −= = = .

)شعاع الدائرة )Γ هو( )2 21 2 2 3 2 2 33 1Az z i iR A Ω− = − + − = − + = − + == Ω = .

:لدینا . 5( )AD

D EA C

C E AD CEz z z z

t = ⇔ =⇔ − = −

): إذن )3 3 21 2 54E D A Cz z z i i i iz = − + = − − − + + −= .

- 3 -


אאW

: الدالة العددیة المعرفة بما یلي fلتكن ( ) ( )

( )

3

2

ln 1 ; 0

4 3 ; 0

f x x x

f x x x x x

⎧⎪⎨⎪⎩

= − <

= − ≥

)وليكن )fC المنحنى الممثل للدالةf في المستوى( )P المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم( ), ,O i j .

): لدینا -أ. 1 ) ( )20 0

4 3 0lim limx x

f x x x x f+ +→ →

= − )و = ) ( )3

0 0ln 1 ln1 0 (0)lim lim

x xf x x f

− −→ →= − = = =

): إذن ) ( ) ( )0 0

lim lim 0x x

f x f x f+ −→ →

= . 0دالة متصلة في النقطة fومنه فإن. =

) :لدینا -ب ) ( ) 2

0 0 0

0 4 3 4 3 00

lim lim limx x x

f x f x x x x xx x+ + +→ → →

− −= = − =−

.

)و 0قابلة لإلشتقاق على اليمين في fإذن )0 0df ′ =.

)نضع )3t x= إذن . −00

xt

−

: ومنه فإن . →+

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

3332 2

30 0 0 0

ln 1ln 10 ln 1lim lim lim lim 0

0x x x t

xxf x f tx t

x x tx− − − +→ → → →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −−− += = × − = × − =

− −

)و 0في سارقابلة لإلشتقاق على الي fإذن )0 0gf ′ =.

)وبما أن ) ( )0 0 0g df f′ ′= ): ولدینا 0قابلة لإلشتقاق في النقطة f، فإن = )0 0f ′ = .

0x, ليكن. 2 ⎤ ⎡⎦ ⎣∈ ): لدینا . ∞− ) ( )( ) ( ) 2

3

33

3

1ln 1

13 0

1xx

xf x x

x

′−′′ = − =−

=−

− 23: ، ألن > 0x− 31و > 0x− >.

⎤0, على المجال تناقصيةدالة fإذن ⎡⎦ ⎣−∞.

x,0ليكن ⎤ ⎡⎦ ⎣∈ ): لدینا . ∞+ ) ( ) ( )2 14 3 4 6 4 62

x x x x x x x x x x x xx

f⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

′ ′′= − = + − = + × −′

( ) ( ) ( )2

4 6 11

6 66 1x x xx x x x x xx

f x⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − = −=+

−=′ −

)ومنه فإن إشارة )xf ⎤,0على المجال ′ ⎡⎦ 1هي إشارة ∞+⎣ x− ولدینا ،:

⎡,1 على المجال تناقصيةدالة fإذن ⎡⎣ ⎡0,1على المجال و تزايدية، ∞+⎣ ⎤⎣ ⎦.

): لدینا - أ. 3 ) ( ) ( ) ( )24 3 4 3lim lim limx x x

f x x x x x x x→+∞ →∞ →+∞

= − = − = +∞ × −∞ = −∞.

31tنضع x= إذن . −x

t−∞

→ ) : ومنه فإن ، ∞+ ) ( )3ln 1 lnlim lim limx t t

f x x t→−∞ →+∞ →+∞

= − = = +∞.

0x,ليكن -ب ⎤ ⎡⎦ ⎣∈ : لدینا . ∞−( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )3 33 3 3ln ln 1ln 1 ln ln 1ln3

x xx x xxx x x x

−− −− + −− − + −−+ = =

( )( ) ( ) ( )3 3 3ln 1 ln 1x x x f xx x x

−− − −= = =

- 4 -


): نعلم أن -جـ )limx

f x→+∞

−∞= .

