andrzej leśnicki wprowadzenie do transformaty laplace’a 1 ...andrzej leśnicki wprowadzenie do...

Andrzej Leśnicki Wprowadzenie do transformaty Laplace’a 1/2

LINIOWE UKŁADY Z SYGNAŁAMI PRZYCZYNOWYMI

Wprowadzenie do transformaty Laplace’a

W układzie przyczynowym odpowiedź układu zależy wyłącznie od warunków początkowych w chwili 0t i zachowania się pobudzenia począwszy od chwili 0t . Układ "zapomina" całą dotychczasową "historię". Nie jest zupełnie istotne jak zachowywały się sygnały w układzie do chwili 0t . Nie jest ważne w jaki sposób w układzie doszło do ustalenia się określonych warunków początkowych i jak zachowywało się pobudzenie. Dla przyszłych zachowań sygnału w układzie jest istotne wyłącznie jakie są warunki początkowe i jak będzie zachowywało się pobudzenie. Zachodzi tu pełna analogia do systemów niezdeterminowanych z procesami Markowa i do systemów optymalnego sterowania. Jeżeli układ jest liniowy, to odpowiedź jest sumą (złożeniem, superpozycją) składowej przejściowej )(ty p i składowej ustalonej )(tyu

)()()()()()()()( tytytytytytytyty wsupwsup Jeżeli w układzie pobudzenie jest zerowe 0)( tx , to odpowiedź zawiera wyłącznie tą część składowej przejściowej )(ty p , która nazywa się odpowiedzią swobodną (własną) )(ty s i pochodzi od niezerowych warunków początkowych. Jeżeli w układzie warunki początkowe są zerowe (wszelkie zmiany sygnałów pochodzą wyłącznie od niezerowego pobudzenia 0)( tx ), to odpowiedź układu nazywa się odpowiedzią wymuszoną i jest sumą składowej przejściowej pochodzącej od pobudzenia i składowej stanu ustalonego )()()( tytyty upww . Tak więc odpowiedź układu można też interpretować jako sumę (złożenie, superpozycję) odpowiedzi swobodnej i odpowiedzi wymuszonej. W układzie (także i nieliniowym) zawsze można tak dobrać warunki początkowe, aby składowe )(ty s i )(ty pw zniosły się, a tym samym aby wyzerowała się składowa przejściowa 0)( ty p . W takim układzie wystąpi już od chwili 0t wyłącznie odpowiedź stanu ustalonego )()( tyty u .

)(tx )(ty

0dla,0)(,)( ttxtx

0 0tt

0dla,0)(,)( ttyty

Przyczynowy sygnał pobudzenia Przyczynowy sygnał odpowiedzi

Przyczynowy układ liniowy z niezerowymi warunkami początkowymi

Stan nieustalony Stan ustalony

Andrzej Leśnicki Wprowadzenie do transformaty Laplace’a 2/2

Schemat postępowania przy analizie układu metodą: a) klasyczną; b) operatorową

a)

b)

Fizyczny układ

skupiony liniowy stały w czasie

Fizyczny układ

skupiony liniowy stały w czasie

Rozwiązanie

Rozwiązanie

ty

ty

Rozwiązanie operatorowe

sY

Schemat zastępczy

układu

Operatorowy schemat

zastępczy układu

Model matematyczny: równania różniczkowe

liniowe o stałych współczynnikach

z zadanymi warunkami początkowymi

Model matematyczny:

równania algebraiczne ze stałymi

współczynnikami

Andrzej Leśnicki Warunki komutacji 1/2

Warunki komutacji Z chwilą rozpoczęcia obserwacji sygnałów w układzie dokonuje się komutacja (z języka łacińskiego komutacja oznacza zmianę).

Idealne klucze i skok wartości sygnału spowodowany przełączeniem klucza Zakłada się, że w idealnym kluczu nie występuje zjawisko łuku elektrycznego (przeskoku iskry). Łuk elektryczny pojawia się w pewnych okolicznościach między zestykami rzeczywistego klucza i oznacza promieniowanie energii fal elektromagnetycznych. W teorio-obwodowym modelu klucza to zjawisko musi być wykluczone, gdyż przeczyłoby założeniu o quasi-stacjonarności, dzięki któremu są słuszne prawa Kirchhoffa. Przełączanie kluczy może spowodować skoki w przebiegach sygnałów. Granicę lewostronną

)0( x nazywa się warunkiem początkowym, granicę prawostronną )0( x wartością początkową, a funkcja )(tx ma wówczas w punkcie 0t nieciągłość I-go rodzaju. Nie wszędzie skokowa zmiana sygnału jest dopuszczalna i wówczas warunek początkowy jest tożsamy z wartością początkową. Z zasady ciągłości strumienia magnetycznego skojarzonego wynika, że dla strumienia każdego induktora i prądu induktora liniowego, stacjonarnego warunek początkowy jest tożsamy z wartością początkową )0()0( , )0()0( LL LiLi , 0)0()0( LLL iii

Energia jest całką z mocy chwilowej, zmienia się w sposób ciągły, a więc jest ciągła w induktorze także w chwili 0t

)0(21)0()0(

21)0( LiWLiW LL

Z zasady ciągłości ładunku elektrycznego wynika, że dla ładunku każdego kondensatora i napięcia kondensatora liniowego, stacjonarnego warunek początkowy jest tożsamy z wartością początkową )0()0( qq , )0()0( CC CvCv , 0)0()0( CCC vvv

Energia jest całką z mocy chwilowej, zmienia się w sposób ciągły, a więc jest ciągła w kondensatorze także w chwili 0t

)0(21)0()0(

21)0( CvWCvW CC

0t 0t 0t

t0

)(tx

)0( x

)0( x

a) b) Wartość początkowa Warunek

początkowy

Andrzej Leśnicki Warunki komutacji 2/2

Były to prawa komutacji. Określają one warunki początkowe, przy których rozwiązuje się równania różniczkowe opisujące układ elektroniczny. Rozpoczynając analizę układu należy nie tylko ułożyć równania różniczkowe opisujące układ, ale też określić warunki początkowe. Podaje się tyle warunków początkowych, ile jest w układzie niezależnych induktorów i kondensatorów.

Przykłady zależnych kondensatorów i induktorów

1C 2C

)(tea) b) )(tj

1L

2L

Andrzej Leśnicki Metoda klasyczna analizy 1/5

Metoda klasyczna analizy

)()0(d1

dd

0

tevtiCt

iLRit

C

)()0(d1

dd

0

tjitvLt

vCGvt

L

)()(d

)(dd

)(dd

)(d011

1

1

n

tftyattya

ttya

ttya n

n

nnn

, 0t

Równanie rozwiązujemy dla 0t przy zadanych warunkach początkowych 0,,0,0 11 nyyy .

