ДО ЗМІСТУ ПІДРУЧНИКА ДОПОМОГА

Виберіть форму подання навчального матеріалу

Докладне подання Скорочене подання

6. Розрахунок стержневих систем МСЕ у формі методу переміщень

З м і с т г л а в и

6.1. Скінченоелементна модель розрахункової схеми стержневої системи

6.2. Кінцеві характеристики стержневих скінченних елементів

6.3. Матриця перетворення

6.4. Побудова матриці жорсткості стержня в локальній системі координат

6.5. Матриці жорсткості стержневих елементів у локальній системі координат

6.6. Матриці жорсткості стержня в глобальній системі координат

6.7. Вузлові характеристики скінченноелементної моделі

6.8. Матриця жорсткості скінченноелементної моделі

6.9. Визначення зусиль у стержнях

6.10. Розрахунок плоскої шарнірно-стержневої системи методом скінченних еле-ментів

6.11.Приклад розрахунку рами за методом скінченних елементів

6.12. Особливості розрахунку просторових стержневих систем

6.12.1. Рівняння рівноваги вузлів просторових рам

6.12.2. Матриця перетворення

6.13. Матриця жорсткості просторового стержня

6.14. Приклад розрахунку просторової рами методом скінченних елементів

Запитання для самоперевірки

6. МСЕ в формі методу переміщень 2

6.1. Скінченоелементна модель розрахункової схеми стержневої системи Перший етап розрахунку полягає в дискретизації, тобто в переході від розрахункової схеми

стержневої системи до її скінченноелементної моделі. Вихідна розрахункова схема розбивається

на окремі стержні (скінченні елементи) і вузли. В стержневих системах за скінченні елементи бе-

руться, як правило, прямолінійні стержні постійної жорсткості, на яких може бути розташоване

рівномірно розподілене зовнішнє навантаження. Криволінійні стержні апроксимуються кількома

прямолінійними елементами. Аналогічно апроксимуються стержні, що мають змінну жорсткість,

або ті, до яких прикладено нерівномірно розподілене навантаження. Така схема споруди нази-

вається її дискретною, або скінченноелементною моделлю (СЕМ).

Вузлами скінченноелементної моделі вважатимемо точки поєднання двох або більше окремих

стержнів, ступінчастої зміни жорсткості стержнів, прикладення зосереджених зовнішніх сил або

моментів, ступінчастої зміни інтенсивності розподіленого навантаження, опорні вузли.

Перехід від розрахункової схеми до скінченноелементної моделі показано на рис.6.1. Розраху-

нкова схема рами (рис.6.1,а) перетворена на дискретну модель (рис.6.1,б).

Рис.6.1.

Вузли скінченноелементної моделі у даному прикладі пронумеровані в довільному порядку.

Далі буде показано, що спосіб нумерації впливає на структуру системи розв’язувальних рівнянь.

Для ідентифікації будь-якого скінченного елемента достатньо вказати номери вузлів, які він поєд-

нує.

Для визначення взаємного розташування вузлів, їх кінематичних і статичних характеристик

вводиться загальна для всієї скінченноелементної моделі система координат xy, яка називається

загальною, або глобальною.

Безпосередньо з кожним стержнем пов’язується його власна система координат x’y’ , якою

зручно користуватися задля аналізу напружено-деформованого стану стержня. Така система коор-

6. МСЕ в формі методу переміщень 3

динат називається локальною. Початок локальної системи координат пов’язується з тим вузлом,

який має менший номер. Цю точку називають початком стержня, а точку, яка розташована на

протилежному кінці стержня − його кінцем. Вісь x’ спрямовують вздовж стержня від його почат-

ку до кінця, а вісь y’ − перпендикулярно до стержня, причому прямий кут відкладається від осі x’

проти руху годинникової стрілки (рис.6.2). На рисунку початок стержня позначено літерою і, а кі-

нець − літерою j. Такі позначення застосовуватимуться надалі.

Рис.6.2

У плоскій дискретній моделі можливі чотири типи скінченних елементів, які розділяються між

собою граничними умовами, тобто способами примикання до вузлів:

• жорсткий вузол на початку і жорсткий вузол на кінці стержня (рис.6.3,а);

• жорсткий вузол на початку і шарнірний вузол на кінці стержня (рис.6.3,б);

• шарнірний вузол на початку і жорсткий вузол на кінці стержня (рис.6.3,в);

• шарнірні вузли на початку і на кінці стержня (рис.6.3,г).

Рис.6.3

Довжина стержня обчислюється через координати вузлів на початку і на кінці за формулою:

( ) ( ) ,22ijij yyxxl −+−= (6.1)

де jiji yyxx , , , − координати відповідних вузлів у глобальній системі координат.

6. МСЕ в формі методу переміщень 4

Тригонометричні функції кута β повороту локальної системи координат стержня відносно

глобальної системи координат усієї скінченноелементної моделі обчислюються за формулами:

,sinl

yy ij −=β .cos

l

xx ij −=β (6.2)

6.2. Кінцеві характеристики стержневих скінченних елементів

У процесі деформування споруди її вузли і, отже, кінці стержнів переміщуються, внаслідок

чого на кінцях виникають реакції взаємодії стержнів з вузлами скінченноелементної моделі. Озна-

чені реакції і переміщення можуть бути визначені або в глобальній, або в локальній системі коор-

динат. На рис.6.4,а зображено компоненти переміщень початку і кінця стержня, які орієнтовані за

осями глобальної системи координат скінченноелементної моделі.

При цьому переміщення нумеруватимемо у строго визначеному порядку, що наведено у

табл.6.1.

Таблиця 6.1

Напрям переміщення Вздовж осі х Вздовж осі y Кут

повороту

На початку і 1δ 2δ 3δ

На кінці j 4δ 5δ 6δ

Таким чином, переміщення початку стержня в глобальній системі координат можуть бути за-

писані у вигляді матриці-стовпця (вектора)

1

2

3

i

i

δ = δ δ

�

δδδδ

або в транспонованій формі

{ }1 2 3 .Tii i

= δ δ δ�

δδδδ

6. МСЕ в формі методу переміщень 5

Рис.6.4

Аналогічно можна подати вектор переміщень кінця стержня:

4

5

6

j

j

δ = δ δ

�

δδδδ або { }4 5 6 .Tjj = δ δ δ�

δδδδ

Повний вектор кінцевих переміщень скінченного елемента в глобальній системі координат

матиме в транспонованій формі наступний вигляд

{ } { }1 2 3 4 5 6Te i j ee

= = δ δ δ δ δ δ� � �

δ δ δδ δ δδ δ δδ δ δ

На рис.6.4,б,в зображено кінцеві реакції r, які зумовлені переміщеннями вузлів скінченноеле-

ментної моделі, а також кінцеві вантажні реакції (кінцеві сили) p, зумовлені дією розподілених в

6. МСЕ в формі методу переміщень 6

межах стержня навантажень xq і yq . Нумерація компонентів кінцевих реакцій збігається з нуме-

рацією відповідних кінцевих переміщень. Означені кінцеві реакції також подано у вигляді векто-

рів

{ } { }

{ } { }

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

,

.

Te i j ee

Te i j ee

r r r r r r

p p p p p p

= =

= =

r r r

p p p

� � �

� � �

Кінцеві переміщення і реакції також можуть бути подані у вигляді компонентів, які являють

собою проекції відповідних величин на осі локальної системи координат (рис.6.4,г,д,е). Нумерація

кінцевих реакцій також строго фіксована й аналогічна нумерації кінцевих переміщень в глобаль-

ній системі координат. Так, для кінцевих переміщень у локальній системі координат використо-

вують позначення, наведені у табл.6.2.

Таблиця 6.2

Напрям переміщення Вздовж осі х’ Вздовж осі y’ Кут

повороту

На початку і 1′δ 2′δ 3′δ

На кінці j 4′δ 5′δ 6′δ

Так само нумеруються й кінцеві реакції.

Кінцеві переміщення і кінцеві реакції в локальній системі координат також можуть бути пред-

ставлені у вигляді векторів:

{ } { }

{ } { }

{ } { }

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

,

,

.

i j e

i ee

i ee

Te e

Te j

Te j

r r r r r r

p p p p p p

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= = δ δ δ δ δ δ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =

r r r

p p p

� � �

� � �

� � �

δ δ δδ δ δδ δ δδ δ δ

Розподілені на стержневому скінченному елементі. навантаження, можуть бути орієнтовані за

осями глобальної системи координат всієї скінченноелементної моделі (рис.6.5,а) або за осями ло-

кальної системи координат даного елемента (рис.6.5,б).

6. МСЕ в формі методу переміщень 7

Рис.6.5

Навантаження, орієнтоване по глобальним осям координат, може бути перетворене у наван-

таження, орієнтоване по локальній системі координат, за формулами

.cossin

;sincos

ββ

ββ

l

lq

l

lqq

l

lq

l

lqq

xyyxy

xyyxx

+−=′

+=′ (6.3)

Для зворотного переходу можна скористатися співвідношеннями

.cossin

;sincos

ββ

ββ

x

yy

x

xy

y

y

y

xx

l

lq

l

lqq

l

lq

l

lqq

′+

′=

′−

′=

(6.4)

6.3. Матриця перетворення

Між кінцевими характеристиками в глобальній і локальній системах координат існує певний

зв’язок. Розглянемо, наприклад, початок i стержня e (рис.6.6).

Рис.6.6

6. МСЕ в формі методу переміщень 8

Вектор рівнодіючої R�

кінцевих реакцій розкладемо на дві складові за осями глобальної сис-

теми координат:

.21 rrR ���

+=

З іншого боку, ту саму рівнодіючу R�

можна розкласти на складові за осями локальної систе-

ми координат:

.21 rrR ′+′= ���

Отже,

2121 rrrr ���� +=′+′ .

Порівняємо проекції на осі x’ і y’ лівої і правої частин цієї рівності:

sinβcosβ 211 ⋅+⋅=′→∑ ′ rrrFx ,

cosβsinβ 212 ⋅+⋅−=′→∑ ′ rrrFy .

Очевидно, що величина кінцевого моменту від повороту координатних осей не залежить:

.33 rr =′

Залежності, що знайдено, можуть бути подані в матричній формі

iiir

r

r

r

r

r

⋅

−=

′

′

′

3

2

1

3

2

1

100

0cosβsinβ

0sinβcosβ

або у вигляді:

,iii rtr�� ⋅=′ (6.5)

де

i

i

−=

100

0cosβsinβ

0sinβcosβ

t .

Аналогічну залежність запишемо для кінця j стержня

6. МСЕ в формі методу переміщень 9

,jjj rtr �� ⋅=′ (6.6)

Для обох кінців стержня e маємо:

eee rTr �� ⋅=′ . (6.7)

У цьому співвідношенні ee rr �� ,′ – вектори кінцевих реакцій відповідно в локальній і в глоба-

льній системах координат, eT – матриця перетворення. Вона має вигляд

e

e

−

−

=

100000

0cosβsinβ000

0sinβcosβ000

000100

0000cosβsinβ

0000sinβcosβ

T (6.8)

Матриця eT має такі властивості:

1) детермінант матриці дорівнює одиниці: 1Det =eT ;

2) обернена матриця збігається з транспонованою: Tee TT =−1 , тобто

ETTTT =⋅=⋅ eTe

Tee , (6.9)

де E – одинична матриця.

Матриці, які мають вказані властивості, називаються ортогональними.

Залежності, аналогічні (6.7), мають місце також для кінцевих переміщень і вантажних реакцій:

,eee δTδ��

=′ (6.10)

.eee pTp �� =′ (6.11)

6.4. Побудова матриці жорсткості стержня в локальній системі координат

Між кінцевими реакціями в стержні і кінцевими переміщеннями, які їх викликають, існує

зв’язок. Для величин, що орієнтовані за осями локальної системи координат скінченного елемен-

та, цей зв’язок може визначатися співвідношеннями:

6. МСЕ в формі методу переміщень 10

/6

/66

/5

/65

/4

/64

/3

/63

/2

/62

/1

/61

/6

/6

/56

/5

/55

/4

/54

/3

/53

/2

/52

/1

/51

/5

/6

/46

/5

/45

/4

/44

/3

/43

/2

/42

/1

/41

/4

/6

/36

/5

/35

/4

/34

/3

/33

/2

/32

/1

/31

/3

/6

/26

/5

/25

/4

/24

/3

/23

/2

/22

/1

/21

/2

/6

/16

/5

/15

/4

/14

/3

/13

/2

/12

/1

/11

/1

δδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδ

δδδδδδ

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

+++++=

(6.12)

або в матричній формі

,eee δkr�

� ′′=′ ⋅ (6.13)

де ee δr�

� ′′ , – вектори кінцевих реакцій і кінцевих переміщень стержня в локальній системі коорди-

нат,

e

e

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

=′

/66

/65

/64

/63

/62

/61

/56

/55

/54

/53

/52

/51

/46

/45

/44

/43

/42

/41

/36

/35

/34

/33

/32

/31

/26

/25

/24

/23

/22

/21

/16

/15

/14

/13

/12

/11

k (6.14)

– матриця жорсткості стержня в локальній системі координат.

Будь-який коефіцієнт матриці жорсткості ijk′ являє собою кінцеву реакцію /ir , викликану кі-

нцевим переміщенням 1/ =jδ , за умови, що інші кінцеві переміщення дорівнюють нулю.

Існує кілька методів побудови матриці жорсткості стержневих елементів. Найпростішим є

підхід, при якому коефіцієнти матриці визначають із розрахунку стержня на почергове змушене

переміщення його кінців. З цією метою, наприклад, може бути запропоновано метод початкових

параметрів. Однак, у складніших випадках, наприклад, для стержня в тривимірному просторі,

такий спосіб використати практично неможливо. Загальний метод побудови матриць жорстко-

сті будь-яких елементів, в тому числі і для стержня на площині, ґрунтується на розгляді функці-

онала повної потенціальної енергії та умов його мінімуму.