): ولدینا ) ( )24 3 4 3lim lim limx x x

f x x x x x xx x→+∞ →+∞ →+∞

−= = − = −∞ .

)إذن )fC اتجاهه محور األراتيب، ∞+، بجوارفرعا شلجميایقبل.

): ونعلم أن )limx

f x→−∞

+∞= .

tنضع x= إذن . −x

t−∞

→ +∞ .

: ومنه فإن ( ) ( ) ( ) 33

1n 0

ln 1l3

ln 1ln3lim lim limx x tt t

t t

xf x xx x x

−

→−∞ →−∞ →+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+= − − =

−−= +.

)إذن )fC فاصيلاتجاهه محور األ، ∞−، بجوارفرعا شلجميایقبل.

)إنشاء المنحنى. 4 )fC :

⎤0,دالة متصلة وتناقصية قطعا على المجال hلدینا - أ. 5 ⎡⎦ 1h تقبل دالة عكسية hإذن. ∞−⎣ معرفة من المجال −

( ) ( ) ( )0

,0 lim , lim 0,xx

h x h xJ h+ →−∞→

⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎥ ⎢⎦ ⎣−∞ = = 0I, نحو المجال =∞+ ⎤ ⎡⎦ ⎣−∞= .

:لدینا - ب

( )

1

1

0, ,0:x

hx y h

−

−

⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎦ ⎣ ⎦ ⎣+∞ −∞→=

- 5 -


x,0ليكن ⎤ ⎡⎦ 0y,و ∋∞+⎣ ⎤ ⎡⎦ ⎣∈ ): بحيث ∞− )1 xy h ؟ xینبغي تحدیده بداللة =−

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

1

3

3

3

3

3

3

31

ln 1

11

1

1

1 , ! 0

1

x

x

x

x

x

x

y h x h y xy x

y ey e

y e

y e

y e y

y h x y e

−

−

= ⇔ =

⇔ − =

⇔ − =⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ − = −

⇔ − = − <

= ⇔ = − −

): وبالتالي فإن ) 310, : 1xh x ex −⎤ ⎡⎦ ⎣ = −+∞ −∀ ∈

)نعتبر المتتالية العددیة . 6 )n nu∈

:المعرفة آما یلي

( )0

21

49

4 3 ;nn n nn f u

u

u u u u n+

⎧⎪⎨⎪⎩ =

=

− ∈

0nمن أجل -أ 0 ، لدینا =49

u 0: ، إذن =4 19

u≤ ≤ .

nليكن 4 : نفترض أن –. ∋ 19 nu≤ ≤ .

1: نبين أن – 4 19 nu +≤ ≤ .

4 تزایدیة على المجال f: لدینا ,19

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

): إدن ) ( ) 1 14 4819 81

4 41 1 19 9nn n nuu f f f u u+ +

⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

48: ألن 81

49

≤ .

4 : وبالتالي فإن 19

: nun ≤∀ ∈ ≤ .

nليكن -ب ): لدینا . ∋ )21 4 3 4 3 1n n n n n n n nn u u u u u u u uu + − = − − = − −

( ) ( )3 3 1 3 1 1n n n n n n n nu u u u u u u u⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + − = − − −

( )( )1 1 3 1n n n nn u u u uu + − = − −

4 وبما أن 19 nu≤ 0nu : ، فإن ≥ 1و ≤ 1 1 0n n nu uu ≤ ⇒ ≤ ⇒ − ≥

: و 2 1 2 3 3 1 3 1 23 n n nu u u≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ − ≤

:1 : إذن 0nnn u u+∀ ∈ − )ومنه فإن . ≤ )n nu∈

.متتالية تزایدیة

- 6 -


.البرهان بالترجع : 2طريقة 0nمن أجل 0: ، لدینا =

49

u )و = )1 04 489 81

f fu u ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 : إذن . 0u u≥ .

nليكن 1: نفترض أن –. ∋ nnu u+ ≥ . 2 :ونبين أن – 1n nu u+ +≥.

