Nesvojstveni integrali

Primer 1.

2

1

1?dx

x

=

Podsetimo se najpre kako izgleda ova kriva

Nama treba od 1 do pa bi to bilo:

Dakle, reenje ovog integrala daje oznaenu

Nesvojstveni integrali zadaci

Podsetimo se najpre kako izgleda ova kriva 2

1y

x=

Dakle, reenje ovog integrala daje oznaenu povrinu. Da li je ona beskonana?

1

Kako je teoretski +

=

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

2

2 2

1 1 1

1 1 1lim lim lim lim

1 1 1lim 1 0 1 1

1

b b

b b b b

b

dx dx x dxx x x

b

= = = = = +

= + = + =

Povrina ispod krive 2

1y

x= u granicama od 1 do

Ovo nam deluje malo udno, pa pogledajmo kolike su povrine za recimo :

5 5

1 1

dx , imamo:

2 11 1 1lim lim lim lim

1 12 1b b b b

b bx

x x x

+

= = = = = +

u granicama od 1 do je jednaka jedan.

pa pogledajmo kolike su povrine za recimo :

2 2

2

2

1 1

21 1 1 1 1

1 2 1 2dx x dx

x x

= = = =

5 5

2

2

1 1

51 1 1 1 4

1 5 1 5dx x dx

x x

= = = =

2

1 1 1 1 1

2 1 2= = = =

10 10

2

2

1 1

1 1 1 1 9dx x dx

x x

= = = =

Vidimo da se povrina pri poveanju gornje granice poveava i da se za pribliava jedinici.

Primer 2.

0

?xxe dx

=

Da najpre pogledamo ta bi to znailo na skici:

Dakle, to bi bila ova osenena povrina.

Kako je teoretski

=

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

101 1 1 1 9

1 10 1 10dx x dx

x x

= = = =

Vidimo da se povrina pri poveanju gornje granice poveava i da se za pribliava jedinici.

Da najpre pogledamo ta bi to znailo na skici:

Dakle, to bi bila ova osenena povrina.

dx , za na integral imamo:

3

Vidimo da se povrina pri poveanju gornje granice poveava i da se za pribliava jedinici.

0 0

limx xa

a

xe dx xe dx

= , reiemo najpre integral bez granica,

( 1)

x

x x x x x x x

x

x u e dx dv

xe dx dx du e dx v x e e dx xe e e x

e v

= =

= = = == = =

=

Vratimo se na zadatak:

0 0

0

0lim lim ( 1) lim [ (0 1) ( 1)]

1 lim ( 1)

Sad imamo:

( 1) 1 1lim ( 1) lim lim 0

:

1

x x x a

a a aa

a

a

a

a aa a a

x

xe dx xe dx e x e e aa

e a

ae a lopital

e e

Dakle

xe dx

= = = =

=

= = = = = =

=

Naravno, povrina bi bila apsolutna vrednost ( jer je kriva ispod x

Primer 3.

2

1?

1dx

x

=+

Kriva 2

1

1y

x=

+ izgleda:

, reiemo najpre integral bez granica, parcijalnom integracijom:

( 1)x x x x x x xxe dx dx du e dx v x e e dx xe e e x= = = == = =

00

lim lim ( 1) lim [ (0 1) ( 1)]

( 1) 1 1lim ( 1) lim lim 0

x x x a

a a a

a aa a a

xe dx xe dx e x e e aa

e a lopitale e

= = = =

= = = = = =

Naravno, povrina bi bila apsolutna vrednost ( jer je kriva ispod x-ose).

4

5

Reavanjem datog integrala dobijamo povrinu osenenu na slici.

Postoje dva naina za reavanje, mi emo vam pokazati oba, a vi radite kako kae va profesor .

I nain

Teoretski imamo ( ) lim ( )

b

ba

a

f x dx f x dx

= , pa je

2 2

1 1lim lim ( )

1 1

lim ( ) ( ) ( )2 2

b

b ba

a a

b

a

bdx dx arctgx

ax x

arctgb arctga arctg arctg

= = =+ +

= = =

II nain

Teoretski imamo ( ) ( ) ( )

c

c

f x dx f x dx f x dx

+

= + , a za nau situaciju je zgodno uzeti da je c = 0.

0

2 2 2

0

0

2

2

0

1 1 1Radimo svaki posebno

1 1 1

01lim lim ( ) lim ( 0 ) ( ) ( )

1 2 2

1lim lim( ) lim( 0) ( )

01

a a aa

b

b b b

dx dx dxx x x

dx arctgx arctg arctga arctgax

bdx arctgx arctgb arctg arctg

x

+

= + + + +

= = = = =+

= = = =+

0

2 2 2

0

2

Sad imamo :

1 1 1

1 1 1 2 2dx dx dx

x x x

+

= + = + =+ + +

www.matematiranje.in.rs

Primer 4.

5

2

1?

2dx

x=

Primetimo da je oblast definisanosti ove funkcije x > 2, a nama treba integral od 2 do 5.

