35 A
dım
da
Mat
emat
ik
ETKİNLİK ÇÖZÜMLERİ
285
ADIM 01
1. 4çiftsporve3çiftgünlükayakkabıdanherhangibiri4+3=7farklı
şekildeseçilebilir.
2. 1kalemseçimi3+4+2=9farklıyoldanyapılabilir.
3. 1çeşittost,1çeşitsıcakiçecekve1çeşittatlıseçimi4.4.3=48farklı
şekildeyapılabilir.
4. 1.bilye5kutuya
2.bilye4kutuya
3.bilye3kutuyaatılabileceğinden3bilye5kutuya5.4.3=60farklı
şekildeatılabilir.
5. AdanBye3,BdenCye2farklıyololduğundanAdanCye3.2=
6farklıyoldangidilebilir.
6. a.Sınava katılanherkes için başarılı olmaveyabaşarısızolma
gibi2sonuçvardır.
1.kişiiçin2sonuç
2.kişiiçin2sonuç
3.kişiiçin2sonuç
10.kişiiçin2sonuç
olduğundansınav210farklışekildesonuçlanabilir.
b.1.likiçin10aday
2.likiçin9aday
3.lükiçin8aday
10.lukiçin1aday
olduğundansınavsonucunda10.9.8...1=10!farklısıralamaoluşur.
7. Başkanseçimiiçin10adayyardımcılıkiçinde9adayolduğundan
başkanveyardımcıseçimi10.9=90farklışekildesonuçlabilir.
8. Ortadakikoltukboşkalacağından
1.kişi4koltuğa
2.kişi3koltuğa
3.kişi2koltuğa
4.kişi1koltuğaoturabilir.
Dolayısıyla4kişi4.3.2.1=24farklışekildeoturabilir.
9. 3
2
1
Boyamaiçin
1.satırdan3kare
2.satırdan2kare
3. satırdan 1 kareseçilebi-
leceğinden
3.2.1=6farklıboyamaya-
pılabilir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
286
CEVAP ANAHTARLARI
10. a. 7 6 5 4 =840kelime
b. 1 6 5 4 =120kelimeyazılabilir.
b
c. 6 5 4 6 =720kelimeyazılabilir.
a
b
c
e
f
g
d. 1 5 4 1 =20kelimeyazılabilir.
a c
e. 2 6 5 4 =240kelimeyazılabilir.
a
e
f. 6 5 4 2 =240kelimeyazılabilir.
a
e
11. a. 5 5 4 3 =300sayıyazılabilir.
1
2
3
4
5
b. 4 3 2 3 =72sayıyazılabilir.
1
3
5
c.0ilebitençiftsayılar
5 4 3 1 =60tane
0
2veya4ilebitençiftsayılar
4 4 3 2 =96taneolduğundan60+96=156tane
çiftsayıyazılabilir.2
4
d. 3 5 4 3 =180sayıyazılabilir.
1
2
3
e.2400ile3000arasında
1 2 4 3 =24sayı
2 4
5
3000denbüyük
3 5 4 3 =180sayıolduğundan2400denbüyük
24+180=204tanesayıyazılabilir.3
4
5
f.Birlerbasamağı0olan
Birlerbasamağı0olan+birlerbasamağı5olan
5 4 3 1+
4 4 3 1 =60+48=108
sayıyazılabilir.0 5
12. 2 4 3 =24sayısayıyazılabilir.
3
4
13. 1 3 2 1 3 =18tanekelimeyazılabilir.
A H
M
E
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
287
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 02
1. 6!=720olduğundan
2n+2=6
n=2olur.
2. !!
!!
!
. . !
!
. !
57
78 7 6
7
8 7
5
5+ = +
=42+8
=50olur.
3. !
! !!
! . !9
9 109
9 10 9+=
+
!
! ( )
9
9 1 10=
+
=11olur.
4. n!=10.(n–1)ise . ( ) ! ( ) !.n n n1 110 –– =
n=10olur.
5. 17 3
5 3
1
yninenbüyükdeğeri5+1=6olur.
6. 9=32olduğundan9çarpanıeldeetmekiçin2tane3çar-panıgereklidir.
40 3
13 3
4 3
1
40!iniçinde13+4+1=18tane3çarpanıolduğundan9tane9çarpanıeldeedilir.Yaniy=9olur.
7. 15=3.5olduğundan5çarpanısayısınabakılır.
35 5
7 5
1
Dolayısıylay=7+1=8olur.
8. Sayınınsonundakisıfırsayısı10çarpanıkadardır.10=2.5olduğundansıfırsayısı5çarpanısayısıkadardır.
70 5
14 5
2
olduğundansıfırsayısı14+2=16tanedir.
9. 1!+3!+5!+...+40!
1 ilebiter
6ilebiter
0ilebiter
0ilebiter
olduğundanbirlerbasamağındakirakam1+6=7olur.
10. P(n,2)=72ise( ) !
!n
n2
72–
=
( ) !
. ( ) . ( ) !
n
n n n
2
1 272
–
– –=
n.(n–1)=72
=9olur.
11. 10takımdan3tanesiP(10,3)farklışeklidesıralanır.
P(10,3)=( ) !
!10 3
10–
!
. . . !7
10 9 8 7=
=720olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
288
CEVAP ANAHTARLARI
12. P(5,5)=5!=120farklışeklidefotoğrafçektirebilirler.
13. a.9kişiyanyana9!farklışekildesıralanır.
b.Kızlar1kişisayılırsa6kişi6!farklışeklidesıralanır.an-cakkızlarkendiaralarında4!kadaryerdeğiştirebilece-ğindentoplamsıralamasayısı6!.4!olur.
14. Tümsıralamalar-kızlarınyanyanaolduğusıralamalar
6!–5!.2!=480olur.
15. Herbranşınkitaplarını1tanesayarsak3kitap3!farklışe-kildesıralanır.Kimyakitaplarıkendiaralarında2!,fizikkitap-larıkendiaralarında3!,matematikkitaplarıkendiaraların-da4!kadaryerdeğişebileceğindentoplamsıralamasayısı3!.2!.3!.4!=1728olur.
16. a.4mutlakaolacağındandiğerikibasamakiçin P(6,2)=20durumvardır.4içinde3farklıdurumoldu-
ğundantoplamda30.3=90sıralamaoluşur.
b.5dışındakidiğerelemanlarP(6,3)=120 farklışekildesıralanır.
c.{1, 4, 5, 6, 7} kümesinin 2 elemanı P(5, 2) = 20 farklı,şekildesıralanır.3debaşa,ortayavesonayazılabile-ceğindentoplam20.3=60farklısıralamaoluşur.
d.1 in yazılabileceği 3 basamak, 2 nin yazılabileceği 2basamakvardır.Dolayısıyla1ve2rakamları için3.2=6farklısıralamavardır.Boşkalanüçüncübasamağada3,4,5,6,7rakamlarındanbiriyazılabileceğindenboşbasamakiçin5seçenekvardır.
Buradan1ve2ninbulunduğutoplamsıralamasayısı6.5=30olur.
17. a.3taneI,2taneK,1taneH,1taneÇ,1taneRharfioldu-ğundan
!. !. !. !. !
! !3 2 1 1 1
8128
= olur.
b. 1
H
I, Ç, K, I, R, I, K
7!
3!.2!=
7!
12= olur.
c. 1
I
1
R
H, I, Ç, K, I, K
6!
2!.2!=
= 180 olur.
d.IveKharfleriniIKşeklindebirbütünkabuledersekeli-
mizdeki harfler IK, IK, H, I, R, Ç olacağından sıralama
sayısı!!
26
=360olur.
18. 1,1,0,2,2,3rakamlarıile!. !!
2 26
4720
180= = farklısıralama
eldeedilir.Ancak0rakamıensolhaneyeyazılamayacağı
için0ilebaşlayansıralamasayısınıtoplamsıralamasayı-
sındançıkarmalıyız.
1
0
1, 1, 2, 2, 3
5!
2!.2!=
= 30 olur.
olduğundan0ınilkhaneyegelmediğisıralamasayısı
180–30=150olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
289
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 03
1. A={a,b,c}kümesinin 3 lü permütasyonlar 3lükombinasyonları
abc
acb
bac {a,b,c}
bca
cab
cba
2.
!. !!
!. !!
2
10
6
2
4 26
8 210
=
d
d n
n
.
.
26 52
10 9
=
=3olur.
3. ( , )
( , )
!. !!!!
C
P
10 2
10 2
8 210810
=
=2olur.
4. C(n,r)=!
( , )
r
P n rolduğundan
r!=120
r=5olur.
5. P(n,2)+C(n,2)=18isen(n–1)+( )n n
2
118
–=
. . ( )n n
2
3 118
–=
n(n–1)=12
n=4olur.
6. C(n,1)+2.P(n,1)=3.P(3,2)ise
n+2n=3.6
3n=18
n=6olur.
7. 8elemanlıbirkümeninençok6elemanlıaltkümelerininsayısı
. . .80 1
86
287
88
8– –8+ + + =d d d d dn n n n n
=256–8–1
=247dir.
8. Kümeninelemansayısınolsun.
n n3 5
=c cm m isen=8olur.
Buradanbukümenin2elemanlıaltkümesayısı
.8
2 28 7
28= =d n bulunur.
9. n n13
2 313
1–=
+d dn n ise
1. 2n–3=n+1 2. 2n–3+n+1=13
n=4olur. 3n–2=13
3n=15
n=5olur.
Buradannninalabileceğideğerlerintoplamı9bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
290
CEVAP ANAHTARLARI
10. a.{1,2,3,4,6}kümesinin3elemanlı53
10=d n tane alt kü-mesinde5yoktur.
b.{1, 2, 4, 5, 6} kümesinin 2 elemanlı5
102
=d n tane alt
kümelerininherbirine3 elemanıilaveedilirse3ünbu-
lunduğu10tanealtkümeeldeedilir.
c.{3,4,5,6}kümesinin2elemanlı42
6=d n tane alt küme-
lerininherbirine2elemanıilaveedilirse,1inbulunmadı-
ğıfakat2ninbulunduğu3elemanlı6tanealtkümeelde
edilir.
d.{1,2,3,6}kümesinin1elemanlı41
4=d n tane alt küme-
lerininherbirine4ve5elemanları ilaveedilirse4ve
5inbulunduğu3elemanlı4tanealtkümeeldeedilir.
15. Kümedeki tek sayılardan3 tanesi, çift sayılardan 1 tanesi
seçilmelidir.Bu seçmeişlemi .44
3 14 4 16$ = =d dn n farklışe-
kildeyapılabilir.
12. MehmetBeymutlakaseçileceğinden5kişiarasından3kişi
seçilmelidir.Buda3
105
=d n farklışekildeyapılabilir.
13. Çarpımıpozitifolacakşekildeya2negatifve1pozitifyada3pozitifsayıseçilmelidir.Buişlem
.32
41
43
3 4 4 16$ + = + =d d dn n n
2negatif
2pozitif
3pozitif
farklışekildeyapılabilir.
14. Enaz3tanematematiköğretmeniseçileceğinden
. .1
443
54
50
4 5 1 1$ $+ = +d d d dn n n n
3matematik
4matematik
1fen
0fen
=21farklıseçimyapılabilir.
15. 4erkekiçinden2erkeği42d n 5kıziçinden3kızı
53d n farklı
şeklideseçebiliriz.Tümseçme işlemi .42
53
6 10 60$ = =d dn n
farklışekildeyapılabilir.
16. a,b, c,d,e, f,gderslerindenavebaynısaatteveriliyor
olsun.
Budurumdayaavebden1inivediğerlerinden2tanesini
yadaavebdenhiçbirini seçmedendiğerlerinden3tanesi-
niseçmelidir.Buişlem .21
52
53
2 10 10 30$ + = + =d d dn n n farklı
şekildeyapılabilir.
17. 1 sıcak içecek ve 1 gözleme4 4
1116$ =d dn n farklı şekilde,
1soğukiçecekve1pizza1 1
13 5
5$ =d dn n farklışekildeseçi-
lebileceğindentümseçmeişlemi16+15=31farklıyoldan
yapılabilir.
18. İzmir’e gidecek öğrenciler105
d n , Ankara’ya gidecek öğ-
renciler kalan 5 kişi arasından53d n farklı şekilde seçile-
bilir. Kalan 2 kişi zaten Antalya’ya gidecektir. Bu işlem
.105
53
252 10 2520$ = =d dn n farklışekildeyapılabilir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
291
CEVAP ANAHTARLARI
19. Sıfırharicindeki9tanerakamdanherhangi3tanesiseçildi-
ğindebu3tanerakamileA<B<Cşartınauygun1tane
sayıyazılabilir.Dolayısıyla93
84=d n tanesayıvardır.
20. İlk5sorudan3tane,sonraki5sorudan4taneseçilmelidir.
Buişlem .53
54
10 5 50$ = =d dn n farklışekildeyapılabilir.
21. İlk4sorudan3taneveson6sorudan4taneveyailk4so-
rudan4taneveson6sorudan3taneseçilmelidir.Buişlem
. .43
64 4
63
4 15 1 20 804
$ $+ = + =d d d dn n n n farklı şekilde yapıla-
bilir.
ADIM 04
1. Birdoğruçizebilmekiçinnoktagereklidir.Ohalde8nokta
ile 82
28=d n tanedoğruçizilebilir.
2. 8tanenoktaile8
562
=d n tanedoğruçizilebilir.Fakatnok-
taların3üdoğrusalolduğundanbunoktalarla32
3=d n tane
doğru çizilemeyip sadece 1 tanedoğru çizilir.Dolayısıyla
sorununcevabı56–3+1=54olur.
3. 12tanedoğru212
66=d n noktadakesişir.
4. 10doğru210
45=d n noktadakesişir fakat4 tanesiparalel
olduğu için24
6=d n tane kesişimnoktası oluşmayacağın-
dan45–6=39tanenoktadakesişir.
5. 10 tanedoğru210
45=d n noktadakesişir.Budoğrulardan
4tanesibirAnoktasındangeçtiğinden24
6=d n tane nokta
oluşmayıpsadeceAnoktasıoluşur.Buradansorununce-
vabı45–6+1=40olur.
6. 10noktaile103
120=d n taneüçgençizilebilirfakat6nokta
doğrusalolduğundan63
20=d n üçgenoluşmaz.
Oluşanüçgensayısı120–20=100olur.
7. 8noktaile38
56=d n taneüçgençizilebilir.FakatA,B,C,D
noktalarıdoğrusalolduğundan34
4=d n tane,D,E,Fnok-
talarıdoğrusal olduğundan33
1=d n tane,üçgenoluşmaz.
Oluşanüçgensayısı56–4–1–1=50olur.
H,G,Fnoktalarıdoğrusalolduğundan33
1=d n tane
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
292
CEVAP ANAHTARLARI
8. A
C
EB
D
F G
TepesiAnoktasıvetabanı[BC]üzerindeolan 172
2=d n tane,
tepesiAnoktasıvetabanı[DE]üzerindeolan 172
2=d n tane
tepesiAnoktasıvetabanı [FG]üzerindeolan 172
2=d n tane
üçgenolduğundantoplam üçgensayısı63olur.
9. 7tanenokta ile37
35=d n taneüçgençizilir.FakatA,G,E
noktalarıdoğrusalolduğuiçin 33
1=d n taneüçgenoluşmaz.
Dolayısıylaoluşanüçgensayısı35–1=34olur.
10. ÇizileceküçgeninbirköşesiAolacağındandiğerbirköşesiçemberüzerinde,birköşesidedoğruüzerindeolabilir.Bu
şeklideoluşanüçgensayısı41
31
12$ =d dn n olur.Yada bir
birköşesiAvediğeriki köşesidoğruüzerindeolabilir.Bu
şeklideoluşanüçgensayısıda32
3=d n olur.
Yadadiğerikiköşesideçemberüzerindeolabilir.Buşekil-
deoluşanüçgensayısıda24
6=d n olur.
Budurumdaoluşantoplamüçgensayısı12+3+6=21olur.
11. Cnoktasıkullanılmayacağından
d1
A B D
d2
E F G
noktalarıileçizilebileceküçgensayısı3 3
63
3 318– – =d d dn n n
olur.
12. a.Çizilecekparalelkenarınbirkenarıd1olacağındandiğerkenarlarıd2,d3,d4doğrularındanbiri,l1,l2 ve l3doğru-
larındanikisiolacaktır.Buşekildeçizilecekparalelkenar
sayısı2
31
39$ =d dn n olur.
b. l1doğrusukullanılmayacağından
l3
l2
d1 d2 d3 d4
şekildekiparalelkenarlarınsayısı42
22
6$ =d dn n olur.
