zdd を用いたパスの列挙と索引生成

ZDD を用いたパスの列挙と索引生成

○ 川原純斎藤寿樹湊真一吉仲亮

(JST ERATO 研究員 )(JST ERATO 研究員 )

(JST ERATO 研究員 )( 北海道大学・ JST ERATO 総括 )

他、関わっている人井上武 (ERATO) 、岩下洋哲 (ERATO) 、鈴木拡（北海道大学）、鶴間浩二 (ERATO)

(50 音順 )

パスの列挙• 入力：グラフ G=(V, E) ， 2 頂点 s, t • 出力： s から t への全てのパス

3×3 のグリッドグラフ

s

t

応用• 地理情報処理

• ネットワークや論理回路の信頼性評価

• ソフトウェアのフローチャートを網羅するテストケース作成

• Fisher’s Exact Test （統計の分野）

（故障検査）

他にもたくさん

既存研究と関連研究• 既存研究– バックトラックを用いたアルゴリズム

• 一つあたり O(|V| + |E|) 時間 [Read and Tarjan, 75]

• 関連研究– パスの数え上げ

• #P 完全問題• Bax のアルゴリズム [Bax, 94]• BDD を用いたパスのカウンティング [Sekine and Imai, 97]

（以下、 Read のアルゴリズムと呼ぶ）

これまでの研究の流れ (1)

• 2010 年 10 月– The Art of Computer Programming 4-1 を読む輪講で　 ZDD を用いたパスの列挙アルゴリズムが紹介される