6. МСЕ в формі методу переміщень 11

Якщо знехтувати деформаціями зсуву, робота внутрішніх сил (6.2) для стержня, що деформу-

ється, визначається формулою

∑∫=

+=n

i

l i

dxMNU10

,)(2

1 κε

де ε − поздовжня деформація, κ − зміна кривизни стержня.

В межах стержневого елемента e розглянемо дію рівномірно розподілених навантажень інтен-

сивністю xq і yq , які орієнтовані відповідно у напрямку осей x' і y' локальної системи коорди-

нат скінченного елемента. Потенціал зовнішніх сил

( )∫ +−=l

yx dxvquqA

0

.

Повна потенціальна енергія стержня

( ) ( )∫∫ +−+=+=Πl

yx

l

dxvquqdxMNAU

00

.2

1 κε (6.15)

Поздовжні сили і згинальні моменти пов’язані з деформаціями співвідношеннями

κ

ε

EIM

EAN

=

= , (6.16)

або в матричній формі

,εDN ��

⋅= (6.17)

де { },T N M=N�

{ }T = ε κ�εεεε − вектори внутрішніх зусиль і деформацій в стержні, D −

матриця пружних констант

=

EI

EA

0

0D .

Деформації пов’язані з переміщеннями співвідношеннями

dx

du=ε , 2

2

dx

vd=κ (6.18)

або у матричній формі

6. МСЕ в формі методу переміщень 12

.ud� = (6.19)

Тут позначено: { } T u v=u�

− вектор переміщень довільної точки осі стержня, d − матриця

диференціювання

=

2

20

0

dx

ddx

d

d .

Тоді

( )0 0

1 1 ,

2 2

l lTTU dx dx= =∫ ∫N d u Ddu

�� � �εεεε

,

0

dxAl

T∫−= qu ��

де { }.Tx yq q=q

�

Отже, повна потенціальна енергія деформації виражається співвідношенням:

( ) .2

1

00

dxdxl

Tl

T∫∫ −=Π quudDud ����

(6.20)

Компонентами вектора u� є поздовжні і поперечні переміщення довільного перерізу стержня,

для визначення яких досить складно побудувати аналітичні залежності. Тому використаємо полі-

номну апроксимацію переміщень у межах стержня, використавши властивості їх неперервності:

.

,

36

2543

21

xxxv

xu

αααα

αα

+++=

+= (6.21)

Зазначимо, що поліноми (6.21) є точними розв’язками однорідних диференціальних рівнянь

поздовжніх деформацій і поперечного згину. Тому обчислення повної потенціальної енергії дасть

точний результат.

Ураховуючи те, що координатам кінців скінченного елемента у співвідношеннях (6.21) відпо-

відають значення вузлових переміщень, складемо систему шістьох лінійних алгебраїчних рівнянь

відносно невідомих коефіцієнтів поліномів. Розв′язавши цю систему, отримаємо значення коефіці-

6. МСЕ в формі методу переміщень 13

єнтів, виражені через вузлові переміщення. Нарешті, підставивши одержані коефіцієнти в (6.21),

матимемо переміщення u і v будь-якої точки стержня у такому вигляді:

.

;

66553322

4411

′Φ+′Φ+′Φ+′Φ=

′Φ+′Φ=

δδδδ

δδ

v

u (6.22)

Функції iΦ , що входять до співвідношень (6.22), називаються функціями форми скінченно-

го елемента. У матричному записі залежності (6.22) матимуть такий вигляд:

.00

0000/

/6

/5

/4

/3

/2

/1

6532

41δΦu�

� =

=

ΦΦΦΦ

ΦΦ=

=

δ

δ

δ

δ

δ

δ

v

u (6.23)

Повна потенціальна енергія (6.20) з урахуванням (6.23) запишеться так:

( ) ∫∫ ′−′′=Πl

Tl

T dxdx

00

.2

1qδΦδΦdDδΦd �

���

(6.24)

Якщо позначити

,00

0000

26

2

25

2

23

2

22

2

41

==

dx

Φd

dx

Φd

dx

Φd

dx

Φddx

dΦ

dx

dΦ

ΦdB (6.25)

то формула для обчислення потенціальної енергії набуде вигляду

( ) ( )∫∫ ′−′′=Πl

Tl

T dxdx

00

.2

1qδΦδBDδB �

���

Виконавши операцію транспонування, остаточно знаходимо:

( ) ( )∫ ∫ ′−′′=Πl l

TTTT dxdx

0 0

.2

1qΦδδBDBδ�

���

(6.26)

6. МСЕ в формі методу переміщень 14

Необхідною умовою рівноваги системи є наявність екстремуму функціоналу повної потенціа-

льної енергії, тобто дорівнювання нулю її першого диференціалу, що еквівалентно дорівнюванню

нулю всіх її перших похідних за кінцевими переміщеннями δ�

′ :

∫ ∫ =−′=′Π

l lTT

Tdxdx

d

d

0 0

.0qΦδBDBδ

��

�

� (6.27)

Маючи на увазі те, що вектор δ�

′ кінцевих переміщень не залежить від координати x, запише-

мо

∫∫ =−′

lT

lT dxdx

00

0qΦδBDB�

��

, (6.28)

де

∫

∫

=′

=′

lT

lT

dx

dx

0

0

.

,

qΦp

BDBk

��

(6.29)

Виходячи з того, що вектор кінцевих переміщень ′ ≠ 0� �

δδδδ , маємо

0pδk�

��

=′+′′ . (6.30)

Тут k′ − матриця жорсткості стержневого скінченного елемента в локальній системі коорди-

нат (6.14), p� ′ − вектор кінцевих вантажних реакцій, зумовлених дією розподілених навантажень у

межах стержня.

Будь-який елемент матриці жорсткості k′ і вектора кінцевих сил p�′ визначаються залежно-

стями, що випливають з (6.29) і мають такий вигляд:

6. МСЕ в формі методу переміщень 15

( )

( ) ( )( )

0

22

2 20

при

при

1 4

2 3 5 6

lji

ijl

ji

ddEA dx i, j , ,

dx dxk

ddEI dx i, j , , , .

dx dx

ΦΦ ′ ⋅ =′ ′

′ = ΦΦ ′⋅ =

′ ′

∫

∫

(6.31)

( )10/

20

при 1,4 ,

(при =2,3,5,6).i

lq dx ii

plq dx ii

− Φ =∫

= − Φ∫

6.5. Матриці жорсткості стержневих елементів у локальній системі координат

Скористаємося викладеною методикою для побудови матриць жорсткості стержневих елемен-

тів за різних граничних умов.

6.5.1. Стержень із затисненнями на обох кінцях (рис.6.7)

Рис.6.7

Маємо такі граничні умови:

( )( )( ) ( )

.0

0

;0

;0 0=

34

23

11при

δαϕ

δα

δα

′−===

′==

′==

dx

dy

y

ux

( )( )( ) ( )

.32

;

; =

62

654

53

62

543

421при

δαααϕ

δαααα

δαα

′−=++==

′=+++=

′=+=

lldx

ldyl

lllly

llulx

Розв’язуючи одержані рівняння, знаходимо:

6. МСЕ в формі методу переміщень 16

.22

;

;323

;

;;

36532

623

26532

514

2

3411

l

lll

l

lδδδδαδα

δδδδαδδα

δαδα

′−′−′−′=′=

′+′+′+′−=′−′

=

′−=′=

Підставивши одержані величини у (6.21) отримаємо функції форми:

.;2

;23;31

;;1

2326

2323

33225

222

41

lxlxlxlxx

lxlxlx

lxlx

−=Φ−+−=Φ

−=Φ−=Φ

=Φ−=Φ

(6.32)

Тепер, маючи значення функцій форми, за формулами (6.31), можемо знайти елементи мат-

риці жорсткості стержня і елементи вектора вантажних реакцій. Обчислимо, наприклад, елементи

23k′ і 2p′ . Відповідно до значень індексів (i= 2, j=3) для обчислення елемента 23k′ скористаємось

другою формулою зі співвідношень (6.31). Другі похідні функцій форми 2Φ і 3Φ встановлюємо

з рівнянь (6.32):

.126

= ,126

3223

2

3221

2

l

x

ldx

d

l

x

ldx

d −Φ+−=Φ

Звідси маємо:

( ) ( )=

′Φ⋅

′Φ=′ ∫ dx

xd

d

xd

dEIk

l

23

2

022

2

23

.1212126126

23320

32 l

i

l

EIdx

l

x

ll

x

lEI

l

−=−=

−

+−= ∫ .

Для обчислення елемента 2p′ скористаємось другою формулою зі співвідношень (6.31)

.2

)231( 3322

0

2

0

/2

lqdxlxlxqdxqp y

l

y

l

y −=+−−=Φ−= ∫∫

Аналогічно обчислюють усі інші елементи матриці жорсткості і вектора вантажних реакцій.

Наводимо повну матрицю жорсткості k′ і вектор вантажних реакцій p� для стержневого елемен-

та, що має затиснення з обох кінців:

6. МСЕ в формі методу переміщень 17

e

e

il

ii

l

il

i

l

i

l

i

l

i

ff

il

ii

l

il

i

l

i

l

i

l

i

ff

−

−

−

−

−−−

−

=′

46

026

0

6120

6120

0000

26

046

0

6120

6120

0000

22

22

k

Тут позначено: lEIi = − погонна жорсткість стержня на згин, lEAf = − погонна жорст-

кість стержня на поздовжні деформації.

Вектор вантажних реакцій при цьому

2 2

2 2 12 2 2 12y y y yT x x

e

e

q l q l q q lq l q ll

′ = − − − − −

p� .

6.5.2. Стержень із затисненням на початку і шарніром на кінці (рис.6.8)

Рис.6.8

Граничні умови:

( )( ) ( )

.0

0

;0

;)0( 0=

34

22

/11При

δαϕ

δα

δα

′−===

′==

==

dx

dy

y

ux

( )( )

( ) ( ) ( ) .062

;

; =

652

25

36

2543

421При

=+⋅==

′=+++=

′=+=

lEIdx

lydEIlM

lllly

llulx

αα

δαααα

δαα

6. МСЕ в формі методу переміщень 18

Розв’язавши ці рівняння і підставивши одержані величини коефіцієнтів у (6.21), відшукуємо

функції форми:

.0;223

;223;2231

;;1

6232

3

33225

33222

41

=Φ−+−=Φ

−=Φ+−=Φ

=Φ−=Φ

lxlxx

lxlxlxlx

lxlx

За формулами (6.31) знаходимо коефіцієнти матриці жорсткості і елементи вектора вантажних

реакцій:

e

l

i

l

i

l

i

ff

l

ii

l

il

i

l

i

l

i

ff

e

−

−

−

−−

−

=′

000000

03

033

0

0000

03

033

0

03

033

0

0000

22

22

k,

25 30

2 8 8 2 8y y yT x x

e

e

q l q l q lq l q l ′ = − − − −

p� .

6.5.3. Стержень із шарніром на початку і з затисненням на кінці (рис.6.9)

Рис.6.9 Граничні умови:

( )( )

( ) ( ).02

00

;0

;0 0=

52

223

11При

=⋅==

′==

′==

α

δα

δα

EIdx

ydEIM

y

ux

6. МСЕ в формі методу переміщень 19

( )( )

.32)(

)(

;

;=

/6

2654

53

62

543

421При

δαααϕ

δαααα

δαα

−=++==

′=+++=

′=+=

lldx

ldyl

lllly

llulx

Розв’язавши наведені рівняння, знаходимо за допомогою співвідношень (6.21) функції форми:

.2;0

;223;2231

;;1

2363

335

332

41

lxlx

lxlxlxlx

lxlx

−=Φ=Φ

−=Φ+−=Φ

=Φ−=Φ

Матриця жорсткості і вектор вантажних реакцій стержня:

e

e

il

i

l

il

i

l

i

l

i

ff

l

i

l

i

l

i

ff

−

−

−

−−

−

=′

33

003

0

3300

30

0000

000000

3300

30

0000

22

22

k

23 50

2 8 2 8 8y y yT x x

e

e

q l q l q lq l q l ′ = − − − − −

p�

.

6.5.4. Стержень із шарнірами з обох сторін (рис.6.10)

Рис.6.10

6. МСЕ в формі методу переміщень 20

Граничні умови:

( )( )

( ) ( ).02

00

;0

;0 0=

52

223

11При

=⋅==

′==

′==

α

δα

δα

EIdx

ydEIM

y

ux

( )( )

( ) ( ) ( ) .062

;

; =

652

25

36

2543

421При

=+==

′=+++=

′=+=

lEIdx

lydEIlM

lllly

llulx

αα

δαααα

δαα

Функції форми:

.0;0

;;1

;;1

63

52

41

=Φ=Φ

=Φ−=Φ

=Φ−=Φ

lxlx

lxlx

Матриця жорсткості стержня і вектор вантажних реакцій:

e

eff

ff

−

−

=′

000000

000000

0000

000000

000000

0000

k

0 02 2 2 2

y yT x xe

e

q l q lq l q l ′ = − − − −

p�

.

6.6. Матриці жорсткості стержня в глобальній системі координат

Матриці жорсткості стержня в локальних системах координат визначають величини кінцевих

реакцій, які орієнтовані за осями локальних систем координат. При розгляді сумарної дії стержнів

на вузли скінченноелементної моделі виникає необхідність привести всі ці реакції, що передають-

ся на вузли з боку стержнів, до спільних напрямів. За ці напрями доцільно обрати напрями осей

6. МСЕ в формі методу переміщень 21

глобальної системи координат всієї моделі. Отже, постає задача перетворення кінцевих реакцій

стержня з локальної у глобальну систему координат, тобто задача побудови матриць жорсткості

стержнів у глобальній системі координат.

