アルゴリズムとデータ構造補足資料 10-1 「騎士巡回」

アルゴリズムとデータ構造補足資料 10-1「騎士巡回」

横浜国立大学理工学部

数物・電子情報系学科富井尚志

バックトラックアルゴリズム• とりあえずやってみる• ダメなら戻って別の道を探る– あのとき別の道を選んでいたら、、、

• 試行錯誤（ trial and error ）

– 結局全部のケースをやってみる（完全解）

騎士巡回（ knight tour ）• チェスの「ナイト」

騎士巡回（ knight tour ）• チェスの「ナイト」、盤面のすべてのマス

を　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一

度だけ訪問する

• チェスの「ナイト」、盤面のすべてのマスを

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

騎士巡回（ knight tour ）

スタート !


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1

2



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1

2

3



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1

2

3

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1

2

3

5

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1

6 2

3

5

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1

6 2

7 3

5

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 8

6 2

7 3

5

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 8

6 9 2

7 3

5

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 8

6 9 2

7 3

10 5

4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 8

6 9 2

7 3

10 5

11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 8

6 9 2

7 3

10 5 12

11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 8

6 9 2 13

7 3

10 5 12

11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 8

6 9 2 13

7 3

10 5 12

11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 8

6 9 2 13

15 7 3

10 5 12

11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 8

6 9 2 13

15 7 3

10 5 12

16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 8

6 9 2 13

15 7 3

10 5 17 12

16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 8

6 9 2 13 18

15 7 3

10 5 17 12

16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 7 3

10 5 17 12

16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 3

10 5 17 12

16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 3

10 5 17 12

21 16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 3

10 5 22 17 12

21 16 11 4



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 3

10 5 22 17 12

21 16 11 4 23



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 24 3

10 5 22 17 12

21 16 11 4 23


ゴール !


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

• 考え方：– とりあえず、行けるところまで行ってみる。– 行き詰ったら、前に戻って（バックトラック）、

別の選択肢でやってみる。


• 分かれ道は、とりあえず進んでみる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ダ

メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

戻ってやりなおす。


スタート !


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

戻ってやりなおす。A

B


ここで人生の分かれ道：

A ～ B のどれを選ぶ？


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

戻ってやりなおす。A

B



A ～ B のどれを選ぶ？とりあえず A


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 E

D A

C B



A ～ E のどれを選ぶ？


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 E

D A

C B



A ～ E のどれを選ぶ？とりあえず A


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

2



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 C

2

B

A



A ～ C のどれを選ぶ？


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 C

2

B

A



A ～ C のどれを選ぶ？とりあえず A


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

2

3



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

2

B 3

A





メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

2

3

4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

A 2

B 3

4




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

2

3

5

4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

2

A 3

5

4




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2

3

5

4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 D E

6 2 F

3

C 5 A

B 4


A ～ F のどれを選ぶ？


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 D E

6 2 F

3

C 5 A

B 4


A ～ F のどれを選ぶ？とりあえず A


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2

7 3

5

4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2 B

7 3

5

A 4




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2

7 3

5 8

4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2

B 7 C 3

A 5 8

4




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2

7 3

5 8

9 4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 2

7 3

10 5 8

9 4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 C

6 2

7 A 3

10 5 B 8

9 4




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

7 3

10 5 8

9 4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B C

6 11 2

7 3

10 5 8

9 4 A




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

7 12 3

10 5 8

9 4



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

7 12 3

10 5 8

9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 C

B 7 12 3

10 5 8

A 9 4 13




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

7 12 3

10 5 14 8

9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

7 12 3

10 5 14 8

15 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 8

15 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13




メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 18 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

19 16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 18 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 20

6 11 2

19 16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 18 9 4 13


手詰まり !!!!!


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 20

6 11 2

19 16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 18 9 4 13


手詰まり !!!!!

ダメな時は前の選択肢まで戻ってやり直す


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

19 16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 18 9 4 13


手詰まり !!!!!



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 18 9 4 13


手詰まり !!!!!



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 9 4 13


手詰まり !!!!!



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13


A ～ B のどれを選ぶ？A は失敗だった。


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13


A ～ B のどれを選ぶ？A は失敗だった。じゃあ B


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 18

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 9 4 13


手詰まり !!!!!


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 17 8

15 9 4 13


手詰まり !!!!!



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13


A ～ B のどれを選ぶ？A は失敗だった。B も失敗だった。


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13


すべての選択肢がダメ



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13


A ～ C のどれを選ぶ？A は失敗だった。


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13


A ～ C のどれを選ぶ？A は失敗だった。じゃあ B


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

16 7 12 3

10 5 14 8

15 9 4 13


• 分かれ道は、とりあえず進んでみる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ダメな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻ってやりな

おす。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B もダメ！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　人生試行錯誤。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あきらめずに　　　　　　　　　　　　　　　　　　　がんばれ！

1 22 17

6 11 2 23 18

21 16 7 12 3

10 5 14 19 8

15 20 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13


A ～ C のどれを選ぶ？A は失敗だった。B は失敗だった。


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13


A ～ C のどれを選ぶ？A は失敗だった。B は失敗だった。じゃあ C

• 分かれ道は、とりあえず進んでみる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ダメな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻ってやりな

おす。 C もダメ！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　人生試行錯誤。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あきらめずに　　　　　　　　　　　　　　　　　　　がんばれ！

1 18 23

6 11 2 17 22

19 16 7 12 3

10 5 14 21 8

15 20 9 4 13



メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13


A ～ C のどれを選ぶ？A は失敗だった。B は失敗だった。C は失敗だった。


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2

7 12 3

10 5 14 8

9 4 13


ダメな時はあきらめずに前の選択肢まで戻ってやり直す


メな時は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


1

6 11 2 C

B 7 12 3

10 5 8

A 9 4 13


A ～ C のどれを選ぶ？A は失敗だったじゃあ、B いっときますか

• さっき見せたのは正解（の一つ）1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 24 3

10 5 22 17 12

21 16 11 4 23


試行回数（移動回数）は

8,839 回！


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一度だけ訪問する

• 考え方：– とりあえず、行けるところまで行ってみる。– 行き詰ったら、前に戻って（バックトラック）、

別の選択肢でやってみる。


騎士巡回（ knight tour ）A

B

A B1 E

D A

C B

A B C D E1 C

2

B

A

A B C

1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13

1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13

A B C

A B

試行やり直し（バックトラック）

選択肢

…

失敗失敗

失敗失敗1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 24 3

10 5 22 17 12

21 16 11 4 23

ゴール！

…

…

失敗

失敗

失敗

失敗失敗

失敗失敗

失敗

バックトラック（モデル）A

B

A B1 E

D A

C B

A B C D E1 C

2

B

A

A B C

1 B

6 11 2 C

7 12 3

10 5 14 A 8

15 9 4 13

1

6 11 2 B

16 7 12 3

10 5 14 8

15 A 9 4 13

A B C

A B

試行やり直し（バックトラック）

選択肢

…

失敗失敗

失敗失敗1 14 19 8

6 9 2 13 18

15 20 7 24 3

10 5 22 17 12

21 16 11 4 23

ゴール！

…

…

失敗

失敗

失敗

失敗失敗

失敗失敗

失敗

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