• 次の週、川原が C# で実装• 2010 年 11 月

– ZDD の代数演算のみで列挙するシンプルな　手法を考える（遅い）

• ERATO 合宿で発表• 2011 年 1 月

– 改良手法を考える　 2 月に冬の LA シンポジウムで発表

3 月にアルゴリズム研究会

これまでの研究の流れ (2)• 2010 年 10 月　輪講で紹介• 2010 年 11 月　 ZDD の代数演算のみの手法• 2011 年 1 月　 ↑の改良

• 2011 年 3 月　パス列挙技法をパズルに応用– ゲーム・パズル研究集会で発表

• 2011 年 4 月　ネットワークの信頼性評価への応用を検討– 既存手法で Knuth の Alg. に似た手法が見つかる

発表の内容• Knuth のアルゴリズム Simpath の紹介• ZDD の代数演算のみを用いた手法（ Mate-ZDD ）の

紹介• 両者の中間の手法（ Hybrid ）の紹介• 実験• ネットワーク信頼性評価への応用

se1

t

Knuth によるアルゴリズム Simpath

1. 枝に順番を付ける（例えば、 s から幅優先）

e2

e3

e4

e5

枝 e1, e2,… の順に処理

2. 2 分木を構築

e1e1 = 0e2

e2 = 0

e4

e2e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e5

各枝変数 ei に対し、

ei = 0 or 1 を決めていく

（もっと良い方法もあり）

e3 e3 e3 e30 1

s e1 t

e2

e3

e4

e5

ei = 1 である枝が s-t パスになっているか？

s-t パスになっている1

se1

t



e2

e3

e4

e5



e1e1 = 0e2

e2 = 0

e4

e2e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e5




e3 e3 e3 e30 1

s e1 t

e2

e3

e4

e5

ei = 1 である枝が s-t パスになっているか？

s-t パスになっていない0

s e1 t

e2

e3

e4

e5

s-t パス +余分な枝

0

se1

t



e2

e3

e4

e5



e1e1 = 0e2

e2 = 0

e4

e2e2 = 1 e2 = 0 e2 = 1

e1 = 1

e5




e3 e3 e3 e30 1

11 他は 011

が 1 つのパスに対応1

2 分木は全パスを保持している


se1

t

e2

e3

e4

e5

木の枝刈りe1e1 = 0

e2e2 = 0

e2

e1 = 1

0

e1 = 0 かつ e2 = 0 ならs-t パスができることはない


se1

t

e2

e3

e4

e5

木の枝刈りe1e1 = 0

e2e2 = 0

e2e2 = 1 e2 = 0

e1 = 1

0

e1 = 0 かつ e2 = 0 ならs-t パスができることはない

e30 1

e40 1

e1 = 1 かつ e3 = 1 かつ e4 = 1なら s-t パスができることはない

0

（分岐が生じる）

1

… …

…

…木の枝刈りを行っても場合の数は指数爆発


e8

e90

0 e10

0e11

0 1

s e1 t

e2

e4

e3 e10

e5

e6e7

e9

e8

e11 e8s t

e11

e9

e10

e8s t

e11

e9

e10

e8

e90

0 e10

0e11

0 1

e8

st

e11

e9

e10

以下の 2 つからは同じ木が生成される


e8

e90

0 e10

0e11

0 1

s e1 t

e2

e4

e3 e10

e5

e6e7

e9

e8

e11

e8

e90

0 e10

0e11

0 1

e7

…

……

…

e7

…

…

…

e8

st

e11

e9

e10


e8

e90

0 e10

e11

0 1

s e1 t

e2

e4

e3 e10

e5

e6e7

e9

e8

e11

e8

e90

0 e10

0e11

0 1

e7

…

……

…

e7

…

…

…

同じ形をもつ子は共有したい

…

e8

st

e11

e9

e10


s e1 t

e2

e4

e3 e10

e5

e6e7

e9

e8

e11

e7

…

……

…

e7

…

…

…

e8s t

e11

e9

e10

e8s t

e11

e9

e10

e8

76

e8s t

e11

e9

e10

56 は s とつながっている5 は 7 とつながっている

e7 = 0 e7 = 1

e8

76

5

76

5

共有する

e7 e7


76

s t5

接続情報の記憶法

12

3

48

9

mate 配列

頂点がパスの端

1 2 3 4 5 6 7 8 9imate[i]

逆端の番号

自身の番号頂点がいずれのパスにも含まれない

頂点がパスの途中 0

6 0 0 0 7 1 5 8 9


7

s t

6

5

接続情報の記憶法

12

3

48

9

mate 配列

頂点がパスの端

1 2 3 4 5 6 7 8 96 0 0 0 7 1 5 8 9

imate[i]