4 تزایدیة على المجال fنعلم أن ,19

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

:4وأن 19 nn u∀ ∈ ≤ ≤ .

) : إذن ) ( )1 1

2 1

n nn n

n n

f fu u u uu u

+ +

+ +

≥ ⇒ ≥⇒ ≥

:1 : وبالتالي فإن nnn u u+∀ ∈ ≥.

)وعليه فإن )n nu∈

.متتالية تزایدیة

)بما أن -جـ )n nu∈

:، فإنها متقاربة ، وبما أن 1متتالية تزایدیة ومكبورة بالعدد

f 4متصلة على المجال ,19

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

.

f 4على المجالوتزایدیة قطعا متصلة ,19

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

): إذن . )4 4 48 4,1 , 1 ,1 ,19 9 81 9

f f f⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⊂⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦ .

04 4 ,19 9

u ⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥

⎣ ⎦= .

( )n nu∈

.lمتتالية متقاربة نهایتها

): فإن )l lf= و4 ,19l ⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

∈ .

4 : وبما أن ,19l ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1l : ، فإن ∋ lim : وبالتالي فإن . = 1nnu

→+∞=.

)تمثيل حدود المتتالية العددية )n nu∈

Archimède II plusباستعمال البرنام :على محور األفاصيل

)األولى للمتتالية العددية ثمانيةحساب الحدود ال )n nu∈

Maple 8باستعمال البرنام : −3910 إلى

- 7 -


> f:=x->4*x*sqrt(x)-3*x^2;

> u||0:=4/9;

> for n from 0 to 7 do u||(n+1):=evalf ( f(u||n),40) end do; >

- 8 -

:= f → x − 4 x x 3 x2

:= u049

:= u1 .5925925925925925925925925925925925925926

:= u2 .771214019496430399765540178705775003857

:= u3 .924770145160219732615854802614175415392

:= u4 .991620265837260128814475447447728689792

:= u5 .999894817653372624921308101428513339064

:= u6 .999999983405301865062068449925712595782

:= u7 .999999999999999586923991857909924819865

:= u8 .999999999999999999999999999999744052317

- 1 -

هوني الزرعيمةن األستاذة ثانوية محمد رضا السالوى 2004/ ب ع ت2المستوى آاديرا

امتحان تجريبي

-مادة الرياضيات - تمرين 1

( )kjio ,,, الفضاء منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر

C(0,-1,-1) و B(1,1,0) و )1,0,0(A نعتبر النقط

→→

∧ ACAB أحسب-أ -1 (ABC) حدد معادلة ديكارتية للمستوى–ب

0442222 =+−−++ yxzyx عتبر الفلكةن (S ) ذات المعادلة -2

حدد مرآزها و شعاعها -أ . مرآزها و شعاعها يتقاطعان في دائرة محددا ( S) و (ABC) ن بين أ- ب

تمرين 2

⎩⎨⎧

=

=

+ nn uuu

2)(1

21

1)( بحيث : nu المتتالية العدديةنعتبر

5u 4u و 3u و 2u و أحسب– 1

( Qrr ∈,2 ( تكتب النتائج على الشكل

2ln)ln( −= nn uv )( بحيث : nv نعتبر المتتالية العددية-2

.محددا أساسها و حدها األول هندسية )( nv بين أن - أ

n بداللة nu nv ثم أحسب -ب

nulim أحسب- ج

تمرين3 .نسحب من الصندوق الكرة تلو األخرى . آرات خضراء 3 آرات حمراء و3حتوي صندوق على ي أحسب عدد النتائج الممكنة-1

كرات الحمراء المسحوبة قبل سحب أول آرة خضراء دى يساوي عدد الال ليكن -X 2 المتغير العشوائي E(X) و أحسب X حدد قانون احتمال - أ

