Лекція 12 Застосування методу скінченних елементів для визначення параметрів тріщиностійкості

У більшості випадків для розрахунків параметрів тріщиностійкості

використовується варіант МСЕ у переміщеннях, тобто невідомими є вузлові переміщення. Послідовність проведення розрахунку у цьому випадку буде такою:

1. Розділення тіла на скінченні елементи і призначення вузлів, у яких визначатимуться переміщення.

2. Визначення залежностей між переміщненнями і зовнішніми вузловими силами для елемента, тобто побудова матриці жорсткості.

3.Синтез скінченно-елементної моделі з окремих елементів з врахуванням умов закріплення конструкції у вузлових точках.

4. Розв’язання одержаної системи алгебраїчних рівнянь відносно вузлових преміщень.

5. Визначення компонент напружено-деформівного стану. Найбільш відповідальним кроком у методі скінченних елементів є вибір

типів скінченних елементів. Першим з елементів, які було запропоновано для розв’язання плоскої задачі теорії пружності був трикутний елемент з вузлами у вершинах. Далі було помічено, що використання елементів з більшою кількістю вузлів приводить до зменшення кількості ступенів вільності, необхідних для досягненя заданої точності.Однак при використанні більш складних елементів збільшується час на обчислення матриць жорсткості елементів і збільшується ширина стрічки глобальної матриці жорсткості, що впливає на час розв’язання систем рівнянь. Порівняння ефективності елементів з точки зору точності і часу обчислень показує, що найбільш ефективним серед плоских елементв є восьмивузловий ізопараметричний елемент (рис. 12.1). Розглянемо послідовність використання цього елемента для побудови матриці жорсткості більш докладно.

Рис.12.1

Інтерполяція переміщень Введемо в елементі локальну систему координат , , яка задовольняє

умови 1 1, 1 1 .

Закпишемо координати довільної точки елемента через координати вузлових точок

n n

i i i ii 1 i 1

x N x , y N y ,

(12.1)

Де i ix , y – глобальні координати вузлів, iN ( , ) – функції форми, які залежать авд локальних координат, n – кількість вузлів у елементі. У ізопараметричних елементах функції форми використовуються для інтерполяції переміщень за відомими вузловими значеннями

n n

i i i ii 1 i 1

u N u , v N v ,

(12.2)

Де u, v – переміщеення у напрямках осей x,y у довільній точці елемента, i iu ,v – переміщення вузлів.

Для лінійної апроксимації переміщень у чотирикутнику функції апроксимації мають вигляд

i i i1N (1 )(1 )4

, (12.3)

Де i i, – значення локальних координат у і-му вузлі. Для квадратичгного елемента ці функції мають вигляд

2i i i i

2i

1 1N (1 )(1 ) (1 )(1 )4 4

1 (1 )(1 ), (1 1,3,5,7);4

(12.4)

2

i i1N (1 )(1 ), (i 2,6);2

(12.5)

2i i

1N (1 )(1 ), (i 4,8).2

(12.6)

Як видно, кутові функції форми (i 1,3,5,7) можна записати як лінійну

комбінацію функцій (12.3), (12.6), що відкриває можливість конструювання елементів з кіькістю вузлів від чотирьох до восьми. При цьому кутові функції форми вибирають у відповідності з формулою (рис.12.2)

c l s t1N N (N N )2

, (12.7)

Де функціями форми вибирають вирази (1.5) при наявності проміжних вузлів або ноль при їх відсутності.

Згідно з принципом можливих переміщень сума робіт внутрішніх dV ізовнішніх R сил на можливих переміщеннях q дорівгнює нулю:

T T

V

q R dV 0 . (12.8)

Підставляючи сюди напруження і деформації, за формулами

ANq, C CANq , і скорочуючи на q 0 , одержимо матрицю жорсткості скінченного

елемента. T T

V V

k (AN) CANdV (B) CBdV . (12.9)

Матрицю B одержано диференціюванням функцій форми N . Вона скуладається з блоків, кількість яких дорівнює кількості вузлів елемента