逆端の番号

自身の番号頂点がいずれのパスにも含まれない

頂点がパスの途中 0

どの頂点の接続情報を覚えればよいか？ei枝 i を処理するとき、

枝 i に接続している頂点を「訪れた」と表現するF := {訪れたことのある頂点 } { 二度と訪れない頂点 }

F を frontier という。 frontier 頂点の接続情報を覚える

frontier

この部分のみ記憶

e8e8


s e1 t

e2

e4

e3 e10

e5

e6e7

e9

e8

e11

e7

…

……

…

e7

…

…

…

e8s t

e11

e9

e10

e8s t

e11

e9

e10

76

e8s t

e11

e9

e10

5

e7 = 0 e7 = 1

76

5

76

5e7 e7

5 6 7imate[i] 7 1 5

5 6 7imate[i] 7 1 5

frontier の部分のmate が同じなら共有する


s e1 t

e2

e4

e3 e10

e5

e6e7

e9

e8

e11

e1

…

1

1

e2 e2

1 2

1 2

1 2

2 1

0 e3

1 2 3

3 2 1

1

2

3

45

6

7

e3 0

1 2 3

2 1 3

e4

1 2 3 4

4 0 3 1一般に

ex

ex+1

c

d

a

b ex

a b c dc d a b

mate の更新

a b c d0 0 d c

最大 4 か所書きかえれば更新できる

忘れてよい

Simpath では、（既約とは限らない） ZDD を構築している→ 既約化アルゴリズムによって、節点サイズに比例する時間で既約化できる

したがって、パスの列挙だけでなく、・列挙した結果を圧縮して保持・列挙したパスの索引生成・列挙した結果から条件を満たすパスを得るもできたことになる

e7

e80

0 e9

0e10

e6

…

… e6

…

e7

e80

0 e9

0e10

e1e1 = 0e2

e2 = 0 e2 = 10 …

節点の削除節点の共有

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8

各頂点のペア (i, j) ごとに変数 mi, j を用意する

m14 = 1, m56 = 1, m77 = 1,…

m11 = 0, m12 = 0,…

i, j が 1本のパスの両端なら mi, j = 1

そうでないなら mi, j = 0

e6

ZDD の代数演算のみを用いて、 ZDD を構築できないか？Mate-ZDD 法（提案手法）

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8

i, j が 1本のパスの両端なら mi, j = 1

選ばれた枝＋ mate を集合として表す

{e1, e3, e4, m14, m56, m33,…}

e6

Mate-ZDD 法（提案手法）


s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8

e6 まで処理済み、次は e7

{e1, e3, e4, m14, m56, m33,…}

e6

e7 = 0 なら mate は変化なしe7 = 1 なら m14 → m17

{e1, e3, e4, e7, m17, m56, m33,…}

e7 s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

e7

e7 = 1

e6 の処理が終わった時点での全状態を集めたものを考える

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

{e1, e3, e4,

　 m14, m56, m33,…}

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

{e1, e3,

　 m14, m25, m33,…}これらの全状態に対して、先ほどの操作を行いたい

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

{e2, e3,

　 m15, m44,…}

…

…


集合の集合（集合族）は ZDD で効率よく保持できる

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}}

a0 1

b

c

d

1

0 は省略

c

1

b

c

1d

1

ZDD と集合族

a を含む集合だけを取り出し、 a を消去する

ZDD と集合族

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}} {{b, c, d}, {c}}

a0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

トップの要素なら簡単にできる

b

c

d

1

c

1

集合族への操作例：

a を含まない集合だけ取り出すなら、 LO 枝側をもってこればよい

1

ZDD と集合族

c を含む集合だけを取り出し、 c を消去する{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}} {{a, b, d}, {a}, {b}}

a0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

1d

1

トップでなければ、その変数の深さまで潜って、枝の付け替えを行う

a0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

1d

1


ZDD と集合族

c を含む集合だけを取り出し、 c を消去する{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}} {{a, b, d}, {a}, {b}}

a0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

トップでなければ、その変数の深さまで潜って、枝の付け替えを行う

a0 1

b

cc

b

c

d

1

1


c を含まない集合だけ取り出すなら、 LO 枝の方に付け替えればよい

d

1

11 0 0

ZDD と集合族

e を各要素に追加する{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}}


{{a, b, c, d, e}, {a, c, e}, {b, c, e}, {b, d, e}}

a0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

1d

1

a

b

c

d

1

c

1

b

c

1d

1

e

トップに加える場合

ZDD と集合族

e を各要素に追加する{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}}


{{a, b, c, d, e}, {a, c, e}, {b, c, e}, {b, d, e}}

a0 1

b

c

d

1

c

1

b

c

d

1

a

b

c

d

1

c

1

b

c

1d

1

e

間に加える場合

e e e

1

ZDD と集合族

{{a, b, c, d}, {a, c}, {b, c}, {b, d}}

集合族を積と和で表現すると見やすい

abcd + ac + bc + bd

e を各要素に追加する (abcd + ac + bc + bd) × e= abcde + ace + bce + bde

a を含む集合だけを取り出し、a を消去する

(abcd + ac + bc + bd) = a(bcd + c) + bc + bd

なので、

a を含まない集合だけを取り出し、a を消去する

(abcd + ac + bc + bd) / a = bcd + c (abcd + ac + bc + bd) % a = bc + bd （多項式の除算、剰余算）



s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

f = e1e3e4m14m56m33 +

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

e1e3m14m25m33 +

これらの全状態に対して、先ほどの操作を行いたい

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

e2e3m15m44 +

…

…

集合族を ZDD で表したものを f とする



これらの全状態に対して、先ほどの操作を行いたい

f = f + f / m14 × e7 × m17

e7 を追加m17 を追加

m14 を含むものを取り出し、m14 を削除

m14 → m17 の付け替え演算

f = e1e3e4m14m56m33 + e1e3m14m25m33 + e2e3m15m44 +…

初期値 f = m11 × m22 × m33 × ...

f = f + f × e / mik / mjl × mkl

frontier の中の各頂点 k,l について

頂点 p を二度と訪れないならば　　　各 k = p について　　　 f = f % mpk ( 頂点 p の次数が 1 の項は削除 )　　　

　　　 f = f / mpp + f % mpp (mpp 変数の除去 )最後に　　 f = f / mst

各枝 e = {i, j} についてfrontier を計算

Mate-ZDD 法（提案手法）アルゴリズム

e

ik

jl

pk

e

ik

jl

変数は ZDD のトップに追加する方が計算が早いので、Mate-ZDD 法では、先に処理した枝変数をZDD の下にするのがよい

m11

m 変数は頻繁に操作されるので、 e 変数の上にするのがよい

m22

…

e1 処理 m11

m12

…

m11

e1e1

e2 処理m11

m12

…

m11

e1e1

e2e2

（ボトムアップ的）(Simpath はトップダウン的 )

