第 25 课 梯 形
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第 25 课 梯 形. 1 .一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形. 的梯形叫做等腰梯形. 2 .等腰梯形的判定方法: (1) 的梯形; (2) 相等的梯形; (3) 相等的梯形.. 基础知识 自主学习. 要点梳理. 两腰相等. 两腰相等. 同一底上的两个角. 对角线. 3 .梯形转化为三角形或四边形常见的辅助线:. 4 .梯形的中位线定理: 梯形的中位线平行于上、下两底,且等于两底和的一半.. [ 难点正本 疑点清源 ] 1 .类比平行四边形定义,理解梯形定义 有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形, - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第 25 课 梯 形
基础知识 自主学习
1 .一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形. 的梯形叫做等腰梯形.2 .等腰梯形的判定方法: (1) 的梯形; (2) 相等的梯形; (3) 相等的梯形.
要点梳理
两腰相等
同一底上的两个角对角线
两腰相等
3 .梯形转化为三角形或四边形常见的辅助线:
4 .梯形的中位线定理: 梯形的中位线平行于上、下两底,且等于两底和的一半.
[ 难点正本 疑点清源 ]
1 .类比平行四边形定义,理解梯形定义 有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形,关键在于另一组对边的位置或平行的一组对边的数量关系,梯形只有一组对边平行,而平行四边形两组对边都平行;平行四边形中平行的一组对边必相等,梯形平行的一组对边必不相等.
2 .梯形中经常用到的添辅助线方法 在解决梯形问题时,常常要视已知条件来添加某些辅助线,将梯形化为三角形或平行四边形 ( 或矩形 ) ,从而使分散的条件相对集中,找
出原题的解答. (1)当已知条件中含梯形两腰时可延长两腰,把梯形问题转化为三角形问题来解决;或平移一腰或过上底两端点作高,把梯形转化为平行四边形和三角形来解; (2)当已知条件中含梯形对角线时,可平移一条对角线,把梯形转化为平行四边形或三角形来解; (3)当已知对角线中点时,可将顶点与该中点连接并延长与另一底相交于一点,把梯形问题转化为三角形问题来解; (4)当已知一腰中点时,可把一顶点与中点连接并延长与另一底相交;或过这腰中点作梯形另一腰的平行线,把梯形问题转化为平行四边形或三角形问题来解;或取梯形另一腰的中点,构成梯形中位线问题.
基础自测
1. (2011· 临沂 ) 如图,梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB=CD, AD= 2, BC= 6 ,∠ B= 60° ,则梯形 ABCD
的周长是 ( )
A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
答案 C
解析 作 AE⊥ BC,DF⊥ BC,垂足分别为 E、F.
易证△ ABE≌ △ DCF,BE=CF=12(BC-AD)
=12× (6-2)=2.
又∵ ∠ B=60°,∴ AB=4,梯形 ABCD的周长
AB+BC+CD+DA=4+6+4+2=16.
2. (2011· 宜昌 ) 如图,在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AD
= BC ,点 E、 F、 G、 H 分别是AB、 BC、 CD、 DA 的中点,则下列结论一定正确的是( )
A. ∠HGF =∠ GHE
B .∠ GHE =∠ HEF
C .∠ HEF =∠ EFG
D .∠ HGF =∠ HEF
答案 D
解析 连接 AC、BD.
∵ G、H分别是 CD、AD的中点,
∴ GH∥12AC,GH=
12AC.
同理,EF∥12AC,EF=
12AC.
∴ 四边形 EFGH是平行四边形.
∴ ∠ HGF=∠ HEF.
3. (2011· 台州 ) 如图,在梯形 ABCD
中, AD∥BC ,∠ ABC= 90° ,对角线 BD、 AC 相交于点 O. 下列条件中,不能判断对角线互相垂直的是 ( )
A .∠ 1 =∠ 4
B .∠ 1 =∠ 3
C .∠ 2 =∠ 3
D. OB2+ OC2= BC2
答案 B
解析 当∠ 1=∠ 4时,由∠ ABC=90°,得∠ 1+∠ OBC=90°,
∠ 4+∠ OBC=90°,得∠ BOC=90°,AC⊥ BD;
当∠ 2=∠ 3时,由 AD∥ BC,∠ ABC=90°,得∠ BAD=90°,
∠ OAD+∠ 3=90°,得∠ AOD=90°,AC⊥ BD;
当 OB2+OC2=BC2时,∠ BOC=90°,AC⊥ BD;故选 B.
