6O P Irbis ictus stropolitana

Bratislava

z matematiky

Zošitpre učiteľa

Zuzana Berová Peter Bero

pre 6. roèník ZŠ

Pomocník

a 1. roèník gymnáziís osemroèným štúdiom

21. zošit

Úloha 1

Úloha 2

Úloha 3

Opakujeme malú násobilkua delilku.

Opakujeme veľkú násobilkua delilku. Tieto príklady by žiacimali vedieť počítať spamäti.

Spôsobov je niekoľko, nechajtežiakov podrobne popísať ten svoja potom vzájomne porovnávajtevýhody alebo nevýhody postu-pov. Dôležitá na tejto úlohe je táposledná časť – diskusia. Učímežiakov hovoriť svoj názor, počú-vať názor druhého, argumento-vať, kriticky myslieť. Všetko súto zručnosti, ktoré sa im v životezídu oveľa viac ako to, či budúvedieť spamäti vynásobiť 12 · 4.

6184016

481047593

99905890

12131917

20151833

9 · 3 – 6 · 3 = 27 – 18 = 93 body0 bodov

4367

72634242

1573

40453512

8767

57310

48100

6350

54216415

9327

366488100

32161314

989010599

141620

13

571027296

12121612

31. zošit

70560

7 13063 590

628

4802 578

735

2843 570

200 c2 500 c

500 c11 800 c

45 800

850

2 · 100200 km

300 : 1003 h

6007 100

32 800504 300

2 00046 000

720 0008 403 000

752

3706 504

700 c9 000 c1 000 c

40 500 c

30 000 c0 c1 900 c

800 c

1270023

9

42028

75

7 · 100700 km

5 h

1 200 km

9 h

50 km

140 h

2 500 km

15 h

Úloha 4

Úloha 5Úloha 6

Úloha 7Úloha 8

Opakujeme násobenie a delenie10, 100, 1 000. Na záver počítanianechajte žiakov sformulovať„pravidlá“.

Kde sa nám to zíde, že vieme náso-biť a deliť 10 a 100? No predsa prirozmieňaní peňazí!

Rýchlosťou 100 km/h sa približu-jeme k pochopeniu a zvládnutiupriamej úmernosti.

41. zošit

58 · 10 = 580 m

150 – 150 : 10 = 135 eur300 – 30 = 270 eur243 eur

30 · 100 · 50 = 150 000

7 000 : 1 000 = 7

8 500 : 100 = 85

90 000 : 900 = 100

24 · 10 = 240

720 m

630 m 450 m

99 eur396 eur522 eur

Úloha 11Úloha 12Úloha 13Úloha 14Úloha 15Ak majú vaši žiaci v názvochzmätok, napíšte si na tabuľu dvavzorové príklady na násobeniea delenie a pomenujte si každéčíslo v nich.

51. zošit

260

136

702

774

378

112

207

576

920

1164

645

2205

2106

1644

11380

18090

56028

19856

22456

11576

20140

126824

44012

178600

81648

455312

162032

152873

864150

828584

601162

3642821

1280040

3296040

621012

Úloha 16Obdĺžničková sieť pomáha žiakomsprávne zapisovať pod seba jed-notlivé rády. Bude sa hodiť najmäpri násobení dvojciferným a troj-ciferným číslom.

61. zošit

62

59

273

486

52

755

315

189

317

1342

1

1

5

1

2

8

2

1

4

63

530

414

7611

120

461

71

92

907

2700

19131

81

821

356

6302

9000

Úloha 17Úloha 18Je na vás, kedy budú žiaci robiťkontrolu správnosti delenia.

71. zošit

181729144692

24 6726 89715 390

557 376377 703392 168

347 54885 068174 264

1 799 9591 569 1501 354 485

1 750 : 25 = 7070 · 6 = 420

32 80066 32464 073

153638

69

527106258

5065 630

138

7 3286911 294

Ušijú z nej 420 oblekov.

koľko prejde cyklista za 1 hodinu (alebo chodec za 4 hodiny)o koľko km viac prejde za 1 hodinu cyklista ako chodeckoľkokrát viac km prejde za 1 hodinu cyklista ako chodec

o koľko km viac prejde za 5 hodín cyklista ako chodec

Úloha 19

Úloha 21

Zdá sa vám, že tieto príklady bymali žiaci vedieť počítať písomne?My si myslíme, že nie všetci.

Nechajte žiakov vymyslieť úlohu,napísať k nej rôzne výpočty a inter-pretovať ich. Podstatné je, že budúspolu diskutovať, argumentovať,rozmýšľať a navzájom sa počúvať.

81. zošit

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100

10, 20, 80, 100, 150, 190, 300,1 000, 1 100, 1 1105, 8, 24, 39, 77, 105, 135, 158,1 001, 1 111

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

5, 10, 15, 50, 55, 60, 65, 100, 105, 1000

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19

6, 8, 9, 14, 17, 21, 32, 33, 48, 56

na mieste jednotiekje párna cifra alebo 0

na mieste jednotiek je 0 alebo 5

na mieste jednotiek je 0

Úloha 1Úloha 2Úloha 3Všímame si, ako vyzerajú čísla,ktoré sú násobkom 2, 5, 10, akovyzerajú čísla, ktoré sa dajú deliť2, 5, 10, ako vyzerajú čísla, ktorésa nedajú deliť 2, 5, 10. Z tohtopozorovania žiaci vyvodia pred-stavu o tom, ako vyzerá číslo,ktoré sa dá deliť 2, 5, 10 a overiasi svoje tvrdenie na skupine čísel,z ktorej majú vybrať čísla deli-teľné 2, 5, 10. Na záver môžetespoločne sformulovať pravidloo deliteľnosti.

91. zošit

10, 20, 30, 100, 330

10, 20, 30, 40, 1 000

10, 20, 30, 80, 200

10, 20, 30, 40, 100

2, 4, 6, 8, 24

nedá sa

5, 15, 25, 55, 105

3, 7, 11, 39, 103

3, 7, 9, 11, 13

4, 6, 12, 26, 102

15, 35, 45, 105, 355

nedá sa

Úloha 4

Úloha 6

Úloha 5Vychádzajte z pravidiel deliteľnosti.Hádajte, skúšajte, overujte, disku-tujte. Na záver skúste sformulovať,„ako bude vyzerať číslo, ktoré sadá deliť dvomi a nedá sa deliť 5“...

Táto úloha je veľmi náročnáa demotivujúca pre jedného žiakas jeho aktuálnymi poznatkamio deliteľnosti.

Cieľom je, aby ste spoločnev triede vymysleli stratégiu, akoju budete riešiť, dohodli si a roz-delili si úlohy, potom odprezen-tovali svoje riešenia, kriticky ichzhodnotili a spoločne našliodpoveď. Toto je príprava žiakovna život a prácu.

NEDÁVAŤNA DOMÁCU ÚLOHU!!!

101. zošit

210420

210420

12341

12341

300316

300316

185

100 · 10 · 10 · 10 · 10 :10 · 10 · 10 · · 10 · 10 · 10 · 10: 10 : 10 : 10 =10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 :

= 100 · 10 = 1 000

256 : 2 : 2 : 2 : 2 = 256: 2 : 2 : 2 : 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 : 2 : 2 = 64

· 10 = 250· 10 = 3 060· 10 = 12 840

: 2 = 13: 2: 2 : 2 = 181: 2 : 2 = 958

180185

180

Úloha 1

Úloha 2Úloha 3

Čo sa deje s číslom 420 ak hostále dookola vynásobíme 2,vydelíme 2, vynásobíme 2,vydelíme 2? Nič. A o to idepri navzájom opačných ope-ráciách :). Samozrejme, myvieme, že žiakov pripravujemena riešenie rovníc pomocouekvivalentných úprav.

Nemyslíme si, že všetci žiacibudú hneď vedieť odpoveď.Nechajte ich vypočítať si topostupne, krok za krokom.Keď to urobia niekoľkokrát,až potom budú vedieť urobiťzovšeobecnenie. Bez tej „driny“na začiatku nebudú mať dosta-tok skúseností na to, aby tozovšeobecnenie mohli urobiť.

111. zošit

a) + 11 – 11 – 7 + 7b) + 13

a) + 41 – 41 + 17 – 17b) – 3

a) · 5 : 5 · 2 : 2b) · 11

a) · 2 : 2 · 4 : 4 + 15 – 15b) + 7

Úloha 4Krásna motivácia k tejto úloheje Rozprávka prostonárodnáv knižke rozprávok Petra BeraKrajina (s)nežnosti.Viac na .www.peterbero.sk

121. zošit

17-krát 18-krátMiško prehral 1 žetón.

780815

815406

423406

930 + 31 = 961

319 + 319 + ... + 319 – 319 – 319 – ... – 319 = 3 509 eur

(319 – 319) + ... + (319 – 319) + 319 + ... + 319 = 3 509 eur

319 · 16 – 319 · 5 = 3 509 eur

5 · (319 – 319) + 11 · 319 = 3 509 eur319 · (16 – 5) = 3 509 eur

82 + 53 + 53 = 188

Úloha 5Princíp úlohy nepochopíte, kýmsa ju nezahráte. Dajte vašimžiakom možnosť pochopiť ju.

131. zošit

75 – 25 = 50Neznáme číslo je 50.50

10

· 2 + 75 85 – 75 = 10

450 – 300 = 150150 : 2 = 75

Neznáme číslo je 75.

216 – 38 = 178178 : 2 = 89

Neznáme číslo je 89.

203 + 7 = 210210 · 2 = 420

Neznáme číslo je 420.

811 + 34 = 850850 · 2 = 1 700

Neznáme číslo je 1 700.

10 : 2 = 5x = 5

x = 5

450

216

203

811

· 2

· 2

: 2

: 2

+ 300

+ 38

– 7

– 39

V úlohách na tejto strane a nasle-dujúcich dvoch stranách sme užlen krôčik od ekvivalentných úpravpri riešení rovníc.

141. zošit

77

14 500

9

144

25

· 7

· 100

: 6

: 12

: 25

77 : 7 = 11Neznáme číslo je 11.

14 500 : 100 = 145Neznáme číslo je 145.

9 · 6 = 54Neznáme číslo je 54.

144 · 12 = 1 728Neznáme číslo je 1 728.

25 · 25 = 625Neznáme číslo je 625.

Dostanem 1,5-násobok neznámeho čísla.

neznáme číslo xdvojnásobok xpolovica x1,5-násobok x

151. zošit

· 3

: 3

: 3

– 30

+ 30

y

y

y

y x

+ 30

– 30

: 3

K číslu pripočítam 8,výsledok vynásobím 3a od výsledku odpočítam 12.

yyx

x y

: 3

– 18 : 8

· 3

– 8

+ 11 – 11

+ 8

+ 12

: 5 · 4

– 12

· 8 + 18: 4 · 5

y x

Úloha 22Sem-tam pridáme aj premennú.Sami najlepšie budete vidieť, akoto vaši žiaci zvládajú, či chápu jejvýznam a ako veľa je možné alebopotrebné s ňou pracovať.

161. zošit

12

18

13 16

42 17

203

x

x

x x

x x

xx

3x

x –10(x – 10) · 6 = 18

x = 5 x = 16

x = 11 x = 9

x = 20 x = 54

( + 8y ) : 3 = 5

(14 – 2x) · 11 = 22(7 – 10z ) : 3 = 20

3x + 15 = 12

· 3

– 10

· 4 – 8

+ 3 · 5

+ 6– 5

+ 15

· 6

– 7 · 2

· 3 +3

: 2: 5

– 31

– 10

Od premennej sme prešlik zápisom pomocou rovníc.Ale na riešenie stále používameschému ako v úlohe 26. Všetkototo sú kroky nevyhnutné na to,aby žiaci neskôr zvládli riešeniaekvivalentnými úpravami.

171. zošit

190 c

10 eur

60 eur

1 kopček

kefka

našetrené

· 3

– 1

· 3

+ 40

· 5

+ 6

Jeden kopček zmrzliny stojí 50 centov.

Kefka stála pred zlacnením 3 eurá.

Kubko má našetrených 18 eur.

1 rok = 365 dní1 tisícročie = 1 000 rokov

365 · 1 000 = 365 000 dní

1 deň = 24 hodín

365 000 · 24 = 8 760 000 hodín

Ak to vaši žiaci zvládnu, skústezapísať zadanie slovnej úlohy ajpomocou rovnice a neznámej.Ale to, či to zvládnu, my od nášhostola nevidíme. Vy spoza vašejkatedry áno a preto nechávamerozhodnutie na vás.

181. zošit

27 + 37 = 6490 – 34 = 5655 + 16 = 71216 – 81 = 135

960 : 1 = 9606 · 9 = 54

590 : 2 = 29511 · 45 = 495

26 · (27 – 27) = 26 · 0 = 0130 : (25 – 15) = 130 : 10 = 13

9 + 32 = 4142 · 15 : 3 = 630 : 3 = 210(280 – 120) : 4 = 160 : 4 = 40819 : (3 · 3) = 819 : 9 = 91200 – 85 : 5 = 200 – 17 = 183

17 · 9 = 153315 + 420 = 735

1 100 : 11 = 100

25 · 7 = 175

v zátvorkáchzaradomzaradom

krát a delené plus a mínus

30 · 50 = 1 50035 + 42 = 77132 + 56 = 188

115 – 20 = 959 – 9 = 0

V úvode zopakujeme základnévzťahy medzi počtovými operá-ciami a zátvorkami a potom užiba trénujeme a trénujemea trénujeme.

191. zošit

Úloha 6Úloha 7Úloha 8Vymyslieť dobré príklady nie jeaž také jednoduché ako sa na prvýpohľad zdá. A preto je to najlepšíspôsob, ako u žiakov zafixovaťvlastnosti počtových operácií.

724 – 54 + 56 = 72658 + 99 : 3 · 3 = 58 + 99 = 157

180 : 30 + 76 – 2 = 6 + 76 – 2 = 80(55 – 15) · 4 · 20 = 40 · 4 · 20 = 3 200

360 : 9 + 27 = 40 + 27 = 679 000 – 6 000 : 60 · 2 = 9 000 – 200 = 8 800

100 + 241 – 84 = 2576 + 8 600 – 41 = 8 565

155300

10135

201. zošit

najmenej:najviac:

18 · 16 = 28818 · 20 = 360

22 · 5 + 12 = 122 kg5 + 21 · 11 + 12 = 248 kg

9 · 4 = 36 min9 · 8 = 72 min

Žehlenie 9 košieľ môže trvať 36 až 72 minút.

1 rok = 12 mesiacov

Za jeden mesiac vybavia približne 183 333 cestujúcich.

2 200 000 : 12 = 183 333zv. 4

.... 12 tatraniek

.... 24 tatraniek

Dostali 12 až 24 tatraniek.Trieda nazbierala 122 až 248 kg.

3 · 2 + 3 = 9 min2 + 3 · 3 = 11 min

V kine môže byť 288 až 360 sedadel.

Nie vždy potrebujeme vedieťspočítať veci okolo nás presne.Stačí nám približný odhad.Pokúsili sme sa pre vás pripraviťniekoľko takých situácií. Rozprá-vajte sa so žiakmi o tom, kedyv týchto situáciách potrebujemevedieť presné číslo a kedy námstačí odhad. A tiež o tom, čo jeto dobrý odhad.

211. zošit

15 · 180 000 = 2 700 000 eur

7 · 300 = 2 100 m

15 · 220 000 = 3 300 000 eur

11 · 300 = 3 300 m

Firma mohla utŕžiť najmenej 2 700 000 eur, najviac 3 300 000 eur.

Búrka je vzdialená 2 100 až 3 300 m.

443500000028120000001368000000

7210000001700000009200000050000000

37140000002091000000

647000000

30670000001444000000

1623000000

426500000026420000001198000000

551000000

434300000027200000001276000000

62900000078000000

438500000027620000001318000000

67100000012000000042000000

221. zošit

Čo sa stane, ak si medzi číslazaradia žiaci aj nulu?Je to dobrý nápad alebo nie je?Musia byť čísla rôzne, alebo jedobré napísať rovnaké čísla?Vedeli by žiaci nájsť takú šesticučísel, aby sa každý zostavenýpríklad dal vypočítať?Toto je zopár otázok, na ktorémôžete hľadať odpovede potom,ako vyriešite nami sformulovanéúlohy.