)(Xσ مثل دالة التجرئ - ب ثم أحسب V(X) و

- 2 -

تمرين4

)( *ℜ∈θ θ ا عددا حقيقي ليكن

02cos2)( 212 =+− + θθ θ zzE C المعادلة : حل في -1

. ( )vuo ,, 2 وب الى معلم متعامد ممنظم مباشر المستوى منس-

. متساوي أضالع OAB لكي يكون المثلث θ حدد , 2z 1z و نقطتين لحقيهما B و Aلتكن

مسالة

ℜ* آالتالي : المعرفة على f نعتبر الدالة العددية

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−=

≠<= −

1:)(ln1)(

01:1)(

3

1

xxxf

xxex

xf x

بين أن- أ-f 1 .1 متصلة في

. fD أحسب نهايات-ب f عند محددات

.f )( منحى fC ل ة أدرس الفروع الالنهائي– 2

بين أن-أ -f 3 .1 في قابلة لالشتقاق. f ثم أعط جدول تغيراتf أدرس تغيرات -ب

1≥x ادا آان )( fC حدد نقط انعطاف- أ-4

. )( fC أنشئ - ب

. يده نحو مجال يتم تحد I تقابل من ] [+∞= ,1I على المجال f قصور h 5- ن بين أ-أ

. )(1 xh − حدد - ب

∫=e

dxxI1

3)(ln =∫ و e

dxxI1

2)(ln أحسب باستعمال مكاملة باإلجراء - أ-6

)( ومحور األفاصيل والمستقيمان fC ∆ ده الذي يح أحسب مساحة الحيز -ب

exD =:)'( )(:1 و =xD

- 3 -

عناصر اإلجابة تمرين 1

)1,2,3( −−=∧→→

ACAB - أ-1 0123:)( =−+− zyxABC - ب )0,2,1(Ω r=1 و - أ-2

714))(,( =Ω= ABCdd -ب

1<d )()(),( ادن RHCABCS =∩

75

=R ( و 71,

712,

711(H

تمرين2

1-

21

24

3

38

7

416

15

5 2,2,2,2 ==== uuuu

-ا -2

2ln1 −=v و 21

=q , nn vv21

1 =+

-ب

1)2(ln)21

()

21)(2(ln,.2,2lim

1−−

−===−

nnnn veuu

n

تمرين 3 !6720 ==ΩCard عدد النتائج الممكنة -1 :

3,2,1,0)( =ΩX 2 - - أ

21

!6!5.

)0(,103

!6!4..

)1(,203)2(,

21)3(

13

13

13 ==========

AXp

AAXpXpXp

75,02015)( ==XE

57

43)(,

8063)( == XXV σ -ب

- 4 -

تمرين4

[ ] [ ] 212 )sin2(',2,,2 θθθ θθθ izz =∆⇐=−= 1-

[ ] θππθ 2)arg(,23

22

1 ==zz

2-

[ ] θππθ 2,26 21 === zz أي

مسالة

.1 متصلة في f - أ-1 −∞=+∞=−∞==

−+∞+∞−)(lim,)(lim,)(lim,0)(lim

00xfxfxfxf - ب

∞− )(:0 مقارب أفقي بجوار =yD 2 - )(:0 مقارب عمودي =∆ x

∞+ بجوار يقبل فرعا شلمجيا باتجاه محور األفاصيل )( fC

0)()( '' == xfxf dg -أ -f 3 1قابلة لالشتقاق في : - ب

1,)(ln3)('

1,.1)('