13. ŞekildekinoktalarladörtgençizebilmekiçinAnoktasıkulla-
nılmamalıdır. B,C,D,Enoktalarından2tanesiF,G,Hnok-
talarından 2 tanesi seçilerek 42 2
318$ =d dn n tane dörtgen
çizilebilir.
14. d1doğrusuüzerinden2nokta,d2doğrusuüzerinden2nok-
ta seçilerek 42 2
318$ =d dn n tanedörtgençizilebilir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
293
CEVAP ANAHTARLARI
15. Şekildeki8noktakullanılaraksadeceüçgenvedörtgenlerçizilebilir.Çizilebilecek
üçgensayısı=3
83
53
442– – =d d dn n n
dörtgensayısı=42
32
18$ =d dn n olduğundantoplamçokgen
sayısı60olur.
16. Aynıdüzlemdebulunan2üçgenençok6noktadakesişe-
bileceğinden5üçgendenseçilen2üçgen52
6 60$ =d n farklı
noktadakesişir.
17. 5 tane ışınkullanılarak52
10=d n taneaçıeldeedilir fakat
d1 ^d5olduğundan d1ved5ışınları ileoluşanaçıdaraçı
değildir.Buradanoluşandaraçısayısı10–1=9olur.
ADIM 05
1. Pascalüçgeninin10.satırınınelemanlarınıntoplamı
. . .010 10
11010
210+ + + =d d dn n n dur.
2. .xx
xx
xx
1 30
1 31
130
213
$ $+ = +d d d d dn n n n n
xx
xx
32
1 33
112
03
$ $ $+ +d d d dn n n n
x xx x
33 13
3= + + +
3. ( ) . .x xx240
241
24 34 0 1$+ = +d dn n
. . .x xx2
243
42
44
202 2 3 4$ $ $+ + +d d dn n n
=x4+8x3+24x2+32x+16
4. Açılımda10taneterimolduğunagöre,n+1=10ven=9olur.
(3x–4)9açılımındakatsayılarıntoplamı(3.1–4)9=–1olur.
5. Baştan5.terimiçinr+1=5
r=4
( ) . ( ) .x y x y85
3 56 38 5 5 3 5–$ $=d n
=1512x3y5olur.
6. (2x–3y)6açılımında7taneterimolduğundansondan5.terim,baştan3.terimolur.
r+1=3iser=2olduğundanbaştan3.terim
( ) . ( ) . ( ) . ( )x y x y62
2 3 15 2 3– –6 2 2 4 2–$ =d n
=15.16x4.9y2
=2160.x4.y2olur.
7. xy
22
8
+d n açılımında9taneterimolduğundansondan
3.terim,baştan7.terimolur.
Baştan7.terimiçinr+1=7
r=6
( ) . ( )xy
xy8
62
228 2
28 6
62
6–$ $=d d dn n n
. xy
28 464
26
$=
.x y47 2 6$=
olduğundankatsayı47olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
294
CEVAP ANAHTARLARI
8. (x+2y)8açılımında9terimolduğundanortadakiterim5.terimdir.
Ohalder+1=5
r=4
. ( ) . . .x y x y84
2 70 168 4 4 2 2–$ =d n
=1120.x2.y4olduğundankatsayı1120dir.
9. Açılımdaki(r+1).terim16.a.x3.y5olsun.
. . . . .r
x y a x y8
2 16r r8 3 5– =d _n i
2r. x8 – r. yr = 16.a. x3. y5
r = 5 olur.
8r
Ohalde, .a1685
25$= d n
16.a=56.32
a=112olur.
10. Açılımdaki(r+1).terimx
64olsun.
. .r
axxa
x
6 6r r6
4
–=d _ cn i m
. a6. x6 – 2r = 6 . x–46
r
6–2r=–4 r=5olur.
.a ise a65
6 6 66 6$ = =d n
a6=1
a=1bulunur.
11. xx
252
7
+e o açılımında(r+1).terimsabitterimyaniA.x0 ol-sun.
( ) .r
xx
A x7 2r
r5 7
20– $$ =d en o
r7$d n x35–5r.2r .x–2r=A.x0
. 2r. x35 – 7r = A . x07
r
35–7r=0
r=5olur.
Ohalde A7
25
7$= d n
=4480dir.
12. (x2–2y)n açılımında(r+1).terimA.x6.y3olsun.
nr$c m (x2)n–r.(–2y)r=A.x6.y3
. (–2)r . x2n – 2r . yr = A . x6 . y3nr
r = 3
2n–2r=6
2n–6=6
2n=12
n=6
olduğundanA= ( )63
2– 3$d n
=–160olur.
13. xx
y–2
10
d n açılımında(r+1).terimdexveyninkuvvetleribirbirineeşitolsun.
–( ) ( ) .r
xx
y
rx
x
y10 101–r
rr r
r
r2 10 20 2– –$ $ $=d d dn n n
. ( ) . .r
x y10
1– r r r20 3–= d n
ifadesindexveyninkuvvetlerinibirbirineeşitlersek
20–3r=r
4r=20
r=5olur.
Buradan . ( )A105
1– 5= d n
=–252bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
295
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 06
1. E={YYY,YYT,YTY,YTT, TTY,TYT, TYY,TTT}
2. ( )s E92
36= =d n olur.
3. A={(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}
4. BirzaratıldığındaörnekuzayE={1,2,3,4,5,6}olur.
a. Gelensayının{2,4,6}kümesindenolmaolasılığı63
21
= dir.
b. Gelensayının{5,6}kümesindenolmaolasılığı62
31
= tür.
5. Birparaartarda3kezatılırsaörnekuzay
E= {TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY}, iste-
nendurumise{TTT,TTY,YTT,YTY}olduğundanolasılık
21
84
= olur.
6. İkibasamaklıdoğalsayılar{10,11,...99}kümesinineleman
sayısı1
99 101 90
–+ = dır.
Rakamlarıaynıolansayılar{11,22,33...99}kümesininele-
mansayısıise9dur.Budurumdaistenenolasılık990 10
1=
olur.
7. İstenendurumlarınsayısı ,31
51
15$ =d dn n tümdurumlarınsa-
yısıise82
28=d n olduğundanistenenolasılık2815
dir.
8. İstenen durumların sayısı . ,51
62
15 5 75$ = =d dn n tüm du-
rumların sayısı113
165=d n olduğundan istenen olasılık
16575
115
= dir.
9. A={1,2,3,4,5}kümesininelamanlarıileyazılabilecek3basamaklıdoğalsayılar5 5 5=125tanedir.
Yazılabilecekrakamlarıfarklı3basamaklıdoğalsayılar 5 4 3 =60tanedir.
Buradanistenenolasılık16025 25
12= olur.
10. Şekildeki noktalar kullanılarak çizilebilecek tüm üçgenler
363
420 4 16– –= =d dn n tanedir.
Bir köşesiAnoktasıolanüçgenler ise31
21
22
7$ + =d d dn n n
tanedir.
Buradanistenenolasılık167
olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
296
CEVAP ANAHTARLARI
11. Şekildealanı
1 br2olan9tane
4 br3 olan 4 tane
9br2olan1tanekarevardır.
Buradanistenenolasılık144
72
= olur.
12. E={1,2,...10}ises(E)=10dur.
SeçilensayınıntekolmasıolayıAiseA={1,3,5,7,9}ves(A)=5,
seçilensayınınasalsayıolmasıolayıBiseB={2,3,5,7}ves(B)=4tür.
Buradan
P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
–+105
104
103
=
53
= olur.
13. İkizaratıldığındas(E)=36dır.Üstyüzegelensayılarıntop-lamının8olmasıolayıAiseA={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}ve
s(A)=5,çarpımının12olmasıolayıBiseB={(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)}ves(B)=4tür.
Buradan
P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
365
364
362
–= +
367
= olur.
14. AveBayrıkolaylariseP(A∪B)=P(A)+P(B)
( )P B43
127
= + ise
P(B)=43
127
61
– = olur.
15. P(A)=1–P(A′)
–132
=
31
= olur.
P(A∪B)=P(A)+P(B)
+3 2
11=
65
= dır.
16. İkizaratıldığındas(E)=36dır.
Üstyüzegelensayılarınıntoplamının5gelmeolayıAiseA={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}ves(A)=4,çarpımının20gelmeolayıBiseB={(4,5),(5,4)}ves(B)=2dir.BuradaA∩B=∅yaniAveBninayrıkkümelerolduğunadikkatediniz.
OhaldeP(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
–+364
362
0=
61
= olur.
ADIM 07
1. P(M,Y)73
64$=
72
= olur.
2. P(S,K)94
95$=
8120
= olur.
3. P(B,B)+P(K,K)4
67 63
73 2
$ $= +
73
= olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
297
CEVAP ANAHTARLARI
4. P(E,K)1510
145$=
215
= olur.
5. P(sesli,sessiz)+P(sessiz,sesli)25 4
353
42
$ $= +
53
= olur.
6. Metinilkatıştaatıp,ikincidekaçırabiliryadailkatıştakaçırıp
ikincideatabilir.Buolasılık3 3
1 1 223 3 9
4$ $+ = olur.
7. Kırmızıbilyesayısıx,sarıbilyesayısı3xolsun.İlkbilyeninsarı,ikincibilyeninkırmızıolmaolasılığı
xx
43
4 1 143
–$ =
x
x16 4
3143
–=
48x–12=42x
x=2olur.
Buradankutadakitoplambilyesayısı4x=8bulunur.
8. Kutudakibeyazbilyesayısıx,mavibilyesayısı2xolsun.Artardaçekilenikibilyeninfarklırenkteolmaolasılığı
P(B,M)+P(M,B)=xx
x x3 13
13 1
232
––$$ +
x
x9 3
421
–=
9x–3=8x
x=3olur.
Buradankutudakibeyazbilyesayısıx=3bulunur.
9. P(A∩B)=P(A).P(B)
141
31
– $= d n
43
31$=
41
= olur.
10. P(A) 131
32
–= =
P(B) 114 4
3–= = olduğundan
P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
32
43
32
43
– $= +
1211
= olur.
11. P(asal,asal,asal)=63
63
63
$ $
=18olur.
12. ParanınyazıgelmeolayıA,zarın4tenbüyükgelmeolayıBolsun.
P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
21
62
21
62
– $= +
32
= olur.
13. P(M,M)+P(B,B)=3
97 94
74 5
$ $+
=6332
olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
298
CEVAP ANAHTARLARI
14. P(yazı,kırmızı)+P(tura,kırmızı)=9 92
1 521 6
$ $+
=1811
olur.
15. Sondurumdaki renkdurumununbaşlangıçtakiyleaynıol-masıiçinikitorbadanaynırenklitopçekilmelidir.
P(B,B)+P(K,K)97
394
74 5$$= +
6332
= olur.
DEĞERLENDİRME ADIMI 03
1. 4+3+2=9bilyevar.
3 bilye çekiliyor ise
93
84=d n elemanlıdır.
2. 2zaratılmasındaörnekuzay
6.6=36elemanlıdır.
9danbüyükler
(4,6),(5,5),(6,4)
Olasılık=363
121
=
3. BBKBKBKBBgelebilir.
Dolayısıyla
37
4
63
53
35182
2$ $ $ =
4. Tümikibasamaklısayılarınsayısı=90
İkibasamaklıçiftsayılarınsayısı=45
3ilebaşlamayanikibasamaklıçiftsayılarınsayısı=40
Olasılık=9040
94
=
5. P(A)=31
P(B)=131
32
– =
P(A∩B)=31
32
92
$ =
P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
31
32
92
–= +
192
–=
97
=
6. Tümsıralamalar=6!
Baştavesondakırmızı=2!.4!
Olasılık=!
. !6
2 4151
=
7. P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(A∩B)
x43 1
21
3–
( )( ) ( ) 43 6
= +
x129
126 4
–=+
x121
=
8. Kırmızı=x
Mavi=3x
( )
( )xx
x
x4 4 1
1
221
–
–$ =
22x–22=16x–4
6x=18
x=3
4x=12
9. Vurmaolasılığı=32
Vuramamaolasılığı=132
31
– =
1
3 3 31
94
32 2$ $+ =
{ {, ,
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
299
CEVAP ANAHTARLARI
10. Adankırmızıalınsın
74
73
4912
$ =
AdanBeyazalınsın
73
72
496
$ =
49 49
124916 8
+ =
ADIM 08
1. a,bveeseçeneğindekieşleştirmelerfonksiyondur,cvedseçeneğindekilerfonksiyondeğildir.
2. f1,f2 ve f5fonksiyondur,f3 ve f4değildir.
3. f81
881
1 0–$= =d n
f1
81
14 4
1–$= =d n
f1
81
12 2
3–$= =d n
f(1)=8.1–1=7olduğundan
, ,, , , , ( , )f1 1
81
04
12
3 1 7= d d dn n n* 4
A B
1
0
2
3
4
5
6
71
81
41
21
4. f(1)=12=1
f(2)=22=4
f(3)=32=9
f={(1,1),(2,1),(3,9)}olduğundanfbirfonksiyondur.
5. y=x1ifadesindexyerinesıfıryazılamayacağındantanım
kümesiolanRde açıktaelemankalır.Dolayısıylafbirfonk-
siyondeğildir.
6. y=x
x
1+ifadesindexyerinetümpozitifgerçeksayılar
yazılabileceğinden fbirfonksiyondur.
7. f(1)=ñ1=1 f(4)=ñ4=2 f(9)=ñ9=3 f(16)=ò16=4 olduğundangörüntükümesif(A)={1,2,3,4}olur.
8. x2
1 1+ = isex=0
x2
1 2+ = isex=2
x2
1 3+ = isex=4
x2
1 4+ = isex=6
olduğundantanımkümesi{0,2,4,6}olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
300
CEVAP ANAHTARLARI
9. ( )f xx
x 1=
+
ifadesindex≠0olacağındantanımkümesiR–{0}olur.
10. f(x)= x 2+ ifadesindex+2≥0vex≥–2olacağından
tanımkümesi[–2,∞)olur.
11. f(x)= x 1–3 ifadesindexyerinetümgerçeksayılar
yazılabileceğindentanımkümesiRdir.
12. f(3)=10ise. m3 1
3 310
–+
=
m
29
10+
=
9+m=20
m=11olur.
13. f(x+1)=3.(x+1)+2=3x+5
f(x–1)=3.(x–1)+2=3x–1olduğundan
f(x+1)–f(x–1)=3x+5–(3x–1)
=6olur.
14. f(a+1)=7ise2(a+1)–3=7
2a–1=7
2a=8
a=4olur.
15. x
x 12
+= isex+1=2x
x=1olduğundan
.f1
1 13 1 1
+= +d n
f(2)=4olur.
16. f(x–2)=2x+3eşitliğindexyerinex+2yazılırsa
f(x+2–2)=2(x+2)+3
f(x)=2x+7olur.
ADIM 09
1. f( x – 2) = 3 x + 1
x + 3 x + 3
f(x+3–2)=3.(x+3)+1
f(x+1)=3x+10olur.
2. f(x–1)=x2+3x+1eşitliğindexyerinex+1yazılırsa
f(x+1–1)=(x+1)2+3(x+1)+1
f(x)=x2+2x+1+3x+3+1
=x2+5x+5olur.
3. f(3).f(4)...f(20)= . . .1
2
2
3
3
4
1819
$ $
=19olur.
4. f(a)=f(1–a)ise2a–3=2(1–a)–3
2a–3=2–2a–3
4a=2
a=21olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
301
CEVAP ANAHTARLARI
5. g(4–1)=4.4–3
g(3)=13
f(12+1)=3.12–4
f(13)=32olur.
6. x=2içinf(3)=f(2)+4=9
x=3içinf(4)=f(3)+6=15olur.
7. x=3için ( ) ( )f f3 2 4– =
x=4için ( ) ( )f f 44 3– =
x=5için ( ) ( )f f 45 4– =
x=10için + ( ) ( )f f1 40 9– =
f(10)–f(2)=32
f(10)–5=32
f(10)=37 olur.
8. x=2içinf(2)=3.f(3)
x=3içinf(3)=4.f(4)
x=4içinf(4)=5.f(5)
eşitliklerinitaraftarafaçarpalım.
( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( )f f f f f f2 3 4 60 3 4 5=
f(2)=60.f(5)
f(5)=601
olur.
9. f(x)=2x+1fonksiyonundaxyerinetamsayılaryazıldığındasonuçtahep teksayılareldeedileceğindendeğerkümesiolanZdekiçiftsayılaraçıktakalır.
