1

Rapport

Problemorienteret projektarbejde i matematikundervisningen

YOUNG MOBILE A/S

Det optimale mobilabonnement

Gitte Iversen

Jørgen Lerchedahl Petersen

Jan de la Motte Olsen

CPH West – Htx afdelingen, 2006.

2

Indholdsfortegnelse Forside. Indholdsfortegnelse.

1. Projektets baggrund. 2. Projektets design. 3. Projektets forøb. 4. Pædagogiske observationer. 5. Elevernes skriftlige evaluering. 6. Elevernes mundtlige evaluering. 7. Fik de lært det? 8. Fik vi lært det? 9. Forbedringsforslag. 10. Konklusion. Bilag 1: Elevoplæg - Young Mobile A/S. Bilag 2: Brug af Excel i matematik. Bilag 3: Drømme Mobilen Lille Excel-trænings øvelse. Bilag 4: Debitel mobilabonnementer. Bilag 5: Evalueringsskema. Bilag 6: Forslag til næste års elevoplæg – inkl. bilag

1 2 2 3 3 5 6 7 7

10 10 12 13 15 18 19

20 21

1. Præsentation af projektets baggrund

I bekendtgørelsen til den ny gymnasiereform er det bestemt at en del af undervisningen i matematik skal være problem- og projektorienteret. Derfor meldte vi os til dette kursus på RUC.

Kurset som blev ledet af Tinne og Morten har vi oplevet som inspirerende, muntert og professionelt og vi vil gerne sige tak for det venlige pres der blev lagt på os under forløbet.

Da vi underviser på HTX er den problem- og projektorienterede undervisningsform ikke fremmed for os, idet den indgår som et væsentligt element i teknologiundervisningen. Matematikundervis-ningen har derimod overvejende været traditionel, men med små tværfaglige projekter hvor det ikke har været forstyrrende for indlæringen af de matematiske spidskompetencer.

I bekendtgørelsen for den ny gymnasiereform er det endvidere et krav at eleverne møder forskellige it-baserede hjælpeværktøjer: Mathcad, Excel, grafregner etc.

Vores elever er 1.g 2. semester. De har på grundforløbet snuset til samtlige fag og studieretnings-kombinationer på uddannelsen og har efter jul valgt sig ind på den studieretning de vil følge i resten af deres uddannelsesforløb. Vi endte med 4 klasser hvoraf den ene har matematik på A-niveau mens de tre andre har det på B-niveau. Af eleverne på B-niveau har 70% af eleverne valgt matematik på A-niveau som tilvalgsfag. Jlp har klassen med A-niveau mens jmo har de 3 klasser på B-niveau og gii formodentlig skal have 1. årselever i næste semester.

Egne mål:

• At afprøve matematiske modeller som emne i problemorienteret projektarbejde

• At undersøge om man kan fange nogle elever som normalt ikke er de meste aktive i mate-matik vha. et (måske) populært emne og en anderledes arbejdsform

3

• At åbne for at eleverne arbejder på forskellige niveauer – simple ift. komplekse abonnemen-ter

• At afprøve ”vejlederen” som lærerrolle

2. Projektets design

Vi ville prøve om den problem- og projektorienterede metode ville være gangbar ved tilegnelsen af såkaldt hjælpemiddelkompetence, in casu regnearket Excel.

Da de unge mennesker er storforbrugere af elektroniske gadgets og dybt afhængige af mobiltelefo-ner specielt sms, var det vores håb at vi med dette projekt kunne fange interessen hos de fleste af eleverne. Vi valgte at lade eleverne modellere et mobilabonnement, der ville være interessant både for sælger og køber. For at imødekomme kravet om undervisningsdifferentiering valgte vi at lade eleverne selv afgøre hvor kompliceret de ville lade deres abonnementsbetingelser være. De kunne for eksempel lade fordelagtigt køb af mobiltelefoner, fri taletid, moms etc. indgå i deres forslag. Den matematik som indgår i projektet er simpel (procentregning, lineære sammenhænge og ”almin-delig regning”). Til gengæld er problemstillingen kompleks. For at opstille et abonnement er det nødvendigt at eleverne foretager en række valg og vurderer konsekvenser heraf. Vi mener, at denne kombination af simpel matematik og komplekst problem vil give eleverne mulighed for selvstæn-digt at arbejde med modelleringsprocessens faser, herunder selvstændigt at matematisere problemet. Cirka midt i forløbet ville vi afholde en ”midtvejsevaluering” hvor grupperne overfor hinanden skulle fremlægge deres abonnement. Dette naturligvis for at anspore til at få noget gjort færdigt, men også for at sikre at alle grupper var på ”rette spor”. Uden at læreren/vejlederen kommenterede noget som helst, kunne eleverne give hinanden feedback på deres projekt, tanker og ideer.

Målene for elevernes udbytte var derfor:

• Motivation

• Færdigheder i Excel

• Anvende grafer

• Udvælge relevante variable, opstille ligninger og ”opleve” at ligninger beskriver sammen-hænge

• ”Almindelig regning”

I bilagene 1, 2, 3, 4 og 5 findes hhv. Oplægget til projektorienteret matematik, Brug af Excel i ma-tematik, Drømmemobilen - en lille øvelse i basal Excel, Debitel – mobilabonnementer og Evalue-ringsskema.

3. Projektets forløb

Selvom eleverne var på forskellige niveauer A hhv B var deres forudsætninger i forhold til regneark de samme, nemlig stort set ikke eksisterende. Vi valgte derfor at udlevere et basalt regnearkspapir der kun fremlagde de allermest basale ting i excel (bilag 1).

4

Jmo kørte det samme forløb i sine tre klasser og havde undervejs gii med som observatør. Jlp kørte solo med sit hold.