1 2 3 nB [B ,B ,B ,...,B ] . (12.10) У декартових координатах блоки мають вигляд

i

ii

i i

N 0x

NB 0y

N Ny x

; (12.11)

Похідні функцій форми у глобальних координат можна одержати за допомогою материці Якобі

ii

T 1

i

i

N x xNx (J ) , J .N N y yy

(12.12)

Компоненти мариці Якобі одеожуємо дифкеренціюванням співвідношень

(12.1). Елемент об’єму у декартових координатах має вигляд dV det Jd d . (12.13)

Інтегрування в (12.9) проводится чисельним способом за допомогою квадратурних формул Гаусса.Використовується інтегрування за правилом 2x2 .

Для визначення приведених до вузлів навантажень використовують такі вирази:

T Tv V S S

V S

R N P dV, R N P dS .

Інтегрування цих виразів проводиться аналогічно інтегруванню виразу для матриці жорсткості.

Суттєвою перевагою ізопараметричних елементів є можливість трансформації їх до трикутної форми шляхом стягування вузлів. Для лінійного елемента при цьому не треба вводити ніяких змін, тільки присвоїти двом вузлам однаковий номер. Для квадратичних елементів функції форми (12.4)-

(12.5) треба змінити. Наприклад при стягуванні в один вузли 5-6-7 елемента (рис.12.2) необхідно змінити функції 1 2 3 5N , N , N , N :

1 1 2 2 3 3 5 5 6 7N N N, N N 2 N, N N N, N N N N , де 2 2N (1 )(1 ) /8 .

Рис.12.2

Синтез скінченно-елементної моделі проводиться за допомогою матриці

індексів аналогічно традиційній методиці. При застосуванні методу скінченних елементів для аналізу тіл з

тріщинами виникають проблеми, пов’язані з сингулярністю поля напружень у вершині тріщини і пов’язаної з цим необхідності більш точного визначення напружень в околі тріщини. Для елементів, побудованих з використанням функцій форми у вигляді поліномів з цілими степенями досягти необхідної точності можливо тільки при значному збільшенні елементів в околі тріщини, що приводить до збільшення розмірів матриць жорсткості і необхідності розв’язання великих систем алгебраїчних рівнянь.

Більш доцільним виявляється введення у сітку скінченних елементів спеціальних елементів, які моделюють сингулярність напружень. Найбільш поширеним є квадратичний елемент з вузлами, зміщеними на четверть довжини сторін, які сходяться у вузол – вершину тріщини (рис.12.3). Розрахунки показують, що чотирикутний елемент вироджений у трикутний зі зміщеними до вершини тріщини вузлами дає кращі результати ніж такі ж але чотирикутні. Такі елементи повністю сумісні зі звичайними квадратичними елементами, задовольняють умовам збіжності і на потребують окремих програм.

7 6 5 5,6,7

1 2 3

4 8

1 2 3

4 8

Рис.12.3

Визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень 1K методом скінченних елементів

Методи визначення КІН умовно розділяють на два класи: прямі і

енергетичні.Прямі методи використовують розподілення напружень або переміщеньу вершині тріщини. При цьому для визначення 1K використовуютья формули для напружень і переміщень біля вершини тріщини (формули Вестергардта)

2 rK

f

, або

2 2

GK ug r

,

де r, полярні координати з початком у вершині тріщини, f (r, ), g(r, ) – відомі функції, G – модуль зсуву. Як правило використовують другу формулу, яка дає меншу похибку. Якщо зафіксувати і визначати K при різних r , можна визначити K у вершині тріщини шляхом екстраполяції.

Чисельні методи дозволяють уникнути труднощів, які з'являються при застосуванні аналітичних методів до конкретних задач для тіл обмежених розмірів.

Прямий метод

В цьому випадку для визначення КІН в асимптотичні формули для

компонент напружень і переміщень у вершині тріщини безпосередньо підставляють виникаючі в околиці вершини тріщини напруження або переміщення, одержані за допомогою МСЕ. При використанні напружень цей спосіб називається прямим методом напружень, а при використанні переміщень – прямим методом переміщень. Значення напружень або переміщень, які необхідно підставити у формули, необхідно вибирати такі, щоб вони були відповідними для типу тріщини, яка розглядається. Наприклад, для тріщини типу І необхідно підставити компоненту напружень у, які діють на осі х у напряму осі у, або переміщення v берегів тріщини. В порівнянні з методом напружень метод переміщень дає більш надійні результати з точки зору точності.