Dolayısıylafiçinefonksiyondur.
10. |x|≥0
|x|+1≥1
olduğundandeğer�kümesiolanRde(–∞,1)aralığıaçıktakalır.
Dolayısıylafiçinefonksiyondur.
11. A
1
2
3
4
4
7
10
13
B
f(x) = 3x + 1
Değerkümesindeaçıktaelemankalmadığındanförtenbirfonksiyondur.
12. f(x)=3x+1ifadesindexyerinetümtamsayılaryazıldığında3ünkatının1fazlasıolantamsayılareldeedilir.DolayısıyladeğerkümesiolanZdediğertamsayılaraçıktakalır.för-tenfonksiyondeğildir.
13. f(x)=3x+1ifadesindexyerinetümgerçeksayılaryazıldı-ğındatümgerçeksayılareldeedilebilir.Dolayısıylaförten-dir.
14.
A–1
0
1
2
0
1
4
B
f(x) = x2
Değer kümesinde açıkta eleman kalmadığından f örtenfonksiyondur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
302
CEVAP ANAHTARLARI
15. f(–1)=f(1)=21olduğundanfbirebirdeğildir.
16. Hergerçeksayının3katının1fazlasıfarklıbirgerçeksayıolacağındanfbirebirdir.
17. f3fonksiyonubirebirveörtendir.
18. Aseçeneğindeki
f:R+ →R+,f(x)=x2fonksiyonubirebirveörtendir.
19. f(1)=g(1)=1
f(2)=g(2)=4
f(3)=g(3)=9
olduğundanfvegeşitfonksiyonlardır.
20. f(x)=g(x)ise b=3,a=–2vec=2olur.
Buradana+b+c=3bulunur.
ADIM 10
1. f birim fonksiyon ise
2a–1=3a+4
a=–5olur.
2. f birim fonksiyon ise
a–1=0b–2=1c–2=0
a=2b=3 c=2
olacağındana.b.c=12olur.
3. f birim fonksiyon ise
3x+b=(a+1)x–4
olmalıdır.Buradan
a+1=3veb=–4
a=2
olacağındana+b=–2olur.
4. f sabit fonksiyon ise a–1=0b–3=0 a=1b=3olacağından f(x)=7vef(2)=7olur.
5. f sabit fonksiyon ise
m
23
1=
m23
= olur.
6. fdoğrusalfonksiyonisea–1=0vea=1olmalıdır.
Buradanf(x)=3x+2vef(2)=8olur.
7. f(x)=ax+b
f(1)=a+b=5
f(2)=2a+b=8
denklemleriortakçözülürsea=3veb=2bulunur.
Buradanf(x)=3x+2olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
303
CEVAP ANAHTARLARI
8. f(x)=ax+b
f(3)=3a+b=1
f(5)=5a+b=–3
denklemleriortakçözülürsea=–2veb=7bulunur.
Buradan
f(x)=–2x+7
f(2)=3olur.
9. f(–2)=(–2)2=4
f(–1)=2.(–1)–3=–5
f(2)=3.2+1=7
olduğundan –( )
( ) ( ) ( )
f
f f
2
2 1
7
4 5
71– – –+
=+
= olur.
10. f(2)=22=4
f21
21
1
132
=+
=d n
olduğundanf(2)+ f21
314
=d n olur.
11. f(ñ3)=(ñ3)2+1=4 f(3)=3–1=2
olduğundanf(ñ3)+f(3)=6olur.
12. (f+2g)(x)=f(x)+2.g(x)
=x2–3x+2(2x+1)
=x2–3x+4x+2
=x2+x+2olur.
13. (2f–3g)(1)=2.f(1)–3.g(1)
=2.(–2)–3(5)
=–19olur.
14. a.Tanımkümesi=[–5,4)
Görüntükümesi=[–2,3)
b. Tanımkümesi=(–4,2)
Görüntükümesi=(–2,5)
c. Tanımkümesi=(–3,3]–{2}
Görüntükümesi=(0,5]–{3}
d. Tanımkümesi=R
Görüntükümesi=R
e. Tanımkümesi=R
Görüntükümesi=[–2,∞)
15. a.
x
yf: R → R
Çizilenherdüşeydoğrugrafiği kestiğindenvesadecebirnoktadakestiğindenfbirfonksiyondur.
b.
x
yf: R+ → R
Çizilenherdüşeydoğrugrafiği kestiğindenvesadecebirnoktadakestiğindenfbirfonksiyondur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
304
CEVAP ANAHTARLARI
c.
x
yf: R → R
Çizilen bazı düşey doğrular grafiği kesmediğinden f birfonksiyondeğildir.
d.
x
yf: R → R
Çizilen bazı düşey doğrular grafiği birden fazla noktadakestiğindenfbirfonksiyondeğildir.
16. f(f(–2))=f(1)=–1olur.
17. f(g(2))+g(f(–2))=f(0)+g(0)
=1+2
=3olur.
ADIM 11
1. y
x1O
–2
y = –2x
x 0 1
y 0 –2
2. y
x
2
O–1
y = 2x + 2 2x–y+2=0isey=2x+2
x 0 –1
y 2 0
3. y
x
2
–2
O
4. y
x
2
3
O
–1
1 3
5. y
x
1
O
–2
1
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
305
CEVAP ANAHTARLARI
6. y
xO
1
–1
–2
Görüntükümei(–∞,0]olur.
7. y
x
2
O
–1
Görüntükümei{–1,2}olur.
8. f(x)=0denklemininköklerix=–3,x=–1vex=3tür. Buradandenklemisağlayanxdeğerlerinintoplamı–1olur.
9. f(a–1)=0isea–1=–2veyaa–1=4
a=–1a=5 olacağındananınalabileceğideğerlerintoplamı4olur.
10. 1intersgörüntüsü(–∞,0]aralığıdır.
11. a.(–∞,0]aralığınıngörüntüsü[–1,∞)
b.[–2,0]aralığınıntersgörüntüsü[–1,3]
12. [0,∞)aralığınıngörüntüsü{1}dir.
13. (1,∞)aralığınıntersgörüntüsüR–{1}dir.
14. y
x
1
O 1
[0,1]aralığınıntersgörüntüsü[–1,1]dir.
15. y
xO
16. y
xO
–1
17. f(x)<0eşitsizliğininçözümkümesi(–3,2)aralığıdır.
18. f(x)≥0eşitsizliğininçözümkümesi[–2,0)∪[2,∞)olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
306
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 12
1. (fog)(x)=f(g(x))
=f(x–3)
=2(x–3)
=2x–6olur.
2. Öncef(x+1)=4x–3eşitliğindexyerinex–1yazalım.
f(x–1+1)=4(x–1)–3
f(x)=4x–7olur.
Ohalde,
(gof)(x)=g(f(x))
=4x–7–2
=4x–9bulunur.
3. (fof)(x)=f(f(x))
xxx
x
1
11
=+
++
xx
12 1
=++
olur.
4. (fog)(x)=f(g(x))
=(x+2)2–(x+2)
=x2+4x+4–x–2
=x2+3x+2olur.
5. (gof)(x)=g(f(x))
x
21
1–2
= +
x
212
=+
olur.
6. a.(fogoh)(x)=f(g(h(x)))
=f(g(x+2))
=f(2(x+2)–1)
=f(2x+3)
=2x+3+1
=2x+4olur.
b.(gohof)(x)=g(h(f(x)))
=g(h(x+1))
=g(x+1+2)
=g(x+3)
=2(x+3)–1
=2x+5olur.
7. (gof)(5)=g(f(5))
g2
5 1=
+d n
=g(3)
4
3 1=
+
=1olur.
8. Önceg(4)ühesaplayalım.
x=3içing(3+1)=3.3–2
g(4)=7olur.
Ohaldef(g(4))=f(7)olduğundan
x=8içinf(8–1)=2.8+1
f(7)=17olur.
9. Öncef(3)değerinihesaplayalım.
x=6için f26
26 1
=+
d n
f(3)=27olur.
Ohalde(gof)(3)=g(f(3))= g27
d n olduğundan
x=7için g27
37 1
2–
= =d n olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
307
CEVAP ANAHTARLARI
10. (fof)(4)=f(f(4))
=f(2.4–3)
=f(5)
=2.5–3
=7olur.
11. (fog)(1)=f(g(1))
=f(2.1–1)
=f(1)
=1–1
=0olur.
12. (fog)(a)=f(g(a))
=f(3a)
=4.3a+1
=12a+1
12a+1=25
12a=24
a=2olur.
13. (fof)(a)=f(f(a))
=f(2a–1)
=2.(2a–1)–1
=4a–3
4a–3=–11
4a=–8
a=–2olur.
14. x=4içinf(g(4–1))=3.4+2
f(g(3))=14
f(2)=14olur.
15. g(f(x+2))=2x–3eşitliğinde
2x–3=5isex=4olur.
g(f(4+2))=5
g(f(6))=5
f(6)=3olur.
16. f(5)=3.5+2=17
g(f(5))=10
g(17)=10olur.
ADIM 13
1. f–1(3)+f–1(–2)=–2+0
=–2olur.
2. f–1(–1)=3olduğundan
4a–1=3
4a=4
a=1olur.
3. f–1fonksiyonunun
tanımkümesiB={6,7,8}
görüntükümesiA={3,4,5}olur.
4 f(3)=4isef–1(4)=3olduğundan
a+2=4veb–3=3
a=2b=6olur.
Buradana+b=8bulunur.
5. ( )
( ) ( )
f
f f
0
3 2
32 1– – –
1
1
–
–
=
=–1olur.
6. yx3
2 1=
+
2x+1=3y
2x=3y–1
x=y
2
3 1–
olduğundanf–1(x)=x2
3 1–olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
308
CEVAP ANAHTARLARI
7. f(x)=xx
3 24 1–
+ ise f–1(x)=
xx
3 42 1
–– –
olur.
8. f(x)=.xx
2 40 3
++
ise f–1(x)=xx
2 04 3
–– +
=x
x2
4 3– +olur.
9. x=y
y
3 1
2 1
–
+ ise f–1(x)=
xx
3 12 1
–+
olur.
10. x.y+2=3x–yeşitliğindenxiyalnızbırakalım.
3x–xy=y+2
x(3–y)=y+2
x=y
y
3
2
–
+
olduğundanf–1(x)=x
x3
2–+
olur.
11. x=6için .f26
2 6 1= +d n
f(3)=13olur.
f–1(2x+1)=x2olduğundan
x=1içinf–1(2.1+1)=21
f–1(3)=21olur.
Buradanf(3)+f–1(3)=13+21
227
= dir.
12. ( )f xx b
ax2
1–
=+
fonksiyonux=b2içintanımsızolduğundan
b2
1=
b=2olur.
f–1(x)=x a
bx2
12–+
fonksiyonudax=a2içintanımsızoldu-
ğundan
a2
2=
a=4olur.
Ohaldea+b=6dır.
13. (f–1og)(x)= ( )x
o x2
13 2
++d n
x
23 2 1
=+ +
x2
3 3=
+olur.
14. (fog–1)(x)=(3x)o(2x)
=3.2x
=6xolur.
15. f(x)=x2
ise f–1(x)=2x
f–1(a)=2aolur.
(gof–1)(a)=17iseg(f–1(a))=17
g(2a)=17
3.2a–1=17
6a=18
a=3olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
309
CEVAP ANAHTARLARI
16. fx
x3
12 3–
+=d n ifadesindexyerine
x3
1+ifadesininter-
siolan3x–1iyazalım.
. ( )fx
x3
3 1 12 3 1 3
–– –
+=d n
f(x)=6x–5olur.
17. (fog)(x)=3x–1eşitliğindeikitarafasoldanf–1fonksiyonu-nubileşkeleyelim.
(f–1ofog)(x)=f–1o(3x–1)
g(x)= ( )x
o x2
13 1
––d n
x
23 1 1– –
=
x2
3 2–= olur.
18. (goh)(x)=3xeşitliğininikitarafınasoldang–1(x)fonksiyonu-nunbileşkeleyelim.
(g–1ogoh)(x)=g–1o(3x)
h(x)= ( )xx
o x1
2 13
–+
.xx
3 12 3 1
–=
+
xx
3 16 1
–=
+olur.
19. (g–1of)–1(x)=(f–1og)(x)
( )x
o x3
12 4
––= d n
x
32 4 1– –
=
x3
2 5–= olur.
20. (g–1of)–1(7)=(f–1og)(7)
=f–1(g(7))
=f–1(17)
5
17 1–=
516
= olur.
21. (fog–1)–1(a)=15ise(gof–1)(a)=15
g(f–1(a))=15
ga2
15=c m
a
32
15$ =
a=10olur.
22. f(x)=3x–6isef–1(x)=x
36+olur.
x 2 0
f(x) 0 –6
x 0 –6
f–1(x) 2 0
O
y
x2
2
–6
–6
İkifonksiyonugrafiğininy=xdoğrusunagörebirbirininsi-metriğiolduğunadikkatediniz.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
310
CEVAP ANAHTARLARI
DEĞERLENDİRME ADIMI 03
1. (fog)(x)=fx x x2
1 42
1 22
1– – –2
$= +c c cm m m
x
x x44
1 2– –2
$= + +e o
=x2–4x+4+x–2
=x2–3x+2
(gof)(x)=g(4x2+2x)=x x
x x2
4 21 2 1– –
22+
= +
2. (fog)(a)=f(g(a))=f(a–2)=(a–2)2+1=10
(a–2)2=9
a–2=3a–2=–3
a=5a=–1
5–1=4
3. f(g(–2))=f(–6–m)=2(–6–m)+m
=–12–2m+m=m
–12=2m
m=–6
4. ( )fogog foI fI
1– = =1 2 34444 4444
(fog)og–1=(4x–1)o(2x+1)
=4.(2x+1)–1
=8x+3
5. x=3için
f(2.3–1)=3.3+1
f(5)=10
f–1(3x+1)=2x–1
3x+1=7
x=2
f–1(2.3+1)=2.2–1
f–1(7)=3
10+3=13
6. ( )f xx
21–
=
( ( ))f f x fx
xx
21
22
11
43–
––
–= = =d n
7. f(2x+1)=x
xx
11
1+= +
fx
x2
21
1 1
21
1––
$ + = +d n
( )f xx x
x1
11
11
– –= + =
+
8. xf(x)–x=2f(x)+3
xf(x)–2f(x)=x+3
f(x)(x–2)=x+3
f(x)=xx
23
–+
9. f(1)=4
f(–2)=–4
f(x)=ax+b
f(1)=a+b=4
f(–2)=–2a+b=–4
a2 +2b=8
+ a2– +b=–4
3b=4
b=34
a
34
4+ =
a
38
=
f(2)= 238
34
320
$ + =
f320
38
320
34 160 12
3172
3( )3
$= + =+
=d n
10. f(f(–3))=f(0)=3
f(–2)=1
f(2)=1
1 1
323
=+
=
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
311
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 14
1. a. P(x)=x2–3x–4
b. P(x)=x3+ –x2 3
1
c. P(x)=x4+ñ2.x2–1
d. P(x)=(x2–2x–3)4
e. P(x)=x3+x2+x1
f. P(x)=x2–2ñx
g. P(x)=–13
h. P(x)=xx
12
–
2 +
5. n2
ve n12
ifadelerinindoğalsayıolmasıiçinnyerine
2,4,6,12olmaküzere4farklıdeğer yazılabilir.
3. a.5x4,ñ2x2,–3x,21
b.5,ñ2,–3,21
c. 21
d. 4
e.5
4. P(x)üçüncüderecedenbirpolinomolduğunagöre, x4 ün katsayısı0olmalıdır.Ohalde
b–1=0
b=1olur.
P(x)inbaşkatsayısı4isex3ünkatsayısı4olmalıdır.Ohalde
a–2=4
a=6olur.
Buradana+b=7bulunur.
5. P(x)sabitpolinomise
a+3=0veb–2=0
a=–3 b=2
olduğundan
P(x)=–3.2
P(x)=–6
P(1)=–6olur.
6. P(x)sıfırpolinomuise
a–1=0veb+3=0vec–a–b=0
a=1 b=–3 c=a+b
c=–2olur.
7. xyerinex–1yazılırsa
P(x–1+1)=(x–1)2–3(x–1)
P(x)=x2–2x+1–3x+3
=x2–5x+4olur.
8. x=2için
P(2+1)=22–3.2+m
P(3)=–2+m
–2+m=5
m=7olur.