4.(2011·安徽)如图,四边形 ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,
AB=AD=2 2,CD= 2,点 P在四边形 ABCD上,若 P
到 BD的距离为32,则点 P的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 在 Rt△ ABD中,AB=AD,得∠ ADB=45°,
∴ 点 A到 BD的距离为2
2 AD=2
2 × 2 2=2>32;
又∵ ∠ ADC=90°,∴ ∠ BDC=45°,点 C到 BD的
距离为2
2 CD=2
2 × 2=1<32.所以点 P在 AB、AD
上时,存在 P到 BD的距离为32,这样的点 P有两个.
5. (2011· 潍坊 ) 已知直角梯形 ABCD 中, AD∥BC ,∠ BCD= 90° , BC= CD= 2AD , E、 F 分别是 BC、 CD 边的中点,连接 BF、 DE 交于点 P ,连接 CP 并延长交 AB 于点 Q ,连接 AF ,则下列结论不正确的是 ( )
A. CP 平分∠ BCD
B .四边形 ABED 为平行四边形 C. CQ 将直角梯形 ABCD 分为 面积相等的两部分 D .△ ABF 为等腰三角形
答案 C
解析 连接 BD,由∠BCD=90°,BC=CD,得∠CBD=∠CDB,
又 EC=12BC=
12CD=CF,∠BCD是公共角,得△ BCF≌△ DCE,
∴ ∠CBF=∠CDE,∴ ∠BDE=∠DBF,PB=PD.
又∵ PC=PC,∴ △ BCP≌△ DCP,∠BCP=∠DCP,CP平分∠BCD;
∵ AD∥ BE,BE=12BC=AD,∴ 四边形 ABED是平行四边形;
由△ BCF≌△ DCE,得 BF=DE,
又由□ABCD得 AB=DE,所以 AB=BF,
所以△ ABF是等腰三角形;故结论 A、B、D正确,选 C.
题型分类 深度剖析
【例 1 】 如图,在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB= CD
= AD, BD⊥CD.
(1)求 sin∠DBC 的值; (2)若 BC 长度为 4 cm ,求梯形 ABCD 的面积.
题型一 梯形的相关计算题
解 (1)∵ AD∥ BC, ∴ ∠ ADB=∠ CBD. 又∵ AB=AD, ∴ ∠ ADB=∠ ABD,
∴ ∠ CBD=∠ ABD=12∠ ABC.
又∵ AB=CD, ∴ ∠ ABC=∠ C. ∵ BD⊥ CD, ∴ ∠ BDC=90°,∠ DBC+∠ C=90°, ∴ 3∠ DBC=90°,∠ DBC=30°,
∴ sin∠ DBC=sin30°=12.
(2)∵ BC=4, ∴ CD=2,BC边上的高= 3,
∴ S 梯形ABCD=12× (2+4)× 3=3 3 (cm2).
探究提高 掌握梯形的面积公式;或者根据条件,将梯形问
题转化为三角形问题来加以解决.
知能迁移 1 (2011· 河南 ) 如图,在梯形 ABCD
中, AD∥BC ,延长 CB 到点 E ,使 BE= AD ,连接 DE
交 AB 于点 M.
(1) 求证:△ AMD≌△BME ; (2) 若 N是 CD 的中点,且 MN= 5, BE= 2 ,求 BC 的
长.
解 (1)证明:∵ AD∥ BC,∴ ∠ A=MBE,∠ ADM=∠ E.
在△ AMD和△ BME中,
∠ A=∠ MBE,AD=BE,∠ ADM=∠ E,
∴ △ AMD≌ △ BME.
(2)解:∵ △ AMD≌ △ BME,∴ MD=ME.
又∵ ND=NC,∴ MN=12EC.
∴ EC=2MN=2× 5=10.
∴ BC=EC-EB=10-2=8.