Розрахунок КІН прямим методом вимагає, щоб розв’язки для напружень і переміщень мали достатньо високу точність в околиці вершини тріщини. При використанні звичайних елементів не можна відобразити особливість при наближенні безпосередньо до вершини тріщини. Тому не можна чекати, що точність розрахунку напружень і деформацій поблизу вершини тріщини буде високою. Отже, встановлені за цими параметрами КІН також матимуть не дуже хорошу точність. Тому при визначенні КІН за допомогою звичайних елементів необхідно передбачити заходи, дозволяючі покращити точність розв’язку. До таких заходів можна віднести такі:

1. Біля вершини тріщини, наскільки це можливо, бажано використовувати розбиття на малі елементи .

2. Часто можуть виникати ситуації, наприклад при розв’язанні тривимірних задач, коли розділення на дуже малі елементи виявляється нераціональним з погляду обчислювальних ресурсів. В таких випадках спочатку знаходять роз’вязок для грубого розділення, а потім виділяють область навкруги вершини тріщини, виконують розділення на елементи і розв’язкують задачу для цієї області. При цьому граничними умовами вважають переміщення вузлів і вузлові сили на границі цієї області, які одержано у попередньому розв’язку. Такий спосіб розв’язання називають поетапним.

3. Використовуючи асимптотичні формули для компонент напружень і переміщень у вершині тріщини, в точках, розміщених на різних відстанях r від вершини тріщини, розрахунковим шляхом визначають значення IK і будують графік залежності IK від r (рис.12.4). Значення IK приймають рівним тому значенню, яке виходить в результаті екстраполяції при r 0. Треба мати на

увазі, що значення IK , відповідні точкам, дуже близьким до тріщини, не є точними. Тому при проведенні екстраполяції ці значення виключають.

Рис. 12.4 Екстраполяція при визначенні IK

4. Попередню методику використовують змінюючи розміри скінченних

елементів (подрібнюючи сітку), проводячи так само, як в п. 3, екстраполяцію при r 0.

В п.п. 1 і 3 дискретизація виконується один раз, а в п.п. 2 і 4 – кілька разів, що утрудняє рішення задачі. Пункти 1 і 3, а також їх поєднання можна віднести до таких методів оцінки IK , коли необхідно, використовуючи звичайні елементи і, не виділяючи особливостей, досить швидко визначити КІН. В інших випадках необхідно використовувати спеціальну дискретизацію.

Енергетичний метод

Відомо декілька енергетичних методів, найпоширенішим з яких є метод

повної енергії. Інтенсивність G вивільненої енергії, яке має місце при зростанні тріщини в пружному тілі, пов'язана з КІН залежністю

I II IIIG K K K

2 2 21 1 12 2 2

.

При зростанні тріщини на величину а зміна енергії деформації складає U. Інтенсивність звільненої енергії можна також представити як G = U/а. Таким чином, якщо в результаті використання МСЕ встановити інтенсивність звільненої енергії G, можна визначити КІН. Проте видно, що знайдений таким чином КИН повинен відноситися до тріщини одного з типів, тобто для цих типів тріщин розрахунок G можливий тільки порізно.

При визначенні інтенсивності вивільненої енергії можна скористатися викладеними нижче двома способами.

1. Методом скінченних елементів проводять чисельний розв’язок для тріщини площею А. При цьому визначають енергію пружної деформації U(A). Потім розглядають зростання тріщини на один елемент. За тих же граничних умов знову методом чкінченних елементів розв’язують задачу і визначають U(A+А). Тоді G=( U(A+А) - U(A))/ А. Энергию пружної деформації можна встановити шляхом інтегрування енергій деформації в окремих точках по всій області, що розглядається. Одержане значення повинно дорівнювати роботі зовнішніх сил. Розрахунок роботи зовнішніх сил є досить простим і дозволяє виключити складнощі, пов'язані з інтегруванням.