9. a(x–1)+b(x+1)=3x+5
ax–a+bx+b=3x+5
(a+b)x–a+b=3x+5ise
a+b=3
–a+b=5
denklemleriortakçözülürsea=–1veb=4bulunur.
Ohaldea.b=–4olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
312
CEVAP ANAHTARLARI
10. x x
xx
Ax
B
2
2 52 1– – –
( ) ( )x x2
1 2–
+= +
++
2x+5=A(x+1)+B(x–2)
2x+5=Ax+A+Bx–2B
2x+5=(A+B)x+A–2Bise
A+B=2
A–2B=5
denklemleriortakçözülürseA=3veB=–1bulunur.
OhaldeA.B=–3olur.
11. P(x)=Q(x)ise
a+1=0vea=–1
b–2=4veb=6
c+1=–5vec=–6olur.
Ohaldea+b+c=–1bulunur.
12. a. P(x+ 1)polinomununkatsayılarının toplamıP(2)oldu-ğundan
P(2)=23+4.22–3.2+1
=19olur.
b. P(x–1)polinomununsabitterimi
P(–1)olduğundan
P(–1)=(–1)3+4.(–1)2–3.(–1)+1
=7olur.
13. Q(x)polinomunsabitterimi5iseQ(0)=5tir.
P(x)polinomununkatsayılarınıntoplamıiseP(1)olduğundanx=0için
P(0+1)=2.Q(0)+4
P(1)=2.5+4
=14olur.
14. P(x–1)polinomununsabitterimi4iseP(–1)=4tür.
x=–3için
P(–3+2)=(–3)2–3.(–3)+m
P(–1)=18+m
18+m=4
m=–14olur.
ADIM 15
1. Q(x)=2.(2x+1)+3x
=4x+2+3x
=7x+2olur.
Buradan
P(x)–Q(x)=(2x+1)–(7x+2)
=2x+1–7x–2
=–5x–1olur.
2. P(x–3+2)=x–3–3
P(x–1)=x–6
P(x–1+2)=x–1–3
P(x+1)=x–4olduğundan
P(x–1).P(x+1)=(x – 6).(x – 4)
=x2–6x–4x+24
=x2–10x+24olur.
3. (x2 – 3x + m).(2x2 – 3x + 1)
x2+9x2+2mx2=(10+2m)x2
10+2m=6
2m=–4
m=–2olur.
4. der[P(x)]=4olduğundan
der[P2(x)]=2.4=8olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
313
CEVAP ANAHTARLARI
5. der[(x2 + 1).P(x).Q(x2)] = 2 + 3 + 4
2 3 4
=9olur.
6. der[P(x)]=mveder[Q(x)]=nolsun.
der[P(x).Q(x)]=m+n=8
( )
( )der
Q x
P xm n2 7–
2
= => H
denklemleriortakçözülürsem=der[P(x)]=5olur.
7.
–
–
x3 + x2 – 3x + 1
x3 + 2x2 x2 – x – 1
–x2 – 3x + 1
–x2 – 2x
–
–x + 1
–x – 2
3
x + 2
olduğundanbölümpolinomux2–x+1olur.
8.
–
–
x4 – x2 + 1
x4 + x2 x2 – 2
–2x2 + 1
–2x2 – 2
3
x2 + 1
Bölümx2–2,kalan3olur.
9. P(x)=(x2 + 3).(x – 1) + x + 1
=x3–x2+3x–3+x+1
=x3–x2+4x–2olur.
10. P(x)polinomux–2iletambölündüğünegöreP(2)=0ol-malıdır.
P(2)=(4–1)2+6+m
15+m=0
m=–15olur.
11. x+3=0vex=–3değeriniP(x+1)polimonundaxyerineyazarsak
P(–3+1)=P(–2)olur.
P(–2)=(–2)4–3.(–2)2+2.(–2)–1
=–1olur.
12. P(2)=2veQ(2)=–3olduğundan
2.P(2)–Q(2)=2.2–(–3)
=7olur.
13. x=0değeriP(2x+3)texyerineyazılırsakalanP(3)olur.
x=2için
P(2+1)=22–3.2–4
P(3)=4–6–4
=–6olur.
14. P(x)polinomununx–2ilebölümündenkalanP(2)=3tür.Q(x)inxilebölümündenkalaniseQ(0)dır.
x=1için
( ) ( )P Q
1
1 1 1 11 1
–+ += +
P(2)+Q(0)=2
3+Q(0)=2
Q(0)=–1olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
314
CEVAP ANAHTARLARI
15. x=1için
0=1+2–m
m=3olur.
(x–1).P(x)=x3+2x–3eşitliğindeP(x)ibulmakiçin
–
–
–
x3 + 2x – 3
x3 – x2 x2 + x + 3
x2 + 2x – 3
x2 – x
3x – 3
3x – 3
0
x – 1
bölmeişlemiyapıldığında
P(x)=x2+x+3bulunur.
P(x)inx–1bölümündenkalan
P(1)=1+1+3
=5olur.
ADIM 16
1. x2+x=0isex2=–xolduğundanP(x)polinomundax2 yerine–xyazarakkalanıbuluruz
P(x)= x2 –3x–2
Kalan=–x–3x–2
=–4x–2olur.
2. x2–1=0isex2=1olduğundanP(x)polinomundax2 yerine1yazarakkalanıbuluruz.
P(x)=( x2 –3)2+x
Kalan=(1–3)2+x
=x+4olur.
3. x2–x–1=0isex2=x+1olduğundanP(x)polinomundax2yerinex+1yazarakkalanıbuluruz.
P(x)= x2 .x+2x–1
Kalan=(x+1).x+2x–1
= x2 +3x–1
=x+1+3x–1
=4xolur.
4. P(x)polinomundax2yerine2yazarsaksonuç3x–1olma-lıdır.
P(x)=( x2 )2–2 x2 +mx–n
Kalan=22–2.2+mx–n
=mx–n
mx–n=3x–1isem=3ven=1olduğundanm+n=4olur.
5. x5–2=0isex5=2olduğundanP(x)polinomundax5yerine2yazarakkalanıbuluruz.
P(x)=( x5 )2–2 x5 +3x–1
Kalan=22–2.2+3x–1
=3x–1olur.
6. x4–x=0isex4=xolduğundanP(x)polinomundax4yerinexyazarakkalanıbuluruz.
P(x)=( x4 )2+3 x4 +x–2
Kalan=x2+3x+x–2
=x2+4x–2olur.
7. P(x)polinomundax2yerine–x+1yazılıncasonuç0olma-lıdır.
P(x)= x2 .x– x2 +ax+b
Kalan=(–x+1)x–(–x+1)+ax+b
=–x2+x+x–1+ax+b
=– x2 +2x+ax+b–1
=–(–x+1)+2x+ax+b–1
=3x+ax+b–2
=(3+a)x+b–2
(3+a)x+b–2=0ise
3+a=0veb–2=0
a=–3 b=2
olduğundana+b=–1olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
315
CEVAP ANAHTARLARI
8. P(x)polinomundax2yerine3xyazılıncasonuç0olmalıdır.
P(x)= x2 .x+a x2 +1+b
Kalan=3x.x+3ax+1+b
=3 x2 +3ax+1+b
=9x+3ax+1+b
=(9+3a)x+1+b
(9+3a)x+1+b=0ise
9+3a=0veb+1=0
a=–3 b=–1
olduğundana+b=–4olur.
9. P(x) x2–3x+2
– Q(x)
2x+1
P(x)=(x2–3x+2).Q(x)+2x+1
P(1)=0.Q(x)+3
=3olur.
10. P(x) (x–2)3
– T(x)
3x–2
P(x)=(x–2)3.T(x)+3x–2olur.
P(x–2)ninx–4ilebölümündenkalanP(2)olduğundan
P(2)=0.T(x)+4
=4olur.
11. P(x+1) x2–4
– B(x)
–2x+3
P(x+1)=(x2–4).B(x)–2x+3olur.
P(x)inx–3ilebölümündenkalanP(3)olduğundanx=2için
P(2+1)=0.B(x)–1
P(3)=–1olur.
12. P(x) x3–1
– Q(x)
x2–x+2
P(x)=(x3–1).Q(x)+x2–x+2
P(1)=0.Q(x)+1–1+2
=2olur.
13. P(x) x+1
– B(x)
–3
B(x) x–1
– Q(x)
2
P(x)=(x+1).B(x)–3
B(x)=(x–1).Q(x)+2olduğundan
P(x) = (x + 1).[(x – 1).Q(x) + 2] – 3
=(x2–1).Q(x)+2x+2–3
= (x2 – 1).Q(x) + 2x – 1 olur.
Kalan
BuradanP(x)inx2–1ilebölümündenkalan2x–1olur.
14. P(x) x–2
– B(x)
3
P(x)=(x–2).B(x)+3olur.
B(x)polinomununkatsayılartoplamıB(1)=7ise
P(1)=–1.B(1)+3
=–4olur.
15. P(–1)=–2veP(–2)=3verilmiş.P(x)inx2+3x+2ilebölümündenkalanax+bşeklindeolacağından
P(x)=(x2+3x+2).Q(x)+ax+b
P(–1)=–a+b=–2
P(–2)=–2a+b=3denklemleriortakçözülürsea=–5veb=–7olacağındankalan–5x–7olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
316
CEVAP ANAHTARLARI
16. P(1)=5veP(0)=–2verilmiş
P(x)=(x2–x).B(x)+ax+b
P(1)=a+b=5
P(0)=b=–2
olduğundana=7vekalan7x–2olur.
17. P(x)=2.(x–1)(x–2)(x–3)+1olacağından
P(0)=2.(–1)(–2).(–3)+1=–11olur.
18. P(x)=2x2+bx+3şeklindebirpolinomdur.
P(1)=4ise
P(1)=2+b+3=4
b=–1olur.
P(x)=2x2–x+3iseP(3)=18olur.
DEĞERLENDİRME ADIMI 06
1. n12
∈Zisen=1,2,3,4,6,12
n3
∈Zisen=3,6,12
3+6+12=24
2. x=3için
P(3+1)=(32–3).Q(3–1)+3–1
P(4)=6.Q(2)+2
=6.3+2
=20
3. ( ) . ( )x x
xx
Ax
B1 1
3 11 1– –
( ) ( )x x1 1–+
+= +
++
3x+1=Ax+A+Bx–B
3x+1=x(A+B)+A–B
A+B=3 2+B=3
x A–B=1 B=1
2A=4
A=2
A.B=2.1=2
4. a.(x2–2x+1)+bx–2b=ax2–2ax+a+bx–2b
ax+x(b–2a)+a–2b=x2+2x+c
a=1 1–24=c
b–2=2 c=–7
b=4
5. x=1için
P(1+1)=P(2)=6
P(2)=23+3.22–2.2+a=6
a+16=6
a=–1
x=0için
P(0–2)=P(–2)=(–2)3+3.(–2)2–2.(–2)–10
=–8+12+4–10
=–2
6. der[P3(x–1)]=3.3=9
der[Q(x2)]=4.2=8
der[P3(x+1),Q(x2)]=max(9,8)=9
7. x–2=0
x=2
P(2)=0
x=1için
P(1–1)=13–2.12+3.1+m
0=1–2+3+m
m=–2
8. x2+x+1=0
x2=x–1
(–x–1–x)2–ax–b=2x–3
4x2+4x+1–ax–b=2x–3
4.(–x–1)+4x–ax–b=2x–3
x4– –4+ x4 –ax–b=2x–3
–ax–b–4=2x–3
a=–2–b–4=–3
b+4=3
b=–1
a+b=–2–1=–3
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
317
CEVAP ANAHTARLARI
9. x–3=0 x+3=7
x=3 x=–3
P(3)=–5 P(–3)=7
P(x)=(x–3).(x+3).B(x)+ax+b
P(3)= a3 +b=–5 3a+1=–5
3a=–6
a=–2 +P(–3)= a3– +b=7 2b=2
b=1
Kalan–2x+1dir.
10. P(x)=(x–1).(x–2).(x–3)
P(4)=(4–1).(4–2).(4–3)
=3.2.1
=6
ADIM 17
1. a.4x–6y=2(2x–3y)
b.3x2–9x=3x(x–3)
c.8y2+12y=4y(2y+3)
d.(a+b)(x–y)+3.(a+b)=(a+b)(x–y+3)
e.x3+3x4–x5=x3(1+3x–x2)
2. a2+3ab=20
( )a a b3 205
+ =1 2 34444 4444
a=4olur.
3. 101.27+101.23=50.x
101(27+23)=50.x
101.50=50x
x=101olur.
4. ax–3a+2x–6=a(x–3)+2(x–3)
=(x–3)(a+2)olur.
5. 2ax–ay+2bx–by=a(2x–y)+b(2x–y)
=(2x–y).(a+b)olur.
6. a2b+ab2–3a–3b=ab(a+b)–3(a+b)
=(a+b)(ab–3)olur.
7. ab–ac+b2–bc=a(b–c)+b(b–c)
=(b–c).(a+b)
=4.7
=28olur.
8. x2–y2+3x+3y=(x–y)(x+y)+3(x+y)
=(x+y)(x–y+3)olur.
9. (307)2–(207)2=257.x
(307–207)(307+207)=257.x
100.514=257.x
x=.
257
100 5142
=200olur.
10. x ya b a b
2 2– –
–2 22 2
=+
d dn n
a b a b a b a b
2 2 2 2–
––
=+
++
d dn n
a b22
22$=
=a.bolur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
318
CEVAP ANAHTARLARI
11. ( ) . ( ) ( ) . ( )
( )
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
2 2 1
–
–
–
–5 5
20 10
5 5
10 10
+=
+
( ) ( )
. ( ) ( )
.2 1 2 1
2 2 1 2 1–
–5 5
10 5 5
=+
+
=210olur.
12. ( ) ( )a b a b 71–1 71
+ =1 2 3444 444 1 2 3444 444
a–b=1
+ a+b=71
2a=72
a=36 olur.
13. a2–b2=15ise ( ) ( )a b a b 15–3 5
+ =1 2 3444 444 1 2 3444 444
a–b=3
+ a+b=5
2a=8
a=4 olur.
14. (x+y)2–4xy=x2+2xy+y2–4xy
=x2–2xy+y2
=(x–y)2
=(17,3–8,3)2
=92
=81olur.
15. xx
ise xx
331
4 331
42
2+ = + =d n
xx
9 29
1162
2+ + =
xx
99
1142
2+ = olur.
16. aa1
2 3– = ise ( )aa1
2 3–2
2=d n
a2–2+a
112
2=
a2+a
114
2=
Ohalde
aa
aa
12
122
2+ = + +d n
=14+2
=16olur.
17. 4a2+4a+1–b2=(2a+1)2–b2
=(2a+1+b)(2a+1–b)
18. x2–3x+1=0isex2+1=3x
x
x 13
2 +=
xx1
3+ = olur.
xx1
3+ = eşitliğindeikitarafınkaresinialalım.
x2+2+x
19
2=
xx
172
2+ = olur.
19. .98 100 1+ ifadesinde98=xolsun.
. ( )x x98 100 1 2 1+ = + +
x x2 12= + +
( )x 1 2= +
=x+1
=99olur.
20. (a–b–c)2=82
a2+b2+c2+2(–ab–ac+bc)=64
a2+b2+c2+2.17=64
a2+b2+c2=64–34
=30olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
319
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 18
1. a. x2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)
x 3
43x + 4x = 7x
x
b. x2 + x – 20 = (x + 5).(x – 4)
x +5
–45x – 4x = x
x
c. x2 – x – 72 = (x – 9)(x + 8)
x –9
+8–9x + 8x = –x
x
d. 3x2 + 4x + 1 = (3x + 1)(x + 1)
3x 1
13x + x = 4x
x
e. 12x2 – 5x – 3 = (4x – 3)(3x + 1)
4x –3
+1–9x + 4x = –5x
3x
f. –6x2 + 11x – 3 = (–3x + 1)(2x – 3)
2x –3
+19x + 2x = 11x
–3x
g. 12x2 + 7x – 12 = (4x – 3)(3x + 4)
4x –3
+416x – 9x = 7x
3x
2. ( ) ( )x
x axx xx ax
1
71 1
7
– –2
2 2+ +=
++ +
ifadesisadeleşebilirolduğunagöre,
x2 + ax + 7 = (x + 7)(x + 1)
x 7
17x + x = 8x
veya
x
x2 + ax + 7 = (x – 7)(x – 1)
x –7
–1–7x – x = –8x olduğundan a değeri
+8 veya –8 olur.x
3. ( ) ( )x xx mx
5 16
–
2
++ +
ifadesisadeleşebilirbirkesirise
x2 + mx + 6 = (x + 1)(x + 6)
x +1
+6x
şeklindeçarpanlaraayrılmalıdır.Ohalde,
6x+x=mx
m=7olur.
