Zjištění průběhu funkce

Základní pojmy

funkce f(x) je rostoucí v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 > y1 .

funkce f(x) je rostoucí pokud derivace funkce f´(x) je větší než nula.

funkce f je klesající v intervalu i, jestliže platí, že když je x2 > x1 a zároveň platí, že y2 < y1 .

funkce f je klesající pokud derivace funkce f´(x) je menší než nula.

funkce f je konvexní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí

Graf je nad tečnou funkce.

funkce f je konkávní, jestliže za předpokladu x1 < x2 < x3 platí

y2 – y1

x2 – x1

y3 – y1

x3 – x1<

y2 – y1

x2 – x1

y3 – y1

x3 – x1

Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci.

Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)

t

t

Graf je pod tečnou funkce.

Zjištění průběhu funkce

Extrémy funkce

funkce f(x) má své extrémy

Pokud chceme využít derivaci k určování vlastností funkce, pak tato funkce musí být spojitá (nepřerušená) a v každém bodě musí mít svou derivaci.

Intervaly monotonie jsou takové intervaly mezi nimiž je funkce buď pouze klesající nebo pouze konkávní nebo pouze … (prostě monotóní)

ostré

neostré

Lokální (pouze ve vnitřních bodech Df )

absolutní

minimummaximum

Při definování extrémů funkce definujeme hodnotu y pro nějaké x.

Má-li funkce v bodě A lokální extrém, pak nutně derivace funkce pro A bude rovna nule. (f ´x = 0)

Pouze jeden extrém

Ostré lokální minimumA

y´ < 0 y´ > 0

Ostré lokální maximum

A

y´ > 0 y´ < 0

Pro zjištění absolutního extrému se dosazují hodnoty x z definičního oboru funkce.

Absolutní (globální) extrém se zjistí porovnáním extrémů lokálních.

Zjištění průběhu funkce

Postup

1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)

2) Derivace funkce f(x) f´(x)

3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule.

4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce

5) Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající.

6) Zapsání výsledku v podobě : f je rostoucí (klesající) v intervalu … , …

7) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x) f ´´(x)

8) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df.

9) Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní.

10) Zápis výsledku

Příklady použité v tomto materiálu byly převzaty z webových stránek

http://matematika.tf.czu.cz/institut/uvod.htm

Zjištění průběhu funkce

Příklad 1

Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, a v kterých rostoucích.

1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)

2) Derivace funkce f(x) f´(x)

3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule.

=

Zjištění průběhu funkce

Příklad 2

4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce.

Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající.

+ -

f

-1 1

8

f je rostoucí na <-1;1>, klesající na <1; )

8

Pozn.: Už z grafického znázornění je zřejmé,že ostré absolutní maximum je v x = 1.

Ostré absolutní minimum bychom zjistili porovnáním zbývajících lokálních extrémů, v našem případě s x = -1 a s x v nekonečnu. Jak se počítá s nekonečnem to nevím a tak mi zbývá už jen to x = -1.

Příklad 1

Zjistěte v kterých intervalech je funkce klesající, v kterých rostoucích, v kterých konkávní a v kterých konvexní.

1) Zjištění definičního oboru funkce f(x)

Zjištění průběhu funkce Příklad 2

2) Derivace funkce f(x) f´(x)

3) Zjištění nulových bodů derivované funkce, tj. hodnot x, kdy je y rovno nule.

2

4) Do graficky znázorněného definičního oboru funkce zaneseme nulové body podruhé derivované funkce.

Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = rostoucí, minus = klesající.

+ -

f

0

8 e 2

f ´

f je rostoucí na (0; >, klesající na < ; )

8 e 2 e 2

Zjištění průběhu funkce Příklad 2

5) Pro zjištění konvexity a konkavity podruhé derivujeme funkci f ´(x) f ´´(x)

e

+ -

f

0

8

f ´´

6) Zjištění nulových bodů podruhé derivované funkce, a jejich zanesení do graficky znázorněného definičního oboru funkce (spolu s body Df).

Ve vzniklých intervalech testujeme v jednotlivých intervalech znaménka + a – u funkce derivované. Výsledné znaménko pak určuje průběh funkce. + = konvexní, minus = konkávní.

y = 4 ( 1 – ln 1) = 4 (1 – 0) = + 4

y = 4 (1 – ln e ) = 4 (1 – 2) = - 42

f je konvexní na (0;e >, konkávní na <e; )

8

Teď to už jen nechám počítač zkontrolovat, abych to viděl na vlastní oči

e2e