2. Можна не розглядати зростання тріщини на один елемент, а за рахунок відповідного зсуву координати вершини тріщини задавати її зростання (рис. 12.5). У результаті такої операції відбуватиметься зміна жорсткості. При цьому можна вважати, що жорсткість змінюється лише у тих елементів, які оточують вершину тріщини. Якщо взяти це до уваги і шляхом виключення розв’язувати систему лінійних рівнянь, можна за один розв’язок визначити U= U(A+А) - U(A). При цьому необхідно в процесі виключення спочатку відповідним чином вводити вказану операцію збільшення тріщини.

Рис.12.5 Віртуальне зростання тріщини

При використанні першого методу необхідно двічі проводити розв’язок.

В другому методі у цьому немає необхідності. Його можна ефективно використовувати при великій кількості рівнянь, зокрема при розв’язанні тривимірних задач. Метод 2 носить назву методу віртуального зростання тріщини, а метод 1 – методу податливості.

Поблизу концентраторів напружень і, зокрема, поблизу вершини тріщини необхідно сильно згущувати сітку або застосовувати спеціальні елементи, поведінка яких еквівалентна асимптотичній поведінці напружень і деформацій. Вважається, що найбільш ефективним способом визначення КІН є використання деформованих ізопараметричних елементів зі зміщеними вузлами (рис.12.2). Такі елементи можуть бути використані як для пружного тіла, так і для ідеально пластичного без деформаційного зміцнення.

Постановка задач механіки руйнування в програмі ANSYS

Розглянемо методику визначення параметрів тріщиностійкості, яка

пропонується e теоретичних вказівках до програми ANSYS/

Розглядаються такі параметри тріщиностійкости:

- Коефіцієнти інтенсивності напружень I II IIIK ,K ,K , пов'язані з

трьома основними видами тріщин (рис.12.6);

- J-iнтеграл, який визначається як контурний інтеграл, незалежний від

шляху;

- Норма енергії, що звільняється G, яка є кількістю роботи, пов'язаної з

відкриттям або закриттям тріщини.

Рис.12.6

Для розв”язання у ANSYS виконується лінійно-пружний або пружно-

пластичний статичний аналіз з подальшим використанням спеціалізованих

команд постпроцесора або макросів для розрахунку параметрів

тріщиноутворення.

Можна виділити два головні аспекти цієї проблеми:

- Моделювання області тріщини;

- Визначення параметрів тріщиностійкості.

Моделювання області тріщини

Найважливіша область при моделюванні тріщини – це область навколо її

початку. Під початком розуміється вершина тріщини в двовимірній моделі і

фронт тріщини – у тривимірній (рис.12.7).

Рис.12.7

В лінійній механіці руйнування показано, що переміщення біля вершини

тріщини (або фронту тріщини в тривимірних задачах) різняться як r , де r –

відстань від вершини тріщини. Для дотримання сингулярності деформацій

площини тріщини повинні перетинатися і елемент навкруги її вершини (або

фронту) повинен бути квадратичним зі зміщеними вузлами на сторонах, які

направлені до тріщини. Такі елементи називаються сингулярними. В ANSYS

lля роботи з двовимірними моделями рекомендується використовувати

елементи PLANE183– ізопараметричні восьмивузлові елементи (рис.12.8).

Рис.12.8

Для моделювання напружень у вершині тріщини вузли K,L,O з’єднують

в один і зміщують вузли на сторонах, які направлені до тріщини (рис.12.3,

12.9). Зміщення вузлів до вершини тріщини у елементах навколо вершини

тріщини проводиться за командою KSCON.

Рис. 12.9

.

В ANSYS передбачено можливість автоматичної генерації сингулярних

елементів навкруги заданої точки. Цього можна досягти двома способами: за

допомогою команди препроцесора KSCON або через Main Menu:

Main Menu>Preprocessor>Meshing>SizeCntrls>ConcentrtKPs>Create

Результат виконання генерації показано на рис.12. .

