zÜmler˜isabetyayinlari.com/wp-content/uploads/2018/10/... · 2018. 10. 22. · 35 adımda...

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ

285

ADIM 01

1. 4çiftsporve3çiftgünlükayakkabıdanherhangibiri4+3=7farklı

şekildeseçilebilir.

2. 1kalemseçimi3+4+2=9farklıyoldanyapılabilir.

3. 1çeşittost,1çeşitsıcakiçecekve1çeşittatlıseçimi4.4.3=48farklı

şekildeyapılabilir.

4. 1.bilye5kutuya

2.bilye4kutuya

3.bilye3kutuyaatılabileceğinden3bilye5kutuya5.4.3=60farklı

şekildeatılabilir.

5. AdanBye3,BdenCye2farklıyololduğundanAdanCye3.2=

6farklıyoldangidilebilir.

6. a.Sınava katılanherkes için başarılı olmaveyabaşarısızolma

gibi2sonuçvardır.

1.kişiiçin2sonuç

2.kişiiçin2sonuç

3.kişiiçin2sonuç

10.kişiiçin2sonuç

olduğundansınav210farklışekildesonuçlanabilir.

b.1.likiçin10aday

2.likiçin9aday

3.lükiçin8aday

10.lukiçin1aday

olduğundansınavsonucunda10.9.8...1=10!farklısıralamaoluşur.

7. Başkanseçimiiçin10adayyardımcılıkiçinde9adayolduğundan

başkanveyardımcıseçimi10.9=90farklışekildesonuçlabilir.

8. Ortadakikoltukboşkalacağından

1.kişi4koltuğa

2.kişi3koltuğa

3.kişi2koltuğa

4.kişi1koltuğaoturabilir.

Dolayısıyla4kişi4.3.2.1=24farklışekildeoturabilir.

9. 3

2

1

Boyamaiçin

1.satırdan3kare

2.satırdan2kare

3. satırdan 1 kareseçilebi-

leceğinden

3.2.1=6farklıboyamaya-

pılabilir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

286

CEVAP ANAHTARLARI

10. a. 7 6 5 4 =840kelime

b. 1 6 5 4 =120kelimeyazılabilir.

b

c. 6 5 4 6 =720kelimeyazılabilir.

a

b

c

e

f

g

d. 1 5 4 1 =20kelimeyazılabilir.

a c

e. 2 6 5 4 =240kelimeyazılabilir.

a

e

f. 6 5 4 2 =240kelimeyazılabilir.

a

e

11. a. 5 5 4 3 =300sayıyazılabilir.

1

2

3

4

5

b. 4 3 2 3 =72sayıyazılabilir.

1

3

5

c.0ilebitençiftsayılar

5 4 3 1 =60tane

0

2veya4ilebitençiftsayılar

4 4 3 2 =96taneolduğundan60+96=156tane

çiftsayıyazılabilir.2

4

d. 3 5 4 3 =180sayıyazılabilir.

1

2

3

e.2400ile3000arasında

1 2 4 3 =24sayı

2 4

5

3000denbüyük

3 5 4 3 =180sayıolduğundan2400denbüyük

24+180=204tanesayıyazılabilir.3

4

5

f.Birlerbasamağı0olan

Birlerbasamağı0olan+birlerbasamağı5olan

5 4 3 1+

4 4 3 1 =60+48=108

sayıyazılabilir.0 5

12. 2 4 3 =24sayısayıyazılabilir.

3

4

13. 1 3 2 1 3 =18tanekelimeyazılabilir.

A H

M

E

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

287

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 02

1. 6!=720olduğundan

2n+2=6

n=2olur.

2. !!

!!

!

. . !

!

. !

57

78 7 6

7

8 7

5

5+ = +

=42+8

=50olur.

3. !

! !!

! . !9

9 109

9 10 9+=

+

!

! ( )

9

9 1 10=

+

=11olur.

4. n!=10.(n–1)ise . ( ) ! ( ) !.n n n1 110 –– =

n=10olur.

5. 17 3

5 3

1

yninenbüyükdeğeri5+1=6olur.

6. 9=32olduğundan9çarpanıeldeetmekiçin2tane3çar-panıgereklidir.

40 3

13 3

4 3

1

40!iniçinde13+4+1=18tane3çarpanıolduğundan9tane9çarpanıeldeedilir.Yaniy=9olur.

7. 15=3.5olduğundan5çarpanısayısınabakılır.

35 5

7 5

1

Dolayısıylay=7+1=8olur.

8. Sayınınsonundakisıfırsayısı10çarpanıkadardır.10=2.5olduğundansıfırsayısı5çarpanısayısıkadardır.

70 5

14 5

2

olduğundansıfırsayısı14+2=16tanedir.

9. 1!+3!+5!+...+40!

1 ilebiter

6ilebiter

0ilebiter

0ilebiter

olduğundanbirlerbasamağındakirakam1+6=7olur.

10. P(n,2)=72ise( ) !

!n

n2

72–

=

( ) !

. ( ) . ( ) !

n

n n n

2

1 272

–

– –=

n.(n–1)=72

=9olur.

11. 10takımdan3tanesiP(10,3)farklışeklidesıralanır.

P(10,3)=( ) !

!10 3

10–

!

. . . !7

10 9 8 7=

=720olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

288

CEVAP ANAHTARLARI

12. P(5,5)=5!=120farklışeklidefotoğrafçektirebilirler.

13. a.9kişiyanyana9!farklışekildesıralanır.

b.Kızlar1kişisayılırsa6kişi6!farklışeklidesıralanır.an-cakkızlarkendiaralarında4!kadaryerdeğiştirebilece-ğindentoplamsıralamasayısı6!.4!olur.

14. Tümsıralamalar-kızlarınyanyanaolduğusıralamalar

6!–5!.2!=480olur.

15. Herbranşınkitaplarını1tanesayarsak3kitap3!farklışe-kildesıralanır.Kimyakitaplarıkendiaralarında2!,fizikkitap-larıkendiaralarında3!,matematikkitaplarıkendiaraların-da4!kadaryerdeğişebileceğindentoplamsıralamasayısı3!.2!.3!.4!=1728olur.

16. a.4mutlakaolacağındandiğerikibasamakiçin P(6,2)=20durumvardır.4içinde3farklıdurumoldu-

ğundantoplamda30.3=90sıralamaoluşur.

b.5dışındakidiğerelemanlarP(6,3)=120 farklışekildesıralanır.

c.{1, 4, 5, 6, 7} kümesinin 2 elemanı P(5, 2) = 20 farklı,şekildesıralanır.3debaşa,ortayavesonayazılabile-ceğindentoplam20.3=60farklısıralamaoluşur.

d.1 in yazılabileceği 3 basamak, 2 nin yazılabileceği 2basamakvardır.Dolayısıyla1ve2rakamları için3.2=6farklısıralamavardır.Boşkalanüçüncübasamağada3,4,5,6,7rakamlarındanbiriyazılabileceğindenboşbasamakiçin5seçenekvardır.

Buradan1ve2ninbulunduğutoplamsıralamasayısı6.5=30olur.

17. a.3taneI,2taneK,1taneH,1taneÇ,1taneRharfioldu-ğundan

!. !. !. !. !

! !3 2 1 1 1

8128

= olur.

b. 1

H

I, Ç, K, I, R, I, K

7!

3!.2!=

7!

12= olur.

c. 1

I

1

R

H, I, Ç, K, I, K

6!

2!.2!=

= 180 olur.

d.IveKharfleriniIKşeklindebirbütünkabuledersekeli-

mizdeki harfler IK, IK, H, I, R, Ç olacağından sıralama

sayısı!!

26

=360olur.

18. 1,1,0,2,2,3rakamlarıile!. !!

2 26

4720

180= = farklısıralama

eldeedilir.Ancak0rakamıensolhaneyeyazılamayacağı

için0ilebaşlayansıralamasayısınıtoplamsıralamasayı-

sındançıkarmalıyız.

1

0

1, 1, 2, 2, 3

5!

2!.2!=

= 30 olur.

olduğundan0ınilkhaneyegelmediğisıralamasayısı

180–30=150olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

289

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 03

1. A={a,b,c}kümesinin 3 lü permütasyonlar 3lükombinasyonları

abc

acb

bac {a,b,c}

bca

cab

cba

2.

!. !!

!. !!

2

10

6

2

4 26

8 210

=

d

d n

n

.

.

26 52

10 9

=

=3olur.

3. ( , )

( , )

!. !!!!

C

P

10 2

10 2

8 210810

=

=2olur.

4. C(n,r)=!

( , )

r

P n rolduğundan

r!=120

r=5olur.

5. P(n,2)+C(n,2)=18isen(n–1)+( )n n

2

118

–=

. . ( )n n

2

3 118

–=

n(n–1)=12

n=4olur.

6. C(n,1)+2.P(n,1)=3.P(3,2)ise

n+2n=3.6

3n=18

n=6olur.

7. 8elemanlıbirkümeninençok6elemanlıaltkümelerininsayısı

. . .80 1

86

287

88

8– –8+ + + =d d d d dn n n n n

=256–8–1

=247dir.

8. Kümeninelemansayısınolsun.

n n3 5

=c cm m isen=8olur.

Buradanbukümenin2elemanlıaltkümesayısı

.8

2 28 7

28= =d n bulunur.

9. n n13

2 313

1–=

+d dn n ise

1. 2n–3=n+1 2. 2n–3+n+1=13

n=4olur. 3n–2=13

3n=15

n=5olur.

Buradannninalabileceğideğerlerintoplamı9bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

290

CEVAP ANAHTARLARI

10. a.{1,2,3,4,6}kümesinin3elemanlı53

10=d n tane alt kü-mesinde5yoktur.

b.{1, 2, 4, 5, 6} kümesinin 2 elemanlı5

102

=d n tane alt

kümelerininherbirine3 elemanıilaveedilirse3ünbu-

lunduğu10tanealtkümeeldeedilir.

c.{3,4,5,6}kümesinin2elemanlı42

6=d n tane alt küme-

lerininherbirine2elemanıilaveedilirse,1inbulunmadı-

ğıfakat2ninbulunduğu3elemanlı6tanealtkümeelde

edilir.

d.{1,2,3,6}kümesinin1elemanlı41

4=d n tane alt küme-

lerininherbirine4ve5elemanları ilaveedilirse4ve

5inbulunduğu3elemanlı4tanealtkümeeldeedilir.

15. Kümedeki tek sayılardan3 tanesi, çift sayılardan 1 tanesi

seçilmelidir.Bu seçmeişlemi .44

3 14 4 16$ = =d dn n farklışe-

kildeyapılabilir.

12. MehmetBeymutlakaseçileceğinden5kişiarasından3kişi

seçilmelidir.Buda3

105

=d n farklışekildeyapılabilir.

13. Çarpımıpozitifolacakşekildeya2negatifve1pozitifyada3pozitifsayıseçilmelidir.Buişlem

.32

41

43

3 4 4 16$ + = + =d d dn n n

2negatif

2pozitif

3pozitif

farklışekildeyapılabilir.

14. Enaz3tanematematiköğretmeniseçileceğinden

. .1

443

54

50

4 5 1 1$ $+ = +d d d dn n n n

3matematik

4matematik

1fen

0fen

=21farklıseçimyapılabilir.

15. 4erkekiçinden2erkeği42d n 5kıziçinden3kızı

53d n farklı

şeklideseçebiliriz.Tümseçme işlemi .42

53

6 10 60$ = =d dn n

farklışekildeyapılabilir.

16. a,b, c,d,e, f,gderslerindenavebaynısaatteveriliyor

olsun.

Budurumdayaavebden1inivediğerlerinden2tanesini

yadaavebdenhiçbirini seçmedendiğerlerinden3tanesi-

niseçmelidir.Buişlem .21

52

53

2 10 10 30$ + = + =d d dn n n farklı

şekildeyapılabilir.

17. 1 sıcak içecek ve 1 gözleme4 4

1116$ =d dn n farklı şekilde,

1soğukiçecekve1pizza1 1

13 5

5$ =d dn n farklışekildeseçi-

lebileceğindentümseçmeişlemi16+15=31farklıyoldan

yapılabilir.

18. İzmir’e gidecek öğrenciler105

d n , Ankara’ya gidecek öğ-

renciler kalan 5 kişi arasından53d n farklı şekilde seçile-

bilir. Kalan 2 kişi zaten Antalya’ya gidecektir. Bu işlem

.105

53

252 10 2520$ = =d dn n farklışekildeyapılabilir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

291

CEVAP ANAHTARLARI

19. Sıfırharicindeki9tanerakamdanherhangi3tanesiseçildi-

ğindebu3tanerakamileA<B<Cşartınauygun1tane

sayıyazılabilir.Dolayısıyla93

84=d n tanesayıvardır.

20. İlk5sorudan3tane,sonraki5sorudan4taneseçilmelidir.

Buişlem .53

54

10 5 50$ = =d dn n farklışekildeyapılabilir.

21. İlk4sorudan3taneveson6sorudan4taneveyailk4so-

rudan4taneveson6sorudan3taneseçilmelidir.Buişlem

. .43

64 4

63

4 15 1 20 804

$ $+ = + =d d d dn n n n farklı şekilde yapıla-

bilir.

ADIM 04

1. Birdoğruçizebilmekiçinnoktagereklidir.Ohalde8nokta

ile 82

28=d n tanedoğruçizilebilir.

2. 8tanenoktaile8

562

=d n tanedoğruçizilebilir.Fakatnok-

taların3üdoğrusalolduğundanbunoktalarla32

3=d n tane

doğru çizilemeyip sadece 1 tanedoğru çizilir.Dolayısıyla

sorununcevabı56–3+1=54olur.

3. 12tanedoğru212

66=d n noktadakesişir.

4. 10doğru210

45=d n noktadakesişir fakat4 tanesiparalel

olduğu için24

6=d n tane kesişimnoktası oluşmayacağın-

dan45–6=39tanenoktadakesişir.

5. 10 tanedoğru210

45=d n noktadakesişir.Budoğrulardan

4tanesibirAnoktasındangeçtiğinden24

6=d n tane nokta

oluşmayıpsadeceAnoktasıoluşur.Buradansorununce-

vabı45–6+1=40olur.

6. 10noktaile103

120=d n taneüçgençizilebilirfakat6nokta

doğrusalolduğundan63

20=d n üçgenoluşmaz.

Oluşanüçgensayısı120–20=100olur.

7. 8noktaile38

56=d n taneüçgençizilebilir.FakatA,B,C,D

noktalarıdoğrusalolduğundan34

4=d n tane,D,E,Fnok-

talarıdoğrusal olduğundan33

1=d n tane,üçgenoluşmaz.

Oluşanüçgensayısı56–4–1–1=50olur.

H,G,Fnoktalarıdoğrusalolduğundan33

1=d n tane

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

292

CEVAP ANAHTARLARI

8. A

C

EB

D

F G

TepesiAnoktasıvetabanı[BC]üzerindeolan 172

2=d n tane,

tepesiAnoktasıvetabanı[DE]üzerindeolan 172

2=d n tane

tepesiAnoktasıvetabanı [FG]üzerindeolan 172

2=d n tane

üçgenolduğundantoplam üçgensayısı63olur.

9. 7tanenokta ile37

35=d n taneüçgençizilir.FakatA,G,E

noktalarıdoğrusalolduğuiçin 33

1=d n taneüçgenoluşmaz.

Dolayısıylaoluşanüçgensayısı35–1=34olur.

10. ÇizileceküçgeninbirköşesiAolacağındandiğerbirköşesiçemberüzerinde,birköşesidedoğruüzerindeolabilir.Bu

şeklideoluşanüçgensayısı41

31

12$ =d dn n olur.Yada bir

birköşesiAvediğeriki köşesidoğruüzerindeolabilir.Bu

şeklideoluşanüçgensayısıda32

3=d n olur.

Yadadiğerikiköşesideçemberüzerindeolabilir.Buşekil-

deoluşanüçgensayısıda24

6=d n olur.

Budurumdaoluşantoplamüçgensayısı12+3+6=21olur.

11. Cnoktasıkullanılmayacağından

d1

A B D

d2

E F G

noktalarıileçizilebileceküçgensayısı3 3

63

3 318– – =d d dn n n

olur.

12. a.Çizilecekparalelkenarınbirkenarıd1olacağındandiğerkenarlarıd2,d3,d4doğrularındanbiri,l1,l2 ve l3doğru-

larındanikisiolacaktır.Buşekildeçizilecekparalelkenar

sayısı2

31

39$ =d dn n olur.

b. l1doğrusukullanılmayacağından

l3

l2

d1 d2 d3 d4

şekildekiparalelkenarlarınsayısı42

22

6$ =d dn n olur.