2

12

>−

=

<−

= −

xx

xxf

xex

xxf x

- 5 -

)2(lnln3)('' 2 −= x

xxxf 4 -

)7,(,)1,1( 21 −eHH نقطتي االنعطاف

. ] [1,∞− h تقابل من I نحو [ ادن , [+∞= ,1I - أ -h 5 متصلة و تناقصية قطعا على

3 11 )( xexf −− = - ب

eKeJ 26,2 −=−= -أ -6

. aeA 4)73()( −=∆ )ln1)((73 و منه 1

3 −=−∫ edxxe

- ب

سلم التنقيط

تمرين1 1) أ- 0,5 نقطة , ب- 0,5 نقطة

قطة ن1 -ب, نقطة 0,5 -أ) 2 تمرين2 1) 0,5 نقطة

نقطة0,5) ج, نقطة 0,5 -ب, نقطة 1 -أ) 2 تمرين3 1) 1 نقطة

نقطة 1 -ب, نقطة 1,5 -أ) 2 تمرين4 1) 1 نقطة ة 2) 1,5 نقطة

نقطة1 -ب, نقطة 0,5 -أ) 1 مسالة

نقطة1) 2 نقطة1,5 -ب, نقطة 1 -أ) 3

ة نقط1 -ب, نقطة 0,5 -أ) 4 ة نقط0,5 -ب, نقطة 0,5 -أ) 5

ة نقط1 -ب, نقطة 1-أ) 6

أكاديمية مراكش تانسيفت الحوز نيابة شيشاوة مجاط التأهيلية ثانوية الخوارزمي

االمتحان التجريبي لنيل شهادة البكالوريا 2007 دورة أبريل

الرياضيات : المادة علوم تجريبية : الشعبة

ساعات 3 : مدة اإلنجاز 7 : المعامل

1

2

) يسمح باستعمال اآللة غير قابلة للبرمجة ( ) ن 2.5 : ( التمرين األول

) ; , , ( في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم→ → → k j i o , 2 ; 2 ; 4 ( : نعتبر النقطتين ( − − A

) ( و المستوى B − ) 4 ; 4 ; 2 ( و P 0 2 الذي معادلته = + + − z y x . Ω و مركزها r ثم حدد شعاعها , AB [ ] التي أحد أقطارها S) ( حدد معادلة ديكارتية للفلكة ) 1 ن 1

. A في النقطة S) ( المماس للفلكة Q) ( حدد معادلة المستوى ) 2 ن 0.5 ) ; ) (( أحسب ) 3 ن 1 P d Ω , ثم استنتج أن المستوى ) ( P يقطع الفلكة ) (S وفق دائرة ) (C حدد مركزها H

. R وشعاعها

) ن 3.5 : ( التمرين الثاني

) ( : 2 ) 3 ( 2 ) 3 3 ( 0 : المعادلة £ نعتبر في 2 = − + − − i z i z E

ن 1 E) ( المعادلة £ حل في ) 1

ن 0.5 = + i u نعتبر العددين ) 2 i v و 3 3 3 − =

v و u أ ـ حدد الشكل المثلثي للعددين

ب ـ أحسب ن 0.252000

2

u

ن 0.75

) ( و u A) ( نعتبر النقط ) 3 u B − و ) (v C و ) (v D

أ ـ حدد الشكل الجبري للعددv u v u

− . مستقيمية D و C و A أن النقط واستنتج −

ن 0.75 ب ـ تحقق أن

2 3 1 i

u v u v −

= + استنتج قياس الزاوية −

∧ → →

] , [ CB CA

ABC ج ـ استنتج طبيعة المثلث ن 0.25

) ن 3 : ( التمرين الثالث

V و U نعتبر صندوقين سوداء 3 كرات بيضاء و 5 يحتوي على U الصندوق كرات بيضاء وكرتين سوداويتين وكرة حمراء 3 يحتوي على V الصندوق

V ونسحب كرة من الصندوق U نسحب عشوائيا بالتتابع وبدون إحالل كرتين من الصندوق ) 1 كرات من نفس اللون ؟ 3 ما هو احتمال الحصول على ) أ ن 0.5 ما هو احتمال الحصول على كرة بيضاء فقط ؟ ) ب ن 0.5 . المتغير العشوائي الذي يربط كل إمكانية بعدد الكرات البيضاء المسحوبة X ليكن ) ج ن 1