Vi havde afsat i alt 10 lektioner til projektet, som blev afviklet efter følgende skitse:

1-2 3-4 5 6-7 8-9 10

Introduktion til Excel

Projektarbejde Projektarbejde Midtvejs-evaluering

Gruppe1-2-3

Projektarbejde Projektarbejde

Evaluering

Introduktion til Excel

Inddeling i grupper

Udlevering af oplæg

Projektarbejde Midtvejs-evaluering

Gruppe 4-5-6

Projektarbejde

Projektet sluttede med aflevering af en rapport. Rapportskrivningen fandt sted i en periode uden matematikundervisning idet der var terminsprøve for 2. og 3.g, derfor fik de heller ingen hjælp til denne bortset fra de retningslinier de arbejder efter i de øvrige fag på skolen. Rapporten blev be-dømt med karakter.

Forløbet i klasse MF (A-niveau):

Jlp startede med at danne grupper på mellem 3 og 4 personer og udlevere alle papirer den første dag. Eleverne dannede ret hurtigt grupper og da de kendte hinanden og lige børn jo leger bedst, blev resultatet forudsigeligt

Efter gruppedannelsen gik alle i gang med opgaven. Jlp gik rundt til de enkelte grupper og viste hvordan man ”låste” celler det var der nemlig ingen der kunne, men allerede efter denne første lek-tion havde de første løst den lille opgave med at anvende Excel til at beregne lån og til at se konse-kvensen af ændrede lånebetingelser. De øvrige blev færdige i løbet af den næste dobbeltlektion, hvor alle også kom i gang med hovedopgaven.

Ved midtvejsevalueringen havde de fleste fundet frem til mere eller mindre realistiske abonnemen-ter som de præsenterede for hinanden dog havde en enkelt gruppe endnu ikke helt fået fod på det. Det skal siges at her var der kun gået 5 lektioner.. Der var dog ikke megen nåde eller hensyn at fin-de hos de der havde fundet de vises sten….så her vil læreren gå i tænkeboks til næste gang.

Ved projektets slutning havde alle fået et resultat og vi så frem til rapporten der skulle komme ugen efter.

Forløbet i klasserne KeB, KoD og KoM (B-niveau):

I disse tre klasser fik eleverne først oplægget til opgaven efter en dobbeltlektion med Excel. Med den første klasse blev det hurtigt klart at deres viden om brug af Excel var helt på begynder-niveau og derfor fik de to næste hold lidt mere hjælp. Under hele forløbet fik de hjælp til at ”låse” celler.

Gruppedannelsen foregik som i MF-klassen, ligeledes midtvejsevalueringen.

Samlet kan det konkluderes, at der ingen rigtig forskel var på klasserne på A- og B-niveau, dette skyldes at vi er på 1. år og at HTX-elever generelt har det godt med matematik og ca. 80% af ele-verne har planer om at tage det på A-niveau.

5

4. Pædagogiske observationer

I de tre af klasserne deltog en lærer som observatør på tre tidspunkter i forløbet, ved introduktionen af projektet, ved midtvejsevalueringen og en gang under selve projektarbejdet.

Som udgangspunkt for observationerne havde vi inden afviklingen af forløbet stillet følgende spørgsmål.

• Hvordan reagerer eleverne ift. at gå i gang med noget ”nyt” uden traditionel introduktion?

• Lykkes det at få de passive matematikelever aktiveret og involveret?

• Hvordan fungerer den ”tilbagetrukne” lærerrolle?

Vores udgangspunkt var, at eleverne skulle prøve kræfter med projektet uden den store introdukti-on. I den klasse som fik forløbet serveret først, var introduktionen derfor kort og indeholdt fx ikke en introduktion til de indledende opgaver. Signal ”Nu kommer der et projekt I skal klare selv….” Klassen var præget af en vis lammelse / overrumpling. ”Hvad skal vi?” ”Vil du ikke forklare ved tavlen?” var typiske kommentarer.

Dette førte til en lidt længere introduktion af de indledende øvelser i de to andre klasser. Signal ”Nu kommer der et projekt I skal klare selv, men jeg hjælper jer lige i gang….” Disse to klasser gik no-get mere direkte til sagen og stemningen i klasserne var generelt bedre. Om det alene er introdukti-onen, som gjorde forskellen på klassernes første reaktion på projektet er dog svært at sige, da der også er forskel på klasserne generelt.

Ved besøgene midtvejs under projektarbejdet så det generelt ud til at alle elever var i gang med pro-jektet og ingen elever skilte sig ud enten som meget aktive eller meget passive. Det var endvidere tydeligt at nogle elever fik succesoplevelser de ikke var vant til ved fx at kende Excel på forhånd eller simpelthen have lettere ved den del end andre i klasserne.Der blev diskuteret livligt fx ”Hvad er det egentlig vi regner ud, hvad vil vi gerne regne ud, hvad er forudsætningerne, kan vi det her osv.” Aktivitetsniveauet var generelt godt og både Excel, papir/blyant og lommeregner blev brugt.

Eleverne var generelt selvkørende, diskuterede indbyrdes og hjalp hinanden mere end de egentlig brugte læreren. Det virkede derfor ikke som om, det var et problem at læreren ”havde trukket sig” og fx ikke besvarede spørgsmål vedr. rigtigt / forkert. De gange jeg hørte eleverne udtrykke frustra-tion gik det mere på problemer med at vælge rammerne for beregningerne fx ”skal vi tage højde for det eller ej”, ”er det realistisk eller ej” eller ”hvad betyder alt det med småt i abonnementerne ift. vores beregninger”.

Ved midtvejsevalueringen syntes det tydeligt, at eleverne ikke fandt seancen specielt inspirerende og der var ganske få spørgsmål til elevernes oplæg. Samtidig var det også tydeligt, at eleverne tog det ”at skulle fremlægge” alvorligt, og at de derfor fik gjort status over deres arbejde og blev holdt på sporet i projektarbejdet. Endelig fandt der en udveksling af tal sted og dette har formentlig tjent til eftertanke bagefter. Ved midtvejsevalueringen var eleverne ikke nået til selve konstruktionen af eget mobilabonnement. Denne del af projektet var den mest åbne og kunne måske have givet anled-ning til mere debat af ”det gode abonnement”.