4. 6x2 – 7xy – 3y2 = (3x + y)(2x – 3y)
3x +y
–3y–9xy + 2xy = –7xy
2x
5. 6a2–ab–b2=19
( ) ( )a b a b3 2 19–1 19
+ =1 2 3444 444 1 2 3444 444
3a+b=19
+ 2a–b=1
5a=20 isea=4veb=7olur.
Buradana+b=11bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
320
CEVAP ANAHTARLARI
6. 2x2–xy–y2=15
( ) ( )x y x y 12 5–5 3
+ =1 2 3444 444 <
2x+y=5
+ x–y=3
x=38 olur.
7. 6x2 – 4x + m = (6x + ?).(x + 2)
6x ?
2x
12x+?x=–4xise?=–16olur.
Buradanm=–16.2=–32olur.
8. a.x3–1=(x–1)(x2+x.1+12)
=(x–1)(x2+x+1)
b. a3+8=a3+23
=(a+2).(a2–2.a+22)
=(a+2).(a2–2a+4)
c. y3–64=y3–43
=(y–4).(y2+4.y+42)
=(y–4).(y2+4y+16)
d.64x3+y3=(4x)3+y3
=(4x+y)((4x)2–4xy+y2)
=(4x+y).(16x2–4xy+y2)
9. ( ) ( )
120 1 9
120 1
1 120 119
120 1 120 120 1
– –
–2
3
2
2+
=+ +
. ( )
120 119
121 120 119
–
–2
2
=
=121olur.
10. x–y=3ise(x–y)3=33
x3–3x2y+3xy2–y3=27
x3–3xy(x–y)–y3=27
x3–3.2.3–y3=27
x3–y3=27+18
x3–y3=45olur.
11. x3+3x2+3x=x3+3x2+3x+1–1
=(x+1)3–1
olduğundanx=99içinişleminsonucu1003–1olur.
12. x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
( )2 3 3–3 3= +
( )23 3=
=2olur.
13. a+a1=4eşitliğindeikitarafınküpünüalalım.
a aa a
33 1
6433
+ + + =
a aa a
31 1
6433
+ + + =d n
.aa
3 41
6433
+ + =
.aa
olur1
5233
+ =
14. x3 + y3 = 6
xy2 + yx2 = 7
x3 + y3 = 6
3xy2 + 3yx2 = 21
x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 27
(x + y)3 = 27
x + y = 3 olur.
+
3
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
321
CEVAP ANAHTARLARI
15. x2(x–3y)=10ise x3 – 3x2y = 10
3xy2 – y3 = –2+
x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 = 8
(x – y)3 = 8
x – y = 2 olur.
y2(3x–y)=–2ise
ADIM 19
1. x6–y6=(x–y)(x5+x4y+x3y2+x2y3+xy4+y5)
2. x5+1=(x+1)(x4–x3+x2–x+1)
3. (f.g)(x)=(x+1).(x4–x3+x2–x+1)
=x5+1
olduğundan
( . ) ( ) ( )f g 2 2 15 5 5= +
=2+1
=3olur.
4. ñx=tolsun. x+2ñx–15=t2+2t–15 =(t+5)(t–3)
=(ñx+5)(ñx–3)olur.
5. x2+2x=tolsun.
(x2+2x)2–11.(x2+2x)+24=t2–11t+24
=(t–3).(t–8)
=(x2+2x–3).(x2+2x–8)
=(x+3)(x–1)(x+4)(x–2)olur.
6. x4+x2+1ifadesinex2ekleyipçıkaralım.
x4+x2+1+x2–x2=x4+2x2+1–x2
=(x2+1)2–x2
=(x2+1+x).(x2+1–x)olur.
7. x4+2x2+9ifadesine4x2ekleyipçıkaralım.
x4+2x2+9+4x2–4x2=x4+6x2+9–4x2
=(x2+3)2–(2x)2
=(x2+3+2x).(x2+3–2x)olur.
8. 5x2+y2+2xy–4x+1=0
4x2 x2
x2+2xy+y2+4x2–4x+1=0
(x+y)2+(2x–1)2=0
eşitliğininsağlanmasıiçin
x+y=0ve2x–1=0
y=–xx=21
y=–21
olduğundanx.y=–14olur.
9. .
.
.n
nm
m mn6
12
4
1224
m n23
2=
=2mnolur.
10. ( ) . ( )
( ) . ( )
x x
x xx x
x x
3 2
4 121 2
6 2– – –2
2
+ +=
+ +
+
.xx
olur16–
=+
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
322
CEVAP ANAHTARLARI
11.
( )a a a
a a
a a2
1
8
12
8
2 4 12
2 4–
–– –
–3 3
2
2
=+ +
+ +
a
a a
8
2 8
–
–3
2
=+
( ) ( )
( ) ( )
a a a
a a
2 2 4
4 2
–
–2
=+ +
+
a a
a
2 4
42
=+ +
+olur.
12.
( )( ) xx x x x
x
x x
x x x
x1
12
1
3 2 3 2
2 1
2 1––
–– – –
– –
–
2 2+
+=
+
+ +
( ) ( )x x
x
2 1
1
– –
–=
x 2
1–
= olur.
13. ( )
( )
( )x
xxx
x x
x
x x
x x x
x
x x x
x x
x1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
–
–
–
–
–
–
–
–
2 2
2
2
2
2
+
++
+
=+ +
+ +
+
x x
x
x
x
1
1
1
–
–
2
2
2
2
=+
+
x
x x
1–
–2
2
=
( ) ( )
( )
x x
x x
1 1
1
–
–=
+
x
x1
=+
olur.
14. ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
x x
x x
x xx x
x x
x x
x x
1
2
6
2 31
2 1
1
1
3 2
3
–
– –
–
––
–
–
–2
2
2
2
+
+=
+ +
++
=1olur.
15. :
( ) ( ) ( )a a a a
a a
a
a
a a a
1 1 111 1 1
11–
–2 3 2
2
3
3
2 3
$+ + =+ +J
L
KKKKKKK
J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
N
P
OOOOOOO
( ) .
. ( ) ( ).
a a a
a a a a
1
1 1–
a2 3
2 2=
+ +
+ +
a
a1–
= olur.
16. ( ) . ( )
a a
a
aa
aa
a a
11
11
11 1
1 1
–
––
–2
$ $+
=+
+
d dn n
( ) ( )
( )
.
. ( )
a a
a aa1 1
11 1
–
–
2
$=+
+
=a2olur.
DEĞERLENDİRME ADIMI 07
1. 2b(a2–b)=20
2b.10=20
b=1
a2=11
a=ò11
a+b=ò11+1
2. (a+2+b+2)(a+2–b–2)=24
( ) . ( )a b a b4 24–8 3
+ + =1 2 34444 44444 <
a+b=8
3. ( ) . ( ) ( ) . ( )A B A B x y z x y z x y z x y z– – – – – –+ = + + + + +
=(2x–2z).2y
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
323
CEVAP ANAHTARLARI
4. (2x–3y)2=62
4x2–12xy+9y2=36
42–12xy=36
12xy=6
xy=21
5. (a–b)2–22=(a–b–2).(a–b+2)
6. a. 8x2–10x–3=(4x+1).(2x–3)
4x –3
2x +1
b. 3a2–7ab+2b2=(3a–b).(a+b)
3a–2b
a b
7. a2–ab+ac–bc=a(a–b)+c(a–b)
=(a–b).(a+c)
a–b=4
+ b+c=2
a+c=8
(a–b).(a+c)=4.8
=32
8. a3+b3=(a+b)3–3ab(a+b)
=43–3.2.4
=64–32
=32
9. ( ) . ( )
( ) . ( ) ( ) . ( )
a a
a a a
a a
a aa
1 1
1 1
1
2 12
–
– 2
2$
+
+ +
+ +
+ += +
10. . ( ) . ( )101 107 9 104 3 104 3 9–+ = + +
104 3 9–2 2= +
1042=
=104
ADIM 20
1. (m–3).x3+xn–2+2x–1=0ifadesiikinciderecedenbirdenklemise
m–3=0ven–2=2
m=3n=4
olduğundanm+n=7olur.
2. x=–1denklemisağlayacağından
(–1)2+(2a–1).(–1)+3a=0
1–2a+1+3a=0
a+2=0
a=–2olur.
3. x=–3denklemisağlayacağından
(–3+a).(–3–3)=12
(–3+a).(–6)=12
–3+a=–2
a=1olur.
4. –4x2+2x=0ise2x(–2x+1)=x
x=0vex=21
olduğundançözümkümesi ,021
( 2 olur.
5. 9x2–4=0ise(3x–2)(3x+2)=0
x=32vex=–
21
olduğundançözümkümesi ,–32
32
( 2 olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
324
CEVAP ANAHTARLARI
6. 3x2+4x+1=0ise(3x+1).(x+1)=0
3x1x=–31vex=–1
x1
olduğundançözümkümesi –,131
–( 2 olur.
7. x2–(2a–b)x–2ab=0ise(x–2a).(x+b)=0
x–2ax=2avex=–b
x+b
olduğundançözümkümesi{–b,2a}olur.
8. a=1,b=–5vec=–4olduğundan
D=b2–4ac
=(–5)2–4.1.(–4)
=25+16
=41olur.
9. D=(–4)2–4.1.(–2)
=16+8
=24
( )
x2
4 24– – –1 =
2
4 2 6–=
=2–ñ6
( )
x2
4 24– –2 =
+
2
4 2 6=
+
=2+ñ6
10. D=(–2)2–4.3m
=4–12m
4–12m=40
–12m=36
m=–3olur.
11. xa–1+(a+1)x–1=0ifadesiikinciderecedenbirdenklemise
a–1=2
a=3
olacağındandenklem
x2+4x–1=0vediskriminantdeğeri
D=42–4.(–1)
=16+4
=20olur.
12. D=(–4)2–4.m
16–4m=36
–4m=20
m=–5olur.
Ohaldedenklem
x2–4x–5=0
(x–5).(x+1)=0
x=5vex=–1
olduğundançözümkümesi{–1,5}olur.
13. DenkleminbirbirindenfarklıikigerçekköküolduğundanD>0olmalıdır.
D=(–6)2–4.1.(m–1)
=36–4m+4
=40–4m
40–4m>0
40>4m
10>molur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
325
CEVAP ANAHTARLARI
14. DenkleminçakışıkikiköküvarsaD=0olmalıdır.
D=(m–1)2–4.1.4
=m2–2m+1–16
=m2–2m–15
m2–2m–15=0
(m–5)(m+3)=0
m=5vem=–3
olduğundanmninalabileceğideğerlerintoplamı2olur.
15. DenklemingerçekköküyoksaD<0olmalıdır.
D=32–4.1.(1–m)
=9–4+4m
=5+4m
5+4m<0
4m<–5
m < –45olur.
ADIM 21
1.
RC
Q′Q
ZN
2. x2+4=0isex2=–4
x2=(2i)2
x=2iveyax=–2i
olduğundançözümkümesi{–2i,2i}olur.
3. . .
.
. . . . .
i
i i i
4
2 3 6
2
2 3 6
–
– – –=
..ii
26 3
=
=3.i2
=3.(–1)
=–3olur.
4. z=3x+1+(y–1)iise
Re(z)=3x+1=7İm(z)=y–1=4
3x=6y=5
x=2
olduğundanx+y=7olur.
5. z=x+3+(y–1)iisez=x+3–(y–1)i
x+3=4ve–y+1=–3
x=1y=4
olduğundanx+y=5olur.
6. D=42–4.1.6
=–8
x1= 2
4 8– – –
i4 2 2
2
– –=
=–2–ñ2i
x2=4 8
2
– –+
i4 2 2
2
–=
+
=–2+ñ2i olduğundandenkleminçözümkümesi{–2–ñ2i,–2+ñ2i}
olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
326
CEVAP ANAHTARLARI
7. P(x)=x40+2.x22–3x11 ise
P(i)=i40+2.i22–3.i11
=1+2.(–1)–3.(–i)
=–1+3i
sayısının reel kısmı–1, sanal kısmı3olduğundan reelvesanalkısımlarıntoplamı2olur.
8. z1–z2=3+4i
+ 2z1+z2=6–i
3z1=9+3i
z1=3+i
3+i–z2=3+4i
z2=–3i olur.
9. z1 =3+4iisez1=3–4i
z2=2+iisez2 =2–i
olduğundan
z1–z2=3–4i–(2–i)
=3–4i–2+i
=1–3iolur.
10. z=(1–i)(3+i)
=3+i–3i–i2
=3+i–3i+1
=4–2i
olduğundan
Re(z)+İm(z)=4+(–2)
=2olur.
11. (3–2i)4.(3+2i)4=[(3–2i)(3+2i)]4
=[32–(2i)2]4
=[9–(–4)]4
=134olur.
12. (1+i)6+(1–i)6=[(1+i)2]3+[(1–i)2]3
=(2i)3+(–2i)3
=0olur.
13.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
ii
iii
i i
i i
i
i3 23 2
2 3 13 2 3 2
2 3 3 2
––
– –
–2
+
++ =
+
+ ++
–i
i i i i
9 4
6 4 9 61– 2
2
=+ + +
i
i13
6 13 6––=
+
=i–i
=0olur.
14. 2z+i=i.z–1ise2z–iz=–1–i
z(2–i)=–1–i
z=ii
ii
21 2
2–– –
$++
i
i i i
4
2 2
–
– – – –2
2
=
i
51 3– –
= olur.
15. z=x+yiise
x+yi+2.(x–yi)=3+2i
x+yi+2x–2yi=3+2i
3x–yi=3+2iise
3x=3ve–y=2
x=1y=–2olduğundanx+y=–1olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
327
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 22
1. (1–x1).(1–x2)=1–x1–x2+x1.x2 =1–(x1+x2)+x1.x2 =1–3–5
=–7olur.
2. x12+x2
2=(x1+x2)2–2x1.x2
m
23
22
–2
$= d n
– m49
=
m49
41
– = isem=2olur.
3.
( ) ( ).a
bba
a bb a1 1
+ =+
–
33
32
=
–32
= olur.
4. x1.x2=m
31
2+
= isem+1=6
m=5olur.
Buradanx1+x2=m
32
35
12– –
= = olur.
5. Denkleminköklerinintoplamıx1+x2=4olduğundan
x1–x2=2
+ x1+x2=4
2x1=6
x1=3 olur.
x1=3değeridenklemisağlayacağından
32–4.3+m=0
–3+m=0
m=3olur.
6. Denkleminköklerinintoplamıx1+x2=–2olduğundan
3x1–x2=10
+ x1+x2=–2
4x1=8
x1=2 olur.
x1=2değeridenklemisağlayacağından
22+2.2+m–1=0
7+m=0
m=–7olur.
7. a b1 1
1–+ = ise .a b
a b1–
+=
m2 12
1–
–+
=
2m–1=2olur.
m23
= olur.
8. xx1
1– –12
= ise .
x
x x 11
––
2
1 2=
x2 1
1– –
–2
=
x2=3olur.
x2=3değeridenklemisağlayacağından
32+3(3–m)–2=0
16–3m=0
m=316
olur.
9. Denkleminköklerininçarpımıx1.x2=8dir.
x1.x2=8
x22.x2=8
x23=8
x2=2olur.
x2=2değeridenklemisağlayacağından
22+2(m–1)+8=0
2(m–1)=–12
m=–5olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
328
CEVAP ANAHTARLARI
10. x1.x2=x
2
4 2isex1.x2=2x2
x1=2
x1+x2=x
2
1–1ise2+x2= 2
1
x2=– 23olur.
11. Denkleminköklertoplamıx1+x2=4dür.
x1+x2=4
x
x3
42
2+ =
x
3
44
2=
x2=3olur.
x2=3değeridenklemisağlayacağından
32–4.3+m–1=0
m=4olur.
12. İkidenkleminherikiköküdeortakise
m n
12
43–= = olduğundan
m
23–
= isem=–6
n
24
= isen=8vem+n=2olur.
13. Kökler çarpımı–3 ve kökler toplamı 4 olan ikinci derecedenklem
x2–4x–3=0dır.
14. x1=4+ñ5isex2=4–ñ5olacağından x1+x2=4– 5 4 5+ +
=8
x1.x2=(4–ñ5)(4+ñ5) =42–(ñ5)2
=11vedenklemx2–8x+11=0olur.