13. ŞekildekinoktalarladörtgençizebilmekiçinAnoktasıkulla-

nılmamalıdır. B,C,D,Enoktalarından2tanesiF,G,Hnok-

talarından 2 tanesi seçilerek 42 2

318$ =d dn n tane dörtgen

çizilebilir.

14. d1doğrusuüzerinden2nokta,d2doğrusuüzerinden2nok-

ta seçilerek 42 2

318$ =d dn n tanedörtgençizilebilir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

293

CEVAP ANAHTARLARI

15. Şekildeki8noktakullanılaraksadeceüçgenvedörtgenlerçizilebilir.Çizilebilecek

üçgensayısı=3

83

53

442– – =d d dn n n

dörtgensayısı=42

32

18$ =d dn n olduğundantoplamçokgen

sayısı60olur.

16. Aynıdüzlemdebulunan2üçgenençok6noktadakesişe-

bileceğinden5üçgendenseçilen2üçgen52

6 60$ =d n farklı

noktadakesişir.

17. 5 tane ışınkullanılarak52

10=d n taneaçıeldeedilir fakat

d1 ^d5olduğundan d1ved5ışınları ileoluşanaçıdaraçı

değildir.Buradanoluşandaraçısayısı10–1=9olur.

ADIM 05

1. Pascalüçgeninin10.satırınınelemanlarınıntoplamı

. . .010 10

11010

210+ + + =d d dn n n dur.

2. .xx

xx

xx

1 30

1 31

130

213

$ $+ = +d d d d dn n n n n

xx

xx

32

1 33

112

03

$ $ $+ +d d d dn n n n

x xx x

33 13

3= + + +

3. ( ) . .x xx240

241

24 34 0 1$+ = +d dn n

. . .x xx2

243

42

44

202 2 3 4$ $ $+ + +d d dn n n

=x4+8x3+24x2+32x+16

4. Açılımda10taneterimolduğunagöre,n+1=10ven=9olur.

(3x–4)9açılımındakatsayılarıntoplamı(3.1–4)9=–1olur.

5. Baştan5.terimiçinr+1=5

r=4

( ) . ( ) .x y x y85

3 56 38 5 5 3 5–$ $=d n

=1512x3y5olur.

6. (2x–3y)6açılımında7taneterimolduğundansondan5.terim,baştan3.terimolur.

r+1=3iser=2olduğundanbaştan3.terim

( ) . ( ) . ( ) . ( )x y x y62

2 3 15 2 3– –6 2 2 4 2–$ =d n

=15.16x4.9y2

=2160.x4.y2olur.

7. xy

22

8

+d n açılımında9taneterimolduğundansondan

3.terim,baştan7.terimolur.

Baştan7.terimiçinr+1=7

r=6

( ) . ( )xy

xy8

62

228 2

28 6

62

6–$ $=d d dn n n

. xy

28 464

26

$=

.x y47 2 6$=

olduğundankatsayı47olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

294

CEVAP ANAHTARLARI

8. (x+2y)8açılımında9terimolduğundanortadakiterim5.terimdir.

Ohalder+1=5

r=4

. ( ) . . .x y x y84

2 70 168 4 4 2 2–$ =d n

=1120.x2.y4olduğundankatsayı1120dir.

9. Açılımdaki(r+1).terim16.a.x3.y5olsun.

. . . . .r

x y a x y8

2 16r r8 3 5– =d _n i

2r. x8 – r. yr = 16.a. x3. y5

r = 5 olur.

8r

Ohalde, .a1685

25$= d n

16.a=56.32

a=112olur.

10. Açılımdaki(r+1).terimx

64olsun.

. .r

axxa

x

6 6r r6

4

–=d _ cn i m

. a6. x6 – 2r = 6 . x–46

r

6–2r=–4 r=5olur.

.a ise a65

6 6 66 6$ = =d n

a6=1

a=1bulunur.

11. xx

252

7

+e o açılımında(r+1).terimsabitterimyaniA.x0 ol-sun.

( ) .r

xx

A x7 2r

r5 7

20– $$ =d en o

r7$d n x35–5r.2r .x–2r=A.x0

. 2r. x35 – 7r = A . x07

r

35–7r=0

r=5olur.

Ohalde A7

25

7$= d n

=4480dir.

12. (x2–2y)n açılımında(r+1).terimA.x6.y3olsun.

nr$c m (x2)n–r.(–2y)r=A.x6.y3

. (–2)r . x2n – 2r . yr = A . x6 . y3nr

r = 3

2n–2r=6

2n–6=6

2n=12

n=6

olduğundanA= ( )63

2– 3$d n

=–160olur.

13. xx

y–2

10

d n açılımında(r+1).terimdexveyninkuvvetleribirbirineeşitolsun.

–( ) ( ) .r

xx

y

rx

x

y10 101–r

rr r

r

r2 10 20 2– –$ $ $=d d dn n n

. ( ) . .r

x y10

1– r r r20 3–= d n

ifadesindexveyninkuvvetlerinibirbirineeşitlersek

20–3r=r

4r=20

r=5olur.

Buradan . ( )A105

1– 5= d n

=–252bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

295

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 06

1. E={YYY,YYT,YTY,YTT, TTY,TYT, TYY,TTT}

2. ( )s E92

36= =d n olur.

3. A={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}

4. BirzaratıldığındaörnekuzayE={1,2,3,4,5,6}olur.

a. Gelensayının{2,4,6}kümesindenolmaolasılığı63

21

= dir.

b. Gelensayının{5,6}kümesindenolmaolasılığı62

31

= tür.

5. Birparaartarda3kezatılırsaörnekuzay

E= {TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY}, iste-

nendurumise{TTT,TTY,YTT,YTY}olduğundanolasılık

21

84

= olur.

6. İkibasamaklıdoğalsayılar{10,11,...99}kümesinineleman

sayısı1

99 101 90

–+ = dır.

Rakamlarıaynıolansayılar{11,22,33...99}kümesininele-

mansayısıise9dur.Budurumdaistenenolasılık990 10

1=

olur.

7. İstenendurumlarınsayısı ,31

51

15$ =d dn n tümdurumlarınsa-

yısıise82

28=d n olduğundanistenenolasılık2815

dir.

8. İstenen durumların sayısı . ,51

62

15 5 75$ = =d dn n tüm du-

rumların sayısı113

165=d n olduğundan istenen olasılık

16575

115

= dir.

9. A={1,2,3,4,5}kümesininelamanlarıileyazılabilecek3basamaklıdoğalsayılar5 5 5=125tanedir.

Yazılabilecekrakamlarıfarklı3basamaklıdoğalsayılar 5 4 3 =60tanedir.

Buradanistenenolasılık16025 25

12= olur.

10. Şekildeki noktalar kullanılarak çizilebilecek tüm üçgenler

363

420 4 16– –= =d dn n tanedir.

Bir köşesiAnoktasıolanüçgenler ise31

21

22

7$ + =d d dn n n

tanedir.

Buradanistenenolasılık167

olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

296

CEVAP ANAHTARLARI

11. Şekildealanı

1 br2olan9tane

4 br3 olan 4 tane

9br2olan1tanekarevardır.

Buradanistenenolasılık144

72

= olur.

12. E={1,2,...10}ises(E)=10dur.

SeçilensayınıntekolmasıolayıAiseA={1,3,5,7,9}ves(A)=5,

seçilensayınınasalsayıolmasıolayıBiseB={2,3,5,7}ves(B)=4tür.

Buradan

P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)

–+105

104

103

=

53

= olur.

13. İkizaratıldığındas(E)=36dır.Üstyüzegelensayılarıntop-lamının8olmasıolayıAiseA={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}ve

s(A)=5,çarpımının12olmasıolayıBiseB={(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)}ves(B)=4tür.

Buradan


365

364

362

–= +

367

= olur.

14. AveBayrıkolaylariseP(A∪B)=P(A)+P(B)

( )P B43

127

= + ise

P(B)=43

127

61

– = olur.

15. P(A)=1–P(A′)

–132

=

31

= olur.

P(A∪B)=P(A)+P(B)

+3 2

11=

65

= dır.

16. İkizaratıldığındas(E)=36dır.

Üstyüzegelensayılarınıntoplamının5gelmeolayıAiseA={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}ves(A)=4,çarpımının20gelmeolayıBiseB={(4,5),(5,4)}ves(B)=2dir.BuradaA∩B=∅yaniAveBninayrıkkümelerolduğunadikkatediniz.

OhaldeP(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)

–+364

362

0=

61

= olur.

ADIM 07

1. P(M,Y)73

64$=

72

= olur.

2. P(S,K)94

95$=

8120

= olur.

3. P(B,B)+P(K,K)4

67 63

73 2

$ $= +

73

= olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

297

CEVAP ANAHTARLARI

4. P(E,K)1510

145$=

215

= olur.

5. P(sesli,sessiz)+P(sessiz,sesli)25 4

353

42

$ $= +

53

= olur.

6. Metinilkatıştaatıp,ikincidekaçırabiliryadailkatıştakaçırıp

ikincideatabilir.Buolasılık3 3

1 1 223 3 9

4$ $+ = olur.

7. Kırmızıbilyesayısıx,sarıbilyesayısı3xolsun.İlkbilyeninsarı,ikincibilyeninkırmızıolmaolasılığı

xx

43

4 1 143

–$ =

x

x16 4

3143

–=

48x–12=42x

x=2olur.

Buradankutadakitoplambilyesayısı4x=8bulunur.

8. Kutudakibeyazbilyesayısıx,mavibilyesayısı2xolsun.Artardaçekilenikibilyeninfarklırenkteolmaolasılığı

P(B,M)+P(M,B)=xx

x x3 13

13 1

232

––$$ +

x

x9 3

421

–=

9x–3=8x

x=3olur.

Buradankutudakibeyazbilyesayısıx=3bulunur.

9. P(A∩B)=P(A).P(B)

141

31

– $= d n

43

31$=

41

= olur.

10. P(A) 131

32

–= =

P(B) 114 4

3–= = olduğundan


32

43

32

43

– $= +

1211

= olur.

11. P(asal,asal,asal)=63

63

63

$ $

=18olur.

12. ParanınyazıgelmeolayıA,zarın4tenbüyükgelmeolayıBolsun.


21

62

21

62

– $= +

32

= olur.

13. P(M,M)+P(B,B)=3

97 94

74 5

$ $+

=6332

olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

298

CEVAP ANAHTARLARI

14. P(yazı,kırmızı)+P(tura,kırmızı)=9 92

1 521 6

$ $+

=1811

olur.

15. Sondurumdaki renkdurumununbaşlangıçtakiyleaynıol-masıiçinikitorbadanaynırenklitopçekilmelidir.

P(B,B)+P(K,K)97

394

74 5$$= +

6332

= olur.

DEĞERLENDİRME ADIMI 03

1. 4+3+2=9bilyevar.

3 bilye çekiliyor ise

93

84=d n elemanlıdır.

2. 2zaratılmasındaörnekuzay

6.6=36elemanlıdır.

9danbüyükler

(4,6),(5,5),(6,4)

Olasılık=363

121

=

3. BBKBKBKBBgelebilir.

Dolayısıyla

37

4

63

53

35182

2$ $ $ =

4. Tümikibasamaklısayılarınsayısı=90

İkibasamaklıçiftsayılarınsayısı=45

3ilebaşlamayanikibasamaklıçiftsayılarınsayısı=40

Olasılık=9040

94

=

5. P(A)=31

P(B)=131

32

– =

P(A∩B)=31

32

92

$ =


31

32

92

–= +

192

–=

97

=

6. Tümsıralamalar=6!

Baştavesondakırmızı=2!.4!

Olasılık=!

. !6

2 4151

=

7. P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)

x43 1

21

3–

( )( ) ( ) 43 6

= +

x129

126 4

–=+

x121

=

8. Kırmızı=x

Mavi=3x

( )

( )xx

x

x4 4 1

1

221

–

–$ =

22x–22=16x–4

6x=18

x=3

4x=12

9. Vurmaolasılığı=32

Vuramamaolasılığı=132

31

– =

1

3 3 31

94

32 2$ $+ =

{ {, ,

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

299

CEVAP ANAHTARLARI

10. Adankırmızıalınsın

74

73

4912

$ =

AdanBeyazalınsın

73

72

496

$ =

49 49

124916 8

+ =

ADIM 08

1. a,bveeseçeneğindekieşleştirmelerfonksiyondur,cvedseçeneğindekilerfonksiyondeğildir.

2. f1,f2 ve f5fonksiyondur,f3 ve f4değildir.

3. f81

881

1 0–$= =d n

f1

81

14 4

1–$= =d n

f1

81

12 2

3–$= =d n

f(1)=8.1–1=7olduğundan

, ,, , , , ( , )f1 1

81

04

12

3 1 7= d d dn n n* 4

A B

1

0

2

3

4

5

6

71

81

41

21

4. f(1)=12=1

f(2)=22=4

f(3)=32=9

f={(1,1),(2,1),(3,9)}olduğundanfbirfonksiyondur.

5. y=x1ifadesindexyerinesıfıryazılamayacağındantanım

kümesiolanRde açıktaelemankalır.Dolayısıylafbirfonk-

siyondeğildir.

6. y=x

x

1+ifadesindexyerinetümpozitifgerçeksayılar

yazılabileceğinden fbirfonksiyondur.

7. f(1)=ñ1=1 f(4)=ñ4=2 f(9)=ñ9=3 f(16)=ò16=4 olduğundangörüntükümesif(A)={1,2,3,4}olur.

8. x2

1 1+ = isex=0

x2

1 2+ = isex=2

x2

1 3+ = isex=4

x2

1 4+ = isex=6

olduğundantanımkümesi{0,2,4,6}olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

300

CEVAP ANAHTARLARI

9. ( )f xx

x 1=

+

ifadesindex≠0olacağındantanımkümesiR–{0}olur.

10. f(x)= x 2+ ifadesindex+2≥0vex≥–2olacağından

tanımkümesi[–2,∞)olur.

11. f(x)= x 1–3 ifadesindexyerinetümgerçeksayılar

yazılabileceğindentanımkümesiRdir.

12. f(3)=10ise. m3 1

3 310

–+

=

m

29

10+

=

9+m=20

m=11olur.

13. f(x+1)=3.(x+1)+2=3x+5

f(x–1)=3.(x–1)+2=3x–1olduğundan

f(x+1)–f(x–1)=3x+5–(3x–1)

=6olur.

14. f(a+1)=7ise2(a+1)–3=7

2a–1=7

2a=8

a=4olur.

15. x

x 12

+= isex+1=2x

x=1olduğundan

.f1

1 13 1 1

+= +d n

f(2)=4olur.

16. f(x–2)=2x+3eşitliğindexyerinex+2yazılırsa

f(x+2–2)=2(x+2)+3

f(x)=2x+7olur.

ADIM 09

1. f( x – 2) = 3 x + 1

x + 3 x + 3

f(x+3–2)=3.(x+3)+1

f(x+1)=3x+10olur.

2. f(x–1)=x2+3x+1eşitliğindexyerinex+1yazılırsa

f(x+1–1)=(x+1)2+3(x+1)+1

f(x)=x2+2x+1+3x+3+1

=x2+5x+5olur.

3. f(3).f(4)...f(20)= . . .1

2

2

3

3

4

1819

$ $

=19olur.

4. f(a)=f(1–a)ise2a–3=2(1–a)–3

2a–3=2–2a–3

4a=2

a=21olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

301

CEVAP ANAHTARLARI

5. g(4–1)=4.4–3

g(3)=13

f(12+1)=3.12–4

f(13)=32olur.

6. x=2içinf(3)=f(2)+4=9

x=3içinf(4)=f(3)+6=15olur.

7. x=3için ( ) ( )f f3 2 4– =

x=4için ( ) ( )f f 44 3– =

x=5için ( ) ( )f f 45 4– =

x=10için + ( ) ( )f f1 40 9– =

f(10)–f(2)=32

f(10)–5=32

f(10)=37 olur.

8. x=2içinf(2)=3.f(3)

x=3içinf(3)=4.f(4)

x=4içinf(4)=5.f(5)

eşitliklerinitaraftarafaçarpalım.

( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( )f f f f f f2 3 4 60 3 4 5=

f(2)=60.f(5)

f(5)=601

olur.