Рис.12.10

При створенні моделі рекомендується дотримуватися деяких правил:

- використовуючи симетрію, моделювати тільки половину області

тріщини з симетричними або кососимметричными граничними умовами

(рис.12.11 );

- перший ряд елементів навкруги вершини тріщини повинен мати

радіус порядку а/8, де а– довжина тріщини;

- по колу рекомендується розміщувати один елемент на кожні

(30 40) ;

- елементи навкруги вершини повинні мати форму рівнобедрених

трикутників.

Рис.12.11

Для тривимірних моделей рекомендується використовувати 20-вузловий

елемент SOLID 183, що має форму трикутної призми (рис.12.9б).

Перший ряд елементів навкруги фронту тріщини повинен (як і в

двовимірному випадку) складатися з сингулярних елементів.

Створення тривимірної моделі значно складніше, ніж двомірної. Команда

KSCON тут недоступна і потрібно переконатися, що фронт тріщини проходить

через ребро КО елемента (рис.12.9, б).

При тривимірному моделюванні рекомендується:

- дотримуватися таких же розмірів елементів, як і для двовимірних

моделей; при цьому співвідношення розмірів елемента в усіх нвпрямках не

повинно бути білше ніж 4:1;

- для криволінійних фронтів тріщин розмір елемента уздовж фронту

залежатиме від величини місцевої кривизни; в першому наближенні повинен

доводитися один елемент на кожні (15 30) уподовж кривої;

- усі ребра елементів повинні бути прямолінійними.

Обчислення параметрів розвитку тріщини

Після завершення статичного аналізу можна, використовуючи загальний

постпроцессор, визначити параметри розвитку тріщини – коефіцієнт

інтенсивності напруг, J-интеграл і норму енергії, що вивільняється.

Визначення коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН) можна виконати

із POST1 за допомогою команди KCALC або через Main Menu

Main Menu>General Postproc>Nodal Calc>Stress Int Factor

Можливість використовування команди KCALC обмежена умовами

лінійно-пружної задачі і однорідним ізотропним матеріалом навкруги тріщини.

Правильне використовування команди KCALC вимагає виконання

наступних дій:

- вибрати локальну систему координат вершини тріщини (або фронту

тріщини) з віссю Х, яка є паралельною поверхні тріщини з віссю, паралельної

поверхні тріщини (в тривимірній задачі – перпендикулярною до фронту

тріщини), і віссю Y, яка перпендикулярна площині тріщини; ця координатна

система повинна бути активною координатною системою моделі (CSYS) і

результуючою координатною системою (RCSYS) при виконанні команди

KCALC;

- визначити шлях по поверхні тріщини; перший вузол на цьому шляху

повинен бути вузлом у вершині тріщини; при моделюванні половини тріщини

буде потрібно вибрати додатково два вузли, розміщені уподовж її поверхні;

відповідно, для всієї моделі потрібно чотири такі вузли.

-обчислити I II IIIK ,K ,K ; у полі KPLAN команди KCALC повинен бути

вказаним напружено-деформований стан моделі – плоска деформація або

плоский напружений стан. За виключенням аналізу тонких пластин, звичайно

передбачається плоска деформація. В полі KCSUM указується вид моделі: чи

це є модель з половиною тріщини і симетричними граничними умовами або це

повна модель тріщини.

Визначення –J -інтеграла

Для двовимірних задач J– інтеграл в обчислюється за формулою:

yxx y

r r

UUJ Wdy (t t )dsX Y

,

де r– будь-який шлях навкруги вершини тріщини;

W - густина енергії деформації (енергія деформації на одиницю об'єму);

xt - вектор сили зчеплення уздовж осі X;

yt - вектор сили зчеплення уздовж осі Y;

x x x xy y

y y y xy x

t n n ;

t n n ;

- компоненти напружень;

n - одиничний зовнішній вектор, нормальний до лінії обходу r;

U - вектор переміщення;

S - відстань уздовж лінії r;

Визначення норми енергії, що вивільнюється

Ця величина використовується для визначення кількості роботи (зміни

енергії), пов'язаної з відкриттям або закриттям тріщини.

