Download - YÜKSEK LĐSANS TEZ SUNUŞU - me.umn.edugurkan/MS Thesis Presentation.pdfnokta arasında izlenecek yoldan bağımsız fakat bu noktaların konumuna bağlı ise bu kuvvet alanı konservatif

YÜKSEK LĐSANS TEZ SUNUŞUYÜKSEK LĐSANS TEZ SUNUŞU

Çift Yay Çift Yay -- Kütle Sistemiyle Kütle Sistemiyle

1

Çift Yay Çift Yay -- Kütle Sistemiyle Kütle Sistemiyle

Birbirine Bağlanmış Çubukların Eğilme TitreşimleriBirbirine Bağlanmış Çubukların Eğilme Titreşimleri

Hazırlayan : Mak. Müh. Gürkan ErdoğanHazırlayan : Mak. Müh. Gürkan Erdoğan

G.E.G.E.G.E.

ĐZLENCEĐZLENCE

Temel Kavram ve PrensiplerTemel Kavram ve Prensipler

•• Sınır Değer ProblemiSınır Değer Problemi

•• Green FonksiyonuGreen Fonksiyonu

2

•• Green FonksiyonuGreen Fonksiyonu

Tez ProblemiTez Problemi

•• TanımıTanımı

•• Çözüm YaklaşımlarıÇözüm Yaklaşımları

•• SonuçlarSonuçlar

G.E.G.E.G.E.

TEMEL KAVRAM VE PRENSĐPLERTEMEL KAVRAM VE PRENSĐPLER

SINIR DEĞER PROBLEMĐ SINIR DEĞER PROBLEMĐ

•• Elemanter ĐşElemanter Đş

•• Konservatif kuvvet alanıKonservatif kuvvet alanı

3

•• Potansiyel EnerjiPotansiyel Enerji

•• Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş

•• Virtüel Đşler PrensibiVirtüel Đşler Prensibi

•• Lagrange Tarzında D’Alembert PrensibiLagrange Tarzında D’Alembert Prensibi

•• Genelleştirilmiş Hamilton PrensibiGenelleştirilmiş Hamilton Prensibi

G.E.G.E.G.E.

SINIR DEĞER PROBLEMĐSINIR DEĞER PROBLEMĐ

Elemanter ĐşElemanter Đş : :

Belli bir yörünge üzerinde ve kuvvet etkisi altında hareket etmekte Belli bir yörünge üzerinde ve kuvvet etkisi altında hareket etmekte olan bir olan bir maddesel noktanın,maddesel noktanın, yörüngesi üzerinde sonsuz küçük yörüngesi üzerinde sonsuz küçük yerdeğiştirmesi sonucu yaptığı iştir.yerdeğiştirmesi sonucu yaptığı iştir.

4

G.E.G.E.G.E.

∫ ⋅=2

1

12

r

r

rdFW

r

r

rr

dtrdmF &rv

⋅=1212 TTW −=

rdFdWrr

⋅=12


Konservatif kuvvet alanı : Konservatif kuvvet alanı :

Eğer bir kuvvet alanında, bir Eğer bir kuvvet alanında, bir

5

Eğer bir kuvvet alanında, bir Eğer bir kuvvet alanında, bir noktadan bir başka noktaya noktadan bir başka noktaya gitmek suretiyle yapılan iş, iki gitmek suretiyle yapılan iş, iki nokta arasında izlenecek nokta arasında izlenecek yoldan bağımsız fakat bu yoldan bağımsız fakat bu noktaların konumuna bağlı ise noktaların konumuna bağlı ise bu kuvvet alanı bu kuvvet alanı konservatif konservatif

bir kuvvet alanıdır.bir kuvvet alanıdır.

G.E.G.E.G.E.


Potansiyel Enerji : Potansiyel Enerji :

Bir maddesel noktanın belli bir konumdaki Bir maddesel noktanın belli bir konumdaki potansiyel enerjisipotansiyel enerjisi , konservatif , konservatif kuvvet alanı içersinde, bu maddesel noktanın bulunduğu konumdan referans kuvvet alanı içersinde, bu maddesel noktanın bulunduğu konumdan referans konum olarak seçilmiş bir başka konuma taşınması için konservatif kuvvetlerin konum olarak seçilmiş bir başka konuma taşınması için konservatif kuvvetlerin yaptığı iş olarak tanımlanır. Konservatif kuvvetlerin yaptığı iş, potansiyel enerji yaptığı iş olarak tanımlanır. Konservatif kuvvetlerin yaptığı iş, potansiyel enerji değişiminin negatif işaretlisidir ;değişiminin negatif işaretlisidir ;

6

değişiminin negatif işaretlisidir ;değişiminin negatif işaretlisidir ;

G.E.G.E.G.E.

