yÜksek lĐsans tez sunuŞu - me.umn.edugurkan/ms thesis presentation.pdfnokta arasında izlenecek...
TRANSCRIPT
YÜKSEK LĐSANS TEZ SUNUŞUYÜKSEK LĐSANS TEZ SUNUŞU
Çift Yay Çift Yay -- Kütle Sistemiyle Kütle Sistemiyle
1
Çift Yay Çift Yay -- Kütle Sistemiyle Kütle Sistemiyle
Birbirine Bağlanmış Çubukların Eğilme TitreşimleriBirbirine Bağlanmış Çubukların Eğilme Titreşimleri
Hazırlayan : Mak. Müh. Gürkan ErdoğanHazırlayan : Mak. Müh. Gürkan Erdoğan
G.E.G.E.G.E.
ĐZLENCEĐZLENCE
Temel Kavram ve PrensiplerTemel Kavram ve Prensipler
•• Sınır Değer ProblemiSınır Değer Problemi
•• Green FonksiyonuGreen Fonksiyonu
2
•• Green FonksiyonuGreen Fonksiyonu
Tez ProblemiTez Problemi
•• TanımıTanımı
•• Çözüm YaklaşımlarıÇözüm Yaklaşımları
•• SonuçlarSonuçlar
G.E.G.E.G.E.
TEMEL KAVRAM VE PRENSĐPLERTEMEL KAVRAM VE PRENSĐPLER
SINIR DEĞER PROBLEMĐ SINIR DEĞER PROBLEMĐ
•• Elemanter ĐşElemanter Đş
•• Konservatif kuvvet alanıKonservatif kuvvet alanı
3
•• Potansiyel EnerjiPotansiyel Enerji
•• Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş
•• Virtüel Đşler PrensibiVirtüel Đşler Prensibi
•• Lagrange Tarzında D’Alembert PrensibiLagrange Tarzında D’Alembert Prensibi
•• Genelleştirilmiş Hamilton PrensibiGenelleştirilmiş Hamilton Prensibi
G.E.G.E.G.E.
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Elemanter ĐşElemanter Đş : :
Belli bir yörünge üzerinde ve kuvvet etkisi altında hareket etmekte Belli bir yörünge üzerinde ve kuvvet etkisi altında hareket etmekte olan bir olan bir maddesel noktanın,maddesel noktanın, yörüngesi üzerinde sonsuz küçük yörüngesi üzerinde sonsuz küçük yerdeğiştirmesi sonucu yaptığı iştir.yerdeğiştirmesi sonucu yaptığı iştir.
4
G.E.G.E.G.E.
∫ ⋅=2
1
12
r
r
rdFW
r
r
rr
dtrdmF &rv
⋅=1212 TTW −=
rdFdWrr
⋅=12
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Konservatif kuvvet alanı : Konservatif kuvvet alanı :
Eğer bir kuvvet alanında, bir Eğer bir kuvvet alanında, bir
5
Eğer bir kuvvet alanında, bir Eğer bir kuvvet alanında, bir noktadan bir başka noktaya noktadan bir başka noktaya gitmek suretiyle yapılan iş, iki gitmek suretiyle yapılan iş, iki nokta arasında izlenecek nokta arasında izlenecek yoldan bağımsız fakat bu yoldan bağımsız fakat bu noktaların konumuna bağlı ise noktaların konumuna bağlı ise bu kuvvet alanı bu kuvvet alanı konservatif konservatif
bir kuvvet alanıdır.bir kuvvet alanıdır.
G.E.G.E.G.E.
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Potansiyel Enerji : Potansiyel Enerji :
Bir maddesel noktanın belli bir konumdaki Bir maddesel noktanın belli bir konumdaki potansiyel enerjisipotansiyel enerjisi , konservatif , konservatif kuvvet alanı içersinde, bu maddesel noktanın bulunduğu konumdan referans kuvvet alanı içersinde, bu maddesel noktanın bulunduğu konumdan referans konum olarak seçilmiş bir başka konuma taşınması için konservatif kuvvetlerin konum olarak seçilmiş bir başka konuma taşınması için konservatif kuvvetlerin yaptığı iş olarak tanımlanır. Konservatif kuvvetlerin yaptığı iş, potansiyel enerji yaptığı iş olarak tanımlanır. Konservatif kuvvetlerin yaptığı iş, potansiyel enerji değişiminin negatif işaretlisidir ;değişiminin negatif işaretlisidir ;
6
değişiminin negatif işaretlisidir ;değişiminin negatif işaretlisidir ;
G.E.G.E.G.E.