Na skici to bi izgledalo:

Da se podsetimo ta kae teorija:

Ako je f(x) neograniena u okolini take a ( to jest prava

i neprekidna u svakom intervalu [ a+

b

a

dxxf )( =

Imamo dakle:

( )

5 5

02 2

5

0 0 0 02

1 1lim

2 2

1 2Reimo bez granica dati integral 2 2 2

51lim lim 2 2 lim 2 5 2 2 2 2 lim 2 3 2 2 3

22

dx dxx x

x

dx xx

++

+ + + ++

=

= = + = =+

Primetimo da je oblast definisanosti ove funkcije x > 2, a nama treba integral od 2 do 5.

ena u okolini take a ( to jest prava x = a je vertikalna asimptota

i neprekidna u svakom intervalu [ a+ , b] , >0 onda je :

+

+

b

a

dxxf

)(lim

0

( ) (

2

0 0 0 0

21 2Reimo bez granica dati integral 2 2 2

22

5lim lim 2 2 lim 2 5 2 2 2 2 lim 2 3 2 2 3

x t tdtdx t x

tdx tdtx

+ + + +

== = = =

=

= = + = =

6

Primetimo da je oblast definisanosti ove funkcije x > 2, a nama treba integral od 2 do 5.

x = a je vertikalna asimptota sleva)

)lim lim 2 2 lim 2 5 2 2 2 2 lim 2 3 2 2 3 = = + = =

7

Primer 5.

Ispitati konvergenciju integrala

2 3

20 4

xdx

x

Na posao je da reimo ovaj integral, pa ako dobijemo konanu vrednost- konvergira, a ko dobijemo

beskonano, onda divergira.

Oblast definisanosti podintegralne funkcije je:

2

2

2

4 04 0 ( 2,2)

4 0

xx x

x

>

Sad teoretski koristimo :

Ako funkcija f(x) nije ograniena u nekoj okolini take b

( to jest prava x = b je vertikalna asimptota sdesna),

tada , ako je funkcija f(x) neprekidna na svakom intervalu [a,b- ], >0 je

b

a

dxxf )( =

+

b

a

dxxf )(lim0

2 23 3

2 200 0

2 2

3 2

2 2

2 2 2 2

2 32 32 2

2 2 332

20 00

lim4 4

4

2 2

4 4

4 4

(4 )(4 )( )(4 ) 4 4 (4 )

3 3

2(4 )lim lim 4 (4 )

034

x xdx dx

x x

x t

xdx tdtx x xdxdx

xdx tdtx x

x t x t

xt tdt tt dt t x

t

xxdx x

x

+

+ +

=

=

== = =

= = =

= = =

=

2 3 32

0

0

(4 4 4 ) 4lim 4 (4 4 4 ) 4 4

3 3

8 168

3 3

OVO JE

+

=

+ + + =

+ =

Zakljuujemo da integral KONVERGIRA!

Primer 6.

2

250

1?

( 1)dx

x=

Naa podintegralna funkcija je definisana za

Teoretski radimo:

Ako je situacija da je f(x) neograni

( to jest prava x = c je vertikalna asimptota )

i ako je f(x) neprekidna u svakom intervalu [a,c

b

a

dxxf )( = c

a

xf (

2 1 22 2

5 5

2 0 050 0 1

2 31

2 5 55

3 3 3 3

5 5 5 5

0 0

1lim ( 1) lim ( 1)

( 1)

( 1) ( 1) Najpre je : ( 1)

2 31

5 5

1 25 5 5 5 5lim ( 1) lim ( 1) 0 ( 1) 0 (( 1) 1)

0 13 3 3 3 3

dx x dx x dxx

x xx dx

x x

+ +

+

+ +

= + =

= =

+

+ = + =

+

Naa podintegralna funkcija je definisana za 1 0 1x x .

Ako je situacija da je f(x) neograniena u okolini take c(a , b)( to jest prava x = c je vertikalna asimptota )

i ako je f(x) neprekidna u svakom intervalu [a,c - ] , [ c + , b] , >0 onda je :

dxx) + b

c

dxxf )( =

+

c

a

dxxf )(lim0

+ +

+

b

c

dxxf

)(lim

0

2 1 22 2

5 5

0 00 0 1

2 3

5 5

3 3 3 3

5 5 5 5

lim ( 1) lim ( 1)

( 1) ( 1)

2 3

5 5

1 25 5 5 5 5lim ( 1) lim ( 1) 0 ( 1) 0 (( 1) 1)

3 3 3 3 3

dx x dx x dx

x x

+

= + =

= =

+ = + =

8

(a , b)

>0 onda je :

dx

9

Primer 7.

Nadji povrinu ogranienu krivom 2 3(1 )

xy

x=

+ i njenom asimptotom.

Funkcija je svuda definisana.

Nula funkcije je u nuli . x=0

Funkcija je neparna f(-x)=f(x)

Nema dakle vertikalnu asimptotu a kako je 2 3

lim 0(1 )x

x

x=

+ zakljuujemo da je x osa horizontalna asimptota.

Ako profesor ba insistira, ispitajte i ekstreme....

Skica je:

Nai emo integral od 0 do beskonanosti, pa to pomnoiti sa dva .

2 3 2 3

0 0

2

23

2 3 3 2 2

2 3 2 2

0

2 2lim(1 ) (1 )

11 1 1 122

(1 ) 2 2 2 4 4(1 )

2

1 1 1 12 lim 2 lim lim 1

0(1 ) 4(1 ) 2 (1 ) 2

b

b

b

b b b

x xP dx dx

x x

dtx tx t

dx xdx dt t dtx t t x

dtxdx

bxP dx

x x b

= =+ +

+ =

= = = = = = = + +

=

= = = = + + +

www.matematiranje.in.rs