wykład 9 – transformata laplace’a oraz jej wykorzystanie w...

Teoria Obwodów 2

® 1 Współautor kursu: dr inż. Piotr Ruczewski

Wykład 9 – Transformata Laplace’a oraz jej wykorzystanie w wyznaczaniu odpowiedzi na dowolne wymuszenie –

transmitancja

Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski

Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Wydział Elektryczny

Politechnika Wrocławska

D-1, 205/8 tel: (071) 320 21 60 fax: (071) 320 20 06

email: [email protected]

mailto:[email protected]

Teoria Obwodów 2


1. Przejście sygnału przez układ w zapisie operatorowym................................................................................................................................................ 3 1.1 Transmitancja operatorowa – definicja, związki z odpowiedzią jednostkową i impulsową układu ..................................................................... 4 1.2 Wyznaczanie transmitancji operatorowej .............................................................................................................................................................. 7 1.3 Wykorzystanie transmitancji operatorowej ......................................................................................................................................................... 10 1.4 Transmitancja operatorowa a stabilność układu .................................................................................................................................................. 20

Teoria Obwodów 2

1. Przejście sygnału przez układ w zapisie operatorowym Wprowadzając metodę operatorową sukcesywnie transformowaliśmy zapisy czasowe praw Kirchhoffa w ich formę operatorową, oraz związki prądowo-napięciowe z ich postaci różniczkowo-całkowych do postaci operatorowego prawa Ohma i wreszcie reprezentacji elementów obwodu w schemacie operatorowym. Tak efektywna reprezentacja była możliwa dzięki takim właściwością transformaty Laplace’a jak liniowość przekształcenia czy transformata z pochodnej. Podobnie jak to było w analizie stanu nieustalonego metodą klasyczną powraca pytanie, czy nie zmieniając analizowanego obwodu, a jedynie charakter wymuszenia, muszę ponownie wykonywać pełną analizę obwodową metodą operatorową? Czy załączając dany układ na napięcia stałe, sinusoidalne, wykładnicze – dowolne zadane, wymagać będzie to ode mnie ponownej analizy operatorowej? Tak stawiane pytania przywołują rozpatrywane już wcześniej pojęcie przejścia (transmisji) sygnału przez układ, z podstawową relacją pomiędzy wejściem a wyjściem układu, pomiędzy wymuszeniem a odpowiedzią. Wracając do dziedziny czasu, tak postawione relacje skłoniły nas do opisu obwodu pomiędzy wejściem a wyjściem za pomocą specjalnych charakterystyk. Obwód pełni więc rolę układu, a wspomniane charakterystyki to odpowiedź impulsowa i odpowiedź skokowa układu. W postaci matematycznych funkcji czasowych uzyskujemy jednoznaczną reprezentuję fizycznej strukturę obwodu pomiędzy wejściem a wyjściem. Wykorzystanie odpowiedzi skokowej k(t) czy odpowiedzi impulsowej h(t) do wyznaczania odpowiedzi y(t) układu na dowolne wymuszenie x(t) oparte zostało na operacji splotu:

( ) ( ) ( )dy t x t k tdt⎡ ⎤= ∗⎣ ⎦


Całka Duhamela ( )x t (SLS

)y t( )h tWE WY ( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗( ) k t Całka splotowa

Teoria Obwodów 2 1.1 Transmitancja operatorowa – definicja, związki z odpowiedzią jednostkową i

impulsową układu Definicja 1 transmitancji operatorowej: W układzie mającym n par zacisków, każdej parze zacisków odpowiada napięcie i prąd. Transmitancją operatorową nazywamy stosunek transformat sygnału wyjściowego układu (odpowiedzi) do transformaty sygnału wejściowego (wymuszenia) przy warunkach początkowych zerowych

( ) ( )( )

Y sH s

X s=

Transmitancja może być stosunkiem transformat napięcia wyjściowego do napięcia wejściowego, prądu wyjściowego do prądu wejściowego, oraz napięcia wyjściowego do prądu wejściowego i prądu wyjściowego na napięcia wejściowego. Transmitancja nosi również nazwę funkcji przenoszenia lub tzw. imitancji wzajemnej.