( )1212 VVW c −−=
VFc ∇−=v
Konservatif bir kuvvet, potansiyel enerji gradyentinin (değişiminin) ters Konservatif bir kuvvet, potansiyel enerji gradyentinin (değişiminin) ters işaretlisidir.işaretlisidir.
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş : Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş :
Konservatif olmayan kuvvetlerin yaptığı iş maddesel noktanın toplam Konservatif olmayan kuvvetlerin yaptığı iş maddesel noktanın toplam enerjisindeki değişime eşittir.enerjisindeki değişime eşittir.
7
G.E.G.E.G.E.
cnc WWW 121212 +=
cnc WWW 121212 −=
( ) ( )121212 VVTTW nc −+−=
( ) ( )112212 VTVTW nc +−+=
1212 EEW nc −= 21 EE = 012 =ncW
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Virtüel Đşler Prensibi : Virtüel Đşler Prensibi :
Bir maddesel sistem statik dengede ise, bu konumdan itibaren verilecek her Bir maddesel sistem statik dengede ise, bu konumdan itibaren verilecek her virtüel yer değişiminde, kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin yapacakları virtüel yer değişiminde, kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin yapacakları toplam virtüel iş sıfır olur.toplam virtüel iş sıfır olur.
0=∑=N
aa rfWrr
δδ
8
G.E.G.E.G.E.
01
=∑==
N
ii
a
i
a rfWrr
δδ
Virtüel yer değişimleri,Virtüel yer değişimleri,
•• Sistemin bağları ile bağdaşırlar,Sistemin bağları ile bağdaşırlar,
•• Sonsuz küçüktürler,Sonsuz küçüktürler,•• Gerçek olmaları gerekmez, Gerçek olmaları gerekmez, •• Virtüel bir zaman içinde ceryan ederler,Virtüel bir zaman içinde ceryan ederler,•• Keyfidirler.Keyfidirler.
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Lagrange tarzında D’Alembert Prensibi : Lagrange tarzında D’Alembert Prensibi :
Dinamik bir sisteme, hareketinin herhangi bir anında o andaki konumundan Dinamik bir sisteme, hareketinin herhangi bir anında o andaki konumundan itibaren verilecek her virtüel yer değiştirmede, kendisine etkimekte olan aktif itibaren verilecek her virtüel yer değiştirmede, kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.
9
G.E.G.E.G.E.
kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.
ii
b
i
a
i rmff &&rrr
=+
( ) 0=− iii
a
i rrmfr&&r
rδ
0=b
ifr
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Genelleştirilmiş Hamilton Prensibi : Genelleştirilmiş Hamilton Prensibi :
Bir sistem, belli bir zaman aralığında, kinetik enerjisinin değişimi ile Bir sistem, belli bir zaman aralığında, kinetik enerjisinin değişimi ile kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin virtüel işleri toplamının integrali kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin virtüel işleri toplamının integrali sıfır olacak şekilde haraket eder.sıfır olacak şekilde haraket eder.
10
G.E.G.E.G.E.
sıfır olacak şekilde haraket eder.sıfır olacak şekilde haraket eder.