Na początku poszukuje się rozwiązania ogólnego równania jednorodnego ( 0)( tf )

0)(d

)(dd

)(dd

)(d011

1

1

n

tyattya

ttya

ttya n

n

nnn

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (odpowiedź swobodna układu) jest kombinacją liniową n liniowo niezależnych rozwiązań podstawowych (modów) )(tyi )()()()( 211 tyCtyCtyCty nnn gdzie iC są stałymi całkowania. Aby wyznaczyć rozwiązania podstawowe należy rozwiązać równanie charakterystyczne 0)( 01

11

asasasasM

nn

nn

będące przyrównaniem do zera wielomianu charakterystycznego równania różniczkowego. Równanie charakterystyczne ma n pierwiastków nazywanych wartościami własnymi lub częstotliwościami własnymi. Jeżeli pierwiastek is jest pojedynczy, to w równaniu charakterystycznym istnieje czynnik )( iss i rozwiązanie podstawowe (mod) ma postać tsi iety )( Jeżeli pierwiastek is jest k-krotny, to w równaniu charakterystycznym istnieje czynnik

kiss )( i k rozwiązań podstawowych (modów) ma postać

tskkits

its

iiii ettytetyety 111 )(,,)(,)(


Znając rozwiązanie ogólne równania jednorodnego można przystąpić do wyznaczenia rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania. Poszukiwane jest rozwiązanie ogólne o postaci )()()()()()()( 2211 tytCtytCtytCty nn Pierwsze pochodne uzmiennionych stałych )(tCi wyznacza się z układu równań liniowych przyjmujących w zapisie macierzowym postać

nn

nn

nn

n

n

atftC

tCtC

yyy

yyyyyy

/)(

00

)(

)()(

2

1

)1()1(2

)1(1

21

21

W powyższym równaniu macierz kwadratowa z rozwiązaniami podstawowymi i ich pochodnymi nazywa się macierzą Wrońskiego, a jej wyznacznik wrońskianem. Rozwiązanie równania macierzowego istnieje ponieważ dowodzi się, że rozwiązania podstawowe są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wrońskian jest różny od zera. Całkując wyznaczone pochodne )(tCi otrzymuje się poszukiwane uzmiennione stałe )(tCi , a tym samym rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Przy całkowaniu pochodnych

)(tCi pojawiają się stałe całkowania, których wartości oblicza się wykorzystując znane z założenia warunki początkowe równania różniczkowego. Przykład 42. Rozwiążemy równanie różniczkowe tetytyty 65 12 , 0t , 00 y , 101 y Równanie charakterystyczne 0652 ss ma dwa rozwiązania 21 s , 32 s , skąd rozwiązanie równania jednorodnego ma postać tt eCeCty 3221 a rozwiązanie równania niejednorodnego ma następującą postać z uzmiennionymi stałymi tt etCetCty 3221 Pierwsze pochodne uzmiennionych stałych wyznaczamy z układu równań

ttt

tt

etCtC

eeee 032 2

132

32

i mamy tetC 1 , tetC 22 skąd po całkowaniu

AetC t 1 , BetC t 22 21

Podstawiając te uzmiennione stałe mamy

ttt BeAeety 3221)(


gdzie stałe A , B wyznaczamy z warunków początkowych

132210

0210

1

BAy

BAy

Ponieważ stałe mają wartości 0A , 21

B , to poszukiwane rozwiązanie jest następujące

tt eety 321

21 , dla 0t

Przykład 43. Układ pierwszego rzędu ma jeden element L lub C i jest opisany równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

0I R C

0t

?)( tv

0)0()0( vv

?)( ti

W układzie do chwili czasu 0t prąd nie płynie i z prawa komutacji dla kondensatora

0)0()0( vv (warunek początkowy jest zerowy). W chwili czasu 0t zostaje podłączone źródło prądu stałego o wydajności I0 i rozpoczyna się obserwacja sygnałów )(tv i )(ti . Równanie opisujące układ

0)(

d)(d I

Rtv

ttvC , dla 0t

Równanie jednorodne

0)(d

)(d

Rtv

ttvC

ma równanie charakterystyczne

01 R

Cs

z jednym pierwiastkiem

11

1 RCs

gdzie RC jest stałą czasową układu. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać

t

ts eCeCtv

11 1)( , dla 0t Znając rozwiązanie ogólne równania jednorodnego można przystąpić do poszukiwania rozwiązania równania niejednorodnego. Po uzmiennieniu stałej

t

etCtv

)()( 1


podstawiając do równania Wrońskiego mamy zależność na pierwszą pochodną uzmiennionej stałej

CItCe

t0

1 )(

skąd po scałkowaniu

AeRItCt

01 )( gdzie A jest stałą całkowania. Po podstawieniu tej uzmiennionej stałej do rozwiązania mamy

t

AeRItv

0)( Wartość stałej całkowania A obliczamy z warunku początkowego ARIv 00)0( 0RIA Ostatecznie

t

tvtv

t

eRIRIeRItvup

1)( 0)(

0

)(

0 , dla 0t

Rozwiązanie )(tv ma składową przejściową )(tv p zanikającą do zera przy t (układ jest asymptotycznie stabilny) i składową stanu ustalonego )(tvu . Napięcie kondensatora )(tv jest funkcją rosnącą, zbliżającą się asymptotycznie do wartości stałej 0RI . Z kolei prąd kondensatora )(ti

t

eIttvCti

0d

)(d)( , dla 0t

jest funkcją malejącą wykładniczo, zbliżającą się asymptotycznie do zera. Wykładnicze zanikanie procesów przejściowych ze stałą czasową jest charakterystyczne dla asymptotycznie stabilnych układów pierwszego rzędu. Procesy te zanikają praktycznie już po czasie 5 (z dokładnością 51 e , tj. 0,67 %). Obserwując procesy przejściowe na ekranie oscyloskopu można określić wartość stałej czasowej . Stosuje się trzy metody wyznaczania stałej czasowej układu pierwszego rzędu. a) Metoda stycznej. Należy wykreślić styczną do wykresu w punkcie 0t . Na rysunku

wykreślono te styczne i podano ich równania. Jak widać, styczne przecinają asymptoty w chwilach czasu odpowiadających stałym czasowym t .

t t0 0

0RI 0I

)(tv )(titRI

0

t

II

0

0

b)a)

Wyznaczanie wartości stałej czasowej metodą stycznej


b) Metoda 37 % .

t0

0RI)(tva)

t0

0I)(tib)

%37

%63

eRI /110 %63

%37eI /0

Wyznaczanie wartości stałej czasowej metodą 37 % c) Metoda 3/8 . Metoda ta sprowadza się do podania bardzo dogodnego graficznego

sposobu wyznaczania wartości %37 długości odcinka. Zachodzi następujące przybliżenie