9. f(x)=2x+1fonksiyonundaxyerinetamsayılaryazıldığındasonuçtahep teksayılareldeedileceğindendeğerkümesiolanZdekiçiftsayılaraçıktakalır.

Dolayısıylafiçinefonksiyondur.

10. |x|≥0

|x|+1≥1

olduğundandeğer�kümesiolanRde(–∞,1)aralığıaçıktakalır.

Dolayısıylafiçinefonksiyondur.

11. A

1

2

3

4

4

7

10

13

B

f(x) = 3x + 1

Değerkümesindeaçıktaelemankalmadığındanförtenbirfonksiyondur.

12. f(x)=3x+1ifadesindexyerinetümtamsayılaryazıldığında3ünkatının1fazlasıolantamsayılareldeedilir.DolayısıyladeğerkümesiolanZdediğertamsayılaraçıktakalır.för-tenfonksiyondeğildir.

13. f(x)=3x+1ifadesindexyerinetümgerçeksayılaryazıldı-ğındatümgerçeksayılareldeedilebilir.Dolayısıylaförten-dir.

14.

A–1

0

1

2

0

1

4

B

f(x) = x2

Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığından f örtenfonksiyondur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

302

CEVAP ANAHTARLARI

15. f(–1)=f(1)=21olduğundanfbirebirdeğildir.

16. Hergerçeksayının3katının1fazlasıfarklıbirgerçeksayıolacağındanfbirebirdir.

17. f3fonksiyonubirebirveörtendir.

18. Aseçeneğindeki

f:R+ →R+,f(x)=x2fonksiyonubirebirveörtendir.

19. f(1)=g(1)=1

f(2)=g(2)=4

f(3)=g(3)=9

olduğundanfvegeşitfonksiyonlardır.

20. f(x)=g(x)ise b=3,a=–2vec=2olur.

Buradana+b+c=3bulunur.

ADIM 10

1. f birim fonksiyon ise

2a–1=3a+4

a=–5olur.


a–1=0b–2=1c–2=0

a=2b=3 c=2

olacağındana.b.c=12olur.


3x+b=(a+1)x–4

olmalıdır.Buradan

a+1=3veb=–4

a=2

olacağındana+b=–2olur.

4. f sabit fonksiyon ise a–1=0b–3=0 a=1b=3olacağından f(x)=7vef(2)=7olur.

5. f sabit fonksiyon ise

m

23

1=

m23

= olur.

6. fdoğrusalfonksiyonisea–1=0vea=1olmalıdır.

Buradanf(x)=3x+2vef(2)=8olur.

7. f(x)=ax+b

f(1)=a+b=5

f(2)=2a+b=8

denklemleriortakçözülürsea=3veb=2bulunur.

Buradanf(x)=3x+2olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

303

CEVAP ANAHTARLARI

8. f(x)=ax+b

f(3)=3a+b=1

f(5)=5a+b=–3

denklemleriortakçözülürsea=–2veb=7bulunur.

Buradan

f(x)=–2x+7

f(2)=3olur.

9. f(–2)=(–2)2=4

f(–1)=2.(–1)–3=–5

f(2)=3.2+1=7

olduğundan –( )

( ) ( ) ( )

f

f f

2

2 1

7

4 5

71– – –+

=+

= olur.

10. f(2)=22=4

f21

21

1

132

=+

=d n

olduğundanf(2)+ f21

314

=d n olur.

11. f(ñ3)=(ñ3)2+1=4 f(3)=3–1=2

olduğundanf(ñ3)+f(3)=6olur.

12. (f+2g)(x)=f(x)+2.g(x)

=x2–3x+2(2x+1)

=x2–3x+4x+2

=x2+x+2olur.

13. (2f–3g)(1)=2.f(1)–3.g(1)

=2.(–2)–3(5)

=–19olur.

14. a.Tanımkümesi=[–5,4)

Görüntükümesi=[–2,3)

b. Tanımkümesi=(–4,2)

Görüntükümesi=(–2,5)

c. Tanımkümesi=(–3,3]–{2}

Görüntükümesi=(0,5]–{3}

d. Tanımkümesi=R

Görüntükümesi=R

e. Tanımkümesi=R

Görüntükümesi=[–2,∞)

15. a.

x

yf: R → R

Çizilenherdüşeydoğrugrafiği kestiğindenvesadecebirnoktadakestiğindenfbirfonksiyondur.

b.

x

yf: R+ → R

Çizilenherdüşeydoğrugrafiği kestiğindenvesadecebirnoktadakestiğindenfbirfonksiyondur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

304

CEVAP ANAHTARLARI

c.

x

yf: R → R

Çizilen bazı düşey doğrular grafiği kesmediğinden f birfonksiyondeğildir.

d.

x

yf: R → R

Çizilen bazı düşey doğrular grafiği birden fazla noktadakestiğindenfbirfonksiyondeğildir.

16. f(f(–2))=f(1)=–1olur.

17. f(g(2))+g(f(–2))=f(0)+g(0)

=1+2

=3olur.

ADIM 11

1. y

x1O

–2

y = –2x

x 0 1

y 0 –2

2. y

x

2

O–1

y = 2x + 2 2x–y+2=0isey=2x+2

x 0 –1

y 2 0

3. y

x

2

–2

O

4. y

x

2

3

O

–1

1 3

5. y

x

1

O

–2

1

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

305

CEVAP ANAHTARLARI

6. y

xO

1

–1

–2

Görüntükümei(–∞,0]olur.

7. y

x

2

O

–1

Görüntükümei{–1,2}olur.

8. f(x)=0denklemininköklerix=–3,x=–1vex=3tür. Buradandenklemisağlayanxdeğerlerinintoplamı–1olur.

9. f(a–1)=0isea–1=–2veyaa–1=4

a=–1a=5 olacağındananınalabileceğideğerlerintoplamı4olur.

10. 1intersgörüntüsü(–∞,0]aralığıdır.

11. a.(–∞,0]aralığınıngörüntüsü[–1,∞)

b.[–2,0]aralığınıntersgörüntüsü[–1,3]

12. [0,∞)aralığınıngörüntüsü{1}dir.

13. (1,∞)aralığınıntersgörüntüsüR–{1}dir.

14. y

x

1

O 1

[0,1]aralığınıntersgörüntüsü[–1,1]dir.

15. y

xO

16. y

xO

–1

17. f(x)<0eşitsizliğininçözümkümesi(–3,2)aralığıdır.

18. f(x)≥0eşitsizliğininçözümkümesi[–2,0)∪[2,∞)olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

306

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 12

1. (fog)(x)=f(g(x))

=f(x–3)

=2(x–3)

=2x–6olur.

2. Öncef(x+1)=4x–3eşitliğindexyerinex–1yazalım.

f(x–1+1)=4(x–1)–3

f(x)=4x–7olur.

Ohalde,

(gof)(x)=g(f(x))

=4x–7–2

=4x–9bulunur.

3. (fof)(x)=f(f(x))

xxx

x

1

11

=+

++

xx

12 1

=++

olur.

4. (fog)(x)=f(g(x))

=(x+2)2–(x+2)

=x2+4x+4–x–2

=x2+3x+2olur.

5. (gof)(x)=g(f(x))

x

21

1–2

= +

x

212

=+

olur.

6. a.(fogoh)(x)=f(g(h(x)))

=f(g(x+2))

=f(2(x+2)–1)

=f(2x+3)

=2x+3+1

=2x+4olur.

b.(gohof)(x)=g(h(f(x)))

=g(h(x+1))

=g(x+1+2)

=g(x+3)

=2(x+3)–1

=2x+5olur.

7. (gof)(5)=g(f(5))

g2

5 1=

+d n

=g(3)

4

3 1=

+

=1olur.

8. Önceg(4)ühesaplayalım.

x=3içing(3+1)=3.3–2

g(4)=7olur.

Ohaldef(g(4))=f(7)olduğundan

x=8içinf(8–1)=2.8+1

f(7)=17olur.

9. Öncef(3)değerinihesaplayalım.

x=6için f26

26 1

=+

d n

f(3)=27olur.

Ohalde(gof)(3)=g(f(3))= g27

d n olduğundan

x=7için g27

37 1

2–

= =d n olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

307

CEVAP ANAHTARLARI

10. (fof)(4)=f(f(4))

=f(2.4–3)

=f(5)

=2.5–3

=7olur.

11. (fog)(1)=f(g(1))

=f(2.1–1)

=f(1)

=1–1

=0olur.

12. (fog)(a)=f(g(a))

=f(3a)

=4.3a+1

=12a+1

12a+1=25

12a=24

a=2olur.

13. (fof)(a)=f(f(a))

=f(2a–1)

=2.(2a–1)–1

=4a–3

4a–3=–11

4a=–8

a=–2olur.

14. x=4içinf(g(4–1))=3.4+2

f(g(3))=14

f(2)=14olur.

15. g(f(x+2))=2x–3eşitliğinde

2x–3=5isex=4olur.

g(f(4+2))=5

g(f(6))=5

f(6)=3olur.

16. f(5)=3.5+2=17

g(f(5))=10

g(17)=10olur.

ADIM 13

1. f–1(3)+f–1(–2)=–2+0

=–2olur.

2. f–1(–1)=3olduğundan

4a–1=3

4a=4

a=1olur.

3. f–1fonksiyonunun

tanımkümesiB={6,7,8}

görüntükümesiA={3,4,5}olur.

4 f(3)=4isef–1(4)=3olduğundan

a+2=4veb–3=3

a=2b=6olur.

Buradana+b=8bulunur.

5. ( )

( ) ( )

f

f f

0

3 2

32 1– – –

1

1

–

–

=

=–1olur.

6. yx3

2 1=

+

2x+1=3y

2x=3y–1

x=y

2

3 1–

olduğundanf–1(x)=x2

3 1–olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

308

CEVAP ANAHTARLARI

7. f(x)=xx

3 24 1–

+ ise f–1(x)=

xx

3 42 1

–– –

olur.

8. f(x)=.xx

2 40 3

++

ise f–1(x)=xx

2 04 3

–– +

=x

x2

4 3– +olur.

9. x=y

y

3 1

2 1

–

+ ise f–1(x)=

xx

3 12 1

–+

olur.

10. x.y+2=3x–yeşitliğindenxiyalnızbırakalım.

3x–xy=y+2

x(3–y)=y+2

x=y

y

3

2

–

+

olduğundanf–1(x)=x

x3

2–+

olur.

11. x=6için .f26

2 6 1= +d n

f(3)=13olur.

f–1(2x+1)=x2olduğundan

x=1içinf–1(2.1+1)=21

f–1(3)=21olur.

Buradanf(3)+f–1(3)=13+21

227

= dir.

12. ( )f xx b

ax2

1–

=+

fonksiyonux=b2içintanımsızolduğundan

b2

1=

b=2olur.

f–1(x)=x a

bx2

12–+

fonksiyonudax=a2içintanımsızoldu-

ğundan

a2

2=

a=4olur.

Ohaldea+b=6dır.

13. (f–1og)(x)= ( )x

o x2

13 2

++d n

x

23 2 1

=+ +

x2

3 3=

+olur.

14. (fog–1)(x)=(3x)o(2x)

=3.2x

=6xolur.

15. f(x)=x2

ise f–1(x)=2x

f–1(a)=2aolur.

(gof–1)(a)=17iseg(f–1(a))=17

g(2a)=17

3.2a–1=17

6a=18

a=3olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

309

CEVAP ANAHTARLARI

16. fx

x3

12 3–

+=d n ifadesindexyerine

x3

1+ifadesininter-

siolan3x–1iyazalım.

. ( )fx

x3

3 1 12 3 1 3

–– –

+=d n

f(x)=6x–5olur.

17. (fog)(x)=3x–1eşitliğindeikitarafasoldanf–1fonksiyonu-nubileşkeleyelim.

(f–1ofog)(x)=f–1o(3x–1)

g(x)= ( )x

o x2

13 1

––d n

x

23 1 1– –

=

x2

3 2–= olur.

18. (goh)(x)=3xeşitliğininikitarafınasoldang–1(x)fonksiyonu-nunbileşkeleyelim.

(g–1ogoh)(x)=g–1o(3x)

h(x)= ( )xx

o x1

2 13

–+

.xx

3 12 3 1

–=

+

xx

3 16 1

–=

+olur.

19. (g–1of)–1(x)=(f–1og)(x)

( )x

o x3

12 4

––= d n

x

32 4 1– –

=

x3

2 5–= olur.

20. (g–1of)–1(7)=(f–1og)(7)

=f–1(g(7))

=f–1(17)

5

17 1–=

516

= olur.

21. (fog–1)–1(a)=15ise(gof–1)(a)=15

g(f–1(a))=15

ga2

15=c m

a

32

15$ =

a=10olur.

22. f(x)=3x–6isef–1(x)=x

36+olur.

x 2 0

f(x) 0 –6

x 0 –6

f–1(x) 2 0

O

y

x2

2

–6

–6

İkifonksiyonugrafiğininy=xdoğrusunagörebirbirininsi-metriğiolduğunadikkatediniz.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

310

CEVAP ANAHTARLARI


1. (fog)(x)=fx x x2

1 42

1 22

1– – –2

$= +c c cm m m

x

x x44

1 2– –2

$= + +e o

=x2–4x+4+x–2

=x2–3x+2

(gof)(x)=g(4x2+2x)=x x

x x2

4 21 2 1– –

22+

= +

2. (fog)(a)=f(g(a))=f(a–2)=(a–2)2+1=10

(a–2)2=9

a–2=3a–2=–3

a=5a=–1

5–1=4

3. f(g(–2))=f(–6–m)=2(–6–m)+m

=–12–2m+m=m

–12=2m

m=–6

4. ( )fogog foI fI

1– = =1 2 34444 4444

(fog)og–1=(4x–1)o(2x+1)

=4.(2x+1)–1

=8x+3

5. x=3için

f(2.3–1)=3.3+1

f(5)=10

f–1(3x+1)=2x–1

3x+1=7

x=2

f–1(2.3+1)=2.2–1

f–1(7)=3

10+3=13

6. ( )f xx

21–

=

( ( ))f f x fx

xx

21

22

11

43–

––

–= = =d n

7. f(2x+1)=x

xx

11

1+= +

fx

x2

21

1 1

21

1––

$ + = +d n

( )f xx x

x1

11

11

– –= + =

+

8. xf(x)–x=2f(x)+3

xf(x)–2f(x)=x+3

f(x)(x–2)=x+3

f(x)=xx

23

–+

9. f(1)=4

f(–2)=–4

f(x)=ax+b

f(1)=a+b=4

f(–2)=–2a+b=–4

a2 +2b=8

+ a2– +b=–4

3b=4

b=34

a

34

4+ =

a

38

=

f(2)= 238

34

320

$ + =

f320

38

320

34 160 12

3172

3( )3

$= + =+

=d n

10. f(f(–3))=f(0)=3

f(–2)=1

f(2)=1

1 1

323

=+

=

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

311

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 14

1. a. P(x)=x2–3x–4

b. P(x)=x3+ –x2 3

1

c. P(x)=x4+ñ2.x2–1

d. P(x)=(x2–2x–3)4

e. P(x)=x3+x2+x1

f. P(x)=x2–2ñx

g. P(x)=–13

h. P(x)=xx

12

–

2 +

5. n2

ve n12

ifadelerinindoğalsayıolmasıiçinnyerine

2,4,6,12olmaküzere4farklıdeğer yazılabilir.

3. a.5x4,ñ2x2,–3x,21

b.5,ñ2,–3,21

c. 21

d. 4

e.5

4. P(x)üçüncüderecedenbirpolinomolduğunagöre, x4 ün katsayısı0olmalıdır.Ohalde

b–1=0

b=1olur.

P(x)inbaşkatsayısı4isex3ünkatsayısı4olmalıdır.Ohalde

a–2=4

a=6olur.


5. P(x)sabitpolinomise

a+3=0veb–2=0

a=–3 b=2

olduğundan

P(x)=–3.2

P(x)=–6

P(1)=–6olur.

6. P(x)sıfırpolinomuise

a–1=0veb+3=0vec–a–b=0

a=1 b=–3 c=a+b

c=–2olur.

7. xyerinex–1yazılırsa

P(x–1+1)=(x–1)2–3(x–1)

P(x)=x2–2x+1–3x+3

=x2–5x+4olur.

8. x=2için

P(2+1)=22–3.2+m

P(3)=–2+m

–2+m=5

m=7olur.