231. zošit

241. zošit

23,757,44

49,623,000,05

3,023205,000 4

9,0846,5

327,60

0,000 62 080,7

6,4577,007

804,053

4,50206,26

15,875,270,54

Úloha 1

Úloha 2

Úloha 3

e) i) j)

Cieľom je ukázať žiakom, že sas desatinnými číslami stretávajú(a budú sa stretávať) v každo-dennom živote, napríkladpri nakupovaní.

Myslíme si, že problémy môžunastať v časti , , . Overte si,či všetci žiaci správne vediazapísať takéto sumy pomocoudesatinného čísla. Prípadneprecvičte ďalšími úlohami.

Úloha je náročnejšia, pretožežiaci nemajú pred sebou„vzorové desatinné číslo“,kde môžu vidieť, na ktorommieste sú desatiny, stotiny,tisíciny, desaťtisíciny...Ak im to robí problém, nakreslitesi „vzor“ na tabuľu a postupnezapisujte každé jedno číslo.

251. zošit

1 námorná míľa = 1 851,8 m

1 uzol = 15,46 m

1 zemepisná míľa = 7,420 4 km

štyristodeväť celých päťstotridsaťjeden tisícin gramu

jedna celá štyritisícpäťstotridsaťdeväť desaťtisícin hektolitra

nula celá dvestoosemdesiatosem tisícin hektára

Úloha 4

Úloha 5

Úloha 7

Okrem internetu môžu žiacisamozrejme pátrať aj v najbližšíchpotravinách pri škole, pri dome,pri mieste kde pracujú rodičia...Môžete sa rozprávať o tom, prečosú v rôznych obchodoch rôzneceny a kedy sa oplatí to skúmaťa nakupovať podľa cien a kedy nie.

Úloha ponúka tréning premienjednotiek v inej ako SI sústave.Vyskúšajte si zopár premien a po-rovnajte výhody, resp. nevýhodytýchto sústav a sústavy jednotiekSI. Zaujímavou výzvou na domácuprácu môže byť úloha nájsť podob-né vzťahy (či už z historickýchmateriálov, alebo z beletrie – pozrinapr. 1. diel obľúbenej literatúrypre deti Harry Potter, s. 81).

Príklady tohto typu trénujú u žiakovzručnosti vyžadované pri ďalšom(stredoškolskom, či vysokoškol-skom) štúdiu, nehovoriac o zamest-naní. Ide o vyhľadávanie informácií.Učme žiakov, kde informáciehľadať (domáca knižnica, verejnáknižnica, internet...), učme ich, akoinformácie hľadať a v neposlednomrade ich učme získané informáciezapísať a prezentovať. Nie nedô-ležitou súčasťou tejto práce jezaznačenie si zdroja získanýchinformácií.

261. zošit

35,07 38,07jednotiek

tristo

0,5435,07

4

desať

3 · 1 + 0 · 0,1 + 8 · 0,01

2 · 10 + 4 · 1 + 6 · 0,1

4 · 100 + 0 · 10 + 8 · 1 + 0 · 0,1 + 2 · 0,01 + 4 · 0,001

2 · 1 000 + 9 · 10 + 7 · 0,1 + 8 · 0,000 1

518,6407-3,254

0 3 65 2

435,57

459,028 159,028

Úloha 11Všetky riešenia môžu žiacinapísať na voľné riadkypri tabuľke.

271. zošit

2,83,1

4,05

3,3 4,5

4,7

4,8

5,173,4

8,996,008

2,52

4,053,17 3,65

2,89 3,882,25 3,50

Úloha 4

Úloha 5

Približne vyznačiť polohu desatin-ného čísla znamená, že od žiakaočakávame úvahu: 8,99 je medzičíslom 8 a 9 a veľmi blízko čísla 9.

Pri riešení nerovníc žiaci postupneprechádzajú od zápisu pomocouznakov nerovnosti, cez grafickéoznačovanie intervalov na číselnejosi až po zápis intervalov. Postupnesa zoznamujú s pojmami otvorenýa uzavretý interval a s príslušnýmioznačeniami – a pre označeniekrajného bodu intervalu na číselnejosi a < > ( ) pre zápis intervalu.Už v 6. ročníku môžete začať budo-vať celý tento systém označovania.

· o

281. zošit

A = 4; B = 5

A = 0,4; B = 0,6

A = 3; B = 5

A = 3,9; B = 4,4

A = 11; B = 15

A = 11,5; B = 14,5

A = 58; B = 63

A = 72,1; B = 73

1

0,2

2

0,5

4

3

5

0,9

7,5

10,9

24,8

12,5

18,9

Úloha 9

Úloha 10

d)

Netreba zabudnúť hľadať číslas danou vzdialenosťou aj napra-vo aj naľavo od daného čísla!Časť je pomerne náročná,je to úloha určená pre šikovnýchžiakov.

Snažte sa spolu so žiakmi nájsťviac čísel, ktoré spĺňajú pod-mienku, vyznačiť ich polohuna číslenej osi a potom urobiťzovšeobecnenie.

291. zošit

0,166 1

25,052 56,709 34

>>

6,709 43

0,611 6

25,502 5

0,661 1

25,520 56,810 9

0,323 2

2

0,232 30,223 3

<<

><

42

18

5

1

5

3

773

8 46

6

301. zošit

benzín

0,235532,0

2,9 < J < 32,95 alebo (2,91 ... 2,99) m.

0,002555,5

ortuť, morská voda, voda, olej, benzín

5

5

ortuť

7

1

0

0

5

9 0

2

9

9

9

9

5

0

6

1

Úloha 5

Úloha 7

Úloha 8

d) e) f)

a)

Diskutujte o tom, koľko riešenímá časť , , .

Opäť práca s počítačom, alebos literatúrou. Možno by bolovhodné žiakom poradiť,kde majú hľadať.

V časti môže vzniknúť diskusiao tom, či číslo 532,0 je desatinnéčíslo alebo nie. Nechajte žiakovargumentovať za i proti.

311. zošit

14,6139,6

6,8

0,118,5

8,1

120102 510

205,7328,01

6,50

4,600,0714,60

17,250,7329,87

410

1 400

1

20,08,7250,9

320 0 30

100

5,43 81,74 4,540,51

4,9010,00

7,100,0619,01

36

700

8

1 100

301

0

64

500

905

500

1 53

Zaokrúhľujeme na stotiny,zaokrúhľujeme na dve desatinnémiesta... Všimnú si vaši žiaci,že je to to isté?

321. zošit

3,0 17,0 80,4 20,3 278,5 0,4

5, 6, 7, 8, 9

5, 6, 7, 8, 9

1,807 69,0166,660,012

jabloň = orech – 1smrek = orech + 1Keby vták zo smreka preletel na jabloň, bolo by všade rovnako:

117 : 3 = 39

Na orechu sedelo 39 vtákov,na jabloni 38 a na smreku40 vtákov.

14,8769,7166,660,122

0, 1, 2, 3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9

2,1 6,5

Úloha 11Kreslite, znázorňujte. Nevieme,či sa niekomu zo žiakov budechcieť kresliť 117 vtákov, alemnožiny by celkom pomohli :).

331. zošit

Nevedeli zapísať: nuluzáporné čísladesatinné čísla

Sme takí zahľadení sami do seba(individuálne aj spoločenskya kultúrne), že si neuvedomujemerôznorodosť kultúr a civilizácií.Nie všetko, čo my bežne použí-vame, musí byť optimálne (je todobré, pretože sme na to zvyknutí).Zapisovali Egypťania čísla optimál-nejšie ako my? Páči sa to vašimžiakom alebo nie? Prečo sa im topáči? Prečo sa im to nepáči?Existujú aj v súčasnosti civilizácieči národy, ktoré používajú inýspôsob zápisu čísel ako je deka-dický? Ako to vyzeralo u inýchnárodov a civilizácií v histórii?Toto sú všetko otázky, na ktorémôžete hľadať odpovede vypro-vokovaní jednou stranou nášhoprojektu. Môže vzniknúť množstvozaujímavých projektov vašich žia-kov: numerácia Grékov, numeráciaAztékov, numerácia Inkov, nume-rácia Arabov, numerácia Číňanov...

341. zošit

28,848,520,661,258,6100,8

32,8 105,2

579,9

2639,77

10115,64

24,311

11,8 42,4 38,0

819,58

1328,03

1363,05

2606,87

560,6

3889,55

24479,963

1239,65

367,7

6613,12

24394,38

1222,054

456,6

1617,25

3325,19

337,76

75,0893,9

119,29409,94220,07322,25

238,205518,843330,333741,418827,517908,209

To, ktoré príklady budú vaši žiacipočítať spamäti a ktoré písomne,je na vašom rozhodnutí. Vy stes nimi v triede, vy ich poznátea viete čo zvládnu. Cieľ je naučiťsa dobre počítať s desatinnýmičíslami. Ak to niektorí z nichzvládnu len písomne, neprekážato. Podstatné je, aby daný súčet(rozdiel, súčin, podiel) vedelivypočítať. Na druhej strane– úprimne, len tak medzi nami –kedy ste naposledy niečo nepo-čítali na kalkulačke? (A na pustomostrove nebudete musieť počítať– konzultovali sme to s Robin-sonom :)).

Osvedčená obdĺžničková sieť– aby sme uľahčili žiakompísanie rádov pod seba.

Úloha 2

351. zošit

37,9119

58,84129,31

725385,1

196757,61

6 081,27 211,45 037,9811 617,39

1 973,22 7031 038,44

114,811 035,17

850,3731 507,57100

18,652,89

108,6575,04

1 074,81 077,94986,1

1 414,45

9 805,06

993,2561,05

3 860,4

554,76430,4436,01

405,977

64,4056 214,2051 825,89

587,003

88,4337,492839,3

1 280,81

262,7879,716,252

58,977

Úloha 4

Úloha 5

Toto je to podstatné – odhad!Bude mi stačiť stovka v peňaženke,keď chcem kúpiť dve veci, jednuza 36,20 a druhú za 78,61?Alebo nebude?

Vedieť určiť, koľko desatinnýchmiest bude mať výsledok, to jedobrá prvá kontrola pri počítanína kalkulačke.

361. zošit

2,45,91,33,15,08,2

2,66,11,53,35,28,4

10,952,052,65,86,75

1,21,152,252,866,95

môžem

nezáleží

14,1414,14

14,14

19,0719,07

19,07

14,2814,28

14,28

1 12,12 38,24 56,56 109,053 31,955 104,147 130,8

13,2813,28

13,28

1414

14

15,4615,46

15,46

15,9315,93

15,93

14,414,4

14,4

11,0511,05

11,05

Úloha 6

Úloha 7

Úloha 8

Príklady by sa dali riešiť rovnicou2 + 0,2 = . V tomto štádiu všakviac očakávame riešenie skúša-ním a dosadzovaním. Je veľmipravdepodobné, že pri takomveľkom počte príkladov (aspoňniektorí) žiaci objavia pattern(vzor) a začnú ho používať.V takom prípade je dobré, akho budú prezentovať aj svojimspolužiakom.

Pripomeňte si komutatívnosťa je to hotovo! Na druhej strane,ak ich necháte „krvopotne“ všetkypríklady vypočítať a potom im jupripomeniete, je veľká pravde-podobnosť, že si to zapamätajúdlhšie ako 5 sekúnd po odznenívašej poslednej vety.

V tomto prípade je kalkulačkaskvelý pomocník. Už nám nejdeo tréning sčítania, ide nám o to,aby si žiaci všimli vlastnosť sčí-tania a vtedy potrebujeme čonajrýchlejšie presné výsledky.Aby sa pozornosť žiakovsústredila na ne.

x a

371. zošit

1,113,33

5,557,77

9,99

9,929,7

49,569,3

89,1

100100

5075,5

138

575,150,66

9,4

400129,49

442,57

0121

2050186,782

0003

1112

111,156,8639,2249

1220

100,497,41,56,28

Úloha 9

Úloha 10

Môžete spolu rozmýšľať o patter-noch: ako bude vyzerať nasledujúcipríklad? Aké bude mať riešenie?

Úloha, pomocou ktorej môžetežiakom ukázať, že niekedy je na-ozaj dobré najprv sa pozrieť a ažpotom počítať. Zmysel takéhotopostupu môžu žiaci objaviť ajpri malých triednych súťažiachv počítaní na čas.

381. zošit

1 058,51 046,5

593,809

914,5 960,11 008,04

988,84954,91 202,36

31,852425,371 87

78,317 9919,692 74

1,259 0841 012,352 07

5,980 86

5,64 + 3,006 + 25,42 = 34,066

3,26 + 3,26 + 4,5 = 11,02

2,5 + 12,5 + 15 = 30

15,3 + 6,3 = 21,6

99,387 41 282,98

1 053,93730,373 8

Úloha 12

Úloha 13

Tréning výsledku odhadupríkladu je dôležitý napríkladkvôli sebakontrole pri počítanína kalkulačke.

Predtým, než žiaci vypočítajúpríklady na kalkulačke, prečí-tajte žiakom zadanie každéhopríkladu (bez toho, aby sa po-zerali na čísla) a nechajte ichodhadnúť výsledok (stačí rádovo).Potom si svoje odhady porovnajúso svojím výpočtom.

391. zošit

Úloha 15

Úloha 17

Úloha 16Úloha 18Úloha 19Tieto úlohy sú vhodné na to, abyste žiakom ukázali, akým spôso-bom si môžu urýchliť počítaniena kalkulačke, pokiaľ použijúpamäť.

Žiaci by mali prísť na to, že tátoúloha nemá riešenie. Všímajte sispoločne číslice na mieste desatínvypočítaných čísel.

9,5

9,9

17,3

8,1

6,9

8,4

11,1

13,6

23,7

9,6

11,4

13

12,7

17,3

30,1

11,1

17

18,5

14,3

21

36,5

12,6

23,7

15,9

42,9

14,1

31,5

17,5

49,3

15,6

40,4

19,1

55,7

17,1

49,5

62,1

18,6

68,5

20,1

74,9

10

6,2

10,9

6,6

4,96

3,5

4,7

401. zošit

16,4

m

16,7 m 26,9

m

7,7 m39,5 m

24,6

59,8

119,6

35,2

59,8

35,70 + 8,34 = 44,04

Za opravu zaplatí 44,04 eura.

m

m

m

339,90 + 70 = 409,90

Televízor s väčšou uhlopriečkou stojí 409,90 eura.

22,7 + 38,9 + 15,6 = 77,220 · 4 = 80

Musí kúpiť 4 baly pletiva.

37,2 – 20,5 = 16,734,8 – 18,4 = 16,4

20,534,837,2

144,018,4

35,2 – 3,9 – 4,4 = 26,93,97,74,47,7

164,8

39,535,239,5

Úloha 21

Úloha 23

Uvedené riešenia nie sú z kate-górie tých „matematicky naj-krajších“. Uvádzame ich preto,aby ste mali k dispozícii všetkypomocné výpočty, ktoré byžiaci pri riešení úlohy mohlipotrebovať.

V texte sú zaradené číselnéúdaje, ktoré nie sú potrebnék vyriešeniu úlohy. Pomýli toniektorých vašich žiakov?

411. zošit

1,813,9

407,76 001,32

4,5

4,65 10,32 37,64 0,395 28,79

41,85 2,72 57,7 1068,5 63,63

5,3 266,2 2,97 306,81 214,13

0,31 343,786 210,85 1267,13 607,32

27,77

3,69

10,424

281,536

781,536

724,23

7,831

2755,686

3420,86

0,348

55,2405,1

2 000,48

32,280,4580,2

4 300,551,171,1

6008 095,81

To, ktoré príklady budú vaši žiacipočítať spamäti a ktoré písomne,je na vašom rozhodnutí. Vy stes nimi v triede, vy ich poznátea viete čo zvládnu. Cieľ je naučiťsa dobre počítať s desatinnýmičíslami. Ak to niektorí z nichzvládnu len písomne, neprekáža to.Podstatné je, aby daný súčet (roz-diel, súčin, podiel) vedeli vypočítať.Na druhej strane – úprimne, len takmedzi nami – kedy ste naposledyniečo nepočítali na kalkulačke?(A na pustom ostrove nebudetemusieť počítať – konzultovalisme to s Robinsonom :)).