( )1212 VVW c −−=

VFc ∇−=v

Konservatif bir kuvvet, potansiyel enerji gradyentinin (değişiminin) ters Konservatif bir kuvvet, potansiyel enerji gradyentinin (değişiminin) ters işaretlisidir.işaretlisidir.


Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş : Konservatif Olmayan Kuvvetlerin Yaptığı Đş :

Konservatif olmayan kuvvetlerin yaptığı iş maddesel noktanın toplam Konservatif olmayan kuvvetlerin yaptığı iş maddesel noktanın toplam enerjisindeki değişime eşittir.enerjisindeki değişime eşittir.

7

G.E.G.E.G.E.

cnc WWW 121212 +=

cnc WWW 121212 −=

( ) ( )121212 VVTTW nc −+−=

( ) ( )112212 VTVTW nc +−+=

1212 EEW nc −= 21 EE = 012 =ncW


Virtüel Đşler Prensibi : Virtüel Đşler Prensibi :

Bir maddesel sistem statik dengede ise, bu konumdan itibaren verilecek her Bir maddesel sistem statik dengede ise, bu konumdan itibaren verilecek her virtüel yer değişiminde, kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin yapacakları virtüel yer değişiminde, kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin yapacakları toplam virtüel iş sıfır olur.toplam virtüel iş sıfır olur.

0=∑=N

aa rfWrr

δδ

8

G.E.G.E.G.E.

01

=∑==

N

ii

a

i

a rfWrr

δδ

Virtüel yer değişimleri,Virtüel yer değişimleri,

•• Sistemin bağları ile bağdaşırlar,Sistemin bağları ile bağdaşırlar,

•• Sonsuz küçüktürler,Sonsuz küçüktürler,•• Gerçek olmaları gerekmez, Gerçek olmaları gerekmez, •• Virtüel bir zaman içinde ceryan ederler,Virtüel bir zaman içinde ceryan ederler,•• Keyfidirler.Keyfidirler.


Lagrange tarzında D’Alembert Prensibi : Lagrange tarzında D’Alembert Prensibi :

Dinamik bir sisteme, hareketinin herhangi bir anında o andaki konumundan Dinamik bir sisteme, hareketinin herhangi bir anında o andaki konumundan itibaren verilecek her virtüel yer değiştirmede, kendisine etkimekte olan aktif itibaren verilecek her virtüel yer değiştirmede, kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.

9

G.E.G.E.G.E.

kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin yapacağı toplam virtüel iş sıfırdır.

ii

b

i

a

i rmff &&rrr

=+

( ) 0=− iii

a

i rrmfr&&r

rδ

0=b

ifr


Genelleştirilmiş Hamilton Prensibi : Genelleştirilmiş Hamilton Prensibi :

Bir sistem, belli bir zaman aralığında, kinetik enerjisinin değişimi ile Bir sistem, belli bir zaman aralığında, kinetik enerjisinin değişimi ile kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin virtüel işleri toplamının integrali kendisine etkimekte olan aktif kuvvetlerin virtüel işleri toplamının integrali sıfır olacak şekilde haraket eder.sıfır olacak şekilde haraket eder.

10

G.E.G.E.G.E.

sıfır olacak şekilde haraket eder.sıfır olacak şekilde haraket eder.

( ) 0=− iii

a

i rrmfr&&r

rδ

( ) 02

1

=∫ + dtWTt

t

aδδ


Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuk Üzerindeki Zorlanmalar Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuk Üzerindeki Zorlanmalar

( ) ( ) ( )txtxtxw

,,,

βψ +=∂

11

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( )txtxx

txw,,

,βψ +=

∂∂

( ) ( )x

txEItxM

∂∂

=,

,ψ

( ) ( )txGAktxQ ,, β′=


Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denkleminin Formülasyonu Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denkleminin Formülasyonu

( ) ( ) ( )txtxw LL ∂ ∂22

,1,1 ψKinetik EnerjiKinetik Enerji ::

( ) 02

1

=∫ + dtWTt

t

aδδHamilton Prensibi :Hamilton Prensibi :