9. a(x–1)+b(x+1)=3x+5

ax–a+bx+b=3x+5

(a+b)x–a+b=3x+5ise

a+b=3

–a+b=5

denklemleriortakçözülürsea=–1veb=4bulunur.

Ohaldea.b=–4olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

312

CEVAP ANAHTARLARI

10. x x

xx

Ax

B

2

2 52 1– – –

( ) ( )x x2

1 2–

+= +

++

2x+5=A(x+1)+B(x–2)

2x+5=Ax+A+Bx–2B

2x+5=(A+B)x+A–2Bise

A+B=2

A–2B=5

denklemleriortakçözülürseA=3veB=–1bulunur.

OhaldeA.B=–3olur.

11. P(x)=Q(x)ise

a+1=0vea=–1

b–2=4veb=6

c+1=–5vec=–6olur.

Ohaldea+b+c=–1bulunur.

12. a. P(x+ 1)polinomununkatsayılarının toplamıP(2)oldu-ğundan

P(2)=23+4.22–3.2+1

=19olur.

b. P(x–1)polinomununsabitterimi

P(–1)olduğundan

P(–1)=(–1)3+4.(–1)2–3.(–1)+1

=7olur.

13. Q(x)polinomunsabitterimi5iseQ(0)=5tir.

P(x)polinomununkatsayılarınıntoplamıiseP(1)olduğundanx=0için

P(0+1)=2.Q(0)+4

P(1)=2.5+4

=14olur.

14. P(x–1)polinomununsabitterimi4iseP(–1)=4tür.

x=–3için

P(–3+2)=(–3)2–3.(–3)+m

P(–1)=18+m

18+m=4

m=–14olur.

ADIM 15

1. Q(x)=2.(2x+1)+3x

=4x+2+3x

=7x+2olur.

Buradan

P(x)–Q(x)=(2x+1)–(7x+2)

=2x+1–7x–2

=–5x–1olur.

2. P(x–3+2)=x–3–3

P(x–1)=x–6

P(x–1+2)=x–1–3

P(x+1)=x–4olduğundan

P(x–1).P(x+1)=(x – 6).(x – 4)

=x2–6x–4x+24

=x2–10x+24olur.

3. (x2 – 3x + m).(2x2 – 3x + 1)

x2+9x2+2mx2=(10+2m)x2

10+2m=6

2m=–4

m=–2olur.

4. der[P(x)]=4olduğundan

der[P2(x)]=2.4=8olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

313

CEVAP ANAHTARLARI

5. der[(x2 + 1).P(x).Q(x2)] = 2 + 3 + 4

2 3 4

=9olur.

6. der[P(x)]=mveder[Q(x)]=nolsun.

der[P(x).Q(x)]=m+n=8

( )

( )der

Q x

P xm n2 7–

2

= => H

denklemleriortakçözülürsem=der[P(x)]=5olur.

7.

–

–

x3 + x2 – 3x + 1

x3 + 2x2 x2 – x – 1

–x2 – 3x + 1

–x2 – 2x

–

–x + 1

–x – 2

3

x + 2

olduğundanbölümpolinomux2–x+1olur.

8.

–

–

x4 – x2 + 1

x4 + x2 x2 – 2

–2x2 + 1

–2x2 – 2

3

x2 + 1

Bölümx2–2,kalan3olur.

9. P(x)=(x2 + 3).(x – 1) + x + 1

=x3–x2+3x–3+x+1

=x3–x2+4x–2olur.

10. P(x)polinomux–2iletambölündüğünegöreP(2)=0ol-malıdır.

P(2)=(4–1)2+6+m

15+m=0

m=–15olur.

11. x+3=0vex=–3değeriniP(x+1)polimonundaxyerineyazarsak

P(–3+1)=P(–2)olur.

P(–2)=(–2)4–3.(–2)2+2.(–2)–1

=–1olur.

12. P(2)=2veQ(2)=–3olduğundan

2.P(2)–Q(2)=2.2–(–3)

=7olur.

13. x=0değeriP(2x+3)texyerineyazılırsakalanP(3)olur.

x=2için

P(2+1)=22–3.2–4

P(3)=4–6–4

=–6olur.

14. P(x)polinomununx–2ilebölümündenkalanP(2)=3tür.Q(x)inxilebölümündenkalaniseQ(0)dır.

x=1için

( ) ( )P Q

1

1 1 1 11 1

–+ += +

P(2)+Q(0)=2

3+Q(0)=2

Q(0)=–1olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

314

CEVAP ANAHTARLARI

15. x=1için

0=1+2–m

m=3olur.

(x–1).P(x)=x3+2x–3eşitliğindeP(x)ibulmakiçin

–

–

–

x3 + 2x – 3

x3 – x2 x2 + x + 3

x2 + 2x – 3

x2 – x

3x – 3

3x – 3

0

x – 1

bölmeişlemiyapıldığında

P(x)=x2+x+3bulunur.

P(x)inx–1bölümündenkalan

P(1)=1+1+3

=5olur.

ADIM 16

1. x2+x=0isex2=–xolduğundanP(x)polinomundax2 yerine–xyazarakkalanıbuluruz

P(x)= x2 –3x–2

Kalan=–x–3x–2

=–4x–2olur.

2. x2–1=0isex2=1olduğundanP(x)polinomundax2 yerine1yazarakkalanıbuluruz.

P(x)=( x2 –3)2+x

Kalan=(1–3)2+x

=x+4olur.

3. x2–x–1=0isex2=x+1olduğundanP(x)polinomundax2yerinex+1yazarakkalanıbuluruz.

P(x)= x2 .x+2x–1

Kalan=(x+1).x+2x–1

= x2 +3x–1

=x+1+3x–1

=4xolur.

4. P(x)polinomundax2yerine2yazarsaksonuç3x–1olma-lıdır.

P(x)=( x2 )2–2 x2 +mx–n

Kalan=22–2.2+mx–n

=mx–n

mx–n=3x–1isem=3ven=1olduğundanm+n=4olur.

5. x5–2=0isex5=2olduğundanP(x)polinomundax5yerine2yazarakkalanıbuluruz.

P(x)=( x5 )2–2 x5 +3x–1

Kalan=22–2.2+3x–1

=3x–1olur.

6. x4–x=0isex4=xolduğundanP(x)polinomundax4yerinexyazarakkalanıbuluruz.

P(x)=( x4 )2+3 x4 +x–2

Kalan=x2+3x+x–2

=x2+4x–2olur.

7. P(x)polinomundax2yerine–x+1yazılıncasonuç0olma-lıdır.

P(x)= x2 .x– x2 +ax+b

Kalan=(–x+1)x–(–x+1)+ax+b

=–x2+x+x–1+ax+b

=– x2 +2x+ax+b–1

=–(–x+1)+2x+ax+b–1

=3x+ax+b–2

=(3+a)x+b–2

(3+a)x+b–2=0ise

3+a=0veb–2=0

a=–3 b=2

olduğundana+b=–1olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

315

CEVAP ANAHTARLARI

8. P(x)polinomundax2yerine3xyazılıncasonuç0olmalıdır.

P(x)= x2 .x+a x2 +1+b

Kalan=3x.x+3ax+1+b

=3 x2 +3ax+1+b

=9x+3ax+1+b

=(9+3a)x+1+b

(9+3a)x+1+b=0ise

9+3a=0veb+1=0

a=–3 b=–1

olduğundana+b=–4olur.

9. P(x) x2–3x+2

– Q(x)

2x+1

P(x)=(x2–3x+2).Q(x)+2x+1

P(1)=0.Q(x)+3

=3olur.

10. P(x) (x–2)3

– T(x)

3x–2

P(x)=(x–2)3.T(x)+3x–2olur.

P(x–2)ninx–4ilebölümündenkalanP(2)olduğundan

P(2)=0.T(x)+4

=4olur.

11. P(x+1) x2–4

– B(x)

–2x+3

P(x+1)=(x2–4).B(x)–2x+3olur.

P(x)inx–3ilebölümündenkalanP(3)olduğundanx=2için

P(2+1)=0.B(x)–1

P(3)=–1olur.

12. P(x) x3–1

– Q(x)

x2–x+2

P(x)=(x3–1).Q(x)+x2–x+2

P(1)=0.Q(x)+1–1+2

=2olur.

13. P(x) x+1

– B(x)

–3

B(x) x–1

– Q(x)

2

P(x)=(x+1).B(x)–3

B(x)=(x–1).Q(x)+2olduğundan

P(x) = (x + 1).[(x – 1).Q(x) + 2] – 3

=(x2–1).Q(x)+2x+2–3

= (x2 – 1).Q(x) + 2x – 1 olur.

Kalan

BuradanP(x)inx2–1ilebölümündenkalan2x–1olur.

14. P(x) x–2

– B(x)

3

P(x)=(x–2).B(x)+3olur.

B(x)polinomununkatsayılartoplamıB(1)=7ise

P(1)=–1.B(1)+3

=–4olur.

15. P(–1)=–2veP(–2)=3verilmiş.P(x)inx2+3x+2ilebölümündenkalanax+bşeklindeolacağından

P(x)=(x2+3x+2).Q(x)+ax+b

P(–1)=–a+b=–2

P(–2)=–2a+b=3denklemleriortakçözülürsea=–5veb=–7olacağındankalan–5x–7olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

316

CEVAP ANAHTARLARI

16. P(1)=5veP(0)=–2verilmiş

P(x)=(x2–x).B(x)+ax+b

P(1)=a+b=5

P(0)=b=–2

olduğundana=7vekalan7x–2olur.

17. P(x)=2.(x–1)(x–2)(x–3)+1olacağından

P(0)=2.(–1)(–2).(–3)+1=–11olur.

18. P(x)=2x2+bx+3şeklindebirpolinomdur.

P(1)=4ise

P(1)=2+b+3=4

b=–1olur.

P(x)=2x2–x+3iseP(3)=18olur.


1. n12

∈Zisen=1,2,3,4,6,12

n3

∈Zisen=3,6,12

3+6+12=24

2. x=3için

P(3+1)=(32–3).Q(3–1)+3–1

P(4)=6.Q(2)+2

=6.3+2

=20

3. ( ) . ( )x x

xx

Ax

B1 1

3 11 1– –

( ) ( )x x1 1–+

+= +

++

3x+1=Ax+A+Bx–B

3x+1=x(A+B)+A–B

A+B=3 2+B=3

x A–B=1 B=1

2A=4

A=2

A.B=2.1=2

4. a.(x2–2x+1)+bx–2b=ax2–2ax+a+bx–2b

ax+x(b–2a)+a–2b=x2+2x+c

a=1 1–24=c

b–2=2 c=–7

b=4

5. x=1için

P(1+1)=P(2)=6

P(2)=23+3.22–2.2+a=6

a+16=6

a=–1

x=0için

P(0–2)=P(–2)=(–2)3+3.(–2)2–2.(–2)–10

=–8+12+4–10

=–2

6. der[P3(x–1)]=3.3=9

der[Q(x2)]=4.2=8

der[P3(x+1),Q(x2)]=max(9,8)=9

7. x–2=0

x=2

P(2)=0

x=1için

P(1–1)=13–2.12+3.1+m

0=1–2+3+m

m=–2

8. x2+x+1=0

x2=x–1

(–x–1–x)2–ax–b=2x–3

4x2+4x+1–ax–b=2x–3

4.(–x–1)+4x–ax–b=2x–3

x4– –4+ x4 –ax–b=2x–3

–ax–b–4=2x–3

a=–2–b–4=–3

b+4=3

b=–1

a+b=–2–1=–3

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

317

CEVAP ANAHTARLARI

9. x–3=0 x+3=7

x=3 x=–3

P(3)=–5 P(–3)=7

P(x)=(x–3).(x+3).B(x)+ax+b

P(3)= a3 +b=–5 3a+1=–5

3a=–6

a=–2 +P(–3)= a3– +b=7 2b=2

b=1

Kalan–2x+1dir.

10. P(x)=(x–1).(x–2).(x–3)

P(4)=(4–1).(4–2).(4–3)

=3.2.1

=6

ADIM 17

1. a.4x–6y=2(2x–3y)

b.3x2–9x=3x(x–3)

c.8y2+12y=4y(2y+3)

d.(a+b)(x–y)+3.(a+b)=(a+b)(x–y+3)

e.x3+3x4–x5=x3(1+3x–x2)

2. a2+3ab=20

( )a a b3 205

+ =1 2 34444 4444

a=4olur.

3. 101.27+101.23=50.x

101(27+23)=50.x

101.50=50x

x=101olur.

4. ax–3a+2x–6=a(x–3)+2(x–3)

=(x–3)(a+2)olur.

5. 2ax–ay+2bx–by=a(2x–y)+b(2x–y)

=(2x–y).(a+b)olur.

6. a2b+ab2–3a–3b=ab(a+b)–3(a+b)

=(a+b)(ab–3)olur.

7. ab–ac+b2–bc=a(b–c)+b(b–c)

=(b–c).(a+b)

=4.7

=28olur.

8. x2–y2+3x+3y=(x–y)(x+y)+3(x+y)

=(x+y)(x–y+3)olur.

9. (307)2–(207)2=257.x

(307–207)(307+207)=257.x

100.514=257.x

x=.

257

100 5142

=200olur.

10. x ya b a b

2 2– –

–2 22 2

=+

d dn n

a b a b a b a b

2 2 2 2–

––

=+

++

d dn n

a b22

22$=

=a.bolur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

318

CEVAP ANAHTARLARI

11. ( ) . ( ) ( ) . ( )

( )

2 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2 2 1

–

–

–

–5 5

20 10

5 5

10 10

+=

+

( ) ( )

. ( ) ( )

.2 1 2 1

2 2 1 2 1–

–5 5

10 5 5

=+

+

=210olur.

12. ( ) ( )a b a b 71–1 71

+ =1 2 3444 444 1 2 3444 444

a–b=1

+ a+b=71

2a=72

a=36 olur.

13. a2–b2=15ise ( ) ( )a b a b 15–3 5

+ =1 2 3444 444 1 2 3444 444

a–b=3

+ a+b=5

2a=8

a=4 olur.

14. (x+y)2–4xy=x2+2xy+y2–4xy

=x2–2xy+y2

=(x–y)2

=(17,3–8,3)2

=92

=81olur.

15. xx

ise xx

331

4 331

42

2+ = + =d n

xx

9 29

1162

2+ + =

xx

99

1142

2+ = olur.

16. aa1

2 3– = ise ( )aa1

2 3–2

2=d n

a2–2+a

112

2=

a2+a

114

2=

Ohalde

aa

aa

12

122

2+ = + +d n

=14+2

=16olur.

17. 4a2+4a+1–b2=(2a+1)2–b2

=(2a+1+b)(2a+1–b)

18. x2–3x+1=0isex2+1=3x

x

x 13

2 +=

xx1

3+ = olur.

xx1

3+ = eşitliğindeikitarafınkaresinialalım.

x2+2+x

19

2=

xx

172

2+ = olur.

19. .98 100 1+ ifadesinde98=xolsun.

. ( )x x98 100 1 2 1+ = + +

x x2 12= + +

( )x 1 2= +

=x+1

=99olur.

20. (a–b–c)2=82

a2+b2+c2+2(–ab–ac+bc)=64

a2+b2+c2+2.17=64

a2+b2+c2=64–34

=30olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

319

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 18

1. a. x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

x 3

43x + 4x = 7x

x

b. x2 + x – 20 = (x + 5).(x – 4)

x +5

–45x – 4x = x

x

c. x2 – x – 72 = (x – 9)(x + 8)

x –9

+8–9x + 8x = –x

x

d. 3x2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)

3x 1

13x + x = 4x

x

e. 12x2 – 5x – 3 = (4x – 3)(3x + 1)

4x –3

+1–9x + 4x = –5x

3x

f. –6x2 + 11x – 3 = (–3x + 1)(2x – 3)

2x –3

+19x + 2x = 11x

–3x

g. 12x2 + 7x – 12 = (4x – 3)(3x + 4)

4x –3

+416x – 9x = 7x

3x

2. ( ) ( )x

x axx xx ax

1

71 1

7

– –2

2 2+ +=

++ +

ifadesisadeleşebilirolduğunagöre,

x2 + ax + 7 = (x + 7)(x + 1)

x 7

17x + x = 8x

veya

x

x2 + ax + 7 = (x – 7)(x – 1)

x –7

–1–7x – x = –8x olduğundan a değeri

+8 veya –8 olur.x

3. ( ) ( )x xx mx

5 16

–

2

++ +

ifadesisadeleşebilirbirkesirise

x2 + mx + 6 = (x + 1)(x + 6)

x +1

+6x

şeklindeçarpanlaraayrılmalıdır.Ohalde,

6x+x=mx

m=7olur.