Як відомо, між кінцевими реакціями і кінцевими переміщеннями стержня в локальній системі

координат існує залежність (6.13):

.eee δkr ′′=′�

�

З іншого боку, кінцеві величини в локальній і глобальній системах координат пов’язані мат-

рицею перетворення eT . Якщо виразити в (6.13) кінцеві реакції er′� і кінцеві переміщення eδ′�

, які

спрямовані за осями локальної системи координат, через аналогічні величини в глобальній системі

згідно з (6.7) і (6.10), одержимо:

eeeee δTkrT�

� ′= .

Помноживши ліворуч обидві частини рівності на обернену матрицю перетворень, і зважаючи

на те, що обернена матриця перетворень збігається з транспонованою, можемо записати

.eeeeeT δTkTr

�� ′=

Позначивши

eeeeT TkTk ′= , (6.33)

врешті маємо:

.eee δkr�

� = (6.34)

Матриця ek , що перетворює вектор кінцевих переміщень eδ�

у вектор кінцевих реакцій

у глобальній системі координат er� , являє собою матрицю жорсткості у глобальній системі

координат.

Матричний вираз (6.34) може бути представлений співвідношеннями:

6665654643632621616

6565554543532521515

6465454443432421414

6365354343332321313

6265254243232221212

6165154143132121111

δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδ

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

kkkkkkr

+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=+++++=

(6.35)

6. МСЕ в формі методу переміщень 22

Таким чином, матриця жорсткості стержня в глобальній (загальній) системі координат має ви-

гляд

e

e

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

k . (6.36)

Будь-який коефіцієнт матриці ijk являє собою кінцеву реакцію ir , викликану дією оди-

ничного кінцевого переміщення =jδ 1. При цьому необхідно чітко усвідомлювати, що як кін-

цеві реакції, так і кінцеві переміщення орієнтовані за осями глобальної системи координат. Позна-

чення кінцевих реакцій від дії кожного одиничного кінцевого переміщення наведені на рис.6.11.

Рис.6.11

6. МСЕ в формі методу переміщень 23

На завершення наводяться елементи матриць жорсткості стержня в глобальній системі коор-

динат при різних граничних умовах, що одержані за допомогою формули (6.33). Саме ці матриці

стануть в нагоді при побудові матриці жорсткості всієї скінченноелементної моделі плоскої стер-

жневої системи.

6.6.1. Жорсткий вузол на початку і на кінці стержня (рис.6.12)

Рис.6.12

ββ 22

241144411 sin

12cos

l

ifkkkk +=−=−== ,

ββ 22

252255522 cos

12sin

l

ifkkkk +=−=−== ,

ikk 46633 == ,

,cossin12

24224511554452112 ββ

−=−=−=−=−====l

ifkkkkkkkk (6.37)

βsin6

4334644661163113 l

ikkkkkkkk =−=−=−=−==== ,

βcos6

6226322365565335 l

ikkkkkkkk =−=−=−=−==== ,

ikk 26336 == .

Додатні напрями дії кінцевих реакцій, які виражаються за формулами (6.37), зображено на

рис.6.11.

Вектори вантажних кінцевих реакцій, орієнтованих за осями локальної і глобальної систем

координат (рис.6.12), від розподілених вздовж стержня навантажень

6. МСЕ в формі методу переміщень 24

−

−

−−

+−

−

−−

=

1212

22

22

1212

22

22

22

22

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

lqlq

ClqSlq

SlqClq

lqlq

ClqSlq

SlqClq

p� , .

12

2

2

12

2

2

2

2

′−

−

−

′

′−

′−

=′

lq

lq

lq

lq

lq

lq

y

xy

yx

y

xy

yx

p�

Тут і далі позначено: .cos ,sin ββ == CS

6.6.2. Жорсткий вузол на початку і шарнірний вузол на кінці стержня (рис.6.13)

Рис.6.13

Коефіцієнти матриці жорсткості стержня

ββ 22

241144411 sin

3cos

l

ifkkkk +=−=−== ,

ββ 22

252255522 cos

3sin

l

ifkkkk +=−=−== ,

0k ,3 6633 == ik ,

,cossin324224511554452112 ββ

−=−=−=−=−====l

ifkkkkkkkk (6.38)

13 31 34 43

3sin

ik k k k

lβ= = − = − = ,

βcos322353353

l

ikkkk =−=−== ,

6. МСЕ в формі методу переміщень 25

06564636261665646362616 =========== kkkkkkkkkkk .

Вектори вантажних реакцій, орієнтованих за осями локальної і глобальної систем координат,

від розподілених вздовж стержня навантажень

−

−−

+−

−

−−

=

0

8383

8383

88

8585

8585

22

ClqSlq

SlqClq

lqlq

ClqSlq

SlqClq

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

p� ,

′−

′−

′

′−

′−

=′

0

83

83

8

85

85

2

xy

xy

y

xy

yx

lq

lq

lq

lq

lq

p� .

6.6.3. Шарнірний вузол на початку і жорсткий вузол на кінці стержня (рис.6.14)

Рис.6.14

Коефіцієнти матриці жорсткості стержня:

ββ 22

241144411 sin

3cos

l

ifkkkk +=−=−== ,

ββ 22

252255522 cos

3sin

l

ifkkkk +=−=−== ,

ik 3k ,0 6633 == ,

,cossin3

=24224511554452112 ββ

−=−=−−=−====l

ifkkkkkkkk (6.39)

16 61 46 64

3sin

ik k k k

lβ= = − = − = ,

6. МСЕ в формі методу переміщень 26

βcos3

62266556 l

ikkkk =−=−== ,

03635343231635343332313 =========== kkkkkkkkkkk .

Вектори кінцевих сил, орієнтованих за осями локальної і глобальної системи координат, від

розподілених вздовж стержня навантажень

−

−

−−

−

−−

=

88

8585

8585

0

8383

8383

22xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

lqlq

ClqSlq

SlqClq

ClqSlq

SlqClq

p� .

′−

′−

′−

′−

′−

=′

8

85

85

0

83

83

2lq

lq

lq

lq

lq

y

xy

yx

xy

yx

p� .

6.6.4. Шарнірні вузли на початку і на кінці стержня (рис.6.15)

Рис.6.15

Коефіцієнти матриці жорсткості стержня дорівнюють.

β241144411 cosfkkkk =−=−== ,

β252255522 sinfkkkk =−=−== ,

12 21 45 54 15 51 24 42 sin cos ,k k k k k k k k f= = = = − = − = − = − = β β (6.40)

066336226655664466116 ========== kkkkkkkkkk ,

03635343231635343332313 =========== kkkkkkkkkkk .

6. МСЕ в формі методу переміщень 27

Вектори кінцевих сил, орієнтованих за осями локальної і глобальної систем координат, від

розподілених вздовж стержня навантажень

−

−−

−

−−

=

0

22

22

0

22

22

ClqSlq

SlqClq

ClqSlq

SlqClq

xyyx

xyyx

xyyx

xyyx

p� ,

′−

′−

′−

′−

=′

0

2

2

0

2

2

xy

yx

xy

yx

lq

lq

lq

lq

p� .

6.7. Вузлові характеристики скінченноелементної моделі

Вузли скінченноелементної моделі можуть бути охарактеризовані як зі статичного, так і з кі-

нематичного боку. Кінематичними характеристиками є вузлові переміщення, а статичними − вуз-

лові реакції і вузлові навантаження.

Будь-який вільний жорсткий вузол i скінченноелементної моделі має три ступня вільності,

тобто можливість двох поступальних і одного кутового переміщень iyixi ϕ∆∆∆ ,, цього вузла

(див.рис.6.16,а).

Рис.6.16

Зазначені величини можуть бути записані у вигляді вектора

{ }.Ti xi yi iϕ= ∆ ∆ ∆�

∆∆∆∆

Шарнірний вузол має два ступня вільності (рис.6.16,б) і відповідно вектор переміщень такого

вузла матиме дві компоненти:

{ } .Ti xi yi= ∆ ∆�

∆∆∆∆

6. МСЕ в формі методу переміщень 28

Розглянемо розрахункову схему рами (рис.6.17,а). Сукупність всіх вузлових переміщень скін-

ченноелементної моделі (рис.6.17,б) становить вектор вузлових переміщень

{ }1 2 7T

i=� � � � �

… …∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ,

aбо

{ }1 1 1 2 2 2 7 7 7, , .Tx y x y x yϕ ϕ ϕ= ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

�

…∆∆∆∆

Для практичних розрахунків зручно використовувати наскрізну нумерацію компонентів вуз-

лових переміщень у межах усієї моделі (рис.6.17,в).

У такому разі вектор вузлових переміщень матиме вигляд:

{ }1 2 3 4 5 6 18 19 20, , .T = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆�

…∆∆∆∆

Вектор ∆�

при розрахунку стержневих систем за методом скінченних елементів у формі мето-

ду переміщень являє собою вектор основних невідомих. При цьому деякі переміщення вузлів мо-

жуть бути відомі з граничних умов задачі. Так, у даному прикладі

.020141312 =∆==∆=∆=∆ …

Рис.6.17

6. МСЕ в формі методу переміщень 29

Отже, невідомими є переміщення 1 2 11, , ,∆ ∆ ∆… . Вектор �

∆∆∆∆ після вилучення нульових елеме-

нтів набере вигляду

{ }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11T = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆�

∆∆∆∆ .

Під впливом зовнішніх факторів вузли скінченноелементної моделі переміщуються, а стерж-

ні, які їх поєднують, деформуються. Поміж вузлами і стержнями виникають реакції взаємодії −

одна із статичних характеристик вузлів. Сумарні реакції всіх стержнів, які примикають до вузла i,

зобразимо у вигляді двох зосереджених сил, які орієнтовані за осями глобальної системи коорди-

нат всієї моделі, і зосередженого моменту. Позначимо ці реакції через iyixi RRR ϕ,, .

Відповідні реактивні сили, які передаються на вузли з боку стержнів, і на стержні, що приєд-

нуються до вузлів, однакові за величиною, але спрямовані в протилежних напрямах. Звичайно для

реактивних сил, з якими вузли діють на стержні, за додатні приймають напрями, що збігаються з

напрямами вузлових переміщень (рис.6.17,д). Отже, реакції, які передаються на вузли з боку стер-

жнів, будуть спрямовані протилежно (рис.6.17,г).

Сукупність реакцій для жорсткого вузла i скінченноелементної моделі подамо у вигляді век-

тора:

{ }Ti xi yi i i

R R Rϕ=R�

,

а для шарнірного

{ }Ti xi yi i

R R=R�

.

Вузлові реакції скінченноелементної моделі утворюють вектор вузлових реакцій:

{ }1 2T

n=R R R R� � � �

… .

При розв’язанні практичних задач використовується наскрізна нумерація реакцій, причому їх

номери повинні збігатися з номерами відповідних переміщень:

{ }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11T R R R R R R R R R R R=R�

.

Іншою статичною характеристикою вузлів скінченноелементної моделі є вузлові навантажен-

ня. В кожному вузлі припускається можливість дії трьох компонентів зовнішніх зосереджених си-

лових дій: Fx − сила, яка спрямована вздовж осі x глобальної системи координат; Fy − сила, яка

діє вздовж осі y; Fϕ − зосереджений момент. Зосереджені дії у жорсткому вузлі i можуть бути

записані у вигляді вектора

6. МСЕ в формі методу переміщень 30

{ }Ti xi yi iF F Fϕ=F�

,

а сукупність зведених до вузлів скінченноелементної моделі навантажень (рис.6.17.б) − у вигляді

вектора

{ }1 2T

n= =F F F F� � � �

…

{ }1 1 1 2 2 2x y x y xn yn nF F F F F F F F Fϕ ϕ ϕ= … .

Вектор F�

подамо як суму двох векторів:

,QPF���

+= (6.41)

де P�

− вектор зовнішніх сил, що безпосередньо діють на вузли, його компоненти дорівнюють від-

повідним зовнішнім силовим діям; Q�

− вектор зведених до вузлів розподілених у межах стержнів

навантажень.

Компоненти згаданих векторів також одержують наскрізну нумерацію, яка відповідає нумера-

ції вузлових переміщень:

{ }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11T P P P P P P P P P P P=P�

,

{ }1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11T Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q=Q�

.

6.8. Матриця жорсткості скінченноелементної моделі

З умов рівноваги будь-якого вузла i, жорсткого (рис.6.18,а) або шарнірного (рис.6.18,б) має-

мо:

Рис.6.18

0 ,0 =−=∑ xixix RFF ,

0 ,0 =−=∑ yiyiy RFF ,

0, 0i iM F Rϕ ϕ= − =∑ .

0 ,0 =−=∑ xixix RFF ,

0 ,0 =−=∑ yiyiy RFF .

6. МСЕ в формі методу переміщень 31

або в матричній формі:

0RF���

=− ii . (6.42)

Отже, для всіх вузлів скінченноелементної моделі можна записати

0RF���

=−

або

0FR���

=− . (6.43)

Вузлові реакції, що зумовлені переміщеннями вузлів, для лінійно-деформованих систем мо-

жуть бути представлені виразами:

.

,

,

,22,11,

,222,211,22

,122,111,11

nnnnnn

nn

nn

KKKR

KKKR

KKKR

∆++∆+∆=

∆++∆+∆=

∆++∆+∆=

…

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

…

…

(6.44)

У матричній формі лінійне перетворення (6.44) може бути записане у вигляді:

,∆KR��

= (6.45)

де K− матриця жорсткості всієї скінченноелементної моделі:

.