421. zošit

3,252,298

2,050,55

8,685,34615,324,085

15,9870,857

48,1412,603

586,92119,681

418,35108,234

6,27366,061

0,454 597,223

0121

2326,442,46

13,5

6,488184,968

0,094 52 218,6

1312

32,148,009

48,337,83

497,3332,319 75

116,7219 081,975

1120

18,6261,618,98

0

4 083,435,652

31,034 7917,811 6

1123

489,9325,4488,313,092

Úloha 4Úloha 5Odhad výsledku trénujeme,aby sme nastavili sebakontrolužiakov pri počítaní na kalkulačke.

431. zošit

653,67100

32,857,121

109,93180,54

1 413,85108,4

570,1659,9735,1816,4

893,74645,18391,65167,76

108,7682,2619,58

35,976,05

9,01

112,272 416,44

30,358460

9,010 9368,43

99,03100,1

138,19361,04559,31383,58

1 586,3164 255,8642 623,962

6 223

8,13 7,366,7

5,38 5,71 6,15

0,65 0,55 0,55–0,2 –0,1 –0

4,15 5,05 5,16

1,55 1,15 0,85–0,4 –0,3

2,653,35

2,05–0,6–0,5

–0,7

Úloha 8Odhadujte, skúšajte, počítajtena kalkulačke.

441. zošit

2,8 9,6 7,5 – 4,2 + 8,4 – 4,9

102,6696,51101,8397,55101,0798,73100,05

20,25

12,86

0,82

8,126

18,17

8,32

19,21

8,93

19,33

5,41

13,62

6,48

4,87

6,1

7,17

9,07

0,28

1,296

0,49 0,91

3,91

0,51

2,995

0,5

5,8969,872

–2,17

–4,07

Úloha 11f)V zadaní je najbližšie celé

číslo aj 47 aj 48.

451. zošit

1,16,72,555,22

15,4 – 3,78 = 11,62

33,8 + 42,12 = 75,92

70,5 – 32,16 = 38,34

7,7– 1,3

6,4

7,76,4

14,1———— 14,1 – 6,4 = 7,7

3,8

(37,5 ,85) + 12,03 = 45,68– 3

(7,25 + 0,98) – (7,25 – 0,98) = 1,96

8,313,99,7512,42

8,5118,8411,177,1

19,1429,4721,817,73

menšiteľ

rozdiel

461. zošit

0,2

17,8

47,4

5

42,1

19,2

64,1

66,7

31,5

93,7

27

64,3

47,8

54,8

72,6

20,8

49,8

44

26,6

16,2

15,8

9,4

20,5

13,5

37,7

10,9

39,7

39,5

22,1

8,3

0

32,8

34,9

0,45

0,115

1,50,280,29

0,10,53

27,13298,66

54,49

41,46

82,2754,77

14,56289,05

471. zošit

43,4 54,2

4,51

52,1

10,8 15,1

7,2515,5

23 28,8

30,424,8

20,4 25,4

24,39

5,2

12,2 13,7

16,571,5

3,56,3

3,50,7

9,613,8

9,65,4

5,95,9

0,31,1

12,112,1

3,77,1

2,40,4

3,20,4

2,51,7

5,91,7

9,6 10,3

10,5611,8

Úloha 20

Úloha 21

Vyzvite žiakov, aby si najprv slovnesformulovali stratégiu riešenia.

Počítame so zátvorkami. Táto a na-sledujúce dve úlohy dajú žiakommožnosť objaviť vplyv zátvoriekna postup riešenia a na výsledokpríkladu. Všímajte si najmä príkla-dy, v ktorých je pred zátvorkouznamienko mínus. Bude dobré, akich žiaci vyriešia aj bez zátvorieka tak sa názorne presvedčia o tom,aký bude výsledok.

481. zošit

25,415,6

8,175,57

43,830,2

15,288,14

3,66,2

1,70,9

10,72,9

3,943,2

21,89,4

6,474,67

33,127,3

11,344,94

126 + 55,83 = 181,8366,39 + 12,36 = 78,7524,8 + 68,63 = 93,4324,35 + 40,02 = 64,37

129,11 + 33,71 = 162,8258,33 + 66,88 = 125,21

70,8 + 31,332 = 102,13263,35 + 21,152 = 84,502

92,46 – 36,24 = 56,299,5 – 43,15 = 56,35122,1 – 21,08 = 101,02

120,29 – 39,41 = 80,88

686,7 – 54,63 = 632,07134,55 – 12,37 = 122,1841,81 – 2,74 = 39,07

35,9 – 20,6 = 15,3

Úloha 23Ukážte žiakom, ako počítaťs pamäťou kalkulačky tak, abysi nemuseli zapisovať medzi-výsledok.Na záver riešenia úloh 21 – 23skúste spolu so žiakmi sformu-lovať tvrdenie o tom, kedymôžeme zátvorky z príkladuvynechať bez toho, aby to malovplyv na riešenie príkladu.

491. zošit

830 – 425,76 = 404,24

Ešte im ostáva 404,24 eura.

1 735,89 – 55,50 = 1 680,39

Na výstave stojí sedačka eura.1 680,39

23 cm = 0,23 m6,54 – 0,23 = 6,31

Druhý skok meral 6,31 m.

2 · 100 – (73,08 + 0,08 + 91,2 + 0,08) == 200 – 164,44 == 35,56

Vydali mu 35,56 eura.

Pri riešení slovných úloh uvádzameiba samotný výpočet a odpoveď.Spôsob zápisu slovnej úlohy závisíod učiteľa. Náš názor je taký, žezápis slovnej úlohy je zmysluplnývtedy, keď pomáha žiakovi slovnúúlohu vyriešiť.

Pozor na premenu jednotiek!

Vysvetlite si so žiakmi, prečoplatíme poplatky za zloženky.

Úloha 26

Úloha 27

501. zošit

500 – (265 + 62,74 + 52,99) == 500 – 380,73 == 119,27

Vydali jej 119,27 eura.

123,67 + 123,67 + 2,74 = 250,08

Za darčeky platili 250,08 eura.

Danka:Janka:spolu:

Spolu majú 202,55 eura.

0,70 + 1,45 + 1,85 = 4

Mamička potrebuje 4 m látky.

109,75 – 37,26 = 72,4984,32 + 45,74 = 130,0672,49 + 130,06 = 202,55

511. zošit

15,5 – (5,32 + 2 · 4,16 + 0,92) == 15,5 – 14,56 = 0,94

Zvýšilo im 0,94 m koberca.

Žofka, Katka, Rózka, Zuzka

9,4 + 8,9 + 9,3 + 9,6 = 37,2

Štafetu by zabehli za 37,2 s.

15,38 – 3,06 = 12,32

Jurko má 12,32 eura.

25,67 + (25,67 – 7,9) == 25,67 + 17,77 == 43,44

Karolova túra má dĺžku 43,44 km.

521. zošit

Tento projekt je opäť skvelouvýzvou na veľa, veľa diskusií.Páči sa žiakom, ako počítali Egyp-ťania? Prečo? Nepáči sa im to?Prečo? Čo asi potrebovaliEgypťania sčitovať a odčitovať?Ako to bolo u Grékov, Arabov,Inkov, Číňanov? Počítali podobneako Egypťania? A mnoho, mnohoďalších diskusií.

531. zošit

541. zošit

50500

5 0000,50,050,005

100 · 10 = 1 00010 · 10 = 1001 · 10 = 100,1 · 10 = 10,01 · 10 = 0,10,001 · 10 = 0,01

0,010,1

110

1001 000

10 000100 000

1 000 000

0,50,05

0,005505005 000

100 : 10 = 1010 : 10 = 11 : 10 = 0,10,1 : 10 = 0,010,01 : 10 = 0,0010,001 : 10 = 0,000 1

100 00010 0001 000

100101

0,10,01

0,001

stotisícdesaťtisíctisícstodesaťjedendesatinastotinatisícina

· 10· 10· 10· 10· 10· 10· 10· 10

: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10: 10

Strana je tematicky venovanánásobeniu a deleniu 10, 100, 1000a 0,1, ... . Vychádzajúc z patternov,postupne prechádzame z odboruprirodzených do odboru desa-tinných čísel.

Po vypočítaní jednotlivýchpríkladov spojte tie, ktoré majúrovnaký výsledok a nechajtežiakov sformulovať záver:Násobiť 10, 100, ... je to istéako deliť 0,1 ... .Násobiť 0,1 ... je to istéako deliť 10, ... .

Úloha 1

551. zošit

0,570,710,560,49

0,5 kg = 500 g1 kg = 1 000 g

1,310,6451,990,96

5,707,105,604,90

2,853,552,82,45

0,6550,322 50,9950,48

25,4254

0,914

91,4

1,60916,09

4,5445,4

0,568

56,8

4,5545,5

Úloha 4

Úloha 6

Úloha 5Pripomíname premenu jednotiekhmotnosti.Žiaci môžu jednotlivé okienkatabuliek vypĺňať rôznymi spôsobmi.Nechajte ich, nech si svoje postupynavzájom porovnajú a overia si ichsprávnosť. Propedeutika priamejúmernosti – preto venujte týmtopríkladom pozornosť.

Prečo má palec dĺžku práve2,54 cm? Koho to bol palec?Existovalo, resp.existuje viacrôzne dlhých palcov? V ktorejkrajine ešte stále „palcujú“?

561. zošit

10100

1 000

1001 00010 000

0,110

0,01

10100

1 000

363,6

0,036

550500

č. 12 = 4 + 35 – 27č. 11 = 4 + 26 – 19

č. 7 = 4 + 42 – 3939

0,010,110

10100

1 000

4,90,49

0,049

1801 80018 000

14,40,144144

21,6216

2 160

101 000

5 0,73 20,82,704123 800

0,043 8

0,2380,06

1,005 4

2703,5

4 208

1001 000

1 000100

Úloha 9Úloha 10Uvedené riešenia sú jednyz možných. Môžete sa spoločnepokúsiť nájsť ich čo najviac.Postupne budú žiaci na tabuľuzapisovať tie riešenia, ktoré tamešte nie sú.

10100

100

571. zošit

1,52,83,24,8

15,2

29,05

20,4

36,47

8,49,63,215,3

13,5

12,98

36,4

8,85

3,18 · 7 = 22,2623,6 · 5 = 1180,704 · 8 = 5,632208,5 · 3 = 625,5

5624,88,4

30,6

57,76

69,6

22,8

3,6610,428,2124,28

28,2

72,63

12,6

66,33

Úloha 2

a)b)

Žiaci môžu násobiť „vedľa seba“(príklad ), alebo „pod sebou“(príklad ). Obidva spôsobysú korektné a deti majú právona výber svojho spôsobu.

581. zošit

119,728,121 660,5110,403

1 051,21 924,65

13

782 205119,7453,453

8495 656,4

6 438,415 466,18

1475,7

240,09

145 272,442,88

2 556,18

<<<<

<<

<<

363,66979,6842 600,92

58 241,67 327,365

132 591,69

<<<<

<<<<

>>>>

>>>>

>>>

>

>>

>>

Úloha 5Úloha 6Obidve úlohy sú zamerané na to,aby si žiaci uvedomili, čo sa dejes výsledkom násobenia, ak náso-bíme číslom väčším ako 1 a aknásobíme číslom menším ako 1– násobenie číslom väčším ako 1zväčšuje, násobenie číslom men-ším ako 1 zmenšuje.Po vyriešení oboch úloh trénujteso žiakmi odhady výsledku prinásobení číslom menším aleboväčším ako 1.

591. zošit

Úloha 7

Úloha 9

Úloha 8Pokračujeme v upevňovaní myš-lienky o násobení číslom men-ším/väčším ako 1. V závere junecháme žiakov sformulovaťpísomne.

Pochopili žiaci princíp násobeniačíslom väčším/menším ako 1?Ak áno, vyfarbia obrázokbez počítania.

146,889,57

15,3801,6

0,9639,15

1,4435,07

Banská BystricaBratislavaKošiceNitraPrešovTrenčínTrnavaŽilina

9,7587,4845,6421,95

44,2820,9383,6204,45

a) násobím číslom > 1 b) násobím číslom < 1

601. zošit

17 650,8632 093,2043 502,998

75,114

0,2880,1460,2040,19

1 705,5923,950 0218 618,846

26 601,62,625 8434 368,516

1,4 · 0,95 · 3,8 = 5,0541,4 · 0,95 · 2,83 = 3,763 91,4 · 0,95 · 3,16 = 4,202 81,4 · 0,95 · 0,7 = 0,9311,4 · 3,8 · 2,83 = 15,055 61,4 · 3,8 · 3,16 = 16,811 21,4 · 3,8 · 0,7 = 3,7241,4 · 2,83 · 3,16 = 12,519 921,4 · 2,83 · 0,7 = 2,773 41,4 · 3,16 · 0,7 =3,096 8

45,4595,984225,078

63,56

2,16643,263

3,4787,564

85,539 4967,875311, 550 84

166,228147,019

45,190 2

0,95 · 3,8 · 2,83 = 10,216 30,95 · 3,8 · 3,16 = 11,407 60,95 · 3,8 · 0,7 = 2,5270,95 · 2,83 · 3,16 = 8,495 660,95 · 2,83 · 0,7 = 1,881 950,95 · 3,16 · 0,7 = 2,101 43,8 · 2,83 · 3,16 = 33,982 643,8 · 2,83 · 0,7 = 7,527 83,8 · 3,16 · 0,7 = 8,405 62,83 · 3,16 · 0,7 = 6,259 96

20

Úloha 12

Úloha 13

Ukazujeme fakt, že počet desa-tinných miest súčinu sa veľmičasto rovná súčtu desatinnýchmiest činiteľov. Môžete vyzvaťžiakov, aby našli príklad, v kto-rom toto tvrdenie neplatí.(Príklad 0,5 · 2 môže poskytnúťnámet na diskusiu.)

Cieľom tejto úlohy je dokonaleprecvičiť násobenie desatinnýchčísel. Pritom sa pripravujemena kombinatoriku. Neprekáža,ak sa žiakom nepodarí nájsťvšetky možné súčiny. Aby ste ichusmernili, môžete im na začiatkuprezradiť, koľko ich je (20).

611. zošit

Úloha 14

Úloha 15

Príklad nie je náročný na logickérozmýšľanie, dá však možnosťvyniknúť tým žiakom, ktorí sútrpezliví a systematickí. Aj títomajú právo na svojich „päť minútslávy“.

Pripomeňte si so žiakmi, že komu-tatívnosť je vlastnosť nielen sčíta-nia, ale aj násobenia desatinnýchčísel.

2,427,986

35,128 4193,261 2

1 275,523 929 821,534 18486 429,500 81855 652,058

0,810,9

54,814

72,1054 150,2720,778 48

12 788,118

00

5010

165,968237,65,832

6 919,785 6

23273,5

94266

2307090

270

621. zošit

132,615,61,3

2627,3

3,156,30,456,572,52

8,1

7,148,169,1811,2212,2424,48

14,4415,3141,40627,70219,6080,266

1,211,232 11,234 321

1,234 543 211,111 11 · 1,111 11 = 1,234 565 432 1

·····

4,84492,8449 372,84

4 938 172,84

2,15 · 7,06 · 3,4 = 51,608 6 =. 51,609

30,54 · 6,5 · 0,01 = 1,985 1 =. 1,985

356,218 – 9,222 5 + 2 504,308 = 2 851,303 5 =. 2 851,304

Úloha 18

Úloha 19

c) d)

Zopakujte si, čo sa deje, keď ná-sobíme číslom väčším/menšímako jeden. Nechajte žiakov naj-prv odhadnúť, či bude výsledokväčší alebo menší ako prvýčiniteľ a potom nech si svojodhad potvrdia výpočtom.

Hľadanie patternu. Nech detivymyslia pre tento príkladaj , a ďalej.Jedno i druhé sa nedá dlhopočítať na kalkulačke kvôliobmedzenému počtu číslicna displeji. Žiaci môžu skúsiťpokračovať na hodináchinformatiky na počítačoch.

631. zošit

1,851 8 · 15 = 27,777 km = 27 777 m

1,609 3 · 724,5 = 1 165,937 9 km

0,914 4 · 1 805 = 1 650,492 m

Súmračné pobrežie:Slnečné pobrežie:

Bližšie je Súmračné pobrežie.