831

e

(z dokładnością %2 ). Każdy odcinek bardzo łatwo jest podzielić na osiem

równych części metodą dychotomiczną (poprzez trzykrotny podział przez 2). Jeżeli odcinek jest podzielony na osiem równych części, to 3 części stanowią %37 całego odcinka.

t0

0RI)(tva)

t0

0I)(tib)

Wyznaczanie wartości stałej czasowej metodą 3/8

Andrzej Leśnicki Stabilność układu 1/5

Stabilność układu

O O

O

AS S

Na) b) c)

Interpretacja mechaniczna pojęcia stabilności

t

ty

0 t

022

AS

S

N

Interpretacja graficzna stabilności, niestabilności i asymptotycznej stabilności Definicja stabilności w sensie Lapunowa. Jeżeli dla każdego 0 istnieje takie 0 , że dla wszystkich rozwiązań ty , dla których 00y , zachodzi nierówność tty dla 0t , to rozwiązanie t jest stabilne (S). W przeciwnym razie

rozwiązanie jest niestabilne (N). Jeżeli rozwiązanie stabilne ma dodatkowo właściwość 0lim

tty

t , to jest asymptotycznie stabilne (AS). Rozwiązanie, które jest stabilne, ale

nie jest asymptotycznie stabilne, jest granicznie stabilne (GS).


Układ SLS z zerowym pobudzeniem 0)( tx (autonomiczny) jest opisany jednorodnym liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym o stałych współczynnikach

0)(d

)(dd

)(dd

)(d011

1

1

n

tyattya

ttya

ttya n

n

nnn

i przy niezerowych warunkach początkowych ma odpowiedź swobodną o postaci )()()()( 211 tyCtyCtyCty nnn gdzie rozwiązania podstawowe (mody) )(tyi zależą od pierwiastków (wartości własnych) is równania charakterystycznego 0)( 01

11

asasasasM

nn

nn

i dla pierwiastków pojedynczych mają postać tsi iety )( a dla pierwiastków k-krotnych tskki

tsi

tsi

iii ettytetyety 111 )(,,)(,)(

Aby zbadać stabilność układu należy zbadać zachowanie się rozwiązań podstawowych przy t .

Kształty rozwiązań podstawowych w zależności od położenia pierwiastków wielomianu charakterystycznego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej Z powyższych rozważań wynika, że stabilność układu SLS można zbadać w następujący sposób.

0

00

0 0

0 0

0

00

0

0

0

0

t

t

tt

t

tt

tt

t

t

tt

t

t

2t

tete

tte tte

0

j js 0, LP 0, PP

2

3

1

1

1

2

12

3

2

1

2

1

2


Należy wyznaczyć równanie charakterystyczne układu i obliczyć jego pierwiastki. Stabilność układu zależy od położenia pierwiastków (wartości własnych) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej: a) Jeżeli wszystkie pierwiastki leżą na lewej półpłaszczyźnie, to układ jest asymptotycznie

stabilny (AS). b) Jeżeli nie ma pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie i pierwiastki na osi urojonej są

pojedyncze, to układ jest stabilny (S). c) Jeżeli chociaż jeden pierwiastek leży na prawej półpłaszczyźnie lub chociaż jeden

pierwiastek na osi urojonej jest wielokrotny, to układ jest niestabilny (N). d) Jeżeli nie ma pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, nie ma pierwiastków

wielokrotnych na osi urojonej, istnieje przynajmniej jeden pojedynczy pierwiastek na osi urojonej, to układ jest granicznie stabilny (GS).

Przykład 44. Pewien układ ma następujące równanie charakterystyczne 01234525948268)( 234567 ssssssssM Nie ma pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, a pierwiastki na osi urojonej są pojedyncze, a więc układ jest granicznie stabilny (GS).

Pierwiastki równania charakterystycznego Inny układ ma równanie charakterystyczne 010833)( 2345 ssssssM o pięciu pierwiastkach zaznaczonych krzyżykami na rys. Istnieją dwa pierwiastki leżące na prawej półpłaszczyźnie, a więc układ jest niestabilny (N).

Pierwiastki równania charakterystycznego

j

j

j

123

» roots([1,8,26,48,59,52,34,12])

ans =

-3.0000 -2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -1.0000

0

» roots([1,3,1,-3,8,10])

ans =

-2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -1.0000

jj

j

112 0


Algebraiczne kryterium stabilności Routha-Hurwitza pozwala zbadać stabilność układu bez potrzeby obliczania pierwiastków równania charakterystycznego. Równanie charakterystyczne układu 0)( 01

11

asasasasM

nn

nn

można zapisać następująco (po rozłożeniu na czynniki) 0)())(()( 21 nn ssssssasM Współczynniki ia wielomianu są rzeczywiste i będziemy zakładali, że 0na (gdyby 0na , to wystarczy pomnożyć obie strony równania razy -1) oraz 00 a (gdyby 00 a , to istnieje pierwiastek w początku układu współrzędnych 0is i łatwo jest go wyłączyć z dalszych obliczeń). Mnożąc czynniki w drugim równaniu i przyrównując współczynniki w otrzymanym wielomianie do współczynników wielomianu w równaniu charakterystycznym otrzymujemy układ równań

nn

n

nnn

n

n

n

sssa

a

ssssssssssa

a

sssaa

211

1423231212

2210 1

z którego wyprowadza się następujące wnioski: a) jeżeli współczynniki wielomianu ia są rzeczywiste, to pierwiastki is są albo czysto

rzeczywiste, albo parami zespolone sprzężone; b) jeżeli wszystkie pierwiastki is mają części rzeczywiste ujemne, to wszystkie

współczynniki ia wielomianu są dodatnie. Wynika stąd, że warunkiem koniecznym asymptotycznej stabilności układu jest, aby wszystkie współczynniki wielomianu były dodatnie 0,,0,0 10 naaa Żaden współczynnik ia nie może być ani ujemny, ani równy zeru. Ten warunek konieczny jest zarazem warunkiem dostatecznym dla układów do rzędu drugiego ( 2n ) włącznie. Dla układów rzędu wyższego niż dwa trzeba prowadzić dalsze badania tworząc tablicę Routha.