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

=

nnnn

n

n

KKK

KKK

KKK

…

⋯⋯⋯⋯

…

⋯

K (6.46)

Довільний коефіцієнт jiK , являє собою вузлову реакцію iR , що викликана вузловим перемі-

щенням 1∆ =j , за умови, що всі інші переміщення вузлів дорівнюють нулю.

Головні коефіцієнти матриці жорсткості являють собою додатні числа ( iiK , >0). Побічні кое-

фіцієнти симетричні відносно головної діагоналі, тобто ijji KK ,, = .

Підставивши (6.45) у рівняння рівноваги (6.43), одержимо:

0F∆K���

=− . (6.47)

6. МСЕ в формі методу переміщень 32

Такі самі рівняння в координатній формі представлятимуться співвідношеннями:

.0

,0,0

,22,11,

2,222,211,2

1,122,111,1

=−∆++∆+∆

=−∆++∆+∆=−∆++∆+∆

nnnnnn

nn

nn

FKKK

FKKKFKKK

…

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

…

…

(6.48)

Невідомими в рівняннях (6.48) є переміщення вузлів, коефіцієнти − величини вузлових реак-

цій, вільні члени − вузлові навантаження.

Як вже зазначалось, будь-який коефіцієнт матриці жорсткості скінченноелементної моделі

jiK , являє собою вузлову реакцію iR , що зумовлена вузловим переміщенням 1=∆ j . На цій

підставі для обчислення коефіцієнтів матриці жорсткості необхідно почергово надавати одиничні

переміщення вузлам скінченноелементної моделі і знаходити сили, які передаватимуться при цьо-

му на вузли. Величини цих сил визначаються елементами відповідних матриць жорсткості окре-

мих скінченних елементів.

Необхідно зважити на те, що вузлові реакції в дискретній моделі виникають лише у вузлі, що

переміщується, а також у вузлах, які пов’язані з ним стержнями. Тому загальний вигляд матриці

жорсткості скінченноелементної моделі істотно залежить від того, як пронумеровано її вузли.

Розглянемо, наприклад, дискретну модель стержневої системи з двома різними системами ну-

мерації вузлів. Блочна схема матриці жорсткості, що відповідне першій системі нумерації

(рис.6.19,а), наведена на рис.6.19,б.

Рис.6.19

6. МСЕ в формі методу переміщень 33

Клітинка схеми на перетині рядка n і стовпця m позначає блок вузлових реакцій у вузлі n від

примусових переміщень вузла m. Зафарбовані клітинки характеризують наявність, а не зафарбова-

ні − відсутність реакцій. Так, від примусових переміщень вузла 4 реакції можуть виникнути у вуз-

лах 3, 4, 8 і 9. Тому відповідні клітинки зафарбовані в четвертому стовпці.

Іншій системі нумерації вузлів (рис.6.19,в) відповідає блочна схема матриці жорсткості, яку

наведено на рис.6.19,г. У даному випадку ненульові блоки згруповано біля головної діагоналі,

тобто матриця має квазідіагональну структуру. Така матриця є більш придатною для розміщення в

пам’яті комп’ютера і потребує менше часу для розв’язання системи рівнянь. Тому з двох систем

нумерації вузлів перевагу слід віддати другій системі.

Взагалі під час нумерації вузлів слід ставити за мету, щоб найбільша різниця між номерами

сусідніх вузлів була мінімальною. Скажімо, в першій системі нумерації (рис.6,19,а) найбільша різ-

ниця дорівнює шести, а в другій (рис.6.19,в) − лише двом.

Для одержання матриці жорсткості скінченноелементної моделі можна застосувати так звану

структурну матрицю (матрицю інциденцій). З цією метою всі матриці жорсткості окремих скін-

ченних елементів поєднуються в одну квазідіагональну матрицю:

=

m

2

1

~

K00

0

0K0

00K

K

⋯

⋯⋯⋯

⋯

⋯

.

Дана матриця описує стан m скінченних елементів, які не пов’язані між собою. Оскільки ж

скінченні елементи мають спільні вузли стиковки, їх необхідно поєднати в загальну систему. Зад-

ля цього може бути побудовано структурну матрицю I. Кожен стовпець матриці I повинен відпо-

відати одному узагальненому переміщенню скінченноелементної моделі, кожен рядок − одному

кінцевому переміщенню скінченного елемента. При цьому, якщо переміщення кінця стержня від-

повідає переміщенню вузла скінченноелементної схеми, елемент структурної матриці беруть за

одиницю, в іншому разі − за нуль.

Наприклад, розглянемо побудову структурної матриці для скінченноелементної моделі, що

зображена на рис.6.20,а. Вектор вузлових переміщень матиме 6 компонентів:

{ }1 2 3 4 5 6T = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆�

∆∆∆∆ .

6. МСЕ в формі методу переміщень 34

Рис.6.20

На рис.6.20.б зображено для всіх стержнів скінченноелементної моделі кінцеві переміщення,

які орієнтовані за осями глобальної системи координат. Треба звернути увагу на те, що кінцеві пе-

реміщення стержнів нумеруються залежно від того, чи належить вузол до початку або до кінця

стержня. Так, горизонтальне переміщення ∆4 вузла 3 скінченноелементної моделі на стержні 2-3

позначене як δ4, а на стержні 3-4 − як δ1.

Отже, маємо структурну матрицю

T

=

000100000000100000000000

000010000000010000000000

000001000000001000000000

000000000100000100100000

000000000010000010010000

000000000001000001001000

I .

6. МСЕ в формі методу переміщень 35

Матриця жорсткості скінченноелементної моделі може бути отримана з добутку:

.~ IKIK T= (6.49)

При цьому матриця жорсткості виявляється виродженою, оскільки всі скінченні елементи пе-

редбачалися не закріпленими від переміщень. Для виправлення матриці з неї треба вилучити всі

нульові рядки.

Зміст табл. 6.3. характеризує взаємну стиковку елементів, тобто матрицю інциденцій I.

Таблиця 6.3

∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5 ∆6 δ Скінченний

елемент

0 0 0 0 0 0 δ1 0 0 0 0 0 0 δ2 0 0 0 0 0 0 δ3 1-2 1 0 0 0 0 0 δ4 0 1 0 0 0 0 δ5 0 0 1 0 0 0 δ6

1 0 0 0 0 0 δ1 0 1 0 0 0 0 δ2 0 0 1 0 0 0 δ3 2-3 0 0 0 1 0 0 δ4 0 0 0 0 1 0 δ5 0 0 0 0 0 1 δ6

1 0 0 0 0 0 δ1 0 1 0 0 0 0 δ2 0 0 1 0 0 0 δ3 2-5 0 0 0 0 0 0 δ4 0 0 0 0 0 0 δ5 0 0 0 0 0 0 δ6

0 0 0 1 0 0 δ1 0 0 0 0 1 0 δ2 0 0 0 0 0 1 δ3 3-4 0 0 0 0 0 0 δ4 0 0 0 0 0 0 δ5 0 0 0 0 0 0 δ6

6.9. Визначення зусиль у стержнях

Із рівнянь рівноваги (6.47) визначається вектор вузлових переміщень

FK∆�� 1−= (6.50)

і таким чином стають відомими переміщення всіх вузлів. Внаслідок нерозривності деформацій

скінченноелементної моделі кінці стержнів, що примикають до вузлів, які переміщуються, мати-

6. МСЕ в формі методу переміщень 36

муть такі самі переміщення. Отже, для кожного стержня e скінченноелементної моделі можна по-

будувати вектор кінцевих переміщень:

∆∆∆∆∆∆

=

=

=

j

yj

xj

i

yi

xi

j

ie

ϕ

ϕ

δδδδδδ

6

5

4

3

2

1

δ

δδ �

�

�

. (6.51)

Сумарні кінцеві реакції стержня (рис. 6.21,а) складаються з кінцевих реакцій ir ′ , які зумовле-

ні переміщеннями вузлів скінченноелементної моделі (6.51) і кінцевими силами ip′ , що спричи-

нені дією розподіленого на стержні зовнішнього навантаження:

eee prs ′+′=′ ���

, (6.52)

де es′� − вектор сумарних кінцевих реакцій елемента e:

{ } { }1 2 3 4 5 6 .Ti j s s s s s s′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =s s s

� � �

Рис.6.21

Дія сумарних кінцевих реакцій зумовлює внутрішні зусилля на кінцях стержня (рис.6.21,б).

Очевидно, що

.,

,,

,,

63

52

41

ji

ji

ji

MsMs

QsQs

NsNs

−=′=′−=′=′

=′−=′ (6.53)

Таким чином, вектор сумарних кінцевих реакцій пов'язаний з внутрішніми зусиллями:

6. МСЕ в формі методу переміщень 37

{ }Te i i i j j j e

N Q M N Q M′ = − − −s�

. (6.54)

З іншого боку, вектор кінцевих реакцій виражається через вектор кінцевих переміщень

eeeeee δTkδkr��

� ′=′′=′ . (6.55)

Тоді з (6.52) маємо

.e e e e e′ ′ ′= +s k Τ δ p�

� �

(6.56)

Позначивши

,eee Tkh ′= (6.57)

насамкінець можемо записати:

.eeee pδhs ′+=′ ��

�

(6.58)

Вигляд матриці eh залежить від граничних умов на кінцях стержня. Так, для стержня, що має

на обох кінцях жорсткі вузли, після перемноження матриць згідно з (6.57)

e

e

iCl

iS

l

iiC

l

iS

l

il

iC

l

iS

l

i

l

iC

l

iS

l

ifSfCfSfC

iCl

iS

l

iiC

l

iS

l

il

iC

l

iS

l

i

l

iC

l

iS

l

ifSfCfSfC

−−

−−

−−

−−

−−−−

−−

=

466

266

612126121200

266

466

612126121200

2222

2222

h. (6.59)

Тут, як і раніше, позначено: .cos ,sin ββ == CS

6.10. Розрахунок плоскої шарнірно-стержневої системи методом скінченних елементів

Необхідно обчислити зусилля в стержнях шарнірно-стержневої системи (рис.6.22,а), що зава-

нтажена вузловими силами кНP 401 = і кНP 602 = .

6. МСЕ в формі методу переміщень 38

Рис.6.22

6.10.1. Геометричні характеристики стержневої системи

Початок глобальної системи координат прийнято у вузлі 1. Координати вузлів визначаємо за

схемою. Геометричні характеристики стержнів обчислюємо за формулами (6.1) – (6.2). Результати

обчислень заносимо у табл.6.4.

Таблиця 6.4 П.-к.*

пx пy кx кy пк xx − пк yy − l βsin βcos f

2-3 0 3 4 3 4 0 4 0 1 3 f0 3-4 4 3 7 3 3 0 3 0 1 4 f0 1-2 0 0 0 3 0 3 3 1 0 2 f0 3-6 4 3 4 0 0 -3 3 -1 0 2 f0 2-6 0 3 4 0 4 -3 5 -0.6 0.8 f0 3-5 4 3 7 0 3 -3 4.243 -0.707 0.707 f0

П.-к. – тут і далі номери початку і кінця скінченного елемента

6.10.2. Вузлові характеристики скінченноелементної моделі

Утворимо дискретну модель конструкції.. За вузли оберемо точки перетину стержнів. Кожен

вільний вузол моделі є шарнірним і тому має два ступня вільності. Можливі напрями переміщень і

їх нумерацію зображено на рис.6.22,б. Запишемо вузлові переміщення у вигляді вектора

{ }1 2 3 4T = ∆ ∆ ∆ ∆�

∆∆∆∆ .

У вузлі 2 розташовано вертикальний опорний стержень, і тому вузлове переміщення 02 =∆ .

Якщо з вектора вузлових переміщень вилучити нульовий елемент, то він набуде вигляду

{ }1 3 4T = ∆ ∆ ∆�

∆∆∆∆ .

6. МСЕ в формі методу переміщень 39

На рис.6.22,в зображено вузлові реакції, які передаються на стержні системи з боку її вузлів.

Їх нумерація відповідає нумерації вузлових переміщень. Реакція, що відповідає нульовому пере-

міщенню, до уваги не береться. Запишемо вектор вузлових реакцій

{ }1 3 4T R R R=R�

.

Вектор вузлових навантажень, зображених на рис. 6.22,г, запишемо аналогічно:

{ }1 3 4T F F F=F�

.

При обчисленні елементів даного вектора врахуємо, що вектор сил, які передаються на вузли з

боку стержнів від прогонових навантажень, є нульовим, оскільки зовнішнє навантаження на стер-

жні відсутнє, і тому PF��

= . Елементи вектора P�

і, отже, вектора F�

є проекціями зовнішніх вуз-

лових навантажень на координатні осі:

1 1

3 2

4 2

cos 30 34,64 ,

cos 80 10,42 ,

sin 80 59,09 .

F P кН

F P кН

F P кН

= ° == − ° = −= − ° = −

Вектор вузлових навантажень, таким чином, має вигляд

{ }34,64 10,42 59,09T = − −F�

.

6.10.3. Розв’язувальне рівняння методу скінченних елементів

Запишемо розв’язувальне рівняння

− =K F 0�� �

∆∆∆∆ ,

де K − матриця жорсткості всієї системи:

=

4,43,42,41,4

4,33,32,31,3

4,23,22,21,2

4,13,12,11,1

KKKK

KKKK

KKKK

KKKK

K .

Оскільки вузлове переміщення 02 =∆ , другий стовпець і другий рядок матриці жорсткості

можна виключити. В такому разі матричне рівняння матиме вигляд

6. МСЕ в формі методу переміщень 40

.

