アルゴリズムとデータ構造補足資料 10-2「 n クイーン」

横浜国立大学理工学部 数物・電子情報系学科富井尚志

バックトラックアルゴリズム• とりあえずやってみる• ダメなら戻って別の道を探る– あのとき別の道を選んでいたら、、、

• 試行錯誤（ trial and error ）– 結局全部のケースをやってみる（完全解）

n クイーン（ n-queens ）• チェスの「クイーン」

• チェスの「クイーン」、 n x n の盤面上で、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 n 個のク

イーンが　　　　　　　　　　　　　　　　　　　お互いに取

らない　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（効き筋にな

らない）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ように配置

n クイーン（ n-queens ）

• この問題を解くためのデータ構造n クイーン（ n-queens ）

• この問題を解くためのデータ構造n クイーン（ n-queens ）

column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4row 行

row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• この問題を解くためのデータ構造• すでに効き筋→FALSE• queen を置ける→TRUE

n クイーン（ n-queens ）TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4row 行

row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• この問題を解くためのデータ構造• すでに効き筋→FALSE• queen を置ける→TRUE

これを 2 次元配列で書いてもよいが、ここでは次の 3 つの配列で表現

n クイーン（ n-queens ）TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4row 行

row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• この問題を解くためのデータ構造配列１：q_row[row]その行に queen がいるときに FALSEいないときに TRUE

n クイーン（ n-queens ）TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4row 行

row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• この問題を解くためのデータ構造配列 2 ：q_se[col-row+N-1]

南東斜め筋はcol-row が一定！

n クイーン（ n-queens ）TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

col-row=-1FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

FALSE

col-row=-1FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE

col-row=-1FALSE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE

col-row=-1FALSE TRUE

column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4row 行

row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• この問題を解くためのデータ構造配列 3 ：q_sw[col+row]

南西斜め筋はcol+row が一定！

n クイーン（ n-queens ）TRUE FALSE TRUE

col+row=-3

FALSE TRUE

FALSE FALSE

col+row=-3

FALSE TRUE TRUE

FALSE

col+row=-3

FALSE FALSE FALSE FALSE

col+row=-3

FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE FALSE TRUE

column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4row 行

row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• この問題を解くためのデータ構造配列：q_pos[col]=row

この配列だけ、前の 3 つと値が異なることに注意

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

に、とりあえず置いてみる。q_pos[0]=0

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

に、とりあえず置いてみる。q_pos[0]=0効き筋を埋める

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSEFALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE

FALSE

FALSE

FALSE

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

に、とりあえず置いてみる。次の候補はA, B, C

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSEFALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE

A FALSE

B FALSE

C FALSE

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

とりあえず Aq_pos[1]=2に置いてみる

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE

FALSE

FALSE

FALSE

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

とりあえず A効き筋チェック

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

とりあえず A次の候補は A

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

A FALSE FALSE

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

とりあえず Aq_pos[2]=4に置いてみる

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE

• バックトラックによる解法配列：q_pos[col]=row

とりあえず A効き筋チェック

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

• バックトラックによる解法この場合にはうまくいっていますが、次の候補がなければキャンセルして前に戻る（バックトラック）

n クイーン（ n-queens ）column 列 col = 0 col = 1 col = 2 col = 3 col = 4

row 行row = 0

row = 1

row = 2

row = 3

row = 4

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE

FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE

• チェスの「クイーン」、 n x n の盤面上で、　 n 個のクイーンがお互いに取らない　　（効き筋にならない）ように配置• 考え方：– とりあえず、置いてみる。– 行き詰ったら、前に戻って（バックトラック）、別の選択肢でやってみる。

n クイーン（ n-queens ）