Set udefra må de indledende spørgsmål derfor besvares som:

6

• Hvordan reagerer eleverne ift. at gå i gang med noget ”nyt” uden traditionel introduktion?

Generelt virkede det som om eleverne havde det godt med forløbets struktur hvor de startede med nogle mere lukkede opgaver for at arbejde hen mod de mere åbne opgaver.

• Lykkes det at få de passive matematikelever aktiveret og involveret?

Det virkede som om langt de fleste elever var i gang og løste opgaven med de forudsætnin-ger, der var tilstede i gruppen.

• Hvordan fungerer den ”tilbagetrukne” lærerrolle?

Det virkede ikke som om eleverne havde specielle reaktioner på denne lærerrolle. Eleverne var ret selvkørende – om eleverne så er blevet tilstrækkeligt udfordret i deres arbejde med problemstillingen må projektets resultater vise.

5. Elevernes skriftlige evaluering

Ved afslutning af forløbet udfyldte alle elever et evalueringsskema (bilag 5). At det skulle udfyldes før aflevering af rapporten var valgt helt bevidst for at evalueringen ikke skulle handle om rappor-ten og den opnåede karakter.

70 spørgeskemaer blev indsamlet, og af disse synes de 66 at det ville være en god idé at lave projek-tet for de kommende 1. års elever til næste år. Der er formentlig nogle, der har tænkt ”det må jeg nok hellere sætte kryds ved når nu læreren har været på kursus i det”, men næppe så mange. En klar tilkendegivelse af at eleverne har en god oplevelse under dette projekt.

M.h.t. ”at få snakket matematik” i gruppen oplever eleverne at det nogle steder går knapt så godt. Muligvis har eleverne delt opgaverne mellem sig, eller alle gruppemedlemmer har ikke været lige engagerede.

Tidsmæssigt har nogle følt sig presset, og det kan linkes med at de godt ville have haft en bedre introduktion til Excel.

Midtvejsevalueringen er fra ”ok” til ”spild af tid”.

Følgende kommentarer er givet til matematikopgaver uden facit:

• Man får mulighed for at vise andre evner

• Man skal bruge sit eget hoved i stedet for bare formler

• Man er ikke så bange for at lave fejl

• Det er sjovt, men ikke alle 3 år

Følgende kommentarer er givet til lærerens rolle:

• Han var passiv, men det er ok i projektarbejde

• Hvilken lærer næsten??

• Han behøver ikke være passiv, bare fordi man arbejder i grupper!

• Godt at han ikke siger om det er forkert eller rigtigt

Forslag til ændringer går især på at man burde have lært mere Excel inden start. Desuden foreslås flere træningsopgaver, en større opgave eller flere underspørgsmål. Nogle synes at selve opgaven er for Handelsskole-orienteret.

7

6. Elevernes mundtlige evaluering

Efter tilbagelevering af rapporten blev der afholdt mundtlig evaluering mellem lærer og elever i de enkelte klasser. Indledningsvis fik de forklaret principperne for problemorienteret projektarbejde og hvad matematisk modellering er.

Som ventet medførte dette ikke de vilde reaktioner fra eleverne. De vidste alle, at faget Teknologi på HTX bygger meget på problemorienteret projektarbejde og er vant til at arbejde med metoden. Og matematisk modellering er en praktisk tilgang til faget matematik, som de ligeledes er vant til på HTX. Der var generel enighed om at de ikke skulle have dette forklaret inden projektet, det ville have forvirret for meget.

Ellers var elevernes mundtlige kommentarer til ændringer følgende:

• At formålet med opgaven er at prøve at ”dreje på håndtagene” i Excel kunne måske være tydeliggjort i opgaveformuleringen uden at låse opgaven mere fast.

• Delte meninger om flere eller færre startoplysninger. Man kunne f.eks. have et startbeløb, så der kom mere konkurrence/spil mellem grupperne over det.

• Midtvejsevalueringen kunne flyttes til en slutevaluering eller til en præsentation af rappor-ten.

• At man selv bør vælge grupper er der enighed om.

• Ligeledes kender alle problematikken omkring at få arbejdet ihærdigt når man ikke bliver styret af en lærer. Det er der ingen løsninger på, men læreren skal IKKE gå ind og og blan-de sig. En typisk bemærkning er ”vi må bare tage os lidt mere sammen”.

7. Fik de lært det?

Under planlægningen af projektet har vi som nævnt arbejdet ud fra følgende mål for elevernes ud-bytte:

• Motivation

• Færdigheder i Excel

• ”Almindelig regning”

• Anvende grafer

• Udvælge relevante variable, opstille ligninger og ”opleve” at ligninger beskriver sammen-hænge

På baggrund af elevernes evaluering af projektet konkluderer vi, at størstedelen af eleverne har op-levet forløbet som motiverende. Vi mener, at eleverne generelt har opnået bedre færdigheder i Excel og har øvet almindelige regnefærdigheder som fx procentregning mv. For en del af eleverne har disse mål været tilstrækkeligt udfordrende i sig selv, hvilket fx ses af følgende kommentarer fra en af grupperne:

”Der er mange ting vi i denne opgave ville have gjort anderledes, og samtidig ville have ønsket var blevet gjort anderledes. … Det første er helt klart information omkring Excel. Opgaverne er en god måde at lære at bruge programmet på, men er man ikke på fast grund med hensyn til hvad det hele

8

egentlig drejer sig om i forvejen er det virkelig svært at komme i gang med opgaverne. Ingen af os har brugt den store tid på Excel i folkeskolen, og det vi har brugt har ikke beskrevet halvdelen af det vi her skulle beskæftige os med. … Vores opgaver bygger 99 % på det vi selv har fundet frem til ved hjælp af Excels hjælpeprogrammer.”