X حدد قانون احتمال . مرات متتالية 5 نكرر التجربة السابقة ) 2 ن 1

مرات بالضبط ؟ 3 كرات من نفس اللون 3 ما هو احتمال الحصول على





2

2

ن 0.5

ن 0.5 ن 0.5

ن 0.5

ن 1

ن 1

ن 1

ن 0.75

ن 1

ن 0.5

ن 1

ن 0.5

ن 0.5 ن 0.75

ن 1

) ن 11 : ( مسألة : الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة بما يلي f لتكن

≥ − + = > + − =

− 0 3 2 2 ) ( 0 1 ² ) ln( ² 2 ) (

x e e x f x x x x x f

x x

) ; , ( في معلم متعامد ممنظم f منحنى الدالة f C وليكن→ → j i o

: الجزء االول 0 في f أدرس اتصال الدالة ) 1

lim ) ( أ ـ حدد ) 2 x f x +∞ →

lim ) ( و x f x −∞ →

f C ل ب ـ أدرس الفروع االنهائية

وأول النتيجتين هندسيا 0 على يمين وعلى يسار f أ ـ أدرس قابلية اشتقاق الدالة ) 3 ب ـ بين أن

< −

=

> =

0 ) 1 ( 2 ) ( '

0 ) ln( 4 ) ( ' 2

x e

e x f

x x x x f

x

x

f جدول تغيرات الدالة وأعط f ج ـ استنتج تغيرات الدالة أ ـ بين أن ) 4

< +

=

> + =

0 ) 1 ( 2 ) ( ' '

0 4 ) ln( 4 ) ( ' ' 2

x e

e x f

x x x f

x

x

واستنتج نقط انعطافه f C ب ـ أدرس تقعر f C أنشئ ) 5

I = − ∞ [ ; 0 ] على f قصور الدالة g ليكن ) 6 حدده J نحو مجال I تقابل من g أ ـ بين أن

1 ) ( حدد ب ـ x g − لكل x من J

g − 1 أنشئ ج ـC 1 منحنى الدالة − g في نفس المعلم ) , ; (

→ → j i o

: الجزء الثاني

) ( المتتالية نعتبر n u المعرفة بما يلي :

= ∈ ∀

=

+ )) 1 (ln( ) ( 2 3

1

0

n n u

f u N n

u

) ( 2 1 بين أن ) 1 p p n u N n ∈ ∀ ) ( بين أن ) 2 n u تناقصية قطعا ) ( استنتج أن المتتالية ) 3 n u متقاربة وحدد نهايتها





1

2

) يسمح باستعمال اآللة غير قابلة للبرمجة ( ) ن 2.5 : ( التمرين األول

) ; , , ( في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم→ → → k j i o , 2 ; 2 ; 4 ( : نعتبر النقطتين ( − − A

) ( و المستوى B − ) 4 ; 4 ; 2 ( و P 0 2 الذي معادلته = + + − z y x . Ω و مركزها r ثم حدد شعاعها , AB [ ] التي أحد أقطارها S) ( حدد معادلة ديكارتية للفلكة ) 1 ن 1

. A في النقطة S) ( المماس للفلكة Q) ( حدد معادلة المستوى ) 2 ن 0.5 ) ; ) (( أحسب ) 3 ن 1 P d Ω , ثم استنتج أن المستوى ) ( P يقطع الفلكة ) (S وفق دائرة ) (C حدد مركزها H