15. –x x a1 1 4
1 2+ =
–.x x
x x
a4
1 2
1 2+=
–a
3234
4=
a=–2olur.
x x a
c1 1
1 2$ =
ac
321
=
ac
23
=
c=–3olur.
Buradana+c=–5bulunur.
16. a+b=4 2a.2b=–3
4.a.b=–3
4m=–3
m=–43
2a+2b=–n
2(a+b)=–n
–8=n
Buradann–m=–8– –43
d n
–429
= olur.
17. x1+x2=3
–x1+(–x2)=–n
–(x1+x2)=–n
n=3
x1.x2=m
(–x1)(–x2)=–4
x1.x2=–4
m=–4olduğundanm+n=–1olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
329
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 23
1. n=7ise,
İçAçılarıToplamı=(7–2).180°
=5.180°=900°
DışAçılarToplamı=360°
2. Beşgeniniçaçılarıtoplamı=(5–2).180
=540°dir.
90°+130°+100°+x+x+10°=540°
2x=210°
x=105°bulunur.
3. 165°likiçaçıdanxtaneaçıolsun.
Kenarsayısın=x+3olacaktır.
Dışaçılarıtoplamı360°olduğundan
30°+10°+5°+15°.x=360°
x=21bulunur.
n=x+3olduğundann=24olur.
4. n=10olduğuiçinbirdışaçı °10360
36= olur.
Biriçaçıilebirdışaçınıntoplamı180°olduğuiçin
İçaçı=180°–36°=144°olur.
5. Düzgünbeşgeninbiriçaçısı144°dir.
36°
36°
x144°
x=144–36=108°dir.
6.
|EF|=|DE|=|EG|olur.
m(DéEF)=120°vem(DéEG)=90°ise m(FéEG)+120°+90°=360°denm(FéEG)=150°olur. EFGikizkenarüçgenindenm(FéGE)=15°ve 15°+90°+x=180°⇒x=75°bulunur.
7.
BAFveFAEbirerikizkenarüçgenolduklarından
m(AéBF)=m(AéFB)=m(FéAE)=m(FéEA)=30°olurveAKFüçgenininiçaçılartoplamından
30°+30°+x=180°⇒x=120°bulunur.
8. A
x
2x
xx
x
B
P
C
D
100°
E
F
BÿCDileDÿEFeşikizkenarüçgenlerolduğundan m(CéBD)=m(CéDB)=m(FéDE)=m(DéFE)=x m(CéDE)=2x+100°(içaçı) m(BéCP)=2x(dışaçı) 2x+100+2x=180°
4x=80°
x=20°Ohalde,
Dışaçı=2x=2.20=40°olur.
Kenarsayısı= 40°360°
=9bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
330
CEVAP ANAHTARLARI
9.
m(FéBC)=60°olduğundan m(FéBA)=108°–60°=48°bulunur. |FB|=|BC|⇒|FB|=|AB|dir.
DolayısıylaABFbirikizkenar üçgenolurve
m(FéAB)=m(AéFB)=xolur. ABFniniçaçılarından,
x+x+48°=180°
x=66°bulunur.
10.
x
FT
E C
BA
D
54° 54°
108°
108°
108°
54°
Düzgünbeşgenin içaçıları108°dir.
[EF] simetri ekseni olaca-ğından
m(DéEF)=m(FéEA)=54° olur.
|ED|=|DC|ve|ET|=|TC|
olduğundanDETCdeltoid-dir.
Buradanm(DéCT)=m(DéEF)=54°olur. m(TéCF)=x=108°–54° =54°
11.
Düzgünaltıgeniniçaçılarına120°yazdıktansonra
m(EéFM)=36°vem(EéDM)=28°bulunur.
FMDEiçbükeydörtgenindefüzekuralıuygulanırsa
120°=36°+28+x⇒x=56°bulunur.
12.
x
y y
30°
Düzgünaltıgeninbiriçaçısınınölçüsü120°olduğundan
30+2y=180 x+y=120
2y=150 x+75=120
y=75 y=45olur.
ADIM 24
1.
180° – x
BveDköşelerindekiiçaçılardoğruaçıdanşekildekibilgileryazılır.
90°+60°+70°+180°–x=360°
x=40°bulunur.
2. y
y
70° 80°
120°
x
120+80+70+2y=360 x+y+70=180
270+2y=360 x+45+70=180
2y=90 x+115=180
y=45 x=65
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
331
CEVAP ANAHTARLARI
3. [AE]ve[BE]ardışıkaçıortaylarolduğundan
) )
2m( m(C
dir.aD
=+X X
m(ëD)=110°–m(ëC)denm(ëD)+m(ëC)=110°olur.
2110° 55°a = = bulunur.
4. x
752
80°
°=
+
x+80°=150°
x=70°bulunur.
5.
m(DéCB)=180°–70°=110°bulunur. [DE]ve[BF]karşılıklıaçıortaylarolup
x2
110° – 90°=
x=10°bulunur.
6.
50°45°
140°
F
x
D
C
AB
E
nnm
m
Dörtgeninbiriç,birdışaçıortayıçizilmişsedışaçıortayınyanın-danbiriçaçıortayçizelim.[AF]çizilirse daha rahat bir çözümyapılacaktır.
2m+2n=180°olduğundan
m+n=90°dir.
m(EéAF)=90°dir.
[AF]ve[CF]karşılıklıaçıortaylarolduğundan
m(AéFE)=2
140° – 50°45° dir.=
AEFüçgeninde
x+90°+45°=180°
x=45°bulunur.
7. Şekliçizelim.
60°60°
60°50°
A D
C
B
80°
50°
[BD]çizilirseBCDüçgenieşkenarüçgenolur.m(AéBD)=80°bulunur.
ABDüçgeniikizkenarüçgenolduğundanm(BéDA)=50°dir. m(AéDC)=50°+60°=110°bulunur.
8. Kuralıuygularsak;
x+2x+3x=90°
6x=90°⇒x=15°bulunur.
9.
150°
A
B Dnmm n
C30°
E
x
Çözüm için ABCD dörtgeninindışaçılarınıkullanalım.
2m+2n+90°+30°=360°
2m+2n=240°
m+n=120°dir.
BEDCdörtgeninde,
m+n+x=150°
120°+x=150°
x=30°bulunur.
10. ABCDdörtgeninde[AC]^[BD]olduğundan,
|AD|2+|BC|2=|DC|2+|AB|2
62+x2=52+72
x=ò38cmbulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
332
CEVAP ANAHTARLARI
11.
B E C
D
A
8
9
F
6
10
ABCüçgenindepisagoruygularsak,
172=82+|BC|2 ⇒(8-15-17)üçgeninden,
|BC|=15cm,
|BE|=15–9=6cmbulunur.
ABEüçgenindepisagoruygularsak,
|AE|2=62+82 ⇒(6-8-10)üçgeninden,
|AE|=10cmbulunur.
AECDdörtgeninde[AC]^[DE]olduğundan,
102+|DC|2=|AD|2+92olur.
|AD|2–|DC|2=102–92
|AD|2–|DC|2=19cm2bulunur.
12. ABCDköşegenleridikkesişenbiriçbükeydörtgenolduğun-dan,
|AB|2+|CD|2=|AD|2+|BC|2
22+x2=32+12
x=ñ6cmbulunur.
13. D
6
4
A
B x
2ñ3
C
[AC]köşegeniçizilirse
|AC|2=42+62=(2ñ3)2+x2
(Pisagorbağıntısı)
16+36=12+x2
x2=40
x=ò40cm x=2ò10cmbulunur.
14.
60°
45° 5ñ2
8ñ3
45°
D30°
A
B C12
12K
L 5
5
[DK]^[AB]ve[DL]^[BC]olacakşekilde,[DK]ve[DL]dik-meleriçizildiğinde
AKD(30°-60°-90°)üçgeninden,|KD|=|BL|=12cm
DCL(45°-45°-90°)üçgeninden,|DL|=|LC|=5cmolur.
|BC|=x=5+12=17cmbulunur.
15. KLMNparalelkenarolacağından,
|KL|=|MN|=4cm
|KN|=|LM|=3cmolacaktır.
Çevre(KLMN)=4+4+3+3=14cm
Çevre(KLMN)=|AC|+|BD|=14cmbulunur.
16. D
B
C
L
A 8
15
17
K
T
[KM] // [BD]olacak şekilde[KM],
[ML]//[AC]olacakşekilde [ML]paralelleriçizilir.
MK2
BDMK 8 cm= =&
(DABüçgenindeortatabandan)
ML2
ACML 15 cm= =& (DACüçgenindeortataban)
m(AéTD)=m(KéML)=90°paralellikteneldeedilir.
KMLbir(8-15-17)üçgeniolup|KL|=17cmbulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
333
CEVAP ANAHTARLARI
17. ABCDdörtgenindeköşegenuzunlukları|AC|=4ñ2cm |BD|=12cmolduğundan,
A(ABCD)=21
|AC|.|BD|.sin45°
(135°’ninbütünleriolan45°’yiaçıolarakkabulederiz.)
A(ABCD)=21
4ñ2.12 22
$
A(ABCD)=24cm2bulunur.
18. Alan(ABCD)=21
|AC|.|BD|.sin60°
45=21
x.12 23
$
x=5ñ3cmbulunur.
19. |BD|=2|AC|⇒|AC|=xve|BD|=2xolsun.
A(ABCD)=72= 22x.x
x2=72⇒x=6ñ2cmbulunur.
20. A
C
B D
|BD|=2x
|AC|=x
A=.x x
2
272=
x2=72
x=6ñ2
21. K,L,M,NnoktalarıABCDdörtgenininkenarortanoktalarıolduğundan,
Alan(KLMN)2
Alan(ABCD)=
A(ABCD)21
8 3 .10.sin60°=
21
8 3 .102
3= $
A(ABCD)=60cm2
A(KLMN)260
30= = cm2bulunur.
22.
K
A
E
DB
F
CG
12
135
EFGbir(5-12-13)üçgeniolup|FG|=5cmolur.
K noktası orta nokta olacak şekilde [GK] ve [EK] çizilirseFGKEbirdikdörtgenolur.
Alan(FGKE)=5.12=60cm2
Alan(ABCD)=2.Alan(FGKE)=2.60
=120cm2bulunur.
23.
D N C
M
B
KS2
5
7
S3
S1
AL
[MN]çizildiktensonra
Alan(MNC)=S1
Alan(KLMN)=S2
Alan(BLM)=S3
Alan(AKL)=5cm2
Alan(DKN)=7cm2
S1+S2=28cm2
S2= 2
A(ABCD)
S1+5= 4
A(ABCD)
+
S1+S2+5= 4
3.Alan(ABCD)
28+5=33=4
3.Alan(ABCD)
Alan(ABCD)=44cm2bulunur.
S3+7= 4
A(ABCD)
444
11= = cm2
S3=11–7=4cm2bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
334
CEVAP ANAHTARLARI
24. D
C
AB
S
6E
12
4
A(AEB)=Solsun,
S.4=6.12
S=18cm2bulunur.
25.
x
y
OB
A C
DKS1
S2S3
L
Şekildikdörtgene
tamamlandığında
|KD|=8br
|KL|=7brdolayısıyla,
A(KLOD)=8.7=56br2olur.
|AK|=2br,|KD|=8brise.
S br2
2 881
2= =
|AL|=5br,|LB|=3brise.
S br2
5 3215
22= =
|BO|=5br,|OC|=5brise.
S br2
5 5225
32= =
A(ABCD)=A(KLOD)–[S1+S2+S3]
=56– 8215
225
+ +d n
=56–28
=28br2olur.
ADIM 25
1. x+50°=180°⇒x=130°
y+125°=180°⇒y=55°
x–y=130°–55°=75°buluruz.
2. D C
A B
E65°
65°40°
25°α
= 50
°
[AB]//[DC]olduğundan
(Mkuralından)
m(DéEA)=40°+25° m(DéEA)=65°bulunur.
ADEikizkenarüçgenindem(AéDE)=m(AéED)=65°olur. a+65°+65°=180°⇒ a=50°bulunur.
3.
40°
40°
x = 70°
100°
20°20°
E
A B
CD
AveCnoktalarıbirleştirildiğindeADCüçgeninde
|DC|=|AD|olduğundanm(DéCA)=m(DéAC)=40°olur. Zkuralındanm(DéCA)=m(CéAB) ABC üçgeninde, [AE] ^ [BC] ve |CE| = |BE| olduğundan,
ikizkenarüçgenkuralındandolayı[AE]açıortay|AC|=|AB|özellikleritamamlanır.
m(CéAE)=m(EéAB)=20°veEABüçgeninden 20°+90°+x=180°⇒x=70°bulunur.
4. D
A G B
FE
4 3
5
C2
EFGüçgenibir (3-4-5)üçgeniolduğundan |EF|=5cmbulunur.
[EF], yan kenarların orta noktalarını birleştiren bir doğruparçasıoluportatabandır.
Öyleyse,|EF|=2
DC AB+
5=2
2 AB+
|AB|=8cmbulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
335
CEVAP ANAHTARLARI
5. D 2 C
F
4
1E
K
3
4
5
BA 8
Fortanoktasından[KF],
[KF] // [DC] olacak şekildeçizilirve[KF]ortataban,
|KD|=|AK|olur.
|KF|=2
2 8+=5cmolur.
OluşanKEFdiküçgenibir
(3-4-5)üçgeniolduğundan|EK|=3olur.
|KD|=|AK|=3+1=4cm
|EA|=|EK|+|AK|=3+4
|EA|=7cmbulunur.
6.
A B
E F
D 4 C
10
5
2 2ML
K ADC ve BCD üçgenlerinde
benzerlikoranındandolayı;
|EL|–|MF|= 2DC
|EL|=|MF|=2cm
eldeedilir.
ADBüçgenindebenzerlikoranındandolayı
|EM|= 2AB
⇒|EL|=210
=5cm
|LM|=5–2=3cmbulunur.
Öyleyse | |
| | | |
MF
LM EL
23 2
21– –
= = bulunur.
7. |KP|=|PL|=xolsun
x1
31
61
= + ⇒x–2cmbulunur.
|KL|=2x=4cmeldeedilir.
8.
A S B
D
K
2
8L
R C
m(DéLA)=90°bulunur.
ADLdiküçgenindeöklitbağıntısıuygulandığında,
|KL|2=2.8⇒|KL|=4cmolur.
Açıortayteoreminden|KL|=|RL|=|LS|dikmelerieşitolur.
[DC]ve[AB]arasıuzaklık|RS|=4+4=8cmbulunur.
9.
m(DéKA)=m(CéLB)=90°olur. [RS]//[DC]//[AB]olacakşekilde[RS]paraleli[KL]üzerin-
dençizilirveortatabanolur.
|DR|=|RK|=|AR|=6cm
|CS|=|SB|=|LS|=8cmeldeedilir.
Ortatabandan|RS|=6+8+x=2
7 23+
14+x=15cm
x=1cmbulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
336
CEVAP ANAHTARLARI
10.
[DE]//[BC]olacakşekilde[DE]çizilirve
|DC|=|EB|=x
|BC|=|DE|=y
m(ëB)=m(DéEA)=aeşitliklerieldeedilir.
|EB|=xolduğundan,|AE|=(x+y)–x
|AE|=yeldeedilir.
|AE|=|DE|=yolduğundanm(DéAE)=m(AéDE)=70°olur. ADEikizkenarüçgeninden70°+70°+a=180°
a=40°bulunur.
11.
m(ëA)=a,m(ëB)=bolsun [AD]//[CE]olacakşekilde[CE]çizilirve
|AD|=|EC|=6cm
|DC|=|AE|=7cm
m(ëA)=m(CéEB)=a(yöndeşaçı)eşitliklerieldeedilir. m(ëA)+m(ëB)=a+b=90°olduğundan m(EéCB)=90°olur. CEBüçgenindepisagoruygulanırsa
|EB|2=62+82(6-8-10)üçgeni
|EB|=10cmolur.
|AB|=7+10=17cmeldeedilir.
12.
m(ëB)=45°olduğundan[DF]ve[CE]dikmeleriçizilir.
|DC|=|EF|=7cmveBECüçgeni(45°-90°-45°)ikizkenardiküçgeniolurve|CE|=|EB|=8cmeldeedilir.
|CE|=|DF|=8cm(yüksekliklereşit)
AFDdiküçgeninde|AD|=10cmve|DF|=8cmolduğundan
|AF|=6cmolur.(6-8-10üçgeninden)
|AB|=|AF|+|FE|+|EB|=6+7+8=21cmbulunur.