Tablica Routha ma następującą postać

000000

0

1

22

33

444

222

1111

AA

BABA

CBA

CBADCBADCBA

nnn

nnnn

nnnn

gdzie poszczególne elementy są wpisywane według poniższych zasad. W początkowych dwóch wierszach wpisuje się co drugi współczynnik wielomianu

513111

42

nnnnnn

nnnnnn

aCaBaAaCaBaA

W trzecim wierszu wpisuje się elementy (zależą one od elementów z dwóch wierszy leżących powyżej) według następującego schematu

itd.,1

,1

1

11

1112

1

11

1112

n

nnnn

nn

nn

nn

n

nnnn

nn

nn

nn

ACACA

CACA

AB

ABABA

BABA

AA

W czwartym wierszu wpisuje się elementy (zależą one od elementów z dwóch wierszy leżących powyżej) według tego samego schematu

itd.,1

,1

2

2112

22

11

23

2

2112

22

11

23

n

nnnn

nn

nn

nn

n

nnnn

nn

nn

nn

ACACA

CACA

AB

ABABA

BABA

AA

Kontynuując to postępowanie wypełnia się całą tablicę, aż do ostatnich dwóch jednoelementowych wierszy 01 , AA . Można wykazać, że przy bezbłędnym wykonaniu obliczeń każda obliczona kolumna kończy się elementem 0a . W tablicy Routha pierwsza kolumna ma 1n elementów 021 ,,,, AAAA nnn i nazywa się szeregiem Routha. Cała tablica Routha została ułożona po to, aby uzyskać szereg Routha, gdyż od jego właściwości zależy rozkład pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej: a) Jeżeli elementy szeregu Routha zmieniają znak, to liczba pierwiastków leżących na prawej

półpłaszczyźnie równa się liczbie zmian znaku elementów w szeregu Routha. b) Warunkiem koniecznym i dostatecznym asymptotycznej stabilności obwodu (tzn. tego, aby

wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczywiste - leżały na lewej półpłaszczyźnie) jest, aby każdy z 1n elementów 021 ,,,, AAAA nnn szeregu Routha był dodatni

0,,0,0,0 021 AAAA nnn Przykład 45

Andrzej Leśnicki Jednostronne przekształcenir Laplace’a 1/2

Jednostronne przekształcenie Laplace'a Rachunek operatorowy jest działem matematyki zajmującym się badaniem operatorów. Parę oryginał-transformata oznacza się następująco )()( sXtx . Prostym jednostronnym przekształceniem Laplace'a (transformatą Laplace'a) nazywamy przyporządkowanie danemu sygnałowi tx zmiennej rzeczywistej t , funkcji sX zmiennej zespolonej js według zależności

)(sX L )(tx

0

d)( tetx st

Zakłada się istnienie powyższej całki (nazywanej całką Laplace'a) na pewnej półpłaszczyźnie

sRe . Najmniejszą wartość spełniającą tą nierówność nazywa się odciętą zbieżności 0 , a obszar 0Re s nazywa się obszarem zbieżności. W obszarze zbieżności transformata sX jest holomorficzna (ma pochodne) i ma właściwość zerowania się w nieskończoności 0)(lim

sX

s. Funkcja ste pod całką nazywa się jądrem przekształcenia

całkowego. W zmiennej zespolonej js część rzeczywista ma wymiar w neperach na sekundę, a część urojona ma wymiar w radianach na sekundę. Przekształcenie nazywa się jednostronnym, gdyż dolna granica całkowania równa się 0 . Nie jest istotne zachowanie się sygnału tx dla 0t . Jeżeli nawet sygnał tx różnił się od zera w tym przedziale, to został on przez jednostronne przekształcenie całkowe "obcięty" i przekształcony w sygnał przyczynowy. W literaturze matematycznej podaje się różne zestawy warunków dostatecznych istnienia transformaty sX . Zostanie przytoczony jeden z takich zestawów. Warunki dostateczne istnienia transformaty sX sygnału tx są następujące: - sygnał tx jest funkcją prawie wszędzie ciągłą w przedziale t0 i przedział ten

można podzielić na skończoną liczbę przedziałów ),( 21 tt , wewnątrz których funkcja )(tx jest monotoniczna i ograniczona (są to warunki Dirichleta) ;

- sygnał )(tx jest funkcją rzędu wykładniczego (jej wartość bezwzględna rośnie nie szybciej niż funkcja wykładnicza), tzn. istnieją takie liczby rzeczywiste M , a , 0t , że dla każdego 0tt jest spełniona nierówność

atMetx )(

Andrzej Leśnicki Jednostronne przekształcenir Laplace’a 2/2

Jeżeli X(s) = L[x(t)] , to odwrotne przekształcenie Laplace'a jest określone wzorem Riemanna-Mellina

)(tx L-1 )(sX sti ss

jc

jc

st esXressesXj i

d)(21

w każdym punkcie 0t , w którym )(tx jest funkcją ciągłą, zaś w punktach nieciągłości I-go rodzaju funkcji )(tx dla 0t zachodzi równość

2

)0()0(d)(21

txtxsesXj

jc

jc

st

Linia całkowania musi przebiegać w obszarze zbieżności, czyli występująca w granicach całkowania liczba rzeczywista c spełnia relację 0c .

Andrzej Leśnicki Transformaty Laplace’a sygnałów 1/2

Transformaty Laplace'a sygnałów

Przyczynowe sygnały: a) skok jednostkowy; b) sygnał wykładniczy; c) sygnał liniowy (rampa) Transformata Laplace'a skoku jednostkowego tutx obliczona z zależności definicyjnej

s

es

tetusX stst 11d)()(00

, dla Re s > 0 Transformata Laplace'a sygnału wykładniczego atetutx )(

asaseteesX

tasstat

1d)(00

, dla Re s > -Re a

Jeżeli 0a , to sygnał wykładniczy atetu )( zmierza do skoku jednostkowego )(tu i tak jest też z transformatami tych sygnałów. Transformata Laplace'a sygnału liniowego wyzerowanego dla czasu ujemnego ttutx )(

200

2

111d)(s

es

tes

ttesX ststst

, dla Re s > 0

przy czym całkę Laplace'a obliczono całkując przez części, wzwzzw dd . Transformata Laplace'a impulsu jednostkowego ttx

10

00

dtetdtetsX stst

W definicji całki Laplace'a dolna granica całkowania równa się zeru. Jeżeli sygnał tx jest funkcją, to nie ma znaczenia, czy dolna granica całkowania to 0 , czy 0 . Jeżeli sygnał tx nie jest funkcją, ale zawiera dystrybucję, deltę Diraca lub jej pochodne w początku układu współrzędnych, to należy przyjąć jako dolną granicę całkowania 0 , aby objąć początek układu współrzędnych.