( ) 0=− iii
a
i rrmfr&&r
rδ
( ) 02
1
=∫ + dtWTt
t
aδδ
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuk Üzerindeki Zorlanmalar Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuk Üzerindeki Zorlanmalar
( ) ( ) ( )txtxtxw
,,,
βψ +=∂
11
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( )txtxx
txw,,
,βψ +=
∂∂
( ) ( )x
txEItxM
∂∂
=,
,ψ
( ) ( )txGAktxQ ,, β′=
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denkleminin Formülasyonu Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denkleminin Formülasyonu
( ) ( ) ( )txtxw LL ∂ ∂22
,1,1 ψKinetik EnerjiKinetik Enerji ::
( ) 02
1
=∫ + dtWTt
t
aδδHamilton Prensibi :Hamilton Prensibi :
12
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( )dxJ
t
txdxm
t
txwtT
LL
∫
∂∂
+∫
∂∂
=0
2
0
2,
2
1,
2
1 ψ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxtxtxQdxx
txtxMtV
LL
∫+∫∂
∂=
00
,,2
1,,
2
1β
ψ
Kinetik EnerjiKinetik Enerji ::
Potansiyel EnerjiPotansiyel Enerji ::
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx
t
tx
t
txmidx
t
txw
t
txwmtT
LL
∂∂
∫∂
∂+
∂∂
∫∂
∂=
,,,,
0
2
0
ψδ
ψδδ
( ) ( ) ( )dxtxwtxptVWWWL
a
nc
a
c
a ,,0∫+−=+= δδδδ
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket DenklemiEğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denklemi
Hamilton Prensibi :Hamilton Prensibi :
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) 022
22
0
22
=∫
∫ −
∂
−−∂∂′+∂∂∂
+∫
+∂∂−−∂∂′
∂∂
=∫ +t L
L
ta dtdxmixwGAkxEI
dxwptwmxwGAkx
dtWT δψψ
ψψ
δψ
δδ
13
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
011
00
02
2 =∫
−∂∂′−∂∂
∫ −
∂∂
−−∂∂′+∂∂∂∂
=∫ +t
LL
t
a dt
wxwGAkxEI
dxt
mixwGAkxEIx
dtWT
δψδψψ
δψψ
ψψδδ
( ) ( ) ( ) 0,,,
2
2
=+∂
∂−
∂∂
txpt
txwm
x
txQ
( ) ( ) ( )0
,,
,2
22 =
∂∂
−+∂
∂t
txmitxQ
x
txM ψ ( ) 00
=∂∂L
xEI δψψ
( )( ) 00
=−∂∂′ LwxwGAk δψ
Sınır Değer Problemi :Sınır Değer Problemi :
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket DenklemiEğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denklemi
( ) ( )),(
,,2
2
4
4
txpt
txwm
x
txwEI =
∂∂
+∂
∂
Dönme ataleti etkisi ve kayma deformasyonu ihmal edildikten sonra ;Dönme ataleti etkisi ve kayma deformasyonu ihmal edildikten sonra ;
14
G.E.G.E.G.E.
tx ∂∂
( ) ( ) ( )tTxWtxw =,
( )( )
( )( )
2ω=−=′′′′
tT
tT
xW
xW
m
EI &&
( ) ( ) 02
=−′′′′ xWEI
mxW
ωL
EI
m4
2ωβ =
( ) ( ) 04
=−′′′′ xWxW β
Değişkenlerin Ayrılması :Değişkenlerin Ayrılması :
( ) ( ) 02 =+ tTtT ω&&
( ) ( )εω −= ttT cos
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket DenklemiEğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denklemi
( ) ( ) 04
=−′′′′ xWxW βHareket Denklemi :Hareket Denklemi :
0)0( =W 0)( =LWĐki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :Đki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :
15
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )txCxCxCxCtxw iiiii ωββββ coscoshsinhcossin, 4321 ⋅+++=
i’inci Mod için Genel Çözüm i’inci Mod için Genel Çözüm ::
0)0( =W
0)0( =′′W
0)( =LW
0)( =′′ LW
Đki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :Đki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
( ) ( ) ( )dyyxgyfxa
;0∫=ψ
( ) ( ) ( )xfxkxd
xd−=+ ψ
ψ 22
2
( ) ( ) 00 == aψψ ax ≤≤0
16
G.E.G.E.G.E.
Green Fonksiyonu’nun ÖzellikleriGreen Fonksiyonu’nun Özellikleri ::
• 0 < y < x ve x < y < 0 aralıklarında diferansiyel denklemi sağlar ama x = y’de sağlamaz.
• x = y noktasında süreklidir.
• Türevi x = y noktasında sürekli değildir.
• Problemin sınır şartlarını sağlar.
• Değişkenleri birbirine göre simetriktir
( ) ( ) 0;; 2 =+′′ yxgkyxg
( ) ( ) 0;; =−−+ xxgxxg
( ) ( ) 1;; −=−′−+′ xxgxxg
( ) ( ) 0;0; == axgxg
( ) ( )xygyxg ;; =
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
Esneklik Tesir KatsayısıEsneklik Tesir Katsayısı ::
17
G.E.G.E.G.E.
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
Esneklik Tesir Fonksiyonu :Esneklik Tesir Fonksiyonu :
18
G.E.G.E.G.E.