Eleverne udtrykker her en utryghed ved, at de ikke er blevet introduceret til ”teori og program”, inden de skal anvende det, sådan som det typisk foregår i traditionel undervisning. Et problem så-fremt dette har været en hæmsko for elevernes arbejde. Men samtidig var det også en del af hensig-ten med projektets setup, at eleverne selv skulle arbejde med og tilegne sig Excel. Måske kan dette formål gøres tydeligere for eleverne i projektoplægget, som fx kan tilføres en passus om at eleverne forventes at anvende Excels hjælpe-funktioner.

Derimod har ikke alle elever anvendt grafer i forløbet, ej heller tydeligt arbejdet med modellerings-aspekter som at vælge variable, opstille ligninger og undersøge sammenhænge. De fleste elever har opstillet ligninger til beskrivelse af deres abonnement i Excel, dvs. i Excel-notation, men har ikke opstillet disse lignigner formelt og i standard matematisk notation. Endevidere har de færreste ele-ver ”drejet” på parametrene og undersøgt disses indflydelse på fortjeneste osv. Eleverne foreslog under den mundtlige evaluering at tydeliggøre dette i opgaveoplægget uden at fastlåse opgaven yderligere.

Af elevernes rapporter fremgår det at

• de har diskuteret, at markedsandelen har betydning for indtjeningen og dermed for fortjene-sten, idet de faste udgifter så betyder relativt mindre sådan som opgaven er stillet. Eleverne har løst dette problem ved at vælge en markedsandel på 5, 10 eller 15 %, men de har typisk ikke opstillet fx grafer der illustrerer fortjenestens afhængighed af markedsandelen.

• de har diskuteret de mange abonnementsbetingelser, som står med småt hos forskellige sel-skaber, men de færreste elever har opstillet regneark som tager højde for disse sær-regler el-ler valgt abonnementstyper som udnytter den type særregler.

• de har diskuteret, at kundens forbrug har betydning for kundens valg af abonnement og dermed for firmaets mulige indtjening på forskellige abonnementer, men de færreste elever har forsøgt at operere med fx forskellige kundetyper

Det er derfor tydeligt, at eleverne har arbejdet med den afgrænsning og systematisering, som er en del af den indledende del af en modelleringsproces.

Eleverne har været klar over kompleksiteten i problemstillingen, men har ikke søgt eller ikke fundet veje til at behandle disse. En gruppe formulerer det på følgende måde:

”Vi synes at det har været et sjovt projekt, men vi savner dog nogle flere faktorer og krav til opga-ven, sådan at det bliver sværere at opstille et abonnement. En startkapital med tilhørende ”svær op-start”, hvor der spiller nogle større økonomiske problemer ind, ville gøre opgaven mere spændende og en del sværere. Man kunne tage fat om fx reklame og skat. Det er for let at sige, at man har 5 / 10 eller 15 % af hele målgruppen og vælge nogle fiktive tal ud, som man så tjener penge efter. Det ville gøre opgaven sværere at lave, men det ville også gøre selve projektet en del mere omfattende og spændende.”

9

Disse elever har set men ikke forfulgt udfordringerne i projektet. De har opstillet en simpel model, men har ikke undersøgt betydningen af de valg, der ligger i at opstille en simpel model. Eleverne efterlyser”ydre rammer” som skal anspore dem til dette. Dette kan betyde, at arbejdet med at fortol-ke og evaluere af modellen og resultaterne af analysen har været vanskelig for eleverne. Måske skal elev-oplægget og vejledningen undervejs tydeligere opfordre eleverne til at forfølge udfordringerne frem for ”at løse opgaven” ved at forsimple problemstillingen.

Der er dog eksemper på at elever har fundet ud af at matematisere problemstillingen og opstille re-levante ligninger og grafer hvad følgende rapportudpluk viser:

Budgetberegning I Danmark er der ca. 360.000 unge i alderen 15 – 20 år. Da det er denne store målgruppe, vi skal ramme, har vi antaget, at det var muligt at få omkring 50.000 kunder, som vil købe en af de to tele-foner og dermed også tegne et abonnement. Vi antog, at det var muligt at få så mange kunder, fordi at vores priser er så lave, og fordi at det lyder relativt realistisk. Samtidigt med at vi skulle fastslå et realistisk antal kunder, var det også nødvendigt at sætte et tal på, hvor mange telefoner, der skulle købes af producenten. Normalt plejer man at købe flere hjem end man for solgt igen. Så vi valgte at købe 20% flere telefoner hjem. Dette svarer til 60.000 stk. og med en pris på 500 kr. pr. telefon vil dette koste 30 mio. kr. Dette ekstra køb for at have mulighed for ombytning af evt. defekte telefoner. (Se i øvrigt vedlagte budget). Her er et diagram, der viser hvor mange kunder der skal til, for at firmaet får overskud. I dette dia-gram er mobilsalg og mobilindkøb medregnet. Ved at bruge formlen for linjens ligning (y = ax + b) er det muligt for os at finde ud af, hvor mange personer, der skal købe en mobiltelefon og betale abonnement i et år, for at budgettet balancere, det vil sige, at vi hverken har underskud eller overskud. Med vores abonnement har vi udregnet, at det er nødvendigt med 16.559 kunder for ikke at have underskud. Dette er igen beregnet med indkøb og salg af mobiltelefoner. Hvis det derimod var uden indkøb og salg af mobiltelefoner, så ville der ikke være brug for lige så mange kunder. Dette er fordi, at der så ville være færre udgifter, som skulle betales. Beregningen ser således ud

Overskud

-40.000.000

-20.000.000

0

20.000.000

40.000.000

60.000.000

80.000.000

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

Antal kunder

Kro

ner

10

Liniens ligning y = ax + b, hvor a er hældningen og b er en kontant. Hældningen a = Y2-Y1/X2-X1 = 25.617.780-6.558.520/30.000-20.000 = 1905,926 Kontanten b = -31.560.000 Hvis y = 0 er x = -b / a = 31.560.000 / 1905,926 = 16.558,88 oprundet til 16.559 personer.