0 0t t

1 1)()( tutx 0,)()( aetutx at

a) b)

0 t

c)ttutx )()(

Andrzej Leśnicki Transformaty Laplace’a sygnałów 2/2

Obliczając transformaty Laplace'a można wspomagać się funkcjami analizy symbolicznej MATLABa, np.: >> syms x X a b t s >> x=exp(-a*t)*sin(b*t); >> X=laplace(x) X = b/((s+a)^2+b^2) >> pretty(X) b ------------- 2 2 (s + a) + b >> simplify(X) ans = b/(s^2+2*s*a+a^2+b^2) >> ilaplace(1/(s+a)) ans = exp(-a*t) Transformaty Laplace'a sygnałów

)(tx L-1 )(sX )(sX L )(tx Obszar zbieżności )(tu

s1

Re s >0

atetu as

1 Re s > - Re a

ttu 2

1s

Re s >0

nttu 1

!ns

n Re s > 0

ttu 0sin 20

20

s

Re s > 0

ttu 0cos 20

2 ss

Re s >0

tetu at 0sin 202

0

as

Re s > - Re a

tetu at 0cos 202

as

as Re s > - Re a

)(t 1 )()( tn ns s

Jeżeli sygnał jest funkcją, to jego transformata ma właściwość zerowania się w nieskończoności 0)(lim

sX

s. Właściwości tej nie mają transformaty sygnałów

zawierających dystrybucje (pseudofunkcje) t .

Andrzej Leśnicki Właściwości przekształcenia Laplace’a 1/5

Właściwości przekształcenia Laplace'a 1. Liniowość Jeżeli L )()( 11 sXtx oraz L )()( 22 sXtx , to z definicji przekształcenia Laplace'a wynika, że L )()()()( 2121 sbXsaXtbxtax Przykład 46. Sygnał rampy )(tr można przedstawić jako sumę dwóch funkcji liniowych.

0

0

T

T

t

tA

)(trTtAtu )(

TTtATtu )(

b)a)

Dlatego transformata sygnału rampy jest sumą transformat dwóch funkcji liniowych

)(sR L 22211)()(

se

TA

se

TA

sTA

TTtATtu

TtAtu

sTsT

2. Opóźnienie w czasie Jeżeli L )()( sXtx z odciętą zbieżności 0 , to dla 00 t L )()()( 000 sXettxttu st Odcięta zbieżności pozostaje bez zmian. 3. Przesunięcie w dziedzinie s Jeżeli L )()( sXtx z odciętą zbieżności 0 , to dla dowolnej liczby zespolonej a mamy L )()( asXtxe at przy czym odcięta zbieżności przesunie się do wartości aRe0 . 4. Zmiana skali Jeżeli L )()( sXtx z odciętą zbieżności 0 , to dla liczby rzeczywistej 0a zachodzi równość

L

asX

aatx 1)(

Odcięta zbieżności przyjmie wartość a/0 . Właściwość ta ma następującą interpretację: jeśli sygnał zostanie "rozciągnięty" a-krotnie w dziedzinie czasu t , to jego transformata zostanie "ściśnięta" a-krotnie w dziedzinie s .


5a. Transformata pierwszej pochodnej Jeżeli sygnał )(tx ma dla 0t pochodną )(tx (zwykłą lub dystrybucyjną) i istnieje transformata pochodnej L )(tx , to między transformatą pochodnej funkcji, transformatą funkcji i granicą funkcji w zerze zachodzi związek L )(tx = )0()( xssX 5b. Transformata n-tej pochodnej Powyższa zależność uogólniona na przypadek n-tej pochodnej ma postać

L

1

0

)(1)( )0()()(n

k

kknnn xssXstx

Czynnik s w dziedzinie zmiennej zespolonej s nazywa się operatorem różniczkowania, gdyż każdorazowe pomnożenie razy s transformaty )(sX jest równoważne jednokrotnemu różniczkowaniu w dziedzinie czasu sygnału tx . Przykład 47 6. Pochodna transformaty Jeżeli L )()( sXtx , to

ssX

d)(d

L )(ttx Uogólnienie tej zależności na przypadek n-tej pochodnej jest następujące

nn

ssX

d)(d

L )(1 txt nn 7a. Transformata całki oznaczonej Jeżeli L )()( sXtx , to

LssXx

t )(d)(0

7b. Transformata n-krotnej całki oznaczonej Zależność dla jednokrotnej całki oznaczonej może być uogólniona na przypadek n-krotnej całki oznaczonej

L

t n

x0 0 0

n211

2

ddd)(

L n

t n

ssXx

nt )(d)(

!10

1

Czynnik s/1 w dziedzinie zmiennej zespolonej s nazywa się operatorem całkowania, gdyż każdorazowe podzielenie transformaty )(sX przez s jest równoważne jednokrotnemu całkowaniu w dziedzinie czasu.


8. Całka transformaty Jeżeli L )()( sXtx , to

s

ssX d)( L

ttx )(

Uogólnienie powyższej zależności na przypadek n-krotnego całkowania jest następujące

s s sn

n

ssX2

ddsds)( 211 L

nttx )(

9. Twierdzenia o wartościach granicznych Jeżeli sygnał )(tx i jego pierwsza pochodna mają transformaty Laplace'a i istnieje granica

)()(lim

xtxt

, to zachodzi równość

)()(lim0

xssXs

Zależności tej nie można wykorzystywać do badania stabilności (badania zachowania się sygnału w nieskończoności), gdyż w tym twierdzeniu granica x istnieje z założenia.

Jeżeli sygnał )(tx i jego pierwsza pochodna mają transformaty Laplace'a i istnieje granica

)0()(lim0

xtx

t, to zachodzi równość

)0()(lim

xssXs

10. Transformata przyczynowego sygnału okresowego Jeżeli przyczynowy sygnał )(tx składa się z powtarzającego się na dodatniej półosi czasu z okresem T sygnału )(txT , to

sTT

esXsX

1

)()(

0 0t tT T

A A

T2

)(txT)(txT

2T

)(txa) b)

Przykład przyczynowej funkcji okresowej


11. Twierdzenie Borela Operacja splotu jest zdefiniowana jako następująca całka splotowa

txtxtxtxtxxtxxtt

12210

120

21 )()()(d)()(d)()( Operację splotu oznacza się skrótowo symbolem gwiazdki " " . Splatanie jest przemienne

1221 xxxx , łączne 321321 xxxxxx , rozdzielne względem dodawania 3121321 xxxxxxx . Sygnałem niezmienności splotu jest delta Diraca

txttx . Zachodzą też właściwości: txttx nn , ttt , ttt nmnm .

