Министерство общего и профессионального образования РФ

Ульяновский государственный технический Университет

Городской лицей при УлГТУ

ИНТЕГРАЛ

Ульяновск 2001

Министерство общего и профессионального образования РФ

Ульяновский государственный технический Университет

Городской лицей при УлГТУ

ИНТЕГРАЛМетодические указания по алгебреи началам анализа для 2 курса

лицея при УлГТУ

2-ое издание

Составитель П.К.Маценко

Ульяновск 2001

УДК 51 (075.4)Интеграл. Методические указания по алгебре и началам анализа для 2 курсалицея при УлПИ /Сост. П.К.Маценко. - Ульяновск: УлПИ, 1994. - 44 с.

В пособии, предназначенном для учащихся лицея, излагаются основныепонятия интегрального исчисления и даются методические указания к решениюзадач по данной теме. Пособие может быть использовано школьникамиобщеобразовательных школ, желающими самостоятельно углубить свои знанияпо алгебре и началам анализа.

Работа выполнена в лицее при УлГТУ.Ил.15

Рецензент: зав. кафедрой ФМОИПКПРО, канд. физ.-мат. наук,доцент Л.А.Штраус

Одобрено секцией методических пособий научно-методического советаинститута.

УлГТУ, 2001

СОДЕРЖАНИЕ:

Предисловие 41.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙИНТЕГРАЛ 4

1.1. Первообразная 41.2. Неопределённый интеграл и его свойства 61.3. Табличное интегрирование 91.4. Интегрирование введением под знак дифференциала 11

2.ОПРЕДЕЛЁННЫЙИНТЕГРАЛ 142.1. Площадь криволинейной трапеции 142.2. Определённый интеграл - предел интегральных сумм 152.3. Формула Ньютона-Лейбница 162.4. Интегрирование подстановкой 192.5. Интегрирование по частям 21

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕПРИЛОЖЕНИЯОПРЕДЕЛЁННОГОИНТЕГРАЛА 233.1. Площадь фигуры 233.2. Объём тела по площадям параллельных сечений 263.3. Объём тела вращения 293.4. Длина дуги кривой 31

4. ОТВЕТЫ. 33

Предисловие

Понятие интеграла пронизывает всю современнуюматематику.Инетолько её - в физике, химии, биологии, технических, экономических, а в по-следнее время и социальных науках понятия: интеграл, интегрирование, инте-гральный, интеграция и т.п. встречаются очень часто.В истории человечестваесть идеи, которые возникнув в глубокой древности, развиваясь и совершенст-вуясь, успешно служат и поныне.К таким идеям, безусловно, следует отнестиметод интегрирования (суммирования специальным способом) тех или иныхпроцессов.

Интегральный метод зародился в трудахАрхимеда при вычислении имплощадей и объёмов некоторыхфигур и тел.Архимед предвосхитил многиеидеи этого метода, но потребовалось свыше полутора тысяч лет, прежде чемони получили чёткое математическое оформление и превратились в интеграль-ное исчисление.

Вданном пособии излагаются основы исчисления: вводятся понятия пер-вообразной, неопределённого и определённого интегралов, рассматриваются ихсвойства и некоторые методы вычисления.Каждый пункт пособия начинается стеоретического материала, в котором приводятся основные понятия и методы,рассматривается несколько примеров, разъясняющих основные приёмы реше-ния практических задач. Затем даются упражнения и задачи для самостоятель-ного решения; в п.4 пособия собраны ответы к задачам.

Пособие не требует от читателя предварительного знакомства с раздела-миматематики, не входящими вшкольный курс.Предполагается, что читательзнаком с понятием предела и производной в объёмешкольного курса.Хотя по-собие предназначено для учащихся лицея приУлГТУ, ономожет использовать-ся ишкольниками общеобразовательныхшкол,желающих углубить и закре-пить знания по алгебре и началам анализа.

1.НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙИНТЕГРАЛ.1.1.Первообразная

Дифференцированием функции f(x), как Вам известно, называют опе-рацию нахождения производной.Например, для функции f(x)=sin2 6x в резуль-тате дифференцирования мы получаем

f'(х)=2sin6x(sin6х)=2sin6xcos6x•6=6sin2xНо для решениямногих задач необходимо уметь выполнять и обратную опера-цию: по заданной функции f(x) находить функцию F(X), производная которойдаёт f(х), т.е. F'(x) = f(x).Эта операция называется интегрированием функцииили операцией отыскания первообразной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Функция F(X) называется первообразной дляфункцииf(x) на множестве X, если F'(x)=f(x) для всех х е Х .