( )( )

2

1

U sU s

( )( )

2

1

U sI s

U (s)

I (s)

U (s)1

1

2

I (s)2 - transmitancja napięciowa - transmitancja impedancyjna

( )( )

2

1

I sI s

( )( )

2

1

I sU s

- transmitancja prądowa - transmitancja admitancyjna

UWAGA: Transmitancja operatorowa nie zależy od wymuszenia, a jedynie od budowy obwodu pomiędzy parą zacisków wejściowych a wyjściowych


Teoria Obwodów 2 Do określenia transmitancji operatorowej i powiązania z wprowadzonymi już charakterystykami odpowiedzi impulsowej i skokowej układu, posłużymy się podobnym mechanizmem jak w przypadku adaptacji praw Kirchhoffa czy związków prądowo-napięciowych na elementach obwodu. Poddamy transformacie Laplace’a związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu w dziedzinie czasu i przedstawimy go w dziedzinie operatorowej:

Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )y t x t h t= ∗ Y s X s H s= ⋅

( )x t ( )y tWE WY( )h t

( )k t

SLS( )X s ( )Y s

WE WY( )H s( )K s

SLS

( ) ( ) ( )Y s X s s K s= ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )d dy t x t k t x t k t

dt dt⎡ ⎤= ∗ = ∗⎣ ⎦

Na podstawie właściwości transformaty splotu (tw. Borel’a) : ( ) ( ){ } ( ) ( )L 1 2 1 2f t f t F s F s∗ = ⋅ Definicja 2 transmitancji operatorowej: Transmitancja operatorowa jest transformatą Laplace’a odpowiedzi impulsowej układu


Teoria Obwodów 2 Zazwyczaj łatwiej jest wyznaczyć odpowiedź jednostkową niż impulsową. Podkreślmy zatem poszczególne zależności pomiędzy odpowiedzią jednostkową a impulsową, a także pomiędzy transformatą Laplace’a odpowiedzi jednostkowej a transformatą Laplace’a odpowiedzi impulsowej, czyli transmitancją:

Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s ( )H( )h t s

( ) ( )H s s K s= ⋅( ) ( )dh t k tdt

=

W przypadku napięć i prądów wejściowych dla dwójnika możemy również rozważyć zależności pomiędzy transformatami sygnałów wejściowych. Nazwiemy tę zależność imitancją operatorową. Definicja imitancji operatorowej wejściowej: Imitancją operatorową nazwiemy stosunek transformaty napięcia i prądu dwójnika przy warunkach początkowych zerowych. Wielkość ta może być stosunkiem prądu do napięcia bądź napięcia do prądu.

( )( )

1

1

U sI s

I (s)

U (s)1

1 - imitancja operatorowa (impedancja)

( )( )

1

1

I sU s

- imitancja operatorowa (admitancja)

UWAGA: Imitancja obwodu nie zależy od wymuszenia a jedynie od budowy obwodu pomiędzy zaciskami.


Teoria Obwodów 2 1.2 Wyznaczanie transmitancji operatorowej Wprowadzenie w dziedzinie czasu odpowiedzi impulsowej miało służyć jednoznacznej charakterystyce obwodu pozostającego pomiędzy parą zacisków wejściowych i wyjściowych, niezależnej od wymuszenia. Podobnie w przypadku transmitancji operatorowej spodziewamy się możliwości jej jednoznacznego wyznaczenia, niezależnie od wymuszenia, tj. opierając się jedynie na budowie obwodu pomiędzy parą zacisków wejściowych a wyjściowych. Przypomnijmy, że do wyznaczania transmitancji przyjmujemy zerowe warunki początkowe. Najczęstszy przykład wyznaczania transmitancji dotyczy transmitancji napięciowej, tj. stosunku transformaty napięcia wyjściowego U2(s) do wejściowego U1

U2(s)U1(s) Z2(s)Z1(s)

WYWE

(s). Pokażemy, że transmitancję tą jednoznacznie określa relacja impedancji operatorowych tworzących dzielnik operatorowy napięcia wejściowego.