Zgodnie z twierdzeniem Borela transformata splotu równa się iloczynowi transformat

L )()(d)()( 210

21 sXsXtxxt

Przykład 48 12.Transformata całki Duhamela Całka Duhamela jest zdefiniowana jako pierwsza pochodna całki splotowej

tt

txxxtxtxxt 0

2120

121 d)()()0()(d)()(dd

Transformata Laplace'a całki Duhamela równa się iloczynowi zmiennej s i transformat Laplace'a oryginałów

L )()(d)()(dd

210

21 sXssXttxxt

t

13. Splot w dziedzinie s Splot w dziedzinie zmiennej zespolonej s jest zdefiniowany następująco

zzsXzXj

sXsXj

jc

jc

d)()(21)()(

21

2121

gdzie c jest nie mniejsze od sumy odciętych zbieżności oryginałów )(1 tx i )(2 tx . Splot w dziedzinie s równa się transformacie Laplace'a iloczynu oryginałów

)()(21

21 sXsXj L


Właściwości przekształcenia Laplace'a Lp. Nazwa właściwości Właściwość 1 Liniowość L )()()()( 2121 sbXsaXtbxtax 2 Opóźnienie w czasie L )()()( 000 sXettxttu st 3 Przesunięcie w dziedzinie s L )()( asXtxe at 4 Zmiana skali

L

asX

aatx 1)( , 0a

5 Transformata pochodnej L )0()()( xssXtx

L

1

0

)(1)( )0()()(n

k

kknnn xssXstx

6 Pochodna transformaty

ssX

d)(d

L )(ttx , nn

ssX

d)(d

L )(1 txt nn 7 Transformata całki oznaczonej

LssXx

t )(d)(0

L nt

n ssXx

n )(ddd)(0 0 0

211

2

8 Całka transformaty

s

ssX d)( L

ttx )(

9 Twierdzenia o wartościach granicznych

)(lim0

ssXs

)(x

)0()(lim

xssXs

10 Transformata przyczynowej funkcji okresowej sT

T

esXsX

1

)()(

11 Twierdzenie Borela L )()(d)()( 21

021 sXsXtxx

t

12 Transformata całki Duhamela L )()(d)()(

dd

210

21 sXssXtxxt

t

13 Splot w dziedzinie s

jc

jc

zzsXzXj

sXsXj

d)()(21)()(

21

2121

= L )()( 21 txtx

Andrzej Leśnicki Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych 1/2

Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych

)(tx )(tySygnał wejściowy (pobudzenie) Sygnał wyjściowy

(odpowiedź) Układ SLS

Układ SLS, jest opisany równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu o stałych współczynnikach

)()()()()()( 0)1(

1)(

0)1(

1)( txbtxbtxbtyatyatya mm

mm

nn

nn

Równanie różniczkowe zostanie rozwiązane metodą operatorową. W tym celu należy dokonać przekształcenia Laplace'a obu stron równania

)0()0()0()(

)0()0()0()(

12

11)2(

1)1(

01

1

12

11)2(

1)1(

01

1

xbsbsbxbsbxbsXbsbsb

yasasayasayasYasasa

mm

mm

mmm

mm

mm

mm

nn

nn

nnn

nn

nn

nn

Zastosowanie przekształcenia Laplace'a spowodowało, że trudne do rozwiązania równanie różniczkowe zostało przekształcone w łatwiejsze do rozwiązania równanie algebraiczne. Rozwiązanie równania algebraicznego ma następującą postać

)()()(0

11

01

1 sWsXasasabsbsb

sY nn

nn

mm

mm

Funkcja )(sW jest funkcją wymierną zależną od warunków początkowych. Jeżeli wszystkie warunki początkowe są zerowe 0)0()0()0( )2()1( yyy nn i pobudzenie jest przyczynowe ( 0)( tx , 0 dla t ), to 0)( sW . Współczynnik przy transformacie pobudzenia )(sX jest funkcją wymierną oznaczaną symbolem )(sH

0

11

01

1

0)( )()(

)()()(

asasabsbsb

sMsL

sXsYsH n

nn

n

mm

mm

sW

i nazywa się transmitancją (operatorową) układu. Wielomian mianownika )(sM pokrywa się z wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego opisującego układ pod warunkiem, że wielomiany licznika i mianownika nie mają wspólnych, upraszczających się czynników (układ jest sterowalny i obserwowalny). Transmitancja doskonale charakteryzuje układ z zerowymi warunkami początkowymi i pobudzeniem przyczynowym. W takim układzie, aby obliczyć odpowiedź w dziedzinie zmiennej s, wystarczy pomnożyć transmitancję przez transformatę Laplace'a pobudzenia

)()()( sXsHsY

Andrzej Leśnicki Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych 2/2

Transmitancja jest funkcją zespoloną argumentu zespolonego. Nie wykreśla się tej funkcji, ale podaje rozkład zer i biegunów. Dla wprawnego inżyniera rozkład zer i biegunów mówi bardzo wiele o właściwościach układu. Na rysunkach położenie zer zaznacza się kółeczkami, a położenie biegunów krzyżykami. Zera iz są pierwiastkami wielomianu licznika )(sL , a bieguny ip są pierwiastkami wielomianu mianownika )(sM

)())(()())(()(

21

21

nn

mm

pspspsazszszsbsH

Rozkład zer i biegunów określa transmitancję z dokładnością do stałego współczynnika nm ab . Zarówno zera jak i bieguny mogą być jednokrotne lub wielokrotne. Ponieważ

współczynniki wielomianów są rzeczywiste, to zera i bieguny są albo rzeczywiste, albo parami zespolone sprzężone. Bieguny są równoważne pierwiastkom równania charakterystycznego i ich położenie decyduje o stabilności AS, S, GS, N. Obszar zbieżności transformaty nie może zawierać biegunów. Przykładowo transmitancja )1/()( 0 ssHsH ma pojedyncze zero w zerze 01 z i pojedynczy biegun 11 p (narysowano je kółkiem i krzyżykiem). Moduł tej transmitancji można wykreślić za pomocą programu MATLAB. Jak widać transmitancja zeruje się w zerze i zmierza do nieskończoności w biegunie.

[Res,Ims]=meshgrid(-2:.1:0.5,-2:.1:2);a=sqrt(Res.^2+Ims.^2);b=sqrt((Res+1).^2+Ims.^2);H=a./b;mesh(Res,Ims,H);