Является лифункцияF(x)первообразнойдляфункциинауказанномпромежутке?

1.2.Неопределённый интеграл и его свойства.

Вообще, если F0(x)- первообразная f(x) на множествеX, то любая функ-ция вида F(X)= F0(x)+C, где С - произвольная константа, тоже будет первооб-разной f(х) на том же множествеX.В самом деле

F'(x) = (F0 (x)+C)= F'0 (х)+С= f(x\ xeX.

Итак,мыможем сделать следующий вывод.Если к какой-нибудь первообраз-ной данной функции прибавить постоянное слагаемое, то снова получит сяпервообразная той же функции.

Возникает естественный вопрос:можно ли все первообразные f(x) найтив виде F0(x)+C, где F0(x) - какая-нибудь конкретная первообразная f(x)?Ут-вердительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

ТЕОРЕМА.Любая первообразная F(X)функции f(x) на некотором про-межуткеXможет быть представлена в виде: F(X)=F0(x)+C, гдеF0(x) - одна изпервообразных f(x) на промежуткеX, а С - произвольная константа.

Доказательство:По условию теоремы F'(x)= F'0 (x)=f(x). Рассмотримновую функцию g(x)= F(x)-F0(x). Её производная для всех хе X равна

g<(X) = (F(X)-F0(xJi=r(x)-F\(x) = f(x)-f(x)=0Докажем, что отсюда следует постоянность g(x).В самом деле, зафиксируемкакую-нибудь точку х0 е X. Рассмотрим разность g(x)- g(x0), которую преобра-

х3

зуем по формуле Лагранжа: g(x)-g(x0)=g'(xl}(x-x0),где x,- точка, лежащая ме-жду х0 и х. Так как g'(x,)=0, то из предыдущего равенства g(x)-g(xQ)=О, т.е.g(x) = g(x0) для всех х е Х . Значит, g(x) = C - константа.Вспоминая определениеg(jc), получаем F(X)-F0(x)=C, т.е. F(X) = F0(x)+C.Теорема доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Множество всех первообразных одной и тойжефунк-ции называется её неопределённым интегралом и обозначается ∫ f(x)dx.

Согласно доказанной теореме, неопределённый интеграл может бытьнайден поформуле

∫f(x)dx = F0(x)+C, (1.1)

где F0(x) - какая-нибудь конкретная первообразная функции f(x). Отметим, чтов формуле (1.1) функция f(x), стоящая под знаком интеграла, называется по-дынтегральной функцией.

Справедливы следующие свойства интеграла.

1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функ-ции

2.Интеграл производной некоторой функции с точностью до постоянного сла-гаемого равен самой функции

∫F'(x)dx = F(x)+C (1.2)

3.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла∫af(x)dx = a∫ f(x)dx, если а - const. (1.3.)

4.Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равенсумме их интеграловДоказательство 1 свойства:

i

= (F0(x)+C)=F0(x)+c'=f(x)

Доказательство 2 свойства.Дифференцируем левую и правую части формулы(1.2); обе производные равны F'(x). Значит, слева и справа записано множествопервообразных одной и тойже функции. Значит, левая и правая части формулы(1.2) равны.

Свойства 3 и 4 доказываются точно также, как 2-е свойство, дифференци-рованием левых и правых частей формул (1.3), (1.4) с использованием соответ-ствующих свойств производных.

ЗАМЕЧАНИЕ: Здесь и в дальнейшем опускается множество X, на кото-ром определена первообразная. При этом предполагается, что каждая первооб-разная имеет максимальную естественную область определения, на которой

Решить следующие задачи.

Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит черезточкуМ0

1.3.Табличное интегрирование.

Отыскание первообразной для функции путём подбора и последующейпроверки с помощью дифференцирования - операция весьма трудоёмкая и не-эффективная.Поэтому при интегрировании обычно используют таблицу инте-гралов от часто встречающихся элементарныхфункций.Следует запомнить этутаблицу.

Легко видеть, что при а= -1 формула (1.5) теряет смысл; в этом случае резуль-татом интегрирования будет так называемая логарифмическая функция, с кото-рой Вы познакомитесь позже.

Проверка (1.5)-(1.11) осуществляется дифференцированием левой иправой части; результатом дифференцирования должна быть подынтегральнаяфункция левой части.