0

0

0

4

3

1

4

3

1

4,43,41,4

4,33,31,3

4,13,11,1

=

−

∆∆∆

⋅

F

F

F

KKK

KKK

KKK

6.10.4. Обчислення елементів матриці жорсткості

Для визначення елементів матриці жорсткості почергово надаватимемо вільним вузлам скін-

ченноелементної моделі можливі одиничні переміщення. При цьому стержні, які примикають до

вузла, що переміщується, деформуються. Між вузлами і стержнями виникають реакції взаємодії. З

них складаються вузлові реакції, які являють собою елементи матриці жорсткості всієї системи.

Зауважимо, що всі стержні належать до четвертого типу, тобто мають шарніри на обох кінцях.

Для визначення елементів першого стовпця матриці жорсткості надамо дискретній моделі ву-

злове переміщення 11 =∆ (рис.6.23,а), вважаючи, що всі інші вузлові переміщення дорівнюють

нулю. При згаданій дії деформуються лише ті стержні, які примикають до вузла 2. Вони позначені

на рис.6.23,а товстими лініями. Тут також зображено вузлові реакції jiK , . Перший індекс − це

номер реакції, другий − номер переміщення, що зумовило дану реакцію.

Рис.6.23

На рис.6.23,б зображено тільки ті стержні, що деформуються, а також кінцеві реакції в стерж-

нях, орієнтовані за осями глобальної системи координат. Величини реакції визначаються коефіці-

єнтами матриці жорсткості (6.40) в глобальній системі координат для стержня четвертого типу. З

зіставлення рисунків 6.23,а і 6.23,б випливає:

=++= −−− 2144

6211

32111,1 kkkK

( ) ( ) ( ) ,64,3364,00coscoscos 000212622322 ffffff =++==++=

−−−βββ

( ) ,3cos 032232

411,3 ffkK −=−==−− β

6. МСЕ в формі методу переміщень 41

( ) .0cossin 3232511,4 =−== −− ββfkK

Надамо дискретній моделі (рис.6.24,а) вузлове переміщення 13 =∆ . Порівнюючи рис.6.24,а і

рис.6.24,б можемо записати:

( ) ,3cos 032232

143,1 ffkK −=−==−− β

=+++= −−−− 3244

6311

5311

43113,3 kkkkK

( ) ( ) ( ) ( ) =+++=−−−− 322632532432 coscoscoscos ββββ ffff

,5,7305,04 0000 ffff =+++=

( ) +=+++= −−−−− 433254

6321

5321

43213,4 cossin ββfkkkkK

( ) ( ) ( ) =+++ −−− 326353 cossincossincossin ββββββ fff

( ) .5,0005,00 00 ff −=++−+=

Рис.6.24

Аналогічно знаходимо вузлові реакції від переміщення 14 =∆ :

,04,1 =K

04,3 5,0 fK −= ,

04,4 5,2 fK = .

Зрештою, матриця жорсткості всієї системи має такий вигляд:

−−−

−=

00

000

00

5,25,00

5,05,73

0364,3

ff

fff

ff

K .

6. МСЕ в формі методу переміщень 42

6.10.5. Визначення вузлових переміщень

Розв’язок матричного рівняння (6.47) можна подати в формі:

FK∆�� 1−= ,

де 1−K − матриця, обернена до матриці жорсткості всієї системи K.

Отже, обчислюємо вектор вузлових переміщень:

−=

−−⋅

=

∆∆∆

380,23

2808,1

5721,01

09,59

42,10

64,34

40812,004059,003345,0

04059,020294,016728,0

03345,016728,041258,01

004

3

1

ff.

6.10.6. Обчислення зусиль у стержнях

Для обчислення зусиль

{ }Te i i i j j j e

N Q M N Q M′ = − − −s�

використаємо формулу (6.58):

eeee pδhs ′+=′ ��

�

,

де вектор ep′� є нульовим, а матриця eh визначається із співвідношення (6.57)

eee Tkh ′=

і для стержня четвертого типу становить:

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

e

e

fC fS fC fS

fC fS fC fS

− −

= − −

h.

Елементи вектора { }1 2 3 4 5 6Te = δ δ δ δ δ δ�

δδδδ кінцевих переміщень скінченного еле-

мента в глобальній системі координат визначаються компонентами вектора вузлових переміщень

усієї системи. Так, для елемента 1-3 можна записати:

{ }1 3 1 3 4∆ 0 0 ∆ ∆ 0T− =�

δδδδ ,

для елемента 3-4 :

6. МСЕ в формі методу переміщень 43

{ }3 4 3 4 0 0 0 0T− = ∆ ∆�

δδδδ ,

а для елемента 1-2 :

{ }1 2 10 0 0 0 0T− = ∆�

δδδδ .

Обчислимо, наприклад, кінцеві зусилля в стержні 2-3. Матриця 32−h для цього стержня ма-

тиме вигляд

−

−

⋅=−

000000

000000

003003

000000

000000

003003

032 fh ,

вектор кінцевих переміщень

{ }2 3 0 0 010,5721 0 0 1,2808 23,380 0T f f f− = −�

δδδδ ,

а вектор { }2 3 0 0 0 0 0 0T−′ =q�

. Виконавши згідно формули (6.58) матричні операції оде-

ржимо:

{ }2 3 27,8779 0 0 27,8779 0 0T−′ = −s�

,

тобто в стержні 2-3 згинальні моменти і поперечні сили дорівнюють нулю, а поздовжня сила ста-

новить 8779,2732 −=−N кН.

Рис.6.25

6. МСЕ в формі методу переміщень 44

6.11.Приклад розрахунку рами за методом скінченних елементів

Розрахуємо раму (рис.6.25) при таких вихідних даних: l= 4 м, h=3 м, P1=1,8 кН, P2=1,2 кН,

q1=2,4 кН/м, q2=2 кН/м.. Як видно з рисунку, рама має два типи скінченних елементів: стержень із

затисненнями з обох сторін − перший тип, стержень із затисненням на початку і шарніром на кінці

− другий тип.

Згідно з умовою щодо жорсткостей елементів рами будемо вважати, що для вертикальних сте-

ржнів 1-2, 1-6, 2-5, 2-7, 3-8 жорсткості на згин становлять EI=1, а на поздовжні деформації −

EA=100. Для нахиленого та горизонтальних стержнів 4-5, 1-2, 2-3 − відповідно EI=2 i EA=200.

Початок глобальної системи координат принято у вузлі 6.

6.11.1. Геометричні характеристики скінченних елементів

Геометричні характеристики стержнів наведені в табл.6.5.

Таблиця 6.5

П.−к.

Тип СЕ

l (м)

sinβ cosβ EI EA i f

1 − 2 1 4 0 1 2 200 0,50 50,000 2 − 3 1 8 0 1 2 200 0,25 25,000 4 − 5 1 5 0,6 0,8 2 200 0,40 40,000 3 − 5 1 10 0,6 -0,8 2 200 0,20 20,000 1 − 6 2 3 -1 0 1 100 0,3333 33,333 2 − 7 2 3 -1 0 1 100 0,3333 33,333 3 − 8 2 3 -1 0 1 100 0,3333 33,333 1 − 4 1 3 1 0 1 100 0,3333 33,333 2 − 5 1 6 1 0 1 100 0,3333 16,667

6.11.2. Побудова векторів вузлових характеристик

Дискретну модель рами з нумерацією напрямів можливих переміщень зображено на рис.6.26.

Зверніть увагу на те, що нумерація напрямів пов’язана з нумерацією вузлів: спершу нумеруються

напрями у вузлі 1, потім у вузлі 2 тощо.

Оскільки переміщення опорних вузлів дорівнюють нулю, вектор невідомих вузлових перемі-

щень матиме вигляд

{ }1 2 3 4 5 6 13 14 15T = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆�

…∆∆∆∆ .

Отже, кількість ступнів вільності (основних невідомих) дорівнює п’ятнадцяти.

Так само можна записати вектори вузлових реакцій і вузлових навантажень:

{ }1 2 3 4 5 6 13 14 15T R R R R R R R R R=R�

… ,

6. МСЕ в формі методу переміщень 45

{ }1 2 3 4 5 6 13 14 15T F F F F F F F F F=F�

… .

Рис.6.26

Вектор вузлових навантажень F�

являє собою суму вектора P�

вузлових сил, які безпосередньо

діють на вузли дискретноі моделі, і вектора Q�

, який зумовлено дією на вузли розподілених на сте-

ржнях навантажень. Компоненти вектора F�

представлено на рис.6.27.

Рис.6.27

Вектор P�

може бути записано із порівняння діючих вузлових сил і моментів і схеми напрямів

вільних переміщень вузлів. Зрештою, маємо:

{ }0 0 0 0 0 0 1,8 0 0 1,2 0 0 0 0 0T =P�

.

6. МСЕ в формі методу переміщень 46

Компоненти вектора Q�

і схема кінцевих сил, що передаються на вузли скінченноелементної

моделі з боку завантажених стержнів, показано відповідно на рис.6.28,а та 6.28,б.

Рис.6.28

Для визначення компонентів вектора Q�

обчислимо кінцеві сили, що орієнтовані за осями гло-

бальної системи координат, в стержнях, на яких розташоване розподілене навантаження.

Стержень 1-2 (рис.6.29,а) має такі вихідні дані:

.0,4 ,4,2 ,0 1 ==−=−== yxyxq lм lмкНq q

6. МСЕ в формі методу переміщень 47

Рис.6.29

Отже, маємо:

.2,3 ,2,312

4)4.2(

,8,4,8,42

4)4.2(,0 ,0

6

2

3

52

41

кНмpкНм

кНpкН

p

p

p

p

=−=⋅−=

==⋅−−=

==

Стержень 3-5 (рис.6.29,б) має такі дані:

.6 ,8,/4.2 ,0 1 мlмlмкНqq yxyxq ==−=−==

Тоді

.8,12 ,8,1212

8)4.2(

,6,9 ,692

8)4.2(,0 ,0

6

2

3

52

41

кНмpкНмp

кНpкН,p

pp

−==⋅−=

==⋅−−=

==

І нарешті, для стержня 1-4 (рис.6.29,в), який має такі характеристики:

,3 ,0 ,0 ,22 мllqмкНq yxyxq =====

обчислюємо:

6. МСЕ в формі методу переміщень 48

.5,1 ,5,112

32

,0,0

,3 ,32

32

6

2

3

52

41

кНмpкНмp

pp

кНpкНp

=−=⋅−=

==

−=−=⋅−=

Надалі обчислимо компоненти вектора Q�

, беручи до уваги, що кінцеві сили із стержнів пере-

даються на вузли скінченноелементної моделі у зворотньому напрямі і тому повинні братися із

зворотнім знаком. Отже, можемо записати:

1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 41 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 1 2 1 24 4 5 5 6 6

3 5 3 5 3 57 1 8 2 9 3

1 4 1 4 1 410 4 11 5 12 6

3, 4 8 4 7

0 Q 4 8 Q 3 2

0 Q 9 6 Q 12 8

3 Q 0 Q 1 5

Q ( p p ) Q ( p p ) , , Q ( p p ) , ,

Q p , p , , p , ,

Q p , p , , p , ,

Q p , p , p , ,

− − − − − −

− − −

− − −

− − −

= − + = = − + = − = − + =

= − = = − = − = − = −

= − = = − = − = − = −

= − = = − = = − = −3 5 3 5 3 5

13 4 14 5 15 60 Q 9 6 Q 12 8Q p , p , , p , .− − −= − = = − = − = − =

Таким чином, вектор кінцевих сил, які передаються на вузли скінченноелементної моделі з бо-

ку завантажених стержнів, запишеться у вигляді:

{ }3 4,8 4,7 0 4,8 3,2 0 9,6 12,8 3 0 1,5 0 9,6 12,8T = − − − − − − −Q�

.

Зрештою вектор вузлових навантажень

{ }3 4,8 4,7 0 4,8 3,2 1,8 9,6 12,8 4,2 0 1,5 0 9,6 12,8T = − − − − − − −F�

.

6.11.3. Побудова матриці жорсткості скінченноелементної моделі

Матриця жорсткості скінченноелементної моделі має такий вигляд:

.

15,158,152,151,15

15,28,22,21,2

15,18,12,11,1

=

KKKK

KKKK

KKKK

⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯

⋯⋯

K

6. МСЕ в формі методу переміщень 49

Для обчислення елементів матриці жорсткості K�

необхідно почергово надавати вільним вуз-

лам скінченноелементної моделі одиничні переміщення і знаходити реакції, які передаються на

вузли з боку стержнів, які деформуються внаслідок цих переміщень.

Обчислимо, наприклад, елементи 8-го стовпця. Задля цього надамо дискретній моделі перемі-

щення ∆8 = 1, покладаючи, що всі інші вузлові переміщення дорівнюють нулю. При такій дії де-

формуються лише ті стержні, що підходять до вузла 3. Схему вузлових реакцій зображено на

рис.6.30.

Рис.6.30

Реакції, які передаються на вузли, до яких прикріплено тільки недеформовані стержні, дорів-

нюють нулю, тобто:

K1,8 = K2,8 = K3,8 = K10,8 = K11,8 = K12,8 = 0.

Для обчислення інших реакцій розглянемо схему стержнів, що деформуються (рис.6.31).

На схемі враховано, що вертикальне переміщення ∆8 вузла 3 скінченноелементної моделі для

стержнів 3-5 і 3-8 є вертикальним переміщенням їхніх початків δ2, а для стержня 2-3 − вертикаль-

ним переміщенням кінця δ5.