13. [DCve [AKuzatılıpLdekesiştirilince
|AD|=|DL|=8cmve
|CL|=3cmeldeedilir.
(CKL~BKA)
BenzerliktenABCL
KBCK
=
123
KB
CK= ⇒
KB
CK
41
= bulunur.
14.
[ER]//[DC]olacakşekilde[ER]paraleliçizilince
AD
AE
4
ER= ⇒
21
4
ER= ⇒|ER|=2cmolur.
ABER
AKRK
= ⇒ AKRK
62= dan
|RK|=2k,|AK|=6k,|AR|=|RC|=8kdiyebiliriz. (k=orantısabiti)
Öyleyse KC
AK
10k6k
53
= = bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
337
CEVAP ANAHTARLARI
ADIM 26
1. D Cx |DE|=|BC|=4cm
|DC|=|EB|=x
|AE|=5–xeldeederiz.
ADEüçgenindepisagoruygulanırsa52=42+(5–x)2
x=2cmbulunur.
2.
A
D 3
3 x – 3
x
x
6 6
C
B
|BC|=|AB|=xolsun. Dik indirilip pisagor bağıntısı
uygulanırsa 36+(x–3)2=x2
36 x –6x 9 x2 2+ + =
45–6x
x215
=
3. [EK]//[AD]olacakşekilde [EK]çizildiğinde[DE]ve[CE]
açıortayolduğundan
|DK|=|KC|=|EK|olurve
|AF|=|FB|=4cmbulunur.
[DH]dikmesiçizildiğinde|AD|=|BH|=5cmve
|HC|=11–5=6cmolur.
|DH|=|AB|=8cmyüksekliktir.DHCbir(6-8-10)üçgeniolacağından|DC|=10cmbulunur.
|DK|=|EK|=|KC|=5cmolur.
[FK]ortatabanolduğundan|FK|–x+5=2
5 11+=8
x=3cm eldeedilir.
4.
8
m(DéCE)=m(CéEB)=a(içtersaçı) |BC|=|BE|=17cmolur.
[CH]dikmesiçizilince|AD|=|CH|=8cmolur.
CHBbir(8-15-17)üçgeniolduğundan|HB|=15cmve
|EH|=17–15=2cmbulunur.
|DC|=|AH|⇒10=x+2
x=8cmeldeedilir.
5.
|AD|=holsun
h 3.12= ⇒h=6cmolur.
ADCdiküçgenindepisagoruygulanırsa
|AC|2=32+62 ⇒|AC|=3ñ5cmbulunur.
6.
m(DéCA)=m(DéAC)=2
180° – 110°=35°
m(DéCA)=m(CéAB)=35°(içtersaçı) m(DéAB)=m(ëB)=70°(ikizkenaryamuk)
ABCüçgenininiçaçılarıtoplamından
35°+70°+a=180°
a=75°eldeedilir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
338
CEVAP ANAHTARLARI
7.
m(DéCA)=m(DéAC)=adersek m(CéAB)=aolur.(içtersaçıdan) m(ëB)=m(DéAB)=2aolur.(ikizkenaryamuktanoluşur.)
ABCdiküçgeninde,
a+2a+90°=180°
a=30°eldeedilir.
ABCbir(30°–60°–90°)üçgeniolduğundan
x=5ñ3cmeldeedilir.
8.
[AH]ve[DK]yükseklikleriçizildiğinde
|AD|=|HK|=7cm
|BH|=|KC|=2
17 – 7=5cmolur.
ABHveDCKeşdiküçgenlerolup(5-12-13)üçgenleridir.
Dolayısıyla,|AH|=|DK|=12cmbulunur.
9.
ABCDbirikizkenaryamukvem(AéEB)=120°olduğundanDCEveABEbirer(30°-30°-120°)üçgeniolurlar.
x=|DE|=|EC|=5cm
y=|AE|=|EB|=7cm
x+y=5+7=12cmeldeedilir.
10. 45°
BHCbirikizkenardiküçgenve|CH|=|HB|=4cmolur.
|AB|=7+4=11cm
Alan(ABCD)=2
(3 11) .4+
Alan(ABCD)=28cm2bulunur.
11. |AB|=2+8
|AB|=10cm
ADBdiküçgenindeöklitbağıntısıkullanırsak,
h2=2.8⇒h=4cmolur.
Alan(ABCD)=2
(6 10) .432cm2
+= eldeedilir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
339
CEVAP ANAHTARLARI
12.
Alan(ABC)
Alan(ACD)
73
= olduğundan
A(ADC)=3SveA(ABC)=7Sdiyebiliriz.
Öyleyse,Alan(ABCD)
Alan(ACB)
3S 7S7S
107
=+
= bulunur.
13.
A(ADE)=A(CEB)=Solsun.
S 3.12= ⇒S=6cm2olur.
A(ABCD)=6+6+3+12=27cm2bulunur.
14. AEDdiküçgeni(8-15-17)özeldiküçgeniolduğundan
|AD|=15cmbulunur.
Alan(AED)=2
8.15=60cm2
Alan(AED)=2
8.15=60cm2
Alan(AED)=( )A ABCD
2
60=( )A ABCD
2
A(ABCD)=120cm2bulunur.
15.
A B
D C |AD|=2+16
|AD|=18cm
AEFdiküçgeni(12-16-20)
özeldiküçgeniolduğundan
|EF|=12cmbulunur.
[DE]çizilirse,A(ADE)=2
18.12
=108cm2
Alan(ABCD)=2.A(ADE)
=2.108
=216cm2bulunur.
16.
Alanlarıeşitisetabanlarıtoplamıdaeşittir.
A(EBCF)
A(AEFD)1
x 35 6 – x
= =+
+
x+3=11–x⇒x=4cmbulunur.
17.
EFGbir(5-12-13)üçgeniolup|EG|=5cmeldeedilir.
|EF|ortatabanolduğundan
|EG|=|EH|=5cm
|GH|=10cmolupyamuğunyüksekliğiolur.
Alan(ABCD)=|GH|.|EF|=10.12
=120cm2bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
340
CEVAP ANAHTARLARI
18.
[DK]ve[CL]dikmeleriindirilince
|KL|=|DC|=5cm
|AK|=|LB|= cm2
17 56
–=
olur.
AKDveBLC(6-8-10)üçgenleriolup
|DK|=|CL|=8cmolur.
Alan(ABCD)=2
(5 17) .888 cm2
+= eldeedilir.
19. Köşegenleridikkesişenikizkenaryamuklardayüksekliküstvealttabantoplamlarınınyarısınaeşittir.
h=2
2 8+=5cmolur.A(ABCD)= .
2
(a c)h
+
Alan(ABCD)=h2=52=25cm2bulunur.
ADIM 27
1. 70° = x + 40°
110° = y – 10°70°
m(ëA)=m(ëC)⇒x+40°=70°
x=30°
m(ëA)+m(ëB)=180° 70°+m(ëB)=180° m(ëB)=110°=y–10° y=120°olur.
x+y=30°+120°=150°bulunur.
2. D E C
A B
m(EéBC)+m(DéFE)=80°(Mkuralı)
y+25°=80°⇒y=55°olur.
m(AéBC)=2y=110°olur. m(AéBC)+m(ëC)=180° 110°+x=180°
x=70°bulunur.
3. D E C
B
42°
62° 56°124°
A
Eşitliklerişaretlenirse|AD|=|EC|=|BC|olur.
124°+m(ëC)=180°⇒m(ëC)=56°dir. BCEikizkenarüçgenolduğundan
m(BéEC)=m(EéBC)=62°bulunur. m(BéED)=180°–62°=118°dir.
4.
138°
D
Aaa
B
F
a aE C
m(EéAB)=m(EéAD)=adenilirse m(DéEA)=aolur.(Zkuralı) |DF|=|FE|olduğundanm(FéDE)=aolur. ADEüçgenindea+a+a+138°=180°
3a=42°isea=14°bulunur.
m(BéCD)=2a=28°dir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
341
CEVAP ANAHTARLARI
5.
m(DéEA)=m(EéAB)olacağındanADEikizkenarüçgenolup |BC|=|AD|=|DE|=7cmolacaktır.
|DC|=|AB|=2+7=9cmolur.
Çevre(ABCD)=2(|AB|+|BC|)
Çevre(ABCD)=2(9+7)
Çevre(ABCD)=32cmbulunur.
6.
İçtersaçılarişaretlenerekikizkenarlarbulunur.
|AD|=|DF|=9cm
|FC|=|DE|=12–9=3cm
|EF|=9–3=6cmeldeedilir.
7.
y
[AE]ve[BE]açıortayolduğundanm(AéEB)=90°olur. |AF|=ydeyipAEBüçgenindeöklituygulanırsa,
62=y.4⇒y=9cmolur.
|DC|=x=9+4=13cmbulunur.
8.
m(DéEA)=90°olur. [FEuzantısına[EK]doğruparçasıçizilirse
|DK|=|EK|=|AK|=5cm(Muhteşemüçlü)
|KF|=|AB|=x=5+7
x=12cmbulunur.
9. |DE|=|EC|=a |AB|=2aise
AB
DE
KB
DK=
(Kelebekkuralı)
=2aa
18x
⇒x=9cmbulunur.
10.
D E 2C
F
A B8
3k
k
ABFüçgenindetemelbenzerlikuygulanırsa,
FA
FE
82
41
= = ⇒|EF|=kdersek
|FA|=4k
|AE|=3kolur.
AE
AF
3k4k
34
= = bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
342
CEVAP ANAHTARLARI
11. |DF|=2k
|FC|=k
|AB|=3kdiyebiliriz.
[EL]//[AB]olacakşekilde[EL]çizildiğinde
ADFüçgenindeDF
EL
AD
AE= (ortataban)
=2k
EL
21
⇒|EL|=kolur.
AB
EL
KB
EK= (kelebekkuralı)
3kk
x
EK= ⇒ EK
3x
= olur.
|EB|=x3x
34x
+ = =8
x=6cmbulunur.
12. |DG|2=|GF|.|GE|
62=3.(3+x)
x=9cmbulunur.
13. |AK|+|CP|=|DL|+|BN|=2|EM|olduğundan
6+y=8+2=2x
6+y=1010=2x
y=4x=5
x–y=5–4=1olur.
ADIM 28
1. � �
� � ���
���
|BC|=|AD|=5cm
ADEbir(3–4–5)üçgeniolduğundan|DE|=4cmolur.
Alan(ABCD)=|AB|.|DE|=4.12=48cm2bulunur.
2. I. Yol
Alan(ABCD)=8.12.sin60°
Alan(ABCD)=8.122
3$
Alan(ABCD)=48ñ3cm2bulunur.
II. Yol
[DH]^[AB]dikmesiçizilir.
DAH(30°–60°–90°)üçgeninde60°ninkarşısı
|DH|=4ñ3cmolur.
Alan(ABCD)=4ñ3.12=48ñ3cm2bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
343
CEVAP ANAHTARLARI
3. D C
BA
E
3k
24
k 8
32
|AE|=kdersek|DE|=3kolur.
[BD]çizilirseA(DBE)=24cm2veA(DBC)=32cm2olur.
A(ABCD)=64cm2bulunur.
4. 4S
5S10S
D Ek 4k C
F
BA
S
|DE|=kise|EC|=4kolur.
[DF]ve[DB]’yiçizelim.
A(ECF)=4Sdersek
A(DEF)=S,A(BFD)=5SveA(ADB)=10Seldeedilir.
= =( )
( )
A ABCD
A EFC
SS
204
51bulunur.
5.
1218
8
D C
F
BE k
2a
3b
2b
3a
3k
2kA
|EB|=kdersek|AE|=2kolur.
|AB|=|CD|=3kolacaktır.
Kelebekbenzerliğinden = =FE
DF
AF
FC
23bulunur.
A(AFE)=8cm2 ⇒A(ADF)=12cm2
A(ADF)=12cm2 ⇒A(DFC)=18cm2dir.
A(ABCD)=2.A(ADC)=2.30=60cm2bulunur.
6. Alan(ABE)=.
210 6
=30cm2
Alan(ABE)=2
Alan(ABCD)=30cm2
Alan(ABCD)=60cm2bulunur.
7.
[FG]//[DA]
Alan(EGF)=STemelbenzerlikteortatabandanyazılır.
Alan(ADFG)=3S
Alan(ADE)=( )Alan ABCD
2
4.S=2
Alan(ABCD) ⇒Alan(ABCD)=8.S=72cm2
Alan(FGE)=S=9cm2bulunur.
8.
|BC|=|AD|=12cm
PBCbir(5–12–13)üçgenidir.
A(PBC)=2
5.12=30cm2olur.
A(ADP)+A(PBC)=A(DPC)+A(APB)
15+30=A(DPC)+A(APB)
A(DPC)+A(APB)=45cm2bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
344
CEVAP ANAHTARLARI
9. A(KBC)=.2
3 4=6cm2
Alan(ABCD)=4.A(KBC)
Alan(ABCD)=4.6=24cm2bulunur.
10. |DE|=|EA|olduğundan
Alan(EAB)=( )Alan ABCD
4
Alan(EAB)=.2
3 10 =15cm2
Alan(ABCD)=4.15=60cm2bulunur.
11.
[AE]ve[EF]çizilirse
Alan(AEF)=.2
4 12=24cm2
Alan(AEF)=.S8
3=24cm2
Alan(ABCD)=S=64cm2bulunur.
12.
A(ABCD)=12A=120 A=10cm2olur. A(EDFGK)=4A=40cm2bulunur.
13. A(ABCD)
A(EFGH)
21
DC
HG
AB
EF= +f p
80
A(EFGH)
21
51
41
= +d n
80
A(EFGH)
409
=
Alan(EFGH)=18cm2bulunur.
14.
10836
31
=
Yükseklikleri aynı olduğundan yukarıdaki alan ve tabanoranlarıverilir.
234=A+3A+36+108
4A=90⇒A=22,5cm2bulunur.
ADIM 29
1.
28°62°
56°34° 73° 107°
D E C
BA
F62°
ABCDdikdörtgenolduğundan
|BC|=|AD|=|DF|=|DE|vem(DéAF)=90°–28°=62°bulunur.
ADFikizkenarüçgenolduğundan
m(AéFD)=62°vem(AéDF)=56°dir. m(FéDE)=90°–56°=34°vem(DéEF)=73°bulunur. m(FéEC)=180°–73°=107°dir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
345
CEVAP ANAHTARLARI
2.
E
D C
A F B
x + 21
x + 21x x21°
Dikdörtgeninköşegenlerieşitolduğundan
|AE|=|EC|=|BE|=|ED|dir.
m(EéBF)=xdersek m(EéAB)=xvem(EéFB)=m(FéEB)=x+21olur. EFBüçgeniiçin
3x+42°=180°
3x=138°
m(EéBF)=x=46°bulunur.
3.
F
[AC]çizilirse,|AC|=|BD|=|AE|ve
|AF|=|BF|=|CF|=|DF|olur.
m(BéAC)=40°ve|AC|=|AE|olduğundan m(AéEC)=m(AéCE)=70°olur. a+50°=70°
a=20°olur.
4.
x = 3m
3mm
m
m
m
m m
Butarzeşdikdörtgenlerleoluşturulmuşşekillerdekısake-naraisimveriptümçevreeldeedilir.
Burada,kısakenaramdediğimizdeuzunkenarınküçükdik-dörtgende3molduğugörülür.
Çevre(ABCD)=36=2.9m⇒m=2olur.
x=3m⇒x=6cmbulunur.
5. x = 55°
|AE|=|EB|=|DE|=|EC|eşitliğiolduğundan
m(CéAB)=m(DéBA)=m(DéCA)=m(BéDC)=25° DEFeşkenarüçgenolduğundan|DE|=|EF|=|DF|dir.
m(DéEF)=m(DéFE)=60°dir. DCEüçgenindem(DéEC)=130°olup m(FéEC)=130°–60°=70°bulunur. FECikizkenarüçgeninden
70°+x+x=180°⇒x=55°olur.
6.
|AD|=|BC|=9cm,|AE|=|EB|=x2
ADE ~BEFolacağından
2x9
42x
= ⇒144=x2
x=12cmbulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
346
CEVAP ANAHTARLARI
7.
|LC|=|AK|=4cmdir.
m(CéBA)=90°olur. CBAüçgenindeöklitbağıntısıuygulanırsa
x2=4.9⇒x=6cmbulunur.