Докажем, к примеру, формулу (1.10). Имеем

Получили подынтегральнуюфункцию левой части формулы (1.10).Остальныеформулы докажите самостоятельно.

ЗАМЕЧАНИЕ: Результат нахождения неопределённого интеграла с по-мощью таблицы интегралов рекомендуется проверять дифференцированием.Если неопределённый интеграл найден верно, то после его дифференцированиядолжна получиться подынтегральная функция.

Пример 6.Найти неопределённый интеграл

Решение: Используя свойства неопределённого интеграла, представимего в виде суммы интегралов, затем постоянные множители вынесем за знакиинтегралов.Наконец, воспользуемся формулами (1.5) при a = 3, (1.7) и снова(1 .5)приа= 1/2 .Получаем

Здесь мы воспользовались формулами (1.8) и (1.5) при а=О.Делаемпроверку.

Решение:Выделим «целую часть» подынтегральной функции, используяалгоритм деления многочлена на многочлен

1.4.Интегрирование введением под знак дифференциала.

Одним из наиболее простых и эффективных способов интегрированияявляется метод подведения под знак дифференциала некоторых множителейподынтегральнойфункции.При этом дифференциалом дуфункции у= g(x) на-

зывается величина dy = g'(x)dx .Предположим, что подынтегральнуюфункциюможно представить в виде f(g(x))g(xj . Тогда исходный интеграл преобразуетсяпоформуле

где у = g(x).После нахождения правого интеграла получим выражение, завися-щее от у . Заменив у по формуле у= g(x), найдём исходный интеграл.

Пример 9. Найти ∫ sin2 xcosxdx.

Решение: Замечаем,чтоd(sinx) = (sinx)dx = cosxdx.Поэтому

∫ sin2 xcosxdx = ∫ sin2 xd(sinx) = ∫ y2dy, где у - sinx .

Последний интеграл равен: у3 /3 +С = (sinx)3 /3 +С . Значит,

Решение: Найдём дифференциал подкоренного выражения:d(x2 +1)= (x2 + I)dx = 2xdx.Величина xdx естьподинтегралом,нехватает лишьмножителя 2;мы внесём множитель 2 под знак интеграла и вынесем 1/2, отэтого величина интеграла не изменится. Решение оформим так:

Делаемпроверку.

Для функции f(x) найти первообразную, график которой проходит через

2.ОПРЕДЕЛЁННЫЙИНТЕГРАЛ.2.1.Площадь криволинейной трапеции.

Пусть функция f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке[a; b]. Криволинейная трапеция - этофигура, ограниченная сверху графикомфункции f(x), снизу - осью абсцисс, слева и справа - вертикальными прямымих= а и х=Ь.Криволинейная трапеция изображена на рис. 2.1.

Рмс*2Л. Вычисление пяощадя криаолшейной трапеции

Для отыскания площади криволинейной трапеции разобьём её основаниеотрезок [а;Ь] на п произвольных (не обязательно равных) частей.Пусть

2.2.Определённый интеграл - предел интегральных сумм.

Математическая конструкция вида (2.2) возникает не только при вычис-лении площади криволинейной трапеции, но и при решениимногих задач ма-тематики,физики, других наук.Такая конструкция для произвольной функцииf(x) в математике называется определённым интегралом и систематическиизучается.

Итак, что же следует понимать под определённым интегралом для произ-вольной непрерывной на отрезке [a;b] функции? Разбиваем отрезок [a;b] произ-вольным образом на «частей точками xl,x2,...,xn_l (см. рис. 2.2).

тарныхпромежутков.Внутрикаждого элементарногопромежутка выберемпоточке, которые обозначим tt,t2,...,tn.Вычислимв этих точках значенияфункцииf(x):f(t1),f(t2),…,f(tn)- Составим сумму

Эта сумма называется интегральной. Будем произвольно увеличивать числоразбиений отрезка [a;b] так, чтобы всеДх,,Дх2,...,Дх„ стремились к 0.Если приэтом интегральная сумма стремится при различных разбиениях отрезка [a; b] кодному и томуже пределу, то этот предел называется определённым интегра-лом и обозначается

При этом f(x) называется подынтегральной функцией, числа а,Ь - соответст-венно нижним и верхним пределами интегрирования, х - переменной интегри-рования.