Кінцеві реакції визначаються елементами відповідних матриць жорсткості: для стержнів 2-3,

3-5 − матрицею жорсткості стержня, який має затиснення на обох кінцях (перший тип), для стерж-

ня 3-8 − матрицею жорсткості стержня із затисненням на початку і шарніром на кінці (другий

тип). На підставі схеми (рис.6.31) можемо записати

2 32 3

4,8 15 2 )12

( 0;K ki

SC fl

−−= = − − =

2 32 3 2 2 2

5,8 35 2

12 12 0,25( ) 0 1 0,0469;28

iK k fS C

l

−− =

⋅= = − − = − ⋅ −

6. МСЕ в формі методу переміщень 50

Рис.6.31

2 32 3 2

6,8 356 6 0,25

1 0,1875;8

Ki

k Cl

−− ⋅

⋅= = = =

2 3 3 52 3 3 5 3 8

7,8 45 12 12 2 2

3 8

2

12 12( ) ( )

3 ( ) 9,5885;

Ki i

k k k SC f SC fl l

iSC f

l

− −− − −

−

= + + = − + − +

+ − = −

;5956,40)3

(

)12

()12

(k+

832

22

322

22

322

228-3

225-3

223-2

558,8

=++

++++=+=−

−−

Cl

ifS

Cl

ifSC

l

ifSkkK

;2835,0)6

()6

()6

(835332

8332

5332

32658,9 =−+−+=++=

−−−−−− C

l

iC

l

iC

l

ikkkK

;5885,9))12

((53

253

428,13 =−−==−

−

l

ifSCkK

6. МСЕ в формі методу переміщень 51

3 53 5 2 2

;14,8 32 2

12( ) 7,2154K

ik fS C

l

−−= = − − = −

3 53 5

15,8 626

( ) 0,0096.Ki

k Cl

−−= = − =

Правильність розрахунків може бути перевірена за допомогою програми-тренажера . Якщо при

перевірці знемає зпомилок, зпрограма зрозв’яже зрівняння зрівноваги (6.47) і видасть лістинг із величи-

нами вузлових переміщень скінченноелементної моделі (табл.6.6) і вказівкою щодо стержнів, зу-

силля в яких слід обчислити вручну.

Таблиця 6.6

№ DX DY DF

1 6.0630880E+00 -1.4219720E-01 2.3217250E+00

2 6.0239660E+00 -3.3510400E-01 -2.7461000E-01

3 6.0933580E+00 -3.8669850E-01 -3.4268370E+00

4 6.1645700E+00 -1.8428430E-01 -2.4085670E+00

5 6.3384370E+00 -5.8774600E-01 5.3624630E+00

6 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00

7 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00

8 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00

Кожен рядок таблиці містить поступальні ∆x i ∆y, а також кутове переміщення ∆ϕ відповідно-

го вузла, тобто компоненти вектора вузлових переміщень ∆�

.

6.11.4. Обчислення зусиль у стержнях

Наступна задача розрахунку полягає в обчисленні внутрішніх зусиль в елементах споруди за

формулою (6.58):

.eeee pδhs ′+=′ ��

�

Виконаємо такий розрахунок для стержня 3-5. Вектор кінцевих переміщень будується на підставі

лістингу:

{ } { }3 5 1 2 3 4 5 6 3 3 3 5 5 53 5 3 5

Tx y x y− ϕ ϕ− −

= δ δ δ δ δ δ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ =�

δδδδ

={ 6,093358 -0,386698 -3,426837 | 6,338437 -0,587746 5,362463}.

6. МСЕ в формі методу переміщень 52

Матриця h, яка визначає зусилля в локальній системі координат стержня по переміщенням йо-

го кінців у глобальній системі, має такий вигляд:

.

8,0096,0072,04,04,0072,0

12,00192,00144,012,00192,00144,0

0121601216

4,0096,0072,08,0096,0072.0

12,00192,00144,012,00192,00144,0

0121601216

53

−−

−−

−−

−−

−−−−

−−

=−h

Перетворимо розподілене на стержень навантаження до локальних осей координат за форму-

лами (6.3). Тут lx=8 м; ly=6 м; l=10 м; sinβ=0,6; cosβ= – 0,8; qx=0 та qy= – 2,4.

( )

( ) ( ) ./536,18,010

84,20cossin

;/152,16,010

84,20sincos

мкНl

lq

l

lqq

мкНl

lq

l

lqq

xyyxy

xyyxx

=−⋅⋅−+=+−=′

−=⋅⋅−+=+=′

ββ

ββ

Визначимо вектор кінцевих сил у локальній системі координат від розподілених навантажень:

,76,52

10)152,1(21 кНlq

p x =⋅−−=′

−=′

,68,72

10536,1

22 кНlq

p y −=⋅−=′

−=′

,8,1212

10536,1

12

22

3 кНмlq

p y =⋅=′

+=′

,76,52

10)152,1(

24 кНlq

p x =⋅−−=′

−=′

,68,72

10536,1

25 кНlq

p y −=⋅−=′

−=′

.8,1212

10536,1

12

22

6 кНмlq

p y =⋅=′

−=′

Вектор кінцевих реакцій, обчислений за формулою (6.52) остаточно має вигляд:

T′s� ={12,095 -7,913 12,205 | -0,574 -7,447 -9,879 }.

6. МСЕ в формі методу переміщень 53

Отже, кінцеві зусилля в стержні 3-5 становлять:

./879,9;/20,12

;447,7;913,7

;085,12;085,12

53

53

53

мкНMмкНM

кНQкНQ

кНNкНN

−==

−=−=

−=−=

Схему кінцевих зусиль в стержні 3-5 зображено на рис. 6.32.

Рис.6.32

6.12. Особливості розрахунку просторових стержневих систем

Просторові стержневі системи на теперішній час розраховуються, як правило, за методом скін-

ченних елементів (МСЕ). Алгоритм розрахунку практично не відрізняється від алгоритму розра-

хунку плоских стержневих систем. Відмінності стосуються лише складу вузлових характеристик,

матриці перетворення і матриць жорсткості скінченних елементів.

6.12.1. Рівняння рівноваги вузлів просторових рам

Для розрахунку за методом скінченних елементів просторову стержневу систему необхідно

замінити дискретною моделлю, що складається з вузлів і стержнів, які можуть бути довільно оріє-

нтовані у просторі. Розташування вузлів скінченноелементної моделі визначається за допомогою

глобальної системи декартових координат xyz. За осями цієї координатної системи орієнтуються

всі статичні і кінематичні вузлові характеристики скінченноелементної моделі.

Будь-який вільний жорсткий вузол i скінченноелементної моделі має шість ступнів вільності,

тобто можливість трьох поступальних переміщень по напрямах координатних осей ∆xi, ∆yi, ∆zi, і

трьох кутових переміщень ϕxi, ϕyi, ϕzi цього вузла (рис.6.33,а).

6. МСЕ в формі методу переміщень 54

Рис.6.33

Означені величини можуть бути записані у вигляді вектора

Ti

�

∆∆∆∆ = {∆xi ∆yi ∆zi ϕxi ϕyi ϕzi }.

Для практичних розрахунків зручно використовувати наскрізну нумерацію компонентов вуз-

лових переміщень у межах всієї моделі. Нумерація переміщень при цьому залежатиме від номера

вузла. В такому разі вектор вузлових переміщень вузла i матиме вигляд

Ti

�

∆∆∆∆ = { ∆6i-5 ∆6i-4 ∆6i-3 ∆6i-2 ∆6i-1 ∆6i}.

Сукупність всіх вузлових переміщень скінченноелементної моделі, яка має n жорстких вільних

вузлів, становить вектор вузлових переміщень

{ }1 2T

i n=� � � � �

… …∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ .

Сумарні реакції всіх стержнів, які примикають до вузла i, зобразимо у вигляді трьох зосере-

джених сил Rxi,, Ryi,, Rzi,, які орієнтовані за осями глобальної системи координат усієї моделі, і

трьох зосереджених моментів ℜxi, ℜyi, ℜzi, які обертаються відносно зазначених координатних

осей. Для вузла i ці величини можуть бути записані у вигляді вектора

TiR�

= { Rxi, Ryi, Rzi, ℜxi ℜyi ℜzi }.

При виконанні розрахунків необхідно, щоб номери вузлових реакцій відповідали номерам ана-

логічних вузлових переміщень, тобто даний вектор може бути записаний як

TiR�

= { R6i-5 R6i-4 R6i-3 R6i-2 R6i-1 R6i}.

На базі векторів для всіх вільних вузлів складається повний вектор вузлових реакцій всієї скін-

ченноелементної моделі:

{ }1 2T

i n=R R R R R� � � � �

… … .

6. МСЕ в формі методу переміщень 55

Зовнішнє навантаження на будь-який жорсткий вузол і може бути представлено трьома компо-

нентами зосереджених сил Pxi, Pyi, Pzi, які діють у напрямах осей глобальної системи координат, і

трьома зосередженими моментами Mxi, Myi, Mzi, що обертаються відносно відповідних осей

(рис.6.33,б). Сукупність навантажень становить вектор

TiF�

= { Pxi Pyi Pzi Mxi Myi Mzi} .

Якщо нумерацію компонентів цього вектора пов’язувати з нумерацією вузлів просторової сис-

теми, то вектор набирає вигляду

{ }1 2T

i n=F F F F F� � � � �

… … .

Вектор вузлових реакцій R�

пов’язується з вектором вузлових переміщень ∆�

за допомогою

матриці жорсткості скінченноелементної моделі

∆KR��

= ,

де K − матриця жорсткості скінченноелементної моделі:

=

nninnn

ni

ni

KKKK

KKKK

KKKK

,,,

,,

,,

2,1

222,21,2

112,11,1

⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯

⋯⋯

K .

Будь-який коефіцієнт матриці жорсткості Ki,j дорівнює вузловій реакції Ri, яка зумовлена дією

примусового вузлового переміщення ∆j = 1, за умови, що всі інші переміщення вузлів дорівню-

ють нулю:

Ki,j = Ri при ∆j = 1, ∆1=∆2=...=∆j-1=∆j+1=...=∆n=0.

Елементи матриці жорсткості K обчислюються через матриці жорсткості окремих стержнів.

Матричне рівняння рівноваги вузлів скінченноелементної моделі нічим не відрізняється від

аналогічного рівняння для плоских систем:

0F∆K���

=− .

6. МСЕ в формі методу переміщень 56

6.12.2. Матриця перетворення

Кінематичні і статичні характеристики на кінцях скінченного елемента (кінцеві переміщення

або кінцеві реакції) можуть бути орієнтовані за осями локальної або глобальної системи коорди-

нат. На рис.6.34,а зображено кінцеві переміщення в локальній, а на рис.6.34,б − у глобальній сис-

темі координат стержня. Як і раніше, за початок локальної системи координат стержня i-j беруть

кінець стержня, який є притичним до вузла з меншим номером. Будемо вважати, що i<j, тобто по-

чаток стержня знаходиться у вузлі і, а кінець − у вузлі j.

Рис.6.34

Позначення кінцевих переміщень наведено у табл.6.7.

Таблиця 6.7

Переміщення Система координат

∆x ∆y ∆z ϕx ϕy ϕz

локальна δ′1 δ′2 δ′3 δ′4 δ′5 δ′6 Початок i глобальна δ1 δ2 δ3 δ4 δ5 δ6 локальна δ′7 δ′8 δ′9 δ′10 δ′11 δ′12 Кінець j глобальна δ7 δ8 δ9 δ10 δ11 δ12

6. МСЕ в формі методу переміщень 57

Аналогічно нумеруються реакції на кінцях стержня в локальній системі координат (табл.6.8):

Таблиця 6.8

Кінцеві реакції Система координат

Rx

Ry Rz Mx My Mz

локальна r′1 r′2 r′3 r′4 r′5 r′6 Початок i глобальна r1 r2 r3 r4 r5 r6 локальна r′7 r′8 r′9 r′10 r′11 r′12 Кінець j глобальна r7 r8 r9 r10 r11 r12

Для кожного стержня просторової системи означені величини можуть бути записані у вигляді

векторів:

• вектора кінцевих переміщень у локальній системі координат

Te′�

δδδδ = {δ‘1 δ‘2 δ‘3 ¦ δ‘4 δ‘ 5 δ‘6 ¦ δ‘7 δ‘8 δ‘9 ¦ δ‘10 δ‘11 δ‘12};

• вектора кінцевих переміщень у глобальній системі координат

Te

�

δδδδ = {δ1 δ2 δ3 ¦ δ4 δ5 δ6 ¦ δ7 δ8 δ9 ¦ δ10 δ11 δ12};

• вектора кінцевих реакції у локальній системі координат

Te′r�

= {r‘ 1 r‘ 2 r‘ 3 ¦ r‘ 4 r‘ 5 r‘ ¦ r‘ 7 r‘ 8 r‘ 9 ¦ r‘ 10 r‘ 11 r‘ 12};

• вектора кінцевих реакції у глобальній системі координат

Ter�

= {r1 r2 r3 ¦ r4 r5 r6 ¦ r7 r8 r9 ¦ r10 r11 r12}.

Однотипні характеристики в локальній і глобальній системах координат пов’язані між собою

за допомогою матриці перетворення eT :

eeδTδ��

=′ ,

eee rTr �� = .

Матриця перетворень є блочною діагональною матрицею

e

e

=

t

t

t

t

T , (6.60)

6. МСЕ в формі методу переміщень 58

де кожний блок має вигляд

=

333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

t . (6.61)

Компонентами матриці t є напрямні косинуси осей локальної системи координат стержня від-

носно осей глобальної системи координат. У глобальній системі координат координати початко-

вого і кінцевого вузлів однозначно визначають положення стержня як лінійного елемента у прос-

торі і дозволяють обчислити напрямні косинуси за формулами:

, , , 131211ij

ij

ij

ij

ij

ij

l

zzc

l

yyc

l

xxc

−=

−=

−= (6.62)

222 )()()( ijijijij zzyyxxl −+−+−= . (6.63)

З іншого боку, стержень як фізичне тіло має один ступінь вільності − він може обертатися від-

носно своєї поздовжньої осі x’. Тому для однозначної орієнтації осей o’y’ i o’z’ локальної системи

координат стержня щодо осей глобальної системи координат необхідно додатково задати принай-

мні один параметр. Найбільш поширеним способом орієнтації локальної системи координат є за-

вдання кута чистого обертання Ψ на площині xy, який бере відлік від сліду площини y’z’ до осі

o’y’ (рис.6.35).

