Олон хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремум, интеграл

МАТЕМАТИК-2

Д.Баттөр

Агуулга

Олонхувьсагчтайфункцийнэкстремум(ОХФ)-ийнэкстремум(ОХФ)-ийннөхцөлтэкстремум

ОлонхувьсагчтайфункцийнинтегралчлалХоёрлосонинтегралХоёр давхаринтегралХоёрлосонинтегралыгбодох

МАТЕМАТИК-2Олон хувьсагчтай функцийн үндэс

Д.Баттөр

2010 оны 3-р сарын 3


Д.Баттөр

Агуулга



1 Олон хувьсагчтай функцийн экстремум(ОХФ)-ийн экстремум(ОХФ)-ийн нөхцөлт экстремум

2 Олон хувьсагчтай функцийн интегралчлалХоёрлосон интегралХоёр давхар интегралХоёрлосон интегралыг бодох


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн нөхцөлт экстремум

Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага утгыг олох явцадхоорондоо ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр холбогдсон хэд,хэдэн хувьсагчаас хамаарсан функцийн максимум баминимумийг олох шаардлага гардаг.


Д.Баттөр

Агуулга



(ОХФ)-ийн нөхцөлт экстремум

ЖишээлбэлЖишээлбэл 2a-нэгж квадрат гадаргуугийн талбайтай хавтгайматериалаар хамгийн их эзэлхүүнтэй параллелопипед хэлбэртэйбитүү хайрцаг хийх боллоо гэж бодъё.Хэрэв энэхүү хайрцагны урт, өргөн, өндөрийг x , y , z гэвэлэзэлхүүн нь

v = x · y · z

томъёогоор илэрхийлэгдэнэ. Харин гадаргуугийн талбай нь

2xy + 2yz + 2xz = 2a

байна. Иймд энэ бодлого нь v = xyz функцийн максимумыг

xy + xz + yz = a

нөхцөлд бодож ол гэсэн үг юмаа.


Д.Баттөр

Агуулга



((ОХФ)-ийн нөхцөлт экстремум

Одоо хоёр хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремумынбодлогын ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

z = f (x ; y) (1)

фунцкийн экстремумийг

φ(x ; y) = 0 (2)

нөхцөлд бодох зорилго тавъя.

Хэрэв бид (2) нөхцлөөс y -ыг x-ээр y = ψ(x) гэж илэрхийлж(1)-д орлуулан тавибал манай бодлого нь

z = f [x ;ψ(x)]

фунцкийн ердийн экстремумийг олох бодлогод шилжинэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Одоо хоёр хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремумынбодлогын ерөнхий тохиолдлыг авч үзье.

z = f (x ; y) (1)

фунцкийн экстремумийг

φ(x ; y) = 0 (2)

нөхцөлд бодох зорилго тавъя.Хэрэв бид (2) нөхцлөөс y -ыг x-ээр y = ψ(x) гэж илэрхийлж(1)-д орлуулан тавибал манай бодлого нь

z = f [x ;ψ(x)]

фунцкийн ердийн экстремумийг олох бодлогод шилжинэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Тодорхойлт

z-функцийн экстремумийн цэг дээр x , y -үл мэдэгдэх бүхий

∂f

∂x+ λ

∂φ

∂x= 0

∂f

∂y+ λ

∂φ

∂y= 0

φ(x ; y) = 0

(1)

гэсэн систем тэншитгэл гарна. Энэ системийг бодож x , y , λ-ынутгуудыг олно.

z = f (x ; y) функцийн экстремумийн цэг дээр (1) нөхцөлбиелэгдэх тул тэр нь функц нөхцөлт экстремумийн зайлшгүйнөхцөл болно. (1) нөхцлийн зүүн гар тал нь

F (x ; y ;λ) = f (x ; y) + λφ(x ; y) (2)

функцийн x , y , λ-аар авсан тухайн уламжлалууд юм.


Д.Баттөр

Агуулга





z-функцийн экстремумийн цэг дээр x , y -үл мэдэгдэх бүхий

∂f

∂x+ λ

∂φ

∂x= 0

∂f

∂y+ λ

∂φ

∂y= 0

φ(x ; y) = 0

(1)

гэсэн систем тэншитгэл гарна. Энэ системийг бодож x , y , λ-ынутгуудыг олно.z = f (x ; y) функцийн экстремумийн цэг дээр (1) нөхцөлбиелэгдэх тул тэр нь функц нөхцөлт экстремумийн зайлшгүйнөхцөл болно. (1) нөхцлийн зүүн гар тал нь

F (x ; y ;λ) = f (x ; y) + λφ(x ; y) (2)

функцийн x , y , λ-аар авсан тухайн уламжлалууд юм.