Итак, используя определение,мыможем записать

ЗАМЕЧАНИЕ 1.Изформул (2.2), (2.3) следует, что площадь криволи-нейной трапеции может быть вычислена с помощью определённого интегралапоформуле

Эта формула даёт геометрический смысл определённого интеграла.ЗАМЕЧАНИЕ 2.В самом определении определённого интеграла пред-

полагается, что нижний предел меньше верхнего: а<Ь.В томже случае, когдаа> b, полагается по определению, что

При этом правый интеграл понимается в обычном смысле (как предел инте-гральных сумм), поскольку у него нижний предел интегрирования меньшеверхнего.

Если же у определённого интеграла нижний и верхний пределы равныЬ= а, то такой интеграл по определению считается равнымО

2.Ъ.ФормулаНьютона-Лейбница.

Вычисление определённого интеграла по формуле (2.3) через предел ин-тегральных сумм - весьма трудоёмкий процесс. Обычно для вычисления опре-делённого интеграла применяется формулаНьютона-Лейбница.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.Формула (2.4) называется формулойНьютона-Лейбница.Для практического использования эту формулу обычно записываютв виде

Правая часть формулы (2.5) читается так: «первообразная F(X) с подстановкойот а до Ъ ». При использовании формулы Ньютона-Лейбница (2.4) или (2.5)нужно поступить следующим образом. Сначала находится первообразная F(X)(например, с помощью неопределённого интеграла), затем вычисляется значе-ние первообразной в верхнем пределе Ъ и из него вычитается значение перво-образной в нижнем пределе а.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.НаоснованииформулыНьютона-Лейбница легко дока-зываются некоторые простейшие свойства определённого интеграла.1. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

b b∫af(x)dx = a∫f(x)dx; a-const

aj a2.Определённый интеграл от суммы двух или нескольких функция равен сум-

ме их определённых интегралов .

Докажем, к примеру, первое свойство.Легко видеть, что если F(X) - первооб-разная f(x), то aF(x)- первообразная af(x).Поэтому согласно формуле Ньюто-на-Лейбница

Аналогично доказывается второе свойство.Теперь переходим к доказательству сформулированной ранее теоремы.Доказательствотеоремы.Чтобы использовать геометрическуюинтер-

претацию доказательства, дополнительно предположим, что f(x)> 0.Для про-извольного Z е [а;b) введём в рассмотрение функцию S(z)= ∫ f(x)dx (2.6)

Рис. 2.3.Построение первообразной.

С геометрической точки зрения этот интеграл определяет площадь криволи-нейной трапеции, заключённоймежду прямыми х= а и х= Z (см. рис. 2.3).Ве-личина площади однозначно зависит отZ .Пусть∆Z > 0 .Поскольку

определяет площадь криволинейной трапеции, заключённоймежду вертикаль-нымипрямымих=аиX=Z+AZ,TO приращение∆S=S(z+∆z)-S(z)естьплощадьэлементарной криволинейной трапеции, заключённоймежду x = z и x = z + ∆z.На рис. 2.3 данная трапеция заштрихована. Геометрически ясно, что площадь

2.4.Интегрированиеподстановкой.

Методинтегрированияподстановкой (заменойпеременной)базируетсяна следующейтеореме.

ТЕОРЕМА. Если функция f(x) непрерывна на [а;6], а функция x = g(t)имеет непрерывную производную на [α;β], причём g(a)=a, g(j3)=b,тo справед-лива формула .

Эта теорема принимается без доказательства.Суть метода интегрирования подстановкой состоит в следующем.По-

дыскивается такая функция x = g(t), которая при подстановке в подынтеграль-ное выражение значительно упрощает его.При этом согласно (2.9) долен бытьпересчитан дифференциал dx по формуле dx = g'(t)dt и пределы интегрированияа,Ь, соответствующие х, на пределы интегрирования а,/7, соответствующие tтак, чтобы g(a)=a, g(p)=b.

Решение.В интеграле сделаем подстановку х = -.При этом

dx = (l/t]dt = -dtlt2.Нижнему пределу х= V2 соответствует t = 1/ 2 , а верхнемупределу х= 2 соответствует t = 1/2. Решение оформляем следующим образом.

Используя указанные подстановки, найти интегралы:

2.5.Интегрирование по частям.

Метод интегрирования по частям базируется на формуле

В этой формуле и = u(x),v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции,du = u'(x)dx, dv - v'(x)dx - дифференциалы.