4. 6x2 – 7xy – 3y2 = (3x + y)(2x – 3y)

3x +y

–3y–9xy + 2xy = –7xy

2x

5. 6a2–ab–b2=19

( ) ( )a b a b3 2 19–1 19

+ =1 2 3444 444 1 2 3444 444

3a+b=19

+ 2a–b=1

5a=20 isea=4veb=7olur.


35 A

dım

da

Mat

emat

ik

320

CEVAP ANAHTARLARI

6. 2x2–xy–y2=15

( ) ( )x y x y 12 5–5 3

+ =1 2 3444 444 <

2x+y=5

+ x–y=3

x=38 olur.

7. 6x2 – 4x + m = (6x + ?).(x + 2)

6x ?

2x

12x+?x=–4xise?=–16olur.

Buradanm=–16.2=–32olur.

8. a.x3–1=(x–1)(x2+x.1+12)

=(x–1)(x2+x+1)

b. a3+8=a3+23

=(a+2).(a2–2.a+22)

=(a+2).(a2–2a+4)

c. y3–64=y3–43

=(y–4).(y2+4.y+42)

=(y–4).(y2+4y+16)

d.64x3+y3=(4x)3+y3

=(4x+y)((4x)2–4xy+y2)

=(4x+y).(16x2–4xy+y2)

9. ( ) ( )

120 1 9

120 1

1 120 119

120 1 120 120 1

– –

–2

3

2

2+

=+ +

. ( )

120 119

121 120 119

–

–2

2

=

=121olur.

10. x–y=3ise(x–y)3=33

x3–3x2y+3xy2–y3=27

x3–3xy(x–y)–y3=27

x3–3.2.3–y3=27

x3–y3=27+18

x3–y3=45olur.

11. x3+3x2+3x=x3+3x2+3x+1–1

=(x+1)3–1

olduğundanx=99içinişleminsonucu1003–1olur.

12. x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3

( )2 3 3–3 3= +

( )23 3=

=2olur.

13. a+a1=4eşitliğindeikitarafınküpünüalalım.

a aa a

33 1

6433

+ + + =

a aa a

31 1

6433

+ + + =d n

.aa

3 41

6433

+ + =

.aa

olur1

5233

+ =

14. x3 + y3 = 6

xy2 + yx2 = 7

x3 + y3 = 6

3xy2 + 3yx2 = 21

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 27

(x + y)3 = 27

x + y = 3 olur.

+

3

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

321

CEVAP ANAHTARLARI

15. x2(x–3y)=10ise x3 – 3x2y = 10

3xy2 – y3 = –2+

x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 = 8

(x – y)3 = 8

x – y = 2 olur.

y2(3x–y)=–2ise

ADIM 19

1. x6–y6=(x–y)(x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5)

2. x5+1=(x+1)(x4–x3+x2–x+1)

3. (f.g)(x)=(x+1).(x4–x3+x2–x+1)

=x5+1

olduğundan

( . ) ( ) ( )f g 2 2 15 5 5= +

=2+1

=3olur.

4. ñx=tolsun. x+2ñx–15=t2+2t–15 =(t+5)(t–3)

=(ñx+5)(ñx–3)olur.

5. x2+2x=tolsun.

(x2+2x)2–11.(x2+2x)+24=t2–11t+24

=(t–3).(t–8)

=(x2+2x–3).(x2+2x–8)

=(x+3)(x–1)(x+4)(x–2)olur.

6. x4+x2+1ifadesinex2ekleyipçıkaralım.

x4+x2+1+x2–x2=x4+2x2+1–x2

=(x2+1)2–x2

=(x2+1+x).(x2+1–x)olur.

7. x4+2x2+9ifadesine4x2ekleyipçıkaralım.

x4+2x2+9+4x2–4x2=x4+6x2+9–4x2

=(x2+3)2–(2x)2

=(x2+3+2x).(x2+3–2x)olur.

8. 5x2+y2+2xy–4x+1=0

4x2 x2

x2+2xy+y2+4x2–4x+1=0

(x+y)2+(2x–1)2=0

eşitliğininsağlanmasıiçin

x+y=0ve2x–1=0

y=–xx=21

y=–21

olduğundanx.y=–14olur.

9. .

.

.n

nm

m mn6

12

4

1224

m n23

2=

=2mnolur.

10. ( ) . ( )

( ) . ( )

x x

x xx x

x x

3 2

4 121 2

6 2– – –2

2

+ +=

+ +

+

.xx

olur16–

=+

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

322

CEVAP ANAHTARLARI

11.

( )a a a

a a

a a2

1

8

12

8

2 4 12

2 4–

–– –

–3 3

2

2

=+ +

+ +

a

a a

8

2 8

–

–3

2

=+

( ) ( )

( ) ( )

a a a

a a

2 2 4

4 2

–

–2

=+ +

+

a a

a

2 4

42

=+ +

+olur.

12.

( )( ) xx x x x

x

x x

x x x

x1

12

1

3 2 3 2

2 1

2 1––

–– – –

– –

–

2 2+

+=

+

+ +

( ) ( )x x

x

2 1

1

– –

–=

x 2

1–

= olur.

13. ( )

( )

( )x

xxx

x x

x

x x

x x x

x

x x x

x x

x1 1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

–

–

–

–

–

–

–

–

2 2

2

2

2

2

+

++

+

=+ +

+ +

+

x x

x

x

x

1

1

1

–

–

2

2

2

2

=+

+

x

x x

1–

–2

2

=

( ) ( )

( )

x x

x x

1 1

1

–

–=

+

x

x1

=+

olur.

14. ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

x

x x

x x

x xx x

x x

x x

x x

1

2

6

2 31

2 1

1

1

3 2

3

–

– –

–

––

–

–

–2

2

2

2

+

+=

+ +

++

=1olur.

15. :

( ) ( ) ( )a a a a

a a

a

a

a a a

1 1 111 1 1

11–

–2 3 2

2

3

3

2 3

$+ + =+ +J

L

KKKKKKK

J

L

KKKKKKK

N

P

OOOOOOO

N

P

OOOOOOO

( ) .

. ( ) ( ).

a a a

a a a a

1

1 1–

a2 3

2 2=

+ +

+ +

a

a1–

= olur.

16. ( ) . ( )

a a

a

aa

aa

a a

11

11

11 1

1 1

–

––

–2

$ $+

=+

+

d dn n

( ) ( )

( )

.

. ( )

a a

a aa1 1

11 1

–

–

2

$=+

+

=a2olur.


1. 2b(a2–b)=20

2b.10=20

b=1

a2=11

a=ò11

a+b=ò11+1

2. (a+2+b+2)(a+2–b–2)=24

( ) . ( )a b a b4 24–8 3

+ + =1 2 34444 44444 <

a+b=8

3. ( ) . ( ) ( ) . ( )A B A B x y z x y z x y z x y z– – – – – –+ = + + + + +

=(2x–2z).2y

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

323

CEVAP ANAHTARLARI

4. (2x–3y)2=62

4x2–12xy+9y2=36

42–12xy=36

12xy=6

xy=21

5. (a–b)2–22=(a–b–2).(a–b+2)

6. a. 8x2–10x–3=(4x+1).(2x–3)

4x –3

2x +1

b. 3a2–7ab+2b2=(3a–b).(a+b)

3a–2b

a b

7. a2–ab+ac–bc=a(a–b)+c(a–b)

=(a–b).(a+c)

a–b=4

+ b+c=2

a+c=8

(a–b).(a+c)=4.8

=32

8. a3+b3=(a+b)3–3ab(a+b)

=43–3.2.4

=64–32

=32

9. ( ) . ( )

( ) . ( ) ( ) . ( )

a a

a a a

a a

a aa

1 1

1 1

1

2 12

–

– 2

2$

+

+ +

+ +

+ += +

10. . ( ) . ( )101 107 9 104 3 104 3 9–+ = + +

104 3 9–2 2= +

1042=

=104

ADIM 20

1. (m–3).x3+xn–2+2x–1=0ifadesiikinciderecedenbirdenklemise

m–3=0ven–2=2

m=3n=4

olduğundanm+n=7olur.

2. x=–1denklemisağlayacağından

(–1)2+(2a–1).(–1)+3a=0

1–2a+1+3a=0

a+2=0

a=–2olur.

3. x=–3denklemisağlayacağından

(–3+a).(–3–3)=12

(–3+a).(–6)=12

–3+a=–2

a=1olur.

4. –4x2+2x=0ise2x(–2x+1)=x

x=0vex=21

olduğundançözümkümesi ,021

( 2 olur.

5. 9x2–4=0ise(3x–2)(3x+2)=0

x=32vex=–

21

olduğundançözümkümesi ,–32

32

( 2 olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

324

CEVAP ANAHTARLARI

6. 3x2+4x+1=0ise(3x+1).(x+1)=0

3x1x=–31vex=–1

x1

olduğundançözümkümesi –,131

–( 2 olur.

7. x2–(2a–b)x–2ab=0ise(x–2a).(x+b)=0

x–2ax=2avex=–b

x+b

olduğundançözümkümesi{–b,2a}olur.

8. a=1,b=–5vec=–4olduğundan

D=b2–4ac

=(–5)2–4.1.(–4)

=25+16

=41olur.

9. D=(–4)2–4.1.(–2)

=16+8

=24

( )

x2

4 24– – –1 =

2

4 2 6–=

=2–ñ6

( )

x2

4 24– –2 =

+

2

4 2 6=

+

=2+ñ6

10. D=(–2)2–4.3m

=4–12m

4–12m=40

–12m=36

m=–3olur.

11. xa–1+(a+1)x–1=0ifadesiikinciderecedenbirdenklemise

a–1=2

a=3

olacağındandenklem

x2+4x–1=0vediskriminantdeğeri

D=42–4.(–1)

=16+4

=20olur.

12. D=(–4)2–4.m

16–4m=36

–4m=20

m=–5olur.

Ohaldedenklem

x2–4x–5=0

(x–5).(x+1)=0

x=5vex=–1

olduğundançözümkümesi{–1,5}olur.

13. DenkleminbirbirindenfarklıikigerçekköküolduğundanD>0olmalıdır.

D=(–6)2–4.1.(m–1)

=36–4m+4

=40–4m

40–4m>0

40>4m

10>molur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

325

CEVAP ANAHTARLARI

14. DenkleminçakışıkikiköküvarsaD=0olmalıdır.

D=(m–1)2–4.1.4

=m2–2m+1–16

=m2–2m–15

m2–2m–15=0

(m–5)(m+3)=0

m=5vem=–3

olduğundanmninalabileceğideğerlerintoplamı2olur.

15. DenklemingerçekköküyoksaD<0olmalıdır.

D=32–4.1.(1–m)

=9–4+4m

=5+4m

5+4m<0

4m<–5

m < –45olur.

ADIM 21

1.

RC

Q′Q

ZN

2. x2+4=0isex2=–4

x2=(2i)2

x=2iveyax=–2i

olduğundançözümkümesi{–2i,2i}olur.

3. . .

.

. . . . .

i

i i i

4

2 3 6

2

2 3 6

–

– – –=

..ii

26 3

=

=3.i2

=3.(–1)

=–3olur.

4. z=3x+1+(y–1)iise

Re(z)=3x+1=7İm(z)=y–1=4

3x=6y=5

x=2

olduğundanx+y=7olur.

5. z=x+3+(y–1)iisez=x+3–(y–1)i

x+3=4ve–y+1=–3

x=1y=4

olduğundanx+y=5olur.

6. D=42–4.1.6

=–8

x1= 2

4 8– – –

i4 2 2

2

– –=

=–2–ñ2i

x2=4 8

2

– –+

i4 2 2

2

–=

+

=–2+ñ2i olduğundandenkleminçözümkümesi{–2–ñ2i,–2+ñ2i}

olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

326

CEVAP ANAHTARLARI

7. P(x)=x40+2.x22–3x11 ise

P(i)=i40+2.i22–3.i11

=1+2.(–1)–3.(–i)

=–1+3i

sayısının reel kısmı–1, sanal kısmı3olduğundan reelvesanalkısımlarıntoplamı2olur.

8. z1–z2=3+4i

+ 2z1+z2=6–i

3z1=9+3i

z1=3+i

3+i–z2=3+4i

z2=–3i olur.

9. z1 =3+4iisez1=3–4i

z2=2+iisez2 =2–i

olduğundan

z1–z2=3–4i–(2–i)

=3–4i–2+i

=1–3iolur.

10. z=(1–i)(3+i)

=3+i–3i–i2

=3+i–3i+1

=4–2i

olduğundan

Re(z)+İm(z)=4+(–2)

=2olur.

11. (3–2i)4.(3+2i)4=[(3–2i)(3+2i)]4

=[32–(2i)2]4

=[9–(–4)]4

=134olur.

12. (1+i)6+(1–i)6=[(1+i)2]3+[(1–i)2]3

=(2i)3+(–2i)3

=0olur.

13.

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

ii

iii

i i

i i

i

i3 23 2

2 3 13 2 3 2

2 3 3 2

––

– –

–2

+

++ =

+

+ ++

–i

i i i i

9 4

6 4 9 61– 2

2

=+ + +

i

i13

6 13 6––=

+

=i–i

=0olur.

14. 2z+i=i.z–1ise2z–iz=–1–i

z(2–i)=–1–i

z=ii

ii

21 2

2–– –

$++

i

i i i

4

2 2

–

– – – –2

2

=

i

51 3– –

= olur.

15. z=x+yiise

x+yi+2.(x–yi)=3+2i

x+yi+2x–2yi=3+2i

3x–yi=3+2iise

3x=3ve–y=2

x=1y=–2olduğundanx+y=–1olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

327

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 22

1. (1–x1).(1–x2)=1–x1–x2+x1.x2 =1–(x1+x2)+x1.x2 =1–3–5

=–7olur.

2. x12+x2

2=(x1+x2)2–2x1.x2

m

23

22

–2

$= d n

– m49

=

m49

41

– = isem=2olur.

3.

( ) ( ).a

bba

a bb a1 1

+ =+

–

33

32

=

–32

= olur.

4. x1.x2=m

31

2+

= isem+1=6

m=5olur.

Buradanx1+x2=m

32

35

12– –

= = olur.

5. Denkleminköklerinintoplamıx1+x2=4olduğundan

x1–x2=2

+ x1+x2=4

2x1=6

x1=3 olur.

x1=3değeridenklemisağlayacağından

32–4.3+m=0

–3+m=0

m=3olur.

6. Denkleminköklerinintoplamıx1+x2=–2olduğundan

3x1–x2=10

+ x1+x2=–2

4x1=8

x1=2 olur.


22+2.2+m–1=0

7+m=0

m=–7olur.

7. a b1 1

1–+ = ise .a b

a b1–

+=

m2 12

1–

–+

=

2m–1=2olur.

m23

= olur.

8. xx1

1– –12

= ise .

x

x x 11

––

2

1 2=

x2 1

1– –

–2

=

x2=3olur.


32+3(3–m)–2=0

16–3m=0

m=316

olur.

9. Denkleminköklerininçarpımıx1.x2=8dir.

x1.x2=8

x22.x2=8

x23=8

x2=2olur.


22+2(m–1)+8=0

2(m–1)=–12

m=–5olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

328

CEVAP ANAHTARLARI

10. x1.x2=x

2

4 2isex1.x2=2x2

x1=2

x1+x2=x

2

1–1ise2+x2= 2

1

x2=– 23olur.

11. Denkleminköklertoplamıx1+x2=4dür.

x1+x2=4

x

x3

42

2+ =

x

3

44

2=

x2=3olur.


32–4.3+m–1=0

m=4olur.

12. İkidenkleminherikiköküdeortakise

m n

12

43–= = olduğundan

m

23–

= isem=–6

n

24

= isen=8vem+n=2olur.

13. Kökler çarpımı–3 ve kökler toplamı 4 olan ikinci derecedenklem

x2–4x–3=0dır.

14. x1=4+ñ5isex2=4–ñ5olacağından x1+x2=4– 5 4 5+ +

=8

x1.x2=(4–ñ5)(4+ñ5) =42–(ñ5)2

=11vedenklemx2–8x+11=0olur.