6,9 · 1,609 3 = 11,104 17 km9,6 · 1,851 8 = 17,777 28 km

Pri riešení slovných úloh uvádzameiba samotný výpočet a odpoveď.Spôsob zápisu slovnej úlohy závisíod učiteľa. Náš názor je taký, žezápis slovnej úlohy je zmysluplnývtedy, keď pomáha žiakovi slovnúúlohu vyriešiť.

641. zošit

12,96

0,13

0,45

0,45

135,1

47,61 22,56 30,816 27,8 28,94 20,4 43,824 48

0,26 0,39 0,52 0,65 0,78 0,91 1,04 1,1710

1,30

2 0,9 1,8 1,35 2,4 0,72 1,71 1,68

2 0,90 1,60 1,35 2,40 0,72 1,71 1,68

152,1 152,4 11,62

Úloha 25

Úloha 26

Úloha 27Úloha 28

Zvolili sme rovnaký spôsobsymboliky ako u vývojovýchdiagramov. Niekoľko prvýchokienok vypĺňajte spoločne.Pozor na posledné.

Pripravujeme sa na priamuúmernosť. Žiaci môžu zvoliť dvaprístupy – alebo násobia 3,4 ·alebo postupne pripočítavajú.Diskutujte o výhodách a nevý-hodách jedného i druhéhospôsobu.

Skúste hľadať spoločné prvkyv oboch príkladoch. Pri vhodnej„zámene“ v dvadsaťsedmičkevyjdú obe tabuľky rovnaké.O akú zámenu ide?

n

651. zošit

Róbert:Norbert:

Viac má Norbert.

215 · 0,772 6 = 166,109 eura163 · 1,079 3 = 175,925 9 eura

Danka:Janka:

Viac má Janka, o 1 487,94 eura.

35 000 · 0,003 3 = 115,507 200 · 0,222 7 = 1 603,44

2 · 0,39 + 5 · 0,29 + 3 · 0,66 == 0,78 + 1,45 + 1,98 == 4,21 eura

11 · 0,29 + 4 · 0,39 + 0,52 ++ 8 · 0,66 == 3,19 + 1,56 + 0,52 + 5,28 == 10,55 eura

7 · 0,52 + 3 · 0,33 + 6 · 0,66 == 3,64 + 0,99 + 3,96 == 8,59 eura

2 · 0,29 + 2 · 0,52 ++ 2 · 0,39 + 2 · 0,66 + 2 · 0,33 == 0,58 + 1,04 + 0,78 ++ 1,32 + 0,66 == 4,38 eura

Úloha 30

Úloha 31Úloha 32

Ako výsledok závisí od momen-tálneho kurzu?

A čo teraz? Môže byťodpoveď rôzna v rôzne dni?Porovnajte s úlohou 30.Pracujte s dennou tlačou,internetom, správami...

661. zošit

Suroviny by stáli 16,31 eura.

15 · 0,1 + 3,25 · 2,29 + 3,25 · 0,48 ++ 3,25 · 1,39 + 0,6 · 2,15 == 1,5 + 7,442 5 + 1,56 + 4,517 5 + 1,29 == 16,31 eura

0,2560,64

0,8

0,768

1 · 0,7 = 0,7

= 50,07 · 10 = 500,7

= 1,215 · 1 = 1,215

1 · 10 = 10

1 · 0,12 = 0,12

30 · 8,01 = 240,3

0,40,8 0,5

135,841 862,178

0,2262,37

9,9 6,3

0,64 4,096 19,712 0,96 9,075 2 3,020 8

Úloha 34

Úloha 36

Úloha 37

Viete odhadnúť, aká veľká by bolabublanina podľa nášho receptu?Koľko kúskov by ste z nej nakrá-jali? Vyskúšajte si to!

Opäť sa približujeme k priamejúmernosti :). Pre niektorýchžiakov nemusí byť jednoduchépochopiť, že ak 1 m lana stojí1,28 eur, tak 0,75 m lana stojí0,75 · 1,28 eur.

Hurá, zamieňať poradie číselmôžeme aj pri násobení!Oslávte to so žiakmi :).

671. zošit

244

181281

49

48,08119,4866,3617,825,88

20,5686,27

364,45

=. 7,44 eura

209,755 · 13,8 = 2 894,6190,07 · 271,244 = 18,987 08

15,32 · 7,29 = 111,682 823,8 · 65,46 = 1 557,948

70,91 · 0,8 = 56,7280,25 · 180,6 = 45,15

172,195 · 0,99 = 170,473 0514,28 · 525,7 = 7 506,996

Ako sa rozhodnete s fontánou?Je to kvet alebo nie? Započítateju do rozpočtu alebo nie?Urobte si rozpočet pre zariadenievašej triedy kvetmi.

Pozor na zátvorky. O tom, že vyjderôzny výsledok, ak tam zátvorkybudú, alebo nebudú, sa žiaci naj-lepšie presvedčia tak, že príkladyvypočítajú aj so zátvorkami ajbez nich a porovnajú výsledky.

Úloha 39

681. zošit

60,06

2,9 4,4 12,76

0,7 0,4 0,28

8,7 1,7 14,79

10,1 13,8 139,38

14,2 2,1 29,82

7,7 2,2 16,94

6,3 7,1 44,73

35,1 24,96 60,06

28,13 15,37 12,76

3,28 3 0,28

6,12 8,67 14,79

6,3 36,48 4,2 46,98

10,5 17,76 2,7 25,56

8,4 2,31 1,1 4,99

6,5 0,46 4,8 10,84

54

Úloha 40

Úloha 42

Úloha 41Neustále upriamujeme pozor-nosť žiakov na zátvorkya na hierarchiu počtovýchoperácií.

Hľadajte, skúšajte.

691. zošit

40,11110,1191,07104,12

10,17,19,17,1

0,30,50,70,7

0,20,10,30,3

7,7

1,205

5,32

5,707

1,08

0,15

2,17

3,34

3,8

1,052

7,998

12,306

To, ktoré príklady budú vaši žiacipočítať spamäti a ktoré písomne,je na vašom rozhodnutí. Vy stes nimi v triede, vy ich poznátea viete čo zvládnu. Cieľ je naučiť sadobre počítať s desatinnými číslami.Ak to niektorí z nich zvládnu lenpísomne, neprekáža to. Podstatnéje, aby daný súčet (rozdiel, súčin,podiel) vedeli vypočítať. Na druhejstrane – úprimne, len tak medzinami – kedy ste naposledy niečonepočítali na mobile? (A na pustomostrove nebudete musieť počítať– konzultovali sme to s Robinso-nom :)).

701. zošit

3,7

0,24

3,63

5,1

6,3

0,86

5,42

1,231

7,7

0,202

0,125

2,327

424242535150

58

152050

54

0,50,252,50,80,40,124,26,10,20,9

0,843,88,25

<<><<<>><<<>>

4242425351505815205054

266020141821

48,8318421933

>><>>><<>>><<

Úloha 5Hľadáme odpoveď na otázku,kedy sa číslo delením zmenšía kedy sa zväčší. Žiaci si môžuslovne sformulovať svojepozorovanie.

711. zošit

55,544

9,121,8

menší ako delenecväčší ako delenec

menší ako delenecväčší ako delenec

0,5

3,5

7,56 0,25 6 0,5 3

6

1,10,421,30,1

4,3254,3

361,8

1,60,131,2

0,08

43,22,736

1,30,151,1

0,15

2,2

7

0,4

6

2,4

3,8

5,5

5

0,5

8

3,25

7,6

Úloha 6

Úloha 8

Úloha 7Písomne sformulujeme vzťahmedzi podielom a delencomv závislosti od veľkosti deliteľa.Podstatné je odhaliť vzťah, nietrénovať techniku delenia. Pretopočítanie na kalkulačke.

Kedy musíme deliť a kedy musímenásobiť pri takýchto úlohách?Dobrá príprava na ekvivalentnéúpravy pri riešení rovníc.

721. zošit

2,84,52,66,2

5056,9

32,640,165 3

0,714 285 7...

0,333 333 35,333 333 34,888 888 8

6,666 666 6

21,441,531650,5

0124

nekonečne veľa

0,428 571 42,058 823 55,923 076 91,052 631 6

1. stĺpec s periódou

812457243524

Úloha 11Nechajte žiakov, nech sa„pohrajú“ s kalkulačkou.

731. zošit

3,83 817,87 5,47

0,029 20,575 0,083

zv. 0,02 zv. 0,04 zv. 0,01

zv. 0,002 4 zv. 0 zv. 0,001

Úloha 15

Úloha 16

Úloha 17Úloha 18

Ktorými číslami je dobré deliť,aby sme dostali periodické číslo?Všimli si to vaši žiaci pri pred-chádzajúcich úlohách?

Ktorými číslami je dobré deliť,aby sme dostali neperiodické číslos neukončeným desatinným roz-vojom? Všimli si to vaši žiaci pripredchádzajúcich úlohách?

Aký je rozdiel, ak delím na dvedesatinné miesta a výsledok dele-nia zaokrúhlim na dve desatinnémiesta? Diskutujte o tom so žiakmia nechajte ich vymýšľať konkrétnepríklady, ktoré budú potvrdzovaťich tvrdenia a vyvracať tvrdeniaich spolužiakov (alebo vaše).Hoci to nie je v zadaní, ak mátešikovných žiakov, môžete imukázať, ako sa určuje zvyšok pridelení desatinným číslom. Zvyškyuvádzame pri každom príklade.

741. zošit

209209,25

77,5

1313,5

2

1 1 1

2

2 2 2

3

4

1

8686,4

77,7

88,3

99,6

8181,25

1313,3

66,142 857

33,142 857

Úloha 19Úloha 20Môžete skúsiť interpretovaťdelenie pomocou „deleniapeňazí medzi daný počet detí“.Keď chcem rozdeliť 273 eurmedzi 5 detí, tak viem rozdeliť270 (každý dostane 54 eur)a 3 eurá mi zostanú (to je zvyšok).Keď tieto tri eurá rozmením nacenty, tak každé dieťa dostane60 centov (to je tých 0,6 v zá-pise podielu).

751. zošit

12,09199,92

3,960

222,8013,00,1

659,21 42426,353,27

4 405,75690

18,31563,5

12 280,523 632,5

31,0523,6

41,04 10,8 21,6 9 1,5

2,7 3,51 2,176 2 11,969 1 1 196,91

((23 – 4,9) · 6,5 + 7,8) : 13 = 9,65

22,154 : 5,3 · (258,6 – 147,29) = 465,275 8

1,375

75

1,6

21,99599,97

Úloha 22Urobte si súťaž „Najlepší odhaddňa/týždňa/mesiaca/roka...“.Sledujte, ktorý zo žiakov malnajviac čo najpresnejších odhadova udeľte mu titul. Nevynechajtejedinú príležitosť, aby ste dvíhalimatematické sebavedomie vašichžiakov.

761. zošit

204

1,6

6,4 0,2 32

1 0,5 2

7,5 3 2,5

0,3 0,3 1

14 18 32

7 5 2

3 15 18

6 5 1

163,56 : 0,3 = 545,2150 : 250 = 0,6

324,24 : 0,04 = 8 10618,36 : 2,4 = 7,65

1 166,832 : 2,7 = 432,1627 : 900 = 0,03

150 : 1,5 = 1007,2 : 360 = 0,02

Úloha 28Porovnanie, ako to fungujepri vynechaní zátvoriek,keď násobíme, sa oplatí.

771. zošit

107,55 : 23,9 = 4,5107,55 + 17 + 23,5 = 141,25

35,844 : 5,8 = 6,1836,084 – 0,2 + 4,6 = 40,484

9,152 5 : 0,35 = 26,1516,352 5 – 8 – 0,55 = 7,802 5

6,018 : 0,03 = 200,64,218 + 15 – 0,09 = 19,128

3,60,81,23,222,4

41,62,80,4

309020100704060801050

0,0180,0270,0030,0120,0150,0270,0060,0210,009

0,03

0,90,40,80,310,20,70,50,10,6

0,40,150,60,450,250,10,350,050,20,5

0,060,040,10,020,090,050,080,010,030,07

2,81,45,63,50,72,16,37

4,24,9

0,080,030,050,020,040,070,010,060,10,09

Úloha 30

Úloha 31

A je to tu opäť – zátvorky a hie-rarchia počtových operácií.

Posledný stĺpec: delenie číslom 0,2dá ten istý výsledok ako násobeniečíslom 5, napr. 6 : 0,2 = 6 · 5.Ukážte to žiakom a nechajte ichhľadať podobné vzťahy.

781. zošit

Tak tu sa už zapotíte poriadne.Aj keď sa vašim žiakom pri sčítanía odčítaní ešte zdalo, že je to„egyptská malina“, tak pri náso-bení a delení ich určite prejdechuť. Ako to dopadne pri vašomprieskume spôsobov násobeniaa delenia iných civilizácií činárodov?

791. zošit

32 + 16 + 8 – 1

215 ·32= 215 · 2 · 2 · 2 ·2 ·2215 ·16= 215 · 2 · 2 · 2 ·2215 ·8= 215 ·2 ·2 ·2215 ·1= 215

1 · 9 = 92 · 9 = 183 · 9 = 274 · 9 = 368 · 9 = 7216 · 9 = 14432 · 9 = 28864 · 9 = 576128 · 9 = 1 152256 · 9 = 2 304

32 + 8 – 1

78 ·32=78 ·2 ·2 ·2 ·2 ·278 ·8 =78 ·2 ·2 ·278 ·1 =78

2 835 = 2 304 + 288 + 144 + 72 + 27

2 835 = 256 · 9 + 32 · 9 + 16 · 9 + 8 · 9 + 3 · 9

2 835 = (256 + 32 + 16 + 8 + 3) · 9725 = 315 · 9

64 + 16 + 4

704 ·64=704 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2704 ·16=704 ·2 ·2 ·2 ·2704 ·4=704 ·2 ·2

Odporúčané pojmy a postupy

násobenie, činiteľ, súčin,násobenie prirodzených čísel spamäti a písomne,delenie, delenec, podiel, skúška správnosti,delenie prirodzených čísel spamäti a písomne,neúplný podiel, zvyšok, delenie prir. čísel so zvyškom,násobenie a delenie prirodz. čísel s použitím kalkulačky

delenie čísel 2, 5, 10 (3, 4, 6) – znaky deliteľnosti

sčítanie a odčítanie / násobenie a delenieako navzájom opačné matemematické operácie,využitie opačných matematických operáciípri riešení jednoduchých rovníc a slovných úloh,dohoda o poradí počtových výkonov, význam zátvoriek,poradie matematických operácií na kalkulačke

cifra, číslica, číslo, zaokrúhľovanie,význam zaokrúhľovania pri výpočtoch s veľkými číslami

desatinné číslo, celá a desatinná časť, desatinná čiarka,rád číslice v desatinnom čísle (desatiny, stotiny, tisíciny...),čítanie a zápis desatinných čísel

číselná os, obraz a vzdialenosť desatinných čísel na nej,porovnanie desatinných čísel s prirodzenými číslami,porovnávanie desatinných čísel,usporadúvanie desatinných čísel zostupne/vzostupne

zaokrúhľovanie nadol/nahor s presnosťou na jednotky,stovky..., s presnosťou na desatiny, stotiny...

súčet, sčítanec, rozdiel, menšenec, menšiteľ,súčet/rozdiel:– prirodzeného a desatinného čísla (spamäti, písomne),– desatinných čísel (spamäti, písomne, na kalkulačke),poradie matematických operácií a význam zátvoriek

násobenie/delenie desatinných čísel:– 10, 100, 1 000... (spamäti, písomne),– prirodzeným číslom,– navzájom (aj na kalkulačke),delenie prirodzených čísel desatinným číslom,zápis zvyšku pri delení desatinných čísel,poradie matematických operácií a význam zátvoriek

jednotky dĺžky (km, m, dm, cm, mm),jednotky hmotnosti (t, kg, q, dag, g, mg),premena jednotiek s využitím vlastností desatinných čísel

jednoduchý aritmetický priemer

Odporúčané témy

Násobeniea delenieprirodzených čísel.

Deliteľnosť.

Navzájom opačnéoperácie.Poradie počtovýchvýkonov.

Počítanie s približ-nými číslami.

Kladné desatinnéčíslo, rád číslicev jeho zápise.

Zobrazeniedesatinného číslana číselnej osi.

Zaokrúhľovaniedesatinných čísel.