( ) ( )( )

Y sH s

X s=Nawiązując do definicji transmitancji operatorowej:

określimy sygnały wejściowe i wyjściowej jako ( ) ( )1X s U s= oraz

( ) ( ) . 2Y s U s=


Napięcia U2(s) oraz U1(s) łączy relacja dzielnika napięciowego w postaci:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )2 2 2

2 11 2 1 1 2

Z s U s Z sU s U s H s

Z s Z s U s Z s Z s= → = =

+ +

Teoria Obwodów 2 Przykład 1: Wyznacz transmitancję operatorową układu

Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s

U2(s)U1(s) Z2(s)Z1(s)

WE WYCuc(t)

i(t)

uR(t)WYWE

( )1Z s R=

( )21Z s

sC=

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 2

1 1 2

1 1U s Z s 1 1 1sc sCH s 1 sRC 1 1U s Z s Z s sRC 1 RCR s

sc sC RC

= = = = = =++ ++ +


Teoria Obwodów 2 Przykład 2: Wyznacz transmitancję operatorową układu


C

Ru2(t)u1(t)

R

WE WYU2(s)U1(s) Z2(s)

Z1(s)

WE WY

( )1Z s R=

( )21 1sRCZ s R

sC sC+

= + =

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 2

1 1 2

sRC 1 sRC 1U s Z s sRC 1 RCsC sCH s sRC 1 s2RC 1U s Z s Z s s2RC 1R

sC sC

+ ++

= = = = = =+ ++ ++ 2 RC

1sRC1s

2RC

+=

+

1 1 1s1 1 1 1 12RC 2RC 2RC11 1 12 2 2 2RCs s s2RC 2RC 2RC

⎛ ⎞+ + ⎜ ⎟= = + = + ⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠


Teoria Obwodów 2 1.3 Wykorzystanie transmitancji operatorowej Wykorzystanie reprezentacji obwodu pomiędzy wejściem a wyjściem w postaci transmitancji operatorowej daje możliwości efektywnego wykorzystania tej formy głównie w dwóch przypadkach:

1. wyznaczania odpowiedzi impulsowej h(t) i skokowej k(t) układu, 2. wyznaczania odpowiedzi układu y(t) na zadane wymuszenie x(t).

Ad.1. Możliwość wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej układu za pomocą transmitancji operatorowej wynika z bezpośrednich związków:

( ) ( ){ } ( )L L1 1 H s

k t K ss

− − ⎧ ⎫= = ⎨ ⎬

⎩ ⎭( ) ( ){ }L 1h t H s−= ;

Przykład 1: wyznacz odpowiedź impulsową i jednostkową układu: Dziedzina czas t Dziedzina operatorowa (zespolona) s

U2(s)U1(s) Z2(s)Z1(s)

WE WYCuc(t)

i(t)

uR(t)WYWE

( ) 1 1H s 1RC sRC

= ⋅+

( ) ( )?, ?h t k t= =


Teoria Obwodów 2 Odpowiedź impulsowa h(t):

( ) ( ){ } ( )L L1 t1 1 RC1 1 1h t H s e 1 t1RC RCs

RC

−− −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪

= = ⋅ =⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪+

⎩ ⎭

Odpowiedź skokowa k(t):

( ) ( ){ } ( )L L L L1 1 1 1H s 1 1 1 1k t K s

1 1s RC RCs s s sRC RC

− − − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = ⋅ = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Transformata odpowiedzi jednostkowej K(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:

, ; ,1 1 2 21s 0 n 1 s n 1

RC−

= = = =

Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując rozkład na ułamki proste formy:

11 21A A111 s ss s

RCRC

= +⎛ ⎞ ++⎜ ⎟⎝ ⎠


Teoria Obwodów 2

lim11A s

s 0=

→1

s⋅ RC

1sRC

=⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

lim11

1A s1 RCsRC

⎛ ⎞= +⎜ ⎟→ − ⎝ ⎠

11s s

RC

⋅⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

RC= −

Stąd:

( ) ( )L L L1 t1 1 111 21 RCA A1 1 RC RC 1 1k t 1 e 1 t1 1 1RC s RC s ss s s

RC RC RC

−− − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−

= ⋅ + = ⋅ + = − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + +

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej za pomocą transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą pełną analizę klasyczną obwodu przy wymuszaniu skokiem jednostkowym (wykład 05 z wykorzystaniem wykładu 3)


Teoria Obwodów 2 Przykład 2: wyznacz odpowiedź impulsową i jednostkową układu:


C

Ru2(t)u1(t)

R


Z1(s)

WE WY

( ) ( )?, ?h t k t= =

( )1s1 1 1 1RCH s 1 12 2 2RCs s

2RC 2RC

+= = + ⋅

+ +

Odpowiedź impulsowa h(t):