题型二 等腰梯形
【例 2 】 如图,在等腰梯形 ABCD 中,∠ C=60°, AD∥BC ,且 AD= DC, E、 F 分别在 AD、 DC
的延长线上,且 DE= CF, AF、 BE 交于点 P.
(1) 求证: AF= BE ; (2) 请你猜测∠ BPF 的度数,并证明你的结论.
解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!
解: (1) BA∵ = CD= AD , ∠BAE =∠ ADF , AD+ DE= CD+ CF ,即 AE= DF , ∴△BAE ADF(SAS)≌△ , [3分 ]
∴AF= BE.[4分 ]
(2) 猜想∠ BPF= 120°.[5分 ]
证明:由 (1) 得△ BAE≌△ADF , ∴∠ABE =∠ DAF.[6分 ]
∴∠BPF =∠ ABP +∠ BAP =∠ BAE.
又∵ AD∥BC ,∠ C =∠ ABC= 60° , ∴∠BPF =∠ BAE= 120°.[8分 ]
探究提高 利用等腰梯形的性质“同一底上的两个底角相
等”直接求得∠ BPF 的度数.
知能迁移 2 (2011· 芜湖 ) 如图,在梯形 ABCD
中, DC∥AB, AD= BC, BD 平分∠ ABC ,∠ A= 60°.
过点 D作 DE⊥AB ,过点 C作 CF⊥BD ,垂足分别为 E、F ,连接 EF ,求证:△ DEF 为等边三角形 .
解 证明:∵ DC∥ AB,AD=BC,∠ A=60°,
∴ ∠ ABC=∠ A=60°.
又∵ BD平分∠ ABC,∴ ∠ ABD=∠ CBD=12∠ ABC=30°.
∵ DC∥ AB,∴ ∠ BDC=∠ ABD=30°,
∴ ∠ CBD=∠ CDB, ∴ CB=CD.
∵ CF⊥ BD,∴ F为 BD中点.
又∵ DE⊥ AB,∴ DF=BF=EF.
由∠ ABD=30°,得∠ BDE=60°,∴ △ DEF为等边三角形.
题型三 直角梯形
【例 3】 (2011·枣庄)如图,直角梯形 ABCD中,AD∥ BC,
∠A=90°,AB=AD=6,DE⊥DC交 AB于 E,
DF平分∠EDC交 BC于 F,连接 EF.
(1)证明:EF=CF;
(2)当 tan∠ADE=13时,求 EF的长.
解 (1) 证明:过 D作 DG⊥BC于 G.
由已知可得,四边形 ABGD 为正方形 .
∵DE⊥DC , ∴∠ADE +∠ EDG= 90° =∠ GDC +∠ EDG , ∴∠ADE =∠ GDC.
又∵∠ A =∠ DGC ,且 AD= GD , ∴△ADE≌△GDC .
∴DE= DC ,且 AE= GC.
在△ EDF 和△ CDF 中, ∠EDF =∠ CDF, DE= DC, DF 为公共边, ∴△EDF≌△CDF.
∴EF= CF.
探究提高 涉及直角梯形的问题,常作高构造矩形和直角三角形来解决问题.
(2)解:∵ tan∠ ADE=AEAD=
13, ∴ AE=GC=2.
设 EF=x,则 BF=8-CF=8-x,BE=6-2=4.
由勾股定理,得 x2=(8-x)2+42.
解之,得 x=5, 即 EF=5.
知能迁移 3 (2011· 潼南 ) 如图,在直角梯形 ABCD
中, AB∥CD, AD⊥DC, AB= BC ,且 AE⊥BC.
(1) 求证: AD= AE ; (2)若 AD= 8, DC= 4 ,求 AB 的长.
解 (1)连接 AC. ∵ AB∥ CD, ∴ ∠ ACD=∠ BAC. ∵ AB=BC, ∴ ∠ ACB=∠ BAC. ∴ ∠ ACD=∠ ACB. ∵ AD⊥ DC,AE⊥ BC, ∴ ∠ D=∠ AEC=90° . ∵ AC=AC, ∴ △ ADC≌ △ AEC. ∴ AD=AE.