Рис.6.35

Положення головних осей інерції o’y’ і o’z’ поперечного перерізу стержня визначається через

напрямні косинуси поздовжньої осі стержня o’x’ і кут Ψ за формулами:

6. МСЕ в формі методу переміщень 59

212

211

12131121

cossin

cc

cccc

+

+= ψψ,

212

211

11131222

cossin

cc

cccc

+

−= ψψ,

ψsin212

21123 ccc += ,

212

211

12131131

sincos

cc

cccc

+

−−= ψψ, (6.64)

212

211

11131232

cossin

cc

cccc

+

+= ψψ, ψcos2

1221123 ccc += .

Іншим способом орієнтації осей o’y’ , o’z’ стержня є завдавання координат довільно обраної ре-

перної точки, що розташована в додатній півплощині x’y’ . У цьому випадку напрямні косинуси

визначаються із векторних співвідношень:

kcjcice 1312111 ++= ,

kzzjyyixxe iririrr )()()( −+−+−= ,

r

r

ee

eekcjcice

××=++=

1

13332313 , (6.65)

132322212 eekcjcice ×=++= .

6.13. Матриця жорсткості просторового стержня

Матриця жорсткості просторового стержня має розмірність 12× 12 і містить 4 незалежні одна

від одної групи елементів, що визначають зв’язок між кінцевими реакціями і переміщеннями при

поздовжній деформації, крученні, згині стержня в площинах x’y’ і x’z’.

e

e

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′

=′

12,1211,1210,129,128,127,126,125,124,123,122,121,12

12,1111,1110,119,118,117,116,115,114,113,112,111,11

12,1011,1010,109,108,107,106,105,104,103,102,101,10

12,911,910,99,98,97,96,95,94,93,92,91,9

12,811,810,89,88,87,86,85,84,83,82,81,8

12,711,710,79,78,77,76,75,74,73,72,71,7

12,611,610,69,68,67,66,65,64,63,62,61,6

12,511,510,59,58,57,56,55,54,53,52,51,5

12,411,410,49,48,47,46,45,44,43,42,41,4

12,311,310,39,38,37,36,35,34,33,32,31,3

12,211,210,29,28,27,26,25,24,23,22,21,2

12,111,110,19,18,17,16,15,14,13,12,11,1

k

6. МСЕ в формі методу переміщень 60

Елементи першого стовпця матриці є кінцевими реакціями стержня, які зумовленими кінцевим

переміщенням 11 =′δ , другого − кінцевим переміщенням 12 =′δ і т.д. Елементи першого рядка −

це кінцеві опорні реакції 1r ′ від дій кінцевих переміщень, другого − опорні реакції 2r ′ тощо. Отже,

будь-який елемент матриці жорсткості ijk′ − це кінцева реакція ir ′ , що зумовлена кінцевим пере-

міщенням 1=′jδ .

Переважна більшість елементів матриці жорсткості дорівнює нулю. Наведемо тільки ті елемен-

ти, які відмінні від нуля:

l

EAkkkk =′−=′−=′=′ 1,77,17,71,1 ,

32,88,28,82,2

12

l

EIkkkk z′=′−=′−=′=′ ,

33,99,39,93,3

12

l

EIkkkk y′=′−=′−=′=′ ,

l

GIkkkk кр=′−=′−=′=′ 4,1010,410,104,4 ,

l

EIkk y′=′=′

411,115,5 ,

l

EIkk z′=′=′ 4

12,126,6 , (6.66)

26,88,68,122,122,612,812,26,2

6

l

EIkkkkkkkk z′=′−=′−=′=′=′=′=′=′ ,

23,113,55,99,1111,35,39,511,9

6

l

EIkkkkkkkk y′=′−=′−=′=′=′−=′−=′=′ ,

l

EIkkkk y′=′=′=′=′

26,125,1112,611,5 .

Матриця жорсткості ek′ просторового стержня в глобальній системі координат може бути оде-

ржана, як і для стержня на площині, за допомогою співвідношення

eeTee TkTk ′= . (6.67)

6.14. Приклад розрахунку просторової рами методом скінченних елементів

Дано: розрахункова модель просторової рами (рис. 11.36), всі стержні якої мають жорскісні

параметри: 300=ЕА , 3=== крzy GIEIEI .

6. МСЕ в формі методу переміщень 61

Рис.6.36

Необхідно: Визначити внутрішні зусилля в стержнях рами.

Розв’язуватимемо задачу в глобальній системі координат OXYZ (рис. 11.37). Просторову раму

розглядатимемо як сукупність трьох стержневих скінченних елементів 1-2, 2-3, 3-4, поєднаних між

собою у вузлах 2, 3 і з диском „земля” жорсткими в’язями 1 та 4. З кожним скінченним елементом

пов’яжемо локальні системи координат jijiji zyx −−− .

Рис.6.37

Вузли рами мають дванадцять можливих переміщень (рис. 11.28)

{ }1 2 12...T = ∆ ∆ ∆�

∆∆∆∆ .

6. МСЕ в формі методу переміщень 62

Рис.6.38

Система розв’язувальних рівнянь методу скінченних елементів у формі переміщень має вигляд

0Р∆К���

=−⋅ ,

або в координатній формі

=

−

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

12,1211,1210,129,128,127,126,125,124,123,122,121,12

12,1111,1110,119,118,117,116,115,114,113,112,111,11

12,1011,1010,109,108,107,106,105,104,103,102,101,10

12,911,910,99,98,97,96,95,94,93,92,91,9

12,811,810,89,88,87,86,85,84,83,82,81,8

12,711,710,79,78,77,76,75,74,73,72,71,7

12,611,610,69,68,67,66,65,64,63,62,61,6

12,511,510,59,58,57,56,55,54,53,52,51,5

12,411,410,49,48,47,46,45,44,43,42,41,4

12,311,310,39,38,37,36,35,34,33,32,31,3

12,211,210,29,28,27,26,25,24,23,22,21,2

12,111,110,19,18,17,16,15,14,13.12,11,1

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

КККККККККККК

.

Вектор вузлових навантажень на скінченноелементну модель

−

=

=

0

0

0

0

10

0

0

0

0

0

0

0

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Р�

6. МСЕ в формі методу переміщень 63

Для побудови матриці жорсткості всієї моделі К визначимо матриці жорсткості кожного скін-

ченного елемента в локальній k′ і в глобальній k системах координат. Стержень, що деформу-

ється в просторі, має дванадцять можливих вузлових переміщень 1 12, ...,δ δ (рис.6.39).

Рис.6.39

При такій схемі розміщення невідомих переміщень матриця жорсткості окремого стержневого

скінченого елемента довжиною L в локальній системі координат будується по схемі

′′′

=′23

31

kk

kkk Tе

в якій блоки мають наповнення:

−

−=′

L

EI

L

EIL

EI

L

EIL

GIL

EI

L

EIL

EI

L

EIL

EA

zz

yy

кр

yy

zz

4000

60

04

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

2

2

23

23

1k,

−

−

=′

L

EI

L

EIL

EI

L

EIL

GIL

EI

L

EIL

EI

L

EIL

EA

zz

yy

кр

yy

zz

4000

60

04

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

2

2

23

23

2k,

6. МСЕ в формі методу переміщень 64

−

−

−−

−

−

=′

L

EI

L

EIL

EI

L

EIL

GIL

EI

L

EIL

EI

L

EIL

EA

zz

yy

кр

yy

zz

2000

60

02

06

00

00000

06

012

00

6000

120

00000

2

2

23

23

3k.

Використовуючи приведену схему, отримуємо матриці жорсткості скінченних елементів в ло-

кальних системах координат

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

=′−

400020200020

040200020200

001000001000

020333,100020333,100

2000333,102000333,10

0000010000000100

200020400020

020200040200

001000001000

020333,100020333,100

2000333,102000333,10

0000010000000100

21k ,

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

=′ −

60005,4030005,40

0605,4000305,400

005,1000005,1000

05,405,40005,405,400

5,40005,405,40005,40

0000015000000150

30005,4060005,40

0305,4000605,400

005,1000005,1000

05,405,40005,405,400

5,40005,405,40005,40

0000015000000150

32k ,

6. МСЕ в формі методу переміщень 65

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

=′−

4,200072,002,100072,00

04,2072,00002,1072,000

006,0000006,0000

072,00288,000072,00288,000

72,0000288,0072,0000288,00

00000600000060

2,100072,004,200072,00

02,1072,00004,2072,000

006,0000006,0000

072,00288,000072,00288,000

72,0000288,0072,0000288,00

00000600000060

43k

Матриця перетворення трьохвимірної системи координат має вигляд:

=

t000

0t00

00t0

000t

Т ,

Однотипні блоки матриці перетворення мають компоненти:

=

zzz

yyy

xxx

nml

nml

nml

t ,

====

000000000

0

котрі можна визначити за формулами:

ji

ijx L

XXl

−

−= ;

ji

ijx L

YYm

−

−= ;

ji

ijx L

ZZn

−

−= ;

22

cossin

xx

xxxy

ml

mnll

+

+−= ϕϕ ; 22

cossin

xx

xxxy

ml

lmnm

+

−−= ϕϕ ; ϕsin22xxy mln += ;

22

sincos

xx

xxxz

ml

mnll

+

−−= ϕϕ ;

22

sincos

xx

xxxz

ml

lnmm

+

+−= ϕϕ ; ϕcos22xxz mln += .

В цих формулах позначено: jjjiii ZYXZYX ,,,,, – координати початкового і кінцевого вузлів

скінченного елементу в глобальній системі координат, ϕ – кут між віссю jiy − і прямою перетину

площин XY та jiji zy −− .

Для стержня 1-2:

0=ϕ ;

6. МСЕ в формі методу переміщень 66

13

03

21

12 =−=−=−L

XXlx ;

03

00

21

12 =−=−=−L

YYmx ;

04

44

21

12 =−=−=−L

ZZnx ;

001

10001cossin2222

=+

⋅+⋅⋅−=+

+−=xx

xxxy

ml

mnll

ϕϕ;

101

11000cossin2222

=+

⋅−⋅⋅−=+

−−=xx

xxxy

ml

lmnm

ϕϕ;

0001sin 2222 =⋅+=+= ϕxxy mln ;

001

00101sincos2222

=+

⋅−⋅⋅−=+

−−=xx

xxxz

ml

mnll

ϕϕ;

001

01100sincos2222

=+

⋅+⋅⋅−=+

+−=xx

xxxz

ml

lnmm

ϕϕ;

1101cos 2222 =⋅+=+= ϕxxz mln ;

Матриця перетворення системи координат набуває вигляду

=−

100

010

001

000

000

000

000

000

000

000

000

000000

000

000

100

010

001

000

000

000

000

000

000000

000

000

000

000

000

100

010

001

000

000

000000

000

000

000

000

000

000

000

000

100

010

001

21Т .

Для стержня 2-3:

0=ϕ ;

02

33

32

23 =−=−=−L

XXlx ;

12

02

32

23 =−=−=−L

YYmx ;

6. МСЕ в формі методу переміщень 67

04

44

32

23 =−=−=−L

ZZnx ;

110

11000cossin2222

−=+

⋅+⋅⋅−=+

+−=xx

xxxy

ml

mnll

ϕϕ;

010

10010cossin2222

=+

⋅−⋅⋅−=+

−−=xx

xxxy

ml

lmnm

ϕϕ;

0010sin 2222 =⋅+=+= ϕxxy mln ;

010

01100sincos2222

=+

⋅−⋅⋅−=+

−−=xx

xxxz

ml

mnll

ϕϕ;

010

00101sincos2222

=+

⋅+⋅⋅−=+

+−=xx

xxxz

ml

lnmm

ϕϕ;

1110cos 2222 =⋅+=+= ϕxxz mln ;

Матриця перетворення системи координат набуває вигляду

−

−

−

−

=−

100

001

010

000

000

000

000

000

000

000

000

000000

000

000

100

001

010

000

000

000

000

000

000000

000

000

000

000

000

100

001

010

000

000

000000

000

000

000

000

000

000

000

000

100

001

010

32Т .

Для стержня 3-4:

0=ϕ ;

6,05

30

43

34 −=−=−=−L

XXlx ;

05

22

43

34 =−=−=−L

YYmx ;

8,05

40

43

34 −=−=−=−L

ZZnx ;

( )( )

006,0

1008,06,0cossin2222

=+−

⋅+⋅−⋅−−=+

+−=xx

xxxy

ml

mnll

ϕϕ;

6. МСЕ в формі методу переміщень 68

( ) ( )( )

106,0

16,0008,0cossin2222

−=+−

⋅−−⋅⋅−−=+

−−=xx

xxxy

ml

lmnm

ϕϕ;

( ) 0006,0sin 2222 =⋅+−=+= ϕxxy mln ;

( ) ( )( )

8,006,0

0018,06,0sincos2222

−=+−

⋅−⋅−⋅−−=+

−−=xx

xxxz

ml

mnll

ϕϕ;

( ) ( )( )

006,0

06,018,00sincos2222

=+−

⋅−+⋅−⋅−=+

+−=xx

xxxz

ml

lnmm

ϕϕ;

( ) 6,0106,0cos 2222 =⋅+−=+= ϕxxz mln ;

Матриця перетворення системи координат набуває вигляду

.