( ) ( ){ } ( ) ( )L L1 t1 1 2RC1 1 1 1 1h t H s t e 1 t12 2RC 2 2RCs

2RC

δ−− −

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪

= = + ⋅ = +⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪+

⎩ ⎭


Teoria Obwodów 2 Odpowiedź skokowa k(t):

( ) ( ){ } ( )L L L L1 1 1 1

1 1s sH s 1 1RC RCk t K s 1 1s 2 2s s s2RC 2RC

− − − −

⎧ ⎫⎧ ⎫+ +⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = = = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎛ ⎞⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ +⎜ ⎟⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

Transformata odpowiedzi jednostkowej K(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:

, ; ,1 1 2 21s 0 n 1 s n 1

2RC−

= = = =

Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując rozkład na ułamki proste formy:

11 21

1s A ARC11 s ss s

2RC2RC

+= +

⎛ ⎞ ++⎜ ⎟⎝ ⎠


Teoria Obwodów 2

lim11A s

s 0=

→

1sRC

s

+⋅

1RC 211s

2RC2RC

= =⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

lim11

1A s1 2RCs2RC

⎛ ⎞= +⎜ ⎟→ − ⎝ ⎠

1sRC

1s s2RC

+⋅⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 12RC RC 2RC 11 1

2RC 2RC

− += = =

Stąd:

( ) ( )L L L1 t1 1 111 21 2RCA A1 1 2 1 1 1 1 1k t 1 e 1 t1 1 12 s 2 s s 2 2s s s

2RC 2RC RC

−− − −

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⋅ + = ⋅ + = + = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + +

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi impulsowej i skokowej za pomocą transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą pełną analizę klasyczną obwodu przy wymuszaniu skokiem jednostkowym (samodzielnie)


Teoria Obwodów 2 Transmitancja charakteryzuje jednoznacznie obwód pomiędzy wejściem a wyjściem, dzięki czemu nie jest konieczna pełna analiza obwodu w metodzie operatorowej, kiedy poruszamy kwestię odpowiedzi na różne wymuszenia. Ad.2. Możliwość wyznaczania odpowiedzi układu na zadane wymuszenie za pomocą transmitancji operatorowej wynika z zapisu całki splotowej w postaci operatorowej:

( ) ( ) ( ){ }L 1y t H s X s−= ⋅ ( ) ( ) ( ){ }L 1y t sK s X s−= ⋅;

Przykład 1: wyznacz odpowiedź układu na zadane wymuszenie ekspotencjalne ( ) ( ) ( )t : 1x t u t e 1 tα−= =


U2(s)U1(s) Z2(s)Z1(s)

WE WYCuc(t)

i(t)

uR(t)WYWE

( ) 1 1H s 1RC sRC

= ⋅+

( )( ) ( ) ( )

?t

1

y t

x t u t e 1 tα−

=

= =

( )11U s

s α=

+


Teoria Obwodów 2

( ) ( ) ( ) ( ){ }L L1 12

1 1 1y t u t H s X s 1RC ssRC

α− −

⎧ ⎫⎪ ⎪

= = ⋅ = ⋅ ⋅⎨ ⎬+⎪ ⎪+⎩ ⎭

Transformata odpowiedzi Y(s) posiada dwa bieguny rzeczywiste pojedyncze:

, ; ,1 1 21s 2n 1 s n 1


RCα= − = = − = .

Odwrotną transformatę znajdziemy wykorzystując metodę residuów:

( ) ( ) ( ){ } ( ){ } ( )st st2

res resy t u t Y s e Y s e 1 t1 ss

RCα

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⋅ + ⋅⎢ ⎥= −= −⎣ ⎦

( ){ }lim

stres

1 1Y s e1 1 RCs s 1sRC RCRC

⋅ = ⋅= − → − ⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

1sRC

s α

⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠+

1 tst RC1 1e e1RCRC

α

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ = ⋅ =⎜ ⎟

− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1t tRC RC1 1e e

1 RC 1 RCα α− −

= = −− + −

Teoria Obwodów 2

( ){ }( )

limstres 1 1Y s e1RCs s s s

RCα α α

⋅ = ⋅= − → − ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )s α⋅ + st t1 1e e1RC

RC

α

α

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ = ⋅

⎛ ⎞⎜ ⎟ − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( )t1 e

1 RCα

α−=

−

Stąd:

( ) ( ) ( ) ( )1 tt RC

21y t u t e e 1 t

1 RCα

α−−

⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

UWAGA: Proszę porównać proces wyznaczania odpowiedzi analizowanego układu za pomocą transmitancji operatorowej z metodą wykorzystującą splot odpowiedzi impulsowej z zadanym wymuszeniem (wykład 05).