Sčítaniea odčítaniedesatinných čísel.

Násobeniea deleniedesatinných čísel.

Premeny jednotiekdĺžky a hmotnosti.

Aritmetický priemer

Odporúčaný výkonový štandard

vedieť v obore prirodzených čísel násobiť a deliť (vrátane deleniaso zvyškom), ovládať algoritmus násobenia a delenia viaccifernýchprirodzených čísel prirodzeným číslom, vykonať skúšku správnosti,využiť kalkulačku pri násobení a delení prirodzených čísel;

poznať znaky deliteľnosti prirodzených čísel 2, 5, 10 (3, 4, 6), roz-hodnúť o deliteľnosti prirodzeného čísla týmito číslami bez delenia;

poznať a využiť vplyv navzájom opačných operácií na výsledokpríkladu, analyzovať text slovnej úlohy a diagnostikovať dané a hľada-né údaje potrebné pre riešenie úlohy, správne nájsť stratégiu riešeniaúlohy a použiť jednotlivé operácie pri riešení jednoduchých slovnýchúloh, vedieť jednoducho zapísať riešenia úlohy;

analyzovať zápis úlohy s viacerými počtovými operáciami(aj so zátvorkami), pri viacerých počtových operáciách a úkonochvedieť rozhodnúť o poradí ich riešenia, ovládať prácu s kalkulačkou;

zvoliť vhodnú stratégiu a postup pri riešení príkladov s veľkýmičíslami, prakticky a „výhodne“ počítať s veľkými číslami, správneanalyzovať slovné úlohy a nachádzať ich vhodné zjednodušenie,využívať kalkulačku pri počítaní s približnými číslami.

poznať význam desatinných čísel v každodennom živote a vedieťuviesť príklady ich použitia, určiť rád číslice v zápise desatinného čísla,vedieť čítať a zapisovať desatinné čísla;

zobraziť desatinné číslo na číselnej osi (presne, odhadom), na čísel-nej osi určiť vzdialenosť desatinného čísla od daného prirodzenéhočísla, ako aj vzdialenosť ľubovoľných desatinných čísel, vedieť porov-nať desatinné čísla, usporiadať desatinné čísla zostupne/vzostupne;

vedieť zaokrúhľovať desatinné číslo nahor/nadol podľa predpisu,s presnosťou na celé číslo, desatiny, stotiny...;

sčítať/odčítať primerané desatinné čísla spamäti, ostatné písomnealebo pomocou kalkulačky, pri riešení úloh s viacerými počtovýmioperáciami a úkonmi vedieť rozhodnúť o poradí ich riešenia, analy-zovať text slovnej úlohy, nájsť stratégiu riešenia a použiť jednotlivéoperácie pri jej riešení;

násobiť/deliť desatinné čísla mocninami čísla 10 spamäti, násobiťa deliť desatinné čísla (prirodzenými/desatinnými číslami) písomnealebo pomocou kalkulačky, vedieť správne určiť a zapísať zvyšokpo delení, rozhodnúť o potrebe skúšky správnosti a vedieť ju urobiť,analyzovať text slovnej úlohy, nájsť stratégiu riešenia a použiť jednot-livé operácie pri jej riešení, pri riešení úloh s viacerými počtovýmioperáciami a úkonmi vedieť rozhodnúť o poradí ich riešenia a úlohuvedieť vyriešiť;

poznať základné jednotky dĺžky/hmotnosti, z každodenného živo-ta uviesť príklady ich použitia, vedieť využívať vlastnosti desatinnýchčísel pri ich premene, uvedomovať si potrebu premeny zadanýchúdajov na rovnaké jednotky pri ich porovnávaní, vedieť porovnaťúdaje o dĺžke/hmotnosti zostupne/vzostupne;

vypočítať a správne interpretovať jednoduchý aritmetický priemer(aj v slovných úlohách).

Návrh obsahového štandardu z matematiky – 6. roč. ZŠ/1. roč. GOŠOdporúčaný obsahový štandardTemat.

celok

Počt

ové

výko

nys

prir

odze

ným

i čís

lam

iD

esat

inné

čísl

a.Po

čtov

évý

kony

sde

sati

nným

i čís

lam

i

Temat.celok

Obs

ahob

dĺžn

ika

ašt

vorc

aU

hol a

jeho

veľk

osť,

oper

ácie

suh

lam

iKo

mbi

nato

rika

vúl

ohác

hOdporúčaný obsahový štandard

Odporúčané pojmy a postupy

rovinné útvary (trojuholník, štvoruholník, štvorec,obdĺžnik, mnohouholník...) a ich popis,obsah, výmera, plocha, 1 cm /1 mm ,jednotka štvorcovej siete,obsah obrazca v štvorcovej sieti

slovné vzorce na výpočet obvoduštvorca/obdĺžnika a ich algebrická interpretácia,náčrt rovinného útvaru,výpočet obvodu pravouhlých mnohouholníkov(zložených zo štvorcov a obdĺžnikov)

jednotky obsahu (km , ha, a, m , dm , cm , mm )a ich premena

slovné vzorce na výpočet obsahuštvorca/obdĺžnika a ich algebrická interpretácia,výpočet obsahu pravouhlých mnohouholníkov(zložených zo štvorcov a obdĺžnikov)

uhol ako časť roviny, vrchol a ramená uhla,označenie uhla (pomocou vrcholu a ramien,písmenami gréckej abecedy),veľkosť uhla (stupeň, minúta), jednotky uhla,práca s uhlomerom

prenášanie uhla,súčet/rozdiel uhlov, násobky uhla (aj graficky),os uhla – jej význam a konštrukcia,delenie uhlov konštrukčne (polovica, štvrtina...),konštrukcia niektorých uhlov bez použitiauhlomera (180°, 90°, 45°, 30°, 15°, 75°...)

priamy, pravý, ostrý, tupý uhol,uhol väčší ako priamy

vnútorný uhol trojuholníka,súčet vnútorných uhlov trojuholníka,ostrouhlý, pravouhlý a tupouhlý trojuholník,uhly v rôznostrannom, rovnoramennoma rovnostrannom trojuholníku

vrcholový uhol, susedný uhol

modely na pochopenie skúmania možností(strom, tabuľka, graf...),vypisovanie jednotlivých možností podľa systému,usporiadanie prvkov bez možnosti opakovania,usporiadanie prvkov s možnosťou opakovania

2 2

2 2 2 2 2

Odporúčané témy

Výpočetpribližného obsahurovinných útvarovv štvorcovej sieti.

Obvod štvorcaa obdĺžnika.

Jednotky obsahu.

Obsah štvorcaa obdĺžnika.

Uhol a jeho veľkosť.

Operácie s uhlami.

Rozdelenie uhlov.

Uhly a trojuholník.

Vrcholové a susedné uhly.

Riešenie kontextovýchúloh s kombinatorickoumotiváciou.

Porovnávanie uhlov.

Odporúčaný výkonový štandard

poznať základné rovinné geometrické útvary, vymenovať príklady ichinterpretácie zo života, poznať význam plochy s obsahom 1 cm, 1 mm ,určiť približný obsah rovinného útvaru zakresleného v štvorcovej sieti;

poznať vzťahy na výpočet obvodu štvorca/obdĺžnika, zakresliť zada-né údaje vo vhodnom náčrte, vedieť vypočítať obvod štvorca/obdĺžni-ka, analyzovať text slovnej úlohy s problematikou obvodu štvorca/ob-dĺžnika, navrhnúť stratégiu riešenia a využiť získané poznatky pri jejriešení, využiť poznatky z výpočtu obvodu štvorca/obdĺžnika pri vý-počte obvodu rovinných obrazcov zložených zo štvorcov a obdĺžnikov;

poznať základné jednotky obsahu, uviesť príklady zo života na ichpoužitie, vedieť využívať vlastnosti desatinných čísel pri ich premene,uvedomovať si potrebu premeny zadaných údajov na rovnaké jednotkypri ich porovnávaní, vedieť porovnať údaje o ploche zostupne/vzo-stupne, údaje o ploche vyjadrovať pomocou vhodnej jednotky obsahu;

poznať vzťahy na výpočet obsahu štvorca/obdĺžnika, zakresliť zada-né údaje vo vhodnom náčrte, vedieť vypočítať obsah štvorca/obdĺžni-ka, analyzovať text slovnej úlohy s problematikou obsahu štvorca/ob-dĺžnika, navrhnúť stratégiu riešenia a využiť získané poznatky pri jejriešení, využiť poznatky z výpočtu obsahu štvorca/obdĺžnika pri vý-počte obsahu rovinných obrazcov zložených zo štvorcov a obdĺžnikov.

poznať pojem uhol ako súčasť bežného života, vedieť vyznačiť uholv zadanom obrázku, určiť vrchol, ramená a názov uhla (pomocouvrcholu a ramien aj pomocou písmen gréckej abecedy), vedieť správnepomenovať uhol, odmerať veľkosť narysovaného uhla v stupňocha pomocou uhlomera narysovať uhol s požadovanou veľkosťou,poznať jednotky na meranie uhlov (stupne, minúty) a ovládať ichvzájomnú premenu;

pomocou kružidla a pravítka preniesť uhol, graficky aj numerickyovládať sčitovanie a odčitovanie uhlov a násobky uhla, vedieť narysovaťos uhla a poznať jej vlastnosti, rozdeliť uhol na dve rovnaké časti,konštruovať niektoré uhly bez použitia uhlomera;

rozdeliť uhly na ostré, pravé, tupé, priame a väčšie ako priame,porovnávať uhly podľa ich veľkosti;

vedieť pomenovať vnútorné uhly v trojuholníku a trojuholník podľavnútorných uhlov, vedieť vypočítať veľkosť tretieho vnútorného uhla,ak sú dané jeho iné dva vnútorné uhly, rozlíšiť ostrouhlý, pravouhlýa tupouhlý trojuholník a určiť ich ďalšie vlastnosti;

poznať a rozlišovať vrcholové/susedné uhly, podľa dostupnýchúdajov vedieť vypočítať ich veľkosť.

systematicky usporiadať daný malý počet prvkov podľa predpisu,z daného počtu prvkov vybrať usporiadanú skupinu prvkov,vedieť dokončiť zadaný systém, analyzovať úlohy z hľadiska stratégieriešenia, zvoliť optimálny spôsob zápisu riešenia.

2 2

22. zošit

7,4 : 10 = 0,74

Baltazár má krok dlhý 0,74 m.

763 · 12,7 = 9 690,1

Spolu priniesli 9 690,1 kg papiera.

11 115,60 : 942 = 11,8

Každý by priniesol 11,8 kg.

190 · 2,14 = 406,6406,6 · 1,5 = 609,9

Za maliny utŕžili 609,9 eura.

Pri riešení slovných úloh uvá-dzame iba samotný výpočeta odpoveď. Spôsob zápisuslovnej úlohy závisí od učiteľa.Náš názor je taký, že zápis slovnejúlohy je zmysluplný vtedy, keďpomáha žiakovi slovnú úlohuvyriešiť.

32. zošit

3 · 0,63 + 10 · 0,01 + 2 · 2,15 + 0,58 == 1,89 + 0,1 + 4,3 + 0,58 = 6,87

Matúš si môže kúpiť 5 žuvačiek a mame vráti 2,43 eura.

10 – 6,87 = 3,13–0,14 · 5 = –0,70

2,43——

2

Bude jej stačiť 5 eur. Ešte jej 1,35 eura vydajú.

· 0,24 + 3,17 = 3,653,65 < 5

35 : 2 = 17,5017,50 · 3,5 = 61,25

Za hodinu prešiel 17,5 km.Za 3,5 hodiny prejde 61,25 km.

38 : 2 = 1919 · 4,5 = 85,5

Za 4,5 hod prejde 85,5 km.

42. zošit

30 : 0,98 =. 30,61

Môže kúpiť 30 litrov benzínu.

15 centov = 0,15 eura1,16 : 0,15 =. 7,73

Za cenu jedného chleba môžme kúpiť 7 žemlí.

18 : 12 = 1,51,61 – 1,5 = 0,11

Pri predplatení na jednom čísle ušetrím 11 centov.

2 · 0,84 + 0,95 = 2,63 m2,63 m = 263 cm263 cm < 270 cm

Zostava sa k stene zmestí.

52. zošit

132,5 · 3 = 397,5530 : 4 = 132,5

530 – 132,5 = 397,5

Teraz stojí oblek 397,50 eura.

83,5 : 5 = 16,7

Danko váži 16,7 kg.

o1 = 2 · (4,6 + 3,8) = 2 · 8,4 = 16,8= 2 · (2,3 + 0,8) = 2 · 3,1 = 6,2

16,8 – 6,2 = 10,6

Obvod záhradky je o 10,6 m väčší.

o2

10 zošitov =. 5,1 cm1 zošit = 5,1 : 10 = 0,51 cm

500 listov =. 5 cm1 list = 5 : 500 = 0,01 cm = 0,1 mm

62. zošit

50900

7 0002,8

37053

0,80,04

0,0090,06

0,4530,002 18

0,40,02

0,0030,05

0,0360,002 17

60500

3 00038

1641 500

: 1 000

· 1 000

3540,279,23,493,8

1,532,64,57110,5

3 026,73 5000,162

mdm

dmkm

4001,4

8,62160700

4502 600

mmdm

: 10

· 10

: 10

· 10

Úloha 1

Úloha 2

Pripomíname násobenie a dele-nie 10, 100, 1 000 – technickynič iné žiaci nepotrebujú vedieťpri premene jednotiek.

Základná pomôcka pri premenejednotiek dĺžky.

72. zošit

1,001 1111 001,11110 011,11100 111,11 001 111

5

10

60

10

99 cm

200 m

2

6

4

505

1 m

70 cm

560 mm

5 m 6 dm

705 cm

0,7 m

10 m 5 cm

3 km 800 m

Úloha 6

Úloha 7

e) f) k) l)Príklady môžu maťviac riešení podľa toho, v akýchjednotkách je zapísaný výsledok.

Chyba sa dá vždy opraviť niekoľ-kými spôsobmi:

opravím číslo na ľavej stranerovnosti,

, , ,

opravím číslo na pravej stranerovnosti,opravím jednotky.

82. zošit

1 050 cm

20 cm

38 cm

36 dm

2. 3. 1.

3 000 m

10 cm

300 m

>

<

<

=

=

>50 cm 2,9 m

3 000 m

42 dm – najdlhší 25 dm – najkratší

109,3 cm + 0,327 m109,3 cm + 32,7 cm = 142 cmŽiaci potrebovali drôt dlhý 142 m.

204,7 cm – 0,426 m2,047 m – 0,426 m = 1,621 mVýsledok príkladu je 1,621 m.

Úloha 8

Úloha 12

Osvedčí sa najprv porovnávanédĺžky premeniť na rovnakéjednotky.

Vezmite si šnúrku, uložte ju podľaobrázku a riešenie je na svete.Naši žiaci majú (ktovie prečo)predstavu, že pri riešení úlohmusia všetky výsledky a riešenia„vypľuť“ priamo z hlavy. Neučí-me ich skúšať, manipulovaťs konkrétnymi predmetmi. Prečo?Aj murár, keď sa chce naučiťdobre položiť obkladačky, musíich chytiť do ruky a skúšať todovtedy, kým sa mu to nepodarí.Myslíte si, že matematika jeo niečom inom?

A tento poznáte?„Viete, na čo žiaci potrebovalidrôt dlhý 142 cm?“„Aby sme mohli počítať úlohučíslo 10!“

92. zošit

25,75 mm23,25 mm24,25 mm22,25 mm

3 km

1 km = 1 cmS

Z V

J

5 km 6 km

1 km

2 km1 km

Úloha 13

Úloha 15

e) f) g)

Úloha si vyžaduje väčší časovýpriestor. Ilustrácia okrem toho, žepripomína, čo je to priemer kruhu,ukazuje aj najvhodnejší spôsobna zmeranie priemeru mince.Na zistenie priemerov našich mincímôžete zvoliť aj fyzikálny prístup:každý žiak odmeria priemer, na-merané údaje zapíšete do tabuľkya vypočítate z nich aritmetickýpriemer. Takto získané číslo sa naj-viac priblíži skutočnému priemerunašich mincí.Každá z častí môže maťviac riešení. Porovnávajte si ich.

Propedeutika pomeru a mierky.