. R وشعاعها

) ن 3.5 : ( التمرين الثاني

) ( : 2 ) 3 ( 2 ) 3 3 ( 0 : المعادلة £ نعتبر في 2 = − + − − i z i z E

ن 1 E) ( المعادلة £ حل في ) 1

ن 0.5 = + i u نعتبر العددين ) 2 i v و 3 3 3 − =

v و u أ ـ حدد الشكل المثلثي للعددين

ب ـ أحسب ن 0.252000

2

u

ن 0.75

) ( و u A) ( نعتبر النقط ) 3 u B − و ) (v C و ) (v D

أ ـ حدد الشكل الجبري للعددv u v u

− . مستقيمية D و C و A أن النقط واستنتج −

ن 0.75 ب ـ تحقق أن

2 3 1 i

u v u v −

= + استنتج قياس الزاوية −

∧ → →

] , [ CB CA

ABC ج ـ استنتج طبيعة المثلث ن 0.25

) ن 3 : ( التمرين الثالث

V و U نعتبر صندوقين سوداء 3 كرات بيضاء و 5 يحتوي على U الصندوق كرات بيضاء وكرتين سوداويتين وكرة حمراء 3 يحتوي على V الصندوق

V ونسحب كرة من الصندوق U نسحب عشوائيا بالتتابع وبدون إحالل كرتين من الصندوق ) 1 كرات من نفس اللون ؟ 3 ما هو احتمال الحصول على ) أ ن 0.5 ما هو احتمال الحصول على كرة بيضاء فقط ؟ ) ب ن 0.5 . المتغير العشوائي الذي يربط كل إمكانية بعدد الكرات البيضاء المسحوبة X ليكن ) ج ن 1

X حدد قانون احتمال . مرات متتالية 5 نكرر التجربة السابقة ) 2 ن 1

مرات بالضبط ؟ 3 كرات من نفس اللون 3 ما هو احتمال الحصول على





2

2

ن 0.5

ن 0.5 ن 0.5

ن 0.5

ن 1

ن 1

ن 1

ن 0.75

ن 1

ن 0.5

ن 1

ن 0.5

ن 0.5 ن 0.75

ن 1

) ن 11 : ( مسألة : الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة بما يلي f لتكن

≥ − + = > + − =

− 0 3 2 2 ) ( 0 1 ² ) ln( ² 2 ) (

x e e x f x x x x x f

x x

) ; , ( في معلم متعامد ممنظم f منحنى الدالة f C وليكن→ → j i o

: الجزء االول 0 في f أدرس اتصال الدالة ) 1

lim ) ( أ ـ حدد ) 2 x f x +∞ →

lim ) ( و x f x −∞ →

f C ل ب ـ أدرس الفروع االنهائية

وأول النتيجتين هندسيا 0 على يمين وعلى يسار f أ ـ أدرس قابلية اشتقاق الدالة ) 3 ب ـ بين أن

< −

=

> =

0 ) 1 ( 2 ) ( '

0 ) ln( 4 ) ( ' 2

x e

e x f

x x x x f

x

x

f جدول تغيرات الدالة وأعط f ج ـ استنتج تغيرات الدالة أ ـ بين أن ) 4

< +

=

> + =

0 ) 1 ( 2 ) ( ' '

0 4 ) ln( 4 ) ( ' ' 2

x e

e x f

x x x f

x

x

واستنتج نقط انعطافه f C ب ـ أدرس تقعر f C أنشئ ) 5

I = − ∞ [ ; 0 ] على f قصور الدالة g ليكن ) 6 حدده J نحو مجال I تقابل من g أ ـ بين أن

1 ) ( حدد ب ـ x g − لكل x من J

g − 1 أنشئ ج ـC 1 منحنى الدالة − g في نفس المعلم ) , ; (

→ → j i o

: الجزء الثاني

) ( المتتالية نعتبر n u المعرفة بما يلي :

= ∈ ∀

=

+ )) 1 (ln( ) ( 2 3

1

0

n n u

f u N n

u

) ( 2 1 بين أن ) 1 p p n u N n ∈ ∀ ) ( بين أن ) 2 n u تناقصية قطعا ) ( استنتج أن المتتالية ) 3 n u متقاربة وحدد نهايتها

خمسة عشر موضوعا- امتحانات تجريبية في الرياضيات باك...

Documents