(2)由(1)知:AD=AE,DC=EC. 设 AB=x, 则 BE=x-4,AE=8. 在 Rt△ ABE中,∠ AEB=90°, 由勾股定理得: 82+(x-4)2=x2, 解得:x=10,即 AB=10.
【例 4 】 (2010· 咸宁 ) 如图,直角梯形 ABCD 中, AB∥DC ,∠ DAB= 90° , AD= 2DC= 4, AB= 6 ,动点 M 以每秒 1 个单位长度的速度,从点 A 沿线段 AB
向点 B 运动;同时点 P 以相同的速度, 从点 C 沿折线 C- D- A 向点 A 运动, 当点 M 到达点 B 时,两点同时停止运动, 过点 M 作直线 l∥AD ,与线段 CD 的交点为 E ,与折线 A- C- B 的交点为
Q , 点M 运动的时间为 t(秒 ) . (1)当 t= 0.5 时,求线段 QM 的长; (2)当 0<t<2 时,如果以 C、 P、 Q 为顶点的三角形为直角三角形,求 t 的值; (3)当 t>2 时,连接 PQ 交线段 AC 于点 R ,请探究 是否为定值,若是,试
求这个定值;若不是,请说明理由.
题型四 梯形的相关综合题
CQRQ
解 (1)过点 C作 CF⊥ AB于 F,
则四边形 AFCD为矩形.
∴ CF=4,AF=2.
此时,AM=1× 0.5=0.5,
Rt△ AQM∽ Rt△ ACF.
∴QMAM=
CFAF.即
QM0.5=
42,
∴ QM=1.
(2)由于∠ DCA为锐角,当 0<t<2时,
点 E在线段 CD上,有两种情况:
①当∠ CPQ=90°时,点 P与点 E重合,
此时 DE+CP=CD,即 t+t=2,
∴ t=1.
备用图 1
②当∠ PQC=90°时,如备用图 1,
此时 Rt△ PEQ∽ Rt△ QMA,
∴EQPE=
MAQM.
由(1)知,EQ=EM-QM=4-2t,
而 PE=PC-CE=PC-(DC-DE)
=t-(2-t)=2t-2,
∴4-2t2t-2
=12.
∴ t=53.
综上所述,t=1或53.
备用图 2
(3) CQRQ为定值
2 23 .
证明:当 t>2时,如备用图 2, PA=DA-DP=4-(t-2)=6-t. 由(1)得,BF=AB-AF=4, ∴ CF=BF, ∴ ∠CBF=45°, ∴ QM=MB=6-t. ∴ QM=PA. ∴ 四边形 AMQP为矩形. ∴ PQ∥ AB. ∴ △ CRQ∽△ CAB.
∴CQRQ=
BCAB=
CF2+BF2
AB =4 2
6 =2 2
3 .
探究提高 梯形问题常与三角形、平行四边形、矩形等综合,
考查综合分析的能力.
知能迁移 4 (2011· 茂名 ) 如图,在等腰△ ABC 中,点 D、 E 分别是两腰 AC、 BC 上的点,连接 AE、 BD 相交于点 O ,∠ 1
=∠ 2.
(1) 求证: OD= OE ; (2) 求证:四边形 ABED 是等腰梯形; (3)若 AB= 3DE, △DCE 的面积为 2, 求四边形 ABED 的面积.
解 (1)证明:如图,∵ △ ABC是等腰三角形,
∴ AC=BC , ∴ ∠ BAD=∠ ABE.
又∵ AB=BA,∠ 2=∠ 1,
∴ △ ABD≌ △ BAE(ASA),
∴ BD=AE.
又∵ ∠ 1=∠ 2,∴ OA=OB,
∴ BD-OB=AE-OA,即 OD=OE.
(2)证明:由(1)知:OD=OE,∴ ∠ OED=∠ ODE,
∴ ∠ OED=12(180°-∠ DOE),
同理:∠ 1=12(180°-∠ AOB).
又∵ ∠ DOE=∠ AOB,∴ ∠ 1=∠ OED,∴ DE∥ AB.
∵ AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段,
∴ AD与 BE不平行,∴ 四边形 ABED是梯形.
又由(1)知,△ ABD≌ △ BAE,∴ AD=BE,
∴ 梯形 ABED是等腰梯形.
