Yapı Dinamiği Doç. Dr. Mehmet Emiroğlu

2. HAFTA: Tek Serbestlik Dereceli Sistemler mehmetemiroglu@duzce.edu.tr

Kaynaklar

Yapı Dinamiği Ders Notları ve Sunumları, Prof. Dr. Erkan ÇELEBİ

Serbestlik Derecesi

Titreşim hareketi sırasında herhangi bir zaman anı için sistemin konumunu belirli bir eksen takımına göre tanımlamak için gerekli bağımsız değişken sayısına serbestlik derecesi adı verilmektedir.

Serbestlik Derecesi

Kütlesiz bir kolon üzerinde bir m kütlesi bulunan 3 boyutlu bir sistemde herhangi bir t anındaki konumu belirlemek üzere x,y ve z eksenleri doğrultularındaki yerdeğiştirmeler ve bu eksenler etrafındaki dönmeler olmak üzere 6 bağımsız değişkenin belirlenmesi gerekmektedir. Bu nedenle sistem bir kütleli olduğu halde çok serbestlik derecelidir (ÇSD) ve 6 serbestlik derecesi bulunmaktadır

Periyot, Frekans ve Açısal Frekans Doğal Periyot ( T, saniye ): Bir sistemin, titreşimi esnasında bir tam çevrimi tamamlayarak başlangıç konumuna dönmesi için geçen süredir.

Doğal Frekans ( f, 1/saniye veya Hz ): Bir sistemin saniyede yaptığı çevrim sayısıdır.

Doğal Açısal Frekans (ω, rad/s): Titreşim hareketi dairesel hareket olarak gösterildiğinde birim zamanda taranan açıyı gösterir

1.0 Hz = 2π rad/s = 6.2831853 rad/s

0.5 Hz= 4 π rad/s = 12.5663706 rad/s

Periyot, Frekans ve Açısal Frekans

Yapının doğal titreşim periyodu yapının kütlesi ve rijitliği gibi doğal özelliklerine bağlıdır ve deprem titreşim özelliklerinden bağımsızdır.

Kütle ve Rijitlik

Kütle, Rijitlik: Kütle (m) sistem ağırlığının (W ) yerçekimi ivmesine bölünmesi ile elde edilmektedir.

Sistemin rijitliği (k), kütleye etkitilen F kuvvetinin, kuvvetin etkimesi sonucu oluşacak yerdeğiştirmeye (δ) bölünmesi ile belirlenmektedir. Rijitlik, birim yerdeğiştirme oluşturmak için uygulanması gereken kuvvet olarak değerlendirilebilir.

Malzeme Davranışı (Rijitlik ve Sönüm) Dış etkenlerin oluşturduğu hareketler sonucunda yapıda meydana gelen yerdeğişimi ve şekildeğişimine karşı koyacak tepkiler.

Rijitlik; kuvvet altında şekildeğişimine karşı direnç,

Sönüm; kuvvet altında enerji kaybına yol açarak hareketi dindirmeye çalışan etkenler. Titreşim hareketinde yitirilen enerji.

Kinetik Enerji Isı Enerjisi

Malzeme Davranışı (Sönüm) Sönümün bulunmadığı bir sistem titreşim hareketini sonsuza dek sürdürür.

Gerçek sistemlerde her zaman sönüm bulunmaktadır.

Her çevrimde hareketin genliğinin azalmasına neden olur ve belirli bir süre sonra hareketin sona ermesini sağlar.

Sönümün miktarı genellikle kullanılan malzemeye, birleşim türlerine ve taşıyıcı olmayan elemanların yapının rijitliğine olan etkisine bağlıdır.

Sönüm kritik sönüme oranlanarak ölçülmektedir. Kritik sönüm, titreşim hareketinin oluşmasını engelleyen en küçük sönüm miktarıdır.

Yayın titreşim hareketi yapamamasını sağlayan en düşük viskozite kritik sönüm olarak düşünülebilir (ccr).

ξ =𝑐

𝑐𝑐𝑟 ξ =

𝑐

2𝑚𝜔

Yapılarda Sönümün Kaynağı Dış ortamdan kaynaklanan viskoz sönüm (hava, bazı durumlarda su vb.). Katkısı düşüktür.

Malzemenin viskozitesinden kaynaklanan içsel viskoz sönüm hız ile orantılıdır. Yapının doğal frekansı arttıkça içsel viskoz sönüm de artar.

Sürtünme nedeniyle oluşan sönüm (Coulomb sönümü) birleşim bölgelerindeki sürtünmeler veya duvarların çatlak düzlemlerindeki sürtünmeler nedeniyle ortaya çıkmaktadır.

Çevrimsel sönüm (Histeretik sönüm) yön değiştiren yükler ile sistemin plastikleşmesi sonucu -sünek davranış göstermesi sonucu- ortaya çıkan ve sönümün en önemli kaynağını oluşturan türdür.

Uygulamada farklı sönüm kaynakları tek bir viskoz sönüm türüne dönüştürülerek kullanılmaktadır. Taban izolatörleri bulunmayan normal yapıların yönetmeliklere göre tasarımında kullanılan sönüm oranları (kritik sönüme oranı) %1 ile %10 arasında değişmektedir.

Uzama Rijitliği

Eğilme Rijitliği

Ankastre bağlı kolon

Basit mesnetli bağlı kolon

Çapraz bağ elemanı

Konsol perde duvar

Yanal kuvvete karşı koyan elemanların rijitlik özellikleri

Periyot, Kütle ve Rijitlik İlişkisi

𝑻 =𝟐𝝅

𝝎= 𝟐𝝅

𝒎

𝒌 𝒇 =

𝟏

𝑻=

𝝎

𝟐𝝅

𝒌

𝒎

Kuvvet-Yerdeğiştirme İlişkisi

𝑓𝑠 = 𝑘. 𝑢 𝑓𝑠 = 𝑓𝑠 𝑢, 𝑢

𝑢 =𝑑𝑢

𝑑𝑡

TSD Sistemlerde Hareket Denklemi, Newton’un Hareket Yasası, D’Alembert Prensibi

Çeşitli Yay ve Sistemleri İçin Eşdeğer Yay Sabiti