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
Dirac Delta Fonksiyonu :Dirac Delta Fonksiyonu :
( )
≠
==−
ηξηξ
ηξδ0
1
19
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( ) ( ) ηηξδηηξξ dgW ∫ −Φ=1
0
;
( ) ( ) ( ) ( )ηξδηξβξ −Φ=−′′′′ WW 4
( ) ( ) ( )( ) ( ) ηηξηβηξ dgWWW ∫ −′′′′=1
0
4 ;
( ) ( ) ( ) ( )( ) ηηξβηξηξ dggWW ∫ −′′′′=1
0
4 ;;
Green Fonksiyonu !!!
( ) ( ) ( )ξηδηξβηξ −=−′′′′ ;; 4 gg
( ) ( ) ( ) ηξηδηξ dWW ∫ −=1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ηηξδηηξξ dgW ∫ −Φ=1
0
;
( ) ( ) ( )ηξηη ;gW Φ=
PROBLEMĐN TANIMIPROBLEMĐN TANIMI
20
G.E.G.E.G.E.
“ “ Birbirine çift yay Birbirine çift yay –– kütle sistemi ile tutturulmuş, bir uçlarında kütle kütle sistemi ile tutturulmuş, bir uçlarında kütle
taşıyan iki tane ankastre bağlı Bernoulli taşıyan iki tane ankastre bağlı Bernoulli –– Euler çubuğunun eğilme Euler çubuğunun eğilme
titreşimlerine ait doğal frekansların bulunmasıtitreşimlerine ait doğal frekansların bulunması ””
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
21
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( )2,1,0,, 2244 ==∂∂+∂∂ jittxwmxtxwIE ijiijii
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Sınır Şartları Sınır Şartları ::
( ) 0,011 =tw ( ) 0,011 =′ tw
( ) 0,021 =tw ( ) 0,021 =′ tw
ηη1,21,2 = 0= 0
ηη = L= L
22
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) 0,, 112111211 =−′′′ tLwMtLwIE &&
( ) 0,11211 =′′ tLwIE
( ) ( ) 0,, 222222222 =−′′′ tLwMtLwIE &&
( ) 0,22222 =′′ tLwIE
ηη1,21,2 = L= L1,21,2
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
Geçiş Şartları Geçiş Şartları ::
01211 =+−− QFQ yay
( ) ( )tztLw >,1111 η
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0,,, 111111112111111 =−−′′′−′′′ tztLwktLwtLwIE ηηη
23
G.E.G.E.G.E.
02221 =++− QFQ yay
( ) ( )tLwtz ,2222 η>
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0,, 2222211111 =−+−− tLwtzktztLwktzM ηη&&
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0,,, 222222222222122 =−+′′′−′′′ tLwtzktLwtLwIE ηηη
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xCxCxCxCxW jjjjj ββββ coshsinhcossin 43211 +++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2coshsinhcossin 87652 =+++= jxCxCxCxCxW jjjjj µβµβµβµβ
0000000615141312111 RRRRRR
Katsayılar Matrisi Katsayılar Matrisi ::
24
G.E.G.E.G.E.
0
000000000
000000000
000000000
000000000
000000
0000000
0000000
0000000
000000
000000
0000000
0000000
12,1311,1310,138,13
6,125,124,122,12
12,1111,1110,118,11
6,105,104,102,10
13,912,911,910,9998979
12,811,810,8988878
12,711,710,7978777
12,611,610,6968676
13,512,511,510,5853515
13,4645444342414
635343332313
625242322212
==
RRRR
RRRR
RRRR
RRRR
RRRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
RRRRRRR
RRRRRRR
RRRRRR
RRRRRR
R
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ
4
11
12
IE
mωβ = ββ =1L
BOYUTSUZ SAYILAR BOYUTSUZ SAYILAR
Frekans parametresi Frekans parametresi ::
25
G.E.G.E.G.E.