Метод обчислення норми енергії, що вивільнюється, – це метод

віртуального розповсюдження тріщини. Тут виконуються два аналізи: один з

довжиною тріщини а, другий – з довжиною тріщини a + a .

Норму енергії, що вивільняється, можна визначити за формулою:

a a a

a

U UGB

,

де В – товщина моделі,

U– потенційна енергія деформації.

Для другого аналізу (при довжині тріщини a a ) вибираються всі вузли в

біля тріщини і масштабуються у напряму Х за допомогою фактора a . В

командному режимі для цього використовується NSCALE, а відповідний шлях

в Main Menu має вигляд

Main Menu> Preprocessor>Meshing>Operate>Scale

При використанні твердотільного моделювання перед масштабуванням

потрібно від'єднати модель тріщини від cкінченно-елементної моделі.

"Близькість" до тріщини означає усі вузли в радіусі / 2a від вершини тріщини;

фактор a для масштабування звичайно лежить в діапазоні (0.5 2)% від

довжини тріщини.

Приклад розрахунку коефіцієнта інтенсивності напружень

Пластина з центральною тріщиною, знаходиться під дією розтягуючого

розподіленого навантаження по краях пластини, паралельних берегам тріщини,

які вільні від навантаження. Пластина виготовлена із сталі з модулем пружності 112 10 Па і коефіцієнтом Пуассона 0,3. Довжина тріщини 2 l 0,02м, а

розтягуюче розподілене навантаження 100 МПа (рис.12.).Довжина сторони, яка

паралельна тріщині – 2L, другої – 2h.

Рис.12.12

Визначимо коефіцієнт інтенсивності напружень.

Вважаємо, що має місце плоска деформація, а механізм утворення

центральної тріщини лінійно-пружний.

Внаслідок введених припущень коефіцієнт інтенсивності напружень у

вершині тріщини може бути підрахований з використанням команди KCALC;

зважаючи на симетричність задачі аналізується четверть моделі; сітка

cкінченних елементів біля вершини тріщини будується з чотирикутного

сингулярного 8-вузлового елемента PLANE183.

1. Задаємо робоче ім’я Jobname... ChangeFileMenuUtility

У вікні, що з’явилося, у полі Enter New Jobname вводимо назву файла і натискаємо ОК.

2. Вибираємо тип скінченного елемента Add...Delete|Edit|AddTypeElement orPreprocessmanuMain

У вікні Library Element Type вибираємо Solid Quad 8 node 183 ОК.

Натискаємо кнопку Options. В діалоговому вікні, що з'явилося, вибираємо Plane strain (плоска деформація) у полі Element Behavior K3 і натискаємо OK Close.

3. Вибираємо властивості матеріалу Main Menu>Preprocessor>Material Props>Material Models

В правому полі вікна, що відкрилося, подвійним натисканням лівої кнопки миші вибираємо:

Structural>Linear>Elastic>Isotropic В полях EX і PRXY вводимо модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона

EX – 2с 1 PRXY – 0.3 OK

4. Задаємо ключові точки. Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints> In Active CS

В рядку NPT Keypoint number указуємо номер точки, в полях х, у, z Location in active CS - її координати. Після введення координат кожної точки натискаємо Apply: точка 1: (0;0); точка 2(0;0.6); точка 3(1;0.6) точка 4: (1;0); точка 5(0.9;0) OK

5. З’єднуємо точки лініями

Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>Straight Line Курсором миші виділяємо точки 1 і 2, 2 і 3, 3 і 4, 4 і 5, 5 і 1 OK.

6. Виконаємо дискретизацію ліній 1.1, 1.2, 1.3 . Main Menu>Preprocessor>Meshing>SizeCntrls>Manual Size>Lines>Picked Lines Вказуємо лінії 1 і 2, OK У вікні, що відкрилося, в полі No, element division вводим 4, натискаємо Apply.

Указуємо лінію 3, OK. В полі No, element division вводимо 6 і 0.2 - в полі Spacing ratio, OK.