01 js

Biegun p=-1 Zero z=0

j

Przykład 49

Andrzej Leśnicki Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste 1/4

Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste Metoda dopasowywania współczynników Rozpatrywany będzie przypadek funkcji wymiernej właściwej, tzn. takiej funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika nm oraz licznik i mianownik nie mają wspólnych pierwiastków. Jeżeli bieguny są pojedyncze, to rozkład na ułamki proste ma następującą postać (przyjęto, że 1na )

n

i i

i

n

mm

mm

nn

n

mm

mm

psA

pspsbsbsbsb

asasbsbsb

sMsLsH

11

011

1

01

1

01

1

)()()(

W metodzie dopasowywania współczynników, aby wyznaczyć współczynniki iA rozkładu na ułamki proste, należy sprowadzić sumę ułamków prostych do wspólnego mianownika

nn

nnn

n

i i

i

pspsAAcsAAcsAAc

psA

1

210111

11

1

),,(,,),,(

i przyrównać współczynniki ic przy kolejnych potęgach is do współczynników ib przy

tych samych potęgach

0),,(

0),,(),,(

),,(),,(

11

11

1

111

010

nn

nm

mnm

n

n

AAc

AAcbAAc

bAAcbAAc

Jest to układ n równań liniowych z n niewiadomymi, z których wyznacza się poszukiwane współczynniki nAA ,,1 . Jeżeli biegun jest wielokrotny, to powyższe postępowanie pozostaje bez zmian, a jedynie trzeba uwzględnić, że czynnikowi kips bieguna k-krotnego odpowiada k ułamków prostych o postaci

ki

ik

i

i

i

i

psA

psA

psA

,,, 2

21

Przykład 50. Zostanie rozłożona na ułamki proste funkcja wymierna

222

23

2

112129114

2549114)(

sC

sB

sA

ssss

ssssssH

Suma ułamków prostych sprowadzona do wspólnego mianownika ma następującą postać

2

2

122232

ssCBAsCBAsBA

i z przyrównania współczynników wielomianów licznika otrzymujemy trzy równania liniowe z trzema niewiadomymi


4

1132922

BACBACBA

o rozwiązaniu 3A , 1B , 2C . Tak więc poszukiwany rozkład na ułamki proste jest następujący

22

2

12

11

23

129114)(

sssss

sssH

Współczynniki A , B , C są residuami biegunów i mogą być obliczone za pomocą funkcji MATLABa residue: >> num=[4,11,9]; >> den=[1,4,5,2]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = 3.0000 1.0000 2.0000 p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 k =[ ] >> [num1,den1]=residue(r,p,k) num1 = 4.0000 11.0000 9.0000 den1 =1.0000 4.0000 5.0000 2.0000 Metoda dopasowywania współczynników staje się uciążliwa w przypadku, gdy stopień mianownika jest większy niż 3. Układ równań liniowych staje się zbyt liczny. Korzystniej jest wówczas zastosować metodę zerowania reszty. Metoda zerowania reszty Jeżeli biegun ip jest pojedynczy, to funkcję wymierną można przedstawić jako sumę ułamka prostego i wyrazu z resztą )(sR

)()(

)()(

)()()(

sNsR

psA

pssNsL

sMsLsH

ii

Mnożąc obustronnie powyższe równanie razy czynnik ips , otrzymujemy równanie

ipssNsRA

sNsL

)()(

)()(

które jest spełnione dla każdego s , a więc także dla ips . Podstawienie ips powoduje, że wyraz z resztą )(sR zeruje się i otrzymujemy wzór na współczynnik A ułamka prostego


)()(

i

i

pNpLA

Z założenia jest 0)( ipN (w przeciwnym razie biegun ip nie byłby biegunem pojedynczym). Wartość )( ipN może być obliczona ze wzoru Heaviside'a )()( ii pMpN , wynikającego z następującego przekształcenia

i

ii

i pspsi

i

psips

sMps

pMsMpssMsN

)()()()()(

W praktyce jednak łatwiej jest obliczyć )( ipN poprzez bezpośrednie podstawienie ips do )(sN .

Jeżeli biegun ip jest k-krotny, to funkcję wymierną można przedstawić w postaci

)()(

)()(

)()()( 1

12

21

sNsR

psA

psA

psA

psA

pssNsL

sMsLsH k

i

kk

i

k

iik

i

Mnożąc obustronnie powyższe równanie razy czynnik kips , otrzymujemy równanie

kikikkiki pssNsRApsApsApsA

sNsL

)()(

)()(

12

21

1

Podstawiając ips do powyższego równania, a następnie do równania zróżniczkowanego jednokrotnie, dwukrotnie itd., otrzymujemy wzory na współczynniki iA

ii ps

k

k

psk

i

ik sN

sLsk

AsNsL

sA

pNpLA

)()(

dd

!11,,

)()(

dd,

)()(

1

1

11

Przykład 51. Zostanie rozłożona na ułamki proste funkcja wymierna

22

23

1123123112112)(

s

DsC

sB

sA

sssssssH

Wyznaczamy współczynnik A

24

821

136995412

1121122

32

23

sss

sssA

Wyznaczamy współczynnik B

311

124441613

1121122

22

23

sss

sssB

Wyznaczamy współczynnik D

224

12112112

23112112

1

23

ssssssD

Wyznaczamy współczynnik C


1

4128

1211211231212226

23112112522312226

23112112

dd

22

122

232

1

23

s

s

ssssssssss

sssss

sC

Tak więc poszukiwany rozkład na ułamki proste jest następujący

22

23

12

11

23

32

123112112)(

sssssss

ssssH

Andrzej Leśnicki Operatorowy schemat zastępczy układu 1/1

Operatorowy schemat zastępczy układu

)()( tRitv )()( sRIsV

R R)(ti )(sIa) b)

Opis rezystora w dziedzinie t i w dziedzinie s

sCsY )(

0CCv

)(sI

)(sVb)

0Cv

ttvCti

dd)(

00

d)(1)( Ct

viC

tv

C

a) c)

sCsZ 1)(

C

C

svC0

)(sI

)(sV

Opis kondensatora w dziedzinie t i w dziedzinie s

0Li

ttiLtv

d)(d)(

00

d)(1)( Lt

ivL

ti La) b)

sLsZ )( 0LLi )(sI

L

)(sV

c)

sLsY 1)(

siL0

L

)(sI

)(sV

Opis induktora w dziedzinie t i w dziedzinie s

1L 2L

M

ttiM

ttiLtv

ttiM

ttiLtv

d)(d

d)(d)(

d)(d

d)(d)(

1222

2111

0021222

0012111

12

21

)()()(

)()()(

LL

LL

MiiLssMIsIsLsV

MiiLssMIsIsLsV

)(1 tv )(2 tv

)(1 ti )(2 ti

)(1 sV )(2 sV

1sL 2sL)(1 sI )(2 sI

)(2 ssMI )(1 ssMI

01 1LiL 02 2LiL02LMi 01LMi

a) b)

Operatorowy schemat zastępczy induktorów sprzężonych Prądowe i napięciowe prawa Kirchhoffa mają taką samą postać dziedzinie t i w dziedzinie s

k kkk sIti 0)(0)(

k k

kk sVtv 0)(0)(

Przykład 52

Andrzej Leśnicki Dwustronne przekształcenie Laplace’a 1/1

Dwustronne przekształcenie Laplace'a Dwustronne przekształcenie Laplace'a (proste i odwrotne) jest zdefiniowane parą następujących wzorów