Teoria Obwodów 2 Rozwiąż samodzielnie Przykład 2: wyznacz odpowiedź układu na zadane wymuszenie ekspotencjalne ( ) ( ) ( )t : 1x t u t e 1 tα−= =


C

Ru2(t)u1(t)

R


Z1(s)

WE WY

( )( ) ( ) ( )

?t

1

y t

x t u t e 1 tα−

=

= = ( )1s1 RCH s 12 s

2RC

+=

+

( )11U s

s α=

+

Odp:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 tt 2RC

21 RC 1 1y t u t e e 1 t

1 2RC 2 1 2RCαα

α α−−⎡ ⎤−

= = −⎢ ⎥− −⎣ ⎦


Teoria Obwodów 2 1.4 Transmitancja operatorowa a stabilność układu Jednym z ważnych zagadnień dotyczących pracy układów (systemów) jest pojęcie stabilności względem ograniczonego pobudzenia (wymuszania). Jest to stabilność typu BIBO (Bounded Input Bounded Output). Warunkiem koniecznym i wystarczającym stabilności układu liniowego stacjonarnego o stałych współczynnikach (SLS) jest, by odpowiedź tego układu była ograniczona, tzn. przyjmowała postać

( ) ( ) ( )oh t h t tδ= + gdzie:

( )limoh t 0

t=

→ +∞ - układ asymptotycznie stabilny,

( )limoh t 0

t≠ < ∞

→ +∞ - układ na granicy stabilności,

Przy ograniczonym wymuszeniu stabilność systemu jest cechą jedynie systemu i nie zależy od wymuszenia. Podobnie traktowaliśmy odpowiedź impulsową, jako charakterystykę jednoznacznie opisującą dany system, bez znaczenia na rodzaj wymuszenia. W dziedzinie operatorowej rolę podobnej niezależnej charakterystyki systemu pełni transmitancja operatorowa. A zatem podobnie jak istnieją związki pomiędzy charakterem odpowiedzi impulsowej a stabilnością, tak istnieją związki pomiędzy strukturą transmitancji a stabilnością.


Teoria Obwodów 2 W układach SLS transmitancja ma najczęściej postać wielomianu:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) (


)L

1 01

1 2 r1 01

n nn n nn n 1

n n n 1 2 r

Y s sH s

a s a s a s a

m m 1b s b s b s bX s a s s s s s s

−

−

−

+ + += = =

+ + + + − − −

…… …

− +

Warunkiem koniecznym i wystarczającym by układ SLS, o wymiernej transmitancji, był asymptotycznie stabilny w sensie BIBO jest, by wszystkie jego bieguny leżały w lewej półpłaszczyźnie, tzn.

( ){ } ( ){ }st L s st M s≤ 1.

( )kM s 0= { }Re ks 0<; 2. Dla wszystkich biegunów transmitancji tj. Jednym ze sposobów badania stabilności układu jest określenie położenia biegunów transmitancji. Gdyby przyjrzeć się dokładnie rozkładowi transmitancji na ułamki proste możemy wyróżnić kilka szczególnych składników rozkładu. Ich budowa pozwala przewidzieć charakter odpowiedzi impulsowej na podstawie położenia biegunów. Rozważmy pewne szczególne położenia biegunów i związane z nim elementy rozkładu H(s) na ułamki proste w relacji do odpowiedzi impulsowej h(t):

Teoria Obwodów 2

1. Bieguny pojedyncze rzeczywiste w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s Dziedzina operatorowa s Dziedzina czasu t

Element rozkładu H(s) na ułamki proste Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )k kk

cH ss a

=+

( ) ( )at

kh t ce 1 t−= Pojedynczemu biegunowi w lewej półpłaszczyźnie s

Jeśli „a” jest dodatnie wyrażenie generuje biegun leżący na osi rzeczywistej w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s w punkcie s

k=-a odpowiada malejąca wykładniczo funkcja czasu

k=-a

-1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1hk

Im{s}

Re{s}s =-ak


Teoria Obwodów 2

2. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s Dziedzina operatorowa s Dziedzina czasu t