Д.Баттөр

Агуулга





Иймд нөхцөлт экстремумын сэжигтэй цэгийг олохын тулд туслахчанарын функц (2)-ийн x , y , λ-аар авсан тухайн уламжлалуудыгтэгтэй тэнцүүлж (2) систем зохиож системийн шийдийг олно.Эндээс харахад z = f (x ; y) функцийн φ(x ; y) = 0 нөхцөлтэкстремум олох бодлого нь (2) функцийн ердийн экстремумийголох бодлогод шилжинэ.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

v = xyz функцийнxy + xz + yz − a = 0 (x > 0, y > 0, z > 0) нөхцөлдмаксимумыг ол.

F (x ; y ;λ) = xyz + λ(xy + xz + yz − a) (3)

туслах чанарын функц зохиож түүний тухайнуламжлалуудыг олж тэгтэй тэнцүүлбэл

yz + λ(y + z) = 0xz + λ(x + z) = 0xy + λ(x + y) = 0

(4)

гэсэн систем үүснэ.


Д.Баттөр

Агуулга



Хоёрлосон интеграл


XOY хавтгай дээр орших l-битүү муруйгаар хүрээлэгдсэнтодорхой талбай ба диаметр бүхий зааглагдсан төгсгөлөгмуж D-г авъя. Энэ мужийн хүрээ l-чиглүүлэгчтэйOZ -тэнхлэгтэй параллель байгуулагчтай доод талаасаа Dмуж, дээд талаасаа z = f (x , y)-тэгшитгэлтэй тасралтгүйгадаргуугаар хүрээлэгдсэн биеийг цилиндрлэг бие гэнэ.

Одоо энэхүү цилиндрлэг биеийг T гэж тэмдэглээд T -биеийнэзэлхүүн гэж юуг хэлэх, юутай тэнцүү болохыг тодорхойлохзорилт тавъя.


Д.Баттөр

Агуулга





z = f (x , y) функц D муж дээр тасралтгүй f (x , y) > 0байвал D мужийн хил чиглүүлэгчтэй, OZ -тэнхлэгтэйпараллель байгуулагчтай доод талаасаа XOY хавтгай, дээдталаасаа z = f (x , y)-гэсэн гадаргуугаар хүрээлэгдсэнцилиндрлэг биеийн эзэлхүүн V -нь

V =

∫∫D

f (x , y)dxdy (1)

байна.


Д.Баттөр

Агуулга




Хоёрлосон интегралын чанар

1∫∫D

[f1(x , y)± f2(x , y)]dxdy =∫∫D

f1(x , y)dxdy ±∫∫D

f2(x , y)dxdy

2∫∫D

c · f (x , y)dxdy = c∫∫D

f (x , y)dxdy .

3∫∫D

f (x , y)dxdy =∫ ∫D1

f (x , y)dxdy +∫ ∫D2

f (x , y)dxdy

4∫∫D

c dxdy = c · S Үүнд c − const, S нь D

мужийн талбай.


Д.Баттөр

Агуулга




Хоёрлосон интегралын чанар

5 Хэрэв z = f (x , y) функц D муж дээртасралтгүй f (x , y) > 0(f (x , y) < 0) байвал

∫∫D

f (x , y)dxdy > 0

∫∫D

f (x , y)dxdy < 0

6 Хэрэв D муж f (x , y) ≤ φ(x , y) байвал∫∫

D

f (x , y)dxdy ≤∫∫D

φ(x , y)dxdy

7∣∣∣ ∫∫D

f (x , y)dxdy∣∣∣ ≤ ∫∫

D

|f (x , y)|dxdy


Д.Баттөр

Агуулга



Хоёр давхар интеграл


XOY хавтгай дээр орших l-битүү муруйгаар хүрээлэгдсэнзааглагдсан төгсгөлөг муж авъя.

Хэрэв D мужийн дотор орших M(x , y) цэгийг дайрууланOY тэнхлэгтэй параллель шулуун татахад энэ шулуун нь Dмужийн хилийг зөвхөн N1,N2 гэсэн хоёрхон цэгээр огтлохбайвал түүнийг OY -тэнхлэгийн хувьд зөв муж гэнэ.Хэрэв D мужийн дотоод цэг M(x , y)-ийг дайрууланOX -тэнхлэгтэй параллель шулуун татахад мужийн хилийгзөвхөн хоёр цэгээр огтлох бол D мужийг OX -тэнхлэгийнхувьд зөв муж гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





XOY хавтгай дээр орших l-битүү муруйгаар хүрээлэгдсэнзааглагдсан төгсгөлөг муж авъя.Хэрэв D мужийн дотор орших M(x , y) цэгийг дайрууланOY тэнхлэгтэй параллель шулуун татахад энэ шулуун нь Dмужийн хилийг зөвхөн N1,N2 гэсэн хоёрхон цэгээр огтлохбайвал түүнийг OY -тэнхлэгийн хувьд зөв муж гэнэ.