)(sX L )(tx

tetx std)(

)(tx L-1 )(sX

jc

jc

st sesXj

d)(21

W porównaniu z jednostronnym przekształceniem Laplace'a zmieniła się dolna granica całkowania z wartości 0 na . Każdy sygnał nieprzyczynowy tx można przedstawić jako sumę sygnału przyczynowego i antyprzyczynowego txtxtx ap . Przekształcenie dwustronne sygnału nieprzyczynowego można traktować jako sumę przekształcenia jednostronnego części przyczynowej sygnału i przekształcenia części antyprzyczynowej sygnału sXsXsX ap .

txtxtx ap tp etutx 2

ta etutx 3te3

0 t

te 2te3

0 t

te 2

0 t

te 3

0 t

a) b)

c) d) ta etutx 3

Przedstawienie sygnału nieprzyczynowego jako sumy sygnału przyczynowego i antyprzyczynowego Jeżeli sygnał antyprzyczynowy txa zostanie odbity lustrzanie txa (in. zawinięty), to stanie się sygnałem przyczynowym. Dlatego zadanie obliczenia transformaty sygnału antyprzyczynowego txa można sprowadzić do zadania obliczenia transformaty jednostronnej

00

0

dtetxdtetxdtetxsX tsast

ast

aa

Najpierw należy obliczyć dla sygnału txa jednostronną transformatę sX a z obszarem zbieżności sRe . Następnie zmiana znaku argumentu tej transformaty daje transformatę sygnału antyprzyczynowego sXsX aa z obszarem zbieżności sRe . Przykład 53

Andrzej Leśnicki Charakterystyki czasowe układu 1/3

Charakterystyki czasowe układu Odpowiedzi impulsowa i skokowa System SLS można opisać nie tylko poprzez podanie transmitancji

poczatkowe warunkiZerowesXsYsH

ale także poprzez podanie jego charakterystyki czasowej. Dla systemu SLS definiuje się dwie następujące charakterystyki czasowe. Def. 1. Odpowiedzią impulsową th systemu nazywamy odpowiedź systemu z zerowymi warunkami początkowymi na pobudzenie impulsem jednostkowym t (deltą Diraca). Def. 2. Odpowiedzią skokową tg systemu nazywamy odpowiedź systemu z zerowymi warunkami początkowymi na pobudzenie skokiem jednostkowym tu (jedynką Heaviside’a t1 ) .

System z zerowymi warunkami początkowymi

System z zerowymi warunkami początkowymi

ttx tutx thty tgty

Impuls Diraca

Skok jednostkowy

Odpowiedź impulsowa

Odpowiedź skokowa

a) b)

Ilustracja definicji charakterystyk czasowych systemu: a) odpowiedź impulsowa th ; b) odpowiedź skokowa tg Pobudzenia t i tu są sygnałami przyczynowymi i dla systemów realizowalnych fizycznie (przyczynowych) odpowiedzi impulsowa th i skokowa tg są także przyczynowe. Odpowiedzi impulsową th i skokową tg można obliczyć rozwiązując równania różniczkowe opisujące system. Najłatwiej jest jednak wyznaczyć charakterystyki czasowe systemu z jego transmitancji operatorowej sH . Jeżeli system ma transmitancję sX

sYsH

to transformata Laplace’a odpowiedzi jest iloczynem transmitancji i transformaty Laplace’a pobudzenia sXsHsY Przy pobudzeniu systemu impulsem jednostkowym ttx mamy L sHth L t


a ponieważ L 1t , to odpowiedź impulsowa jest odwrotną transformatą Laplace’a transmitancji systemu th L sH1 Przy pobudzeniu systemu skokiem jednostkowym tutx mamy L sHtg L t1 a ponieważ L st 11 , to odpowiedź skokowa jest odwrotną transformatą Laplace’a transmitancji systemu podzielonej przez zmienną s

tg L

sH

ssG 11

Między odpowiedziami impulsową i skokową zachodzą związki różniczkowo-całkowe.

Czynnik s1 jest operatorem całkowania, czyli odpowiedź skokowa jest całką odpowiedzi

impulsowej

t

dhtg0

Odwracając tą zależność mamy tgth dystr czyli odpowiedź impulsowa jest pierwszą pochodną dystrybucyjną odpowiedzi skokowej. Całka splotowa Borela Obliczenie odpowiedzi układu w dziedzinie zmiennej s, czyli obliczenie transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego sY , tol sXsHsY Działaniu mnożenia wykonanemu w dziedzinie zmiennej s (czyli mnożeniu dwóch transformat Laplace’a) odpowiada w dziedzinie czasu t operacja splatania dwóch oryginałów (całka Borela, splatanie jest operacją przemienną)

t

dthxthtxtxthty0

sX

tx

sH

th

sXsHsY

t

dthxthtxty0

t

dtxhtxthty0

Układ i jego sygnał wyjściowy obliczany w dziedzinie zmiennej s i w dziedzinie czasu t z użyciem całki splotowej (całki Borela)


Badając odpowiedź impulsową układu można stwierdzić, czy układ jest BIBO stabilny. Tw. Układ SLS nie zawierający źródeł niezależnych jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa jest bezwzględnie całkowalna

Sdtth0

Wszystkie przyczynowe sygnały zanikające wykładniczo do zera są bezwzględnie całkowalne. Ponieważ w układzie SLS odpowiedź impulsowa jest kombinacją liniową funkcji o charakterze wykładniczym, to układ SLS jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa zanika do zera. Całka superpozycji Duhamela Obliczenie odpowiedzi układu w dziedzinie zmiennej s , czyli obliczenie transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego sY może być zapisane następująco ssX

ssHsXsHsY

Wyrażenie s1 jest operatorem całkowania i

ssH oznacza w dziedzinie czasu całkowanie

odpowiedzi impulsowej układu, czyli odpowiedź skokową układu t

dhtg0

.

Czynnik s jest operatorem różniczkowania i ssX oznacza w dziedzinie czasu pierwszą pochodną dystrybucyjną pobudzenia txdystr . Działanie uprzednio interpretowane jako całka splotowa Borela teraz może być interpretowane jeszcze inaczej. Jest to w dziedzinie czasu splot odpowiedzi skokowej systemu z pierwszą pochodną dystrybucyjną pobudzenia i nazywa się całką superpozycji Duhamela

tt

dystrdystrdystr dtgxtgxdtgxtgtxtxtgty00

0*

sH

tg

sX

tx

ssXssH

sY

t

dystr dtgxtgxtgtxty0

0

Układ i jego sygnał wyjściowy obliczany w dziedzinie zmiennej s i w dziedzinie czasu z użyciem całki superpozycji Duhamela Przykład 54

andrzej leśnicki wprowadzenie do transformaty laplace’a 1 ...andrzej leśnicki wprowadzenie do...

Documents