( )( )k k 2 2

k

cH ss σ ω

=+ +

( ) ( ) ( )sintk

ch t e t 1 tα ωω

−= Jeśli „σ ” jest dodatnie wyrażenie generuje bieguny zespolone sprzężone leżące w lewej półpłaszczyźnie zmiennej s : ks jσ ω= − +

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących w lewej półpłaszczyźnie odpowiada tłumiona funkcja sinusoidalna

oraz ks jσ ω= − −

-1 0 1 2 3 4-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8 hk

Im{s}

Re{s}ks jσ ω= − +

ks jσ ω= − −


Teoria Obwodów 2

3. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s Dziedzina operatorowa s Dziedzina czasu t


( )( )k k 2 2

k

cH ss ω

=+

( ) ( ) ( )sinkch t t 1 tωω

= Wyrażenie generuje bieguny zespolone sprzężone leżące na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s w punkcie


ks jω= ks jω= −

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących na osi urojonej odpowiada funkcja sinusoidalna

oraz

-1 0 1 2 3 4

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08hk

Im{s}

Re{s}ks jω=

ks jω= −

Teoria Obwodów 2

4. Bieguny pojedyncze rzeczywiste w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s Dziedzina operatorowa s Dziedzina czasu t


( )k kk

cH ss a

=+

( ) ( )at

kh t ce 1 t−= Pojedynczemu biegunowi w prawej półpłaszczyźnie s

Jeśli „a” jest ujemne wyrażenie generuje biegun leżący na osi rzeczywistej w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s w punkcie s

k=a odpowiada narastająca wykładniczo funkcja czasu

k=a

-1 0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

120

140 hkIm{s}

Re{s}s =ak


Teoria Obwodów 2

5. Bieguny pojedyncze zespolone sprzężone w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s Dziedzina operatorowa s Dziedzina czasu t


( )( )k k 2 2

k

cH ss σ ω

=+ +

( ) ( ) ( )sintk

ch t e t 1 tα ωω

−= Jeśli „σ ” jest ujemne wyrażenie generuje bieguny zespolone sprzężone leżące w prawej półpłaszczyźnie zmiennej s :

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących w prawej półpłaszczyźnie odpowiada narastająca funkcja sinusoidalna ks jσ ω= + oraz

ks jσ ω= −

-1 0 1 2 3 4

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80 hk

Im{s}

Re{s}ks jσ ω= +

ks jσ ω= −


Teoria Obwodów 2

Im{s}

Re{s}

-1 0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

120

140 hk

-1 0 1 2 3 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 hk

Obszar odpowiedziniesinusoidalnej (najczęściej

wykładniczej)malejącej

Obszar odpowiedziniesinusoidalnej (najczęściej

wykładniczej)rosnącej

-1 0 1 2 3 4

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

hk

Obszar odpowiedzisinusoidalnej

-1 0 1 2 3 4

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80 hk

Obszar odpowiedzisinusoidalnej narastającej

-1 0 1 2 3 4-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8 hk

Obszar odpowiedzisinusoidalnej malejącej

BIEGUNY POJEDYNCZE W TYM ZESPOLONE SPRZEŻONE


Teoria Obwodów 2 UWAGA: analiza stabilności obwodu przy biegunach wielokrotnych, lub przy wielomianach mianownika o dużych stopniach, wymaga bardziej zaawansowanych metod np. stosując algebraiczne metody badania stabilności (kryterium Huriwitza, Routha)

Przykład wpływu krotności biegunów na stabilność - bieguny dwukrotne zespolone sprzężone na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s

Dziedzina operatorowa s Dziedzina czasu t Element rozkładu H(s) na ułamki proste Składnik odpowiedzi impulsowej h(t)

( )( )( )k k 22 2

k

1H ss ω

=+

( ) ( ) ( )( ) ( )sin cosk 3

1h t t t t 1 t2

ω ω ωω

= −

Parze biegunów zespolonych sprzężonych leżących na osi urojonej odpowiada funkcja sinusoidalna narastają a

Wyrażenie generuje bieguny zespolone sprzężone dwukrotne leżące na osi urojonej płaszczyzny zmiennej s w punkcie ks jω= oraz

-1 0 1 2 3 4

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02 hk

ks jω= −

Im{s}

Re{s}ks jω=

ks jω= −

2

2


Teoria Obwodów 2


wykład 9 – transformata laplace’a oraz jej wykorzystanie w...

Documents