7. Вказуємо точку концентратора (вершини тріщини). Main Menu>Preprocessor>Meshing>SizeCntrls>Concentrat KPs>Create

Вибираємо точку 5, OK.

В діалоговому вікні, що з'явилося, вводимо 0.001 в полі Radius of 1st row elems (радіус першого ряду елементів) і 8 в No,of elems around Сіrcumf (кількість елементів по колу навкруги вершини тріщини), а в полі midside node position вибираємо Skewed 1/4 pt (команда на зсув вузлів на сторонах елемента на ¼ довжини сторони до вузла – центра тріщини), OK.

8. Моделюємо четверть пластини. Створюємо поверхню одиничної товщини по раніше створених лініях:

Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Arbitrary>By Lines Вказуємо усі лінії, створені раніше, натискаємо OK.

9. Задаємо граничні умови. MainMenu>Preprocessor>Loads>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>…with Area

Вказуємо курсором лінію 3, натискаємо Apply, указуємо площину, Apply. Виділяємо лінію 5, Apply, виділяємо площину, ОК.

10. Задаємо навантаження. Main Menu>Preprocessor>Loads>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines Вказуємо лінію 2, натискаємо OK. У вікні, що з'явилося, в полі Load PRES on lines as а вводимо значення діючих напружень на стороні 2 (-100000000), OK.

11. Будуємо сітку скінченних елементів Main Menu>Preprocessor>Meshing>Mesh>Areas>Free

Вказуємо поверхню, OK .

Запуск на розв’язання (зауваження (Warning) ігноруємо – Close) Main Menu>Solution>Solve>Current LS

12. Визначаємо шлях площини тріщини, для чого збільшуємо масштаб біля вершини тріщини за допомогою кнопки з лінзою. Main Menu>General Postroc>Path Operations>Define Path>By Nodes

Нумеруємо вузли

Utility Menu>WorkPlane>Numbering У вікні Plot Numbering Controls ставимо галочку на Node numbers – On.

Вказуємо по черзі вузли 30 (у вершині тріщини), 54 і 52. ОК .

У вікні, що з'явилося, в полі Define Path Name вводиться ім'я шляху – К1, натискаємо ОК.

13. Визначаємо локальну систему координат у вершині тріщини за трьома вузлами, з яких перший вузол у вершині тріщини, другий по горизонтальній осі і третій – по вертикальній.

Utility Menu>WorkPlane>Local Coordinate System>Create Local CS>By 3 Nodes Вказуємо у відповідній послідовності вузли: 30, 54, 94, ОК. У вікні, що з'явилося, в полі Ref number new coord sys вводимо: 11, ОК.

14. Активуємо цю координатну систему Utility Menu>WorkPlane>Change Active CS to>Specified Coord Sys.

У вікні, що з'явилося, в полі Coordinate system number вводимо: 11, ОК. Для активізації координатної системи, необхідно виконати наступне:

Main Menu>General Postproc>Options for Outp У вікні, що з'явилося, в полі Resuit coord system вибираємо Local system і в полі Local system reference number – 11, ОК.

15. Визначаємо коефіцієнт інтенсивності напружень. Main Menu>General Postproc>Nodal Calcs>Stress Int Factr

У вікні, що відкрилося, в полі Disp extrapolat based on вибираємо plane strain (плоска деформація), ОК.

Текстове вікно, що з'явилося, відображає обчислене значення КІН у вершині тріщини:

К1=0.57156Е+08 Н м

Теоретичне значення коефіцієнта 6 6100 10 0.1 56.05 10 K l Н м

Похибка складає 6 6

61 0.57156 10 0.56.05 10 100% 1.97%

0.56.05 10

K KK

Після розв’язання задачі одержуємо графіки деформацій і напружень четверті пластини .

Вікно вибоу графічної інформації

Графік сумарних переміщень

Графік переміщень у напряму осі Y (перпендикулярному лінії тріщини)

Напруження y

Напруження еквівалентне за 4-ю гіпотезою міцності (гіпотеза Мізеса)

Деформований варіант четверті пластини з тріщиною