, ,

102. zošit

: 10

· 10

: 100

· 100

: 10

· 10

: 1 000

· 1 000

8 0004 000

6

7063

3 800

0,25500900

507

kgq

kg

25045 9830,12

706 000

4

53 07090,8

0,04250

tg

dag

1,101 011 00111,010 110 011 101,011 001110 101,100 11 101 011,0011 101 011 001

Viete, čo vo vašom okolí máhmotnosť 1 t, 1 q; koľko vážimakové zrniečko?

Základná pomôcka pri premenejednotiek hmotnosti.

Úloha 1

112. zošit

10

200

3,7

30

4

542

0,003 075 kg

0,45 t

2 q

2,5 q

640 000 mg

10

1 435

0,2

10

5

4 918

8,5 t

7 500 kg

23 q

1,6 q

3 kg

<

<

=

250 g

5 kg

850 kg

50 kg

400 kg

6 400 kg

0,75 g

=

>

=

100 + 300 = 400 kg

1 000 kg

Úloha 6Príklady môžu mať rôzne riešeniapodľa toho, ktorú stranu rovnostibude žiak opravovať a či budeopravovať číselnú hodnotu, alebouvádzané jednotky.

122. zošit

ostrorohýindickýtuporohý

1,6 t = 1 600 kg17 q = 1 700 kg

2 500 kg

2 500 kg

2 500 > 1 700 > 1 600tuporohý > indický > ostrorohý

1 500 kg4 700 kg

1 300 kg 1 500 kg

600 kg

3 000 kg

1 600 kg

132. zošit

750 kg + každé okrem 4 t 8 q; 4,5 t380 kg + každé okrem 4 t 8 q0,75 q + každé1 q + každé

750 kg + 380 kg + každé okrem 4 t; 4 t 8 q; 4,5 t750 kg + 0,75 q + každé okrem 4 t 8 q; 4,5 t750 kg + 1 q + každé okrem 4 t 8 q; 4,5 t750 kg + 3 600 kg + 380 kg alebo 0,75 q alebo 1 q; 6 q; 0,5 t

1. jazda: 4,5 t + 0,5 t2. jazda: 4 t 8 q + 1 q3. jazda: 4 t +750 kg + 0,75 q

4. jazda: 3 600 kg + 1 t 300 kg5. jazda: 2 t 3 q + 17 q 60 kg + 6 q6. jazda: 36 q + 9 q + 380 kg

Úloha 10

c)

Možných riešení je veľa. Príkladvhodný na skupinovú prácu.Najmä časť môže byť výzvoumedzi jednotlivými skupinami.

142. zošit

Pol pecňa má hmotnosť 1 kg.Celý peceň má hmotnosť 2 kg.

7 kg = 2 · 3 kg + 1 · 1 kg13 kg = 4 · 3 kg + 1 · 1 kg

1 kg = 1 · 12 kg = 2 · 13 kg = 1 · 34 kg = 1 · 3 + 1 · 15 kg = 1 · 3 + 2 · 16 kg = 2 · 37 kg = 2 · 3 + 1 · 18 kg = 2 · 3 + 2 · 19 kg = 3 · 310 kg = 3 · 3 + 1 · 111 kg = 3 · 3 + 2 · 112 kg = 4 · 313 kg = 4 · 3 + 1 · 114 kg = 4 · 3 + 2 · 115 kg = 5 · 316 kg = 5 · 3 + 1 · 117 kg = 5 · 3 + 2 · 118 kg = 2 · 919 kg = 2 · 9 + 1 · 120 kg = 2 · 9 + 2 · 1

1 kg

=

15 kg = 5 · 3 kg23 kg = 2 · 9 kg + 2 · 1 kg

21 kg = 2 1· 9 + · 322 kg = 2 · 9 + 1 · 3 + 1 · 123 kg = 2 · 9 + 1 · 3 + 2 · 124 kg = 2 · 9 + 2 · 325 kg = 2 · 9 + 2 · 3 + 1 · 126 kg = 2 · 9 + 2 · 3 + 2 · 127 kg = 1 · 2728 kg = 1 · 27 + 1 · 129 kg = 1 · 27 + 2 · 130 kg = 1 · 27 + 1 · 331 kg = 1 · 27 + 1 · 3 + 1 · 132 kg = 1 · 27 + 1 · 3 + 2 · 133 kg = 1 · 27 + 2 · 334 kg = 1 · 27 + 2 · 3 + 1 · 135 kg = 1 · 27 + 2 · 3 + 2 · 136 kg = 1 · 27 + 1 · 937 kg = 1 · 27 + 1 · 9 + 1 · 138 kg = 1 · 27 + 1 · 9 + 2 · 139 kg = 1 · 27 + 1 · 9 + 1 · 340 kg = 1 · 27 + 1 · 9 + 1 · 3 + 1 · 1

Úloha 11Úloha 12

b)

Úlohy patria do zlatého fondutzv. zábavných úloh, ale častosa vyskytujú aj na prijímacíchpohovoroch. V úlohe 11 jekreslenie ideálnym kľúčomk riešeniu, v úlohe 12 je takýmkľúčom trpezlivosť, najmäv časti .

152. zošit

2,5

18,5

11

5

22,715

4,65

32,85

6

6

12,5

7,36

4

1310 + 16 = 26

4,2 + 3,8 = 88 : 2 = 4

26 : 2 = 13

0,75

3 d 3 d

3,5

Úloha 1Znázornenie na číselnej osi dávažiakom možnosť pochopiť polohuaritmetického priemeru vzhľadomna čísla, z ktorých ho počítame.

162. zošit

73,82,7

6,125

4,952,17511,0

3,612 56

27,9656,911,4

59,60410,320

3372,42

6

6

4 · 4 – (2 + 3 + 7)4 · 35,5 – (15 + 30 + 70)4 · 6 – (4,5 + 2,8 + 13,7)4 · 21,9 – (26,4 + 13,8 + 35,2)

274

312,2

Úloha 3

Úloha 4

f)

e) f)

V príklade pozor na nulu.

V príklade a pozor na nuly!

172. zošit

Úloha 7Práca so štatistickými údajmi.Jedna z možností ich spracovaniavo forme tabuliek. Urobte sipodobnú štatistiku s polročnýmivýsledkami vašich žiakov.

182. zošit

96,784 : 18,4 = 5,26

Z jedného hektáta zobrali priemerne 5,26 t pšenice.

(347 + 350 + 300 + 377 + 360) : 5 = 1 734 : 5 =

Denne prišlo priemerne 346,8 žiaka.

346,8

200 : 10 = 2020 : 4 = 5

4 družstvá v 1 kole priemerne 20 gólov.1 družstvo v 1 kole priemerne 5 gólov.

prvé:druhé:tretie:štvrté:spolu:

– 13– 16– 19

– 48 = 200

= 248 : 4 = 62248

prvé:druhé:tretie:štvrté:spolu:

62 .......... 62– 13 = 4962

62 – 16 = 4662 – 19 = 43

200

sk.:

Úloha 10

Úloha 11

a)

b)

Úloha sa zdá byť bližšiachlapcom, ale neverte tomu.Dievčatá milujú hokej(/-istov).

Ktoré „priemerne“ má autorna mysli?Jeden z možných spôsobovriešenia.

Počítanie so skutočnými údajmidáva riešeniu náboj zaujímavosti,aktuálnosti a angažovanosti.Používajte kedykoľvek a kde-koľvek sa dá.

192. zošit

8,30 : 20 = 0,415 =. 0,42

Jedna figúrka stála priemerne 42 centov.

15 + 26,5 + 13,8 + 0 + 0,24 = 55,5455,54 : 5 = 11,10855,54 : 4 = 13,885

Karol – správneMartin – nesprávne (zabudol nulu)

135 + 125 = 260260 – 140 = 120

Ivan meria 120 cm.

34 · 165 = 5 6105 610 – (175 + 170) = 5 26434 – 2 = 325 264 : 32 = 164,5

Priemerná výška bude 164,5 cm.

Úloha 13

Úloha 14

Úloha 15

Nula je číslo ako každé iné.

Potrebujeme počítať priemernúvýšku každej dvojice?

Úloha vám môže ukázať, ako ktorýz vašich žiakov prenikol do pod-staty aritmetického priemeru.

Úloha 16

Úloha 17

Údaje si majú deti zistiť samy.Prekvapí ich, čo koľko stojí?

Geometrická podstata aritme-tického priemeru.

202. zošit

(16 + 12 + 14 + 8 + 18 + 10) : 6 == 72 : 6 = 13

9 9

212. zošit

skupina1234

priemer

po1822221820

ut20182523

21,5

st2515192521

št2620283026

pi16251624

20,25

priemer21202224

21,75

4. sk.3. sk.1. sk.2. sk.

Úloha 18

Časť a)

Časť b)

a) b)Časť c)

Časť d)

Jedna úloha, ktorá má v sebezakomponovaných niekoľko častí.Na celú úlohu sa môžeme pozeraťako na „miniprojekt“. Zahŕňa nie-koľko činností, s ktorými je dobré,aby sa žiaci postupne oboznamo-vali a učili sa ich realizovať.

Z pohľadu matematiky nevyžaduježiadne pojmy, fakty , ani postupy,ktoré sa žiaci na hodinách mate-matiky – či už v tejto časti, alebov predchádzajúcich častiach –naučili. Cieľom je, aby si utriediliinformácie, ktoré im úloha posky-tuje dosť neprehľadne v zadanía aby ich jasným spôsobom spra-covali – v tomto prípade vo formetabuľky. Tabuľku si musia „vymy-slieť“ sami.

Podľa vzoru treba doplniť ostatnéstĺpce. Ktorý spôsob spracovaniaúdajov je prehľadnejší – tabuľkav časti alebo graf v časti ?

Úlohu možno riešiť podobneako úlohu 17 na strane 20,alebo výpočtom.

Diskutujte o každom žiackomnápade. Nedovoľte nikomupovedať – neviem.

222. zošit

10 + 5 = 15 5 · 5 = 25 2 · 4 = 8

15 + 6 = 21 6 · 6 = 36 2 5 = 10·

21 + 7 = 28 7 · 7 = 49 2 · 6 = 12

Už asi tušíte, čo vás čaká.Máte pravdu – vezmite si kamien-ky a ukladajte. Veď aká by tobola pséfofória bez skutočnýchkamienkov?! A ak si k tomu uvia-žete aj tógu, žiaci budú na tútohodinu spomínať do koncasvojho života :).Viac inšpirácií a náročnejšieúlohy pre šikovných žiakovnájdete v knihe Peter Bero –Matematici, ja a ty.

232. zošit

NIETrojuholníkové číslo vieme zapísať ako ( + 1) · —;n n N

napr.:

3 + 6 = 9 =/ 10

+

trojuholník =štvorcové číslo

361 22541 616

1 413 721

základňa trojuholníka

849288

1 681

nstrana štvorca

635

2041 189

a

21 = 15 + 636 = 21 + 1555 = 45 + 1066 = 45 + 2191 = 55 + 36120 = 105 + 15136 = 91 + 45

Súčet dvoch po sebe idúcichtrojuholníkových čísel je číslo štvorcové.

n2

242. zošit

4

6

12

28

22

22

26 36 14

3

9

15

30

Úloha 1Obsah útvaru je číslo, ktoréhovorí, koľkými štvorcami s roz-merom 1 × 1 je pokrytá plochadaného útvaru. A o tom je tátoúloha, aj úlohy 2 a 3 na nasle-dujúcich stranách.

252. zošit20

32

26

41

48

28

34

22

28

262. zošit

272. zošit

Úloha 1

Úloha 2

Čím dlhšie budú vaši žiaci kresliťa vymýšľať, tým lepšie sa „naladiana prácu s plochou“.

Ako sa lepšie presvedčíme,že 1 dm má 100 cm ? Urobte sispolu aj meter štvorcový. Je toveľká zábava, môžete nám veriť!

2 2

282. zošit

100 · 100 = 10 000

1 ha = 10 000 m2

: 1 000 000

: 1 000 000

100 · 200 = 20 00010 · 10 = 100

20 000 : 100 = 200

Bolo to 200 árov.

6a = 6 · 100 m = 600 m

Pozemok musel mať aspoň 600 m .

2 2

2

8008

7

2,1

20

16

2003 000

5

0,5

5450

1040

4

100m

100 m 100m

100m

100m

: 100

· 100

: 100

· 100

Úloha 3

Úloha 5

Úloha 7

Vychádzajte zo vzťahov, ktoréste si ukázali pri dm a m . Disku-tujte o tom, či sa dá podobnevyrobiť km alebo hektár –a potom odvoďte vzťahy, ktoréplatia medzi jednotkami obsahu.Venujte tejto úlohe dostatočnúpozornosť, kreslite, zovšeobec-ňujte. Pochopenie týchto súvis-lostí je základom pre bezprob-lémové premeny jednotiekobsahu.

Môžeme tiež počítať, na koľkodesaťmetrových úsekov sa dajúrozdeliť strany obdĺžnika.

Koľko riešení má poslednýstĺpec?

2 2

2

292. zošit

500700

1 300400

9308 000 000

21 8003

40350

0,0740,35

dm2

m2

a

15

50 m2

3070 cm2

3 70015 m2

800700

220 000

140,7

5 000 0007

15900

8,71 580

0,20,5 ha

89 m2

100

16 500200 a

129 0000,8

7,50,04

dmk

2

ma

2

Úloha 10b)Príklad má viac riešení podľa

toho, v akých jednotkáchdopĺňame.

302. zošit

0,4 ha 30 m2

0,5 m2

>270 dm2

=

<6,5 m2 7 m2

dm2

m2

m2

cm2

dm2

dm2

350

7 000 c

5 000 00

m

m

m

2

2

2

=11 m2

=

>

cm2

cm2dm2

cm2

mm2

cm2

mm2mm2

11 m2

Úloha 11

Úloha 14

Je viac možností opravy, podľatoho, či opravujeme čísla,alebo jednotky.

Toto si opäť pýta titul „najlepšíodhadca roka“.

312. zošit

| |= 37 mm= 4 · 37 = 148 mm= 37 · 37 = 1 369 mm

ABoS

1

12

| |= 45 mm= 4 · 45 = 180 mm= 45 · 45 = 2 025 mm

KLoS

2

22

| |= 50 mm= 4 · 50 = 200 mm= 50 · 50 = 2 500 mm

PRoS

3

32

| |= 10,2 cmAB| |= 3 cmBC

S1 = 10,2 · 3 = 30,6 cm2

o1 = 2 · (10,2 + 3) = 26,4 cm| |= 4,5 cmEF| |= 7,1 cmFG

S2 = 4,5 · 7,1 = 31,95 cm2

o2 = 2 · (4,5 + 7,1) = 23,2 cm| |= 4,7 cmEJ| |= 3,7 cmJK

6 cm4 cm

S3 = 4,7 · 3,7 = 17,39 cm2

o3 = 2 · (4,7 + 3,7) = 16,8 cm

3 cm8 cm

2 cm12 cm

1 cm24 cm

2,5 cm9,6 cm

1,5 cm16 cm

7,5 cm3,2 cm

A B

CD

K L

MN

P R

ST

E F

GH

I J

KL

A B

CD

Úloha 1

Úloha 2

Napíšte si do každého štvorcana obrázku = 4 · , = .

Napíšte do každého obdĺžnikana obrázku = 2 · ( + ),

= .

o a S a · a

o a bS a · b

322. zošit

o 3 cm2

105 · 68 = 7 140 m23,77

2

· 8,23 = 195,627 1 =. 196 m40 · 20 = 800 m9 · 18 = 162 m

2

2

2

o 7 cm2

Futbal:tenis:hádzaná:volejbal:

Úloha 6Skúste sa ešte predtým, akobudete riešiť túto úlohu a žiacibudú vidieť rozmery ihrísk, pýtať:Ktoré ihrisko je väčšie – hádza-nárske alebo basketbalové?Zmestilo by sa tenisové ihriskodo našej triedy? A do našejtelocvične?Koľko volejbalových ihrísk sazmestí na jedno futbalové ihrisko?Ktoré z ihrísk môže mať iný roz-mer v každej dedine alebo meste– futbalové, hádzanárske, teni-sové?A veľa podobných otázok. Potomsi môžete odpovede zistiť presnepočítaním s danými údajmi.

332. zošit

Dankina izba .......Jankina izba ........