8. Fik vi lært det ?

• At afprøve matematiske modeller som emne i problemorienteret projektarbejde

o Emnet fungerede godt som en del af HTX-undervisnigen og passer godt ind i billedet med praktisk orienteret matematik på HTX.

• At undersøge om man kan fange nogle elever som normalt ikke er de meste aktive i mate-matik vha. et (måske) populært emne og en anderledes arbejdsform

o Både lærere og observatør oplevede en øget aktivitet hos de elever, man normalt ikke hører så meget til. At der ikke er så meget fokus på ”rigtigt” og ”forkert” har tilsyne-ladende en god effekt på nogle elever i matematik.

• At åbne for at eleverne arbejder på forskellige niveauer – simple ift. komplekse abonnemen-ter

o Den åbne opgave fungerede godt, formentlig fordi eleverne selv havde valgt grupper.

• At afprøve ”vejlederen” som lærerrolle

o Rollen kendes fra faget Teknologi, men var ny i matematik. Timerne bliver kedelige for læreren (især 6 lektioner med 3 klasser), og man skal være meget opmærksom på hvad man vil og ikke vil hjælpe med. Eksempelvis fik alle hjælp til at ”låse” celler og at vide, at mobilselskaber typisk kan købe mobiltelefoner til videresalg for 50% af prisen.

9. Forbedringsforslag

I ikke prioriteret rækkefølge kan man foreslå:

• Lægge projektet i 1. semester som en del af grundforløbet med fokus alene på regneark i samarbejde med f.eks. teknologi eller kommunikation.

• Bibeholde projektet i 2. semester, men øve Excel i samarbejde med teknologi eller kommu-nikation på 1. semester

• Lægge projektet senere i forløbet f. eks 3.semester med særlig fokus på matematiseringen.

• Opstille mere konkrete krav til rapporten og tydeliggøre at den er en væsentlig del af pro-jektet, således at eleverne ikke tror de er færdige når ”opgaven” er løst.

• Tydeliggøre at et af formålene med projektet er at prøve at ”dreje på håndtagene” i Excel.

11

Vi mener at projektets design overordnet set har fungeret godt. Eleverne har haft det sjovt med ma-tematik, har øvet brugen af Excel og opstillet ligninger i Excel-notation. Eleverne har arbejdet med og diskuteret matematik. De har arbejdet selvstændigt og har oplevet, at matematik kan give anled-ning til diskussioner og ikke kun handler om, hvordan man når til det ”rigtige facit”. De har oplevet at diskussioner om beregningernes forudsætninger kan give anledning til forskellige valg – og for-skellige resultater. Vi mener, at projektets brug af ”simpel matematik” er en væsentlig årsag til at langt de fleste elever har kunnet diskutere udover selve metoden. Vi regner derfor med at anvende projektet igen næste år – og på omtrent samme tidspunkt i semesteret.

Da eleverne i år ikke har anvendt lignigner, grafer og tabeller i den grad, vi havde forestillet os, har vi forsøgt at indarbejde disse forventninger i oplægget til næste år. De to vigtigste ændringer hand-ler om placeringen af låneøvelsern og udformningen af elevoplægget

• Låne-øvelsen flyttes ud af projekt perioden og udføres sammen med et introducerende for-løb til Excel. Formået er at mindske de start-problemer, eleverne havde med Excel og der-med give mere tid/plads i projektet til, at eleverne kan arbejde med abonnementet og den til-hørende dokumentation.

• Selve oplægget er kortere (1 side) og er skrevet med fokus på det mobilselskabet forventer af eleverne. Dette er et forsøg på at ændre elevernes tanke om modtageren fra matematiklæ-reren (som kender projetkets detaljer) til mobilselskabet (som ikke er så interesseret i detal-jer, men i resultater og begrundelser). Herved håber vi at fremme præcisionen i elevernes kommunikation. Vi har forsøgt at tydeliggøre kravene til klar og letforståelig dokumentation ved at ændre og skærpe kravene til aflevering på tre punkter:

1. Eleverne skal udarbejde korte sammendrag af deres resultater rettet mod mobilselskabet dvs. en udenforstående, som ikke ønsker detaljer, men resultater og begrundelser

a. Et resumé af deres undersøgelse af og konklusioner ift. mobilforbruget i klassen, dvs. et forsøg på at spore eleverne ind på at deres beregninger afhænger af deres valg af forudsætninger (uændret – men fremhævet i forhold til i år)

b. Et begrundet resumé af deres beregninger på konkurrenternes abonnementer, dvs. en ret lukket opgave som skal spore eleverne ind på problemstillingens kompleksitet (uændret fra i år)

c. Et begrundet forslag til et bedre abonnement, dvs. den egentlige åbne modelle-ringsopgave, hvor eleverne først må diskutere hvad bedre betyder, dernæst hvor-dan de kan sikre dette under nogle valgte forudsætninger

2. Eleverne skal afleverer deres model (Excel regnearket) elektronisk i en form, som kan anvendes af selskabets salgschef til at vurdere elevernes beregninger og undersøgelser. Dette for at stille krav til elevernes arbejde med Excel, til det at opstille ”gode” regneark med forklarende tekster, overskrifter og fornuftig opbygning, samt for at tydeliggøre at Excel er værktøjet og at det kan bruges til at variere/undersøge med

3. Eleverne skal stadig aflevere en rapport, hvis primære formål nu er den detaljerede do-kumentation som ligger til grund for de papirer der er afleveret til mobilselskabet. I et særskilt bilag præciseres det at rapporten skal indeholde forudsætninger, krav, begrun-delser, beregninger, undersøgelser og resultater, ligesom bilaget understreger at rappor-ten bedømmes udfra dette og at brugen af ligninger, grafer og tabeller fremmer forståel-sen.