12

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( )dxJ

t

txdxm

t

txwtT

LL

∫

∂∂

+∫

∂∂

=0

2

0

2,

2

1,

2

1 ψ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxtxtxQdxx

txtxMtV

LL

∫+∫∂

∂=

00

,,2

1,,

2

1β

ψ

Kinetik EnerjiKinetik Enerji ::

Potansiyel EnerjiPotansiyel Enerji ::

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx

t

tx

t

txmidx

t

txw

t

txwmtT

LL

∂∂

∫∂

∂+

∂∂

∫∂

∂=

,,,,

0

2

0

ψδ

ψδδ

( ) ( ) ( )dxtxwtxptVWWWL

a

nc

a

c

a ,,0∫+−=+= δδδδ


Eğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket DenklemiEğilme Titreşimleri Yapan Çubuğun Hareket Denklemi

Hamilton Prensibi :Hamilton Prensibi :

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) 022

22

0

22

=∫

∫ −

∂

−−∂∂′+∂∂∂

+∫

+∂∂−−∂∂′

∂∂

=∫ +t L

L

ta dtdxmixwGAkxEI

dxwptwmxwGAkx

dtWT δψψ

ψψ

δψ

δδ

13

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

011

00

02

2 =∫

−∂∂′−∂∂

∫ −

∂∂

−−∂∂′+∂∂∂∂

=∫ +t

LL

t

a dt

wxwGAkxEI

dxt

mixwGAkxEIx

dtWT

δψδψψ

δψψ

ψψδδ

( ) ( ) ( ) 0,,,

2

2

=+∂

∂−

∂∂

txpt

txwm

x

txQ

( ) ( ) ( )0

,,

,2

22 =

∂∂

−+∂

∂t

txmitxQ

x

txM ψ ( ) 00

=∂∂L

xEI δψψ

( )( ) 00

=−∂∂′ LwxwGAk δψ

Sınır Değer Problemi :Sınır Değer Problemi :



( ) ( )),(

,,2

2

4

4

txpt

txwm

x

txwEI =

∂∂

+∂

∂

Dönme ataleti etkisi ve kayma deformasyonu ihmal edildikten sonra ;Dönme ataleti etkisi ve kayma deformasyonu ihmal edildikten sonra ;

14

G.E.G.E.G.E.

tx ∂∂

( ) ( ) ( )tTxWtxw =,

( )( )

( )( )

2ω=−=′′′′

tT

tT

xW

xW

m

EI &&

( ) ( ) 02

=−′′′′ xWEI

mxW

ωL

EI

m4

2ωβ =

( ) ( ) 04

=−′′′′ xWxW β

Değişkenlerin Ayrılması :Değişkenlerin Ayrılması :

( ) ( ) 02 =+ tTtT ω&&

( ) ( )εω −= ttT cos



( ) ( ) 04

=−′′′′ xWxW βHareket Denklemi :Hareket Denklemi :

0)0( =W 0)( =LWĐki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :Đki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :

15

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )txCxCxCxCtxw iiiii ωββββ coscoshsinhcossin, 4321 ⋅+++=

i’inci Mod için Genel Çözüm i’inci Mod için Genel Çözüm ::

0)0( =W

0)0( =′′W

0)( =LW

0)( =′′ LW

Đki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :Đki ucu serbest çubuğa ait sınır şartları :

GREEN FONKSĐYONUGREEN FONKSĐYONU

( ) ( ) ( )dyyxgyfxa

;0∫=ψ

( ) ( ) ( )xfxkxd

xd−=+ ψ

ψ 22

2

( ) ( ) 00 == aψψ ax ≤≤0

16

G.E.G.E.G.E.

Green Fonksiyonu’nun ÖzellikleriGreen Fonksiyonu’nun Özellikleri ::

• 0 < y < x ve x < y < 0 aralıklarında diferansiyel denklemi sağlar ama x = y’de sağlamaz.

• x = y noktasında süreklidir.

• Türevi x = y noktasında sürekli değildir.

• Problemin sınır şartlarını sağlar.

• Değişkenleri birbirine göre simetriktir

( ) ( ) 0;; 2 =+′′ yxgkyxg

( ) ( ) 0;; =−−+ xxgxxg

( ) ( ) 1;; −=−′−+′ xxgxxg

( ) ( ) 0;0; == axgxg

( ) ( )xygyxg ;; =


Esneklik Tesir KatsayısıEsneklik Tesir Katsayısı ::

17

G.E.G.E.G.E.


