wykŁad 3 : analiza odksztaŁceŃ
DESCRIPTION
Biomechanika przepływów. WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ. WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ. Czym jest odkształcenie ?. Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako „odwzorowanie” pierwotnego stanu ciała na stan ciała odkształconego. . - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Biomechanika przepływów
Czym jest odkształcenie ?
Jedną z metod podejścia jest traktowanie odkształcenia jako „odwzorowanie” pierwotnegostanu ciała na stan ciała odkształconego.
W Mechanice Ośrodków Ciągłych (MOC) konfiguracja ciała stałego opisana jest przez ciągłymodel matematyczny, którego punkty geometryczne identyfikuje się z położeniami cząstekmaterialnych danego ciała. Gdy takie ciało zmienia swą konfigurację wskutek pewnychoddziaływań fizycznych, zakładamy, że zmiana ta jest ciągła; znaczy to iż punkty będącesąsiadami przed odkształceniem pozostają sąsiadami i po odkształceniu.
Pęknięcia które prowadzą do powstawania nowych powierzchni granicznych muszą byćtraktowane oddzielnie i wymagają oddzielnego opisu !!!!
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
(a1,a2,a3)
Niech układ współrzędnych a1, a2, a3 będzie tak wybrany, że punkt P w danej chwili czasu jest określony za pomocą współrzędnych ai . W następnym momencie ciało odkształca się.
Czyli przechodzi do nowejkonfiguracji. Punkt P przechodzi do punktu Q zewspółrzędnymi xi. względemnowego układu współrzędnych(x1,x2,x3)
(w ogólności mogą być to układy krzywoliniowe)
Założymy że , zmiana konfiguracji ciała jest ciągła oraz odwzorowanie punktu P na Qjest zależnością jednoznaczną.
Prawo transformacji: 321 ,, aaaxx ii 321 ,, xxxaa ii
(3.1)
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Jeśli P, P`, i P`` są punktami sąsiednimi tworzącymi trójkąt w konfiguracji pierwotnej i jeśliw wyniku odkształcenia przechodzą one w punkty Q, Q`, Q``, to zmiana powierzchni i kątówomawianego trójkąta jest całkowicie określona jeśli znamy zmiany długości boków trójkąta.
Odkształcenia ciała mają fizyczny związek z naprężeniami. Opis zmian odległości między dwoma dowolnymi punktami ciała jest kluczem do analizy odkształceń !!!!
Rozważmy nieskończenie mały element liniowy łączący punkt P(a1,a2,a3) z punktemP`(a1 + da1, a2 + da2, a3 + da3 ). Kwadrat długości ds0 odcinaka PP` w konfiguracji pierwotnejjest dany przez zależność Pitagorasa ( przestrzeń jest Euklidesowa)
23
22
21
20 dadadads lub w notacji tensorowej jiij dadaads 20
gdzie aij obliczone dla punktu P jest euklidesowym tensoremmetrycznym dla układu współrzędnych ai
jiji
a ijij 01
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Przypomnienie : ANALIZA TENSOROWA
Oznaczenia i umowa sumacyjna
W rachunku tensorowym szeroko stosuje się oznaczenia wskaźnikowe. Zbiór n zmiennych x1, x2,…,xn oznacza się zwykle xi, i=1,…,n.
Równanie płaszczyzny w przestrzeni 3-wymiarowej x1,x2,x3 ma postać (ai, i p to stałe):
pxaxaxa 33
22
11
Można to zapisać krócej: pxai
ii
3
1
Jeszcze krótszy jest zapis przy użyciu tzw. konwencji sumacyjnej
pxa ii
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Konwencja ta brzmi : Powtórzenie jakiegokolwiek wskaźnika ( niezależnie czy jest to wskaźnikdolny czy górny) w pewnym wyrażeniu oznacza sumowanie względem tego wskaźnika wcałym jego zakresie. Wskaźnik względem którego odbywa się sumowanie nosi nazwę wskaźnika niemego. Wskaźnik względem którego nie ma sumowania, nosi nazwę wskaźnikawolnego.
Koniec Przypomnienia : ANALIZA TENSOROWA
Gdy punkty P i P` po odkształceniu przechodzą w punkty Q(x1,x2,x3) i Q`(x1 + dx1, x2 + dx2, x3 + dx3) kwadrat długości ds n owego elementu QQ` wynosi:
23
22
21
2 dxdxdxds albo jiij dxdxgds 2
korzystając z równań (3.1) odpowiednie przyrosty możemy wyznaczyć z:
jj
ii da
axdx
321 ,, aaaxx ii 321 ,, xxxaa ii
j
j
ii dx
xada
gdzie gij obliczone dla punktu Q jest euklidesowym tensoremmetrycznym dla układu współrzędnych xi
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Czyli kwadraty długości odpowiednio wyniosą:
mim
j
i
iijjiij dxdx
xa
xaadadaads
20
mim
j
i
iijjiij dada
ax
axgdxdxds
2
Różnica między kwadratami długości elementów może być zapisana, po kilku zmianachwskaźników niemych jako:
jiijji
dadaaax
axgdsds
20
2
albo:
jiji
ij dxdxxa
xaagdsds
20
2
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Określmy teraz tensor odkształcenia:
ij
jiij a
xaxE
21
jiijij x
axae
tak, że jiij dadaEdsds 22
02
jiij dxdxedsds 220
2
(3.2)
(3.3)
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Tensor odkształcenia (strain tensor) Eij został wprowadzony przez Greena i Sain-Venanta i nosi nazwę tensora odkształcenia Greena.
Tensor odkształcenia (strain tensor) eij został wprowadzony przez Cauchy`ego dla nieskończenie małych odkształceń oraz przez Almansiego i Hamela dla odkształceń skończonych i znany jest jako tensor odkształceń Almansiego.