15. –x x a1 1 4

1 2+ =

–.x x

x x

a4

1 2

1 2+=

–a

3234

4=

a=–2olur.

x x a

c1 1

1 2$ =

ac

321

=

ac

23

=

c=–3olur.

Buradana+c=–5bulunur.

16. a+b=4 2a.2b=–3

4.a.b=–3

4m=–3

m=–43

2a+2b=–n

2(a+b)=–n

–8=n

Buradann–m=–8– –43

d n

–429

= olur.

17. x1+x2=3

–x1+(–x2)=–n

–(x1+x2)=–n

n=3

x1.x2=m

(–x1)(–x2)=–4

x1.x2=–4

m=–4olduğundanm+n=–1olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

329

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 23

1. n=7ise,

İçAçılarıToplamı=(7–2).180°

=5.180°=900°

DışAçılarToplamı=360°

2. Beşgeniniçaçılarıtoplamı=(5–2).180

=540°dir.

90°+130°+100°+x+x+10°=540°

2x=210°

x=105°bulunur.

3. 165°likiçaçıdanxtaneaçıolsun.

Kenarsayısın=x+3olacaktır.

Dışaçılarıtoplamı360°olduğundan

30°+10°+5°+15°.x=360°

x=21bulunur.

n=x+3olduğundann=24olur.

4. n=10olduğuiçinbirdışaçı °10360

36= olur.

Biriçaçıilebirdışaçınıntoplamı180°olduğuiçin

İçaçı=180°–36°=144°olur.

5. Düzgünbeşgeninbiriçaçısı144°dir.

36°

36°

x144°

x=144–36=108°dir.

6.

|EF|=|DE|=|EG|olur.

m(DéEF)=120°vem(DéEG)=90°ise m(FéEG)+120°+90°=360°denm(FéEG)=150°olur. EFGikizkenarüçgenindenm(FéGE)=15°ve 15°+90°+x=180°⇒x=75°bulunur.

7.

BAFveFAEbirerikizkenarüçgenolduklarından

m(AéBF)=m(AéFB)=m(FéAE)=m(FéEA)=30°olurveAKFüçgenininiçaçılartoplamından

30°+30°+x=180°⇒x=120°bulunur.

8. A

x

2x

xx

x

B

P

C

D

100°

E

F

BÿCDileDÿEFeşikizkenarüçgenlerolduğundan m(CéBD)=m(CéDB)=m(FéDE)=m(DéFE)=x m(CéDE)=2x+100°(içaçı) m(BéCP)=2x(dışaçı) 2x+100+2x=180°

4x=80°

x=20°Ohalde,

Dışaçı=2x=2.20=40°olur.

Kenarsayısı= 40°360°

=9bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

330

CEVAP ANAHTARLARI

9.

m(FéBC)=60°olduğundan m(FéBA)=108°–60°=48°bulunur. |FB|=|BC|⇒|FB|=|AB|dir.

DolayısıylaABFbirikizkenar üçgenolurve

m(FéAB)=m(AéFB)=xolur. ABFniniçaçılarından,

x+x+48°=180°

x=66°bulunur.

10.

x

FT

E C

BA

D

54° 54°

108°

108°

108°

54°

Düzgünbeşgenin içaçıları108°dir.

[EF] simetri ekseni olaca-ğından

m(DéEF)=m(FéEA)=54° olur.

|ED|=|DC|ve|ET|=|TC|

olduğundanDETCdeltoid-dir.

Buradanm(DéCT)=m(DéEF)=54°olur. m(TéCF)=x=108°–54° =54°

11.

Düzgünaltıgeniniçaçılarına120°yazdıktansonra

m(EéFM)=36°vem(EéDM)=28°bulunur.

FMDEiçbükeydörtgenindefüzekuralıuygulanırsa

120°=36°+28+x⇒x=56°bulunur.

12.

x

y y

30°

Düzgünaltıgeninbiriçaçısınınölçüsü120°olduğundan

30+2y=180 x+y=120

2y=150 x+75=120

y=75 y=45olur.

ADIM 24

1.

180° – x

BveDköşelerindekiiçaçılardoğruaçıdanşekildekibilgileryazılır.

90°+60°+70°+180°–x=360°

x=40°bulunur.

2. y

y

70° 80°

120°

x

120+80+70+2y=360 x+y+70=180

270+2y=360 x+45+70=180

2y=90 x+115=180

y=45 x=65

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

331

CEVAP ANAHTARLARI

3. [AE]ve[BE]ardışıkaçıortaylarolduğundan

) )

2m( m(C

dir.aD

=+X X

m(ëD)=110°–m(ëC)denm(ëD)+m(ëC)=110°olur.

2110° 55°a = = bulunur.

4. x

752

80°

°=

+

x+80°=150°

x=70°bulunur.

5.

m(DéCB)=180°–70°=110°bulunur. [DE]ve[BF]karşılıklıaçıortaylarolup

x2

110° – 90°=

x=10°bulunur.

6.

50°45°

140°

F

x

D

C

AB

E

nnm

m

Dörtgeninbiriç,birdışaçıortayıçizilmişsedışaçıortayınyanın-danbiriçaçıortayçizelim.[AF]çizilirse daha rahat bir çözümyapılacaktır.

2m+2n=180°olduğundan

m+n=90°dir.

m(EéAF)=90°dir.

[AF]ve[CF]karşılıklıaçıortaylarolduğundan

m(AéFE)=2

140° – 50°45° dir.=

AEFüçgeninde

x+90°+45°=180°

x=45°bulunur.

7. Şekliçizelim.

60°60°

60°50°

A D

C

B

80°

50°

[BD]çizilirseBCDüçgenieşkenarüçgenolur.m(AéBD)=80°bulunur.

ABDüçgeniikizkenarüçgenolduğundanm(BéDA)=50°dir. m(AéDC)=50°+60°=110°bulunur.

8. Kuralıuygularsak;

x+2x+3x=90°

6x=90°⇒x=15°bulunur.

9.

150°

A

B Dnmm n

C30°

E

x

Çözüm için ABCD dörtgeninindışaçılarınıkullanalım.

2m+2n+90°+30°=360°

2m+2n=240°

m+n=120°dir.

BEDCdörtgeninde,

m+n+x=150°

120°+x=150°

x=30°bulunur.

10. ABCDdörtgeninde[AC]^[BD]olduğundan,

|AD|2+|BC|2=|DC|2+|AB|2

62+x2=52+72

x=ò38cmbulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

332

CEVAP ANAHTARLARI

11.

B E C

D

A

8

9

F

6

10

ABCüçgenindepisagoruygularsak,

172=82+|BC|2 ⇒(8-15-17)üçgeninden,

|BC|=15cm,

|BE|=15–9=6cmbulunur.

ABEüçgenindepisagoruygularsak,

|AE|2=62+82 ⇒(6-8-10)üçgeninden,

|AE|=10cmbulunur.

AECDdörtgeninde[AC]^[DE]olduğundan,

102+|DC|2=|AD|2+92olur.

|AD|2–|DC|2=102–92

|AD|2–|DC|2=19cm2bulunur.

12. ABCDköşegenleridikkesişenbiriçbükeydörtgenolduğun-dan,

|AB|2+|CD|2=|AD|2+|BC|2

22+x2=32+12

x=ñ6cmbulunur.

13. D

6

4

A

B x

2ñ3

C

[AC]köşegeniçizilirse

|AC|2=42+62=(2ñ3)2+x2

(Pisagorbağıntısı)

16+36=12+x2

x2=40

x=ò40cm x=2ò10cmbulunur.

14.

60°

45° 5ñ2

8ñ3

45°

D30°

A

B C12

12K

L 5

5

[DK]^[AB]ve[DL]^[BC]olacakşekilde,[DK]ve[DL]dik-meleriçizildiğinde

AKD(30°-60°-90°)üçgeninden,|KD|=|BL|=12cm

DCL(45°-45°-90°)üçgeninden,|DL|=|LC|=5cmolur.

|BC|=x=5+12=17cmbulunur.

15. KLMNparalelkenarolacağından,

|KL|=|MN|=4cm

|KN|=|LM|=3cmolacaktır.

Çevre(KLMN)=4+4+3+3=14cm

Çevre(KLMN)=|AC|+|BD|=14cmbulunur.

16. D

B

C

L

A 8

15

17

K

T

[KM] // [BD]olacak şekilde[KM],

[ML]//[AC]olacakşekilde [ML]paralelleriçizilir.

MK2

BDMK 8 cm= =&

(DABüçgenindeortatabandan)

ML2

ACML 15 cm= =& (DACüçgenindeortataban)

m(AéTD)=m(KéML)=90°paralellikteneldeedilir.

KMLbir(8-15-17)üçgeniolup|KL|=17cmbulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

333

CEVAP ANAHTARLARI

17. ABCDdörtgenindeköşegenuzunlukları|AC|=4ñ2cm |BD|=12cmolduğundan,

A(ABCD)=21

|AC|.|BD|.sin45°

(135°’ninbütünleriolan45°’yiaçıolarakkabulederiz.)

A(ABCD)=21

4ñ2.12 22

$

A(ABCD)=24cm2bulunur.

18. Alan(ABCD)=21

|AC|.|BD|.sin60°

45=21

x.12 23

$

x=5ñ3cmbulunur.

19. |BD|=2|AC|⇒|AC|=xve|BD|=2xolsun.

A(ABCD)=72= 22x.x

x2=72⇒x=6ñ2cmbulunur.

20. A

C

B D

|BD|=2x

|AC|=x

A=.x x

2

272=

x2=72

x=6ñ2

21. K,L,M,NnoktalarıABCDdörtgenininkenarortanoktalarıolduğundan,

Alan(KLMN)2

Alan(ABCD)=

A(ABCD)21

8 3 .10.sin60°=

21

8 3 .102

3= $

A(ABCD)=60cm2

A(KLMN)260

30= = cm2bulunur.

22.

K

A

E

DB

F

CG

12

135

EFGbir(5-12-13)üçgeniolup|FG|=5cmolur.

K noktası orta nokta olacak şekilde [GK] ve [EK] çizilirseFGKEbirdikdörtgenolur.

Alan(FGKE)=5.12=60cm2

Alan(ABCD)=2.Alan(FGKE)=2.60

=120cm2bulunur.

23.

D N C

M

B

KS2

5

7

S3

S1

AL

[MN]çizildiktensonra

Alan(MNC)=S1

Alan(KLMN)=S2

Alan(BLM)=S3

Alan(AKL)=5cm2

Alan(DKN)=7cm2

S1+S2=28cm2

S2= 2

A(ABCD)

S1+5= 4

A(ABCD)

+

S1+S2+5= 4

3.Alan(ABCD)

28+5=33=4

3.Alan(ABCD)

Alan(ABCD)=44cm2bulunur.

S3+7= 4

A(ABCD)

444

11= = cm2

S3=11–7=4cm2bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

334

CEVAP ANAHTARLARI

24. D

C

AB

S

6E

12

4

A(AEB)=Solsun,

S.4=6.12

S=18cm2bulunur.

25.

x

y

OB

A C

DKS1

S2S3

L

Şekildikdörtgene

tamamlandığında

|KD|=8br

|KL|=7brdolayısıyla,

A(KLOD)=8.7=56br2olur.

|AK|=2br,|KD|=8brise.

S br2

2 881

2= =

|AL|=5br,|LB|=3brise.

S br2

5 3215

22= =

|BO|=5br,|OC|=5brise.

S br2

5 5225

32= =

A(ABCD)=A(KLOD)–[S1+S2+S3]

=56– 8215

225

+ +d n

=56–28

=28br2olur.

ADIM 25

1. x+50°=180°⇒x=130°

y+125°=180°⇒y=55°

x–y=130°–55°=75°buluruz.

2. D C

A B

E65°

65°40°

25°α

= 50

°

[AB]//[DC]olduğundan

(Mkuralından)

m(DéEA)=40°+25° m(DéEA)=65°bulunur.

ADEikizkenarüçgenindem(AéDE)=m(AéED)=65°olur. a+65°+65°=180°⇒ a=50°bulunur.

3.

40°

40°

x = 70°

100°

20°20°

E

A B

CD

AveCnoktalarıbirleştirildiğindeADCüçgeninde

|DC|=|AD|olduğundanm(DéCA)=m(DéAC)=40°olur. Zkuralındanm(DéCA)=m(CéAB) ABC üçgeninde, [AE] ^ [BC] ve |CE| = |BE| olduğundan,

ikizkenarüçgenkuralındandolayı[AE]açıortay|AC|=|AB|özellikleritamamlanır.

m(CéAE)=m(EéAB)=20°veEABüçgeninden 20°+90°+x=180°⇒x=70°bulunur.

4. D

A G B

FE

4 3

5

C2

EFGüçgenibir (3-4-5)üçgeniolduğundan |EF|=5cmbulunur.

[EF], yan kenarların orta noktalarını birleştiren bir doğruparçasıoluportatabandır.

Öyleyse,|EF|=2

DC AB+

5=2

2 AB+

|AB|=8cmbulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

335

CEVAP ANAHTARLARI

5. D 2 C

F

4

1E

K

3

4

5

BA 8

Fortanoktasından[KF],

[KF] // [DC] olacak şekildeçizilirve[KF]ortataban,

|KD|=|AK|olur.

|KF|=2

2 8+=5cmolur.

OluşanKEFdiküçgenibir

(3-4-5)üçgeniolduğundan|EK|=3olur.

|KD|=|AK|=3+1=4cm

|EA|=|EK|+|AK|=3+4

|EA|=7cmbulunur.

6.

A B

E F

D 4 C

10

5

2 2ML

K ADC ve BCD üçgenlerinde

benzerlikoranındandolayı;

|EL|–|MF|= 2DC

|EL|=|MF|=2cm

eldeedilir.

ADBüçgenindebenzerlikoranındandolayı

|EM|= 2AB

⇒|EL|=210

=5cm

|LM|=5–2=3cmbulunur.

Öyleyse | |

| | | |

MF

LM EL

23 2

21– –

= = bulunur.

7. |KP|=|PL|=xolsun

x1

31

61

= + ⇒x–2cmbulunur.

|KL|=2x=4cmeldeedilir.

8.

A S B

D

K

2

8L

R C

m(DéLA)=90°bulunur.

ADLdiküçgenindeöklitbağıntısıuygulandığında,

|KL|2=2.8⇒|KL|=4cmolur.

Açıortayteoreminden|KL|=|RL|=|LS|dikmelerieşitolur.

[DC]ve[AB]arasıuzaklık|RS|=4+4=8cmbulunur.

9.

m(DéKA)=m(CéLB)=90°olur. [RS]//[DC]//[AB]olacakşekilde[RS]paraleli[KL]üzerin-

dençizilirveortatabanolur.

|DR|=|RK|=|AR|=6cm

|CS|=|SB|=|LS|=8cmeldeedilir.

Ortatabandan|RS|=6+8+x=2

7 23+

14+x=15cm

x=1cmbulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

336

CEVAP ANAHTARLARI

10.

[DE]//[BC]olacakşekilde[DE]çizilirve

|DC|=|EB|=x

|BC|=|DE|=y

m(ëB)=m(DéEA)=aeşitliklerieldeedilir.

|EB|=xolduğundan,|AE|=(x+y)–x

|AE|=yeldeedilir.

|AE|=|DE|=yolduğundanm(DéAE)=m(AéDE)=70°olur. ADEikizkenarüçgeninden70°+70°+a=180°

a=40°bulunur.

11.

m(ëA)=a,m(ëB)=bolsun [AD]//[CE]olacakşekilde[CE]çizilirve

|AD|=|EC|=6cm

|DC|=|AE|=7cm

m(ëA)=m(CéEB)=a(yöndeşaçı)eşitliklerieldeedilir. m(ëA)+m(ëB)=a+b=90°olduğundan m(EéCB)=90°olur. CEBüçgenindepisagoruygulanırsa

|EB|2=62+82(6-8-10)üçgeni

|EB|=10cmolur.

|AB|=7+10=17cmeldeedilir.

12.

m(ëB)=45°olduğundan[DF]ve[CE]dikmeleriçizilir.

|DC|=|EF|=7cmveBECüçgeni(45°-90°-45°)ikizkenardiküçgeniolurve|CE|=|EB|=8cmeldeedilir.

|CE|=|DF|=8cm(yüksekliklereşit)

AFDdiküçgeninde|AD|=10cmve|DF|=8cmolduğundan

|AF|=6cmolur.(6-8-10üçgeninden)

|AB|=|AF|+|FE|+|EB|=6+7+8=21cmbulunur.