Хэрэв D мужийн дотоод цэг M(x , y)-ийг дайрууланOX -тэнхлэгтэй параллель шулуун татахад мужийн хилийгзөвхөн хоёр цэгээр огтлох бол D мужийг OX -тэнхлэгийнхувьд зөв муж гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





XOY хавтгай дээр орших l-битүү муруйгаар хүрээлэгдсэнзааглагдсан төгсгөлөг муж авъя.Хэрэв D мужийн дотор орших M(x , y) цэгийг дайрууланOY тэнхлэгтэй параллель шулуун татахад энэ шулуун нь Dмужийн хилийг зөвхөн N1,N2 гэсэн хоёрхон цэгээр огтлохбайвал түүнийг OY -тэнхлэгийн хувьд зөв муж гэнэ.Хэрэв D мужийн дотоод цэг M(x , y)-ийг дайрууланOX -тэнхлэгтэй параллель шулуун татахад мужийн хилийгзөвхөн хоёр цэгээр огтлох бол D мужийг OX -тэнхлэгийнхувьд зөв муж гэнэ.


Д.Баттөр

Агуулга





Хэрэв D нь OY ба OX -тэнхлэгийн хувьд нэгэн зэрэг зөвмуж байвал түүнийг зөв муж гэнэ. (3-р зураг)

6

-0

M1 M2

N2

N1

a b x

yy = φ2(x)

y = φ1(x)D

3-р зураг


Д.Баттөр

Агуулга





JD =

b∫a

φ2(x)∫

φ1(x)

f (x , y)dy

dx

интегралыг f (x , y) функцээс D мужаар авсан хоёр давхаринтеграл гэж нэрлэдэг.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

JD =1∫0

{x2∫0

(x2 + y2)dy

}dx интегралыг бод.

JD =

1∫0

x2∫0

(x2 + y2)dy

dx =

1∫0

(x2y +y3

3)∣∣∣x20 dx =

1∫0

(x4 +x6

3)dx =

(x5

5+

x7

21

) ∣∣10 =

1

5+

1

21=

26

105


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ

JD =1∫0

{x2∫0

(x2 + y2)dy

}dx интегралыг бод.

0 x = 1

y = x2

D -

6y

x

4-р зураг


Д.Баттөр

Агуулга



Хоёрлосон интегралыг бодох


D муж дээр тодорхойлогдсон z = f (x ; y) функцээс Dмужаар авсан хоёрлосон интеграл нь f (x ; y) функцээс Dмужаар авсан хоёр давхар интегралтай тэнцүү:

∫∫D

f (x ; y)dxdy =

b∫a

φ2(x)∫

φ1(x)

f (x ; y)dy

dx


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D

(x + 2y)dxdy интегралыг бод. Үүнд D-нь 8-р зурагт

үзүүлсэн гурвалжин.

-

6y

0 x3

2

8-р зураг

B

A


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D


үзүүлсэн гурвалжин.

D мужийн хил нь y = 0, x = 0, 2x + 3y − 6 = 0байна.Иймд

∫∫D

(x + 2y)dxdy =

3∫0

6−2x

3∫0

(x + 2y)dy

dx =

3∫0

[xy + y2]∣∣∣ 6−2x

3

0dx =

2

9

8∫0

(18− 3x − x2)dx = 7.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D


үзүүлсэн гурвалжин.D мужийн хил нь y = 0, x = 0, 2x + 3y − 6 = 0байна.

Иймд

∫∫D

(x + 2y)dxdy =

3∫0

6−2x

3∫0

(x + 2y)dy

dx =

3∫0

[xy + y2]∣∣∣ 6−2x

3

0dx =

2

9

8∫0

(18− 3x − x2)dx = 7.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D


үзүүлсэн гурвалжин.D мужийн хил нь y = 0, x = 0, 2x + 3y − 6 = 0байна.Иймд

∫∫D

(x + 2y)dxdy =

3∫0

6−2x

3∫0

(x + 2y)dy

dx =

3∫0

[xy + y2]∣∣∣ 6−2x

3

0dx =

2

9

8∫0

(18− 3x − x2)dx = 7.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D



∫∫D

(x + 2y)dxdy =

3∫0

6−2x

3∫0

(x + 2y)dy

dx =

3∫0

[xy + y2]∣∣∣ 6−2x

3

0dx

=2

9

8∫0

(18− 3x − x2)dx = 7.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D



∫∫D

(x + 2y)dxdy =

3∫0

6−2x

3∫0

(x + 2y)dy

dx =

3∫0

[xy + y2]∣∣∣ 6−2x

3

0dx =

2

9

8∫0

(18− 3x − x2)dx

= 7.


Д.Баттөр

Агуулга




Жишээ∫∫D



∫∫D

(x + 2y)dxdy =

3∫0

6−2x

3∫0

(x + 2y)dy

dx =

3∫0

[xy + y2]∣∣∣ 6−2x

3

0dx =

2

9

8∫0

(18− 3x − x2)dx = 7.

Олон хувьсагчтай функцийн нөхцөлт экстремум, интеграл

Education