transformaty. kodowanie transformujace˛...transformata z ciagu˛ ff ngjest uogólnieniem dft i dana...
TRANSCRIPT
-
Transformaty. Kodowanietransformujące
Kodowanie i kompresja informacji - Wykład 10
Filip Zagórski
10 maja 2009
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?
Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?
Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.
Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Szeregi Fouriera
Każdą funkcję okresową f (t) o okresie T można zapisaćjako
f (t) = a0 +∞∑
n=1
an cos nω0t +∞∑
i=1
bn sin nω0t =∞∑
n=−∞
cneinω0t
gdzie ω0 = 2πT i cn =1T
∫ T0 f (t)e
−inω0t dt .
Co daje reprezentacja Fouriera?Współczynniki cn dają nam wielkości oscylacjiwystępujących w sygnale.Ale nie daje informacji jak sygnał zmienia sięw czasie.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).
Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.
fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Rozpatrzmy funkcję f (t) określoną na przedziale[0,T ).Zdefiniujmy okresowe rozszerzenie f jakofP(t) =
∑∞n=−∞ f (t − nT ), gdzie dla t /∈ [0,T )
przyjmujemy f (t) = 0.fP(t) jest okresowa więc możemy dla niej zdefiniowaćszereg Fouriera
cn =1T
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt
Zdefiniujmy C(n,T ) = cnT i ∆ω = ω0, wtedy
fP(t) =∞∑
n=−∞
C(n,T )T
ein∆ωt dt
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Aby odtworzyć f (t) obliczamy
limT→∞,∆ω→0
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Transformatą Fouriera nazywamy równanie
F (ω) =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy
f (t) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)eiωt dω
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Aby odtworzyć f (t) obliczamy
limT→∞,∆ω→0
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Transformatą Fouriera nazywamy równanie
F (ω) =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.
Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy
f (t) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)eiωt dω
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Fouriera
Aby odtworzyć f (t) obliczamy
limT→∞,∆ω→0
∫ T/2−T/2
fP(t)e−inω0t dt =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Transformatą Fouriera nazywamy równanie
F (ω) =∫ ∞−∞
f (t)e−iωt dt
Mówi ono jak sygnał zmienia się przy różnychczęstotliwościach.Odwrotną transformatą Fouriera nazywamy
f (t) =1
2π
∫ ∞−∞
F (ω)eiωt dω
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretna transformacja Fouriera
Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcjiciągłych w czasie a w kompresji mamy do czynieniaz ciągiem wartości (próbkowanie).
Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T .Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako
Fk =1T
∫ T0
f (t)N−1∑n=0
δ(t − nT/N)eikω0t dt
=1T
N−1∑n=0
f (nT/N)ei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretna transformacja Fouriera
Transformata Fouriera jest wykonywana dla funkcjiciągłych w czasie a w kompresji mamy do czynieniaz ciągiem wartości (próbkowanie).Przypuśćmy, że próbkujemy N razy w okresie T .Wtedy współczynniki szeregu możemy otrzymać jako
Fk =1T
∫ T0
f (t)N−1∑n=0
δ(t − nT/N)eikω0t dt
=1T
N−1∑n=0
f (nT/N)ei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretna transformacja Fouriera
Przyjmując T = 1 i fn = f (n/N) otrzymamywspółczynniki dyskretnego szeregu Fouriera
Fk =N−1∑n=0
fnei2πkn/N
Przeprowadzając odpowiednie przekształceniaotrzymamy
fn =1N
N−1∑k=0
Fkei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretna transformacja Fouriera
Przyjmując T = 1 i fn = f (n/N) otrzymamywspółczynniki dyskretnego szeregu Fouriera
Fk =N−1∑n=0
fnei2πkn/N
Przeprowadzając odpowiednie przekształceniaotrzymamy
fn =1N
N−1∑k=0
Fkei2πkn/N
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Z
Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.
Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera
F (ω) =∞∑
n=−∞
fneiωnT ,
gdzie fn = f (nT ).Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem
F (z) =∞∑
n=−∞
fnz−n
gdzie z = eσT +iωT .
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Z
Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera
F (ω) =∞∑
n=−∞
fneiωnT ,
gdzie fn = f (nT ).
Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem
F (z) =∞∑
n=−∞
fnz−n
gdzie z = eσT +iωT .
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Transformata Z
Analogicznie możemy utworzyć transformatęFouriera dla funkcji próbkującej.Zmieniając f (t) na funkcję spróbkowaną otrzymujemydyskretną transformatę Fouriera
F (ω) =∞∑
n=−∞
fneiωnT ,
gdzie fn = f (nT ).Transformata Z ciągu {fn} jest uogólnieniem DFTi dana wzorem
F (z) =∞∑
n=−∞
fnz−n
gdzie z = eσT +iωT .Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.
Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.
2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.
3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.
4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresjąbezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Kodowanie transformujące - wprowadzenie
Przekształcenie informacji w taki sposób aby poprzekształceniu można było zrezygnować z częścielementów.Podstawowy schemat kompresji ma 4 kroki
1 Podziel sygnał wejściowy na bloki.2 Oblicz przekształcenie każdego bloku.3 Skwantyzuj współczynniki.4 Zakoduj skwantyzowane współczynniki kompresją
bezstratną.
Odkodowywanie jest odwrotnością kodowania.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przykład
Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)
Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie
θ = Az, gdzie z =[
xy
]odpowiada parze
wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci
A =[
cosφ sinφ− sinφ cosφ
]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przykład
Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .
Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie
θ = Az, gdzie z =[
xy
]odpowiada parze
wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci
A =[
cosφ sinφ− sinφ cosφ
]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przykład
Rozpatrzmy pary (wzrost,waga):(165,77), (190,85), (152,68), (178,77), (142,59),(203,92), (173,73), (127,50), (102,36), (127,70),(175,67), (157,64), (193,74), (163,54)Łatwo zauważyć że pary skupiają się wokół prostejy = 0,41x .Możemy obrócić ten zbiór stosując przekształcenie
θ = Az, gdzie z =[
xy
]odpowiada parze
wzrost-waga, a A jest macierzą obrotu postaci
A =[
cosφ sinφ− sinφ cosφ
]a φ kątem nachylenia prostej do osi x-ów.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)
Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.
Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]
Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładCiąg po przekształceniu (i zaokrągleniu do liczbcałkowitych) ma postać(182,7), (208,5), (166,4), (194,2), (154,−1),(223,6), (188,0), (136,−3), (108,−6), (144,15),(187,−6), (170,−2), (199,−25), (171,−13)Teraz usuńmy drugi każdej pary.Dekompresja ciągu z zerem na drugim miejscu jestwykonywana za pomocą macierzy
A =[
cosφ − sinφsinφ cosφ
]Wynikowy ciąg to(168,70), (192,81), (153,64), (179,75), (142,60),(206,86), (173,73), (125,53), (100,42), (133,56),(172,72), (157,66), (183,77), (158,66)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).
Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenia linioweCiąg {x0, . . . , xN−1} przekształcamy na ciąg{θ0, . . . , θN−1} w następujący sposób
θj =N−1∑i=0
xiaj,i
Oryginalny ciąg możemy odtworzyć za pomocąprzekształcenia odwrotnego
xj =N−1∑i=0
θibj,i
Można rozszerzyć przekształcenia jednowymiarowe(dźwięk) na dwuwymiarowe (obrazy).Wszystkie przekształcenia będą ortonormalne (łatwowyliczyć przekształcenia odwrotne).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.
Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.
Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Przekształcenie Karhunena-Loevego
Wiersze macierzy przekształcenia zawierają wektorywłasne macierzy autokorelacji.Macierz autokorelacji procesu losowego X ma postać
[R]i,j = E [XnXn+|i−j|]
Przekształcenie skonstruowane w ten sposóbminimalizuje średnią geometryczną wariancjiwspółczynników przekształcenia.Wada metody: Jeśli rozkład danych nie jeststacjonarny to macierz autokorelacji zmienia sięw czasie. Trzeba co jakiś czas na nowo wyliczyć tąmacierz i przesłać odbiorcy (nie zna ciąguwejściowego).