12

10. Konklusion

• At afprøve matematiske modeller som emne i problemorienteret projektarbejde

o Eleverne har valgt HTX bl.a. fordi faget matematik fokuserer mere på praktisk an-vendelse end på bevisførelse, så det kan ikke undre at begejstringen er stor over em-net matematisk modellering

• At undersøge om man kan fange nogle elever som normalt ikke er de meste aktive i mate-matik vha. et (måske) populært emner og en anderledes arbejdsform

o Alle elever er begejstrede, og dermed også de elever, der har svært ved matematik. Det skal pointeres, at på HTX er 2 års matematik obligatorisk, så derfor har alle ele-ver det rimeligt godt med at have megen matematik

o De stærke elever fik som sædvanlig meget ud af det. ”Vores målgruppe” hoppede i vid udstrækning på limpinden og i et tilfælde fik de faktisk fremstillet både det bed-ste abonnement og den bedste rapport, det var en glædelig overraskelse

• At åbne for at eleverne arbejder på forskellige niveauer – simple ift. komplekse abonnemen-ter

o Det fremgik af rapporterne, at opgaven blev løst på forskellige niveauer. Det er vig-tigt for dette at eleverne selv kan vælge grupper efter ambitionsniveau og matemati-ske evner.

o Der opstod konkurrence om de mest fordelagtige/fantasifulde abonnementer blandt de skarpere knive, mens de knap så skarpe kun fik det mest simple med.

• At afprøve ”vejlederen” som lærerrolle

o Rollen var velkendt fra faget Teknologi, derfor havde eleverne og lærerne ikke de store kvaler med dette system. Den kræver at læreren er meget opmærksom på, hvad han vil og ikke vil hjælpe med – og formulerer sig åbent, f.eks. ”står der nogen ste-der, at I ikke må regne Moms med??!”

• Midtvejsevalueringen: o Selvom midtvejsevalueringen blev oplevet som tidsspilde af en del elever, havde den

alligevel en vis disciplinerende virkning i sin egenskab af tæt på deadline, således at stort set alle havde noget de kunne gå videre med bagefter. Derfor er der heller ingen grund til at afskaffe den i et eventuelt senere forløb.

13

Bilag 1 – anvendte elev oplæg

Projektorienteret matematik I de næste to uger skal I arbejde projektorienteret i matematiktimerne. I skal arbejde i grupper på 3 max 4 personer. Formålet med projektet er at lære at anvende Excel til gentagne beregninger således at man kan løse/belyse et problem der ikke nødvendigvis har et givet facit. Vi starter med en lille opgave der beregner hvem der scorer kassen på ”billige lån” hvorefter vi går over til

Young Mobil A/S Salg af SMS og andre mobiltjenester er et interessant marked for pengestærke forret-ningsmænd. Alle mulige mobilabonnementer ser dagens lys f.eks 0 kr i oprettelse, 0 kr i abonnement, fri sms etc. .. det må jo kunne betale sig. Jeres opgave er at sammensætte et abonnement, der giver overskud til firmaet ”Young A/S”, og som samtidig er attraktivt for unge mellem 15 og 20 år. I denne al-dersgruppe er der ca. 360.000 personer i Danmark. I jeres løsningsforslag skal der tages hensyn til følgende:

Faste omkostninger: Husleje: 60 000 kr. pr år Antenneleje: 500 000 kr. pr år Ledelse og administration: 1000 000 kr. pr år

Variable omkostninger:

Kundeservice: Efter de første 1000 kunder kan administrationen ikke længere klare kundehenvendelser, og en kundeservice må etableres; den koster 300 000 kr. pr påbegyndt 10 000 kunder. Transmissionsomkostninger: 5 øre pr minut. Det oplyses at 1 sms’er kan afsendes på 0,01 sekund.

I kan inddrage forskellige rabatordninger (parametre) fx

• abonnementspris

• minutpris

• sms pris

• salg af modetelefoner på favorable vilkår

• …

14

I får nu abonnementsbetingelserne for 2 operatører på det danske marked (bilag 4). Opgaver:

1) Undersøg mobilforbruget i klassen 2) Beregn hvilket af abonnementerne (bilag 4) firmaet Young A/S kan tjene flest

penge på, hvis de overtager abonnementstilbuddet direkte. 3) Konstruer et abonnement som er lettere at sælge og som samtidig giver over-

skud. Opgaven skal løses ved hjælp af Excel. I skal aflevere en rapport som skal opfylde følgende:

- begrundelse af jeres valg af løsning (afgrænsning) og parametre - løsningsforslaget skal præsenteres ved hjælp af ligninger, grafer og tabeller

Rapporten skal afleveres: Mandag den 20. marts 2006 Midt i forløbet arrangeres en midtvejsevaluering lidt i stil med den portefolio frem-læggelse der blev gennemført i slutningen af grundforløbet:

Midtvejsevalueringen:

Formålet er give grupperne mulighed for at udveksle ideer – og at praktisere ”at tale matematik” Evalueringen arrangeres sådan at en gruppe ”holder oplæg om eget arbejde hidtil”, en gruppe ”opponerer / stiller spørgsmål” og en gruppe ”noterer kommentarer til grup-pen der er på”. Dernæst roteres og rollerne skifter – i alt tre sessioner af 10-15 minut-ter. Læreren er til stede, men forholder sig passiv. De øvrige elever i klassen arbejder med deres projekter.

15

Bilag 2 BRUG AF EXCEL I MATEMATIK.