22
322
2 IE
Lkk =α
1
2
k
kk =α
1
2
L
LL =α
11
311
1 IE
Lkk =α
11Lm
MM =α
11
11 Lm
MM =α
22
22 Lm
MM =α
1
2
m
mm =α
11
22
IE
IE=χ
2ηαµψ L=χ
αµ m=4
Lαµδ =
Yay parametreleri Yay parametreleri ::
Kütle parametreleri Kütle parametreleri ::
Çubuk parametreleri Çubuk parametreleri ::
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
( ) ( ) ( ) ( )12
14 ,,
hxtFtxw
mtxw
IE −−=∂
+∂
δ
26
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( ) ( )1121
141
11
,,hxtF
t
txwm
x
txwIE −−=
∂∂
+∂
∂δ
( ) ( ) ( ) ( )2222
2
242
4
22
,,hxtF
t
txwm
x
txwIE −=
∂∂
+∂
∂δ
( ) ( ) ( )( )tzthwktF −= ,1111
( ) ( ) ( )( )thwtzktF ,2222 −=
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221
2222111
22
22
22
22
2 hxhWkkM
hWkhWk
IE
kxW
IE
mxW −
−
++−+
=−′′′′ δω
ω
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
212
22211111
11
11
11
21
1 hxkkM
hWkhWkhW
IE
kxW
IE
mxW −
++−+
−−=−′′′′ δω
ω
Boyusuzlaştırma Boyusuzlaştırma ::
27
G.E.G.E.G.E.
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )11
44
2211411
114
41
1
41
111
1
1ηξδ
βα
αα
βα
α
ηαηβα
ααη
αξβξ
ξ−
−+
−−
=−
M
kk
M
k
L
M
kk
k
WWW
Wd
Wd
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )22
44
2211422
224
42
2
42
1
1
11
1
2ηξδ
βα
αα
βα
α
ηηαβα
αη
αξδβξ
ξ−
−+
−+
=−
M
kk
M
k
LM
k
k
WWW
Wd
Wd
Boyusuzlaştırma Boyusuzlaştırma ::
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
( ) ( ) ( )11111
4
41
1141 ,
,ηξδηξβ
ξηξ
−=− gd
gd ( ) ( ) ( ) ( )22222
4
42
2242 ,
,ηξδηξδβ
ξηξ
−=− gd
gd
( ) ( ) ( )( )
−− 22114111 ηαηαα
η L
kkWWW
28
G.E.G.E.G.E.
( ) ( ) ( )ηξηη ;gW Φ=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
−+
−−
=1
,
44
2211411
11111
11
1
βα
αα
βα
α
ηαηβα
η
αηηη
M
kk
M
k
L
Mk
WWW
gW
( ) ( )( ) ( ) ( )
−+
−+
=1
1
,
44
2211422
22222
11
1
2
βα
αα
βα
α
ηηαβα
αη
αηηη
M
kk
M
k
LM
k
k
WWW
gW
ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI
GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU
( ) ( ) ( ) ( ) 0,,1 224111114
4
111
11
11
11
111 =
−++
−+
−+ η
βαααα
ααααηηη
βαααα
αααβααηη WgWg
Mkkk
Lkkk
Mkkk
kkkMk
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 01
,,1
4
1212 =
−
−
− ηαα
ηηηαβαα
ηη WgWgkkkMk
29
G.E.G.E.G.E.
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 01
,,1 114222224222
11
12
11
12 =
−+−
−+− η
αβααααηηη
βααααηη WgWg
LMkkk
kk
Mkkk
kMk
( ) ( ) 022211111 =+ ηη WRWR
( ) ( ) 022221112 =+ ηη WRWR
Katsayılar Matrisi Katsayılar Matrisi ::
02212
1211 ==RR
RRR
SONUÇLARSONUÇLAR
α = α =2, α =1,α = α =1000
30
G.E.G.E.G.E.
αM1= αM2=2, αM=1,αk1= αk2=1000
αk=1, αL=1, αm=1, χ=1, µ=δ=1
SONUÇLARSONUÇLAR
31
G.E.G.E.G.E.
(η2 = 0.5, , αM = 1, αk = 1, αk1 = αk1 = 1000, αM1 = αM2 = 0.1: ---- , αM1 = αM2 = 1: ___, αM1 = αM2 = 10: ….)
SONUÇLARSONUÇLAR
32
G.E.G.E.G.E.
(η1 = η2 = 0.5, αk = 1, αk1 = αk1 = 1000, αM1 = αM2 = 2)
SONUÇLARSONUÇLAR
33
G.E.G.E.G.E.
(η1 = η2 = 0.5, αk = 1, αk1 = αk1 = 1000, αM =1)