13. [DCve [AKuzatılıpLdekesiştirilince

|AD|=|DL|=8cmve

|CL|=3cmeldeedilir.

(CKL~BKA)

BenzerliktenABCL

KBCK

=

123

KB

CK= ⇒

KB

CK

41

= bulunur.

14.

[ER]//[DC]olacakşekilde[ER]paraleliçizilince

AD

AE

4

ER= ⇒

21

4

ER= ⇒|ER|=2cmolur.

ABER

AKRK

= ⇒ AKRK

62= dan

|RK|=2k,|AK|=6k,|AR|=|RC|=8kdiyebiliriz. (k=orantısabiti)

Öyleyse KC

AK

10k6k

53

= = bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

337

CEVAP ANAHTARLARI

ADIM 26

1. D Cx |DE|=|BC|=4cm

|DC|=|EB|=x

|AE|=5–xeldeederiz.

ADEüçgenindepisagoruygulanırsa52=42+(5–x)2

x=2cmbulunur.

2.

A

D 3

3 x – 3

x

x

6 6

C

B

|BC|=|AB|=xolsun. Dik indirilip pisagor bağıntısı

uygulanırsa 36+(x–3)2=x2

36 x –6x 9 x2 2+ + =

45–6x

x215

=

3. [EK]//[AD]olacakşekilde [EK]çizildiğinde[DE]ve[CE]

açıortayolduğundan

|DK|=|KC|=|EK|olurve

|AF|=|FB|=4cmbulunur.

[DH]dikmesiçizildiğinde|AD|=|BH|=5cmve

|HC|=11–5=6cmolur.

|DH|=|AB|=8cmyüksekliktir.DHCbir(6-8-10)üçgeniolacağından|DC|=10cmbulunur.

|DK|=|EK|=|KC|=5cmolur.

[FK]ortatabanolduğundan|FK|–x+5=2

5 11+=8

x=3cm eldeedilir.

4.

8

m(DéCE)=m(CéEB)=a(içtersaçı) |BC|=|BE|=17cmolur.

[CH]dikmesiçizilince|AD|=|CH|=8cmolur.

CHBbir(8-15-17)üçgeniolduğundan|HB|=15cmve

|EH|=17–15=2cmbulunur.

|DC|=|AH|⇒10=x+2

x=8cmeldeedilir.

5.

|AD|=holsun

h 3.12= ⇒h=6cmolur.

ADCdiküçgenindepisagoruygulanırsa

|AC|2=32+62 ⇒|AC|=3ñ5cmbulunur.

6.

m(DéCA)=m(DéAC)=2

180° – 110°=35°

m(DéCA)=m(CéAB)=35°(içtersaçı) m(DéAB)=m(ëB)=70°(ikizkenaryamuk)

ABCüçgenininiçaçılarıtoplamından

35°+70°+a=180°

a=75°eldeedilir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

338

CEVAP ANAHTARLARI

7.

m(DéCA)=m(DéAC)=adersek m(CéAB)=aolur.(içtersaçıdan) m(ëB)=m(DéAB)=2aolur.(ikizkenaryamuktanoluşur.)

ABCdiküçgeninde,

a+2a+90°=180°

a=30°eldeedilir.

ABCbir(30°–60°–90°)üçgeniolduğundan

x=5ñ3cmeldeedilir.

8.

[AH]ve[DK]yükseklikleriçizildiğinde

|AD|=|HK|=7cm

|BH|=|KC|=2

17 – 7=5cmolur.

ABHveDCKeşdiküçgenlerolup(5-12-13)üçgenleridir.

Dolayısıyla,|AH|=|DK|=12cmbulunur.

9.

ABCDbirikizkenaryamukvem(AéEB)=120°olduğundanDCEveABEbirer(30°-30°-120°)üçgeniolurlar.

x=|DE|=|EC|=5cm

y=|AE|=|EB|=7cm

x+y=5+7=12cmeldeedilir.

10. 45°

BHCbirikizkenardiküçgenve|CH|=|HB|=4cmolur.

|AB|=7+4=11cm

Alan(ABCD)=2

(3 11) .4+


11. |AB|=2+8

|AB|=10cm

ADBdiküçgenindeöklitbağıntısıkullanırsak,

h2=2.8⇒h=4cmolur.

Alan(ABCD)=2

(6 10) .432cm2

+= eldeedilir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

339

CEVAP ANAHTARLARI

12.

Alan(ABC)

Alan(ACD)

73

= olduğundan

A(ADC)=3SveA(ABC)=7Sdiyebiliriz.

Öyleyse,Alan(ABCD)

Alan(ACB)

3S 7S7S

107

=+

= bulunur.

13.

A(ADE)=A(CEB)=Solsun.

S 3.12= ⇒S=6cm2olur.

A(ABCD)=6+6+3+12=27cm2bulunur.

14. AEDdiküçgeni(8-15-17)özeldiküçgeniolduğundan

|AD|=15cmbulunur.

Alan(AED)=2

8.15=60cm2

Alan(AED)=2

8.15=60cm2

Alan(AED)=( )A ABCD

2

60=( )A ABCD

2


15.

A B

D C |AD|=2+16

|AD|=18cm

AEFdiküçgeni(12-16-20)

özeldiküçgeniolduğundan

|EF|=12cmbulunur.

[DE]çizilirse,A(ADE)=2

18.12

=108cm2

Alan(ABCD)=2.A(ADE)

=2.108

=216cm2bulunur.

16.

Alanlarıeşitisetabanlarıtoplamıdaeşittir.

A(EBCF)

A(AEFD)1

x 35 6 – x

= =+

+

x+3=11–x⇒x=4cmbulunur.

17.

EFGbir(5-12-13)üçgeniolup|EG|=5cmeldeedilir.

|EF|ortatabanolduğundan

|EG|=|EH|=5cm

|GH|=10cmolupyamuğunyüksekliğiolur.

Alan(ABCD)=|GH|.|EF|=10.12

=120cm2bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

340

CEVAP ANAHTARLARI

18.

[DK]ve[CL]dikmeleriindirilince

|KL|=|DC|=5cm

|AK|=|LB|= cm2

17 56

–=

olur.

AKDveBLC(6-8-10)üçgenleriolup

|DK|=|CL|=8cmolur.

Alan(ABCD)=2

(5 17) .888 cm2

+= eldeedilir.

19. Köşegenleridikkesişenikizkenaryamuklardayüksekliküstvealttabantoplamlarınınyarısınaeşittir.

h=2

2 8+=5cmolur.A(ABCD)= .

2

(a c)h

+

Alan(ABCD)=h2=52=25cm2bulunur.

ADIM 27

1. 70° = x + 40°

110° = y – 10°70°

m(ëA)=m(ëC)⇒x+40°=70°

x=30°

m(ëA)+m(ëB)=180° 70°+m(ëB)=180° m(ëB)=110°=y–10° y=120°olur.

x+y=30°+120°=150°bulunur.

2. D E C

A B

m(EéBC)+m(DéFE)=80°(Mkuralı)

y+25°=80°⇒y=55°olur.

m(AéBC)=2y=110°olur. m(AéBC)+m(ëC)=180° 110°+x=180°

x=70°bulunur.

3. D E C

B

42°

62° 56°124°

A

Eşitliklerişaretlenirse|AD|=|EC|=|BC|olur.

124°+m(ëC)=180°⇒m(ëC)=56°dir. BCEikizkenarüçgenolduğundan

m(BéEC)=m(EéBC)=62°bulunur. m(BéED)=180°–62°=118°dir.

4.

138°

D

Aaa

B

F

a aE C

m(EéAB)=m(EéAD)=adenilirse m(DéEA)=aolur.(Zkuralı) |DF|=|FE|olduğundanm(FéDE)=aolur. ADEüçgenindea+a+a+138°=180°

3a=42°isea=14°bulunur.

m(BéCD)=2a=28°dir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

341

CEVAP ANAHTARLARI

5.

m(DéEA)=m(EéAB)olacağındanADEikizkenarüçgenolup |BC|=|AD|=|DE|=7cmolacaktır.

|DC|=|AB|=2+7=9cmolur.

Çevre(ABCD)=2(|AB|+|BC|)

Çevre(ABCD)=2(9+7)

Çevre(ABCD)=32cmbulunur.

6.

İçtersaçılarişaretlenerekikizkenarlarbulunur.

|AD|=|DF|=9cm

|FC|=|DE|=12–9=3cm

|EF|=9–3=6cmeldeedilir.

7.

y

[AE]ve[BE]açıortayolduğundanm(AéEB)=90°olur. |AF|=ydeyipAEBüçgenindeöklituygulanırsa,

62=y.4⇒y=9cmolur.

|DC|=x=9+4=13cmbulunur.

8.

m(DéEA)=90°olur. [FEuzantısına[EK]doğruparçasıçizilirse

|DK|=|EK|=|AK|=5cm(Muhteşemüçlü)

|KF|=|AB|=x=5+7

x=12cmbulunur.

9. |DE|=|EC|=a |AB|=2aise

AB

DE

KB

DK=

(Kelebekkuralı)

=2aa

18x

⇒x=9cmbulunur.

10.

D E 2C

F

A B8

3k

k

ABFüçgenindetemelbenzerlikuygulanırsa,

FA

FE

82

41

= = ⇒|EF|=kdersek

|FA|=4k

|AE|=3kolur.

AE

AF

3k4k

34

= = bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

342

CEVAP ANAHTARLARI

11. |DF|=2k

|FC|=k

|AB|=3kdiyebiliriz.

[EL]//[AB]olacakşekilde[EL]çizildiğinde

ADFüçgenindeDF

EL

AD

AE= (ortataban)

=2k

EL

21

⇒|EL|=kolur.

AB

EL

KB

EK= (kelebekkuralı)

3kk

x

EK= ⇒ EK

3x

= olur.

|EB|=x3x

34x

+ = =8

x=6cmbulunur.

12. |DG|2=|GF|.|GE|

62=3.(3+x)

x=9cmbulunur.

13. |AK|+|CP|=|DL|+|BN|=2|EM|olduğundan

6+y=8+2=2x

6+y=1010=2x

y=4x=5

x–y=5–4=1olur.

ADIM 28

1. � �

� � ��

��

|BC|=|AD|=5cm

ADEbir(3–4–5)üçgeniolduğundan|DE|=4cmolur.

Alan(ABCD)=|AB|.|DE|=4.12=48cm2bulunur.

2. I. Yol

Alan(ABCD)=8.12.sin60°

Alan(ABCD)=8.122

3$

Alan(ABCD)=48ñ3cm2bulunur.

II. Yol

[DH]^[AB]dikmesiçizilir.

DAH(30°–60°–90°)üçgeninde60°ninkarşısı

|DH|=4ñ3cmolur.

Alan(ABCD)=4ñ3.12=48ñ3cm2bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

343

CEVAP ANAHTARLARI

3. D C

BA

E

3k

24

k 8

32

|AE|=kdersek|DE|=3kolur.

[BD]çizilirseA(DBE)=24cm2veA(DBC)=32cm2olur.


4. 4S

5S10S

D Ek 4k C

F

BA

S

|DE|=kise|EC|=4kolur.

[DF]ve[DB]’yiçizelim.

A(ECF)=4Sdersek

A(DEF)=S,A(BFD)=5SveA(ADB)=10Seldeedilir.

= =( )

( )

A ABCD

A EFC

SS

204

51bulunur.

5.

1218

8

D C

F

BE k

2a

3b

2b

3a

3k

2kA

|EB|=kdersek|AE|=2kolur.

|AB|=|CD|=3kolacaktır.

Kelebekbenzerliğinden = =FE

DF

AF

FC

23bulunur.

A(AFE)=8cm2 ⇒A(ADF)=12cm2

A(ADF)=12cm2 ⇒A(DFC)=18cm2dir.

A(ABCD)=2.A(ADC)=2.30=60cm2bulunur.

6. Alan(ABE)=.

210 6

=30cm2

Alan(ABE)=2

Alan(ABCD)=30cm2


7.

[FG]//[DA]

Alan(EGF)=STemelbenzerlikteortatabandanyazılır.

Alan(ADFG)=3S

Alan(ADE)=( )Alan ABCD

2

4.S=2

Alan(ABCD) ⇒Alan(ABCD)=8.S=72cm2

Alan(FGE)=S=9cm2bulunur.

8.

|BC|=|AD|=12cm

PBCbir(5–12–13)üçgenidir.

A(PBC)=2

5.12=30cm2olur.

A(ADP)+A(PBC)=A(DPC)+A(APB)

15+30=A(DPC)+A(APB)

A(DPC)+A(APB)=45cm2bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

344

CEVAP ANAHTARLARI

9. A(KBC)=.2

3 4=6cm2

Alan(ABCD)=4.A(KBC)

Alan(ABCD)=4.6=24cm2bulunur.

10. |DE|=|EA|olduğundan

Alan(EAB)=( )Alan ABCD

4

Alan(EAB)=.2

3 10 =15cm2


11.

[AE]ve[EF]çizilirse

Alan(AEF)=.2

4 12=24cm2

Alan(AEF)=.S8

3=24cm2

Alan(ABCD)=S=64cm2bulunur.

12.

A(ABCD)=12A=120 A=10cm2olur. A(EDFGK)=4A=40cm2bulunur.

13. A(ABCD)

A(EFGH)

21

DC

HG

AB

EF= +f p

80

A(EFGH)

21

51

41

= +d n

80

A(EFGH)

409

=

Alan(EFGH)=18cm2bulunur.

14.

10836

31

=

Yükseklikleri aynı olduğundan yukarıdaki alan ve tabanoranlarıverilir.

234=A+3A+36+108

4A=90⇒A=22,5cm2bulunur.

ADIM 29

1.

28°62°

56°34° 73° 107°

D E C

BA

F62°

ABCDdikdörtgenolduğundan

|BC|=|AD|=|DF|=|DE|vem(DéAF)=90°–28°=62°bulunur.

ADFikizkenarüçgenolduğundan

m(AéFD)=62°vem(AéDF)=56°dir. m(FéDE)=90°–56°=34°vem(DéEF)=73°bulunur. m(FéEC)=180°–73°=107°dir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

345

CEVAP ANAHTARLARI

2.

E

D C

A F B

x + 21

x + 21x x21°

Dikdörtgeninköşegenlerieşitolduğundan

|AE|=|EC|=|BE|=|ED|dir.

m(EéBF)=xdersek m(EéAB)=xvem(EéFB)=m(FéEB)=x+21olur. EFBüçgeniiçin

3x+42°=180°

3x=138°

m(EéBF)=x=46°bulunur.

3.

F

[AC]çizilirse,|AC|=|BD|=|AE|ve

|AF|=|BF|=|CF|=|DF|olur.

m(BéAC)=40°ve|AC|=|AE|olduğundan m(AéEC)=m(AéCE)=70°olur. a+50°=70°

a=20°olur.

4.

x = 3m

3mm

m

m

m

m m

Butarzeşdikdörtgenlerleoluşturulmuşşekillerdekısake-naraisimveriptümçevreeldeedilir.

Burada,kısakenaramdediğimizdeuzunkenarınküçükdik-dörtgende3molduğugörülür.

Çevre(ABCD)=36=2.9m⇒m=2olur.

x=3m⇒x=6cmbulunur.

5. x = 55°

|AE|=|EB|=|DE|=|EC|eşitliğiolduğundan

m(CéAB)=m(DéBA)=m(DéCA)=m(BéDC)=25° DEFeşkenarüçgenolduğundan|DE|=|EF|=|DF|dir.

m(DéEF)=m(DéFE)=60°dir. DCEüçgenindem(DéEC)=130°olup m(FéEC)=130°–60°=70°bulunur. FECikizkenarüçgeninden

70°+x+x=180°⇒x=55°olur.

6.

|AD|=|BC|=9cm,|AE|=|EB|=x2

ADE ~BEFolacağından

2x9

42x

= ⇒144=x2

x=12cmbulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

346

CEVAP ANAHTARLARI

7.

|LC|=|AK|=4cmdir.

m(CéBA)=90°olur. CBAüçgenindeöklitbağıntısıuygulanırsa

x2=4.9⇒x=6cmbulunur.

8.

|DE|=|EC|=AB

2=adersek

=AB

DE

FB

DF ⇒ =

aa DF

2 10 (Kelebekbenzerliği)

|DF|=5cmolur.

m(DéAB)=90°olupADBüçgenindepisagoruygulanırsa 152=92+|AB|2

|AB|=x=12cmbulunur.

