Интеграл Стилтьеса

Томас Стилтьес

Бернхард Риман

Можно принять в качестве аксиом свойство приращений момен тов:Приращение момента пропорционально приращению массы, и потому приращение на интервале, составленном из конечного числа меньших интервалов, складывается из приращений на этих последних.Таким образом, если подразделить интервал точками деления

a=x_0<x_1<x_2< <x⋯ N=b,

𝐹 (𝑎 ,𝑏)= ∑𝜑=1

𝜑=𝑁

𝐹 (𝑥𝜑−1 ,𝑥𝜑)

общее значе ние называется интегралом Стилтьеса функции с интегрирующей функцией , взятым в пределах от a до b, что обозначается так: 

Основные свойства

∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑢(𝑥)=∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥1

∫𝑎

𝑏

( 𝑓 1 (𝑥 )+ 𝑓 2 (𝑥 ) )𝑑𝑢 (𝑥 )=¿∫𝑎

𝑏

𝑓 1 (𝑥 )𝑑𝑢 (𝑥 )+¿∫𝑎

𝑏

𝑓 2 (𝑥 )𝑑𝑢 (𝑥 ) ,¿ ¿

∫𝑎

𝑏

𝛼 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑢 (𝑥 )=𝑎∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑢 (𝑥 ) , ∀𝑎∈ℝ

4

При имеем

2

Если интегрируемы по Риману, то имеет место следующее правило интегрирования по частям: 

3

Существование интеграла

I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо, чтобы была непрерывна во всех точках разрыва .

II. Для интегрируемости по необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при любом заданном положительном можно покрыть точки разрыва непрерывности конечным или счетным множеством промежутков (которые могут и перекрываться) так, что имеет место неравенство 

Геометрический смысл

(𝑆 )∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑡 )𝑑𝑔 (𝑡 )

𝑥=𝑔 (𝑡 ) , 𝑦= 𝑓 (𝑡 )

𝑎=𝑡 0<𝑡 1<...<𝑡𝑖<𝑡 𝑖+1<...<𝑡𝑛=𝑏

𝑠=∑𝑖

𝑚𝑖 Δ𝑔 (𝑡 𝑖 ) ,𝑆=∑𝑖

𝑀𝑖 Δ𝑔 (𝑡 𝑖 ) .

Применение в квантовой механике

Примеры

Решение:

(𝑆 )∫0

2

𝑥2𝑑 ln (1+𝑥 ) , (𝑆 )∫0

π2

𝑥𝑑sin 𝑥 , (𝑆 )∫− 1

1

𝑥𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 .

Вычислим интегралы:

(𝑆 )∫0

2

𝑥2𝑑 ln (1+𝑥 )= (𝑅 )∫0

2𝑥2

1+𝑥𝑑𝑥=( 1

2𝑥2 −𝑥+ ln (1+𝑥 ))|

0

2

=ln 3

(𝑆 )∫0

π2

𝑥𝑑sin 𝑥= (𝑅 )∫0

π2

𝑥 ⋅cos 𝑥𝑑𝑥=| 𝑢=𝑥 𝑑𝑣=cos 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑢=𝑑𝑥 𝑣=sin 𝑥 |=𝑥 sin 𝑥−∫

0

π2

sin 𝑥𝑑𝑥= π2⋅ sin

π2

+cosπ2

− cos0= π2

− 1

(𝑆 )∫− 1

1

𝑥𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥=¿ (𝑅 )∫−1

1𝑥𝑑𝑥1+𝑥2 =

12∫− 1

1 𝑑 (1+𝑥2 )1+𝑥2 =1

2ln (1+𝑥2)|−1

1=1

2( ln 2− ln 2)=0¿

∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑑𝑔 (𝑥 )=¿∫𝑎

𝑏

𝑓 (𝑥 )𝑔 ′ (𝑥 )𝑑𝑥+ 𝑓 (𝑎) (𝑔 (𝑎+0 ) − 𝑓 (𝑎 ) )+ 𝑓 (𝑏) (𝑔 (𝑏)−𝑔 (𝑏− 0 ) )+∑𝑘=1

𝑚−1

𝑓 (𝑥𝑘∗ ) (𝑔 (𝑥𝑘∗+0 )−𝑔 (𝑥𝑘∗− 0) )

Решение:

𝑥0∗=𝑎 , 𝑥1

∗ ,…,𝑥𝑚∗=𝑏 - точки разрыва функции и её производной

(𝑆 )∫− 2

2

𝑥𝑑𝑔 (𝑥 ) 𝑔 (𝑥 )={ 𝑥+2 при − 2 ≤𝑥 ≤− 1 ,2 при −1<𝑥<0 ,

𝑥2+3 при 0≤𝑥 ≤ 2.

∫−2

2

𝑥𝑑𝑔 (𝑥 )=∫− 2

−1

𝑥𝑑𝑥+2∫0

2

𝑥2𝑑𝑥+¿ (−1 ) ⋅1+0 ⋅1=𝑥2

2 |−2

−1

+23

x3|0

2

− 1=256

.¿

Вычислить по формуле:

𝑔 ′ (𝑥 )={ 1 при −2 ≤ 𝑥≤ −1 ,0 при − 1<𝑥<0 ,

2𝑥 при 0<𝑥 ≤2.

Применения интеграла Стилтьеса в настоящее время уже настолько проникли в некоторые области математики, физики и квантовой механики, что достаточно серьезное изучение этих областей без интеграла Стилтьеса немыслимо и активно применяется в теории вероятностей, теории функций, а так же в функциональном анализе.