Jankina izba je väčšia.

3,3 · 3,9 = 12,87 m3,6 · 3,6 = 12,96 m

2

2

99 : 9 = 11 cm

Sa

= 8 · 2 = 16 cm= 4 cm

2

7 575 : 101 = 75Šírka futbalového ihriska je 75 metrov.

S = 140 · 120 = 16 800 cm = 1,68 m2 2

10 · 10 = 100 cm120 · 100 = 12 00012 000 : 100 = 120 bielych

2

cm2140 : 10 = 14120 : 10 = 1214 + 11 + 13 + 10 = 48 hnedých

140 cm

120 cm100 cm

120 cm

25 : 2,5 = 10 cm

Sa

= 4 · 9 = 36 m= 6 m

2 Sa

= 5,4 · 9,6 = 51,84 m= 7,2 m

2

Úloha 9Vezmite si štvorcovú sieť a kreslite.Odoberajte, pridávajte, jednustranu obdĺžnika zmenšujte, dru-hú zväčšujte. Učte vašich žiakovexperimentovať a dajte im istotu,že každý názor, ktorý vyslovia,bude vypočutý a nikto sa im zaňnebude posmievať, ani ho zne-hodnocovať iným spôsobom.Len tak docielite, že sa žiacinebudú obávať povedať svojemyšlienky a v triede vždy vzniknezaujímavá a podnetná diskusia.

342. zošit

21 cm · 29,6 cm = 621,6 cm2,7 cm · 2,2 cm = 5,94 cm

2

2Strana:obdĺžnik:

= 621,6 – 5,94 = 615,66 cmS 2

5,2 · 2,4 = 12,48 m12,48 : 2 = 6,24Norbert musí kúpiť 7 plechoviek farby.

2

3 · 6 = 18 m1

Otec porebuje 60 dosiek.

2

· 0,3 = 0,3 m18 : 0,3 = 60

2

abS

= 15 cm= 15 : 2 = 7,5 cm= 15 · 7,5 = 112,5 cm2

abS

= 26 cm= 26 + 7 = 33 cm= 26 · 33 = 858 cm2

abS

= 12 cm= 12 – 5 = 7 cm= 12 · 7 = 84 cm2

352. zošit

16

16

16

16

16

16

Cieľom úloh na tejto a nasledujú-cich dvoch stranách je, aby si žiaciuvedomili, že obvod obdĺžnikaa obvod „mnohouholníka, ktorýsa dá presne vložiť do obdĺžnika“,sú rovnaké. Ale pre ich obsahy toneplatí.

362. zošit

15

11 7

>

S = 9

15 15

11

> >

S = 11 S = 8

Z rohov „odstrihneme“v súčte 7 štvorčekov.

372. zošit

S = 3 · 10 + 1 · 5 = 35 m

= (10 + 4) · 2 = 28 m

2

o

S = 13 · 11 – (5 · 3 + 2 · 2 + 7 · 1) == 143 – 26 = 117 m = 1,17 a

= (13 + 11) · 2 = 48 m

2

o

S = 3 · 4 + 6 · 3 == 12 + 18 = 30 m

= (4 + 9) · 2 = 26 m

2

o

S = 9 · 15 + 4 · 28 + 2 · 17 == 281 m = 2,81 a

= (28 + 15) · 2 == 43 · 2 = 86 m

2

o

9 m

Úloha 7Úloha 8Možností, ako vypočítať obsahkaždého geometrického útvaruv obidvoch úlohách, je niekoľko.Podľa toho, ako ich budú žiaci„rezať“ na obdĺžniky. Diskutujteo každom novom riešení a ne-chajte žiakov, aby posúdili, či jesprávne, alebo nie.

382. zošit

7 · 4 = 28 m

3 · 4 = 12 dm

4812164n

Obvod sa zväčší o 28 cm.

Obvod sa zmenší o 12 cm.

Chceme, aby žiaci riešením úlohprišli na zovšeobecnenie: ak sastrana štvorca zmení o x, takobvod štvorca sa zmení o 4x.Pre každého žiaka bude to zo-všeobecnenie inak všeobecneformulované. Niektorí prídu ibapo úro-veň: ak sa strana zväčšío dve, tak sa obvod zväčší o 4.Iní prídu až na úroveň: obvodštvorca sa zväčší o štvornásoboktoho, o čo sme zväčšili stranuštvorca.

392. zošit

(2 + 4) · 2 = 12 dm

Obvod sa zväčší o 12 dm.

S = (230 + 470) · 2 = 1 400 mmS = (300 + 420) · 2 = 1 440 mm

Obvod sa zväčší o 40 mm.

1

2

4812164n

(2 + 3) · 2 = 10 cm

Obvod sa zväčší o 10 cm.

(3 + 5) · 2 = 16 cm

Obvod sa zmenší o 16 cm.

Podobné úvahy, ako sme robiliso štvorcom, teraz robíme s obdĺž-nikom. Na začiatok meníme dĺžkystrán obdĺžnika o rovnakú vzdiale-nosť, v záverečných úlohách o rôz-nu vzdialenosť. V prípade obdĺžnikasa zovšeobecňuje náročnejšie akov prípade štvorca. Dobré bude, akbudú žiaci vedieť vyriešiť a opísaťkonkrétne úlohy.

402. zošit

S1 = 6 · 6 = 36 m

900 : 36 = 25 (5 · 5 = 25)

2

S1 = 30 · 30 = 900 m

Obsah sa zväčší 25-krát.

2

491625n2

S a · aS a a a · a S

1

2 1

== 8 · 8 = 64 · = 64

Obsah sa zväčší 64-krát.

SS

1

2

= 18 · 18 = 324 dm= 6 · 6 = 36 dm

234 : 36 = 9 (3 · 3 = 9)

Obsah sa zmenší 9-krát.

2

2

S a · aS a a

a · a S

1

2

1

== ( : 2 ) · ( : 2) =

= : 4 = : 4

Obsah sa zmenší 4-krát.

S1 S1 S1 S1

Sa = 4 · S1

Sb = 9 · S1

Sc = 16 · S1

Sd = 25 · S1

Ako sa bude meniť obsah štvorcapri zmene dĺžky jeho strany?Najprv nechajte žiakov tipovaťa potom sa dajte do kresleniaa počítania.

412. zošit

S1 = 16 · 24 = 384 dm

384 : 32 = 12 (2 · 6 = 12)

2

S1 = 8 · 4 = 32 dm

Obsah sa zmenší 12-krát.

2

491625n2

3 4 = 12

Obsah sa zmenší 12-krát.

·

SS

1

2

= 6 · 5 = 30 cm= 12 · 1 = 12 cm

30 : 12 = 2,5

Obsah sa zmenší 2,5-krát.

2

2S a · bS a b a · a S

1

2 1

== · 2 · : 2 = =

Obsah sa nezmení.

A to isté aj s obdĺžnikom.Kreslite, počítajte, zovšeobecňujte.Individuálne, vyhovujúco úrovnimomentálnych vedomostía schopností každého žiaka.

422. zošit

Úloha 1Snažte sa spolu so žiakmi na kaž-dom obrázku nájsť čo najviacuhlov. A potom sa poozerajteokolo seba a hľadajte uhlyv triede, v škole, v okolí školy, ...

432. zošit

<) LMK<)<)

MKLKLM

<) AVB<)<)

XYZUTS

M, K, L, V, Y, T

A

B

C

D

O

P

R

Úloha 3

Úloha 4

Úloha 6

Upevňujeme terminológiu: uhol,rameno uhla, vrchol uhla.

Uhol je časť roviny. Veľa žiakov sičastokrát myslí, že uhol sú „tie dvepolpriamky vychádzajúce z jedné-ho bodu“.

Žiaci sa prvýkrát stretávajú s pís-menami gréckej abecedy. Dajteim možnosť nájsť aj iné písmená,zistiť, ako sa volajú. Vedeli byprečítať grécky text? A vy? :)

442. zošit

Po pravej strane je menší uholod roviny ako vľavo.

Je to veža a), lebo má najväčšiuodchýlku od zvislého smeru.

55° 28°

12° 8°7°

a) b)

Úlohy môžu slúžiť ako vstupnámotivácia pre meranie veľkostiuhla.

výškový uholhĺbkový uhol

Na obrázku môžete vysvetliťžiakom pojmya . Konkrétne rieše-nie úloh vyžaduje zručnosť v me-raní veľkosti uhla uhlomerom,resp. zručnosť v prenášaní uhlapomocou kružidla. V úvode ka-pitoly nechajte žiakov odhadnúťpolohu lyžiara a neskôr, po zvlád-nutí spomenutých zručností, simôžu svoj odhad overiť pomo-cou kružidla.

Úloha 5

452. zošit

130°

1 23 4

30° 45°

70° 110° 135°

150°

30°

55°

158°

171°

Úloha 7Najprv si uhly pomenujte a potomodčítajte na uhlomere ich veľkosť.

462. zošit

100°140°180°40°80°40°

B

A

U

X Z

ST

V Y

Úloha 9a) b)c)

d)

, správne,vrchol uhla nie je v stredeuhlomera,jedno rameno uhla neprechá-dza nulou na uhlomere.

472. zošit

30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 330360 – 330 = 30

° ° ° ° ° ° °° ° °

30° 180° 30 + 15 = 45° 135°

30°

|<) |= 90ADC|

°<) |= 28°

|<) |= 56°|<) |= 270°

CDBBSCDCB

|<) |= 62DBC|

°<) |= 124°

|<) |= 180°DSCASC

30°55°

82°105°

180°

B

CD E

F

G

Úloha 13

Úloha 14

Veľkosť uhla GVA je 330°, alebo30°. Trénujeme rysovanie uhladanej veľkosti s použitím uhlomera.Môže sa stať, že žiaci nebudú„klásť“ uhly jeden vedľa druhého,ale tak, že jeden bude podmno-žinou druhého (neodporuje tozadaniu úlohy). Vyzvite ich, abysvoj postup demonštrovali predostatnými, diskutujte o tom, čiich postup rysovania zodpovedázadaniu alebo nie. Porovnajteveľkosť uhla GVA.

Všeobecne máme vždy na mysliten menší z dvoch uhlov, ktorýzvierajú hodinové ručičky.

482. zošit

60 1

120' 180' 240' 300' 360' 420' 480' 540'

2° 4° 1° 5° 3° 7° 6° 9° 8°

4 105 183 425 45

2 156 422 341 5

° '° '° '° '

° '° '° '° '

329''

''

''

''

4131 2523 187

2782083 0076 008

8° '° '° '° '

° '° '° '° '

302 591 380 38

3 397 112 451 17

437''

''

''

''

5021 9953 783

5486153 694732

A zrazu tu máme šesťdesiatkovúsústavu – a kopec problémovpre žiakov. Pátrajte spolu po tom,prečo jednotky času menímepráve v šesťdesiatkovej sústave.Komu za to vďačíme? Prečonemá hodina 100 minút a minúta100 sekúnd? Ako by potom vyze-rali naše hodiny? Ako to, že časmenší ako sekundy už potommeriame na desatiny, stotinya tisíciny sekundy?

492. zošit

121°197°144°

99°

113°131°110°133°

69°132°66°

55°

5°123°158°

66°

120°130°90°

98°

1111

° 3'° 18'° 34'° 9'

72'185'

''

88113

38°104°

34°117°

28°41°

88°143°

166°166°81°67°

Vedľa úloh je priestor na písomnépočítanie sčítania a odčítania.Ak uznáte za vhodné, počítajtena kalkulačke.

Dôležité príklady, pripravujú násna operácie s veľkosťami uhlovna nasledujúcej strane.

Úloha 4

502. zošit

4°30'23°20'

18°50'70°30'

130°90'131°30'

137°72'–79°54'

58°18'

194°96'195°9'

64°82'65°22'

92°66'–52°22'

40°44'

29°78'30°18'

51°83'–38°49'

13°34'

114°24'69°50'119°41°10'

60

104° 83' – 39° 36' = 65° 47'93° 73' – 58° 28' = 35° 45'215° 65' – 112° 36' = 103° 29'

120° 60' – 93° 30' = 27° 30'

22°10'35°35'

52°8'72°21'

Pri počítaní týchto úloh odpo-rúčame používať kalkulačku.Pozornosť žiakov má byť plnesústredená na premenyv šesťdesiatkovej sústave.

512. zošit

33° 45°

31°

72°

58° 79°

102°66°

+ +

++

+ +

–

–

Úloha 10

Úloha 11

Žiaci môžu zostrojiť uhol, ktorý jesúčtom dvoch daných uhlov dvomispôsobmi:

Vypočítajú si súčet uhlova potom narysujú uhols touto veľkosťou.Narysujú obidva uhly a potom„súčtový“ uhol zostroja pre-nášaním uhlov.

Diskutujte o výhodách, alebonevýhodách každého postupu.

Prečo je v tejto úlohe výhodnejšiepoužiť metódu prenášaním uhlov?Potrebujeme tu vôbec uhlomer?

1.

2.

522. zošit

30°90°25°33°

85°101°20'149°20'272°45'

69°30'100°25'26°10'

33°10'

231° 252°300°103°180°

308°100°39°

312°212°28°25°

V S

60°

Úloha 14Úloha 15Upevňujeme fakt, že plný uholmá veľkosť 360°.

532. zošit

|<) ABC|=|<) BCD|==|<) CBD|=|<) DAB|

|<) HEF|=|<) FGH||<) EFG|=|<) GHE|

|<) MLK|=|<) MKL|

Úloha 16

Úloha 17

Okrem toho, že precvičujemeprenášanie uhlov, je úloha aj pro-pedeutikou podobnosti geomet-rických útvarov. Upozornímežiakov na to, že hoci sa veľkostidĺžok úsečiek zdvojnásobujú,veľkosti uhlov sa nemenia!

Pomaly začíname budovať skla-dačku vlastností trojuholníkova štvoruholníkov. Cez tréningprenášania uhlov pomocou kru-židla necháme žiakov postupnevnímať vlastnosti vnútorných uhlovtrojuholníkov a rovnobežníkov.Je dobré, ak žiaci zistené faktysformulujú slovne. Nemusia saich učiť naspamäť! Ich čas prídeneskôr.

542. zošit sa pretínajú v jednom bode

oo

o

Úloha 2Podarí sa žiakom narysovať osiv trojuholníkoch tak, aby sa pretliv jednom bode? Zisťujte, či tátovlastnosť platí v každom troj-uholníku (rôznostrannom,rovnoramennom, pravouhlom,tupouhlom, rovnostrannom) .Zovšeobecnite.

552. zošitštvorca a kosoštvorca

Úloha 3A ako to bude s osami vnútornýchuhlov v štvoruholníkoch? Pýtajtesa žiakov ešte predtým, ako budúrysovať. Potom rysujte, pozorujtea urobte závery.

562. zošit

80° 230°30°

B1

B3

B2

Úloha 4

Úloha 5

Pripomeňte si so žiakmi, že osuhla delí uhol na dve zhodnéčasti.

Nechajte žiakov preštudovať siobrázkový návod a potom nechopíšu slovne, ako budú postu-povať.Naučte sa, že tento postuppoužívame pri rysovaníniektorých uhlov bez uhlo-mera (30°, 45°, 15°...).

572. zošit

30°= 60°: 215°= 30°: 245°= 30°+ 15°75°= 60°+ 15°

120°= 60°· 2135°= 120°+ 15°105°= 120°– 15°

= 112°112 : 2 = 61°

= 44°44 : 2 = 22°

= 90°90 : 2 = 45°

15°

15°

Úloha 6

Úloha 7

Narysovať napríklad 15 uhol sadá viacerými spôsobmi. Nechajtežiakov, nech ich vymýšľajú a každýsi spolu vyskúšajte. Veľkosť naryso-vaného uhla overte uhlomerom.

Náročnejšia úloha. Tu už treba po-stup rysovania dopredu premyslieťa použiť pri tom niekoľko techník– delenie pomocou osi uhla,prenášanie uhlov, sčítanie, aleboodčítanie uhlov. Nemyslíme si,že toto musia zvládnuť všetci žiaciv triede. Kým vy budete s triedouriešiť , najšikovnejší samôžu zabávať s touto úlohou.