Przez analogię do terminologii stosowanej w hydrodynamice Eij jest często nazywany tensorem odkształcenia we współrzędnych Lagrangea, podczas gdy eij nazywany jesttensorem odkształcenia we współrzędnych Eulera.
Tensory Eij i eij są tensorami symetrycznymi to jest:
jiij EE
jiij ee
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Z równań (3.2) i (3.3) wynika fundamentalne stwierdzenia że, koniecznym i dostatecznym warunkiem na to by odkształcenie ciała było ruchem sztywnym ( to znaczy by składało sięz translacji i obrotu bez zmian odległości między poszczególnymi cząstkami) jest, by wszystkie składowe tensora odkształcenia Eij lub eij były równe zeru w całym obszarze ciała
W powyższym opisie wykorzystywaliśmy dwa układy współrzędnych ai i xi
Istnieją dwa szczególnie korzystne sposoby wyboru współrzędnych:
I. Używamy jednego i tego samego układu prostokątnych współrzędnych kartezjańskich zarówno dla pierwotnej konfiguracji jak też dla konfiguracji ciała odkształconego.
w tym przypadku tensor metryczny jest nadzwyczaj prosty:
ijijij ag
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
II. Zniekształcamy układ odniesienia w konfiguracji ciała odkształconego w taki sposób abywspółrzędne x1, x2, x3 danej cząsteczki miały te same wartości liczbowe jak w konfiguracjipierwotnej tj. a1, a2, a3.
W tym przypadku: ii ax i
iax
iixa
i równania (3.2) i (3.3) redukują się do postaci:
ijijijij ageE 21
Wszystkie informacje o odkształceniu są zawarte w zmianie tensora metrycznego przy przejściuod układu odniesienia dla konfiguracji pierwotnej do zniekształconego układu odniesieniadla konfiguracji końcowej. Tak wybrane współrzędne noszą nazwę współrzędnych unoszenialub współrzędnych wewnętrznych.
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Znaczenie poszczególnych składowych tensora odkształcenia. ( wybór I)
Tensor odkształcenia w prostokątnych współrzędnych kartezjańskich
Jeśli korzystamy z tego samego kartezjańskiego prostoliniowego i ortogonalnego układuwspółrzędnych do opisu zarówno konfiguracji pierwotnej jak też końcowej to:
jiji
ag ijijij 01
a1, x1
a2, x2
a3, x3
(a1, a2, a3) (x1, x2, x3)
Wprowadźmy wektor przemieszczeniau ze składowymi:
iii axu
wówczas:
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
iii au
ax
ii
i xu
xa
oraz tensory odkształcenia redukują się do prostej postaci:
ijj
ji
iij
jiij a
uau
ax
axE
2
121
jij
i
i
j
au
au
au
au
21
i
ji
iij
jiijij x
uxu
xa
xae
21
21
jij
i
i
j
xu
xu
xu
xu
21
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Podstawmy oznaczenia nieskrócone ( x, y, z zamiast x1, x2, x3 oraz u, v, w zamiast u1, u2, u3)
222
21
xw
xv
xu
xuexx
yw
xw
yv
xv
yu
xu
xv
yuexy 2
1
Jeśli składowe przemieszczenia ui są takie, iż ich pierwsze pochodne są na tyle małe, że kwadraty i iloczyny pochodnych cząstkowych ui można zaniedbać wówczas eij redukuje siędo tensora nieskończenie małego odkształcenia Cauchy`ego
j
i
i
jij x
uxu
e21 W przypadku przemieszczeń nieskończenie małych znika
różnica między tensorami odkształcenia Lagrange`a i Eulera
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Geometryczna interpretacja składowych nieskończenie małego odkształcenia
Niech x, y, z będą współrzędnymi prostokątnego układu współrzędnych. Rozważmy element dx
Zmiana kwadratu długości tego elementu wskutek odkształcenia wynosi rów. (3.2):
220
2 2 dxedsds xx 0
2
02
dsdsdxedsds xx
W tym szczególnym ds = dx a ds0 różni się od ds tylko o nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu. Stąd:
xxedsdsds 0 i przedstawia to wydłużenie względne
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Rozważmy nieskończenie mały element o bokach dx i dy.
suma xv
yu
przedstawia zmianę konta xOy będącego pierwotnie katem prostym
xv
yuexy 2
1
W praktyce inżynierskiej podwójneskładowe odkształcenia eij nosząnazwę odkształceń postaciowych
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
Przypadek 3 nosi nazwę odkształcenia czysto postaciowego
Wielkość
yu
xv
z 21
nosi nazwę elementarnego obrotu elementu dxdy. Nazwa tak ajest sugerowana przezprzypadek 4 bo jeśli:
yu
xv
to 0xyei ωz jest istotnie katem obrotu elementu prostokątnegojako ciała sztywnego.
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ
i
j
j
iij x
vxvV
21
Jeśli tensor odkształcenia znika w punkcie P, można dowieść, że dla pola nieskończeniemałych odkształceń nieskończenie mały obrót otoczenia punktu P jako ciała sztywnegoprzedstawia wektor ωi
Weźmy punkt P` z otoczenia punktu P. Niech współrzędne punku P i P` będą odpowiednioxi i xi + dxi. Przemieszczenie P` względem P wynosi:
jj
ii dx
xudu
j
i
j
j
ij
i
j
j
ij
j
ii dx
xu
xudx
xu
xudx
xudu
21
21
i
j
j
iij x
vxv
21 (vorticity tensor)
tensor obrotu
WYKŁAD 3 : ANALIZA ODKSZTAŁCEŃ