(3)由(2)可知:DE∥ AB,∴ △ DCE∽ △ ACB,
∴△ DCE的面积△ ACB的面积=
DE
AB2,
即2
△ ACB的面积=
DE
3DE2=
19,
∴ △ ACB的面积=18,
∴ 四边形 ABED的面积
=△ ACB的面积-△ DCE的面积=18-2=16 .
易错警示16 .正确使用定理,养成严格论证的习惯
试题 求证:梯形对角线中点的连线平行于两底并且等于两底差的一半.
已知:如图,在梯形 ABCD中,M、N分别为对角线 AC、BD的中点,
求证:① MN∥ AB,MN∥ DC;
② MN=12(AB-CD).
学生答案展示 证明:取 AD、BC的中点 E、F,连接 EM、FN.
∵ M、N分别为 AC、BD的中点, ∴ EM、FN分别为△ ADC和△ BCD的中位线,
∴ EM=12DC,NF=
12DC,
∴ EM=FN. 同理,在△ ADB中,EN为中位线,
∴ EN=12AB,MN∥ AB∥ DC.
∵ MN=EN-EM=12AB-
12DC=
12(AB-DC),
∴ MN=12(AB-DC).
剖析 以上证法的错误之处在于没有经过证明就承认E、M、 N 三点共线,于是就认为 EN 是△ ADB 的中位线,这就犯了没有根据就下结论的错误,并当成已知条件去用的毛病.
正解 如图,连接 CN,并延长 CN交 AB于 E. ∵ ∠1=∠2,DN=NB,∠3=∠4, ∴ △ DCN≌△ BEN. ∴ CN=NE,DC=EB. 在△ CAE中,M、N分别为 CA、CE的中点,
∴ MN∥12AE,MN=
12AE.
∵ AB∥ DC, ∴ MN∥ DC.
∴ MN=12AE=
12(AB-EB)=
12(AB-DC).
批阅笔记 在证题中一定要做到推理过程中步步有根据,养成严格论证的习惯,正确使用定理.梯形问题可转化为平行四边形和三角形的问题去研究 .
思想方法 感悟提高方法与技巧 由于梯形只有一组对边平行,引申出的性质很少,因而解有
关梯形的题目,一般要添加辅助线,所以要熟悉梯形常用的辅助线和它们的作用. 1. 作一腰的平行线:可以起到平移一腰和一个底角的作用,使两腰和同一底上两底角会聚到一个三角形中.对于只涉及梯形的腰、底角、上下底之差的题目,常常利用这条辅助线. 2. 从上底两顶点作高线:这两条高线把梯形分为两个直角三角形和一个矩形,矩形以梯形的上底及高为长、宽;涉及梯形的高线、面积的题目,常常利用这种辅助线. 3. 过一个顶点,作一条对角线的平行线,与所对底边的延长线相交:把一条对角线平移出来,造成一个由两条对角线上、下底之和组成的三角形.涉及梯形对角线或上下两底之和的题目,常常利用这种辅助线.
4. 延长两腰使之相交:这种辅助线使得便于应用平行线分线段成比例定理.
失误与防范 1 .梯形定义及性质中的易错点: (1)梯形的两底还可分为上底和下底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底; (2)等腰梯形的性质“在同一底上的两个角相等”,常
被错误地说成:等腰梯形两底上的角相等,或等腰梯形两底角相等,要坚决杜绝上面的说法,对于定理应准确记忆并加以理解.
2 .有关梯形问题,往往会由于对梯形概念的内涵理解不准确,只注重一组对边平行,而忽略另一组对边不平行的条件,导致解题错误. 例如:命题“梯形的中位线能与它的一条底边长相等”是否正确? 错解:正确.当中位线与它的一条底边长相等时,照是梯形. 错因剖析:梯形的一组对边平行而另一组对边不平行.若梯形的中位线与它的一条底边长相等,不妨设梯形的中位线长为 l ,上、下底长分别为 a、 b, b= l ,则 l= (a+ l) ,即 a= l. 这样梯形
的上、下底平行且相等,变成了平行四边形,不再是梯形.
完成考点跟踪训练 25