8.
|DE|=|EC|=AB
2=adersek
=AB
DE
FB
DF ⇒ =
aa DF
2 10 (Kelebekbenzerliği)
|DF|=5cmolur.
m(DéAB)=90°olupADBüçgenindepisagoruygulanırsa 152=92+|AB|2
|AB|=x=12cmbulunur.
9. x2+42=22+72
x2=37
x=ò37cmbulunur.
10.
[FK]^[AB]çizilince|AK|=3cmve|KB|=12cmolur.
FABüçgenindeöklitbağıntısıuygulanırsa
|FK|2=3.12
|FK|=6cmbulunur.
|EK|=|BC|=7cmolduğundan
|EF|=x=7–6=1cmbulunur.
11.
[MK]//[AB]çizildiğinde|DM|=|MA|=2cmolur.
m(MéDK)=m(KéDC)=45°olur. DMKüçgeniikizkenardiküçgenolacağından
|DM|=|MK|=2cmolur.
|MT|=|AB|=12cmise|KT|=12–2=10cmbulunur.
12. |EF|=|EB|ve|BC|=|FC|olur.
|DF|=2|AE|⇒|AE|=k,
|DF|=2kdiyelim.
CDF~FAEolupbenzerlikoranıDF
AE
2kk
21
= =
olduğundanCF
EF
21
= olur.
Dolayısıyla|EF|=a,|FC|=2aolur.
CFEdiküçgenindepisagoruygulanırsa,
202=a2+(2a)2
5a2=400
a=4ñ5cmbulunur.
|BC|=|CF|=2a=8ñ5cmeldeedilir.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
347
CEVAP ANAHTARLARI
13. Kenarlarardışıktamsayıolduğun-dan,
|AD|=x
|AB|=x+1olur.
Alan(ABCD)=72=x.(x+1)
x=8cmbulunur.
Çevre(ABCD)=2(x+x+1)=4x+2
Çevre(ABCD)=4.8+2=34cmbulunur.
14. Paralelkenarözellikleridikdörtgendedegeçerlidir.
[EB] çizildiğinde oluşan AEB üçgeninin alanı dikdörtgeninalanınınyarısınaeşittir.
Alan(AEB)=.
210 6
=30cm2
Alan(ABCD)=2.30=60cm2olur.
15.
|FB|=|BC|=xve|AF|=yolsun
EABüçgenindeöklitbağıntısıuygulanırsa
82=x.(x+y)⇒64=x(x+y)
Alan(ABCD)=x.(x+y)=64cm2bulunur.
16.
60°
Köşelere90°işaretlenincem(DéLA)=30°olur.
m(DéLC)=m(CéLB)=2
180° – 30°=75°olur.
[DC]//[LB]olduğundanm(DéCL)=75°olup(Zkuralır) |DL|=|DC|bulunur.
ADLbir(30°-60°-90°)üçgeniolduğundan
30°ninkarşısı→|AD|=|BC|=5cm
90°ninkarşısı→|DL|=|DC|=10cm
Alan(ABCD)=5.10=50cm2bulunur.
ADIM 31
1.
E
|DC| = |DE| = |AD| = |AB| eşitliğişeklinüzerineişaretlenir.
EDCikizkenarüçgenolur.
m(ëA)=m(ëC)=80°olur. m(DéEC) = m(AéDE) a = 80° bulunur. (iç ters açı)
2. m(ëC) = m(DéAB) = 70° olur. |DC|=|AD|=|AB|=|AE|eşit-
liğişekilüzerineişaretleninceEAD ve EAB birer ikizkenarüçgenolurlar.
m(AéDE)=m(AéED)=xm(AéEB)=m(AéBE)=y
dersekABEDbirdörtgenolupiçaçılarıtoplamı360°dir.
2x+2y+70°=360°
x+y=145°
m(DéEB)=145°bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
348
CEVAP ANAHTARLARI
3.
m(AéCE)=m(EéCB)=adiyelim [AC]köşegeniaçıortayolduğundan
m(DéAC)=m(CéAB)=m(DéCA)=m(BéCA)=2aolur. ACEüçgenindena+2a=36°isea=12°olur.
ADCüçgeninden2a+2a+x=180°
4a+x=180°
4.12+x=180°
x=132°bulunur.
4.
ñ7ñ3
ñ7
ñ7ñ7
D B
C
A
H E12 1
x
[AC]köşegeninibizçizdiğimizde[AC]^[BD]ve
|DH|=|HB|olur.
|DH|=2cm,|HE|=|EB|=1cmolur.
CDHdiküçgenindepisagoruygulanırsa,
ñ72=22+|CH|2 ⇒|CH|=ñ3cmolur.
CHEdiküçgenindepisagoruygulanırsa,
x2=ñ32+12 ⇒x=2cmbulunur.
5.
[AC]^[BD]dir.
|CB|=|AB|=10cm⇒|HB|=10–8=2cmolur.
CEBüçgenindeöklituygulanırsa
x2=2.8
x2=16⇒x=4cmbulunur.
6. � �
� �
�
� �
��
�����
�
�
�
Çevre=4a=20 a=5cmolur.
Köşegenlerbirbirini ikiyeböldüğünden |AK|= |KC|=4cmolur.
DKCbir(3–4–5)üçgeniolduğundan|DK|=|KB|=3cm
Alan(ABCD)2
AC . BD
28.6
= =
Alan(ABCD)=24cm2eldeedilir.
7. [AC] köşegenini çizdiğimizde [AC]^[BD]
|BK|=|KD|=8cm
|EK|=8–2=6cmdir.
AEKdiküçgeni(6–8–10)üçgeniolacağından
|AK|=|KC|=8cmolur.
Alan(ABCD)2
AC . BD
216.16
128 cm2= = = bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
349
CEVAP ANAHTARLARI
8. Eşkenar dörtgende yükseklikler eşit olduğundan |MN|=|KL|dir.
5+x=4+6
x=5cmbulunur.
9. |AE| = x ise |AD|=|AB|=x+4olur.
AEDdiküçgeninde,pisagoruygulanırsa
(x+4)2=x2+82
x2+8x+16=x2+64
8x=48cm
x=6cmbulunur.
|AB|=6+4=10cmolur.
A(ABCD)=8.10=80cm2eldeedilir.
ADIM 32
1. |AB|=|EB|=|BC|olacağından
BECbirikizkenarüçgenolur.
m(EéBC)=90°–60°=30°dir. a+a+30°=180°
a=75°bulunur.
2. Köşegenlerbirbirinidikolarakor-taladıklarından
|DK|=|KC|=|AK|=|KB|=2cm
m(KéAB)=m(KéBA)=45°olur. AKBbir(45°-90°-45°)üçgenioldu-
ğundan|AB|=2ñ2cmolur.
Çevre(ABCD) = 4.2ñ2 = 8ñ2 cmbulunur.
3. [BD]köşegeniçizilince[BD]^[AC]olur.
|DK|=|KB|=|AK|=|KC|=4cmdir.
|KE|=4–1=3cmolur.
DKEbir(3-4-5)üçgeniolacağın-dan|DE|=x=5cmbulunur.
4. |AC|=|DE|=2xolsun
[BD]çizilirse,[AC]^[BD],
|DK|=|KB|=|AK|=|KC|=x
olur.
DKEdiküçgeninde
DE
DK
2xx
21
= = olduğundan
m(DéEA)=a=30°bulunur.
5. DEA @AFBolduğundan
|DE|=|AF|=5cm
|AE|=|FB|=5+7=12cmbulunur.
AFBüçgeni(5-12-13)üçgenioldu-ğundan|AB|=13cmolur.
Çevre(ABCD)=4.13=52cmbulunur.
6. [AC]açıortayolacağındanEKCveEPA birer ikizkenar dik üçgenolurlar.Dolayısıyla,
|EP|=|KB|=|AP|=2x,
|CK|=|EK|=|PB|=x
|AB|=2x+x=6 ⇒ x=2cmbulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
350
CEVAP ANAHTARLARI
7. |AB|=6xdersek
|CG|=|BG|=3x
|AE|=|EF|=|FB|=2xolur.
[FT]//[AD]olacakşekilde[FT]paraleliçizilirse
AFT~ABGolacağından
AB
AF
BG
FT= ⇒
6x4x
3x
FT= ⇒|FT|=2xolur.
ADH ~TFHolacağından
FT
AD
HF
DH= ⇒
2x6x
HF
DH= ⇒
HF
DH3= bulunur.
8. 42+x2=22+82
x2=52
x=2ò13cmbulunur.
9.
L
|DE|=|EB|=4cmolduğundanE noktası köşegen çizgisi üze-rindedir.
Bununiçin[EK]^[DC]ve[EL]^[CB]dikmeleriçizildiğindeEKCveCLEikizkenardiküçgenlerioluşur.
DEK30°-60°-90°üçgeninde
30°ninkarşı= KE2
DE=
|KE|=2cm
|KE|=|KC|=2cm⇒x=2ñ2cmbulunur.
10. ABLüçgeninde|AL|=3br,
|BL|=4brolduğundan
|AB|=5brdir.
CKDüçgeninde|KD|=3br,
|CK|=4brolduğundan
|CD|=5brdir.
Alınanyol=|AB|+|CB|+|CD|+|DE|+|AE|
=5+1+5+1+6=18birimbulunur.
11. [CK]^Oxolacakşekilde[CK]çizildiğinde
AOB@BKCeşüçgenlerieldeedilir.
Dolayısıyla,
|OA|=|BK|=4br
|OB|=|CK|=3brolur.
CköşesininkoordinatlarıC(7,3)olur.
Toplam:7+3=10bulunur.
12. [AC]birleştirildiğinde m(CéAF)=45°–15°=30°olur. CAFbir(30°-60°-90°)üçgeni
olduğundan
30°ninkarşısı→|CF|=2
AC ⇒ 4
2
AC= ⇒|AC|=8cmdir.
ACDikizkenardiküçgenolduğundan
|AD|=|DC|=4ñ2cmolur.
Alan(ABCD)=(4ñ2)2=32cm2bulunur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
351
CEVAP ANAHTARLARI
13.
A B
|AB|=x |BG|=yolsun.
ABGdiküçgenindepisagoruygulanırsa102=x2+y2
Alan(ABCD)=x2
Alan(BGFE)=y2
Karelerinalanlarıtoplamı
x2+y2=100cm2bulunur.
14.
A(EAB)=A+5=4
A(ABCD)
A(ABF)=A+25=A(ABCD)
2
4A+20=2A+50 A=15cm2olur.
A(ABCD)=2(25+A)=2(25+15)=80cm2
80=a2
4ñ5cm=abulunur.
15.
K
[DB]köşegeniçizilir,
[DK]∩[BK]={K}ve
[DK]^[BK]olur.
DKBdiküçgenioluşur.
|EF|=|BK|=4cm
|EB|=|FK|=4cmolur.
|DK|=4+4=8cm
Pisagoruygulanırsa,
|DB|2=82+42
|DB|=4ñ5cmolur.
|AD|=|AB|=2
DB
2
4 5=
|AB|=2ò10cmbulunur.
Alan(ABCD)=(2ò10)2=40cm2olarakeldeedilir.
ADIM 33
1. A
C
10
10B
F
D
E 10
6 8
6 8
ABCdiküçgenindepisagorbağıntısıyazılırsa,62+82=|BC|2 ve|BC|=10br
Prizmanın yüksekliği tabandaki dik üçgenin hipotenüsüneeşitolduğundan10brolur.
Hacim=
26.8
10$ =240br3
TabanAlanı
Yükseklik
2. Tümayrıtlarıbirbirineeşitolanüçgendikprizma,eşkenarüçgenprizmadır.
a a a aaa
aaa
YanalAlan=(a+a+a).a=3a2
48=3a2
a=4brolur.
Hacim=TA.h=4
a 32
$ h
4
4 32
= $4=16ñ3 br3olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
352
CEVAP ANAHTARLARI
3. a. Hacim=a.b.c
=3.4.5=60cm3
b. YüzeyAlanı=2.(ab+bc+ac)=2.(3.4+4.5+3.5)
=94cm2
c. CisimKöşegeni= a b c2 2 2+ +
= 3 4 52 2 2+ +
=ò50=5ñ2cmbulunur.
4. A=YüzeyAlanı
V=Hacimolmaküzere,
a
3
b
3
c
32+ + =
. . .(b c) (a c) (a b)(Paydalareşitlenir.)
3a.b.c
b.c a.c a.b2
+ +=d n
e oA=2(a.b+b.c+a.c)
e o V=a.b.c
3V2A
2=
J
L
KKKKKKK
N
P
OOOOOOO
2V3A
2= ise A34
V= $
Dolasıylayüzeyalanı,sayıcahacmin34katıdır.
5. A1,A2 ve A3farklıyüzeylerinalanlarıolmaküzere,
A1=a.b=6m2
A2=b.c=12m2
A3=a.c=18m2
Hacim= A .A .A a.b.b.c.a.c a .b .c1 2 32 2 2= =
= 6.12.18 1296= =36m3bulunur.
6. Yan yüzü üzerine yatırılan prizmanın su yüksekliğinin enfazlaolabilmesiiçin,enbüyükayrıtyükseklikolmalıdır.Yaniyükseklik8cmolmalıdır.
Suyun hacminde bir değişiklik olmadığı müddetçe suyüksekliğininoranıdeğişmez.
Yani51
idoludur.
hson=8 51
58
=$ cmolur.
7. Hacim=YanalAlan
a2.h=4.a.h
a=4br
Kareprizmanıntabanayrıtı4brolduğunagöre,
TabanAlanı=a.a=4.4=16br2olur.
8. V=a3
V=53=125cm3
9. F P4 E
LK
CB
DHA
R
6
2
5
4
3
3
2
Küpünbirayrıtı6cmolur.
|AR|=|RB|=3cmve[PH]dikmesiniçizersek
[PH]^[RH]olur.(Temeldiklikteoremi)
Ayrıca;
ARHdiküçgen(3–4–5)özelüçgendir,|RH|=5cmolur.
PRHdiküçgenindepisagorbağıntısıyazılırsa,
62+52=|PR|2
36+25=|PR|2
61=|PR|2
|PR|=ò61cm
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
353
CEVAP ANAHTARLARI
10. F E
LK
A
B 6 C
D
Hacim=216=a3 ⇒a=6cm
Cisimköşegeni,|BE|=6ñ3cmbulunur.
11. Atılanprizmalarınhacmikadar,karedikprizmanıniçindekisudayükselmeolacaktır.
Atılandikdörtgenprizmalarınhacmi:
V1=4.(1.2.3)=24cm3
sudakiyükselmemiktarıhcmise
V2=4.4.h=16hcm3
V1=V2olacağından
24=16h,h=23
cmartar.
hson=5+ 23
213
= cmolur.
12. a.Hacim=103–33=1000–27
=973cm3olur.
b.Oluşancisminalanıbüyükküpünalanınagöre2kareyüzeyiartar.Çünkü2tanekareyüzeyiçıkıp,4tanekareyüzeyieklenmişoluyor.
Bunagöre,
Alan=6.102+2.32
=600+18
=618cm2olur.
13.
D
P4H
8 CB
A
T
53
Düzgün piramitte yanyükseklik taban ayrıtınıortalar.
Piramitinyüksekliğitabanmerkezineineceğinden
|HP|=28=4brolur.
YanalAlan=. .DC TP TP
br42
42
880 2$ $= =
|TP|=5brolur.
THPdiküçgeni(3–4–5)özelüçgeniolduğundan
|TH|=3brolur.
Buradan,
Hacim=. .TA h
3 3
8 32
= =64br3bulunur.
14. Piramitlerarasındakibenzerlikoranınınküpühacimleriora-nınıvereceğinden;
AB
RSk= (benzerlikoranı)
AB
RS
278
3
=f p ⇒ AB
RS
32
= olur.
35 A
dım
da
Mat
emat
ik
354
CEVAP ANAHTARLARI
15.
C
K
3
3
6
45°
3ñ2
H
BA
D
3
3
T
Tabanalanı36cm2ise|AB|=|BC|=6cmdir. (T,ABCD)piramidinde[TH]tabanmerkezineineceğinden,
|HK|= 26
3 cm= olur.
[TK]yanyüzyüksekliği,tabanınortasınaineceğinden,
[TK]^[BC]ve|BK|=|KC|olur.
Yanyüzüntabandüzlemiileyaptığıaçı45°ise,
THKikizkenardiküçgendir.
Pisagorbağıntısından,
|TH|2+|KH|2=|TK|2
32+32=|TK|2
|TK|=3ñ2brolur.
YanalAlan=
.
2
6 3 24$
BiryanYan yüzünalanıyüzsayısı
=36ñ2cm2bulunur.