1. Regneoperatorer og hierarki. Som for lommeregnere er rækkefølgen af de indtastede formler vigtig – brug evt. mange parenteser når du skal indtaste formler. Der er to stjerner på de fleste computertastaturer, til multiplikation be-nyttes */’-tasten ude til højre. Excel sørger selv for at celler med bogstaver bliver venstrejusterede og celler med tal bliver højrejusterede.

Operator Betydning Hierarki ( ) Parentes 1 + Addition 4

- Subtraktion 4 * Multiplikation 3

/ Division 3 ^ Potensopløftning 2

& Sammenkædning 5

= Lig med 6 > Større end 6 < Mindre end 6

2. Markering af celler.

Markering Metode Celler ved siden af hinanden Placering i 1. celle, med "⇑⇑⇑⇑" nede benyttes pile-tasterne. Celler i spredte områder Placering i 1. celle, med ”Ctrl” nede markeres næste celle med

musen o.s.v. Hel tabel ”Ctrl” og ”*”

Helt ark ”Ctrl” og ”A”

3. Formater. Områder kan formateres under ”Formater” i forskellige typografier, så der f.eks. regnes som ”Va-lutatypografi” eller ”Procenttypografi” (begge findes som ikoner). Desuden er der følgende vigti-ge ikoner (der nogle gange skal åbnes først i Excel v.h.a. ”Funktioner” og ”Tilføjelsesprogram-mer”):

Ikon Betydning

”,00 →→→→ ,0” Afrunder til én decimal mindre (kan gentages)

”,0 →→→→ ,00” Afrunder til én decimal mere (kan gentages)

”000” Indsætter punktum for hvert 1000 (156789,47 ændres til 156.789,47)

”%” Procenttypografi, laver værdien i cellen om til procent (skriver selv procent-tegn)

”Penge” Valutatypografi, tilføjer kr.

”€€€€” Eurotypografi, tilføjer Euro-tegn.

16

4. Formler. Bemærk at der øverst på skærmen er en funktionsbjælke ud for ”fx”, hvor man for de forskellige celler kan følge med i, hvordan formlen ser ud. Formler startes med ”=” eller ”+”, det anbefales at bruge ”=” (mere logisk).

Den simpleste formel er ”∑∑∑∑” (Autosum), hvor en masse tal kan lægges sammen. markeres cellen

under en kolonne og vælges ”∑∑∑∑”, kommer Excel med et bud på hvilke tal, der ønskes lagt sammen. Ret til, eller tryk ”Enter”. Som et eksempel kan man fylde tal i A1 og A2, og dernæst stille sig i A3 og skrive formlen ”=A1*A2” – så udregner Excel dette gangestykke. Formlen kan læses i øverste funktionsbjælke ved at markere A3. Ønskes procentformel skrives ”=A1/A2”, det grønne check-mærke vælges og til sidst ”%”. Den generelle formel for renter (f.eks. på en bankbog) er

Kn = K·(1+r)n,

hvor Kn er beløbet efter n terminer, K er det beløb, der indsættes, r er rentefoden (= p/100), p er procentsatsen og n er antal terminer. Skal en formel rettes til, er det lettest at gøre det oppe i funktionsbjælken. Formler kan kopieres ved at markere en celle og med musen i nederste højre hjørne ”trække” ned gennem kolonnen – Excel retter selv cellerne til.

5. Fastlåsning af celler. Det er ikke altid man ønsker at Excel retter cellerne til, og så kan man vælge at fastlåse celler. Øn-skes en værdi fastlåst, trykkes på F4-tasten umiddelbart efter. $-tegnet betyder at række og/eller kolonne er fastlåst (står foran det fastlåste). Der er følgende kombinationer for f.eks. A3:

Antal tryk på F4 Formel 1 $A$3 2 A$3 3 $A3

4 A3

Man kan også skrive $-tegn direkte i formlen. En god måde at huske på, at det er F4-knappen, er at $ er på tasten for 4.

6. Funktioner. ”fx”-ikonen bruges til funktioner. Først vælges kategori (f.eks. statistisk eller finansiel), dernæst er der et hav af muligheder, f.eks.

Funktion Betydning SUM Lægger talværdier sammen

MIDDEL Beregner gennemsnit AFRUND Runder et tal op eller ned

MIN Finder den mindste værdi MAKS Finder den største værdi

YDELSE Beregner afdrag på lån

17

7. Diagrammer. Der er muligheder for bl.a. punkt-, søjle- og lagkagediagrammer i Excel, hvor det ønskede område markeres først med overskifter, og dernæst vælges ikonet for ”Guiden Diagram”. Du kan også vise et enkelt lagkagestykke ved at trække det ud med musen.

8. Andet. 1) #### i en kolonne betyder at kolonnen er for smal til udregningerne. Kolonnebredden kan ænd-

res ved at placere musemarkøren øverst og ”trække” kolonnen. 2) Dækker en overskrift flere celler, kan cellerne markeres og dernæst benyttes ”Flet og Centrér”-

ikonen. 3) Excel har en række logiske lister, f.eks. måneder, ugedage o.s.v. Skriv mandag, markér med

musen, og med fyldehåndtaget markeres de øvrige celler, så udfyldes de automatisk. 4) I meget store regneark ønsker man måske hele tiden at kunne se overskrifterne (A-kolonnen og

1-rækken). Man kan markere B2 og fastfryse disse celler ved at benytte ”Vindue” og ”Frys ru-der”.

1. udgave gii + jop + jmo

Februar 2006

18

Bilag 3

DRØMMEMOBILEN. Ludwig har længe ønsket sig en Nokia N70 og beslutter sig for at benytte det tilbud, du ser neden-for. For at betale de 4018 kr tager han imod et andet godt tilbud. Han låner 4000 kr til kun 2 % om måneden inkl. omkostninger. Vha. Excel skal du nu besvare følgende spørgsmål for Ludwig.