Esneklik Tesir Fonksiyonu :Esneklik Tesir Fonksiyonu :

18

G.E.G.E.G.E.


Dirac Delta Fonksiyonu :Dirac Delta Fonksiyonu :

( )

≠

==−

ηξηξ

ηξδ0

1

19

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( ) ( ) ηηξδηηξξ dgW ∫ −Φ=1

0

;

( ) ( ) ( ) ( )ηξδηξβξ −Φ=−′′′′ WW 4

( ) ( ) ( )( ) ( ) ηηξηβηξ dgWWW ∫ −′′′′=1

0

4 ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ηηξβηξηξ dggWW ∫ −′′′′=1

0

4 ;;

Green Fonksiyonu !!!

( ) ( ) ( )ξηδηξβηξ −=−′′′′ ;; 4 gg

( ) ( ) ( ) ηξηδηξ dWW ∫ −=1

0

( ) ( ) ( ) ( ) ηηξδηηξξ dgW ∫ −Φ=1

0

;

( ) ( ) ( )ηξηη ;gW Φ=

PROBLEMĐN TANIMIPROBLEMĐN TANIMI

20

G.E.G.E.G.E.

“ “ Birbirine çift yay Birbirine çift yay –– kütle sistemi ile tutturulmuş, bir uçlarında kütle kütle sistemi ile tutturulmuş, bir uçlarında kütle

taşıyan iki tane ankastre bağlı Bernoulli taşıyan iki tane ankastre bağlı Bernoulli –– Euler çubuğunun eğilme Euler çubuğunun eğilme

titreşimlerine ait doğal frekansların bulunmasıtitreşimlerine ait doğal frekansların bulunması ””

ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARIÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI


21

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( )2,1,0,, 2244 ==∂∂+∂∂ jittxwmxtxwIE ijiijii



Sınır Şartları Sınır Şartları ::

( ) 0,011 =tw ( ) 0,011 =′ tw

( ) 0,021 =tw ( ) 0,021 =′ tw

ηη1,21,2 = 0= 0

ηη = L= L

22

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) 0,, 112111211 =−′′′ tLwMtLwIE &&

( ) 0,11211 =′′ tLwIE

( ) ( ) 0,, 222222222 =−′′′ tLwMtLwIE &&

( ) 0,22222 =′′ tLwIE

ηη1,21,2 = L= L1,21,2



Geçiş Şartları Geçiş Şartları ::

01211 =+−− QFQ yay

( ) ( )tztLw >,1111 η

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0,,, 111111112111111 =−−′′′−′′′ tztLwktLwtLwIE ηηη

23

G.E.G.E.G.E.

02221 =++− QFQ yay

( ) ( )tLwtz ,2222 η>

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0,, 2222211111 =−+−− tLwtzktztLwktzM ηη&&

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0,,, 222222222222122 =−+′′′−′′′ tLwtzktLwtLwIE ηηη



( ) ( ) ( ) ( ) ( )xCxCxCxCxW jjjjj ββββ coshsinhcossin 43211 +++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,2coshsinhcossin 87652 =+++= jxCxCxCxCxW jjjjj µβµβµβµβ

0000000615141312111 RRRRRR

Katsayılar Matrisi Katsayılar Matrisi ::

24

G.E.G.E.G.E.

0

000000000

000000000

000000000

000000000

000000

0000000

0000000

0000000

000000

000000

0000000

0000000

12,1311,1310,138,13

6,125,124,122,12

12,1111,1110,118,11

6,105,104,102,10

13,912,911,910,9998979

12,811,810,8988878

12,711,710,7978777

12,611,610,6968676

13,512,511,510,5853515

13,4645444342414

635343332313

625242322212

==

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

RRRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRRR

RRRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

R



4

11

12

IE

mωβ = ββ =1L

BOYUTSUZ SAYILAR BOYUTSUZ SAYILAR

Frekans parametresi Frekans parametresi ::

25

G.E.G.E.G.E.