Mate-ZDD 法の変数順


…

e1

e2

…

e 変数

m 変数{e1, e3, e4, m14, m56, m33}

m56

m33

m14

e4

e3

e1

1

上段で m 変数の集合、すなわち mate を表している。ある mate 値をもつ e 変数の集合がぶら下がっている

…

…

e1

e2

…

e 変数

m 変数

フロンティアの 2乗の個数の m 変数が存在し、それらを更新しなければならない

フロンティアの 2乗の段数


…

e1

e2

…

e 変数

{e1, e3, e4, m14, m56, m33}

e4

e3

e1

1

mate の管理に、 m 変数ではなく、（ Simpath で使われている）配列を用いる

4 0 3 1 6 5 7 8 9 10 11 12

速度は Simpath と Mate-ZDD 法の中間くらいになる（と期待される）

Hybrid 法

Hybrid 法のメリット

…

e1

e2

…e 変数

{e1, e3, e4, m14, m56, m33}

e4

e3

e1

1

枝に制約条件を加えて、列挙を行うことが容易になる。

4 0 3 1 6 5 7 8 9 10 11 12

例えば、 e3 と e4 の少なくとも一方の枝を使うという条件ならF = F / e3 × e3 + F / e4 × e4

の演算を e4 の処理時に全体に施せばよい。mate 配列に所属する e 変数がなくなれば、 mate 配列を削除できる

0

頂点数 CyPath Simpath Mate-ZDD HybridMate-ZDD 法のZDDノード数パスの数

日本地図 47 > 1000 0.02 <0.01 <0.01 951 1.4 × 1010

2重化 94 > 1000 40.64 248.72 340.77 18,971,787 5.0 × 1044

（単位：秒）

CyPath: Read ‘75 の alg.Simpath: Knuth の alg.Mate-ZDD: 提案手法Hybrid: 提案手法

14797272518 本

5039760385115189594214594926092397238616064 本（ = 503正 9760澗 3851溝 1518穣 9594杼 2145垓 9492京 6092兆 3972億 3861万 6064 ）

実験結果日本地図グラフ北海道から鹿児島までの全パス

日本地図グラフの頂点を2倍に増やしたグラフ

L 頂点数 CyPath Simpath Mate-ZDD HybridMate-ZDD 法のZDDノード数パスの数

8 64 > 1000 0.17 0.28 0.11 3.1 × 104 7.8 × 1011

9 81 > 1000 0.48 1.58 0.32 1.1 × 105 3.2 × 1015

10 100 > 1000 1.40 5.69 1.75 3.7 × 105 4.1 × 1019

11 121 > 1000 3.50 24.49 8.37 1.2 × 106 1.5 × 1024

12 144 > 1000 10.29 92.96 30.77 4.2 × 106 1.8 × 1029

L × L グリッド

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・

・・・

L

L

（単位：秒）

実験結果

s

t

CyPath: Read ‘75 の alg.Simpath: Knuth の alg.Mate-ZDD: 提案手法Hybrid: 提案手法

n CyPath Simpath Mate-ZDDMate-ZDD 法のZDDノード数パスの数

10 < 0.01 < 0.01 < 0.01 4.7 × 102 5.8 × 102

15 0.42 < 0.01 0.16 1.6 × 104 1.1 × 105

16 49.61 1.30 23.28 1.1 × 105 5.3 × 107

17 > 1000 2.42 70.10 2.3 × 106 8.1 × 107

18 > 1000 6.48 213.94 8.1 × 106 7.1 × 108

n 頂点ランダムグラフ、枝の生成確率 0.5

（単位：秒）

実験結果 CyPath: Read ‘75 の alg.Simpath: Knuth の alg.Mate-ZDD: 提案手法Hybrid: 提案手法

マルチパスの列挙

s1

t2

s2

t1

s1 - t1 パスs2 - t2 パス

の組を全列挙交差しない

ms1t1 と ms2t2 と ms3t3 を含む集合を残せばよいs3

t3s3 - t3 パス

条件付きパス（サイクル）の列挙

1e1

e2

e3

e4 f = f + f / e4 % e3 % e2 % e1) * e4 + (f % e4 / e3 % e2 % e1) * e3 + (f % e4 % e3 / e2 % e1) * e2 + (f % e4 % e3 % e2 / e1) * e1

条件付きパス（サイクル）の列挙

連結部分グラフの列挙

se1

te2

e3

e4e10

e5e6

e7

e8 e9

s と t が連結になるような部分グラフを列挙→ ネットワーク信頼性評価への応用

s

t4

5

6

e1

e3

e4

1

2 3

7

8e6

e74 は 1 と同じ連結成分5 は 6 と同じ連結成分

まとめ• s-t- パスを列挙するアルゴリズム– Simpath （ Knuth ）– Mate-ZDD （提案手法）– Hybrid 法（提案手法）

• 今後の課題– 計算時間の解析– 頂点の順序付け– 様々な条件下での列挙

zdd を用いたパスの列挙と索引生成

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