°

úlohu 6

582. zošit

X

x = 6 cmy = 9 cm

z = 7 cm Y

Z

X Y

Z

K

A

N

D

L

B

M

C

Y

o

o

o

Pri týchto konštrukčnýchúlohách klaďte dôraz na čistoturysovacích pomôcok a na za-strúhané ceruzky. Môžete žiakovzačať učiť robiť zápis a ukážte imvýhodu náčrtu. Slovne si sformu-lujte postup konštrukcie a potomnarysujte daný geometrický útvar.

592. zošit

štyri

zelená

zelenáčervenáčervená

modrá

modrá

Úloha 1

Úloha 2

Je dôležité, aby žiaci uhly vyfarbo-vali ako časť roviny, teda nevyzna-čovali iba polpriamky, ktoré súramenami uhla. Tiež je podstatné,aby sa nesústredili iba na časťroviny ohraničenú kružnicou,pomocou ktorej označujeme uhol.

Každá priamka rozdelí rovinuna dva priame uhly.

602. zošit

Úloha 4

Úloha 7

Niektoré zadania majú jedno,niektoré dve, niektoré viac rieše-ní. Diskutujte o tom so žiakmi.

Pravý strelecký uhol bude maťfutbalista na priesečníku Táleso-vej kružnice a osi bránkovej čiary.Smerom bližšie k bráne od tohtobodu je tupý strelecký uhol,smerom ďalej od brány je ostrýstrelecký uhol. Na bránkovejčiare je strelecký uhol najväčší.Žiaci riešia úlohu skúšaním,uvažovaním, diskusiou.Úloha je propedeutikoupojmu .Tálesova kružnica

Úloha 10Najmä posledné zadanie je hodnédiskusie! Dá sa vôbec narysovaťos plného uhla?Ak žiaci každé tvrdenie podložianarysovaným obrázkom, peknesi precvičia rysovanie osi uhla.

612. zošit

za 30 minút

6 · 60 = 360 minút

za 15 minút

3 · 60 = 180 minút

ostréostréostré

pravétupé

622. zošit

KLM71° ostrý

77° ostrý90° pravý90° pravý

pravouhlý

tupouhlýostrouhlý

ostrouhlý

EFGRSTPQR

71°

69°40°

57°

90° 33°

27°90°

63°

35°

107°

38° 77°77°

26°

180°180°180°

180 stupňov

Úloha 2Ďalší poznatok do mozaikyo vlastnostiach trojuholníkov.

632. zošit

XYZGHIUVW KLM

ABCPQR

90°

45° 45°

41°

80°59°

60°

28°

76°

76°

120°

30°

58° 90°

32°

30°

60°

60°

dve stranyvšetky tri strany

nemá dve strany

Úloha 3Cieľom je, aby si žiaci uvedomili,aké typy trojuholníkov môžua nemôžu existovať.Úlohu môžete využiť aj na pre-cvičenie merania veľkosti uhlovpomocou uhlomeru, resp.na porovnávanie veľkosti uhlovpomocou kružidla (prenášaním).

642. zošit

neexistuje neexistujeM

D O

Úloha 4Úloha 5Úloha 6Nie každé zadanie má riešenie.Žiaci si musia zvyknúť na to,že dostávajú aj úlohy, ktorénemajú riešenie. A že práve tátoodpoveď – „nemá to riešenie“ –je riešením úlohy.

652. zošit

<)<)<)<)

AYBCYDDXFEXG

<)<)<)<)

CYABYDDXEGXF

<) a <)EBA ABF

<) a <)ABE FBC

<) a <)EBC CBF

<) a <)ACG HCD

<) a <)HCD DCG

<) a <)ABF EBD

180° – 45° = 135°180° – 98° = 82°180° – 67° = 113°180° – 112° = 68°180° – 31° = 149°

Veľkosť 50°:

Veľkosť 130°:

135°82°

113° 68° 149°

A

B

C D

E

F

G

X

Y

A

B

C

D

E

F

G

H

V prvej úlohe zistíme, že priamkapretínajúca dvojicu rovnobežiekvytvára uhly s rovnakými veľkos-ťami. Pomenujeme si tieto dvojicea v ďalších úlohách tieto dvojicevyhľadávame využívame ichvlastnosti.

662. zošit

48° 48°132°

132°48° 48°

132°

132°48° 48°

132°

132°48° 48°

132°

132°

75°105°

75°110°

70°110°

70°

145°145°

35°

= 90°= 55°

= 35°= 90°

= 55°= 35°

Úloha 6Keď budú mať žiaci určené veľ-kosti všetkých uhlov na obrázku,môžete ich upozorniť na rovnosťsúčtu dvoch vnútorných uhlovtrojuholníka a vonkajšieho uhlapri treťom vrchole.

672. zošit

Vrcholový uhol k ostrému uhluje ostrý uhol.

Susedný uhol k pravému uhluje pravý uhol.

81°36°

20°

70°

80°

682. zošit

Nie

V A

B

Trisekcia uhla je dávny problém,či je možné rozdeliť ľubovoľnýuhol na tri zhodné uhly lenpomocou kružidla a pravítka.Napriek množstvu približnýchriešení, ktoré vytrvalí riešitelianašli, treba povedať, že úlohaje neriešiteľná. V triede môževzniknúť zaujímavá diskusia,pretože pre niektoré veľkostiuhlov dáva tento postup dobrériešenie. Nechajte žiakov argu-mentovať a presviedčať ostatnýcho správnosti svojho postupu.

692. zošit

702. zošit

A B C D C A B D D A B CB A C D

A B D C C A D B D A C BB A D C

A C B D C B A D D B A CB C A D

A C D B C B D A D B C AB C D A

A D B C C D A B D C A BB D A C

A D C B C D B A D C B AB D C A

K E S ŽK E Ž S

E S K ŽE S Ž K

Ž S K EŽ S E K

S K E ŽS K Ž E

E K S ŽE K Ž S

Ž E K SŽ E S K

S E K ŽS E Ž K

K Ž S EK Ž E S

E Ž S KE Ž K S

Ž K E SŽ K S E

24

30

PRST, PRTS, PSRT, PSTR, PTRS, PTSR

KKLOOKKOLOKKOOLKLKOOKLOKOKLOOK

KOKLOKOKOLKOLKOKOLOKKOOKLKOOLK

LKKOOLKOKOLKOOKLOKKOLOKOKLOOKK

OKKLOOKKOLOKLKOOKLOKOKOKLOKOLK

OLKKOOLKOKOLOKKOOKKLOOKLKOOLKK

RPST, RPTS, RSPT, RSTP, RTPS, RTSPSPRT, SPTR, SRPT, SRTP, STPR, STRP

TPRS, TPSR, TRPS, TRSP, TSPR, TSRP

S Ž E KS Ž K E

Spôsoby riešenia kombinato-rických úloh sú rôznorodé.Niekomu vyhovuje vypisovaniedo tabuľky, niekomu kresleniegrafov... Preto nepovažujte našespôsoby riešenia jednotlivých úlohza jediné správne. Iba sme vámchceli ukázať myšlienku riešeniaa samozrejme aj výsledky.Podstatné je, aby sa žiaci zabavilis týmito príkladmi. To znamená,aby ste ich nechali bádať, kresliť,vypisovať, aby mohli sami objaviťcestu k cieľu, prípadne patterny,ktoré sa dajú použiť pri riešeníjednotlivých typov úloh. Niekto-ré úlohy iba jednducho trénujúvypisovanie možností, riešení jeveľa a nie je potrebné, aby steod žiakov žiadali, aby vypísalivšetky. Môžu však viesť k tomu,že sa žiaci pokúsia zistiť, koľkoriešení je bez toho, aby ich mu-seli všetky vypísať.

712. zošit

O = operenci b-p

X = OLÉ

napr.:6 pravých modrých + 5 pravých zelených + 1 = 12 rukavícAž teraz je istota, že bude pár.

J-T-e-mJ-e-T-m

Stačí uspriadať iba 1, 2 a 4, potom pridať 3 na tretie miesto.

124142

12341432

214241

21342431

412421

41324231

J-T-m-eJ-m-T-e

T-J-m-eT-m-J-e

8 možností

T-J-e-mT-e-J-m

BAHXBAXHBHAXBHXA

BXAHBXHA

ABHXABXHAHBXAHXB

AXHBAXBH

HBAXHBXAHABXHAXBHXABHXBA

XBAHXBHAXABHXAHBXHBAXHAB

O = operenci p-b

12 možností

4 · 3 · 2 · 1 = 12 možností

3 · 2 · 1 = 6 možností

tzO tzOtOz tOz

ztO ztOzOt zOt

Otz OtzOzt Ozt

Úloha 5

Úloha 6

Na bociana a papagája sa poze-rajte ako na jedno zviera, a potomvýsledok zdvojnásobte, lebo onidvaja majú dve poradia.

Rovnaká myšlienka ako v pred-chádzajúcej úlohe, ale písmenká

, , chceme mať iba v jednomporadí.O L É

722. zošit

Stačili im 3 podania rúk.

Majiteľa zmenilo 12 fotografií.

10 podaní

6 princezien áno 5 princezien nie

Trvalo im to asi 10 sekúnd.

D1

R4

P4

P4 P4

R2

P2

P2 P2

R1

P1

P6

P1 P1

R5

P5P5 P5

R3

P3P3 P3

D2

D3 D4

Úloha 10

Úloha 12

Úloha 11Úloha 13Tento typ úloh sa veľmi dobrerieši kreslením. Dôležité je roz-lišovať význam spojníc medzibodmi. Napr. pri drakoch máspojnica hodnotu 2 – dve foto-grafie, pri podaní rúk u Janovhodnotu 1 – jedno podanie.

Samozrejme počítame s tým,že radcovia dodržiavali dvornúetiketu a nikdy si nepodávali rukysúčasne dve dvojice radcov :).

732. zošit

Prebehlo 32 súbojov.

Š1Š2Š3Š4Š5Š6

Š1 Š2 Š3 Š4 Š5 Š615 · 2 = 30 zápasov

30 · 0,5 = 15 hodín

Celý turnaj trval 15 hodín.

10 zápasov

B – AC – AD – AE – A

C – BD – BE – B

B – C

D – CE – C

B – DC – D

E – C

B – EC – ED – E

×××××××

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

2. kolo

1. kolo

Úloha 14Voľné miesta v tabuľke by sadali využiť na odvetné zápasy.Tak ako to je v nasledujúcej úlohe.

742. zošit

1, 2, 3, 42, 3, 51, 4, 5

1, 2, 4 6 čísel2, 2, 2 1 číslo1, 1, 8 3 čísla

Nepárne cifry: 1, 3, 5, 7, 9 – 5 možnostíSpolu je to 5 · 5 · 5 = 125 čísel.

Párne cifry: 0, 2, 4, 6, 8 – 4 možnosti a nulaSpolu je to 4 · 5 · 5 = 100 čísel.

Nie, lebo 0 nemôže byť na mieste stoviek.

Štvorciferných čísel: 9 · 10 · 10 · 10 = 9 000Štvorpísmenových slov: 24 · 24 · 24 · 24 = 331 776

8888 1 možnosť*888 8 možností8*88 9 možností88*8 9 možností888* 9 možností

Spolu 36 možností.

1, 2, 71, 92, 83, 74, 6

24 čísel bez núl6 čísel bez núl6 čísel bez núl

6 čísel bez núl2 čísla bez núl2 čísla bez núl2 čísla bez núl2 čísla bez núl

Plus čísla z nich vytvorenépridaním ľubovoľného počtu núl.

Spolu 10 čísel.

V niektorých úlohách nám celýsystém narúša číslica nula, ktoránemôže byť ako prvá cifra hľa-daných čísel. Treba to žiakompripomínať, pretože na to občaszabúdajú.

752. zošit

1, 0, 0 1001, 0, 1 110, 1011, 0, 2 102, 120, 201, 2101, 0, 3 103, 130, 301, 310

1, 1, 1 1111, 1, 2 112, 121, 2112, 0, 0 2002, 0, 2 202, 2203, 0, 0 3004, 0, 0 400 20 čísel

Nepárne: 5 · 5 = 25 číselPárne: 4 · 5 = 20 čísel

Viac je tých s nepárnymi ciframi,pretože nula nemôže byť na mieste desiatok.

Vierka sa môže obliecť 10 spôsobmi.

11 snehuliakov.Pravdu mal Maťko.

MZB

BM

Č

BM

Z

ČMB

BMČ

ČZB

BZČ

MHB

ČHB

BHČ

MZČ

MHČ

BČ

Z

BZ

Č

MČ

B

MČ

Z

MZ

B

MZ

Č

ZM

B

ZM

Č

ZČ

B

Úloha 26Niektorí z vašich žiakov budúvyfarbovať, niektorí budú radšejšpekulovať, pretože sú „leniví“.Ktorá skupina nájde skôr riešenie?Ktorej skupine sa budú lepšie riešiťpodobné úlohy s väčším počtommožností?

762. zošit

J:A1:0

1:1 2:02:1 1:2 2:12:2 2:2 2:23:2 3:2 3:2

KatkaZuzkaEvka

12345

Ši-Pr

Mi-Z

Dostaneme pomaranč a zmrzlinu.

N-Č-BN-Č-JN-B-JČ-B-J

Mamička mohla pripraviť 4 rôzne balíčky.

PrŠiPoMiZ

Po-Pr-Mi

Katka – červenáZuzka – modráEvka – zelená

č°××

m×°°

°°

°°°°°

°°

°

°°

z°×°

J:A0:1

1:1 0:22:1 1:2 1:22:2 2:2 2:23:2 3:2 3:2

Zápas mohol mať6 rôznych priebehov.

772. zošit

D1-D2-Ch1D1-D2-Ch2D1-D2-Ch3D1-D2-Ch4

Dajú sa vytvoriť 4 rôzne družstvá

AA, AB, BA, BB – 4 možnosti111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 – 8 možnostíAA, AB, BA, BB – 4 možnosti

Spolu je to 4 · 8 · 4 = 128 možností

2-3-4 – platí trojuhol. nerovnosť2-3-5 – neplatí2-3-6 – neplatí2-4-5 – platí2-4-6 – neplatí

Paličky je možné vybrať 7 spôsobmi.

čierny

2-5-6 – platí3-4-5 – platí3-4-63-5-64-5-6

– platí– platí– platí

Úloha 33

Úloha 34

Všimnú si vaši žiaci upozornenie,ktoré má pre nich naša postavička?Alebo budú bez rozmýšľania hľadaťvšetky trojice zo zadaných dĺžok?

Tradičná úloha založená na úvaheposledného mudrca. Keby maliobaja mudrci pred ním čierneklobúky, vedel by, že musí maťna hlave biely klobúk. Teda prvý,alebo druhý musia mať biely klo-búk (alebo obaja). A preto iba akstredný videl, že mudrc pred nímmá čierny klobúk, vedel, že onmusí mať biely. Ak by mal prvýna hlave biely klobúk, strednýby mohol mať aj biely aj čierny.

782. zošit

1 1 2 1

1 1

1

1

1 2

1

1

1

4 14

28

1

1 52

1

1

1

1

4

10

3

3

4

1

1

3 9

14

14

1

1 41

1

3

1 1 1 2

1 1

1

2 5

5

1

1 3

1

2

2

2

3

3

3

66

10

2 3 3 6

4220

4

10

Môžete kresliť všetky cesty,ale pri komplikovanejších úloháchsa vo svojich obrázkoch stratíte.Efektívnejšie je napísať si ku kaž-dej „križovatke“, koľkými spôsob-mi sa k nej môžeme dostať a taktosa posúvať zľava doprava.

792. zošit

Zhora:Zdola:

A naopak. Spolu 16 močností.

Príchute: A, B, C, D, E, FDvojice: k príchuti A – 5 na výber;

k B – 4; k C – 3; k D – 2; k E – 15 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 rôznych chutí...

3 farby:4 farby:5 farieb:6 farieb:...

3 · 2 · 1 =4 · 3 · 2 · 1 =

5 · 4 · 3 · 2 · 1 =6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 =

6 veží24 veží120 veží720 veží

P-šK-s

P-Kš-s

P-sK-š

PK-š-s

šP-K-s

KP-š-s

sP-K-š

všetcinikto

Úloha 2Ukážka riešenia je pre zmiešavaniedvoch príchutí. Ak máte dobrýžalúdok, tak môžete zmiešať ajtri príchute – to je 20 možností,alebo štyri – 15 možností,či päť – 6 možností.