Основная сложность использования формулы (2.10) состоит в правиль-ном разделении подынтегрального выражения на и и dv.Общий принцип раз-биения таков: и,dv следует выбирать так, чтобы после применения формулы(2.10) получился бы интеграл более простой, чем исходный. Если же послеприменения формулы (2.10) получился более сложный интеграл, рекомендуетсявыбрать u,dv заново, отнеся к функции и то, что было отнесено к dv, и наобо-рот.

Вместе с тем,могут оказаться полезными следующие рекомендации.Об-ратные тригонометрическиефункции arcsin(ax),arccos(ax),arctg(ax) обычно относятк функции и(х), тригонометрические функции sin(ax),cos(ax) -к dv.Степеннуюфункцию х" относят либо к и(х), либо к функции dv по принципу «остаточно-сти» после того, как определили, куда отнести сомножители подынтегральноговыражения.

Решение.Согласно сформулированному правилу выбора положими = arctgx, dv - x3dx. Тогда

нужНА

Здесь мы снова взялиС = 0, потому что нам^бднафункция v. Решение оформ-ляем так

Используя метод интегрирования по частям, найти следующие интегра-

3.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕПРИЛОЖЕНИЯОПРЕДЕЛЁННОГОИНТЕГРАЛА.3.1.Площадьфигуры.

Будем предполагать, что рассматриваемаяфигура обладает следующим свойст-вом: любая вертикальная прямая, проходящая через внутреннюю точку фигуры,пересекает границу фигуры в двух точках.Для подобных фигур (см. рис. 3.1)можно выделить нижнююи верхнюю границы.Пусть у= f{(x) - уравнение ниж-ней границы, у= f2(х) - уравнение верхней границы.Докажем, что площадьфи-гурыможно вычислить поформуле

Предположим, что вся фигураD лежит над осью абсцисс как на рис. 3.1.Вэтом случае её площадь можно получить как разность площадей двух криволи-

лы:

Рис. 3.1. Площадь фигуры

нейных трапеций, ограниченных графикамифункций у= f{(x) и у= f2(x).Пло-щади этих криволинейныхтрапеций можно найти по формулам

формула (3.1) доказана.Отметим, что если бы

фигураD рассекалась осью абсцисс,мымогли быпутём вертикального сдвига вдоль оси ординат поднять фигуру D так, чтобыона оказалась лежащей выше оси абсцисс.Ясно, что площадь фигуры при этомне изменится, а в правые части уравнений её нижней и верней границы доба-вится одно и то же постоянное слагаемое, которое при вычитании f}(x) от f2(x)взаимно уничтожится. Значит,формула (3.1) имеет место и в этом случае.

Пример 1.Найти площадь круга радиуса R.Решение. Формула площади круга S = πR2Вам хорошо известна, однако

её доказательство невозможно без использования элементов анализа.Мывыве-дем эту формулу с помощью определённого интеграла.

В определённом интеграле сделаем замену переменной х= Rsint. Тогда

Итак, S=πR2.

Тогда площадь фигурыD равна

Пример 2.Доказать, что площадь фигуры, ограниченной эллипсом с по-луосями а, b, находится поформуле S =тb.

Решение. Эллипсом называют замкнутую кривую, котораяимеет урав-нение:

Параметры а,Ь>Оиназываются полуосями эллипса.Эллипс изображён на рис.3.3.Отметим, что в случаеЪ= а эллипс превращается в окружность.Площадьфигуры находится по томуже алгоритму, что и площадь круга в примере 1.Вычислим площадь части фигуры и результат учетверим.Из уравнения эллипса

Мы получили тот же интеграл, что и в примере 1, только вместо R стоит пара-метр а.Сделав в интеграле замену х = asinf и повторив расчёты,мы получимS=nab.

Пример 3.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2,у=х+ 2.

Решение.Находим точки пересечения линий у= х2, у= х+ 2. (см. рис. 3.4)Приравнивая правыечасти уравнений,получаем х2 = х+ 2, откуда х, = -1,х2 = 2.Так как верхняя граница имеет уравнение у= х+ 2, нижняя у= х2, то площадьфигуры согласно (3.1) находится по формуле

Решить следующие задачи.Найти площади фигур, ограниченными линиями:

3.11. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х2 - 8.x, осью орди-нат и касательной к параболе в её вершине.

3.12. Найти площадь фигуры, ограниченной линией у = х2 - 2х + 2, касательнойк этой линии, проведённой в точке пересечения её с осью ординат, и пря-мой х= 2.