22

322

2 IE

Lkk =α

1

2

k

kk =α

1

2

L

LL =α

11

311

1 IE

Lkk =α

11Lm

MM =α

11

11 Lm

MM =α

22

22 Lm

MM =α

1

2

m

mm =α

11

22

IE

IE=χ

2ηαµψ L=χ

αµ m=4

Lαµδ =

Yay parametreleri Yay parametreleri ::

Kütle parametreleri Kütle parametreleri ::

Çubuk parametreleri Çubuk parametreleri ::



( ) ( ) ( ) ( )12

14 ,,

hxtFtxw

mtxw

IE −−=∂

+∂

δ

26

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( ) ( )1121

141

11

,,hxtF

t

txwm

x

txwIE −−=

∂∂

+∂

∂δ

( ) ( ) ( ) ( )2222

2

242

4

22

,,hxtF

t

txwm

x

txwIE −=

∂∂

+∂

∂δ

( ) ( ) ( )( )tzthwktF −= ,1111

( ) ( ) ( )( )thwtzktF ,2222 −=



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22221

2222111

22

22

22

22

2 hxhWkkM

hWkhWk

IE

kxW

IE

mxW −

−

++−+

=−′′′′ δω

ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

212

22211111

11

11

11

21

1 hxkkM

hWkhWkhW

IE

kxW

IE

mxW −

++−+

−−=−′′′′ δω

ω

Boyusuzlaştırma Boyusuzlaştırma ::

27

G.E.G.E.G.E.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )11

44

2211411

114

41

1

41

111

1

1ηξδ

βα

αα

βα

α

ηαηβα

ααη

αξβξ

ξ−

−+

−−

=−

M

kk

M

k

L

M

kk

k

WWW

Wd

Wd

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )22

44

2211422

224

42

2

42

1

1

11

1

2ηξδ

βα

αα

βα

α

ηηαβα

αη

αξδβξ

ξ−

−+

−+

=−

M

kk

M

k

LM

k

k

WWW

Wd

Wd

Boyusuzlaştırma Boyusuzlaştırma ::



( ) ( ) ( )11111

4

41

1141 ,

,ηξδηξβ

ξηξ

−=− gd

gd ( ) ( ) ( ) ( )22222

4

42

2242 ,

,ηξδηξδβ

ξηξ

−=− gd

gd

( ) ( ) ( )( )

−− 22114111 ηαηαα

η L

kkWWW

28

G.E.G.E.G.E.

( ) ( ) ( )ηξηη ;gW Φ=

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

−+

−−

=1

,

44

2211411

11111

11

1

βα

αα

βα

α

ηαηβα

η

αηηη

M

kk

M

k

L

Mk

WWW

gW

( ) ( )( ) ( ) ( )

−+

−+

=1

1

,

44

2211422

22222

11

1

2

βα

αα

βα

α

ηηαβα

αη

αηηη

M

kk

M

k

LM

k

k

WWW

gW



( ) ( ) ( ) ( ) 0,,1 224111114

4

111

11

11

11

111 =

−++

−+

−+ η

βαααα

ααααηηη

βαααα

αααβααηη WgWg

Mkkk

Lkkk

Mkkk

kkkMk

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 01

,,1

4

1212 =

−

−

− ηαα

ηηηαβαα

ηη WgWgkkkMk

29

G.E.G.E.G.E.

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) 01

,,1 114222224222

11

12

11

12 =

−+−

−+− η

αβααααηηη

βααααηη WgWg

LMkkk

kk

Mkkk

kMk

( ) ( ) 022211111 =+ ηη WRWR

( ) ( ) 022221112 =+ ηη WRWR

Katsayılar Matrisi Katsayılar Matrisi ::

02212

1211 ==RR

RRR

SONUÇLARSONUÇLAR

α = α =2, α =1,α = α =1000

30

G.E.G.E.G.E.

αM1= αM2=2, αM=1,αk1= αk2=1000

αk=1, αL=1, αm=1, χ=1, µ=δ=1

SONUÇLARSONUÇLAR

31

G.E.G.E.G.E.

(η2 = 0.5, , αM = 1, αk = 1, αk1 = αk1 = 1000, αM1 = αM2 = 0.1: ---- , αM1 = αM2 = 1: ___, αM1 = αM2 = 10: ….)

SONUÇLARSONUÇLAR

32

G.E.G.E.G.E.

(η1 = η2 = 0.5, αk = 1, αk1 = αk1 = 1000, αM1 = αM2 = 2)

SONUÇLARSONUÇLAR

33

G.E.G.E.G.E.

(η1 = η2 = 0.5, αk = 1, αk1 = αk1 = 1000, αM =1)

Download - YÜKSEK LĐSANS TEZ SUNUŞU - me.umn.edugurkan/MS Thesis Presentation.pdfnokta arasında izlenecek yoldan bağımsız fakat bu noktaların konumuna bağlı ise bu kuvvet alanı konservatif

Top Related