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.
Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]
Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.
Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
PrzykładRozważmy przekształcenie KLT rozmiaru 2.Macierz autokorelacji rozmiaru 2 dla procesustacjonarnego
R =[
RXX (0) RXX (1)RXX (1) RXX (0)
]Rozwiązując równanie |λI − R| = 0 otrzymujemydwie wartości własne: λ1 = RXX (0) + RXX (1) orazλ2 = RXX (0)− RXX (1). Wektory własne mają wtedy
postać V1 =[αα
]oraz V2 =
[β−β
], gdzie α, β są
odpowiednimi stałymi.Jeśli narzucimy warunek ortonormalności toα = β = 1/
√2.
Dla rozmiaru 2 przekształcenie KLT nie zależy odwartości korelacji. Dla wyższych wymiarów zależy.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.
Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.
Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie kosinusowe (DCT)
Macierz przekształcenia N × N
[C]i,j =
√
1N cos
(2j+1)iπ2N dla i = 0√
2N cos
(2j+1)iπ2N dla i 6= 0
Przekształcenie blisko związane z dyskretnątransformata Fouriera.Jest łatwiejsza do policzenia i lepiej się sprawdza niżDFT.Używana do obrazów i dźwięków.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Baza DCT
(numery odpowiadają wierszom macierzyprzekształcenia)
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Macierze bazy DCT
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Porównanie DFT i DCT
DFT:
DCT:
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie sinusowe
Macierz przekształcenia N × N
[S]i,j =
√2
N + 1sin
π(i + 1)(j + 1)N + 1
Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]
jest mały.
Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie sinusowe
Macierz przekształcenia N × N
[S]i,j =
√2
N + 1sin
π(i + 1)(j + 1)N + 1
Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]
jest mały.
Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenie sinusowe
Macierz przekształcenia N × N
[S]i,j =
√2
N + 1sin
π(i + 1)(j + 1)N + 1
Lepsze niż kosinusowe gdy współczynnik korelacjiρ = E [xnxn+1]E [x2n ]
jest mały.
Uzupełnia przekształcenie kosinusowe.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda
Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:
H2N =[
HN HNHN −HN
]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).
Bardzo proste do uzyskania i implementacji.Minimalizuje ilość obliczeń.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda
Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:
H2N =[
HN HNHN −HN
]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).
Bardzo proste do uzyskania i implementacji.
Minimalizuje ilość obliczeń.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Dyskretne przekształcenieWalsha-Hadamarda
Macierz przekształcenia N × NMacierz Hadamarda rzędu N jest zdefiniowana wzoremHHT = NI. Dla potęg dwójki jest łatwa do wyliczenia zewzoru:
H2N =[
HN HNHN −HN
]Macierz przekształcenia uzyskujemy przez normalizacjęi ustawienie kolumn w porządku ilości zmian znaków (+na - i odwrotnie).
Bardzo proste do uzyskania i implementacji.Minimalizuje ilość obliczeń.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.
Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].
Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.
Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.
Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji obrazów – JPEG
Zalecaną transformacją jest DCT.Przedział kolorów przesuwamy z [0,2n − 1] na[−2n−1,2n−1 − 1].Obraz dzielimy na bloki rozmiaru 8× 8.Bloki przekształcamy transformacją DCT.Stosujemy kwantyzację jednolitą.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Algorytm JPEG – kolejność kodowania
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji dźwięków
Stosowane w MPEG Layer III.
Kodowanie oparte na DCT i DST.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące
-
Zastosowanie do kompresji dźwięków
Stosowane w MPEG Layer III.Kodowanie oparte na DCT i DST.
Filip Zagórski Transformaty. Kodowanie transformujące