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

====−−−−

6008000000000001000000000080060000000000000600800000000000100000000008006000000000000060080000000000010000000000800600000000000006008000000000001000000000080060

43

,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,

T

Матриці жорсткості скінченних елементів в глобальній системі координат

=′= −−−− 21212121 ТkТk Т

×

=

100

010

001

000

000

000

000

000

000

000

000

000000

000

000

100

010

001

000

000

000

000

000

000000

000

000

000

000

000

100

010

001

000

000

000000

000

000

000

000

000

000

000

000

100

010

001

×

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

400020200020

040200020200

001000001000

020333,100020333,100

2000333,102000333,10

0000010000000100

200020400020

020200040200

001000001000

020333,100020333,100

2000333,102000333,10

0000010000000100

6. МСЕ в формі методу переміщень 69

=

×

100

010

001

000

000

000

000

000

000

000

000

000000

000

000

100

010

001

000

000

000

000

000

000000

000

000

000

000

000

100

010

001

000

000

000000

000

000

000

000

000

000

000

000

100

010

001

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

400020200020

040200020200

001000001000

020333,100020333,100

2000333,102000333,10

0000010000000100

200020400020

020200040200

001000001000

020333,100020333,100

2000333,102000333,10

0000010000000100

.

=′= −−−− 32323232 ТkТk Т

×

−

−

−

−

=

100

001

010

000

000

000

000

000

000

000

000

000000

000

000

100

001

010

000

000

000

000

000

000000

000

000

000

000

000

100

001

010

000

000

000000

000

000

000

000

000

000

000

000

100

001

010

×

−−

−−

−−−−

−−

−−−−

−−

60005,4030005,40

0605,4000305,400

005,1000005,1000

05,405,40005,405,400

5,40005,405,40005,40

0000015000000150

30005,4060005,40

0305,4000605,400

005,1000005,1000

05,405,40005,405,400

5,40005,405,40005,40

0000015000000150

=

−

−

−

−

×

100

001

010

000

000

000

000

000

000

000

000

000000

000

000

100

001

010

000

000

000

000

000

000000

000

000

000

000

000

100

001

010

000

000

000000

000

000

000

000

000

000

000

000

100

001

010

−−

−−−−

−−−

−−−

−−−−

600005,4300005,4

05,1000005,10000

0065,4000035,400

005,45,400005,45,400

0000150000001500

5,400005,45,400005,4

300005,4600005,4

05,1000005,10000

0035,4000065,400

005,45,400005,45,400

0000150000001500

5,400005,45,400005,4

.

6. МСЕ в формі методу переміщень 70

=′= −−−− 43434343 ТkТk Т

××××

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

====

6008000000000001000000000080060000000000000600800000000000100000000008006000000000000060080000000000010000000000800600000000000006008000000000001000000000080060

,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,

××××

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

××××

420007200210007200042072000021072000006000000600000720028800007200288000

720000288007200002880000000600000060210007200420007200021072000042072000006000000600000720028800007200288000

720000288007200002880000000600000060

,,,,,,,,

,,,,,,

,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,

,,,,

====

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−

××××

6008000000000001000000000080060000000000000600800000000000100000000008006000000000000060080000000000010000000000800600000000000006008000000000001000000000080060

,,

,,,,

,,,,

,,,,

,,

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

====

2410864004320004800864004320004204320057600210432005760

864007521057600864005520057600043200503806628043200503806628

432005760028800432005760028800057600662807821057600662807821

0480086400432002410864004320002104320057600420432005760

864005520057600864007521057600043200503806628043200503806628

432005760028800432005760028800057600662807821057600662807821

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,

.

Елементи матриці жорсткості скінченноелементної моделі визначаються як реакції уявних

в’язей по напрямах можливих переміщень вузлів шляхом сумировання кінцевих реакцій деформо-

6. МСЕ в формі методу переміщень 71

ваних стержнів при одиничних вузлових переміщеннях. Ці реакції є компонентами матриць жорс-

ткості окремих скінченних елементів у глобальній системі координат.

=+= −− 321,1

217,71,1 kkK 100 + 4,5 = 104,5;

=+= −− 321,2

217,81,2 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 321,3

217,91,3 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 321,4

217,101,4 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 321,5

217,111,5 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 321,6

217,121,6 kkK 0 – 4,5 = – 4,5;

== −321,71,7 kK – 4,5;

== −321,81,8 kK 0;

== −321,91,9 kK 0;

== −321,101,10 kK 0;

== −321,111,11 kK 0;

== −321,121,12 kK – 4,5.

=+= −− 322,1

218,72,1 kkK 0 + 0 = 0

=+= −− 322,2

218,82,2 kkK 1,333 + 150 = 151,333;

=+= −− 322,3

218,92,3 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 322,4

218,102,4 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 322,5

218,112,5 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 322,6

218,122,6 kkK – 2 + 0 = – 2;

== −322,72,7 kK 0;

== −322,82,8 kK – 150;

== −322,92,9 kK 0;

== −322,102,10 kK 0;

== −322,112,11 kK 0;

== −322,122,12 kK 0.

=+= −− 323,1

219,73,1 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 323,2

219,83,2 kkK 0 + 0 = 0;

6. МСЕ в формі методу переміщень 72

=+= −− 323,3

219,93,3 kkK 1,333 + 4,5 = 5,833;

=+= −− 323,4

219,103,4 kkK 0 + 4,5 = 4,5;

=+= −− 323,5

219,113,5 kkK 2 + 0 = 2;

=+= −− 323,6

219,123,6 kkK 0 + 0 = 0;

== −323,73,7 kK 0;

== −323,83,8 kK 0;

== −323,93,9 kK – 4,5;

== −323,103,10 kK 4,5;

== −323,113,11 kK 0;

== −323,123,12 kK 0.

=+= −− 324,1

2110,74,1 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 324,2

2110,84,2 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 324,3

2110,94,3 kkK 0 + 4,5 = 4,5;

=+= −− 324,4

2110,104,4 kkK 1 + 6 = 7;

=+= −− 324,5

2110,114,5 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 324,6

2110,124,6 kkK 0 + 0 = 0;

== −324,74,7 kK 0;

== −324,84,8 kK 0;

== −324,94,9 kK – 4,5;

== −324,104,10 kK 3;

== −324,114,11 kK 0;

== −324,124,12 kK 0.

=+= −− 325,1

2111,75,1 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 325,2

2111,85,2 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 325,3

2111,95,3 kkK 2 + 0 = 2;

=+= −− 325,4

2111,105,4 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 325,5

2111,115,5 kkK 4 + 1,5 = 5,5;

6. МСЕ в формі методу переміщень 73

=+= −− 325,6

2111,125,6 kkK 0 + 0 = 0;

== −325,75,7 kK 0;

== −325,85,8 kK 0;

== −325,95,9 kK 0;

== −325,105,10 kK 0;

== −325,115,11 kK – 1,5

== −325,125,12 kK 0.

=+= −− 326,1

2112,76,1 kkK 0 – 4,5 = – 4,5;

=+= −− 326,2

2112,86,2 kkK – 2 + 0 = – 2;

=+= −− 326,3

2112,96,3 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 326,4

2112,106,4 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 326,5

2112,116,5 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 326,6

2112,126,6 kkK 4 + 6 = 10;

== −326,76,7 kK 4,5;

== −326,86,8 kK 0;

== −326,96,9 kK 0;

== −326,106,10 kK 0;

== −326,116,11 kK 0;

== −326,126,12 kK 3.

== −327,17,1 kK – 4,5;

== −327,27,2 kK 0;

== −327,37,3 kK 0;

== −327,47,4 kK 0;

== −327,57,5 kK 0;

== −327,67,6 kK 4,5;

=+= −− 431,1

327,77,7 kkK 4,5 + 21,784 = 26,284;

=+= −− 431,2

327,87,8 kkK 0 + 0 = 0;

6. МСЕ в формі методу переміщень 74

=+= −− 431,3

327,97,9 kkK 0 + 28,662 = 28,662;

=+= −− 431,4

327,107,10 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 431,5

327,117,11 kkK 0 – 0,576 = – 0,576;

=+= −− 431,6

327,127,12 kkK 4,5 + 0 = 4,5.

== −328,18,1 kK 0;

== −328,28,2 kK – 150;

== −328,38,3 kK 0;

== −328,48,4 kK 0;

== −328,58,5 kK 0;

== −328,68,6 kK 0;

=+= −− 432,1

328,78,7 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 432,2

328,88,8 kkK 150 + 0,288 = 150,288;

=+= −− 432,3

328,98,9 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 432,4

328,108,10 kkK 0 + 0,576 = 0,576;

=+= −− 432,5

328,118,11 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 432,6

328,128,12 kkK 0 – 0,432 = – 0,432.

== −329,19,1 kK 0;

== −329,29,2 kK 0;

== −329,39,3 kK – 4,5

== −329,49,4 kK – 4,5;

== −329,59,5 kK 0;

== −329,69,6 kK 0;

=+= −− 433,1

329,79,7 kkK 0 + 28,662 = 28,662;

=+= −− 433,2

329,89,8 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 433,3

329,99,9 kkK 4,5 + 38,504 = 43,004;

=+= −− 433,4

329,109,10 kkK – 4,5 + 0 = – 4,5;

=+= −− 433,5

329,119,11 kkK 0 + 0,432 = 0,432;

6. МСЕ в формі методу переміщень 75

=+= −− 433,6

329,129,12 kkK 0 + 0 = 0.

== −3210,110,1 kK 0;

== −3210,210,2 kK 0;

== −3210,310,3 kK 4,5

== −3210,410,4 kK 3;

== −3210,510,5 kK 0;

== −3210,610,6 kK 0;

=+= −− 434,1

3210,710,7 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 434,2

3210,810,8 kkK 0 + 0,576 = 0,576;

=+= −− 434,3

3210,910,9 kkK – 4,5 + 0 = – 4,5;

=+= −− 434,4

3210,1010,10 kkK 6 + 1,752 = 7,752;

=+= −− 434,5

3210,1110,11 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 434,6

3210,1210,12 kkK 0 – 0,864 = – 0,864.

== −3211,111,1 kK 0;

== −3211,211,2 kK 0;

== −3211,311,3 kK 0;

== −3211,411,4 kK 0;

== −3211,511,5 kK – 1,5;

== −3211,611,6 kK 0;

=+= −− 435,1

3211,711,7 kkK 0 – 0,576 = – 0,57;6

=+= −− 435,2

3211,811,8 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 435,3

3211,911,9 kkK 0 + 0,432 = 0,432;

=+= −− 435,4

3211,1011,10 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 435,5

3211,1111,11 kkK 1,5 + 2,4 = 3,9;

=+= −− 435,6

3211,1211,12 kkK 0 + 0 = 0.

== −3212,112,1 kK – 4,5;

== −3212,212,2 kK 0;

6. МСЕ в формі методу переміщень 76

== −3212,312,3 kK 0;

== −3212,412,4 kK 0;

== −3212,512,5 kK 0;

== −3212,612,6 kK 3;

=+= −− 436,1

3212,712,7 kkK 4,5 + 0 = 4,5;

=+= −− 436,2

3212,812,8 kkK 0 – 0,432 = – 0,432;

=+= −− 436,3

3212,912,9 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 436,4

3212,1012,10 kkK 0 – 0,864 = – 0,864;

=+= −− 436,5

3212,1112,11 kkK 0 + 0 = 0;

=+= −− 436,6

3212,1212,12 kkK 6 + 1,248 = 7,248.

Система лінійних рівнянь

0Р∆К���

=−⋅

при побудованих матриці жорсткості К та векторі вузлових навантажень Р�

має розв’язок

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

====

====

65784

76383

53840

66557

46815

32010

34296

61543

58170

11957

41615

02930

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆

∆�

.

Зусилля в крайніх точках стержневих скінченних елементів визначаються за формулою

{ } jijiji

Тjz

jy

jкр

jy

jz

jiz

iy

iкр

iy

iz

iji MMMQQNMMMQQN −−−− ⋅⋅′=−−−−−−= δTkS

��

,

де: ji−δ�

– вектор вузлових переміщень скінченного елемента в глобальній системі координат, ком-

поненти якого є підмножиною матриці ∆ :

6. МСЕ в формі методу переміщень 77

−

−−−−

=−

3429,6

6154,3

5817,0

1195,7

416,15

0293,0

0

0

0

0

0

0

21δ�

,

−

−−

−

−−−−

=−

6578,4

7638,3

5384,0

6655,7

468,15

320,10

3429,6

6154,3

5817,0

1195,7

416,15

0293,0

32δ�

,

−

−−

=−

0

0

0

0

0

0

6578,4

7638,3

5384,0

6655,7

468,15

320,10

43δ�

.

Враховуючи ці вектори отримуємо

−−−−

−

=

−−−−

−

−

=−

46,5

23,0

58,0

26,2

87,7

93,2

14,18

01,7

58,0

26,2

87,7

93,2

21

z

у

кр

z

y

z

y

кр

z

y

M

M

M

Q

Q

N

M

M

M

Q

Q

N

S�

,

−−

−

−−−−

−

=

−−−−

−

−

=−

40,0

94,3

23,0

26,2

93,2

86,7

46,5

58,0

23,0

26,2

93,2

86,7

32

z

y

кр

z

y

z

y

кр

z

y

M

M

M

Q

Q

N

M

M

M

Q

Q

N

S�

,

−

−

−

−

=

−−−−

−

−

=−

27,7

74,4

04,2

99,0

13,2

57,3

40,3

23,0

04,2

99,0

13,2

57,3

43

z

y

кр

z

y

z

y

кр

z

y

M

M

M

Q

Q

N

M

M

M

Q

Q

N

S�

.

По отриманих значеннях внутрішніх зусиль будуються епюри (рис.6.40).

6. МСЕ в формі методу переміщень 78

Рис.6.40