3.13.Через точку пересечения кривой у= 2х2 + 4х - 3 с осью ординат проведенакасательная к кривой.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой,касательной к НЕЙ" и ПРЯМОЙ х=2.

3.14.Найтиплощадьфигуры,ограниченнойлиниейх2 + y +16 =Оикасатель-ными к этой линии, проведёнными из начала координат.

3.15. Найти площадь фигуры, ограниченной осями координат, линией у = х2 + 2и касательной к линии в точкеA(2;6).

3.16.Внекоторой точке графика функции у= x касательная наклонена к осиабсцисс под углом 45°.Вычислить площадь фигуры, ограниченной этойкасательной, графикомфункции и осью абсцисс.

3.2.Объём тела по площадям параллельных сечений.

Предположим, что нам известна площадь любого сечения тела плоско-стью, перпендикулярной оси абсцисс.Поскольку площадь S каждого сечениязависит от координаты х, будем писать S = S(x).Пусть плоскостиγ1,γ2,касающиеся поверхности тела и перпендикулярные оси абсцисс, пересе-кают ось абсцисс в точках а,b.Тогда объём тела может быть найден поформу-ле

Рис.3.5.Сечение тела плоскостью

Доказательствоформулы (3.2)проведёмприодномдополнительномпредполо-жении: все перпендикулярные сечения тела являютсяфигурами «без дыр» (какна рис. 3.5).Разрежемтелоперпендикулярнымиоси абсциссплоскостяминаислоё^при этомотрезок [a;b] будет разбитна пчастей точками: xl,x2,...,xn_l (см.рис.З.ба).Толщиныэтих слоев будут равнысоответственно

Теломожноразрезать на столь тонкие слои,что каждыйслойприближённоможетбыть заменёнцилиндромтойжетолщины (высоты),основаниемкоторо-го являетсянекоторое«среднее» сечениеQK =S(tK),расположенноемеждуS(tK_})иS(tK) (см.рис. 3.66).

Рис.3.6. Вычисление объема тела

Рис.3.7. Объем пирамиды

Доказательство.Пусть S0 и S, - площади соответственно нижнего иверхнего оснований пирамиды (см. рис.3.7).Достроим усечённую пирамиду дополной.Достроенную пирамиду расположим так, чтобы её вершина совпадалас началом координат, а высота - с осью абсцисс.Известно, что любое сечение полной пирамиды, параллельное основанию, от-секает от пирамиды подобную часть с некоторым коэффициентом подобия k.Из свойств подобия мы знаем, что площадь любого сечения, параллельного ос-нованию, пропорциональна квадрату расстояния до вершины.Поэтому

S0=kb2, S}=ka2, S(x) = kx2, (3.5)

где S(x) - площадь сечения, удалённого на расстояние х от вершины пирамиды.Объём усечённой пирамидымынаходим на основанииформулы (3.2).Получа-ем

Привыводеформулымыучлиформулы (3.5)иравенствоЬ-а =Н.Замечание 1.Чтобыот объёма усечённойпирамидыперейти к объёму

полной,нужновформуле (3.4)положитьS1 = 0 .Приэтомполучаетсяизвестнаяформулаобъёмаполнойпирамиды

Замечание 2. При решении предыдущей задачи нигде не использовалсятот факт, что на чертеже изображена четырёхугольная пирамида;мы использо-вали только площади параллельных сечений.Поэтому данное доказательствопереносится без всяких изменений на случай произвольной п -угольной пира-миды.Ясно, что это же доказательство легко переносится на случай полного иусечённого конуса.Можно доказать следующие утверждения (провести доказа-тельства самостоятельно).

1)Объём полного конуса равен одной трети площади основания на высо-

Решить следующие задачи:

3.17.Вшаре радиусом R на расстоянии R12 от центра проведена секущаяплоскость.Найти объёмы частей, на которые рассечёншар.3.18.Вшаре радиусом R просверлено сквозное цилиндрическое отверстие ра-диуса r, ось симметрии которого проходит через центршара.Найти объём ос-

тавшейся частишара.Указание:рассматривать сечения,перпендикулярныеосиотверстия.3.19.Вконусе с радиусом основанияR, высотойН через вершину конуса ихордуоснования,отстоящуюнаR/ 2отцентра основания,проведена секущаяплоскость.Найтиобъёмычастей,на которыерассечён конус.Указание:рас-сматривать сечения,параллельныеоснованиюконуса.3.20.Вцилиндре с радиусомоснованияRи высотой 2R через диаметр верхне-го основанияподуглом 45° коснованиюпроведена секущаяплоскость.Найтиобъёмвсегоцилиндраи его отсечённойчасти.Указание:рассматривать сече-ния,параллельныеосицилиндра.