9. x2+42=22+72

x2=37

x=ò37cmbulunur.

10.

[FK]^[AB]çizilince|AK|=3cmve|KB|=12cmolur.

FABüçgenindeöklitbağıntısıuygulanırsa

|FK|2=3.12

|FK|=6cmbulunur.

|EK|=|BC|=7cmolduğundan

|EF|=x=7–6=1cmbulunur.

11.

[MK]//[AB]çizildiğinde|DM|=|MA|=2cmolur.

m(MéDK)=m(KéDC)=45°olur. DMKüçgeniikizkenardiküçgenolacağından

|DM|=|MK|=2cmolur.

|MT|=|AB|=12cmise|KT|=12–2=10cmbulunur.

12. |EF|=|EB|ve|BC|=|FC|olur.

|DF|=2|AE|⇒|AE|=k,

|DF|=2kdiyelim.

CDF~FAEolupbenzerlikoranıDF

AE

2kk

21

= =

olduğundanCF

EF

21

= olur.

Dolayısıyla|EF|=a,|FC|=2aolur.

CFEdiküçgenindepisagoruygulanırsa,

202=a2+(2a)2

5a2=400

a=4ñ5cmbulunur.

|BC|=|CF|=2a=8ñ5cmeldeedilir.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

347

CEVAP ANAHTARLARI

13. Kenarlarardışıktamsayıolduğun-dan,

|AD|=x

|AB|=x+1olur.

Alan(ABCD)=72=x.(x+1)

x=8cmbulunur.

Çevre(ABCD)=2(x+x+1)=4x+2

Çevre(ABCD)=4.8+2=34cmbulunur.

14. Paralelkenarözellikleridikdörtgendedegeçerlidir.

[EB] çizildiğinde oluşan AEB üçgeninin alanı dikdörtgeninalanınınyarısınaeşittir.

Alan(AEB)=.

210 6

=30cm2

Alan(ABCD)=2.30=60cm2olur.

15.

|FB|=|BC|=xve|AF|=yolsun

EABüçgenindeöklitbağıntısıuygulanırsa

82=x.(x+y)⇒64=x(x+y)

Alan(ABCD)=x.(x+y)=64cm2bulunur.

16.

60°

Köşelere90°işaretlenincem(DéLA)=30°olur.

m(DéLC)=m(CéLB)=2

180° – 30°=75°olur.

[DC]//[LB]olduğundanm(DéCL)=75°olup(Zkuralır) |DL|=|DC|bulunur.

ADLbir(30°-60°-90°)üçgeniolduğundan

30°ninkarşısı→|AD|=|BC|=5cm

90°ninkarşısı→|DL|=|DC|=10cm


ADIM 31

1.

E

|DC| = |DE| = |AD| = |AB| eşitliğişeklinüzerineişaretlenir.

EDCikizkenarüçgenolur.

m(ëA)=m(ëC)=80°olur. m(DéEC) = m(AéDE) a = 80° bulunur. (iç ters açı)

2. m(ëC) = m(DéAB) = 70° olur. |DC|=|AD|=|AB|=|AE|eşit-

liğişekilüzerineişaretleninceEAD ve EAB birer ikizkenarüçgenolurlar.

m(AéDE)=m(AéED)=xm(AéEB)=m(AéBE)=y

dersekABEDbirdörtgenolupiçaçılarıtoplamı360°dir.

2x+2y+70°=360°

x+y=145°

m(DéEB)=145°bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

348

CEVAP ANAHTARLARI

3.

m(AéCE)=m(EéCB)=adiyelim [AC]köşegeniaçıortayolduğundan

m(DéAC)=m(CéAB)=m(DéCA)=m(BéCA)=2aolur. ACEüçgenindena+2a=36°isea=12°olur.

ADCüçgeninden2a+2a+x=180°

4a+x=180°

4.12+x=180°

x=132°bulunur.

4.

ñ7ñ3

ñ7

ñ7ñ7

D B

C

A

H E12 1

x

[AC]köşegeninibizçizdiğimizde[AC]^[BD]ve

|DH|=|HB|olur.

|DH|=2cm,|HE|=|EB|=1cmolur.

CDHdiküçgenindepisagoruygulanırsa,

ñ72=22+|CH|2 ⇒|CH|=ñ3cmolur.

CHEdiküçgenindepisagoruygulanırsa,

x2=ñ32+12 ⇒x=2cmbulunur.

5.

[AC]^[BD]dir.

|CB|=|AB|=10cm⇒|HB|=10–8=2cmolur.

CEBüçgenindeöklituygulanırsa

x2=2.8

x2=16⇒x=4cmbulunur.

6. � �

� �

�

� �

��

��

�

�

�

Çevre=4a=20 a=5cmolur.

Köşegenlerbirbirini ikiyeböldüğünden |AK|= |KC|=4cmolur.

DKCbir(3–4–5)üçgeniolduğundan|DK|=|KB|=3cm

Alan(ABCD)2

AC . BD

28.6

= =

Alan(ABCD)=24cm2eldeedilir.

7. [AC] köşegenini çizdiğimizde [AC]^[BD]

|BK|=|KD|=8cm

|EK|=8–2=6cmdir.

AEKdiküçgeni(6–8–10)üçgeniolacağından

|AK|=|KC|=8cmolur.

Alan(ABCD)2

AC . BD

216.16

128 cm2= = = bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

349

CEVAP ANAHTARLARI

8. Eşkenar dörtgende yükseklikler eşit olduğundan |MN|=|KL|dir.

5+x=4+6

x=5cmbulunur.

9. |AE| = x ise |AD|=|AB|=x+4olur.

AEDdiküçgeninde,pisagoruygulanırsa

(x+4)2=x2+82

x2+8x+16=x2+64

8x=48cm

x=6cmbulunur.

|AB|=6+4=10cmolur.

A(ABCD)=8.10=80cm2eldeedilir.

ADIM 32

1. |AB|=|EB|=|BC|olacağından

BECbirikizkenarüçgenolur.

m(EéBC)=90°–60°=30°dir. a+a+30°=180°

a=75°bulunur.

2. Köşegenlerbirbirinidikolarakor-taladıklarından

|DK|=|KC|=|AK|=|KB|=2cm

m(KéAB)=m(KéBA)=45°olur. AKBbir(45°-90°-45°)üçgenioldu-

ğundan|AB|=2ñ2cmolur.

Çevre(ABCD) = 4.2ñ2 = 8ñ2 cmbulunur.

3. [BD]köşegeniçizilince[BD]^[AC]olur.

|DK|=|KB|=|AK|=|KC|=4cmdir.

|KE|=4–1=3cmolur.

DKEbir(3-4-5)üçgeniolacağın-dan|DE|=x=5cmbulunur.

4. |AC|=|DE|=2xolsun

[BD]çizilirse,[AC]^[BD],

|DK|=|KB|=|AK|=|KC|=x

olur.

DKEdiküçgeninde

DE

DK

2xx

21

= = olduğundan

m(DéEA)=a=30°bulunur.

5. DEA @AFBolduğundan

|DE|=|AF|=5cm

|AE|=|FB|=5+7=12cmbulunur.

AFBüçgeni(5-12-13)üçgenioldu-ğundan|AB|=13cmolur.

Çevre(ABCD)=4.13=52cmbulunur.

6. [AC]açıortayolacağındanEKCveEPA birer ikizkenar dik üçgenolurlar.Dolayısıyla,

|EP|=|KB|=|AP|=2x,

|CK|=|EK|=|PB|=x

|AB|=2x+x=6 ⇒ x=2cmbulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

350

CEVAP ANAHTARLARI

7. |AB|=6xdersek

|CG|=|BG|=3x

|AE|=|EF|=|FB|=2xolur.

[FT]//[AD]olacakşekilde[FT]paraleliçizilirse

AFT~ABGolacağından

AB

AF

BG

FT= ⇒

6x4x

3x

FT= ⇒|FT|=2xolur.

ADH ~TFHolacağından

FT

AD

HF

DH= ⇒

2x6x

HF

DH= ⇒

HF

DH3= bulunur.

8. 42+x2=22+82

x2=52

x=2ò13cmbulunur.

9.

L

|DE|=|EB|=4cmolduğundanE noktası köşegen çizgisi üze-rindedir.

Bununiçin[EK]^[DC]ve[EL]^[CB]dikmeleriçizildiğindeEKCveCLEikizkenardiküçgenlerioluşur.

DEK30°-60°-90°üçgeninde

30°ninkarşı= KE2

DE=

|KE|=2cm

|KE|=|KC|=2cm⇒x=2ñ2cmbulunur.

10. ABLüçgeninde|AL|=3br,

|BL|=4brolduğundan

|AB|=5brdir.

CKDüçgeninde|KD|=3br,

|CK|=4brolduğundan

|CD|=5brdir.

Alınanyol=|AB|+|CB|+|CD|+|DE|+|AE|

=5+1+5+1+6=18birimbulunur.

11. [CK]^Oxolacakşekilde[CK]çizildiğinde

AOB@BKCeşüçgenlerieldeedilir.

Dolayısıyla,

|OA|=|BK|=4br

|OB|=|CK|=3brolur.

CköşesininkoordinatlarıC(7,3)olur.

Toplam:7+3=10bulunur.

12. [AC]birleştirildiğinde m(CéAF)=45°–15°=30°olur. CAFbir(30°-60°-90°)üçgeni

olduğundan

30°ninkarşısı→|CF|=2

AC ⇒ 4

2

AC= ⇒|AC|=8cmdir.

ACDikizkenardiküçgenolduğundan

|AD|=|DC|=4ñ2cmolur.

Alan(ABCD)=(4ñ2)2=32cm2bulunur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

351

CEVAP ANAHTARLARI

13.

A B

|AB|=x |BG|=yolsun.

ABGdiküçgenindepisagoruygulanırsa102=x2+y2

Alan(ABCD)=x2

Alan(BGFE)=y2

Karelerinalanlarıtoplamı

x2+y2=100cm2bulunur.

14.

A(EAB)=A+5=4

A(ABCD)

A(ABF)=A+25=A(ABCD)

2

4A+20=2A+50 A=15cm2olur.

A(ABCD)=2(25+A)=2(25+15)=80cm2

80=a2

4ñ5cm=abulunur.

15.

K

[DB]köşegeniçizilir,

[DK]∩[BK]={K}ve

[DK]^[BK]olur.

DKBdiküçgenioluşur.

|EF|=|BK|=4cm

|EB|=|FK|=4cmolur.

|DK|=4+4=8cm

Pisagoruygulanırsa,

|DB|2=82+42

|DB|=4ñ5cmolur.

|AD|=|AB|=2

DB

2

4 5=

|AB|=2ò10cmbulunur.

Alan(ABCD)=(2ò10)2=40cm2olarakeldeedilir.

ADIM 33

1. A

C

10

10B

F

D

E 10

6 8

6 8

ABCdiküçgenindepisagorbağıntısıyazılırsa,62+82=|BC|2 ve|BC|=10br

Prizmanın yüksekliği tabandaki dik üçgenin hipotenüsüneeşitolduğundan10brolur.

Hacim=

26.8

10$ =240br3

TabanAlanı

Yükseklik

2. Tümayrıtlarıbirbirineeşitolanüçgendikprizma,eşkenarüçgenprizmadır.

a a a aaa

aaa

YanalAlan=(a+a+a).a=3a2

48=3a2

a=4brolur.

Hacim=TA.h=4

a 32

$ h

4

4 32

= $4=16ñ3 br3olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

352

CEVAP ANAHTARLARI

3. a. Hacim=a.b.c

=3.4.5=60cm3

b. YüzeyAlanı=2.(ab+bc+ac)=2.(3.4+4.5+3.5)

=94cm2

c. CisimKöşegeni= a b c2 2 2+ +

= 3 4 52 2 2+ +

=ò50=5ñ2cmbulunur.

4. A=YüzeyAlanı

V=Hacimolmaküzere,

a

3

b

3

c

32+ + =

. . .(b c) (a c) (a b)(Paydalareşitlenir.)

3a.b.c

b.c a.c a.b2

+ +=d n

e oA=2(a.b+b.c+a.c)

e o V=a.b.c

3V2A

2=

J

L

KKKKKKK

N

P

OOOOOOO

2V3A

2= ise A34

V= $

Dolasıylayüzeyalanı,sayıcahacmin34katıdır.

5. A1,A2 ve A3farklıyüzeylerinalanlarıolmaküzere,

A1=a.b=6m2

A2=b.c=12m2

A3=a.c=18m2

Hacim= A .A .A a.b.b.c.a.c a .b .c1 2 32 2 2= =

= 6.12.18 1296= =36m3bulunur.

6. Yan yüzü üzerine yatırılan prizmanın su yüksekliğinin enfazlaolabilmesiiçin,enbüyükayrıtyükseklikolmalıdır.Yaniyükseklik8cmolmalıdır.

Suyun hacminde bir değişiklik olmadığı müddetçe suyüksekliğininoranıdeğişmez.

Yani51

idoludur.

hson=8 51

58

=$ cmolur.

7. Hacim=YanalAlan

a2.h=4.a.h

a=4br

Kareprizmanıntabanayrıtı4brolduğunagöre,

TabanAlanı=a.a=4.4=16br2olur.

8. V=a3

V=53=125cm3

9. F P4 E

LK

CB

DHA

R

6

2

5

4

3

3

2

Küpünbirayrıtı6cmolur.

|AR|=|RB|=3cmve[PH]dikmesiniçizersek

[PH]^[RH]olur.(Temeldiklikteoremi)

Ayrıca;

ARHdiküçgen(3–4–5)özelüçgendir,|RH|=5cmolur.

PRHdiküçgenindepisagorbağıntısıyazılırsa,

62+52=|PR|2

36+25=|PR|2

61=|PR|2

|PR|=ò61cm

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

353

CEVAP ANAHTARLARI

10. F E

LK

A

B 6 C

D

Hacim=216=a3 ⇒a=6cm

Cisimköşegeni,|BE|=6ñ3cmbulunur.

11. Atılanprizmalarınhacmikadar,karedikprizmanıniçindekisudayükselmeolacaktır.

Atılandikdörtgenprizmalarınhacmi:

V1=4.(1.2.3)=24cm3

sudakiyükselmemiktarıhcmise

V2=4.4.h=16hcm3

V1=V2olacağından

24=16h,h=23

cmartar.

hson=5+ 23

213

= cmolur.

12. a.Hacim=103–33=1000–27

=973cm3olur.

b.Oluşancisminalanıbüyükküpünalanınagöre2kareyüzeyiartar.Çünkü2tanekareyüzeyiçıkıp,4tanekareyüzeyieklenmişoluyor.

Bunagöre,

Alan=6.102+2.32

=600+18

=618cm2olur.

13.

D

P4H

8 CB

A

T

53

Düzgün piramitte yanyükseklik taban ayrıtınıortalar.

Piramitinyüksekliğitabanmerkezineineceğinden

|HP|=28=4brolur.

YanalAlan=. .DC TP TP

br42

42

880 2$ $= =

|TP|=5brolur.

THPdiküçgeni(3–4–5)özelüçgeniolduğundan

|TH|=3brolur.

Buradan,

Hacim=. .TA h

3 3

8 32

= =64br3bulunur.

14. Piramitlerarasındakibenzerlikoranınınküpühacimleriora-nınıvereceğinden;

AB

RSk= (benzerlikoranı)

AB

RS

278

3

=f p ⇒ AB

RS

32

= olur.

35 A

dım

da

Mat

emat

ik

354

CEVAP ANAHTARLARI

15.

C

K

3

3

6

45°

3ñ2

H

BA

D

3

3

T

Tabanalanı36cm2ise|AB|=|BC|=6cmdir. (T,ABCD)piramidinde[TH]tabanmerkezineineceğinden,

|HK|= 26

3 cm= olur.

[TK]yanyüzyüksekliği,tabanınortasınaineceğinden,

[TK]^[BC]ve|BK|=|KC|olur.

Yanyüzüntabandüzlemiileyaptığıaçı45°ise,

THKikizkenardiküçgendir.

Pisagorbağıntısından,

|TH|2+|KH|2=|TK|2

32+32=|TK|2

|TK|=3ñ2brolur.

YanalAlan=

.

2

6 3 24$

BiryanYan yüzünalanıyüzsayısı

=36ñ2cm2bulunur.

zÜmler˜isabetyayinlari.com/wp-content/uploads/2018/10/... · 2018. 10. 22. · 35 adımda...

Documents