1. Hvornår har Ludwig betalt sin telefon, hvis han betaler 100 kr tilbage på lånet om måneden? 2. Hvor meget skal Ludwig betale tilbage om måneden hvis han vil betale sin telefon på to år? 3. Og i begge tilfælde: Hvor meget ender Ludwig med at betale for sin telefon?

19

DEBITEL PRODUKTER (BILAG 4).

Kilde: Debitel tilbudsavis – side 3 - hentet på www.debitel.dk <Ugens tilbudsavis> 16. februar 2006.

20

EVALUERINGSSKEMA – YOUNG MOBIL A/S (bilag 5) Klasse:_______ Dato:_____________ 1) Hvordan har du det med matematik til daglig? Det har jeg svært ved (00-6) Jeg er i midterfeltet (6-9) Jeg har let ved det (9-13)

Rigtig godt Godt OK Knapt så godt Dårligt 2) Hvordan har det været at lave Mobil-projekt i 2 uger?

3) Hvordan har samar-bejdet været i gruppen?

4) Hvordan er det gået med ”at få snakket ma-tematik” i gruppen?

5) Hvordan har opgaven passet tidsmæssigt i for-hold til de 2 uger?

6) Har du kommentarer til midtvejsevalueringen? _____________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 7) Har du kommentarer til at lave en matematikopgave, hvor der ikke er noget facit? _______ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 8) Har du kommentarer til lærerens rolle? ___________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 9) Har du forslag til ændringer?____________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 10) Er det en god idé at lave Mobil-projekt til næste år for 1. år? Ja Nej (fortsæt evt. på bagsiden) 060306/JMO

21

Bilag 6: Forslag til næste års elev oplæg

Mobilselskabet Young Mobil A/S

Firmaet Young Mobil A/S sælger abonnementer til mobiltelefoner. Firmaet ønsker at etablere sig i Danmark og salgschefen har valgt at satse på abonnementer til unge mellem 15 og 20 år. Som led i firmaets satsning har de kontaktet en række gymnasier i Danmark. Young Mobil A/S beder jer foreslå et abonnement, som er attraktivt for unge mellem 15 og 20 år, og som samtidig giver overskud til firmaet. I har frit valg mht. at sammensætte abonnementsbetingelserne. Young Mobil A/S stiller følgende krav:

• I skal undersøge og anvende mobilforbruget i jeres klasse som grundlag for je-res beregninger. Resumé af resultaterne afleveres til Young Mobil A/S. (max 1 side)

• Young Mobil A/S har en række konkurrenter. I skal beregne overskuddet, hvis to af konkurrenternes (bilag 3) abonnementsbetingelser overtages direkte. Et begrundet resumé af resultaterne afleveres til Young Mobil A/S. (max 1 side)

• I skal aflevere et begrundet resumé af jeres forslag til et bedre abonnement (max 1 side)

• Abonnementet skal ledsages af et Excel regneark, som firmaets salgschef kan anvende til at vurdere jeres undersøgelser og beregninger, sammen med det endelige forslag.

I skal bruge matematiktimerne de næste to uge til at sammensætte jeres forslag til et abonnement. I skal arbejde i grupper på 3 max 4 personer. Jeres forslag og de tilhø-rende beregninger og begrundelser skal dokumenteres i en rapport (bilag 1) som afle-veres til jeres matematiklærer -- XX -- . Midtvejs vil jeres lærer arrangere en ide-udveksling mellem grupperne i klassen. Til -- XX -- skal I derfor forberede en kort fremlæggelse (5-10 min) af jeres ideer/arbejde.

22

Supplerende information: I aldersgruppen 15-20 år er der ca. 360.000 personer. Bilag A: Matematiklærerens krav til rapporten Bilag B: Liste over Young Mobil A/S ’s udgifter. Bilag C: Abonnementsbetingelser for to konkurrenter til Young Mobil A/S Bilag A – Rapporten og dokumentationen Rapporten tæller som en skriftlig aflevering og skal indeholde den dokumentation som ligger til grund for jeres forslag til Young Mobil A/S. I skal beskrive:

• forudsætningerne for jeres beregninger – med begrundelser

• de krav i har opstillet undervejs – med begrundelser

• de beregninger I har udført – med begrundelser

• de undersøgelser I har udført – med begrundelser

• de resultater I har fået – med begrundelser I rapporten og i de papirer I laver til Young Mobil A/S gælder det at relevant brug af ligninger, grafer og tabeller vil være en hjælp til at forstå jeres dokumentation. Excel regnearket skal kunne anvendes af firmaets ledelse og skal derfor indeholde beskrivende tekster/overskrifter. Excel regnearket afleveres elektronisk på CD. Jeres matematiklærer vil ved bedømmelsen af rapporten lægge vægt på at rapporten:

• er velskrevet og veldokumenteret

• beskriver valg og overvejelser i forbindelse med opstilling af abonnement

• beskriver anvendte metoder og beregninger

• beskriver resultater, gerne ved hjælp af ligninger, grafer og tabeller

• beskriver undersøgelser af, hvordan overskuddet afhænger af abonnement mv.

23

Bilag B – Firmaet Young Mobil’s omkostninger.

Faste omkostninger:

Husleje: 60 000 kr. pr år Antenneleje: 500 000 kr. pr år Ledelse og administration: 1000 000 kr. pr år

Variable omkostninger:

Kundeservice: Efter de første 1000 kunder kan administrationen ikke længere klare kundehenvendelser, og en kundeservice må etableres; den koster 300 000 kr. pr påbegyndt 10 000 kunder. Transmissionsomkostninger: 5 øre pr minut. Det oplyses at 1 sms’er kan afsendes på 0,01 sekund.

Bilag C – To konkurrenters abonnementer – udvælges næste år.