3.3.Объёмытела вращения.

Пусть криволинейная трапеция,ограниченная сверх/графиком у= f(x),снизу -осьюабсцисс, слеваи справа - вертикальнымипрямыми к=а, х= b,вращается вокруг оси абсцисс.Приэтомполучаетсянекоторое тело вращения(см.рис.3.8).

Рис.3.8. Объем тела вращения

Покажем, что его объём находится по формуле V = π∫b

a

dxxf )(2 (3.6)

Выберем произвольную точку хе[a;b]. Перпендикулярным сечением телав точке х будет круг радиусом R = f(x), поэтому его площадь равна S(x) = 7tf2(x).Подставляя S(x) в формулу (3.2), получим формулу (3.6).

Пример 5.Прежде всего отметим, что эту формулу можно получить не-посредственно из (3.2) так же, как мы получили формулу объёма для пирамиды(см. замечание 2 предыдущего пункта).Однако формулу объёма усечённогоконуса можно получить проще на основанииформулы (3.6).Для этого прямо-угольную трапецию высотой Я с радиусами оснований R и г будем вращатьвокруг высоты; получим усечённый конус.Найдём уравнение образующей.До-строим трапецию до треугольника и расположим его так, как показано на рис.3.9.

о сиРис.3.9. Прямоугольная трапеция

Наклонная сторона трапеции будет иметь уравнение у= Ь.Поэтому согласно

формуле (3.6) получаемгде S0,S} - площади нижнего и верхнего оснований усечённого конуса.

Пример 6.Параболический сегмент с основанием 2а и высотой h вра-щается вокруг основания.Найти объём полученного тела (лимон Кавальери).

Рис.ЗЛО. Лимон Кавальери

Решение. Расположим параболический сегмент так, как показано на рис.3.10.Парабола y = h-kx2 ограничивает сегмент сверху.Параметр k найдём изусловия, что у= 0 при х = а; получаем k = h/ a2. Значит, парабола имеет уравне-ние у= h(l -х2 /a2).Так как лимонКавальери - симметричное тело, найдёмобъём правой половины, затем результат удвоим.Итак, согласно формуле (3.6)мыимеем

Решить следующие задачи:

3.21.Найти объём тела, получающегося при вращении вокруг осиОхфигуры,ограниченной осьюОх и графикомфункции у= х-х2.3.22.Найти объём тела, образованного вращением вокруг осиОх эллипса

3.23. Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс кри-вой: y=sin x, 0<х<π.3.24.Найти объём тела, образованного при вращении вокруг осиОхфигуры,

Но b - а =Н, kb = R, ka = r . Поэтому предыдущая формула примет вид

3.25.Найти объём тела, образованного при вращении вокруг осиOуфигуры,3

ограниченной линиями у= х2 , у= 1, х= 0.3.26. Найти объём тела, образованного при вращении вокруг оси Оу фигуры,ограниченной линиями: у= х2 +1, у= 10.

3.4.Длина дуги кривой.

Допустим, что линияАВ является графикомфункции у= f(x), x e [a;b],причём производная f'(x) непрерывна на [a;b]. Тогда длина линии находится поформуле .

_^^ ч^

Для доказательства формулы (3.7) разобьём линиюАВ произвольным об-разом на п равных частей (см. рис.3.11).ПустьМ,,М2,...,Мn-1, точки разбиения,х,,х,,...,х. - абсциссы этих точек; обозначим

При этом символ ...| означает длину соответствующей элементарной дуги.

Рис. З.11. Вычисление длины линии

Каждую элементарную дугу приближённо приближенно заменим стяги-вающей её хордой; длина такой хордыможет быть найдена по теоремеПифаго-

Пример 8. Доказать, что длина окружности радиуса R находится поформуле l = 2πR .

Решение. Эта формула Вам хорошо известна,мыже её получим с по-мощьюформулы (3.12).Поместим центр окружности в начало координат.Пусть х,у - координаты точки на окружности, t - угол, образуемыйОМ с по-ложительным направлением осиОх (см. рис. 3.12).Легко видеть, чтоx=Rcost,y =Rsint,Q<t<2x.